Dinâmica de Sistemas Caóticos Instituto Superior Técnico

J. Bárcia, M. Cunhal, R. Figueira

7 de Junho de 2007

Neste trabalho são estudados sistemas com um comportamento caótico. Foram analisados experimentalmente dois sistemas específicos, um circuito RLC não linear e um pêndulo forçado nos quais a condição de caos se atinge devido a sucessivas duplicações de período.

O estudo do primeiro sistema consistiu na observação de duplicações de período, janelas de estabilidade e caos assim como a determinação de valores para as constantes universais de Feigenbaum. No segundo sistema foram observadas duplicações de período e caos através de mapas de Poincaré e diagramas de espaço de fases traçados em tempo real. Ambos os sistemas foram alimentados por uma tensão sinusoidal que fazia variar os seus parâmetros. Foram também realizadas simulações computacionais dos sistemas em estudo ou equivalentes e as respectivas comparações com os dados obtidos.

I-Breve história do caos

Foi no início da década de 60 que se deram os primeiros passos na construção de uma teoria do caos, apesar desta se sustentar em importantes avanços matemáticos e físicos.

Ao tentar efectuar previsões meteorológicas, Edward Lorenz, descobre em 1961 o efeito borboleta. Numa longa série simulações computacionais apercebe-se de que iria necessitar de realizar novamente algumas delas. Ao invés de correr a simulação desde o início, decidiu atalhar inserindo dados intermédios que iriam originar um valor final supostamente igual ao anterior. Tal não aconteceu, devido a um ligeiro arredondamento nos valores por ele inseridos. Apesar de acidental, a descoberta de Lorenz não só provou a impossibilidade de fazer previsões meteorológicas a longo-prazo como abriu terreno para a criação de um ramo de investigação completamente novo.

Desde o extenso trabalho de Henri Poincaré, no início do século XX, que os matemáticos tinham conhecimento da não linearidade. As equações não lineares há muito que estão presentes no universo de cientistas e engenheiros.

Os pioneiros que se dedicaram ao estudo específico deste novo conceito de caos encontraram uma enorme resistência por parte dos seus colegas e superiores, como acontece geralmente a quem desafia a forma comum de percepcionar o universo. Por esta altura, não havia sequer sido formulada uma teoria coerente relativamente ao caos, quanto mais a aceitação desta como uma ciência.

Aquilo que Lorenz fez com a meteorologia, Robert May aprofundou com a ecologia. O seu trabalho, no início dos anos 70, ajudou a descobrir os conceitos de bifurcação e duplicação que iremos abordar adiante, ao desenvolver um modelo que pretendia calcular a variação da taxa de nascimento de insectos em função do alimento disponível. Após vários ciclos no qual ocorria duplicação

de período (o sistema demora o dobro do tempo a readquirir o seu estado inicial) o seu modelo tornava-se imprevisível, assim como o são, na realidade, as populações de insectos.

Outro dos maiores contribuidores para esta nova ciência foi Benoit Mandelbrot. Utilizando um computador caseiro, Mandelbrot foi o pioneiro da matemática dos fractais, um termo cunhado por si em 1975. Os seus fractais, mais do que explicar, permitiam descrever e observar a acção do caos. O princípio fulcral descoberto por Mandelbrot foi o de que muitas das formas aparentemente irregulares que constituem o mundo natural possuem uma base organizada, apesar de aparentarem uma forma caótica e irregular.

A descoberta que acabou por dar ao caos o estatuto e credibilidade que hoje merece foi liderada por Mitchell Feigenbaum. O seu trabalho, no final da década de 70, era tão revolucionário que vários dos seus manuscritos foram sucessivamente rejeitados para publicação. Ele havia encontrado ordem no caos - ao analisar o estado de turbulência, considerado caótico, encontrou universalidade. Desenvolveu inclusive um método para medir a turbulência e encontrou uma estrutura inerente aos sistemas não lineares. Feigenbaum mostrou que a duplicação de período é o modo normal da ordem originar caos e calculou constantes universais que representam a razão na escala dos pontos de transição do processo de duplicação. A estes valores foi dado o nome de constantes de Feigenbaum.

Em meados dos anos 70 o movimento que sustentava a validade desta teoria do caos já se encontrava bem desenvolvido e em 1977 decorre a primeira conferência internacional relativa a este assunto. Talvez a descoberta mais perturbadora que surge desta nova teoria é a de que existe ordem no caos.

Na realidade, a ordem nasce do caos.

II – Introdução Teórica

Laplace afirmou que “podemos considerar o estado presente do Universo como o efeito do seu passado e a causa do seu futuro. Se um intelecto, num determinado momento, conhecesse todas as forças que actuam na Natureza e a posição de todos os corpos que a constituem, e se além disso fosse suficientemente vasto para poder analisar toda essa informação, então conseguiria abarcar numa única fórmula o movimento dos maiores corpos do universo e os dos mais pequenos átomos; para esse intelecto, nada seria incerto, e tanto o futuro como o passado estariam perante si”. Iremos demonstrar ao longo deste trabalho o erro existente no raciocínio absolutamente determinista de Laplace.

Ao procurar no final do séc. XIX a resolução do problema dos 3 corpos, o qual consistia no estudo das equações do movimento dos mesmos sob o efeito dos campos gravíticos respectivos, Poincaré apercebeu-se das dificuldades existentes na determinação do movimento de um corpo de massa desprezável relativamente a outros dois. Reparou então na ausência de um movimento regular, ou seja, na existência de caos.

Apesar de Poincaré ter deduzido intuitivamente os intervenientes essenciais para que o caos se manifestasse, a matemática necessária para os estruturar correctamente surgiu apenas mais tarde. Já na década de 60 do século passado foi Lorenz quem acordou as adormecidas teorias propostas por Poincaré.

Não linearidade e recursividadePara que um sistema demonstre um

comportamento caótico são, então, necessárias duas condições: que o mesmo seja descrito por equações não lineares e que seja recursivo.

Considere-se um sistema simples com uma dinâmica discreta, isto é, que evolui por “saltos” entre valores pontuais. Um comportamento recursivo será aquele no qual o cálculo de cada ponto depende do valor do ponto anterior. Para calcularmos o estado do sistema ao fim de um determinado tempo é então necessário proceder a uma iteração ponto-a-ponto até ao instante desejado. A seguinte função tem um comportamento recursivo:

Como se percebe facilmente, o cálculo de

f x n está dependente de todos os valores

anteriores. Recorre aos valores anteriores, logo é recursivo.

Um sistema considera-se não linear, no contexto do nosso exemplo, quando a soma das suas imagens não equivale à imagem das suas somas. Isto acontece se o sistema não é descrito por uma função linear, a qual seria visualizada como uma recta num sistema de eixos ortonormados.

De modo a compreender a razão pela qual não se verifica a existência de caos em sistemas lineares iremos traçar iterações gráficas de duas funções sendo uma delas linear e a outra quadrática acompanhadas da recta identidade.

No caso do sistema descrito pela função linear, o primeiro valor é retirado da intersecção de uma recta vertical em x0 com a equação de evolução do sistema.

O valor em y do ponto zero é igual ao valor em x do ponto 1, ou seja, y0=x 1 . Graficamente, traça-se então

uma recta horizontal que intercepta a recta x=y, que corresponde a encontrar a posição no eixo dos xx do ponto 1 x1 . Traça-se então nova recta vertical que

irá interceptar a função de evolução do sistema, ou seja x 1.

Este processo é continuado até que seja

Imagem 1: Trajectória de um corpo infinitesimal sob influência de outros dois de grande massa

Imagem 2: Crescimento de uma função linear

Imagem 3: Crescimento de uma função não linear

f x 1=x0

f x2= f f x 0

f x3= f f f x 0

f xn= f f ... f x 0...

calculada a iteração desejada, tal como apresentado:

Como se verifica, o sistema descrito pela função linear tem uma evolução intrinsecamente previsível - dependendo do parâmetro que define o declive da recta e independentemente das condições iniciais o sistema terá uma evolução continuamente crescente (m>1), decrescente (m<1) ou estacionária (m=1).

No caso da função quadrática, já só em certos casos é possível prever o crescimento do sistema. Procedendo de forma análoga, o sistema poderá conduzir-nos até a uma situação de estabilidade periódica ou caos.

Dependência sensível das condições iniciaisA grande sensibilidade às condições sinais é

notória nestes sistemas e foi o primeiro indício da existência de regimes caóticos. Para tal, considerem-se dois sistemas descritos pela mesma função quadrática inicializados com condições iniciais muito próximas. Apesar de a início os sistemas evoluírem de forma semelhante, ao final de um determinado número de iterações estes seguem percursos totalmente distintos.

Período e bifurcaçãoAs evoluções tão distintas como as

anteriormente referidas só são visíveis para certas gamas de valores das funções que definem um sistema. Para os restantes valores este evolui para uma situação de estabilidade periódica, isto é, independentemente da condição inicial, o sistema atinge um determinado valor bem definido e constante. A esta situação dá-se o nome de período 1, sendo que o ponto de convergência desta iteração é denominado por atractor.

Aumentando ligeiramente o valor do parâmetro utilizado, descobrimos que eventualmente surgem dois pontos de convergência entre os quais a iteração vai alternando. A esta situação dá-se o nome de período 2. Deixa de existir um único ponto de convergência, mas um conjunto de dois pontos fixes, ou órbita, que constituem o atractor.

Ao aumentar o parâmetro em intervalos cada vez mais curtos podemos observar uma sequência infinita de duplicações de período até que se atinge uma situação de caos. Se considerarmos apenas as últimas iterações, as únicas rectas visíveis serão as que correspondem à órbita do atractor – o número de iterações necessárias para atingir a estabilidade denomina-se transiente.

Imagem 4: Iteração gráfica de um sistema linear(y=mx, m=1.2)

0.2 0.4 0.6 0.8 1Geraç ãon

0.2

0.4

0.6

0.8

1

çareGão

n+1

Imagem 5: Iteração gráfica de uma função não linear (y=-mx(x-1), x0=0.2 , m=4 )

0.2 0.4 0.6 0.8 1Geraç ãon

0.2

0.4

0.6

0.8

1

çareGão

n+1

Imagem 7: Período 1(y=-mx(x-1), x0=0.1 , x '0=0.8 , m=2 )

0.2 0.4 0.6 0.8 1Geraç ãon

0.2

0.4

0.6

0.8

1

çareGão

n+1

Imagem 8: Período 2(y=-mx(x-1), x0=0.1 , m=3 )

0.2 0.4 0.6 0.8 1Geraç ãon

0.2

0.4

0.6

0.8

1

çareGão

n+1

Imagem 6: Duas iteração gráficas com parâmetros iniciais ligeiramente diferentes (y=-mx(x-1), x0=0.1 , x '0=0.11 , m=4 )

0.2 0.4 0.6 0.8 1Geraç ãon

0.2

0.4

0.6

0.8

1

çareGão

n+1

Imagem 9: Período 4(y=-mx(x-1), x0=0.1 , m=3.5 )

0.2 0.4 0.6 0.8 1Geraç ãon

0.2

0.4

0.6

0.8

1

çareGão

n+1

Ao fenómeno de duplicação de período é dado o nome de bifurcação. Com o aumento do período, a gama de valores que lhe está associada vai sendo exponencialmente maior, de tal modo que entre os parâmetros 3.5 e 4 estão contidos uma infinidade de bifurcações. No limite deste intervalo, as duplicações de período são tais que o sistema deixa de ter qualquer tipo de atractor independentemente do número de iterações utilizado, isto é, trata-se de um regime caótico.

Para visualizar esta sequência de duplicações de período ou bifurcações, é comum traçar o seguinte mapa de bifurcações. Neste gráfico é bem visível a duplicação de período que o sistema sofre a partir do parâmetro 3 e novamente para 3.5.

Daí em diante, as duplicações são tais que o sistema entra num regime caótico, embora seja ainda possível observar janelas de estabilidade de período 3 dentro do caos.

Este diagrama não é mais do que a representação dos atractores do sistema para cada valor do parâmetro da função quadrática, os quais são obtidos procedendo a um elevado número de iterações em cada caso até encontrar situações de estabilidade ou então caos.

Os diagramas de estabilidade revelam o comportamento característico de cada sistema, pelo que uma função quadrática ou uma exponencial terão evoluções perfeitamente distintas.

Constantes de FeigenbaumCaso conseguíssemos fazer aproximações

sucessivas ao mapa de bifurcações apresentado iríamos verificar que cada sequência de bifurcações origina outra semelhante e assim sucessivamente, num efeito de fractal.

Esta relação foi descoberta por Feigenbaum que se apercebeu que existe uma relação quantificável entre as distâncias a que cada bifurcação se encontra da seguinte (δ), assim como a amplitude de cada período em relação ao seguinte (α). Isto pode ser calculado como

Estes valores são δ≈4,669201609102991 e α≈2,502907875095893.

Diagramas de espaço de fases e mapas de PoincaréPara facilitar a análise de sistemas regidos por

equações diferenciais Poincaré criou dois tipos de diagrama.

O primeiro, apelidado de diagrama de espaço de fases, recorre a referenciais onde a cada par de eixos corresponde um grau de liberdade. Deste modo, visualizou um espaço multidimensional onde cada ponto corresponde à posição e momento de cada partícula do sistema.

Imagem 10: Caos(y=-mx(x-1), x0=0.1 , m=4 )

0.2 0.4 0.6 0.8 1Geraç ãon

0.2

0.4

0.6

0.8

1

çareGão

n+1

Imagem 13: Diagrama de bifurcações de uma função exponencial ( y=e−7 x− 12b ), 1000 passos por divisão, 1000 divisões, transiente 500 e 0<b<1;

Imagem 11: Diagrama de bifurcações1000 passos por divisão, 1000 divisões, transiente 500, (y=-mx(x-1), e 0<m<4;

Imagem 12: Janela de ordem5000 passos por divisão, 1000 divisões, transiente 500, (y=-mx(x-1), e 3.8<a<3.9;

δn=x n

x n1

αn=yn

yn1

Para 1 grau de liberdade recorremos ao exemplo do pêndulo sem atrito.

A verde – o pêndulo é largado com velocidade angular nula. Aumenta a sua velocidade até atingir o máximo em θ=0 e continua o seu movimento até atingir a altura máxima com velocidade angular novamente nula.

A vermelho – o pêndulo é projectado com velocidade angular suficiente para dar a volta completa e continuar o seu movimento. Neste caso a velocidade angular nunca e nula.

A azul – o pêndulo é largado do topo ou exactamente com a força necessária para atingir o topo com velocidade angular nula. Temos portanto um regime de fronteira.

Ao traçar-se um diagrama de fases ao longo de um intervalo de tempo maior que o período, o movimento do pêndulo irá traçar sempre a mesma figura no diagrama sobrepondo-se continuamente. Isto é, assume periodicamente os mesmos valores de posição e momento, logo tem movimento periódico.

No entanto, Poincaré descobriu mais tarde que para provar a periodicidade de uma determinada órbita não era necessário observar o diagrama de espaço de fases nas sua totalidade. É possível fazê-lo seccionando o diagrama da seguinte maneira

Observamos que cada órbita traça um único ponto vermelho. Caso a zona de intersecção do diagrama de espaço de fases com a recta de intersecção seja repetidamente o mesmo, o movimento é periódico. No caso de um espaço de fases tridimensional não seria uma recta de intersecção, mas um plano.

III – Análise Experimental III.a) Circuito RLD

A primeira parte deste trabalho consistiu no estudo de um circuito RLC forçado e não linear alimentado por uma tensão sinusoidal

V t =A0sin wtV off , onde V t é o sinal de

entrada, A0 a amplitude máxima, w a frequência

angular e V off a tensão contínua.

A não linearidade e recursividade deste sistema são introduzidas com a substituição do condensador comum por um díodo cuja capacidade é variável e depende da tensão aos seus terminais, pelo que o circuito é na realidade um RLD. Fazendo variar a amplitude, frequência e a componente contínua do sinal que alimenta o circuito verifica-se a variação da tensão aos terminais do díodo. A componente contínua (tensão de offset) é regulada por um potenciómetro e introduzida através de um circuito somador. O estudo deste sistema recai então sobre a influência da variação da componente contínua aplicada ao sistema sobre a tensão aos terminais do díodo.

Assim, regulou-se o gerador para uma frequência próxima de 1 MHz e fez-se variar a tensão contínua introduzida no circuito. Obteve-se uma sequência de situações de estabilidade periódica do 1 ao 8. Após o período 8 já só foi possível encontrar situações de caos e continuando a aumentar a tensão introduzida pelo potenciómetro, percorreram-se novamente as situações de estabilidade periódica em sentido inverso, isto é, 8, 4, 2 e 1.

Para obter um diagrama de bifurcações no osciloscópio, foi então necessário substituir a regulação manual do potenciómetro por uma onda triangular com frequência de cerca de 50 Hz. Com base neste diagrama mediram-se as “distâncias” que separavam dois momentos de bifurcação distintos, bem como, a altura em volts que separava cada um dos ramos das várias bifurcações para mais tarde calcular as constantes de Feigenbaum.

Imagem 14: Esquema e diagrama de espaço de fases de um pêndulo sem atrito

Imagem 15: Secção do espaço de fases - mapa de Poincaré

Imagem 16: Mapa de Poincaré para um espaço de fases tridimensional

Dados ExperimentaisAtravés de um osciloscópio digital foi possível

recolher os pontos que constituem os sinais da tensão de entrada do circuito e da tensão aos terminais do díodo. Apresentam-se aqui algumas das imagens recolhidas com o osciloscópio digital e resumem-se as medições na tabela 1 do anexo 1.

No caso anterior, por exemplo, a visualização dos quatro períodos torna-se um pouco mais complicada. Recorrendo ao mapa de Poincaré, a identificação torna-se imediata.

Já com base no diagrama de bifurcações obtido através do osciloscópio analógico, procederam-se às medições necessárias para determinar as constantes de Feigenbaum, embora só tenha sido possível visualizar as duas primeiras ordens de bifurcação e o caos.

Simulação Numérica Uma vez que não foi possível recolher tantos dados como seria desejável da análise experimental do circuito, optou-se por criar uma simulação numérica do mesmo definida pelas seguintes relações em que a capacidade variável é dada por

C=C 0

1V

Onde C é a capacidade do díodo, C 0 a capacidade a tensão nula, φ a barreira de potencial (built-in potential) e γ o declive (slope). Posto isto, a relação da tensão aos terminais do díodo e as restantes componentes do circuito são determinadas pela equação

2V

t2 Vt

2VC ' 'LC '

VC 'CVt

RL

VL VC 'C

=ε t

LVC 'C

Onde L é a indutância da bobine e R a resistência.

Foi, então, necessário implementar um método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolução numérica da equação diferencial do circuito. Uma vez que não eram conhecidas em profundidade as características de cada componente do circuito, optou-se por fazer uma simulação que evidenciasse os aspectos qualitativos em comum em detrimento dos quantitativos. Assim, correram-se um conjunto de simulações das quais é dado um exemplo, tendo-se obtido situações de período de 1 a 16 e, evidentemente, caos.

Imagem 19: Mapa de Poincaré - período 4

Imagem 17: Sinais do circuito RLD - Período 2

Imagem 18: Sinais do circuito RLD - Período 4

Imagem 20: Diagrama de bifurcações para o circuito RLC

Imagem 21: Tensão do díodo no osciloscópio simulado

Embora fosse esse o objectivo inicial, revelou-se extremamente complicado gerar o diagrama de bifurcações desta simulação - o cálculo dos pontos do mesmo é extremamente exigente do ponto de vista computacional, dado que implica resolver numericamente a equação diferencial para cada valor da tensão do potenciómetro no intervalo admitido. No entanto, foi ainda assim possível determinar os valores da tensão do potenciómetro para os quais existiam duplicações do período, fazendo uma série de simulações em que se variou este parâmetro progressivamente.

Determinação de б e α Com base nos valores recolhidos tanto do aparato experimental como da simulação numérica, procedeu-se ao cálculo das constantes de Feigenbaum de diversas formas. As medições feitas no diagrama de bifurcações do osciloscópio devolveram os seguintes valores: б=1,16762+-0.01108 e α=1,76667+- 0,17

Já a partir da simulação numérica e uma vez que não foi possível traçar o diagrama de bifurcações desta, consideraram-se apenas os valores limites da tensão do potenciómetro entre transições de período para o cálculo da constante, tendo-se obtido б=4,5714

III.b) Pêndulo Forçado Foi ainda realizado o estudo de um outro sistema

dinâmico não linear, um pêndulo forçado. Recorreu-se a um pêndulo acoplado a um sistema magnético que lhe confere uma força periódica cuja amplitude e frequência são variáveis através de um gerador de sinais dedicado. O sistema possuía ainda um parafuso através do qual era possível regular o atrito. A posição do pêndulo era transmitida a um computador, no qual se geraram em tempo real diagramas de espaço de fase e mapas de Poincaré.

O movimento do pêndulo, dependente também do momento de inércia, pode ser descrito pela seguinte equação:

Id 2θ

dt 2 μdθdt

mgr sinθ =A sinωext

Onde I é o momento de inércia, μ a constante de atrito cinético, m a massa da esfera, g a aceleração gravítica, r o comprimento do fio, A a amplitude do sinal aplicado eext a sua frequência.

No caso de se tratar de um pêndulo comum, desprezando os efeitos do atrito, não existiria comportamento caótico, seria um movimento simples com período um. Ao aplicar a referida força sinusoidal no pêndulo é possível verificar que se trata de um sistema não linear no qual se constatam os fenómenos de duplicação de período e caos.

Dados Experimentais O principal objectivo desta parte do trabalho era

observar a duplicação de períodos. Para tal aplicou-se uma frequência de oscilação próxima da frequência própria de vibração de um pêndulo livre dada por:

r= gr

Podemos assumir esta relação uma vez que as contribuições do atrito e da força imposta não são muito relevantes para a frequência de vibração. O valor

utilizado foi f r=r

2≈66 Hz

A frequência utilizada foi, regra geral, próxima deste mesmo valor. Deste modo, fazendo variar a amplitude, foi possível observar tanto pelo diagrama de espaço de fases como pelo mapa de Poincaré a existência de períodos.

São apresentados de seguida os diagramas de espaço de fases e respectivos mapas de Poincaré.

Imagem 23: Pêndulo forçado – Diagrama de espaço de fases para período 1

Imagem 24: Pêndulo forçado – Diagrama de espaço de fases para período 2

Imagem 22:Simulação RLC – Diagrama de espaço de fases de período 4

Apesar de aparentar ser uma janela de estabilidade de período 3, o seguinte diagrama representa um período 4. Esta ilusão deve-se ao facto do sistema apresentar dois picos praticamente coincidentes.

A título de exemplo incluímos o mapa de Poincaré para o período 4. É possível verificarmos a concentração de pontos em quatro zonas diferentes, apesar de existir uma dispersão considerável.

IV – Método alternativo de determinação das constantes de Feigenbaum

Uma vez que tinha sido preparado um algoritmo computacional para traçar os diagramas de bifurcação da função exponencial apresentados no início deste artigo, recorreu­se  a   este   para   determinar   mais   uma   vez   as constantes de Feigenbaum, corroborando novamente a 

sua   universalidade   para   todos   os   fenómenos   que apresentem comportamento caótico. Assim, geraram­se duas imagens distintas de elevada resolução, sendo que a segunda é uma ampliação da primeira, nas quais se mediu a distância em pixeis no eixo dos xx entre as várias   bifurcações.   De   forma   análoga,   mediram­se também   as   distâncias   entre   os   ramos   de   cada bifurcação   e   calcularam­se   os   valores   médios   das mesmas, recorrendo às usuais fórmulas de erro.

Os valores recolhidos encontram­se nas tabelas seguintes

zona pixel δ

1ª im

agem 1ª bifurcação 539 ± 1

2ª bifurcação 850 ± 1

3ª bifurcação 942 ± 1

3,38 ± 0,10

2ª im

agem

4ª bifurcação 853 ± 1

5ª bifurcação 2003 ± 1

6ª bifurcação 2258 ± 1

4,51 ± 0,04

5ª bifurcação 2003 ± 1

6ª bifurcação 2258 ± 1

7ª bifurcação 2314 ± 1

4,55 ± 0,20

Tabela 1: Cálculo do δ de Feigenbaum a partir do diagrama de bifurcação de uma função exponencial

(*) pixel pixel pixel α

1ª im

agem

2ª843 ± 1

1085 ± 1242 ± 1 242 ± 1

3ª

807 ± 1

853 ± 146 ± 1

1037 ± 1

1136 ± 199 ± 1

72,5 ± 1

4ª

1148 ± 1

1131 ± 117 ± 1

1056 ± 1

1016 ± 140 ± 1

860 ± 1

840 ± 120 ± 1

806 ± 1

798 ± 18 ± 1

21,3 ± 2

3,31 ± 0,23

*bifurcações

Tabela 2: Cálculo do α de Feigenbaum a partir do diagrama de bifurcação de uma função exponencial – primeira imagem

Imagem 25: Pêndulo forçado – Diagrama de espaço de fases para período 4

Imagem 27: Pêndulo forçado – Diagrama de espaço de fases para caos

Imagem 26: Pêndulo forçado - Mapa de poincaré para período 4

(*) pixel pixel pixel α2ª

imag

em

3ª

2001 ± 1

1509 ± 1492 ± 1

581 ± 1

358 ± 1223 ± 1

357,5 ± 1

4ª

2067 ± 1

1976 ± 191 ± 1

1605 ± 1

1402 ± 1203 ± 1

619 ± 1

522 ± 197 ± 1

352 ± 1

314 ± 138 ± 1

107,3 ± 2

5ª

2073 ± 1

2059 ± 114 ± 1

1998 ± 1

1961 ± 137 ± 1

1645 ± 1

1564 ± 181 ± 1

1416 ± 1

1380 ± 136 ± 1

627 ± 1

609 ± 118 ± 1

538 ± 1

499 ± 139 ± 1

355 ± 1

338 ± 117 ± 1

311 ± 1

304 ± 17 ± 1

31,1 ± 4

3,29 ± 0,30

*bifurcações

Tabela 3: Cálculo do α de Feigenbaum a partir do diagrama de bifurcação de uma função exponencial – segunda imagem

V – Conclusões

Após a realização da componente experimental do   trabalho  e  da   computacional,   e   embora  nenhuma destas   tenha   por   si   só   permitido   analisar   todas   as vertentes dos sistemas caóticos, o conjunto das mesmas permitiu­nos   obter   um   entendimento   bastante fundamentado da maioria dos fenómenos associados aos sistemas   caóticos:   duplicação  de   período,   janelas   de estabilidade, constantes de Feigenbaum e a sensibilidade às condições iniciais.

O circuito RLC utilizado peca pela instabilidade dos   seus   componentes  o   que   impede   a   repetição   de experiências nas mesmas condições. Essa instabilidade fica a dever­se em grande medida à bobine utilizada, a qual   não   mantém   a   sua   indutância   ao   longo   do procedimento. 

Já no caso do pêndulo forçado e amortecido, o aparato   experimental   disponível   só   permite   uma abordagem mais qualitativa do estudo do mesmo, uma vez que não é possível fazer variar de forma controlada cada um dos parâmetros que o definem.

A   abordagem   computacional   revela­se   uma necessidade   para   colmatar   os   aspectos   que   ficam menos evidentes no trabalho laboratorial. 

Tabela 4: Comparação dos valores obtidos para δ

Tabela 5: Comparação dos valores obtidos para α

De um  ponto   de   vista   quantitativo,   todas   as constantes   calculadas   encontram­se   nas   ordens   de grandeza   esperadas,   apesar   de   nem   sempre   s encontrarem muito próximas dos valores tabelados. A já referida instabilidade do aparato, a falta de precisão na regulação dos parâmetros de controlo dos sistemas caóticos   analisados   e,   finalmente,   a   dificuldade  de leitura das variáveis em estudo, contribuem para que seja   muito   difícil   analisar   os   fenómenos   de   maior ordem. 

Fontes e bibliografia“Guia Laboratorial”, Sérgio Ramos e Paula Bordalo“Universal behaviour in non linear systems”, Mitchell J. Feigenbaum, Los Alamos Science summer 1980http://www.wolframscience.com/reference/notes/971chttp://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/

δ Desvio exactidão (%)Experimental - RLC 1,168 ± 0,012 74,993Simulado - RLC 4,571 ± 0,014 2,094Simulado - Exponencial 1 3,380 ± 0,095 27,601Simulado - Exponencial 2.1 4,510 ± 0,043 3,414Simulado - Exponencial 2.2 4,554 ± 0,198 2,476Teorico 4,669202

α Desvio exactidão (%)

Experimental - RLC 1,767 ± 0,197 29,415

Simulado - Exponencial 1 3,307 ± 0,233 32,139

Simulado - Exponencial 2 3,287 ± 0,299 31,341