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ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil1

DINÂMICA DE ESTRUTURAS E

AEROELASTICIDADE

Prof. GIL

Aeroelasticidade Estática – Asas Enflechadas


O efeito do enflechamento


Aeroelasticidade estática de asas enflechadas.

� Objetivo

� Determinar como a flexão, não somente a torção como se

viu antes, muda o carregamento em asas enflechadas;

� Apresentação de modelos aerodinâmicos e estruturais

simples.


Considerações iniciais

� Asas podem ter o seu enflechamento positivo (“para trás”), ou negativo (“para frente”)

� Para que enflechar para frente ?

�Tentar diminuir a distância entre o centro aerodinâmico e o centro de gravidade da aeronave;

�Melhorar características de controlabilidade longitudinal para o caso de aeronaves com pouco volume de cauda, uma vez que a eficiência de sustentação aumentada;

�Diminuir efeito de arrasto de onda no regime transônico, aumento Mach de cruzeiro...


Teoria das Faixas

� Técnica para resolver um problema tridimensional empregando soluções

bidimensionais conhecidas;

� Não é restrito apenas ao cálculo de carregamento estacionário para

aeroelasticidade;

� A idéia é subdividir uma dada superfície de sustentação em faixas dispostas

ao longo da envergadura:


Teoria das Faixas

� Esta teoria é limitada a casos de asas onde os efeitos tridimensionais do

escoamento podem ser desprezados, por exemplo, asas de grande

alongamento;

� Não são considerados efeitos de influência aerodinâmica entra as faixas,

lembre que a solução empregada para cada faixa é uma solução

bidimensional

� As faixas devem estar preferencialmente alinhadas com o escoamento, porém

é bastante usual adotar-se faixas perpendiculares ao eixo elástico.

� Neste caso, deve-se decompor o escoamento para um sistema de coordenadas

local da asa onde para a envergadura, o eixo "y" deve coincidir com o eixo

elástico.


Teoria das Faixas Modificada

� Asa enflechada:


Teoria das Faixas Modificada I

� Enflechamento:

� Método das componentes de

velocidade

� Usualmente, a asa é

discretizada em faixas, cuja

corda de cada seção típica

é perpendicular ao seu eixo

elástico;

� Entretanto, se a asa é

enflechada, o eixo elástico

também será;


Teoria das Faixas

� Cada faixa possui uma largura finita, a partir da qual pode-se calcular o

carregamento por faixa multiplicando:

Note que o carregamento obtido através da teoria do carregamento

estacionário sobre um perfil, é por unidade de comprimento de

envergadura.

� Para o cálculo do carregamento, emprega-se os movimentos referentes

aos graus de liberdade de uma determinada faixa.

1

,nfaixas

total

i i i

i

L l dy L L=

= ⋅ = ∑


Efeitos de “Wash in” e “Wash Out”

São resultantes do acoplamento de um movimento de flexãoque induz uma torção


Efeito do Enflechamento

� Quando a asa é enflechada, deve-se observar que as seções típicas, definidas perpendiculares ao eixo elástico, não estão alinhadas com o escoamento;

� Emprega-se a solução aerodinâmica bidimensional para resolver o problemas por faixas (aproximação);

� Entretanto, alguns “termos novos”surgirão nas relações de sustentação e momento, pois existirá um acoplamento do movimento de flexão que induzirá uma torção nas faixas alinhadas com o escoamento não perturbado;

� O primeiro passo será escrever a velocidade de deformação da asa na direção vertical como função de coordenadas de um novo sistema de eixos, onde um deles é coincidente com o eixo elástico da asa.



Ref. NACA-REPT-1014



� Sendo “s”o eixo alinhado com a direção da envergadura e coincidente com o eixo elástico; e “r” perpendicular a “s”, um deslocamento Z escrito neste novo sistema de coordenadas é uma função: Z = Z(r,s,t) . (na figura, y’ = s)

� E a condição de contorno, ou seja o normalwash induzido pela superfície da asa é:

onde a coordenada ξξξξ é paralela com o escoamento não perturbado. Define-se o normalwash (ou downwash) como sendo a velocidade normal induzida pelo deslocamento da asa sujeita ao escoamento V0.

0( , ) ( , )Z

W r s V r sξ

∂= −

∂

0//Vξ ⇒ cos sinZ Z r Z s Z Z

r s r sξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = Λ + Λ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂



� Condição de contorno:

� Porém o deslocamento na direção do eixo Z pode ser escrito como uma

função de h(s) e αααα(s), graus de liberdade da seção típica :

onde se considerou que e

� Substituindo esta última relação na condição de contorno:

( ) 0 0, cos sinZ Z

W r s V Vr s

∂ ∂ = − Λ + Λ

∂ ∂

( ) ( ) ( ),Z r s h s r sα= − ⋅

cos 1.0α ≅ sin α α≅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

, cos sin

, cos sin

W r s V h s r s V h s r sr s

hW r s V s V s r s

s s

α α

αα

∂ ∂ = Λ − ⋅ + Λ − ⋅ ⇒ ∂ ∂

∂ ∂ ⇒ = − Λ + Λ − ⋅ ∂ ∂



� Portanto, sobre o eixo elástico (r = 0) temos a expressão final para o ângulo

de ataque no sistema rotacionado, a partir da expressão para o downwash:

� Como Vn = V0cos(Λ), o ângulo de ataque observado pela seção típica com

corda normal ao eixo elástico é dado por:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

0 0

0 0

, cos sin

, cos sin

hW r s V s V s r s

s s

h sW r s V s V

s

αα

α

∂ ∂ = − Λ + Λ − ⋅ ∂ ∂

∂ ⇒ = − Λ + Λ ∂

( )( ) ( )

( )

0

,, tan

coss

W r s h sr s s

V sα α

∂− = = − Λ

Λ ∂



� Mudando a notação, temos:

( )( )

( )0

,, tan

coss

W r sr s

V

h s

s

α θ φ

φ

− = = − ΛΛ

∂= →

∂

Inclinação local do eixo elástico deformado em flexão

Ou seja, fica claro agora que o ângulo de ataque efetivo naseção típica é composto por uma componente devido a torção(θθθθ) e uma componente devido a flexão (φ.φ.φ.φ.tanΛΛΛΛ), que depende do enflechamento. Note que se o ângulo de enflechamento forpositivo (para trás), temos o fenômeno de “wash out”. Por outroLado, se ΛΛΛΛ for negativo, (para frente) temos o “wash in”.


Exemplo simplificado:

�Asa rígida com engastes flexíveis:

�Vamos estudar um primeiro modelo

simplificado, cujo propósito é entender o

efeito do enflechamento;

�Supõem-se que a asa é rígida e engastada

através de molas que restringem movimento

de corpo rígido que em flexão e torção.


Sistemas de eixos

K 2

K 1

d f

V

V cos Λ

b

A

A

B

B

α o

C

C

c

Λ

A

B D

C

V

Λ

1

1

1

V s e c t i o n

1 - 1 φ s i n Λ

φ

2

Molas que resistem a deslocamentos verticais

A letra “N” Flexão gera sustentação?

sr

Cuidado! “b” aqui é envergadura....


Acoplamento tipo flexo-torção

Os segmentos CD e AB acompanham o movimento vertical devido a flexãosem torcer. Por outro lado o segmentoCB desloca-se verticalmente, porém ele torce, pois o ponto B desloca-se mais no sentido vertical que o ponto C. O segmento CB representa a seção da asa alinhada com o escoamento.

Pela figura abaixo, pode-se entender com funciona o acoplamento entre o modo de flexão e a torção induzida a uma seção deasa enflechada, alinhada com o escoamento aerodinâmico.

A

B D

C

V

Λ

1

1

1

V section

1-1 φ sin Λ

φ

2

φ φ φ φ sinλλλλ


Sustentação na asa flexível

2cosnq q= Λ

tancos

o

n LL q cbC α

αθ φ

= + − Λ

Λ

Para calcular o carregamentoaerodinâmico na seção típica, que por razões estruturais éperpendicular ao eixo elástico, leva-se em conta a componente de escoamento não perturbado normal a este eixo.

K 2

K 1

d f

V

V cos Λ

b

A

A

B

B

α o

C

C

c

Λ

sr


Λ−Λ+== sincos φθαα ofreestreamV

v

cos sin

cos cos cos cos

oc corda

v

V

α θ φα α

Λ Λ= = = + −

Λ Λ Λ Λ

tanestruturalα θ φ= − Λ

Ângulo de ataque efetivo

(a expressão acima obtivemos da condição de contorno a pequenasPerturbações – expressão para o downwash)

Entretanto, queremos o ângulo de ataque “percebido” pela seção típica.

Estrutural ouna direção dacorda...


2cosn

q q= Λ

tancos

on LL q cbC α

αθ φ

= + − Λ

Λ

Componente de velocidade normal ao eixo elástico da asa.

Sustentação da asa flexível

Note que esta sustentação é calculada com relação a seçãotípica, ou seja empregando o ângulo de ataque “estrutural”, maisA contribuição de um ângulo de ataque inicial αααα0

Portanto, para o cálculo da sustentação na asa assumindo a teoriaDas faixas, devemos calcular a sustentação em cada faixa empregando a pressão dinâmica equivalente.


Modelo estrutural simplificado

� Assumiu-se que as molas que restringem os movimentos de

corpo rígido da nossa asa enflechada são representadas pelas

molas K1 e K2, dispostas com uma excentricidade “f” e “d”,

respectivamente;

� Estas molas podem ser representadas por molas que restringem

os graus de liberdade em flexão na forma da derivada da

deformação ao longo da envergadura e no sentido vertical, e o

grau de liberdade em torção da asa.

( ) 2

1 1K f f K f Kθθ θ= =2

2K K dφ =

A mola K1 resiste ao a torção da asa gerando a forçaPor outro lado, promove um torque restaurador:

1K f θ

Analogamente:


Carregamento aerodinâmico

� O carregamento aerodinâmico para o nosso problema pode ser

aproximado por:

( )2

0tan

2 cos

bo

n l

bl s ds q cC

α

αθ φ

⋅ = + − Λ

Λ ∫

( )0

tancos

bo

n ll e ds q cC ebα

αθ φ

⋅ = + − Λ

Λ ∫

Onde:2 2 2 21 1

cos cos2 2

n nq V V qρ ρ= = Λ = Λ

Note que na realidade são momentos resultantes da distribuiçãodo carregamento aerodinâmico ao longo da envergadura b, nosentido deste e no sentido da corda.


Equilíbrio em flexão (φφφφ)

( )2

tan2 cos

b

o

on l

K l s ds

bK q cC

φ

φ α

φ

αφ θ φ

= ⋅ ⇒

= + − Λ

Λ

∫

Equilíbrio estático

( )

tancos

on l

K le dy

K q cC eb

θ

θ α

θ

αθ θ φ

= ⇒

= + − Λ

Λ

∫

Equilíbrio em flexão (θθθθ)Chegamos a umsistema de duas equações e duas incógnitas.

Momentos associados à flexão e torção


n lq cQ bCα

=tant = Λ

Equações para o equilíbrio estático supondo ângulo de ataque inicial

02 2 2

0 cos

o

b b bK

tQ

Kete

Q

e

φ

θ

φ φα

θ θ

− = + ⇒ Λ −

02 2 2

0 cos

o

b b bK

Ke e

tQ

Q

t e

φ

θ

φ α

θ

− ⇒ − = Λ −

“Parametrizando” o problema

Note que a matriz de rigidez estrutural é desacoplada, porém amatriz aeroelástica representará um acoplamento de naturezaaerodinâmica.


( ) ( )

Λ=

−

−

+

e

bQ

QeKQte

QbQtbK o

2cos

22α

θ

φ

θ

φ

[ ]

Λ=

e

bQK o

ij2

cos

α

θ

φou

Sistema aeroelástico

Resultando em :


Resposta aeroelástica

� Resolve-se o sistema de equações para obter φφφφ e θ θ θ θ :

( ) ( )( ) ( )

1

2 2 2cos

o

bQtb QbKQ

Qte K Qe e

φ

θ

φ α

θ

− + − = Λ −

0 1

2 cos tan

2

Qb

KbK Q e

K

φφ

θ

αφ

= Λ Λ

+ −

0 1

cos tan

2

Qb

K bK Q e

K

θθ

φ

αθ

= Λ Λ + −


( )22

2 betQQeK

QbtKK +−

+==∆ θφ

−+=∆ eK

btKQKK φθφθ

2

Estabilidade do sistema

Utilizamos o critério de estabilidade de Euler para estudar a estabilidade do sistema, chegando a uma equação parao parâmetro “Q” (não confundir “Q” com “q” de pressãodinâmica!)


2

btKeK

KKQD

θφ

φθ

−

=0=∆

2 tancos 1

2

LD

KSeC

qKb

e K

θ

α

θ

φ

= Λ

Λ −

n LQ q cbC α=

Condição de divergência

Ou agora, isolando a pressão dinâmica associada à velocidadede escoamento não perturbado temos:

O que acontecese ΛΛΛΛ for igual a zero?


Fazendo o denominador igual a zero:

02

tan1 =

Λ

− critical

K

K

e

b

φ

θ

≥Λ

=Λ

−

θ

φ

θ

φ

K

K

b

c

c

e

K

K

b

c

c

ecrit

2tan

2tan

1

Sem divergência:

Análise do enflechamento

Implica em umapressão dinâmicade divergênciainfinita.


Exemplo

6,5,4=c

b1.0=

ce

4.03.53.02.52.01.51.00.50.00

2

4

6

8

10

Critical sweep anglevs.

stiffness ratio

Kφ/Kθ

sw

eep

angle

for

div

erg

ence

suppre

ssio

n(d

eg

rees)

aspect ratiob/c=4

aspect ratiob/c=5

aspect ratiob/c=6

Se a razão entre asrigidezes em flexãoe torção for 3, temosΛΛΛΛcr= 5.71º. Ou seja

se asa for enflechadamais de 5.71o, nuncateremos divergência.

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