Dinmica dos corpos rgidosCaptulo 6 deDinmica e Sistemas Dinmicos

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Corrida de motos.

Para conseguir dar uma curva com uma bicicleta ou uma moto, necessrio que exista suficiente atrito entre os pneus e a estrada, porque a fora de atrito dever ser igual massa vezes a acelerao centrpeta. Como a fora de atrito atua na superfcie dos pneus, se o condutor no se inclinasse, a lei da inrcia implicava que a sua tendncia fosse continuar numa trajetria retilnea, contrariando a trajetria circular da superfcie dos pneus produzindo desequilbrio. Nas corridas de motos, as velocidades elevadas implicam ngulos de inclinao maiores; para conseguir inclinar mais a moto, o condutor vira inicialmente o volante no sentido oposto ao sentido em que vai tomar a curva e sai para o lado em que a moto se inclina para contrariar a tendencia da moto cair para o lado oposto.

ndice[esconder] 6.1. Vetores deslizantes 6.2. Adio de foras 6.3. Momentos e binrios 6.4. Corpos rgidos em equilbrio Exemplo 6.1 6.5. Centro de massa Exemplo 6.2 6.6. Movimento geral do corpo rgido 6.6.1 Rotao com eixo fixo Exemplo 6.3 6.6.2 Translao sem rotao Exemplo 6.4 6.7. Perguntas 6.8. Problemas Respostas

6.1. Vetores deslizantesOs vetores introduzidos no captulo 2 so vetores livres, que so considerados iguais se tiverem o mesmo mdulo, direo e sentido, independentemente do ponto do espao onde se encontrem. No caso das foras, no basta saber o mdulo, direo e sentido. Por exemplo, quando se aplica uma fora numa porta para fech-la, para alm do mdulo, direo e sentido da fora, ser tambm importante o ponto em que essa fora for aplicada. Quanto mais longe das dobradias for aplicada a fora, mais fcil ser fechar a porta; a fora necessria para fechar a porta ser muito elevada se for aplicada num ponto muito prximo de uma das dobradias.

Foras com o mesmo mdulo, direo e sentido.Assim sendo, as foras so realmentevetores deslizantes, que produzem o mesmo efeito quando aplicadas em qualquer ponto na sualinha de ao(a linha reta que passa pelo ponto onde a fora aplicada, seguindo a direo da fora) mas produzem efeitos diferentes quando aplicadas em diferentes linhas paralelas. No exemplo apresentado na figura, as trs forasF1,F2eF3tm o mesmo mdulo, direo e sentido;F1eF2so iguais, por terem tambm a mesma linha de ao, mas so diferentes deF3que atua noutra linha de ao diferente.Contudo, no captulo 4 sempre que foi necessrio somar foras admitiu-se que podiam ser deslocadas livremente e somadas como vetores livres. Nas prximas sees mostra-se que essa soma de foras como se fossem vetores livres no est errada, sempre e quando seja adicionado tambm o efeito de rotao introduzido quando se desloca uma fora para outro ponto. No movimento de translao sem rotao, tambm importante considerar os efeitos de rotao das vrias foras e conferir que se anulam entre sim, para que o movimento seja realmente sem rotao.

6.2. Adio de forasDuas forasF1eF2com a mesma linha de ao podem ser deslocadas para um ponto comum e somadas nesse ponto. A fora resultante estar na mesma linha de ao e ter mdulo (F1+F2), se o sentido das foras for o mesmo, ou|F1F2|, caso contrrio.Duas foras sero concorrentes se as suas linhas de ao forem diferentes, mas com um ponto comum, R, como no exemplo da figura . Nesse caso, as foras podem ser deslocadas e somadas nesse ponto comum com a regra do paralelogramo; a linha de ao da fora resultante ser a reta que passa por esse ponto comum, na direo da diagonal do paralelogramo.Forcas_concorrentes.Adio de foras concorrentes.

Quando as duas linhas de ao de duas foras so paralelas, como o caso na figura , podem ser somadas usando o procedimento, ilustrado no lado direito da figura: desloca-se a foraF2na sua linha de aoL2at o ponto R de interseo deL2com o plano perpendicular s linhas de ao, que passa pelo ponto P. Nos pontos P e R adicionam-se duas forasF3eF3, com a mesma linha de ao, sem produzir nenhuma alterao j que a soma dessas duas foras nula. No ponto P somam-se as forasF1eF3e substituem-se pela resultanteF4e no ponto R somam-se as forasF2eF3e substituem-se pela resultanteF5. As forasF4eF5sero concorrentes, podendo ser somadas no ponto comum das suas linhas de ao, S, obtendo-se a fora resultanteF6no ponto S.Foras paralelas.Adio de foras paralelas.

Observe-se que a fora resultante das duas foras paralelas tambm na mesma direo das foras originais e o seu mdulo igual soma dos mdulos das foras originais (F6=F1+F2), se os sentidos das foras for o mesmo, como na figura , ou igual diferena entre os mdulos (F6=|F1F2|), caso os sentidos sejam opostos.Para calcular as distnciasb1eb2, entre as linhas de ao das foras originais e a linha de aoL6da fora resultante, observa-se na figura que a alturahdos dois tringulos com basesb1eb2verifica,h=b1tan=b1F1F3h=b2tan=b2F2F3e, como tal,F1b1=F2b2(1)Esta a equao fundamental das alavancas e o procedimento usado aqui para obt-la foi introduzido por Newton no seu livro. As distnciasb1eb2chamam-sebraosdas forasF1eF2. Para equilibrar as foras paralelasF1eF2, seria preciso aplicar uma fora oposta, de mduloF1+F2, na linha de ao em que os dois braosb1eb2verifiquem a regra das alavancas (1).6.3. Momentos e binriosA regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito demomento. Define-se o valor do momento de uma fora em relao a um ponto O, como o produto do mdulo da fora pela distncia desde o ponto O at a linha de ao da fora (braob),MO=FbO momentoMOrepresenta o efeito de rotao produzido pela fora, se o ponto O do corpo rgido estivesse fixo, podendo o corpo rodar volta desse ponto. Quanto mais afastada estiver a linha de ao da fora em relao ao ponto fixo O, maior ser o efeito rotativo produzido pela fora. Isso explica porqu mais fcil fechar a porta quanto mais longe das dobradias for aplicada a fora; a distncia entre a linha de ao da fora e a linha das dobradias o brao e quanto maior for, maior ser o momento da fora aplicada.

Momento de uma fora.Sendoro vetor posio do ponto P em que a foraF aplicada, em relao origem O, o brao da fora em relao origem O igual arsin, em que o ngulo o ngulo entre os vetoresreF(figura ). Conclui-se que valor do momento da fora em relao ao ponto O igual a,MO=Frsin(2)Repare-se que (Fsin) a componente da fora na direo perpendicular ao vetor posior, ou seja, o valor do momento da fora tambm igual ao produto da distncia desde o ponto de aplicao at a origem,r, pela componente perpendicular da fora. O momento produzido pela fora devido unicamente componente perpendicular da fora.A equao (2) mostra que o momento da fora igual ao mdulo do produto vetorial entre o vetor posio e a fora e mostra a convenincia de definir o momento em forma vetorial:MO=rFO vetorMOrepresenta um efeito de rotao num plano perpendicular a ele. Na figura o momento um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotao que segue a regra da mo direita em relao ao sentido do vetorMO.

Binrio.Umbinrio um conjunto de duas forasFeF, iguais e opostas, com linhas de ao paralelas, como mostra a figura . O binrio no produz nenhuma translao em nenhum sentido, mas apenas rotao. O momento total, em relao origem O, a soma dos momentos das duas foras,rQFrPF=(rQrP)FOs dois vetores de posio dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferena o vetorrPQna figura, que no depende do ponto onde estiver a origem.Isso quer dizer que o binrio produz um momento que no depende de nenhum ponto de referncia,M=rPQF

Na figura seguinte o momento do binrio um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horrio.

Procedimento para deslocar uma fora de um ponto P para outro ponto Q.Uma foraFaplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ao, usando o procedimento ilustrado na figura . Adicionam-se duas forasFeFnos pontos P e Q e, para no alterar nada, adiciona-se tambm um binrioMcom o mesmo mdulo do binrio das foras introduzidas, mas no sentido oposto. No caso da figura ,Mdeve ser no sentido horrio e com mdulo igual ao produto deFpela distncia desde Q at a linha de ao da fora original; ou, em forma vetorial,M=rQPF. No ponto P h duas foras iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a foraFno ponto Q e o binrioM=rQPFque igual ao momentoMQque a fora original, em P, produz em relao ao ponto Q.Conclui-se que para somar um conjunto de foras num ponto Q, somam-se os momentos das foras em relao a esse ponto, dando um binrio resultante, e somam-se as foras como vetores livres. O resultado a fora resultante no ponto Q e o binrio resultante.Quando as direes de todas as foras estiverem num mesmo plano, ser conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemploxeye a origem no ponto onde vo ser somadas as foras. Assim sendo, o momento de cada foraFem relao origem introduz um binrio que tem unicamente componente segundoz, dada pelo determinante,Mz=xFxyFyem quexeyso as coordenadas do ponto onde est a ser aplicada a foraF. Para obter o binrio resultante bastar somar os valores deMzobtidos para cada fora.

6.4. Corpos rgidos em equilbrioSe todas as foras externas aplicadas num corpo rgido, somadas num ponto qualquer, produzem fora resultante e binrio resultante nulos, conclui-se que a fora resultante e o binrio resultante tambm sero nulos em qualquer outro ponto. A justificao que, como a fora resultante obtida somando as foras como vetores livres, ser igual em qualquer ponto; o binrio resultante sim diferente quando a fora resultante colocada em diferentes pontos e a diferena entre o binrio em dois pontos diferentes ser igual ao momento introduzido quando a fora resultante for deslocada entre esses pontos. Mas no caso em que a fora resultante nula, esse deslocamento par diferentes pontos no produz nenhum binrio adicional e o binrio devera ser igual, e nulo, em todos os pontos.Quando a fora resultante e o binrio resultante so nulos, diz-se que o corpo rgido est em equilbrio. Equilbrio esse que pode ser esttico ---objeto em repouso--- ou cintico ---objeto com movimento linear uniforme. Assim sendo, as condies para que um corpo rgido esteja em equilbrio a soma das foras seja nula e que a soma dos momentos das foras, em relao a um ponto qualquer, seja nula.Exemplo 6.1O automvel na figura desloca-se com velocidade constante de 120 km/h numa estrada perfeitamente horizontal. Sabendo que o peso total do automvel 9000 N, determine a fora de reao normal em cada pneu.

Resoluo. Por ter movimento retilneo e uniforme, o automvel est em equilbrio. Na figura, o vetorR1representa a soma das duas reaes nos pneus da frente eR2a soma das reaes normais dos pneus de atrs. As foras horizontais, que so a resistncia do ar e o atrito da estrada nos pneus, no podem ser calculadas neste problema. O nico que possvel afirmar a respeito que essas duas foras so iguais e opostas e o atrito esttico e contraria a resistncia do ar. Por enquanto, admite-se que essas duas foras so desprezveis em comparao com o peso e no fim ser discutida a influncia dessas foras no resultado obtido. A condio para que a soma das foras verticais seja nula :R1+R2=9000

Para encontrar o valor dessas duas variveis ser necessrio considerar tambm a condio de que o binrio resultante dever ser nulo. Por existir equilbrio, qualquer ponto pode ser usado como referncia para calcular os momentos; conveniente escolher o ponto onde h mais foras aplicadas, j que o momento dessas foras em relao ao ponto de referncia ser nulo. Neste caso escolhe-se um dos pontos de contato dos pneus com a estrada, ou o centro de gravidade (CG). Usando como referncia o ponto de aplicao deR1, a soma dos momentos :1.6R20.49000=0R2=2250NA seguir podia substituir-se esse valor na condio para a soma das foras verticais, mas tambm possvel calcular novamente soma de momentos, em relao ao ponto de aplicao deR2,1.290001.6R1=0R1=6750NAdmitindo que o centro de gravidade esteja a igual distncia dos lados direito e esquerdo do automvel, se este for simtrico, as reaes nos dois pneus da frente sero iguais e, portanto, a reao em cada pneu ser3375N. Nos pneus de atrs as reaes tambm sero iguais, cada uma com mdulo1125N.As foras de atrito e da resistncia do ar constituem um binrio; como a linha de ao das foras de atrito com a estrada est por debaixo da linha de ao da resistncia do ar, esse binrio faz rodar o automvel no sentido horrio, aumentando as reaes normais nos pneus de atrs e diminuindo as reaes normais nos pneus da frente. Para calcular o momento da fora de resistncia do ar, seria preciso conhecer o coeficiente aerodinmicoCDdo automvel, a velocidade do vento e o ponto de aplicao da resultante dessa fora, que est distribuda em toda a superfcie do automvel.6.5. Centro de massaUm corpo rgido uma distribuo contnua de massa num volume. Se a massa total do corpo form, edmfor a massa infinitesimal que existe em cada ponto do corpo,m=dm(3)em que o integral de volume, dentro do volume ocupado pelo slido, j quedm o produto da massa volmicapelo volume infinitesimaldxdydz.Define-se o vetor posio docentro de massa,rcm, igual mdia, pesada pela massa, do vetor posio no slido:rcm=rdmm(4)Exemplo 6.2Encontre a posio do centro de massa do slido homogneo representado na figura.

Resoluo. O volume do slido delimitado pelos 5 planosx=0,y=0,y=a,z=0ez=c(1x/b).A rea infinitesimaldm igual carga volmicavezes o volume infinitesimal em coordenas cartesianas,dxdydz. Comea-se por calcular a massa total a partir da equao (3):m=a0b0c(1x/b)0dzdxdyComo o corpo homogneo, constante. No Maxima, os trs integrais pode ser calculado em forma sequencial;prepresentar a massa volmica(%i1) integrate (p, z, 0, c*(1 - x/b))$(%i2) integrate (%, x, 0, b)$(%i3) m: integrate (%, y, 0, a); a b c p(%o3) ------- 2Embora os resultados intermdios no tenham sido apresentados, esto armazenados nas variveis%o1e%o2.Para calcularrdm, repete-se o mesmo integral de volume, mudando o integrando de, para (r)(%i4) r: [x, y, z]$(%i5) integrate (p*r, z, 0, c*(1 - x/b))$(%i6) integrate (%, x, 0, b)$(%i7) rcm: integrate (%,y,0,a)/m; b a c(%o7) [-, -, -] 3 2 3Conclui-se que o vector posio do centro de massa \quadrcm=b3ex+a2ey+c3ez.Em todo corpo rgido existe sempre um nico ponto que o centro de massa. Se a origem for escolhida exatamente no centro de massa, o valor dercmser nulo e a equao (4) d,rdm=0(5)O integral em (5) ser nulo unicamente se a origem estiver no centro de massa. Em qualquer outro ponto o resultado seria um vetor no nulo. Este resultado ser muito importante mais para a frente.Derivando os dois lados da equao (4) obtm-se a expresso da o velocidade do centro de massa,vcm=vdmm(6)Isto , a velocidade do centro de massa a mdia das velocidades de todos os pontos do corpo, pesada pela massa do ponto.Derivando a equao (6), obtm-se a acelerao do centro de massa,acm=admm(7)que a mdia, pesada pela massa, das aceleraes de todos os pontos no slido.Se o referencial em que medida a aceleraoade cada ponto for um referencial inercial, o produtoadmser igual fora resultantedfque atua sobre a massadm:df=adm(8)Repare-se que sempre que exista acelerao, dever existir uma fora infinitesimaldfaplicada em cada ponto do slido, para conseguir acompanhar o movimento do corpo, permanecendo rgido. Na maioria dos pontos essa fora devida unicamente s foras internas de contato entre as partes do corpo, foras essas que so desencadeadas em todo o corpo pela ao denforas externasF1,F2,,Fnque atuam emnpontos do corpo rgido. Nos pontos 1, 2,,n, a forafinclui as foras de contato mais a fora externa em cada ponto. A diferencialdf a variao da fora em todos os pontos do volume do corpo.Substituindo a expresso (8) na equao (7), conclui-se que,df=macm(9)Na soma das foras em todos os pontos do corpo, por cada fora interna de contato que existir num ponto, existir outra fora igual mas de sentido oposto em outro ponto vizinho, devido lei de ao e reao. Assim sendo, no integraldftodas as foras internas de contato sero eliminadas, ficando unicamente a soma das foras externas,F1,F2,,Fn, que igual fora resultante sobre o corpo rgido. Como tal, a equao (9) equivalente a,i=1nFi=macmEste resultado importante a lei do movimento de translao do corpo rgido:O movimento do centro de massa de qualquer corpo rgido com massam igual ao movimento que teria uma partcula pontual com massame fora resultante igual soma de todas as foras externas aplicadas sobre o corpo rgido.Lembre-se que a soma das foras feita como se fossem vetores livres. Se a fora resultante for nula, o centro de massa estar ou em repouso ou em estado de movimento retilneo uniforme, mas outros pontos no corpo rgido podero ter movimentos mais complicados.O peso um exemplo de fora externa aplicada em todos os pontos do corpo rgido. A equao (9) nesse caso d,gdm=macmSe a acelerao da gravidadegfor igual em todos os pontos do corpo, o integral no lado esquerdo ser igual amge conclui-se que a acelerao do centro de massa igual acelerao da gravidade e que ocentro de gravidade---ponto de aplicao da fora resultante do peso de todas as partes do corpo--- coincide com o centro de massa. Existem casos em quegno constante em todo o corpo, mas geralmente isso no acontece, sendo possvel assumir que o peso total do objeto a foramgaplicada no centro de massa.Considere-se, por exemplo, uma lmina triangular. Pendurando-a por um dos vrtices, comear a oscilar at parar numa posio em que o centro de gravidade esteja no mesmo segmento de reta vertical que passa pelo vrtice; se esse segmento for traada no tringulo e o procedimento for repetido para os outros dois vrtices, o ponto onde se cruzam os trs segmentos ser o centro de gravidade e centro de massa. Se a massa volmica do tringulo for igual em todos os pontos, cada uma dos segmento verticais ser a mediana que divide o tringulo em duas partes com a mesma rea e, portanto, com o mesmo peso. Nos slidos com formas simtricas e massa volmica constante, o centro de massa encontra-se no centro geomtrico. A figura seguinte mostra trs exemplos.

Centros de massa de 3 objetos com massa volmica constante: esfera, cilindro e paraleleppedo.6.6. Movimento geral do corpo rgidoA dinmica do corpo rgido consiste no estudo dos efeitos das foras e binrios externos na variao dos seus seis graus de liberdade. A trajetria de um ponto qualquer no corpo, usado como referncia, d informao sobre a variao de trs desses graus de liberdade. Os restantes 3 graus de liberdade so 3 ngulos. No pio da figura indicam-se dois ngulos,e, que definem a direo do eixo do pio; o terceiro ngulo,, determina a rotao do pio em relao ao seu eixo. Nesse caso, dois dos ngulos,e, variam em funo do tempo e, portanto, h duas velocidades angulares,e.

Os 3 graus de liberdade na rotao de um corpo rgido.No pio da figura, o momento do peso em relao ao ponto de contacto no cho produz rotao no sentido em que o nguloaumentaria, mas como o pio j tem outra rotao no sentido indicado para o aumento de, o eixo do pio no cai mas desloca-se no crculo indicado na figura.6.6.1 Rotao com eixo fixoQuando o eixo de rotao de um corpo rgido permanece fixo em relao a um sistema inercial, a segunda lei de Newton ser vlida para as aceleraes medidas no referencial do corpo rgido. Assim sendo, a equaoa=ReR2eRdo captulo 3 permite calcular a fora que atua na massa diferencialdmem cada pontodf=(ReR2eR)dmCada uma dessas foras produz um momentordfem relao origem, mas como o corpo rgido pode rodar unicamente em torno do eixo fixoz, interessa unicamente calcular a componentez, obtida usando unicamente a componente radial do vetor de posio:dMz=(ReR)df=R2ezdmIntegrando no volume do corpo rgido obtm-se a componentezdo binrio resultante,dmz=R2dm(10)A acelerao angular foi colocada fora do integral, por ser igual em todos os pontos do corpo rgido. O integral no lado direito,Iz=R2dm(11) omomento de inrcia, do corpo rgido, em relao ao eixo dosz.No integraldmztodos os momentos das foras internas de contato sero eliminados, em consequncia da lei de ao e reao, ficando unicamente a soma dos momentos produzidos pelas foras externas,F1,F2,,Fn. Assim sendo, a equao (10) conduz lei da rotao com eixo de rotao fixo:i=1nMz,i=Iz(12)Exemplo 6.3Determine o momento de inrcia de um cilindro homogneo, com raioRe alturaL, em relao ao seu eixo de simetria.Resoluo. Como o eixo de rotao o mesmo eixo do cilindro, o volume do cilindro define-se em coordenadas cilndricas atravs das condies0zL,02,0RR(usa-seRpara a coordenada cilndrica, no confundi-la com o raio do cilindro).O elemento diferencial de volume em coordenadas cilndricas (RdRddz) e, como tal,dm=RdRddz, em que a massa volmica. O momento de inrcia ,Iz=L020R0R3dRddz=LR42Repare-se que a massa do cilindro obtida pelo integral,m=L020R0RdRddz=LR2Assim sendo, a expresso para o momento de inrcia :Iz=12mR2

No movimento de rotao, o momento de inrcia joga um papel semelhante massa no movimento de translao. Repare-se na semelhana da equao (12) com a segunda lei de Newton.A tabela seguinte mostra as expresses do momento de inrcia de alguns slidos em relao aos eixos que passam pelo seu centro de massa.Momentos de inrcia de alguns slidos com massa volmica constante, para eixos que passam pelo centro de massa.

EsferaCilindroParaleleppedo

25mR2Eixo 1:12mR2

Eixo 2:112m(3R2+L2)112m(a2+b2)

O momento de inrcia em relao a um eixo que passa pelo centro de massa permite calcular o momento de inrcia em relao a qualquer outro eixo paralelo, a uma distnciaddo eixo no centro de massa, usando oteorema dos eixos paralelos:Iz=Icm+md2(13)Tambm possvel calcular o momento de inrcia de um slido somando os momentos de inrcia das vrias partes que constituem o slido, j que o integral (11) pode ser escrito como a soma dos integrais nas vrias partes. O momento de uma barra suficientemente fina pode tambm ser obtido a partir da expresso para o cilindro, no limiteR0.

Foras e binrios externos sobre uma roldana.Uma roldana fixa um exemplo de corpo rgido com eixo de rotao fixo. Se a roldana for homognea, o centro de massa tambm estar no eixo de rotao. A figura mostra uma roldana de massame raioR, em que o fio acompanha a rotao da roldana, sem deslizar. As foras e momentos externos so o peso,mg, as tenses na corda nos dois lados da roldana,F1eF2, a fora de contato no eixo da roldana,Fee o binrioMque produzido pelo atrito no eixo da roldana, no sentido oposto rotao da roldana.O peso da roldana e a fora de contatoFeno produzem momento em relao ao eixo. Como a roldana um cilindro, usando a expresso para o momento de inrcia na tabela acima, a equao para o binrio resultante ,RF1RF2M=12mR2Quando o atrito no eixo pode ser ignorado,F1F2=12matem queat=R a acelerao tangencial de um ponto na corda. Observe-se que, independentemente do raio da roldana, quando a massa da roldana for muito menor queF1/ateF2/at, pode admitir-se que a tenso igual nos dois lados da corda.6.6.2 Translao sem rotaoNum corpo rgido com movimento de translao sem rotao, a cada instante a acelerao de todos os pontos a mesma, igual acelerao do centro de massa, que igual soma das foras externas dividida pela massa do corpo. Como o corpo no roda, a soma dos momentos de todas as foras em relao ao centro de massa dever ser nula. H que ter ateno ao facto de que a soma do momentos nula unicamente em relao ao centro de massa; em relao a outro ponto P, a soma dos momentos ser igual e oposta ao momento da fora resultante, que atua no centro de massa, em relao a P.Exemplo 6.4O automvel doexemplo 6.4, acelera durante 20 s, com acelerao segundo a trajetria constante, desde o repouso at velocidade de60km/h. Sabendo que o centro de gravidade est a uma altura de 35 cm por cima do cho, determine as fora de reao normal em cada pneu.Resoluo. Ignorando a resistncia do ar, a nica fora externa horizontal a fora de atrito esttico,Fa, entre os pneus e a estrada, que dever apontar no sentido da acelerao. A figura seguinte mostra o diagrama de foras externas.

R1representa a soma das duas reaes nos dois pneus da frente eR2a soma das reaes normais dos pneus de atrs. A acelerao tangencial do automvel no sentido horizontal e igual a:at=60/3.620=56ms2A lei do movimento para a translao conduz s equaes:{R1+R2=mgFa=matR1+R2=9000Fa=900059.86Em relao ao eixo que passa pelo centro de massa, perpendicular figura, o peso no produz nenhum momento. Os momentos deR1eFaso no sentido horrio e o momento deR2 no sentido anti-horrio. Como o automvel no tem movimento de rotao, a acelerao angular nula e a lei do movimento de rotao :1.2R20.4R10.35Fa=0A resoluo do sistema das 3 equaes conduz a,Fa=765NR1=6583NR2=2417NA reao em cada pneu da frente ser3291N e em cada pneu de atrs1209N.

6.7. PerguntasPara conferir a sua resposta, clique na letra.1. As componentes cartesianas de uma fora soF=3ex2ey. Em qual das posies na lista deveria ser aplicada a fora para produzir momento no sentido horrio em relao origem?A.2ex+3eyB.3ex+2eyC.2ex+3eyD.3ex+2eyE.3ex2ey

2. Sobre um disco aplicam-se duas foras externas, como se mostra na figura. Calcule o momento resultante, em relao ao ponto O, em unidades de Nm.A.0.57B.1.05C.4.35D.5.67E.6.15

3. Uma pea metlica com massa volmica constante e massam construda com dois cilindros da mesma altura, mas raios diferentesa>b, colados um sobre o outro de forma que os seus eixos estejam alinhados. Calcule o momento de inrcia da pea em relao ao seu eixo de simetria.A.12m(a2b2)B.12m(a4+b4)C.12m(a4+b4a2+b2)D.12m(a2+b2)E.12m(a2+b2a+b)

4. Duas crianas com massas de 30 kg e 45 kg esto sentadas nos dois lados de um sobe e desce. Se a criana mais pesada estiver sentada a 1.2 m do eixo do sobe e desce, a que distncia do eixo dever sentar-se a outra criana para manter o sobe e desce em equilbrio?A.1.5 mB.0.8 mC.1.8 mD.1.2 mE.0.98 m

6.8. Problemas1. O martelo na figura apoia-se sobre um bloco de madeira de 40 mm de espessura, para facilitar a extrao do prego. Sabendo que necessria uma fora de 200 N (perpendicular ao martelo) para extrair o prego, calcule a fora sobre o prego e a reao no ponto A. Admita que o peso do martelo pode ser desprezado e em A existe suficiente atrito para evitar que o martelo escorregue.

2. Um automvel com trao frontal acelera uniformemente desde o repouso atingindo uma velocidade de 100 km/h em 11 segundos. Se o peso do automvel for 9750 N, calcule as reaes normais e a fora de atrito sobre cada pneu. Qual ser o valor mnimo que dever ter o coeficiente de atrito esttico entre os pneus e a estrada para que automvel possa atingir essa acelerao?

3. Usando integrao no volume do slido, demonstre o resultado da tabela daseco 6.6.1, para o momento de inrcia de um paraleleppedo com eixo de rotao perpendicular a uma das faces e passando pelo centro de massa.4. Um tronco uniforme de 100 kg est pendurado por meio de dois cabos do mesmo comprimento. O tronco larga-se a partir do repouso na posio representada na figura; calcule a tenso e a acelerao angular dos cabos no preciso instante em que o tronco largado a partir do repouso.

5. Um armrio de 45 kg, montado sobre rodas que o deixam andar livremente sobre o cho, acelerado por uma fora externa de 310 N.(a) Calcule os valores mximo e mnimo que pode ter a alturaypara o armrio acelerar sem as rodas perderem o contato com o cho.(b) Calcule a acelerao do armrio, quandoyestiver entre os valores mnimo e mximo calculados na alnea anterior.

6. A escada na figura est apoiada numa superfcie horizontal (ponto A) e numa parede vertical (ponto B). Entre a escada e a superfcie horizontal o coeficiente de atrito esttico e, enquanto que o atrito da escada com a parede vertical desprezvel. Admitindo que o centro de gravidade da escada se encontra a metade do seu comprimento, calcule o valor mnimo dee, para garantir que a escada permanea em repouso.

7. A massa do reboque na figura 750 kg e est ligado no ponto P a uma trela de um automvel. A estrada horizontal e os dois pneus idnticos podem ser considerados como um s, com uma nica reao normal e fora de atrito desprezvel; a resistncia do ar tambm ser desprezada. (a) Calcule a reao normal nos pneus e a fora vertical no ponto P, quando a velocidade for constante. (b) Quando o automvel estiver a acelerar, comat=2m/s2, a fora em P ter componentes horizontal e vertical. Calcule essas componentes e a reao normal nos pneus (o momento de inrcia das rodas e o atrito com a estrada so desprezveis).

8. A caixa retangular homognea na figura est ligada a duas dobradias que permitem que possa rodar fechando a janela, ou abrir ficando na posio horizontal apresentada na figura, para dar sombra durante o dia. A corrente que mantinha a caixa na posio horizontal quebrou-se repentinamente e a caixa caiu at bater na parede. Desprezando o atrito nos eixos das dobradias e a resistncia do ar, qual ser a velocidade angular da caixa quando bate na parede?

Respostas1. O prego exerce uma fora de 1000 N, para baixo.FA=187,9ex+931,6ey(N)2. Pneus da frente:Rn= 3020 N,Fa= 1256 N. Pneus trazeiros:Rn= 1855 N,Fa= 0 (admitindo que as rodas trazeiras so perfeitamente livres). O coeficiente de atrito esttico mnimo 0.416.3. Neste casoR2=x2+y2e o volume do slido definido pora/2xa/2,b/2yb/2,c/2zc/2.4. TA= 212.2 N,TB= 636.5 N,A=B=g/4 = 2.45 rad/s25. (a) Altura mnima 38.6 cm, mxima 135.4 cm (b)a=6.89ex(m/s2)6. 0.217. (a)Rn= 5455 N,Fy= 1895 N. (b)Fx= 1500 N,Fy= 1426 N,Rn= 5923 N.8. 5.274 s-1