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Dinamica Hiperbolica e Teoria Ergodica

J. REGIS A. VARAO FILHO

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sumario

1 Introducao 3

2 Conceitos Gerais 4

3 Hiperbolicidade 83.1 Conjunto Hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Teorema de Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Teorema da Variedade Estavel/Instavel 14

5 Dinamica Hiperbolica 195.1 Lema de Sombreamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Conjunto Hiperbolico Maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2.1 Estrutura de Produto Local . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Lambda-Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6 Kupka-Smale 316.1 Morse-Smale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Ω-Estabilidade 347.1 Decomposicao espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.2 Filtracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

8 Difeomorfismo de Anosov 45

9 Endomorfismo Expansor 50

10 Teoria Ergodica 54

11 Medidas Invariantes 58

12 Teorema Ergodico de Birkhoff 64

2

13 Sistemas Ergodicos e Unicamente Ergodicos 69

14 Desintegracao de medidas 8214.1 Decomposicao ergodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

15 Entropia 8815.1 Entropia Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8815.2 Entropia Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

15.2.1 Princıpio Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

16 Apendice 9816.1 Teoria da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9816.2 Outros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Dinamica Hiperbolica e Teoria Ergodica - Regis Varao Filho 3

1 Introducao

Use estas notas com cuidado: Elas estao incompletas e contem erros. Asecao do teorema da variedade estavel e entropia estao baguncadas, ignore-as.

Estas notas ainda estao em fase inicial, por isso e possıvel que certosconceitos aparecam antes da sua definicao; alguns resultados nao tenhama demonstracao; assim como erros tipograficos. No entanto, ao longo dotempo, espera-se que todos esses problemas sejam sanados.

Para ampliar o entendimento da teoria, ao longo do texto acrescenteialgumas observacoes. Em geral, estes comentarios fornecem resultados maisgerais cuja demonstracao foge do enfoque destas notas.

A versao mais recente deste trabalho esta disponıvel em

www.impa.br/˜jregis

Para comentarios e sugestoes me manda um e-mail

[email protected]


2 Conceitos Gerais

Se nada for dito assumiremos X um espaco topologico, localmente compactoe Hausdorff.

Definicao 2.1. Dizemos que x ∈ X e um ponto nao-errante para f : X →X contınua, se: dada uma vizinhanca U de x, existir n ∈ N tal que fn(U)∩U 6= ∅. Caso contrario, dizemos que x e errante. Denotamos o conjuntosdos pontos nao errantes de f por Ω = Ω(f).

Proposicao 2.1.

• Ω e fechado e f(Ω) ⊂ Ω.

• Se f for um homeomorfismo f(Ω) = Ω. Um ponto e nao errante paraf se, e somente se, for nao-errante para f−1.

Demonstracao. O conjunto dos pontos errantes e aberto. De fato, seja xerrante, entao existe vizinhanca U tal que fn(U)∩U = ∅, para todo n ∈ N.E facil ver que todos os pontos de U sao errantes, dado y ∈ U tome umavizinhanca V de y pequena o suficiene de forma que esteja em U , assimfn(V )∩V ⊂ fn(U)∩U = ∅. Portanto, Ω e fechado, ja que e o complementarde um conjunto aberto. Para ver que f(Ω) ⊂ Ω e igualmente simples.

Suponha agora que f seja um homemomorfismo. Seja x ∈ Ω, provandoque f−1(x) e nao-errante implica que f(Ω) = Ω. Dado U vizinhanca def−1(x), entao f(U) e vizinhanca de x, logo existe n tal que fn(f(U)) ∩f(U) 6= ∅ ⇒ fn(U) ∩ U 6= ∅. A ultima afirmacao segue da observacao:fn(U) ∩ U 6= ∅ ⇔ U ∩ f−n(U) 6= ∅.Proposicao 2.2. Seja x ∈ Ω(f). Dado U vizinhanca de x, entao existeuma sequencia de pontos ni tendendo ao infinito tal que fni(U) ∩ U 6= ∅.Demonstracao. Fazemos por absurdo. Construa uma sequencia xk → xtal que fnk(xk) → x, isso e possıvel pela propria definicao de x. Sendonk limitado, peguemos uma subsequencia tal que seja constante igual al ∈ N. Ou seja, f l(xk) → x ⇒ f l(x) = x. Portanto x e periodico, masse x e periodico entao existem infinitos ni com a propriedade negada, logoabsurdo.

Dada uma funcao contınua f : X → X e um ponto x ∈ X, definimos

ωf (x) = y ∈ X | ∃nii∈N, ni →∞ t. q. limi→∞

fni(x) = y

Se f for um homeomorfismo podemos definir

αf (x) = y ∈ X | ∃nii∈N, ni →∞ t. q. limi→∞

f−ni(x) = y


Em geral omitimos o sub-ındice f , denotando apenas por ω(x), α(x)quando nao houver duvida sobre qual funcao estamos trabalhando. Chama-mos tambem de conjuntos ω-limite e α-limite.

Definimos o conjunto limite L(f) por

L(f) = L+(f)⋃L−(f), onde L+(f) =

⋃

x∈Xω(x), L−(f) =

⋃

x∈Xα(x)

Proposicao 2.3. L(f) ⊂ Ω(f).

Demonstracao. Seja y ∈ L+(f), o outro caso e analogo. Como Ω e fechadobasta considerar o caso em em que y e aproximado por pontos nao-errantes.Logo, podemos supor y ∈ ω(x). Seja U vizinhanca de y, entao existeminteiros m > n > 0 tal que fm(x), fn(x) ∈ U . Logo como fm−n(fn(x)) =fm(x), entao fm−n(U) ∩ U 6= ∅.

Denotando por Per(f) o conjunto dos pontos periodicos de f. Noteque

Per(f) ⊂ L(f) ⊂ Ω(f)

Sejam X,Y espacos topologicos e f : X → X, g : Y → Y funcoescontınuas. Dizemos que f e topologicamente conjugada a g se existeum homeomorfismo h : X → Y tal que

Xf //

h²²

X

h²²

Yg // Y

comuta. Isto e: h f = g h.E facil ver que: ser topologicamente conjugado define uma relacao de

equivalencia. A comutatividade do diagrama acima, significa que a dinamicada f e igual a dinamica da g do ponto de vista topologico.

Mesmo que X e Y sejam variedades, pedir que a conjugacao h seja suavee muito forte. Pela regra da cadeia terıamos

DhDf = DhDg ⇒ Dg = DhDf(Dh)−1.

Significa que Df e Dg sao similares, em particular possuem os mesmo auto-valores. Com isso se considerarmos X = Y = R2 e f, g como sendo astransformacoes lineares definidas respectivamente por

(2 00 2

)(3 00 3

)

vemos que esses dois sistemas possuem mesma dinamica. Um ponto fixo nozero que repele todo mundo, mas nao seriam conjugadas.


Definicao 2.2. Seja X compacto. Um conjunto Y ⊂ X e minimal se for finvariante, fechado e nao contem propriamente nenhum outro subconjuntofechado e invariante.

Proposicao 2.4. Sejam X compacto e f : X → X contınua. Entao Xcontem um conjunto minimal para f .

Demonstracao. Seja C a colecao dos conjuntos fechados e invariantes. Noteque X ∈ C. Dotamos C de uma ordem parcial dada por: A ≺ B se A ⊃B. Suponha que K ⊂ C seja um conjunto totalmente ordenado. Como aintersecao de compactos encaixantes nao e vazia temos que ∩K∈KK e maiorque qualquer outro elemento de K. Pelo lema de Zorn existe um maximal,que e, portanto, um conjunto minimal.

Definicao 2.3. f : X → X e transitiva se existe x ∈ X cuja orbita sejadensa.

Dizemos que um conjuntoR ⊂ Y em um espaco topologico Y e residualse R =

⋂i∈N Vi onde Vi e aberto e denso em Y . Nossa hipotese sobre X

garante que no caso em que Y = X vale o Teorema de Baire: R e denso emX.

Observacao 2.1. Pugh1 mostrou que em Diff1(M) existe um conjuntoresidual para o qual

Per(f) = Ω(f).

Proposicao 2.5. Seja f : X → X contınua. Se dado dois abertos U, Vsempre existe n ∈ N tal que fn(U) ∩ V 6= ∅, entao existe um conjuntoresidual, R, tal que se x ∈ R entao O+(x) = fn(x)n∈N e densa em X.

Demonstracao. Seja Vi uma base enumeravel da topologia. Por hipotese⋃n≥0 f

−n(Vi) e aberto e denso. Portanto

Y =⋂

i∈N

⋃

n≥0

f−n(Vi)

e um residual. Se y ∈ Y , dado qualquer aberto U tome Vi0 ⊂ U . Existe n0

tal que fn0(y) ∈ Vi0 ⊂ U . Conclui-se que O(y) e denso.

Corolario 2.1. f e transitiva se, e somente se, existe residual R de pontoscom orbita densa.

Definicao 2.4. Dizemos que f : X → Y e topologicamente misturadora,se dado dois abertos U, V ⊂ X existir n0 ∈ N tal que: ∀n ≥ n0, entaofn(U) ∩ V 6= ∅.

1Pugh,C; An improved closing lemma and a general density theorem, Amer.J. Math, 89 (1967)


Exercıcios

Exercıcio 2.1. Os conjuntos ω,α-limite sao fechados e invariantes.

Exercıcio 2.2. Sejam f e g conjugadas, por h como na notacao acima.Entao

• ωf (x) = ωg(h(x)), analogamente para o α-limite;

• h(Per(f)) = Per(g).

onde Per(.) e o conjunto dos pontos periodicos.

Exercıcio 2.3. Sejam X compacto e f : X → X contınua.

• Y ⊂ X e minimal ⇔ ω(y) = Y ∀y ∈ Y ;

• Y e minimal ⇔ O+(y) e denso em Y ∀y ∈ Y .

Exercıcio 2.4. Sejam f : X → X e g : Y → Y funcoes contınuas.

• Exemplo de f, g transitivas, mas f × g : X × Y → X × Y nao sejatransitiva;

• No item acima, se g for topologicamente misturadora, entao f × g etransitiva. De exemplo.

Exercıcio 2.5. Seja f : X → X um homeomorfismo que preserva a metricade X, isto e d(f(x), f(y)) = d(x, y) ∀x, y ∈ X.

a) f nao pode ser topologicamente mixing;

b) Se f e transitiva, entao f e minimal.


3 Hiperbolicidade

Conjuntos hiperbolicos possuem muitas propriedades importantes. Esta ri-queza permite desenvolver uma vasta teoria para a dinamica sobre estesconjuntos.

3.1 Conjunto Hiperbolico

Consideremos f : M → M um difeomorfismo e M uma variedade Rieman-niana.

Definicao 3.1. Um conjunto fechado Λ ⊂ M invariante por f e dito hi-perbolico se existe C > 0, λ ∈ (0, 1) e para todo x ∈ Λ existem Es(x),Eu(x) ⊂ TxM tais que

1. TxM = Es(x)⊕ Eu(x);

2. ||dfnx vs|| ≤ Cλn||vs||, ∀vs ∈ Es(x) e n ≥ 0;

3. ||df−nx vu|| ≤ Cλn||vu||, ∀vu ∈ Eu(x) e n ≥ 0;

4. dfxEs(x) = Es(f(x)) e dfxEu(x) = Eu(f(x)).

Dizemos que Λ, como acima, e conjunto hiperbolico isolado ou maxi-mal se existe vizinhanca U de Λ tal que

Λ =⋂

n∈Zfn(U)

Proposicao 3.1. Os subespacos Es(x) e Eu(x) variam continuamente comrelacao a x ∈ Λ.

Demonstracao. Seja x0 ∈ Λ e xi uma sequencia em Λ que converge a x0.Afirmacao: dimEs(xi) = dimEs(x0) e dimEu(xi) = dimEu(x0) para i

sificientemente grande.Considere uma subsequencia de xi que ainda denotaremos por xi de

modo que dimEs(xi) seja constante, digamos igual a k. Considere umabase ortonormal w1,i, . . . , wk,i de Es(xi), passando a uma subsequencia x′i, senecessario, podemos supor que wl,i converge a wl,0. Note que w1,0, . . . , wk,0estao em Tx0M . Por continuidade note que a condicao 2 implica wl,0, l =1, . . . , k, estarem em Es(x0). Portanto

dimEs(x0) ≥ k = dimEs(xi)

Analogamente temos que

dimEu(x0) ≥ dimEu(xi)


a condicao 1 implica que

dimEs(x0) = dimEs(xi), dimEu(x0) = dimEu(xi).

Fica provado assim a afirmacao. E a continuidade segue facilmente, dado queem uma vizinhanca de x0 o fibrado tangente restrito a Λ possui trivializacaoda forma U × Rk ⊕ Rn−k.Observacao 3.1. Anosov2 forneceu um exemplo em que as distribuicoes(Es, Eu) nao sao suaves. E Hasselblat3 provou que “tipicamente”, para ocaso em que Λ = M , as distribuicoes sao apenas Holder.

Proposicao 3.2. Seja Λ um conjunto hiperbolico para f . Entao existe umametrica Riemanniana < ., . >∗, chamada de metrica adaptada, para o qualf satisfaz a condicao de hiperbolicidade com constante C ′ = 1. Ou seja

||dfvs||∗ ≤ λ′||vs||∗, vs ∈ Es;

||dfvu||∗ ≤ λ′||vu||∗, vu ∈ Eu.Demonstracao. Se vs ∈ Es e vu ∈ Eu definimos

||vs||2∗ =n−1∑

j=0

||df jvs||2 ; ||vu||2∗ =n−1∑

j=0

||df−jvu||2.

Note que as normas acima proveem de metricas, dado que temos umasoma de metricas. Com isso podemos definir a norma ||.||∗ que provem deuma metrica.

||v||∗ :=√||vs||2∗ + ||vu||2∗ (1)

Como os calculos para a parte Eu sera analago, considere de agora emdiante v ∈ Es. Fixemos o numero natural n ∈ N tal que 1/(1− λ2) ≤ n.

||dfv||2∗ =n−1∑

j=0

||df j(dfv)||2 =n−1∑

j=0

||df j+1v||2 =n∑

j=1

||df j(dfv)||2 (2)

=n−1∑

j=0

||df j(v)||2 + ||dfnv||2 − ||v||2 ≤ ||v||2∗ + Cλn||v||

− ||v||2 ≤ ||v||2∗ − ||v||2(1− (Cλn)2).2Anosov, D, Geodesic flows on closed Riemannian manifolds with negative

curvature, Proc. Steklov Inst. Math., 90 (1969), 1-2353Hasselblatt, B., Regularity of the Anosov splitting and of Horospheric folia-

tions, Ergod. Theory and Dyn. Syst., 14 (1994), no. 46:45-666


Estamos supondo que C > 1, caso contrario nao haveria nada a fazer.

||v||2∗ =n−1∑

j=0

||df jv||2 ≤ ||v||2 + C2λ2||v||2 + . . .+ C2λ2(n−1)||v||2

≤ C2||v||2 + C2λ2||v||2 + . . .+ C2λ2(n−1)||v||2

≤ C2||v||2(1− λ2(n−1)

1− λ2) ≤ C2||v||2( 1

1− λ2)

≤ C2||v||2n.

Desta desigualdade obtemos ||v||2∗/C2n ≤ ||v||2. Fazendo a substituicaona equacao (2) obtemos

||dfv||2∗ ≤ ||v||2∗ − ||v||2(1− (Cλn)2) ≤ ||v||2∗ − (||v||2∗/C2n)(1− (Cλn)2).

Portanto||dfv||2∗ ≤ (1− (1− (Cλ)2)/C2n)||v||2∗

Fazendo o mesmo para vu assim, obtemos que ||.||∗ definida como em (1)e uma norma do “tipo que procuravamos”.

Apenas provamos que a decomposicao do fibrado tangente em Es ⊕ Eu

e apenas contınua, portanto para considerar uma metrica suave devemostomar uma metrica suficientemente proxima da que construimos acima.

3.2 Teorema de Hartman-Grobman

O proximo resultado e um prelulio do estudo qualitativo apresentado naproxima secao com o teorema da variedade estavel-instavel. O teorema deHartman-Grobamn nos fornece variedades topologicas estaveis e instaveis,todavia nao provaremos, ainda, que ela sao variedades diferenciaveis.

Definicao 3.2. Dizemos que uma transformacao linear ou a matriz que elarepresenta A : Rn → Rn de hiperbolica se todos os autovalores de A possuemnorma diferente de 1.

Portanto um ponto fixo p para uma transformacao f : M → M e hi-perbolico se Dfp for uma matriz hiperbolica.

Teorema 3.3 (Hartman-Grobman). Seja f ∈ Diff r(M) e p ∈ M umponto fixo hiperbolico de f ; denote A = Dfp : TpM → TpM . Entao existeuma vizinhanca V (p) ⊂ M de p e U(0) ⊂ TpM de 0 e um homeomorfismoh : U → V tal que

hA = fh


Demonstracao. (De [9])Como o problema e local, olhamos f em coordenadas e por isso podemos

considerar que f seja um difeomorfismo de Rn em Rn com zero um pontofixo hiperbolico.

Lema 3.1. Sejam L,G ∈ L(E,E) isomorfismos de um espaco de BanachE satisfazendo ||L|| < a < 1 e ||G−1|| < a < 1, entao

i) I + L e um isomorfismo e ||(I + L)−1|| < 1/(1− a);

ii) I +G e um isomorfismo e ||(I +G)−1|| < a/(1− a).

Demonstracao. i) Para ver que e um isomorfismo. Dado y ∈ E queremosencontrar unico x ∈ E tal que x + Lx = y. Considere u : E → E, u(x) =y − Lx. Note que u e uma contracao portanto existe unico ponto fixo.

Para calcular a norma de (I + L)−1, tome y ∈ Rn unitario. Existe x talque

x+ Lx = y ⇒ 1 = ||y|| ≥ ||x|| − ||L|| ||x|| ≥ ||x||(1− a)

E como (I + L)−1(y) = x fica provado o primeiro item.ii) Para provar que e isomorfismo usamos novamente a tecnica de ponto

fixo. Dado y queremos achar unico x tal que x+Gx = y, sendo G isomor-fismo equivale a equacao G−1x + x = G−1y. Analogamente vemos que afuncao u(x) = G−1y−G−1x e uma contracao e portanto possui unico pontofixo.

Dado y unitario,

(I +G)−1y = x⇒ y = x+Gx⇒ G−1y = G−1x+ x

logo a ≥ ||G−1y|| ≥ ||x|| − ||G−1x|| ≥ ||x||(1− a). Como querıamos.

Lembre que A = Df0 e sendo A hiperbolica existem subespacos estaveise instaveis, respectivamente Es e Eu invariantes por A tal que Rn = Es⊕Eu;para um a < 1 real vale

||Asv|| < a||v|| ∀v ∈ Es

||(Au)−1v|| < a||v|| ∀v ∈ EuOnde As = A|Es e As = A|Es

C0b (Rn,Rn) e o conjunto das funcoes contınuas de Rn em Rn limitadas.

Este conjunto munido da norma do sup (||f || = sup||f(x)|| | x ∈ Rn) eum espaco de Banach. C0

b (Rn) pode ser visto como a soma direta

C0b (Rn) = C0

b (Rn, Es)⊕ C0b (Rn, Eu)

basta notar que para isso basta fazer a projecao de f ∈ C0b (Rn,Rn) em Es

ou Eu.O proximo lema e o coracao da prova.


Lema 3.2. Existe ε > 0 tal que se φ1, φ2 ∈ C0b (Rn,Rn) possuem constante

de Lipschitz menor que ε, entao A+ φ1 e A+ φ2 sao conjugadas.

Demonstracao. Queremos encontrar um homeomorfismo h ∈ C0b (Rn,Rn) tal

que h (A+ φ1) = (A+ φ2) h, o que faremos e buscar uma tal h da formaI + u com u ∈ C0

b (Rn,Rn). Portanto

(I + u) (A+ φ1) = (A+ φ2) (I + u)

Da equacao acima temos:

φ1 − φ2(I + u) = Au− u(A+ φ1)

Definimos o seguinte operador:

L : C0b (Rn,Rn) → C0

b (Rn,Rn)

L(u) = Au− u(A+ φ1)

Definimos L0(u) = u−A−1u(A+ φ1)

Afirmacao: Para ε suficientemente pequeno A + φ1 e um homeomor-fismo.

Basta considerar um ε < min1/β, α onde ||A|| ≥ α > 0 e ||A−1|| ≤ β.Injetividade: ||Ax+φ1(x)−Ay−φ1(y)|| ≥ ||Ax−Ay||−||φ1(x)−φ1(y)|| ≥

α||x− y|| − ε||x− y|| = (α− ε)||x− y||Sobrejetividade: Dado y quero achar x tal que Ax + φ1(x) = y. Defina

c(x) := A−1y−A−1φ1(x), que e uma contracao. Logo existe unico x tal queA−1y −A−1φ1(x) = x⇒ Ax+ φ1(x) = y.

Continuidade de (A + φ1)−1: Tome Axn + φ1(xn) convergindo a Ax +φ1(x), entao xn + A−1φ1(xn) → x + A−1φ1(x). Dado ε1 para n grandetemos ε1 ≥ ||xn+A−1φ1(xn)− (x+A−1φ1(x))|| ≥ ||xn−x||− ||A−1φ1(xn)−A−1φ1(x)|| ≥ ||xn− x|| − βε||xn− x|| = (1− βε)||xn− x||. Logo ||xn− x|| ≤ε1/((1− βε)). ¤ (Afirmacao)

Vejamos que ||L−10 || ≤ 2/(1 − a). Olhemos para as funcoes us 7→

A−1us(A + φ1) cuja inversa e us 7→ Asus(A + φ1)−1 e contracao. E uu 7→(Au)−1uu(A+ φ1) e uma contracao. L0 = Ls0 + Lu0 onde L0 : Cbb (Rn, Es)⊕Cbb (Rn, Eu) → Cbb (Rn, Es)⊕ Cbb (Rn, Eu). Como a/(1− a) < 1/(1− a), pelolema anterior, aplicado a Ls e Lu, segue que ||L−1

0 || ≤ 2/(1 − a). Conse-quentemente ||L−1|| ≤ ||A−1|| ||L−1

0 || ≤ 2||A−1||/(1− a).Considere α : C0

b (Rn,Rn) → C0b (Rn,Rn) dada por α(u) = L−1(φ1 −

φ2(I−u)). Vejamos que α e uma contracao. ||α(u1)−α(u2)|| = ||L−1(φ2(I+u2)−φ2(I +u1))|| ≤ ||L−1|| ||φ2|| ||u2−u1|| ≤ 2ε/(1− a)||u2−u1||. E comoε e pequeno, temos uma contracao. Portanto existe um unico ponto fixo u

α(u) = u


que e o que buscavamos.Entretanto falta provarmos que I + u e um homeomorfismo. Por unici-

dade existe unico v tal que

(A+ φ1)(I + v) = (I + v)(A+ φ2)

De fato I + v e a inversa de I + u, isto porque

(I + v)(I + u)(A+ φ1) = (I + v)(A+ φ2)(I + u) = (A+ φ1)(I + v)(I + u)

E como (I + v)(I + u) e da forma I + w com w = u + v(I + u) temos que(I + v)(I + u) = Id, analogamente (I + u)(I + v) = Id.

Lema 3.3. Dado ε existe uma vizinhanca U de 0 e uma extensao de f |Upara Rn da forma A+φ onde C0

b (Rn,Rn) tem constante de Lipschitz menorque ε.

Demonstracao. Considere uma funcao suave γ : R→ R tal que γ(t) ∈ [0, 1];para t ≤ 1/2 γ(t) = 1; para t ≥ 1 γ(t) = 0.

f = A + ψ onde ψ(0) = 0 e Dψ0 = 0. Seja r > 0, defina φ(x) =γ(||x||/r)ψ(x). Para x, y ∈ B(0, r)

||φ(x)− φ(y)|| = ||γ(||x||/r)ψ(x)− γ(||x||/r)ψ(y) + γ(||x||/r)ψ(y)− γ(||y||/r)ψ(y)|| ≤ ||γ(||x||/r)|| ||ψ(x)− ψ(y)||+ ||ψ(y)|| ||γ(||x||/r)− γ(||y||/r)||≤ sup

B(0,r)||Dψ|| ||x− y||

+ ||y|| supB(0,r)

||Dψ|| supR||γ′|| ||x− y||/r

Para que a constante e Lipschitz de φ seja menor que ε tomemos rpequeno o suficiente para que supB(0,r) ||Dψ|| < ε/2 e supB(0,r) ||Dψ|| < ε/2.

Para x ∈ B(0, r) e y /∈ B(0, r), como φ(y) = 0 podemos tomar y emB(0, r) tal que φ(y) = φ(y) e portanto usamos o resultado acima. No casode x, y /∈ B(0, r) a funcao se anula.

A conclusao do teorema segue dos lemas acima, dado que localmentetenho f = A+ φ e portanto conjugada a A.

Exercıcios

Exercıcio 3.1. Prove o resultado de Hartman-Grobman em dimensao 1.


4 Teorema da Variedade Estavel/Instavel

Daremos a prova do importante Teorema da Variedade Estavel/Instavel.Sera uma prova longa, porem frutıfera. Alem de, obviamente, utilizarmosfortemente o teorema nas secoes subsequentes, como escolios da demons-tracao formalizaremos o conceito de cones invariantes e como os utilizamospara podermos “perturbar” conjuntos hiperbolico e obtermos novos conjun-tos hiperbolicos.

Como olhamos as funcoes (definidas em variedades) por meio de cartas, oestudo local e sempre restringido ao estudo do que se passa em Rn. Por isso oproximo teorema, que de fato “e” o teorema procurado, se passa em Rn. Elee mais geral do que precisamos, entretanto a demonstracao para esse casogeral e literalmente a mesma para o caso em que trabalharemos (exceto paraprovar diferenciabilidade superiores a um das variedades, que nao faremosaqui e tambem nao a utilizaremos em nenhum momento. Acrescentamos,todavia, no enunciado por completeza).

Teorema 4.1 (Teorema de Hadamard-Perron). Sejam λ < µ, r ≥ 1 edifeomorfismos de classe Cr

fm : Rk ⊕ Rn−k → Rk ⊕ Rn−k

fm(x, y) = (Amx+ α(x, y), Bmy + βm(x, y)))

com m ∈ N, ||(Am)−1|| < µ−1, ||Bm|| < λ, α(0) = 0, β(0) = 0. Consi-dere reais γ e δ satisfazendo

0 < γ < min(1,√µ/λ− 1)

0 < δ < min

(γ(µ− λ)(1 + γ)2

,µ− (1− γ)2λ

(1− γ)(γ2 + 2γ + 2)

)

Para ||αm||C1 < δ e ||βm||C1 < δ e m ∈ Z existem

1) uma unica famılia W+mm∈Z de variedades C1 k-dimensionais e

W+m = (x, φ+

m(x)) | y ∈ Rk = graph φ+m

2) uma unica famılia W−mm∈Z de variedades C1 k-dimensionais e

W−m = (x, φ−m(x)) | y ∈ Rn−k = graph φ−m

onde φ+m : Rk → Rn−k, φ−m : Rn−k → Rk, sup

m∈Z||Dφ±m|| < γ

e valem

i) fm(W−m) = W−

m+1, fm(W+m) = W+

m+1;


ii) ||fm(z)|| < λ′||z||, para z ∈ W−m , ||f−1

m−1(z)|| < (µ′)−1||z||, para z ∈W+m ;

onde λ′ := (1 + γ)(λ+ δ(1 + γ)) < µ/(1 + γ)− δ =: µ′

iii) Seja λ′ < ν < µ′. Se ||fm+L−1 . . . fm(z)|| < CνL||z|| ∀L ∈ N e paraalgum C > 0, entao z ∈W−

m ;

Analogamente, se ||f−1m+L . . . fm(z)|| < Cν−L||z|| ∀L ∈ Ne para

algum C > 0, entao z ∈W+m ;

Se λ < 1 < µ as famılia W+m e W+

m sao variedades de classe Cr.

Demonstracao. (De [5])Denotamos por Cγ(Rk) o conjunto das funcoes φ : Rk → Rn−k Lipschitz

de constante γ. E C0γ(Rk) quando φ(0) = 0.

Lema 4.1. Se φ ∈ Cγ(Rk), entao fm(graph φ) = graph ψ, para algumaψ ∈ Cγ(Rk). Analogamente para o caso caso Cγ(Rk).

Demonstracao. Para ver que fm(graph φ) e o grafico de uma funcao, pro-vemos que a funcao

Gφm : Rk → Rk

x 7→ Amx+ α(x, φ(x))

e uma bijecao. Dado x0 ∈ Rk encontremos um unico x ∈ Rk tal queGφm(x) =x0. Basta checar que a funcao

Gφm(x) := A−1m x0 −A−1

m α(x, φ(x))

e uma contracao.

||Gφm(x)− Gφm(y)|| = ||A−1m ( α(x, φ(x))− α(y, φ(y)) )||

≤ µ−1δ(1 + γ)||x− y||Logo uma contracao ja que

δ <γ(µ− λ)(1 + γ)2

≤ µ

1 + γ⇒ µ−1δ(1 + γ) < 1

Consequentemente, exite ψ tal que fm(graph φ) = graph ψ. Vejamosagora que ψ e γ-Lipschitz. Por definicao de ψ

||ψ(Gφm(x))− ψ(Gφm(y))|| = ||Bmφ(x) + β(x, φ(x))−Bmφ(y)− β(y, φ(y))|| ≤ λγ||x− y||+ δ(1 + γ)||x− y|| = (λγ + δ + δγ)||x− y||


e

||Gφm(x)−Gφm(y)|| = ||Amx+ α(x, φ(x))−Amy + α(y, φ(y))|| ≥ ||Amx− Am|| − ||α(x, φ(x))− α(y, φ(y))|| ≥ µ||x− y||− δ(1 + γ)||x− y|| = (µ− δ − δγ)||x− y||.

Assim,

||ψ(Gφm(x))− ψ(Gφm(y))||||Gφm(x)−Gφm(y)||

≤ λγ + δ + δγ

µ− δ − δγ< γ

Terminando a demonstracao deste lema.

Na notacao do lema podemos definir

(fm)∗ : C0γ(Rk) → C0

γ(Rk)φ 7−→ ψ

Defina a seguinte metrica em C0γ(Rk)

d(φ, ψ) = supx∈Rk\0

||φ(x)− ψ(x)||||x||

Com esta metrica C0γ(Rk) e um espaco metrico completo. Com esta

metrica provemos, com o lema abaixo, que (fm)∗ e uma contracao

Lema 4.2.

d((fm)∗φ, (fm)∗ψ) ≤ λ+ δ(1 + γ)µ− δ(1 + γ)

d(φ, ψ), ∀φ, ψ ∈ C0γ(Rk)

eλ+ δ(1 + γ)µ− δ(1 + γ)

< 1.

Demonstracao. Denotemos φ′ = (fm)∗φ e ψ′(fm)∗ψ. Usaremos nas desi-gualdades abaixo o fato que ψ′ ∈ C0

γ(Rk).

||φ′(Gφm(x)) − ψ′(Gφm(x))||≤ ||φ′(Gφm(x))− ψ′(Gψm(x))||+ ||ψ′(Gψm(x))− ψ′(Gφm(x))||= ||Bmφ(x) + βm(x, φ(x))−Bmψ(x)− βm(x, ψ(x))||+ γ||Gψm(x)−Gφm(x)||≤ ||Bmφ(x)−Bmψ(x)||+ ||βm(x, φ(x))− βm(x, ψ(x))||+ γ||Amx+ αm(x, ψ(x))−Amx− αm(x, φ(x))||≤ λ||φ(x)− ψ(x)||+ δ||φ(x)− ψ(x)||+ γδ||φ(x)− ψ(x)||= (λ+ δ(1 + γ))||φ(x)− ψ(x)||


||Gφm(x)|| ≥ ||Amx|| − ||α(x, φ(x))|| ≥ µ||x|| − δ(1 + γ)||x||= (µ− δ(1 + γ))||x||.

Combinando as desigualdades acima

||φ′(Gφm(x))− ψ′(Gφm(x))||||Gφm(x)||

≤ (λ+ δ(1 + γ))(µ− δ(1 + γ))

||φ(x)− ψ(x)||||x||

≤ (λ+ δ(1 + γ))(µ− δ(1 + γ))

d(φ, ψ).

γ ≤ 1 ⇒ γ

1 + γ≤ 1

2.

Entao

δ ≤ γ(µ− λ)(1 + γ)2

≤ (µ− λ)2(1 + γ)

⇔ 2δ(1 + γ) ≤ µ− λ⇔ λ+ δ(1 + γ)µ− δ(1 + γ)

< 1.

Denotemos por C0γ = (C0

γ)N e definamos

f : C0γ −→ C0

γ

φmm∈Z 7→ (fm)∗φmm∈Z.

Esta funcao f tambe e conhecida como transformacao de grafico. Intro-duzimos em C0

γ uma metrica que torna f uma contracao.

d(φmm∈Z, ψmm∈Z) = supm∈Z

d(φm, ψm)

Pelo teorema de contracao em espaco metrico, f tem um unico pontofixo. Que sao as φ+

m apresentados no teorema.

Proposicao 4.1. Seja p um ponto periodico hiperbolico. Podemos tomarparametizacoes de modo que W s

loc(p) e W uloc(p) sejam 0×Rn−k e Rk×0

respectivamente.

Demonstracao. Olhando em coordenadas, sabemos que as variedas sao lo-calmente graficos de funcoes. A instavel e o grafico da funcao φu e a estavele o grafico da φs. Defina


Φ : Rk × Rn−k → Rk × Rn−k(x, y) 7→ (x− φs(y), y − φu(x))

A derivada de Φ no zero e a identidade. Portanto e um difeomorfismolocal. Se (x, y) ∈ W u(p) ⇒ Φ(x, y) = (x − φs(y), 0) ⊂ Rk × 0. Se(x, y) ∈W s(p) ⇒ Φ(x, y) = (0, y − φu(x)) ⊂ Rn−k × 0.


5 Dinamica Hiperbolica

O Teorema da variedade estavel, visto secao 4, tera sua tecnicalidade su-perada por meio da riqueza de resultados que obteremos nesta secao. Oprincipal resultado desta secao, chamado de Lema de sombreamente, e ummecanismo de se “criar“ pontos periodicos. As outras subsecoes seguemcomo uma aplicacao deste resultado com excecao do Lambda-Lema. Esteultimo resultado e apenas a formalizacao de um resultado muito intuitivo.Ele afimra que um disco tranversal a variedade estavel de um ponto fixo seaproxima da variedade instavel deste ponto.

5.1 Lema de Sombreamento

Dizemos que uma sequencia xi em M e uma δ-pseudo orbita para fse d(f(xi), xi+1) ≤ δ. Um ponto y ∈ M ε-sombreia a sequencia xi sed(f i(y), xi) ≤ ε.

Teorema 5.1 (Lema de Sombreamento). Seja Λ ⊂ M um conjunto hi-perbolico para f . Dado ε > 0, entao existem η, δ > 0 tais que se xij2i=j1for uma δ-pseudo orbita para f com d(xi,Λ) < η, entao:

• Existe y ∈M com d(y,Λ) < η tal que y ε-sombreia xi. E mais

1. Se j1 = −∞ e j2 = ∞, entao y e unico;2. Se xij2i=j1 for periodica entao y e ponto periodico;3. Se Λ for isolado, entao y ∈ Λ.

Demonstracao. Se p ∈ Λ, entao o espaco tangente em p se decompoe emEsp ⊕ Eup . Seja U uma vizinhanca de Λ para o qual conseguimos estender adecomposicao invariante Es ⊕ Eu em U . Seja η pequeno o suficiente paraque uma η-vizinhanca, Uη, de Λ esteja contido em U .

Considere Bp(r) = Eup (r)⊕ Esp(r) ⊂ TpM , denote Vp(r) := expp(Bp(r)).

Fj : Bxj (r) → Bxj+1(C0r)

y 7→ exp−1xj+1

f expxj

Podemos tomar δ pequeno o suficiente para que DFj satisfaca as mesmascondicoes imposta no Teorema de Hadamard-Perron.

Facamos o caso em que j1 = −∞ e j2 = ∞, para o caso finito a demons-tracao e parecida. Considere os conjuntos

Du0 =

∞⋂

k=0

F−1 . . . F−k(Bx−k(r))

Ds0 =

∞⋂

k=0

F−11 . . . F−1

k−1(Bxk(r))


Na notacao usada no Teorema de Hadmard-Perron, vemos que de fatoDu0

e Ds0 sao graficos de funcoes com constante de Lipschitz menor ou igual a γ e

portanto a intersecao desses graafico e um unico ponto que denotamos por y.Note que como y ∈ Ds

0 entao para frente ele ε-sombreia xn, analogamentepara o passado.

Se xn for periodico de perıodo l, entao como fn(y) e fn(f l(y)) ε-sombreia xn, por unicidade y = f l(y). Para conjunto hiperbolico maximal,y permanece sempre dentro de uma vizinhanca pequena de Λ logo esta emΛ.

Se Λ nao for isolado, e possıvel que y nao pertenca a Λ. Para isso bastaconsiderar um conjunto minimal nao trivial. De fato construimos um talconjunto na ferradura no Exemplo 5.6.

Corolario 5.1. Existe uma vizinhanca, Vf , de f na topologia C de modoque as constantes do Lema de Sombreamento valem igualmente para todag ∈ Vf . Isto e, dado epsilon existem δ e η como no teorema satisfazendo acondicao de sombreamento para toda g ∈ Vf .Demonstracao. Segue da demonstracao, olhando que basta tomar Vf paraque sejam satisfeitas as mesmas condicoes que a f .

Corolario 5.2. Λ hiperbolico, entao f |Λ e expansivo

Demonstracao. Utilizando o lema de sombreamento, seja ε qualquer. Definaδ = minδ, ε, vejamos que esta e a constante de expansividade. Onde δe dado pelo lema de sombreamento. Por absurdo, suponha x 6= y tal qued(fn(x), fn(y)) < δ, como fn(y) e δ-pseudo orbita existe unico que a εacompanha. Logo x = y.

O Teorema 5.1 e de fato um dos mais importante na teoria. Ele serausado durante todo o texto. Daremos agora algumas aplicacoes que decor-rem do Lema de Sombreamento.

Proposicao 5.1. Se Λ e hiperbolico isolado, entao Perf |Λ = Ω(f |Λ).

Demonstracao. Ja sabemos que Perf |Λ ⊂ Ω(f |Λ).Seja x ∈ Ω(f |Λ). Dado ε0 > 0 quero achar um ponto periodico ε0 perto de

x. Do lema de sombreamento tome ε = ε0/2, existe portanto o δ. Considerea bola B de raio r < minε, δ/2 centrada em x. Como x e nao errante,existe um iterado k ∈ N de algum y ∈ B tal que fk(y) ∈ B. Completamosesta sequencia para obter a seguinte δ-pseudo periodica orbita:

. . . , fk(y), y, f(y), f2(y), . . . , fk(y), y, . . .e pelo lema de sombreamento existe y0 ∈ Λ (aqui usamos Λ isolado) queε-sombreia e e periodico. Das escolhas feitas, segue que

d(y0, x) < d(y0, y) + d(y, x) < ε+ r < ε0/2 + ε0/2


Concluimos que y e o ponto periodico procurado.

Definicao 5.2. Dizemos que um ponto q e homoclınico com relacao aoponto p se q ∈ W s(p) ∩W u(p). Se em q a intersecao for tranversal entao qe um ponto homoclınico transversal.

Teorema 5.3. Todo ponto homoclınico transversal e acumulado por pontosperiodicos.

Demonstracao. Seja q ∈W s(p)∩W u(p) um ponto de interseccao transversal.Podemos supor p ponto fixo. Defina o conjunto

Λ = p ∪ O(q)

Λ e fechado invariante. Para usar o lema de sombreamento queremos olha-locomo um conjunto hiperbolico. Precisamos encontrar a decomposicao nossubespacoes invariantes contrativos e expansivos. Definimos Es(q) comosendo o espaco tangente a variedade estavel de q, analogamente Eu(q),Es(q), Eu(q). Para os outros pontos definimos Es(fn(q)) = dfnq (Es(q) ana-logamente para a variedade instavel. Podemos assim utilizar o lema desombreamento para Λ.

Dado ε0 queremos achar um ponto periodico ε0 proximo de q. Tome nolema de sombreamento ε = ε, e seja δ o delta para pseudo-orbita. Comoq ∈W s(p)∩W u(p) podemos tomar para k suficientemente grandes a seguinteδ-pseudo periodica orbita.

. . . , fk(q), f−k(q), . . . , f−1(q), q, f(q), . . . , fk(q), f−k(q), . . .

Existe portanto y0 periodico que ε aproxima esta pseudo-orbita. Por-tanto existe uma ponto periodico ε proximo de q.

Definicao 5.4. Definimos os conjuntos estaveis e instaveis para um sub-conjunto A ⊂M respectivamente por

• W s(A) = y ∈M | d(fn(y), fn(A)) → 0 quando n→∞;• W u(A) = y ∈M | d(fn(y), fn(A)) → 0 quando n→ −∞.


Proposicao 5.2. Seja Λ hiperbolico maximal. Entao

W s(Λ) =⋃

x∈Λ

W s(x), W u(Λ) =⋃

x∈Λ

W u(x)

Demonstracao. Sendo Λ compacto, existe ε0 > 0 uniforme de modo queum ponto que ε0-acompanha um outro deve estar na sua variedade estavel.Existe tambem L0 > 0 tal que para pontos x, y δ0-proximos em M temosd(f(x), f(y)) < L0d(x, y).

Uma inclusao e facil, provemos a outra. Seja y ∈ W s(Λ), do lema desombreamento tome ε = ε0/2, o que nos fornece um δ. Seja N0 grande osuficiente para que, se n ≥ N0 entao

d(fn(y),Λ) < δ, n ≥ N0 ; δ := minδ, (ε0/2)(1/(1 + L0)Existem xn ∈ Λ com d(xn, fn(y)) < δ para n ≥ N0. Queremos encontrar

uma δ-pseudo orbita. Para n ≥ N0 tomemos xn para n < N0 definimosxj = f−N0+j(xN0).

Afirmacao: xn e uma δ-pseudo orbita.Basta checarmos para n ≥ N0 pois para tras temos uma orbita.

d(xn+1, f(xn)) ≤ d(xn+1, fn+1(y)) + d(fn+1(y), f(xn)) ≤ δ+L0d(fn(y), xn)

≤ δ + Lδ = δ(1 + L) < ε0/2

Provando assim a afirmacao. E portanto existe um y0 ∈ Λ (aqui usamos quee isolado) que ε sombreia esta pseudo orbita.

Note que para n ≥ N0

d(fn(y), fn(y0)) ≤ d(fn(y), xn)+d(xn, fn(y0)) ≤ δ+ε0/2 ≤ ε0/2+ε0/2 = ε0

Entao fN0(y) ∈W sloc(f

N0(y0)), concluimos assim que y ∈W s(y0).

Exemplo 5.5. Construamos um exemplo em que Λ seja hiperbolico, masW s(Λ) 6= ⋃

x∈ΛWs(x).

Olhando para a ferradura, sob o ponto de vista da dinamica simbolicadefinimos Λ como sendo o conjuntos das sequencias (xi)i∈N de zero e um coma propriedade que os zeros aparecem apenas em blocos (nao necessariamentefinito) de tamanho par. Tome x0 = (. . . 11.01000100000100000001 . . .), apa-rece um 0 seguido de um 1 depois tres zeros seguido de 1, cinco zeros seguidode 1, e assim por diantes. Acrescentando sempre uma quantidade ımpar dezeros.

E facil ver que x0 ∈ W s(Λ), ja que no iterado σn(x0) sempre achamosum elemento de Λ que coincida com x0 em torno (centrado na posicao zero)das n − 2 coordenadas. Mas nao existe p ∈ Λ tal que x0 ∈ W s(p) pois seisso acontecesse x0 e p coincidiriam as entradas a partir de um momento, oque nao pode ocorrer.


Exemplo 5.6. Existe minimal nao trivial (i.e. nao e orbita de um pontoperiodico), na ferradura.

Pegue Rα uma rotacao irracional em S1. Seja x0 ∈ S1, tome x1 = f(x0)e y0 = f(x1). Sejam I0, I1 abertos conexos tais que S1\x0, x1 = I0 ∪ I1.Defina θ(n) para n ≥ 0 por fn(y0) ∈ Iθ(n). Por fim, defina η ∈ 0, 1Z porη(n) = θ(|n|).

Vejamos que ω(η) nao contem pontos periodicos. Por absurdo, suponhaque exista sequencia de naturais ni → ∞ tais que d(σni(η), p) → 0. Ondeσ e a funcao shift e p um ponto periodico. Seja k o perıodo do ponto p. Arotacao irracional Rkα tem a propriedade: existe n0 tal que para todo pontox ∈ S1 o conjunto Rnkα(x)n0

n=0 possui elementos em I0 e em I1. (Paraprovar esta afirmacao basta ver que vale pontualmente, pois a rotacao etransitiva, entao vale localmente e usa o fato que S1 e compacto.)

Mas d(σni(η), p) → 0 implica que podemos achar iterados consecutivosque caiam dentro de I0 (ou I1). Ou seja,

Rl0α (y0), Rl0+kα (y0), Rl0+2k

α (y0), . . . , Rl0+mkα (y0) ∈ I0

por conseguinte,

Rl0α (y0), Rkα(Rl0α (y0)), R2kα(Rl0α (y0)), . . . , Rmkα(Rl0α (y0)) ∈ I0

O que e um aburdo pela propriedade de Rkα comentada anteriormente.Concluimos que ω(x) nao contem pontos periodicos e possui, pela Pro-

posisao 2.4, um minimal que, portanto, nao e trivial.

5.2 Conjunto Hiperbolico Maximal

Vimos na secao 3 a definicao de conjunto hiperbolico isolado, obteremosagora alguns resultados relativo ao mesmo.

Observacao 5.1. Todd Fisher 4 mostrou que existem conjuntos hiperbolicosque nao estao contidos em nenhum conjunto hiperbolico maximal. De fatoe possıvel mostrar que este exemplo e robusto e pode ser construıdo emqualquer variedade de dimensao maior ou igual a dois.

Teorema 5.7. Se Λ e um conjunto hiperbolico isolado para f , entao existemvizinhancas U de Λ e Uf de f ; tal que: se g ∈ Uf , entao

Λg :=⋂

n∈Zgn(U)

e hiperbolico isolado para g.4Todd Fisher, Hyperbolic sets that are not locally maximal, Ergodic Theory Dynam

Systems 26, 2006.


Demonstracao. Vejamos como escolher as vizinhancas do enunciado. Con-sidere U uma vizinhanca de isolamento de Λ para f , podemos tomas estavizinhanca menos, se necessario, de forma que esteja dentro da vizinhancafornecida pelo Lema de Sombreamento (Teorema 5.1). Dado ε = 1

2d(Λ, ∂U),o Lema de Sombreamento fornece um δ. Tomemos a vizinhanca Uf pequenao suficiente (uma δ-vizinhanca por exemplo) para que ∀x ∈M , gn(x) sejauma δ-pseudo orbita para f .

Com isso vejamos que Λg e hiperbolico isolado. Basta provarmos queΛg ⊂ U . Suponha por absurdo que exista x ∈ Λg ∩ ∂U . Como gn(x) e umaδ-pseudo orbita para f , existe y ∈ Λf . Mas este ponto, y ∈ Λ, estaria forade Λ. Absurdo.

Sabemos que podemos tomar a vizinhancca Uf pequena o suficiente paraque Λ seja de fato um conjunto hiperbolico (usando cones invariantes). Porfim, usando que Ω(f |Λ) = Per(f |Λ) implica que existe um ponto hiperbolicoperiodico, que e mantido por perturbacoes. O que implica que Λg 6= ∅ paraperturbacoes proximas de f .

Lema 5.1. Seja f : M → M , δ-expansiva. Dado ε > 0 existe N ∈ N talque se d(fn(x), fn(y)) < δ para todo |n| < N , entao d(x, y) < ε.

Demonstracao. Por contradicao suponha d(fn(x), fn(y)) < δ para todo ncom d(x, y) > ε. Entao por expansividade x = y, absurdo.

Teorema 5.8. (Estabilidade de Conjunto Hiperbolico Isolado) Seja Λf hi-perbolico isolado para f : M → M . Entao existem vizinhancas U de Λf eVf de f na topologia C1 tal que Λg =

⋂n∈Z g

n(U) e conjugado a Λf . Isto e,existe homeomorfismo h : Λf → Λg fazendo o diagrama abaixo comutar

Λff //

h²²

Λf

h²²

Λgg // Λg

Demonstracao. Para vizinhancas pequenas o suficiente em torno de f temosque Λg e nao vazio. De fato, como

Per(f|Λf) = Ω(f|Λf

)

temos pontos periodicos hiperbolicos e que sao mantidos por perturbacoes.Portanto Λg e nao vazio.

Encontremos a funcao h. Tome ε < δ0/3, onde δ0 e a constante deexpansividade de f . Para este ε seja δ dado pelo lema de sombreamento.Com isso considere uma δ-vizinhanca, Vf , de f na topologia C1 e pequena osuficiente para que Λg 6= ∅. Isto quer dizer que se g ∈ Vf , entao para x ∈ Λftemos que fn(x) e uma δ-pseudo orbita para g:

d(g(fn−1(x)), fn(x)) = d(g(fn−1(x)), f(fn−1(x)) < δ


Definimos a funcao

h : Λf → Λgx 7→ h(x)

onde h(x) e um ponto que ε-sombreia fn(x).Devido ao Corolario 5.1, podemos definir a inversa de h analogamente a

definicao de h.Provaremos que h−1 e contınua. O que implica que h e homeomorfismo,

dado que uma bijecao contınua em um compacto e um homeomorfismo.Dado ε > 0, seja N = N(ε) proveniente do lema acima para ε e f . Tome

δ tal que se d(x, y) < δ, entao d(gn(x), gn(y)) < δ/3 para |n| < N .

d(fn(h−1(x)), fn(h−1(y)) ≤ d(fn(h−1(x)), gn(x)) + d(gn(x), gn(y))+ d(gn(y), fn(h−1(y)) < δ/3 + δ/3 + δ/3= δ

usamos que d(gn(x), fn(h−1(x)) e d(gn(y), fn(h−1(y))) sao menores que δ/3pois como definimos acima fn(h−1(x)) ε-sombreia gn(x). Portantod(h−1(x), h−1(y)) < ε

Logo h e um homeomorfismo. Por fim note que h e a conjugacao entreΛf e Λg, dado que por definicao h f = g h.Observacao 5.2. A conjugacao h construıda no teorema acima e Holdercontınua. Vale em geral, qualquer conjugacao entre conjuntos hiperbolico eHolder contınua. (Vide Teorema 19.1.2. em [5].)

5.2.1 Estrutura de Produto Local

Uma maneira equivalente de se definir conjunto hiperbolico maximal e dizerque este possui estrutura de produto local.

Definicao 5.9. Dizemos que um conjunto hiperbolico Λ tem estrutura deproduto local (E.P.L.) se:

Existem ε > 0, δ > 0 tal que para todo x, y ∈ Λ satisfazendo d(x, y) < δ,entao

[x, y] := W sε (x) ∩W u

ε (y)

e um unico ponto e este ponto esta em Λ.

Teorema 5.10 (Sombreamento com E.P.L.). Seja f um difeomorfismo e Λum conjunto hiperbolico com estrutura de produto local (E.P.L.).

• Entao para todo β > 0, existe um α > 0 tal que toda α-pseudo-orbitax = xn ⊂ Λ e β-sombreada por um ponto y ∈ Λ.


E mais, se β < δ/2 onde δ e a constante de expansividade de f e x ebi-infinita, entao y e unico.

Demonstracao. E dado β > 0. Usando a propriedade de produto local,sabemos que existe ε, δ tal que se d(x, y) < δ entao [x, y] = [x, y]ε,δ =W sε (x) ∩W u

ε (y) e um unico ponto e que esta em Λ. Tomamos ε, δ menores,se necessario, de forma que

ε

(1− λ)< β/2.

Em particular, ε < β/2. Sejam λ e C da definicao de conjunto hi-perbolico, vimos que podemos supor C = 1. Lembre que λ < 1.

Agora definimos α da seguinte maneira: α e um numero positivo menorque δ tal que se d(z, w) < α, entao

[z,W sλε(w) ∩ Λ] ⊂W s

ε (z)

Seja x = x0, . . . , xn uma α-pseudo-orbita finita em Λ. Defina y0 = x0.Note que y1 = [x1, f(y0)] esta bem defindo por ser x uma α-pseudo-orbita.Definimos yk por

yk = [xk, f(yk−1)], ∀n ∈ 1, . . . , n

De fato precisamos ver que yk esta bem definida. A prova e por inducao,vimos que para k = 1 e verdade. Aplicando a hipotese de inducao yk ∈W sε (xk)∩Λ, entao f(yk) ∈W s

λε(f(xk)) e pela definicao de α isto implica queyk+1 esta bem definida.

Note que yk ∈ W uε (f(yk−1)), assim f−j(yk) ∈ W u

θj(yk−j), onde θj =∑j

i=1 λiε < γ := ε/(1 − λ). Vejamos que o ponto y = f−n(yn) β-sombreia

x. Como f−(n−j)(yn) = f j(y) ∈W uγ (yj) temos

d(f j(y), xj) ≤ d(f j(y), yj) + d(yj , xj) ≤ γ + ε < β.

Por fim, se x for infinito achamos um ponto zn que β-sombreia xn =x−n, . . . , x−1, x0, x1, . . . , xn. E tomando um ponto de acumulacao de znobtemos um ponto em Λ que β-sobreia x.

Para a ultima parte, suponha que tenhamos dois pontos y1, y2 que β-sombream, entao

d(fn(y1), fn(y2)) ≤ d(fn(y1), xn) + d(xn, fn(y2)) ≤ β, ∀n ∈ Z

Portanto, y1 = y2.

Teorema 5.11. Seja f um difeomorfismo. Um conjunto hiperbolico Λ eisolado se, e somente se, Λ tem estrutura de produto local.


Demonstracao. (⇒) : Como Λ e hiperbolico compacto, sabemos que existemδ0, ε0 > 0 tais que se d(x, y) < ε0 entao [x, y] = W s

ε0(x)∩W uε0(y) e constituıdo

de exatamente um ponto. Sendo Λ hiperbolico, sejam ε, δ tal que numa δvizinhanca de Λ toda δ pseudo-orbita nesta vizinhanca e ε-sombreada poralgum ponto de Λ. Queremos checar que z = [x, y] ∈ Λ, mas por um ladod(fn(x), fn(z)), d(f−n(y), f−n(z)) < ε0 ∀n ∈ N. Portanto, como podemostomar esses ε e δ tao pequenos quanto quisermos, d(fn(z),Λ) < ε e sendofn(z) uma δ-pseudo-orbita existe um unico conjunto cujo a orbita o εsombreia, logo este ponto deve ser o proprio z e deve estar em Λ ja que Λ eisolado.

(⇐) : Considere V uma vizinhanca de Λ a qual estendemos os cones inva-riantes de forma que ΛV =

⋂n∈N f

n(V) seja hiperbolico. Chamemos de δ aconstante de expansividade deste conjunto hiperbolico. Sendo Λ hiperbolicocom E.P.L. considere ε, δ fazendo o papel de α, β na Proposicao 5.10. To-memos δ tal que d(f(x), f(y)) < δ/2 se d(x, y) < δ (por compacidade fe uniformemente contınua) e δ < δ/2. Denotando Uδ a δ-vizinhanca de Λprovemos que

Λ =⋂

n∈Zfn(Uδ).

O numero δ e escolhido pequeno o suficiente para que Uδ ⊂ V e ε pequenopara que tenhamos unicidade no sombreamento com E.P.L. assim como ε <δ/2. Seja z ∈ ⋂

n∈Z fn(Uδ), entao fn(z) ∈ Uδ,∀n ∈ N. Para todo n natural

considere xn ∈ Λ tal que d(fn(z), xn) < δ. Observe que xn e uma δ-pseudo-orbita

d(f(xn), xn+1) ≤ d(f(xn), f(fn(z))) + d(fn+1(xn), xn+1) ≤ δ/2 + δ/2 = δ

A Proposicao 5.10 diz que existe um ponto y ∈ Λ que ε sombreia. Para todointeiro n

d(fn(z), fn(y)) ≤ d(fn(z), xn) + d(xn, fn(y)) ≤ δ/2 + δ/2 = δ.

Por expansividade do hiperbolico⋂n∈Z f

n(V), entao z = y ∈ Λ.

Exemplo 5.12. Em particular o conjunto Λ = p ∪ O(q), construıdo noTeorema 5.3 nao e isolado, pois nao tem estrutura de produto local. Paraver que nao tem E.P.L. olhe em torno do ponto p.

5.3 Lambda-Lema

A seguir o Lambda-Lema, tambem conhecido como Lema da Inclinacao.

Teorema 5.13 (Lambda Lema). Seja p ∈M um ponto fixo hiperbolico parao difeomorfismo f ∈ Diff1(M). Se D e um disco transversal a variedade


estavel, W s(p), em um ponto q ∈ W s(p), entao dado R e ε reais positivosexiste N0 tal que ∀n ≥ N0 a componente conexa de fn(D) ∩ Vε(W u

R(p))que contem fn(p) esta ε-C1 proximo de W u

R(p). Onde W uR(p) e a variedade

instavel de p de raio R e Vε(W uR(p)) e uma vizinhanca de distancia ε de

W uR(p).

Demonstracao. Primeiramente observamos que o resultado vale se provar-mos o teorema em uma vizinhanca de p. Por isso olharemos f em coordena-das e tomaremos coordenadas C1 tais que as variedades estaveis e instaveisde p = 0 sao os eixos coordenados.Rk × 0 = W u(0) e 0 × Rn−k = W s(0).Para uma vizinhanca suficientemente pequena, assim como δ pequeno

temos

Dfz =(Auuz AuzBsz Bss

z

)

Com ||(Auuz )−1|| < 1/(µ), ||Bssz || < λ e ||Auz ||, ||Bs

z || < δ.Seja z ∈ 0×Rn−k = W s(0) o ponto q do disco D olhado em coordena-

das, note que neste caso como f deixa W s(0) invariante, entao Auz = 0. SejaEz : Rk → Rn−k uma transformacao linear cujo grafico seja igual a TzD.Olhemos para a imagem TzD pela Df ,

Dfz

(IEz

)=

(Auuz

Bsz +Bss

z Ez

)

Todavia como estamos interessado na imagem, podemos olhar para atransformacao linear dada por

Ez1 = Bssz Ez(A

uuz )−1 +Bs

z(Auuz )−1

onde z1 = f(z).

||Ez1 || ≤ ||Bssz Ez(A

uuz )−1||+ ||Bs

z(Auuz )−1|| ≤ 1/µ||Bs

z ||+ λ/µ||Ez||

Definimos zn = fn(z), por inducao vemos que

||Ezn || ≤n−1∑

j=0

(λ)n−j−1

(µ)n−j||Bs

zj||+

(λ

µ

)n

||Ez0 ||

Para n grande, podemos controlar o somatario pois ||Bszj|| e bem pequeno

quando j e grande e λ/µ < 1.

||(Bsz +Bss

z Ez) (Auuz +AuzEz)−1|| ≤ ||(Bs

z +Bssz Ez)||1/µ

≤ (||Bsz ||+ λ||Ez||)1/µ


E (||Bsz || + λ||Ez||)1/µ < ε caso estejamos em uma vizinhanca sufuciente-

mente proxima de Rk × 0, ja que Bsz = 0 em Rk × 0.


Exercıcios

Exercıcio 5.1. Mostre que se Λ e hiperbolico, entao a decomposicao TxM =Es ⊕ Eu e unica.

Exercıcio 5.2. Λ hiperbolico transitivo onde TxM = Es x ∈ Λ, entao Λ euma orbita periodica.

Exercıcio 5.3. De exemplos onde:

• Ω(f|Ω) 6= Ω(f);

• Perf|Λ 6= Ω(f|Λ).

Exercıcio 5.4 (Estabilidade estrutural de conjunto hiperbolico). Seja f :M → M um difeomorfismo e Λ um conjunto hiperbolico, nao necessaria-mente isolado.

a) Existe cones invariantes em torno de Λ;

b) Existe ponto periodico hiperbolido, para f , em toda vizinhanca de Λ;

c) Existe vizinhanca U de Λ e Vf de f na topologia C1 tal que

Λg :=⋂

n∈Zgn(U) 6= ∅, ∀g ∈ Vf ;

d) Construa a conjugacao h : Λf → Λg.

Portanto, o resultado do Teorema 5.8 e igualmente valido mesmo no casoem que Λ nao seja isolado.

Exercıcio 5.5. Seja F : T2 → R a funcao altura no toro, olhe o fluxoHamiltoniano e chame de f o fluxo em tempo t = 1. Prove que para todavizinhanca V ⊂ Diff1(T2) de f , existe um aberto U ⊂ V tal que ∀g ∈ Utem infinitos pontos periodicos.

Exercıcio 5.6. Seja Λ um conjunto hiperbolico qualquer, entao Ω(f |Λ) ⊂Per(f).

Exercıcio 5.7. Faca uma demonstracao do Lema de sombreamento inspi-rada na demonstracao do Teorema 5.10.


6 Kupka-Smale

Gostarıamos de entender, e se possıvel, classificar todos os difeomorfismo.Infelizmente o sonho de encontrar um aberto e denso de conjuntos estru-turalmente estaveis nao se tornou realidade, falaremos sobre isso na secao7. Podemos entretanto encontrar uma quantidade muito grande de um tipoespecıfico de difeomorfismos, conhecidos como Kupka-Smale. Em seguidaveremos os Morse-Smale, que foram uma primeira tentativa de encontrar otal conjunto aberto e denso de difeomorfismos estruturalmente estaveis.

Definicao 6.1. Um difeomorfismo e dito Kupka-Smale se todos os pontosperiodicos sao hiperbolicos e as variedade estaveis e instaveis, desses pontos,se instersectam transversalmente (para qualquer ponto da intersecao).

Teorema 6.2 (Kupka-Smale). O conjunto dos difeomorfismos Kupka −Smale de classe C1 e residual em Diff1(M). Em particular e denso.

Demonstracao. Definamos o conjunto

KS(n) = f ∈ Diff1(M) | Per(f, n) e hiperbolico eW sn(f, p)tW u

n (f, p), ∀p, q ∈ Per(f, n)

Vemos que o conjunto dos difeomorfismos Kupka-Smale e

KS =⋂

n≥0

KS(n)

O resultado seguira, portanto, se provarmos que KS(n) e aberto e denso.

Abertura: Vemos facilmente que KS(n) e aberto, dado que temos finitospontos periodicos de ordem menor ou igual a n, assim como finitos pontos deintersecao das variedades de tamanho n. Logo por uma pequena perturbacaotodos os pontos periocos continuam hiperbolicos e as intersecoes transversaispersistem. A unica observacao e que fazemos a perturbacao fina o suficientepara nao criarmos intersecoes.

Densidade: Conside o conjunto

Dn = f ∈ Diff1(M) | Per(f, n) hiperbolico eW s(f, p)tW u(f, p), ∀p, q ∈ Per(f, n)

Tem-se Dn ⊂ KS(n). Se Dn e denso, entao KS(n) tambem o e. Odifeomorfismo preserva as tranversalidades, assim

W s(f, p)tW u(f, p) ⇐⇒W sloc(f, p)tW u(f, p).


Defina

Dn,m = f ∈ Diff1(M) | Per(f, n) hiperbolico eW s(f, p)tf i(W u

loc(f, p)),∀p, q ∈ Per(f, n), 0 ≤ i ≤ m

Dn,0 e denso. Dado f podemos aproximar por g com Per(g, n) hi-perbolico. Agora o resultado segue por inducao. Dado f , aproxima porg ∈ Dn,m−1 e faz uma modificacao em g para que pertenca a Dn,m.

E segue o resultado.

Proposicao 6.1. Suponha M uma superfıcia, i.e. dimensao dois. Na to-pologia C1, se f e estruturalmente estavel entao e Kupka-Smale.

Demonstracao. Provemos por absurdo. Seja f seja estruturalmente estavele nao seja Kupka-Smale.

Primeiro, suponha que exista ponto periodico p, digamos de perıodo k,que nao seja hiperbolico. Considere uma vizinhanca de f V = Vf , ondeduas quaisquer funcoes sao conjugadas. Considere uma g KS em V. Logocomo f e conjugada a g, f tem quantidade finita de pontos periodicos deperıodo k. Sejam q1, . . . , qr esses pontos periodicos. Fazendo perturbacoes(como no Teorema 6.2) perturbamos os pontos q1, . . . , qr−1 para que sejamhiperbolicos. Chame esta nova funcao de f . Sabemos que f e g sao con-jugadas. Acontece que o ultimo ponto qr podemos perturbar de modo acriar expansao ou contracao no subespaco que tem o autovalor tem norma1. Logo nao pode ser conjugado a g. Absurdo.

No segundo caso supondo que existe um ponto de tangencia. Podemosperturbar para achar uma tangencia que toque numa quantidade nao enu-meravel de pontos (aqui usamos aproximacao C1). Mas KS tem quantidadeenumeravel de tangencial. Absurdo.

Observacao 6.1. Clark Robison 5 mostrou que o resultado acima vale natopologia Cr e M uma variedade qualquer.

Exemplo 6.3. Kupka-Smale nao e denso no conjunto dos difeomorfismoque preservam volume.

Para dar um exemplo consideramos A =(

0 1−1 0

)e o difeomorfismo

induzido no toro por A (ja que A possui entradas inteiras). Este difeomor-fismo preserva a medida de lebesgue e possui auto-valores ±i logo nao epossıvel ter Kupka-Smale f perto de A preservando volume ja que os auto-valores de f seriam conjugados e portanto teriam norma maior ou menorque 1 e portanto nao poderiam preservar a medida de lebesgue.

5Clark Robinson, Cr structural stability implies Kupka-Smale, Dynamical Systems,1973.


6.1 Morse-Smale

Um resultado devido a Peixoto, mostrou que pelo menos no cırculo podemosencontrar um aberto e denso de estruturalmente estaveis. Sendo estes osdifeomorfismos Morse-Smale.

Definicao 6.4. Dizemos que um difeomorfismo f : M →M e Morse-Smalese

• Ω(f) = Per(f) hiperbolico e finito;

• W s(p)tW u(q), ∀p, q ∈ Ω(f).

O proximo resultado fornece que os difeomorfismos de Morse-Smale for-mam um conjunto aberto e dense, alem de serem estruturalmente estaveis,quando M = S1.

Teorema 6.5. Seja MS o conjunto dos difeomorfismo de S1 → S1 tais queΩ(f) e finito e os pontos periodicos sao hiperbolicos.

Demonstracao. Primeiramente vejamos um closing lema no cırculo.

Lema 6.1. f ∈ Diff1(S1), p ∈ Ω(f), entao existe g arbitrariamente pertode f tal que p ∈ per(g).Demonstracao. Defina a funcao fu(x) = f(x)+ εuφ(x), onde φ e uma bumpfunction. Note que ||f − fu|| ≤ ε||φ||1. A ideia e que, usando o teorema dovalor medio, podemos variar u para obter que fu “feche” no ponto p.

E facil ver que e aberto. Vejamos que e denso. Dado um difeomorfismoqualquer, sabemos que existe um ponto p ∈ Ω(f). Usando o closing lema,seja g suficientemente perto com p sendo ponto periodico. Agora perturba-mos para que esse ponto torne-se hiperbolico. Em seguida por transversali-dade (com relacao a diagonal) aproximamos por um difemos com quantidadefinita de pontos periodicos.

Exercıcios

Exercıcio 6.1. Os difeomorfismos Morse-Smale do toro bidimensional naosao densos.


7 Ω-Estabilidade

O objetivo desta secao e apresentar os difeomorfismos conhecidos como Axi-oma A. Antes da sua definicao veremos alguns resultados que culminaraocom a apresentacao dos mesmos. Veremos como estes difeomorfismo estaointimamente ligados com a estabilidade do sistema.

7.1 Decomposicao espectral

Boa parte do instrumental desenvolido ate agora se juntarao culminandonuma melhor compreensao de conjuntos que carregam hiperbolicidade, emparticular os introduzidos no inıcio deste trabalho, os periodicos e nao-errantes.

Teorema 7.1. Sejam f ∈ Diff1(M) e Per(f) hiperbolico. Entao

Per(f) = Λ1 ∪ . . . ∪ Λr

onde Λi sao fechados hiperbolicos, com estrutura de produto local, dois adois disjuntos e f |Λi e transitiva.

Demonstracao. Definimos a seguinte classe de equivalencia em Per(f):Sejam p, q ∈ Per(f), entao p ∼ q se, e somente se, W u(O(p)) tem

ponto de interseccao tranversal com W s(O(q)) e W s(O(p)) tem ponto deinterseccao transversal com W u(O(q)).

Esta e de fato uma classe de equivalencia. Segue do lema de inclinacao.

Defino agora H(p) como sendo o fecho da classe de equivalencia de p ∈Per(f).

Afirmacao 1: Se p, q ∈ Per(f) entao H(p) ∩H(q) = ∅ ou H(p) = H(q).De fato, se x ∈ H(p)∩H(q) usando a continuidade da variedade estavel

para pontos periodicos p1 ∈ H(p) e p2 ∈ H(q) suficientemente proximos dex suas variedade estaveis e instaveis se intersectam transversalmente. Logop1 ∼ p2 e portanto as classes sao iguais. ¤ (Afirmacao 1)

Afirmacao 2: Existem finitos H(p).De fato, como Per(f) e compacto hiperbolico, existe ε tal que se dois

pontos estao a uma distancia ε suas variedades estaveis e instaveis possuem


pontos de interseccao transversal. Defina

Vp = x ∈M | d(x,H(p)) < ε/3Vejamos que se H(p) 6= H(q), entao Vp ∩ Vq = ∅. Se x ∈ Vp ∩ Vq

entao existem p1 ∈ H(p) e q1 ∈ H(q) periodicos com d(p1, x), d(q1, x) < ε/3e portanto d(p1, q1) < ε. O que implica que p1 e q1 possuem pontos deintersecao transversal das suas variedades estaveis e instaveis de um comrelacao ao outro, isto e H(p) = H(q) absurdo.

Por fim, Per(f) ⊂ ⋃p∈Per(f) Vp, por compacidade existem finitos H(p).

¤ (Afirmacao 2)

Afirmacao 3: Os H(p) possuem estrutura de produto local.Demonstremos um resultado mais geral. Provemos que se z pertence a

intersecao tranversal W s(x)∩W u(y) e w a W s(y)∩W u(x) com x, y ∈ H(p),entao z, w ∈ H(p). Por continuidade das variedades estaveis/intaveis e comoH(p) e fechado, posso me restringir ao caso em que x, y sao periodicos. Paraisso vejamos que z, w sao aproximados por pontos periodicos em H(p). Paraisso fazemos o mesmo que fizemos na demonstraccao do Teorema 5.3. Excetoque aqui definiremos o nosso conjunto hiperbolico como sendo (suponha x, ypontos fixo)

Λ = p, q ∪ O(z) ∪ O(w)

pelo lema de sombreameto terei uma orbita periodica perto. No entantocomo posso tomar tao proximo quando se queira, essa orbita, por continui-dade da variedade estavel/instavel, deve estar na mesma classe que x e y.Com isso consigo aproximar z, w. ¤ (Afirmacao 3)

Afirmacao 4: Os H(p) sao transitivos.De fato, para provar a transitividade basta tomar dois abertos V,U de

H(p) e provar que existe algum iterado n de f tal que fn(U)∩V 6= ∅. Sejamp ∈ U e q ∈ V periodicos em H(p). Pelo mesmo argumento feito acima,usando o lema de sombreamento, temos que a interseccao transversal dasvariedades estaveis e intaveis de um ponto periodico com relacao ao outroesta no conjuntoH(p). Seja z ∈W s(p)∩W u(q) um tal ponto, logo z ∈ H(p).Para n grande temos fn(z) ∈ U e f−n(z) ∈ V. ¤ (Afirmacao 4)

Por fim, resta observar que tomamos os Λi como sendo esses finitos H(p).O que demonstra o teorema.

Teorema 7.2 (Decomposicao Espectral). L(f) hiperbolico. Entao

L(f) =k⋃

i=1

Λi

onde Λi sao fechados hiperbolicos maximais e dois a dois disjuntos e f |Λi

e transitiva.


Demonstracao. Pelo Teorema 7.1 basta provarmos que Per(f) = L(f). Sa-bemos que Per(f) ⊂ L(f). Resta mostrar a outra inclusao.

Seja x ∈ L(f), entao x e acumulado, digamos, por xn ∈ ω(yn). Comoqueremos aproximar x por periodicos basta provar que se z ∈ ω(y), entaopodemos aproximar z por um periodico que esta ε-proximo de z. Tomeε = ε0/2 no Lema de sombreamento e considere o δ e η dados pelo teorema.Defina a vizinhanca

V = x ∈M | d(x, L(f)) < η

Existe n0 tal que para n ≥ n0 fn(y) ∈ V, caso contrario terıamos umponto da orbita de y acumulando fora de L(f), absurdo. Considere doistempos n2 > n1 ambos maiores que n0 e tais que d(fn1(y), z), d(fn2(y), z) <minδ/2, ε0/2. Assim podemos construir a seguinte δ-pseudo orbita periodica

. . . , fn2(y), fn1(y), fn1+1(y), . . . , fn2−1(y), fn2(y), fn1(y), . . .

Portanto existe um ponto periodico y0 que esta ε perto de fn1(y), istoimplica que y0 esta ε0 proximo de z.

7.2 Filtracao

Seja f : M → M um homeomorfismo. Uma Filtracao F de f , e umasequencia encaixada de subvariedades compactas com bordo de codimensaozero tais que

∅ = M0 ⊂M1 ⊂ . . . ⊂Mk = M ;

f(Mi) ⊂ Int.Mi, 0 ≤ i ≤ k.

Denotamos F−1 a filtracao de f−1, dada por

∅ = M −Mk ⊂M −Mk−1 ⊂ . . . ⊂M −M0 = M ;

f−1(M −Mi) ⊂ Int.(M −Mi), 0 ≤ i ≤ k.

Dada uma filtracao, definimos os seguintes conjuntos compactos invari-antes

Ki(F) =⋂

n∈Zfn(Mi −Mi−1)

Proposicao 7.1. Se L(f) ⊂ Λ1 ∪ . . . ∪ Λr, Λi invariantes fechados, entaoM e a uniao disjunta

M =r⋃

i=1

W s(Λi) =r⋃

i=1

W u(Λi)


Demonstracao. Provamos para as variedade estaveis. Uma inclusao e obvia.Provemos a outra. Considere vizinhancas Ui de Λi de forma que

f(Ui) ∩ Uj = ∅, i 6= j.

Dado x ∈M existe n0 tal que se n > n0 entao fn(x) ∈ ∪Ui. A propriedadeacima implica que todos os iterados grandes devem estar em um unico Ui0 .Portanto x ∈W s(Λi0).

Para os Λi como no enunciado da proposicao acima. Definimos a seguinterelacao, >>, parcial de ordem

Λi >> Λj ⇐⇒ (W u(Λi)− Λi) ∩ (W s(Λj)− Λj) 6= ∅Dizemos que existe um r-ciclo se acontece

Λi1 >> . . . >> Λir = Λi1

No caso em que nao temos ciclos, podemos reindexar os ındices e obter umaordem total. Ou seja

Λi >> Λj ⇒ i > j

chamamos esta ordenacao de ordem da filtracao.Para construir uma tal ordenacao pegamos todos os Λi’s tais que nao

exista nenhum Λi que seja menor (<<) que eles. Deve existir por naohaver ciclo. Esses serao os de menores ındices. Agora desconsidere essesΛi’s e repita o processo. Estes novos devem ser maiores que os anteriores.Repetindo o processo ate obter a ordem da filtracao.

Teorema 7.3. Seja f : M → M um homeomorfismo tal que L(f) ⊂ Λ =Λi ∪ . . . ∪ Λr, Λ′is fechados e invariantes. Entao

Λi = Ki(F), 1 ≤ i ≤ r, para alguma filtracao F de f .

mΛi nao possuem ciclos e a ordem dos ındices e a ordem da filtracao.

Demonstracao. (⇓) Seja F uma filtracao para f . E facil ver

W u(Ki(F)) ⊂Mi ; W s(Ki(F)) ⊂M −Mi−1

Isto implica que nao podemos ter r-ciclo para r > 1, ja que nao posso terKi(F) >> . . . >> Kj(F) com i < j. Vejamos que nao existe 1-ciclo. O fatode W s e W u serem invariantes e que Ki(F) = ∩n∈Zfn(Mi −Mi−1) implica

W s(Ki(F)) ∩W u(Ki(F)) = Ki(F)

portanto nao pode ocorrer Ki(F) >> Ki(F). ¤(⇓)

(⇑) Necessitaremos para esta implicacao de uma serie de lemas.


Lema 7.1. Se W u(Λi) ∩W u(Λj) 6= ∅ ⇒W u(Λi) ∩ Λj 6= ∅.

Demonstracao. Seja x ∈ W u(Λi) ∩ W u(Λj). Como W u(Λi) e invariante,tem-se W u(Λi) invariante.

x ∈W u(Λi) ⇒ α(x) ⊂W u(Λi)

x ∈W u(Λj) ⇒ α(x) ⊂ Λj

Entao α(x) ⊂W u(Λi) ∩ Λj .

Lema 7.2. Se W u(Λi) ∩ Λj 6= ∅, i 6= j ⇒W u(Λi) ∩ (W s(Λj)− Λj) 6= ∅.

Demonstracao. Seja x0 ∈ W u(Λi) ∩ Λj . Seja Ul uma vizinhanca de Λl,l = 1, . . . , r, tal que f(U j)∩U l = ∅, j 6= l. Existe sequencia xk → x0, k →∞,com xk ∈ W u(Λi) ∩ Uj . Considere a sequencia nkk∈N onde nk ∈ N e omenor natural com a propriedade: f−nk(xk) /∈ Uj . A sequencia nk vai ainfinito e passando a uma subsequencia, se necessario, consideramos quef−nk(xk) → y0.

y0 /∈ Uj ; fm(y0) ∈ U j , ∀m ≥ 1.

Como U cj e fechado, tem-se y0 /∈ Uj . A segunda afirmacao segue porcontinuidade. Por absurdo, caso exista m satisfazendo fm(y0) /∈ Uj ⇒f−nk+m(xk) = fm(f−nk(xk)) /∈ U j para k suficientemente grande, o quecontradiz a definicao de nk. E pela escolha de Uj , f(y0) ∈ W s(Λj) ⇒ y0 ∈W s(Λj).

Portanto y0 ∈W u(Λi) ∩ (W s(Λj)− Λj).

Lema 7.3. Se W u(Λi) ∩ Λj 6= ∅, i 6= j ⇒ i > j.

Demonstracao. Pelo lema anterior: W u(Λi) ∩ (W s(Λj) − Λj) 6= ∅. Tomex nesta intersecao. Pela Proposicao 7.1, existe i1 tal que x ∈ W u(Λi1).Entao i1 > j. Entao W u(Λi1) ∩W u(Λi) 6= ∅. Analogamente, tome x2 ∈W u(Λi)∩ (W s(Λi1)−Λi1) ⇒ x2 ∈W u(Λi2) logo i2 > i1 > j. Repetindo esteargumento e o fato de que nao temos ciclos este processo deve chegar em i,isto e i > . . . > i2 > i1 > j.

Lema 7.4.

a) W u(Λi) ⊂⋃j≤iW

u(Λj);

b)⋃j≤iW

u(Λj) e fechado.

Demonstracao. a) Seja x ∈ W u(Λi), entao existe j tal que x ∈ W u(Λj). Sej = i ok. No outro caso, os lemas acima implicam que i > j.

b) Segue do item a).


Lema 7.5.⋃j≤iW

s(Λj) e vizinhanca aberta de⋃j≤iW

u(Λj)

Demonstracao. Note que f−1 troca W s e W u; a ordem da filtracao tambemtroca, entao

⋃j≤iW

s(Λj) =⋃j>iW

uf−1(Λj) e aberto ja que seu complemen-

tar⋃j≤iW

sf−1(Λj) e fechado pelo lema anterior.

Afirmo que⋃j≤iW

u(Λj) ⊂⋃j≤iW

s(Λj). De fato, tome x ∈W u(Λj) ⊂⋃j≤iW

u(Λj). Existe j0 tal que x ∈ W s(Λj0), entao x ∈ (W u(Λj) − Λj) ∩(W u(Λj0)− Λj0). Assim j > j0, implicando x ∈ ⋃

j≤iWs(Λj)

Lema 7.6. Sejam X espaco metrico compacto e f : X → X homeomorfismocom a imagem. Considere dois compactos P,Q com P ⊂ Int.Q e P =∩n≥0f

n(Q). Se f for aberta em uma vizinhanca de P entao existe vizinhancacompacta U ⊂ Q de P tal que f(U) ⊂ Int.U .

Nao provaremos o lema topologico acima. Terminemos a prova do Teo-rema.

Queremos construir a filtracao. Temos Λ1∪ . . .∪Λr. Definimos Mr = M .Vejamos como encontamosMr−1. Vimos acima queW s(Λ1)∪. . .∪W s(Λr−1)e uma vizinhanca aberta de Λ1 ∪ . . . ∪ Λr−1. Tome um compacto Qr−1 ⊂W s(Λ1) ∪ . . . ∪W s(Λr−1) contendo os Λ′is i ∈ 1, . . . , r − 1, logo

Λ1 ∪ . . . ∪ Λr−1 =⋂

n∈Nfn(Qr−1)

Do ultimo lema temos um compacto Mr−1 ⊂ Qr−1 tal que

Λ1 ∪ . . . ∪ Λr−1 =⋂

n∈Nfn(Mr−1), f(Mr−1) ⊂ int.Mr−1

No entanto, em princıpio Mr−1 nao e uma variedade com bordo. Mascomo Mr−1 e compacto pelo Teorema de Uryson no caso diferenciavel existeuma funcao ϕ de classe C1 tal que

ϕ : M → R

ϕ−1(0) = Mr−1 e ϕ(x) ∈ [0, 1], ∀x ∈MPelo Teorema de Sard existe ε > 0 tao pequeno quanto se queira de formaque seja valor regular e assim

Mr−1 = ϕ−1[0, ε]

e uma variedade com bordo. Tomando este ε tao pequeno quanto se queira,por continuidade e compacidade ainda temos a propriedade

f(Mr−1) ⊂ int Mr−1 ⊂ int Mr−1


Vejamos agora como encontrar Mr−2. E a mesma ideia como anteri-ormente, apenas com uma pequena observacao tecnica: quando tomarmosQr−2 suponhamos que esteja contindo em Mr−1 (fazendo intersecao porexemplo). E procedemos exatamente como feito acima. Esta condicao ga-rante que temos Mr−2 ⊂Mr−1. Repetindo o argumento encontramos todosos Mi.

Ω estabilidade

Teorema 7.4 (Ω-estabilidade). L(f) hiperbolico e sem ciclos. Entao

a) Ω(f) = L(f);

b) f e Ω-estavel.

Demonstracao. a) Como L(f) e hiperbolico, fazendo a decomposicao espec-tral e usando o fato que nao ha ciclos, existe uma filtracao F para f , peloTeorema 7.3.

Sabemos que Ω(f) ⊃ L(f), provemos a outra inclusao. Seja x ∈ Ω(f).A primeira observacao e que x nao pode pertencer a fronteira dos Mi, casocontrario entraria no interior e como a fronteira e compacta teriamos umavizinhanca de x que nunca retorna a ela. Logo x ∈ intMi−Mi−1 para algumi. Vejamos que x ∈ ⋂

n≤0 fn(Mi −Mi−1). Por absurdo suponha que nao,

portanto existe n0 ∈ N tal que x /∈ f−n0(Mi−Mi−1)⇒ fn0(x) /∈ (Mi−Mi−1)e portanto fn0(x) ∈ Mi−1. Mas entao dada uma vizinhanca de fn0(x) elanao retorna proximo de x, absurdo. Portanto

x ∈⋂

n≤0

fn(Mi −Mi−1)

O outro caso e analogo. Terıamos por absurdo, que existe n0 ∈ N tal quex /∈ fn0(Mi − Mi−1) ⇒ f−n0(x) ∈ M c

i , mas existe uma vizinhanca queiterando negativamente nunca volta a se intersectar, absurdo.

x ∈⋂

n∈Zfn(Mi −Mi−1) = Ki(F) ⊂ L(f).

b) Existe uma vizinhanca Vf de f tal que ∀g ∈ Vf , o difeomorfismo gtem a mesma filtracao F que f e, pela estabilidade de conjunto hiperbolicomaximal, Ki(F , f) e Ki(F , g) sao conjugados. Lembrando que Ki(F , f) =⋂n∈Z f

n(Mi −Mi−1). Afirmos que e possvel pegar uma vizinhanca Vf , senecessrio, ainda menor que a escolhida anteriormente para que tenhamos aigualdade

Ω(g) = L(g), ∀g ∈ Vf .De fato, seja Ui vizinhanca de Ki(F , f). Note que o conjunto Ui := (Mi −int Mi−1) ∩ U ci e compacto. Todo ponto de Ui tem um iterado que sai do


compacto Mi − int Mi−1, logo posso diminuir ainda mais Vf para que omesmo aconteca quando olharmos para g nesses pontos. Isto implica que oconjunto Ui nao pode conter pontos de Ω(g). E portanto, devido a filtracao,temos que Ω(g) = L(g). Concluımos com isso que f e Ω-estavel.

Dizemos que um difeomorfismo f e Axioma A se Ω(f) = Per(f) e Ω(f)e hiperbolico.

Observacao 7.1. J. Palis e S. Newhouse 6 provaram que em dimensao doissempre que Ω(f) for hiperbolico, entao f e Axioma A. Todavia este resultadoe falso para dimensoes maiores do que tres como mostrou Alan Dankner7.

Dizemos que f satisfaz a condicao forte de transversalidade (emΩ(f)) se W s(x) intersecta transversalmente W u(y) para todo x, y ∈ Ω(f).

Observacao 7.2. Estabilidade Estrutural

• Na topologia C1, um difeomorfismo e estruturalmente estavel se, e so-mente se, for Axioma A e satisfaz a condicao forte de transversalidade.

• Se L(f) e hiperbolico e tem transversalidade forte (para pontos deL(f)), entao f e estruturalmente estavel.

Exemplo 7.5.

a) Axioma A nao e Ω-estavel.

Comecamos com o exemplo dado por Palis, na figura 1. Em seguidafazemos as perturbacoes nos pontos a e b como indicado na figura(lado direito). Assim, antes tinhamos Ω(f) sendo um conjunto comquantidade finita de pontos, depois da perturbacao obtemos que Ω(f ‘),onde f ‘ e o perturbado, possui uma quantidade infinita de pontos.Olhe para pontos no arco entre os pontos c e d e use o lambda-lema.

Figura 1: Axioma A

6Hyperbolic nonwandering sets on two-dimensional manifols, Dynamical Systems 19737On Smale‘s Axioma A dynamical systems, Ann. of Math. (2), 1978


b) Axioma A nao e aberto (C1).

Como feito acima, fazemos a perturbacao apenas no ponto a. Obtemosassim que o arco compreendido entre os pontos c e d que contem b eformado por pontos nao errantes. Se esse perturbado fosse Axioma A,entao haveria hiperbolicidade em cima do arco. Entretanto um vetortangente ao arco para frente e para tras (pela derivada) diminui, umabsurdo.

c) Axioma A sem ciclo e aberto.

Seja f : M → M um difeomorfismo Axioma A sem ciclo. EntaoΩ(f) = Per(f) = L(f), considere a decomposicao espectral L(f) =Λ1(f) ∪ . . . ∪ Λr(f) e seja F uma filtracao para essa decomposicao.Considere uma vizinhanca de f , Vf , de modo que F ainda seja filtracaopara os difeomorfismos dessa vizinhanca. Como L(f) e hiperbolico,por meio de cones invariantes podemos tomar a vizinhanca Vf menor,se necessario, de modo a garantir que os Ki(F , g) sejam hiperbolicospara g ∈ Vf . A filtracao fornece L(g) = Ω(g), portanto g e axioma A.

d) Se f e Axioma A, entao f nao contem 1-ciclo.

Provemos por absurdo. Tome x ∈ W s(Λi) ∩W u(Λi)\Λi. Como Λi eisolado, tem-se x ∈ W s(x0) ∩W u(x1), para x0, x1 ∈ Λi. Seja U umavizinhanca de x. Existe um r > 0 de forma que W s

r (x0) ∩ U 6= ∅ eW ur (x1) ∩ U 6= ∅. Tome ε > 0 pequeno o suficiente para que

x ∈ B(x0, ε) ⇒W sr (x) ∩ U 6= ∅

x ∈ B(x1, ε) ⇒W ur (x) ∩ U 6= ∅.

Como f e transitiva em Λi, pelo Lema de sombreamento existe umponto periodico p cuja orbita visita os abertos B(x0, ε) e B(x1, ε).Ou seja, fn0(p) ∈ B(x0, ε), fn1(p) ∈ B(x1, ε). Tome um segmentotranversal a W s(x0) contido em U , utilizando o λ-lema que existe ktal que fk(U) ∩ U 6= ∅. Assim, x0 ∈ Ω(f) ⇒ x0 ∈ Λi. Absurdo.

e) Difeomorfismos estruturalmente estaveis nao sao densos (C1)

Pegue um atrator Λ e um ponto periodico hiperbolico, como na figura.

Figura 2: Nao densidade de estruturalmente estavel.


Toda perturbacao deste difeomorfismo ainda existe tangencia. E pelaobservacao mais acima, implica que numa vizinhanca nenhuma funcaoe estruturalmente estavel.

• L(f) hiperbolico, mas L(f) $ Ω(f).

Note da figura que L(f) = Per(f) e q ⊂ Ω(f).

• Axioma A nao sao densos

Observacao 7.3. Como observado em [2], nao se sabe se Axioma A sao den-sos em superfıcie com topologia C1. No caso da topologia C2 (em superfıcie)Axioma A nao sao densos, isto segue do fenomeno de Newhouse.


Exercıcios

Exercıcio 7.1. Se f e Axioma A sem ciclos, entao uma das pecas e umatrator.

Exercıcio 7.2. Se ω(x) e hiperbolico, entao ω(x) ⊂ Per(f).

Exercıcio 7.3. Se f e Axioma A e x ∈ Ω(f) e um ponto homoclınico, entaoa intersecao e transversal em x.

Exercıcio 7.4. Axioma A com ciclo tem tangencia de variedade estavel-instavel no ciclo.

Exercıcio 7.5. Seja Λ um atrator transitivo, entao toda variedade instavelde x ∈ Λ e densa em Λ.

Exercıcio 7.6. Teorema da R-estabilidade.Sejam f : M →M um difeomorfismo e R(f) hiperbolico.

a) R(f) = Per(f);

Dica: Use que R(f |R(f)) = R(f) (Vide proposicao 3.6, pagina 16, de[14]).

b) R(f) nao tem ciclo;

c) f e R(f) estavel.

Exercıcio 7.7. Exemplo em que L(f) = Ω(f) hiperbolico, mas Ω(f) 6=R(f).

Exercıcio 7.8. Exemplo em que Λ seja hiperbolico isolado, mas Ω(f |Λ) 6= Λ.

Exercıcio 7.9. Exemplo de Ω-estavel que nao seja estruturalmente estavel.


8 Difeomorfismo de Anosov

Estudaremos agora uma classe importante de exemplos de sistemas dinamicos.

Definicao 8.1. Dizemos que um difeomorfismo f : M →M e de Anosov seM for um conjunto hiperbolico para f .

Seja SL(Z, n) o conjunto das matrizes com entradas inteiras e determi-nante igual a ±1. Note que se A ∈ SL(Z, n) entao A(Zn) ⊂ Zn. Tambemtemos que A−1 ∈ SL(Z, n) assim A−1(Zn) ⊂ Zn e, portanto, A(Zn) = Zn.Consequentemente, a transformacao linear A induz um difeomorfismo noToro Tn = Rn/Zn. Denotaremos este difeomorfismo por fA, chamadotambem de Anosov Linear. Ou seja, temos que o diagrama abaixo co-muta, onde π : Rn → Tn e a projecao canonica.

Rn A //

π

²²

Rn

π

²²Tn

fA // Tn

Neste caso os pontos periodicos sao densos em M .

Proposicao 8.1. Se fA : Tn → Tn for um Anosov Linear, entao

Per(fA) = M

Demonstracao. Defina o conjunto Q(k) = π((i1/k, . . . , in/k) | ij ∈ Z).Assim, Q(k) ⊂ Tn e possui uma quantidade finita de pontos. Note que

fA(Q(k)) ⊂ Q(k)

isto implica que fA faz apenas uma permutacao entre esses pontos. Logoperiodicos. E como

⋃∞k=1Q(k) e denso em Tn provamos o que querıamos.

Em particular, para Anosov Linear Ω(fA) = M . Muito mais pode serdito sobre fA no entanto fazemos de maneira geral no Teorema (8.4).

Observacao 8.1.

• De fato acredita-se que todo Anosov satisfaca esta propriedade: M =Ω(f).

• Vale tambem que todo Anosov no toro Tn e conjugado a um AnosovLinear.

Teorema 8.2. • Os difeomormismos de Anosov sao estruturalmente estaveis.

• O conjunto dos difeomorfismo de Anosov formam um aberto na topo-logia C1.


A estabilidade estrutural segue diretamente da estabilidade de conjuntohiperbolico isolado. A segunda afirmacao segue-se utilizando campo de co-nes.

Dizemos que um difeomorfismo de Anosov tem codimensao 1, se os su-bespaco intavel ou estavel tem dimensao 1.

Teorema 8.3. Se f : M → M e um difeomorfismo de Anosov de codi-mensao 1, entao a caracterıstica de Euler de M e zero.

Demonstracao. Consideremos o recobrimento duplo orientavel de M :

M

π

²²M

Seja Es o campo de linha obtido pelo pull-back de Es sobre M . Coloque-mos uma orientacao O em Es da seguinte forma. Dizemos que um vetorX(x,O) ∈ Es(x,O) e positivo se, Dπ(x,O)X(x,O) estiver na orientacao deO.

Pela nossa construcao a orientacao O e contınua. Mas sendo Es unidi-mensional posso tomar um campo nao nulo que gera esta orientacao. Por-tanto existe campo de vetores contınuos nao nulo sobre M . Em particularexiste campo de vetores nao nulo suave. Por conseguinte, a caracterısticade Euler de M e zero. Sendo a caracterıtica de Euler de M a metade da deM segue que esta tambem e zero, como querıamos.

Corolario 8.1. Se dimM = 2, entao M e o Toro.

Demonstracao. Este resultado segue da classificacao de superfıcies compac-tas sem bordo. A unica que tem caracterıstica de Euler zero e o toro.

Observacao 8.2. De fato vale mais do que provamos. A unica varie-dade que admite um difeomorfismo de Anosov de codimensao 1 e o Toron-dimensional.

O teorema acima mostra que um difeomorfismo de Anosov impoes condicoessobre a variedade. Ainda nao se sabe quais variedades admitem um difeo-morfismo de Anosov.

Teorema 8.4. Seja f : M → M um difeomorfismo de Anosov. Entao saoequivalentes:

(a) Ω(f) = M ;

(b) A variedade instavel de todo ponto e densa em M ;

(c) A variedade estavel de todo ponto e densa em M ;


(d) f e transitiva;

(e) f e topologicamente misturadora.

Demonstracao. (a) ⇒ (b) : Temos Ω(f) = Per(f) = M . Logo os periodicosestao na mesma classe de equivalencia (de intersecao tranversal das suasvariedades intaveis e estaveis). Portanto pelo λ-lema W u(p) aproxima todoperiodico, onde p ∈ M e ponto periodico. Logo, W u(p) e denso. Dadox ∈ M existe periodico p, possivelmente proximo de x, tal que a variedadeinstavel de p intersecta a estavel de x tansversalmente. Pelo λ-lema implicaque a W u(x) e denso em M .

Analogamente (a) ⇒ (c).(b) ⇒ (e) : Dados U e V abertos, seja ε > 0 tal V contenha uma bola

de raio ε. A hipotese implica que existe um L > 0 tal que W uL e densa para

todo ponto. Entao tomando um segmento de variedade instavel dentro deU e iterando pela f ate que tenha comprimento maior que L, ele deveranecessariamente intersectar V . Logo existe k > 0 tal que fk(U) ∩ V 6= ∅.

Analogamente (c) ⇒ (e). Sabemos que (e) ⇒ (d) e (d) ⇒ (a). Provandoassim as equivalencias.

Dizemos que um difeomorfismo f : M → M e robustamente tran-sitivo se f e transitiva e existe uma vizinhanca Vf de f na topologia C1

tal que para toda g ∈ Vf e transitiva. Para um conjunto compacto Λinvariante por f transitiva, dizemos que e um conjunto robustamentetransitivo se existe uma vizinhanca U de Λ e Vf de f na topologia C1 talque: Λ =

⋂i∈Z f

n(U) e

∀g ∈ Vf e Λg =⋂

i∈Zgn(U) ⇒ g e transitiva em Λg.

Proposicao 8.2. Se f e Anosov transitiva, entao f e robustamente transi-tiva.

Demonstracao. Sabemos da estabilidade estrutural para conjuntos hiperbolicosisolados que, em uma vizinhanca Vf para toda g ∈ Vf existe a conjugacaohg : M → Λg. Em nosso caso a vizinhanca do conjunto hiperbolico e apropria variedade, portanto Λg =

⋂n∈Z g

n(M) = M . Pela conjugacao, dadoqualquer aberto existe um ponto perodico de g neste conjunto. ImplicandoΩ(g) = M .

Observacao 8.3. Ricardo Mane 8 provou que todo conjunto robustamentetransitivo em uma superfıcie (dimensao dois) e um conjunto hiperbolico.

8Mane, R., An ergodic closing lemma, Annals of Math., 116:503-540, 1982.


Na decada de 1970, Shub e Mane deram exemplos de difeomorfimos ro-bustamente transitivos e que nao sao hiperbolicos. Para a construcao dessesexemplos o leitor pode conferir no capıtulo 7 de [2]. Tendo em vista queo objetivo da teoria e tentar descrever a “maioria” dos sistemas dinamicos,a existencia de tais exemplos mostra que so a condicao de hiperbolicidadenao serve para a descricao geral dos sistemas. E por isso que se deve enfra-quecer um pouco a condicao de hiperbolicidade, o que culmina no estudoda dinamica parcialmente hiperbolica. Que nada mais e que uma definicaomais fraca de hiperbolicidade.


Exercıcios

Exercıcio 8.1. Se f e Anosov, entao nao ha ciclos entre as pecas da de-composicao espectral.

Exercıcio 8.2. Seja f e Morse-Smale.

• f e Axioma A sem ciclos;

• f nao e Anosov.

Exercıcio 8.3. Nem todo difeomorfismo de Anosov e induzido de um linear.


9 Endomorfismo Expansor

Todas as variedades serao supostas compactas e conexa a menos que ditoexplicitamente o contrario.

Definicao 9.1. Uma transformacao f : M →M de classe C1 e dita expan-sora se existe λ > 1 e C > 0 tal que

||Dfnq v|| ≥ Cλn||v||

Vemos, por exemplo, que uma transformacao expansora e um difeomor-fismo local e, portanto, aberta.

Proposicao 9.1. Seja f : M → M uma transformacao expansora. Entaof e uma aplicacao de recobrimento.

Demonstracao. Temos que f e difeomorfismo local, e sendo M compacta aimagem inversa de um ponto so pode ter finitas pre-imagens.

Teorema 9.2. Se f, g : M → M sao expansoras e f e homotopica a g,entao f e g sao topologicamente conjugadas.

Demonstracao. Sejam f , g : M → M o recobrimento universal de f e g.Considere o homomorfismo de grupos

ρ : Aut(π) → Aut(π) tal que f φ = ρ(φ) f

Mas temos tambem que

g φ = ρ(φ) g

Isto porque como f e g sao homotopicas as aplicacoes induzidas no grupofundamental sao iguais, e como Aut(π) e difeomorfo a π1(M,p) temos

π1(M,p)f∗=g∗//

²²

π1(M,f(p))

²²Aut(π)

ρ // Aut(π)

Queremos ver que existe uma unica aplicacao contınua h : M → M talque

• hφ = φh ∀φ ∈ Aut(π)

• hf = gh


A primeira condicao diz que podemos abaixar h para M .Definamos o conjunto

H = h : M → M | hφ = φh, ∀φ ∈ Aut(π)

Podemos munir o conjunto H da seguinte metrica

d(h1, h2) = supx∈fM

d(h1(x), h2(x)).

So precisamos verificar que d, como definida, e finita. Seja B ⊂ M umabola compacta, grande o suficiente para que π(B) = M . Por compacidade,existe L ∈ R+ tal que sup

x∈ eB d(h1(x), h2(x)) < L. Assim, dado x ∈ M

existe φ ∈ Aut(π) tal que φ(x) ∈ B. Haja vista que φ e uma isometriad(h1(x), h2(x)) = d(h1(φ(x)), h2(φ(x))). Implicando a finitude

d(h1, h2) = supx∈fM

d(h1(x), h2(x)) = supx∈ eB

d(h1(x), h2(x)) < L.

H torna-se, de fato, um espaco metrico completo. Definamos agora aseguinte funcao

T : H → H , T (h) = f−1hg

Precisamos checar a boa definicao de T , isto e, que T (H) ⊂ H. Verifica-mos entao que T f−1 h g = f−1 h g T .

f−1 h g T = f−1 h ρ(T ) g = f−1 ρ(T ) h g = T f−1 h g

Usamos que f−1 ρ(T ) = T f−1 que segue do fato de f φ = ρ(φ) faplicado f−1 dos dois lados.

Provemos agora que para algum n Tn e uma contracao.

d(Tn(h1)(x), Tn(h2)(x)) ≤ 1Cλn

d(h1(g(x)), h2(g(x)) ≤ 1Cλn

d(h1, h2)

Portanto,

d(T (h1), T (h2)) ≤ 1Cλn

d(h1, h2)

Para algum n suficientemente grande Tn e uma contracao e existe um unicoponto fixo h tal que h = T (h) = f−1 h g. Entao

f h = h g

Vejamos agora que este h induzido pelo h e um homeomorfismo. Existeunico h tal que hf = gh. Assim como existe unico k tal que fk = kg. Entaohkg = hfk = ghk, por unicidade hk = id. Por outro lado, fkh = kgh = khfimplicando que kh = id. Logo h possui uma inversa contınua e assim e umhomeomorfismo.


Obtemos como corolario um importante teorema sobre a estabilidadeestrutural das funcoes expansoras.

Corolario 9.1. Se f e expansora entao f e estruturalmente estavel.

Demonstracao. E sabido da topologia diferencial que existe vizinhanca su-ficientemente proxima de f na topologia C0 tal que toda funcao nesta vizi-nhanca e homotopica a f .

O proximo resultado alem de ser util para nos mais a frente, justifica onome adotado de expansora.

Proposicao 9.2. Se f e expansora, entao B(f(x), Cλr) ⊂ f(B(x, r))

Demonstracao. Podemos supor que C = 1. Seja z ∈ B(f(x), λr) seja γa geodesica que liga f(x) a z. Seja γ o levantamento de γ por f tal queγ(0) = x. Assim o comprimento d(f(x), z) =

∫ |γ′|dt =∫ |(f γ)′|dt ≥

λ∫ |γ′|dt ≥ λd(x, y). Portanto d(x, y) ≤ d(f(x), z)/λ ≤ λr/λ = r. Logo

y ∈ B(x, r) e como f(y) = z provamos o que queriamos.

Fica a observacao de que usamos na prova o fato de que podemos ligarquaisquer dois pontos da variedade por uma geodesica. Isto e verdade nonosso caso pois trabalhamos com variedades compactas, todavia tal fatotorna-se falso ao tratarmos de variedades quaisquer.

Corolario 9.2. Se f e expansora, entao dado ε > 0 e x ∈ M existe n talque fn(B(x, ε)) = M

Demonstracao. Sendo M compacta existe um r > 0 tal que B(x, r) =M ∀x ∈ M . Seja n tal que Cλnε > r entao M = B(fn(x), Cλnε) ⊂fn(B(x, ε)).

Mais um vez utilizamos a teoria de espacos de recobrimento para tirarmosmais um resultado interessante.

Proposicao 9.3. Os pontos periodicos de uma transformacao expansora eum conjunto denso.

Demonstracao. Seja B = B(x, ε) uma bola tal que ε < δ, onde δ e umaconstante que esteja definida os ramos inversos de f . Para n grande osuficiente sabemos que fn(B) = M . Considere o ramo inverso f−n : B → B,pelo Teorema do Ponto fixo de Brower existe um ponto fixo, que e portantoum ponto periodico para f .


Exercıcios

Exercıcio 9.1. a) Prove o Lema de Sombreamento para aplicacoes ex-pansoras:

Teorema 9.3. Seja f : M → M uma aplicacao expansora. Dadoε > 0, existe δ > 0 para o qual dado uma δ-pseudo orbita xn∞n=0,existe unico y ∈M que ε-sombrea xn∞n=0;

b) Prove a densidade dos pontos periodicos usando o lema de sombrea-mento;

c) Prove a estabilidade estrutural das aplicacoes expansoras utilizando olema de sombreamento.

Exercıcio 9.2. f : M →M de classe C1 e M variedade compacta.

a) Se f e expansora, entao f e expansiva;

b) De um exemplo em que f seja expansiva, mas nao seja expansora.

Exercıcio 9.3. Se f : M → M for difeomorfismo expansor, entao M edifeomorfo ao Rn.

Exercıcio 9.4. Se f : M → M for expansora e M compacta, entao acaracterıstica de Euler de M e igual a zero.


10 Teoria Ergodica

Apresentamos nesta secao um dos resultados mais basicos e importantes dateoria ergodica. O Teorema de Recorrencia de Poincare; e, Birkhoff.

Seja (X,B, µ) um espaco de medida, i.e. X e um conjunto qualquer,B uma σ-algebra de X e µ uma medida. Quando µ(X) = 1 chamamosa tripla (X,B, µ) de espaco de probabilidade. Trabalharemos com funcoesmensuraveis, T : X → X que preservam a medida µ: dado A ∈ B entaoµ(f−1(A)) = µ(A).

Exemplo 10.1. Considere a seguinte funcao

f : S1 → S1 (3)x 7→ 2x (mod 1) (4)

E facil ver que se A = (a, b), entao λ(f−1(A)) = λ(A), onde λ e a medidade lebesgue e B(S1) e a sigma-algebra de borel.

Defina o conjunto A = B ∈ B(S1) | λ(f−1(B)) = λ(B). Note queA e uma classe monotona contendo os intervalos, entao a σ-algebra geradapelos intervalos esta contida em B. Mas esta e a σ-algebra de borel, logoA = B(S1). Consequentemente f preserva λ.

Teorema 10.2 (Recorrencia de Poincare). Seja T : X → X uma trans-formacao mensuravel que preserva uma probabilidade µ. Dado E ∈ B comµ(E) > 0, entao existe F ⊂ E com µ(F ) = µ(E), tal que: se x ∈ F , existeminteiros ni, i ∈ N, satisfazendo

0 < n1 < n2 < n3 < . . . ; fni(x) ∈ E

Demonstracao. Para N ≥ 0 definamos EN =⋃∞n=N T

−nE, onde T 0E = E.Considere agora o conjunto

F = E ∩( ∞⋂

n=0

En

)

note que F e exatamente o conjuntos dos ponto de E que retornam infinitasvezes para E. Queremos provar que µ(F ) = µ(E).

Temos T−1(EN ) = EN+1, como T preserva µ, µ(EN ) = µ(EN+1). Issoimplica µ(E0) = µ(EN ), para todo N . Observe que E0 ⊃ E1 ⊃ E2 . . ..Assim µ(E0) = µ(

⋂∞N=0EN ) e por conseguinte

µ(F ) = µ(E ∩ (∩∞n=0En)) = µ(E ∩ E0) = µ(E)

A segunda igualdade vem de ∩∞n=0En = E0 quase certamente; a ultima,decorre de E ⊂ E0. Como querıamos provar.


Teorema 10.3 (Recorrencia de Birkhoff). Seja T : X → X uma trans-formacao que preserva uma medida µ, onde X e um espaco com base enu-meravel (da topologia). Entao µ(x ∈ X | x ∈ ω(x)) = 1

Demonstracao. Sejam B um boreliano e B = x ∈ B | T j(x) ∈ B parainfinitos j. Pelo Teorema 10.2, µ(B) = µ(B).

Sendo X separavel, considere uma base enumeravel de abertos An taisque diamn→∞(An) → 0. Temos An ⊂ An e pelo feito acima, µ(An−An) = 0.Defina

A =∞⋂

m=1

⋃

n≥mAn

E facil ver que µ(A) = 1. Provemos que se x ∈ A, entao x ∈ ω(x).Considere B(x, 1/j), j ∈ N. Tome m0 tal que n > m0 tenhamos

diam.An < 1/3j. Como x ∈ A, x ∈ An para n > m0. Assim, x ∈ An ⊂An ⊂ B(x, 1/j), logo existe nj > j tal que fnj (x) ∈ An ⊂ B(x, 1/j), termi-nando demonstracao.

Nos teoremas acima a finitude da medida e crucial. Seja f : R → Rdada por f(x) = x + 1. A transformacao f preserva a medida de lebesgueda reta, entretanto nao prodemos aplicar os teoremas de recorrencia. Defato o que ocorre e que os iterados vao a infinito. A proxima proposicaomostra como modificar o Teorema 10.2 no caso em que µ tenha medida naonecessariamente finita. O que inclui nosso exemplo.

Proposicao 10.1. Seja f : X → X invertıvel e µ uma medida σ-finitainvariante por f . Dado E ∈ B(X) com µ(E) > 0, entao quase todo pontode E regressa a E ou “vai a infinito“.

Demonstracao. Sendo µ uma medida σ-finita, X =⋃∞i=0Xi, com µ(Xi) <

∞. Fixado k ∈ N, defina os conjunto

N = x ∈ E | f j(x) /∈ E, j = 1, 2, 3, . . .;

An = x ∈ N | fn(x) ∈Mk.Temos An = N ∩ f−n(Mk) = f−n(fn(N) ∩Mk). Note que fn(N)n∈N

sao disjuntos. Entao∑

µ(An) = µ(∑

fn(N) ∩Mk) ≤ µ(Mk)

Portanto pelo Lema de Borel-Cantelli µ(lim sup An) = 0.

Exemplo 10.4. Seja T : X → X, preservando µ. Tome A ⊂ X de medidapositiva e considera a medida condicional, µA, restrita a A. Isto e, µA(B) =


µ(A ∩ B)/µ(A). Para x ∈ A defina o tempo de primeiro retorno n(x) =minn ∈ N | Tn(x) ∈ A. Seja TA a aplicacao de primeiro retorno:

TA : A → A

x 7→ Tn(x)(x)

Afirmacao: TA preserva a medida µA.Seja B ⊂ A, entao T−1(B) = B−1 ∪B0

−1, onde B−1 ⊂ A e B0−1 ∩A = ∅.

Analogamente T−1(B0−1) = B−2 ∪ B0

−2, onde B−2 ⊂ A e B0−2 ∩ A = ∅ e

assim por diante.Note que os B0

−i sao disjunto e estando num espaco de medida finitalimi→∞

µ(B0−i) = 0.

µ(B) = µ(T−1(B)) = µ((∪ni=1B−i) ∪B0−n) = µ((∪∞i=1B−i) = µ(T−1

A (B))

⇒ µA(T−1A (B)) = µA(B)


Exercıcios

Exercıcio 10.1. Seja A ⊂ Diff1(S1) o conjunto dos difeomorfismo paraos quais as unicas medidas invariantes sejam atomicas. Entao o conjunto Ae denso.


11 Medidas Invariantes

A menos que dito o contrario, M sera um espaco metrico compacto.

Exemplo 11.1. Queremos encontrar para os proximos exemplos medidas(borelianas) invariantes.

a)f : [0, 1] → [0, 1]

x 7→ x2

O conjuntos dos pontos recorrentes para f e 0, 1. Portanto o suportede uma medida invariante esta contido em 0, 1. Por isso as unicasmedidas possıveis sao da forma

αδ0 + βδ1

onde α, β ∈ R+ e δi e a medida de Dirac no ponto i.

b)f : [0, 1] −→ [0, 1]

x 7−→ x2 , x /∈ 0, 1f(x) = 1/2 , x ∈ 0, 1

O unico ponto errante e o zero. Mas a probabilidade candidata, odelta de dirac em 0, nao e invariante.

δ0(f−1[0, 1/4]) = δ0((0, 1/4]) = 0 6= 1 = δ0([0, 1/2])

Logo, f nao possui medida invariante.

c)f : (0, 1) −→ (0, 1)

x 7−→ x2

f nao possui medida invariante.

Topologia no conjunto de probabilidades

Definicao 11.2. Seja (M,B(M)) um espaco mensuravel, com M espacometrico compacto e B(M) a sigma algebra de Borel. Definimos o seguinteconjunto

M = probabilidades em (M,B(M))Definicao 11.3. Dado f : M → M mensuravel, denotamos por M0 oconjuntos das medidas µ ∈M que sejam f -invariantes.


Munimos o conjunto M da topologia menos fina que torna a seguinteaplicacao, Iφ, contınua

Iφ : M → R

η 7→∫φ dη

onde φ : M → R e contınua.Uma base para esta topologia seria portanto os conjuntos da forma

Vµ(f1, . . . , fn; ε) =m ∈M(X) |

∥∥∥∥∫fi dm−

∫fi dµ

∥∥∥∥ ≤ ε, i = 1, . . . , n.

∀fi ∈ C0(X), µ ∈M(X), ε > 0, n ∈ N.Definicao 11.4. Chamamos a topologia de M dada acima, por TopologiaFraca∗ ou Topologia Fraca Estrela.

Fixemos um subconjunto denso enumeravel, φk | k ∈ N, na bolaunitaria de C0(M) (funcoes contınua de M em R). Consideremos a seguintefuncao

d : M×M → R

(η1, η2) 7→∞∑

k=1

12k|∫φkdη1 −

∫φkdη2|

Proposicao 11.1. A funcao d, acima, define uma metrica no espaco M.

Demonstracao. A unica dificuldade esta em mostrar: se d(η1, η2) = 0, entaoη1 = η2. Este fato segue diretamente pela unicidade no teorema de repre-sentacao de Riez. Entretando damos uma solucao que nao usa este teorema.

Suponha, por absurdo, que η1 6= η2. Existe B boreliano tal que η1(B) >η2(B) (outro caso e analogo). Logo existe um compacto K tal que η1(K) >η2(K) ⇒ η1(K) = η2(K) = δ. Pelo lema de Urysohn podemos tomarφ : X → R tal que φ|K ≡ 1, φ|V \K ∈ (0, 1) e φ|V c ≡ 0, onde V e umavizinhanca de K.

Podemos fazer V tao proxima de K de forma que δ > η2(V \K). Comisso,

∫φdη1 ≥ η1(K) = η2(K) + δ >

∫

Kφdη2 +

∫

V \Kφdη2 =

∫φdη2

O calculo acima mostra que∫φdη1 >

∫φdη2. E como os φk da definicao

de d sao densos, existe φk0 com∫φk0dη1 >

∫φk0dη2. O que e um absurdo.

Proposicao 11.2. A Topologia Fraca∗ e a topologia dada pela metrica dcoincidem.


Demonstracao. i) Seja U0 um aberto da topologia gerada por d. Pode-mos supor que U0 = Bd(µ0, ε) (bola na metrica d de raio ε centradaem µ0) Seja l > 0 tal que

∞∑

k=l+1

12k|∫φkdη1 −

∫φkdη2| < ε/2

para quaisquer probabilidades η1, η2.

Como Iφ1 , . . . , Iφlsao contınuas, tome δ pequeno o suficiente de forma

que, se

η ∈ V0 ⇒l∑

k=1

|∫φkdµ0 −

∫φkdη| < ε/2

onde

V0 =l⋂

α=1

I−1φα

(Iφα(µ0)− δ, Iφα(µ0) + δ)

Obtemos, d(µ0, η) < ε/2 + ε/2 = ε. Entao V0 ⊂ U0.

ii) Seja V0 um aberto da topologia fraca estrela. Podemos supor que

V0 =l⋂

α=1

I−1φα

(Iφα(µ)− δ, Iφα(µ) + δ)

E facil ver que tomando uma bola suficientemente pequena, Bd(µ, ε) ⊂V0.

Proposicao 11.3. Uma sequencia ηkk∈N ⊂M converge a η em M se, e

somente se, limk→∞

∫φdηk =

∫φdη, ∀φ ∈M.

Demonstracao. (⇒) : Suponha d(ηi, η) → 0. Dado ε > 0 e φ ∈ C0(M),defina k0 ∈ N de forma que |φ−φk0 | < ε/4. Tome i0 grande o suficientepara que se i ≥ i0, entao

|∫φk0dηi −

∫φk0dη| < ε/2

Para i ≥ i0 tem-se

|∫φdηi −

∫φdη| ≤ |

∫φidη −

∫φkdηi|+ |

∫φkdηi −

∫φkdη|

+ |∫φkdη −

∫φdη| ≤ ε/4 + ε/2 + ε/4 = ε


(⇐) : Exercıcio.

Corolario 11.1. Seja (ηi)i∈N um sequencia em M Se (∫φdηi)i∈N converge

para toda φ ∈ C0(M), entao a sequencia (ηi)i∈N converge fracamente a umamedida.

Demonstracao. Defina

I : C0(M) → R

φ 7→ limi→∞

∫φdηi

I e linear, nao negativa e de norma igual a 1. Podemos aplicar o Teoremade Riez.

Teorema 11.5. Na topologia fraca estrela, M e compacto.

Demonstracao. Seja φki∈N um conjunto denso em C0(M). Dada umasequencia µi em M, mostremos que admite uma subsequencia conver-gente.

Para k = 1, a sequencia ∫ φ1dµii∈N de reais, e limitada logo admitesubsequencia convergente (de subındice N′).

Para k = 2, a sequencia ∫ φ2dµii∈N′ e limitada, logo admite sub-sequencia convergente.

Utilizando o processo de diagonal de cantor obtemos uma sequenciamii∈N de naturais, de forma que para todo k ∈ N a sequencia ∫ φkdµmii∈Nseja convergente.

Isto implica que ∫ φdµmii∈N converge para toda φ ∈ C0(M), pois∫ φkdµmii∈N e uma sequencia de cauchy, pela desigualdade abaixo

∣∣∣∣∫φdµmi −

∫φdµmj

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∫φdµmi −

∫φkdµmi

∣∣∣∣ +∣∣∣∣∫φkdµmi

−∫φkdµmj

∣∣∣∣ +∣∣∣∣∫φkdµmj −

∫φdµmj

∣∣∣∣

Vemos que ∫ φdµmii∈N e cauchy ∀φ ∈ C0(M). O corolario acimaimplica a convergencia das medidas µmi, como querıamos.

Seja f : M → M uma funcao mensuravel. O push-forward em M e afuncao

f∗ : M→Monde (f∗µ)(E) = µ(f−1(E)). Note que uma medida invariante para f e umponto fixo de f∗.

Proposicao 11.4. Se f : M → M for contınua, entao f∗ : M → M econtınua.


Demonstracao. Seja ηn → η. Entao, para φ ∈ C0(M)∫φ d(f∗ηn) =

∫φ f dηn →

∫(φ f) dη =

∫φ d(f∗η)

Entao f∗ηn → f∗η, logo f∗ e contınua.

Exemplo 11.6. Seja f : [0, 1] → [0, 1], definida por f(0) = 0, f(x) = 1se x 6= 0. Tome φ ∈ C0([0, 1]) dada por φ(x) = x. Note que φ f = f .Sabemos que as medidas δ1/n, delta de Dirac centradas em 1/n, convergemfracamente a δ0. Entretanto f∗δ1/n 9 f∗δ0, ja que

∫φ d(f∗δ1/n) =

∫φ f dδ1/n =

∫f dδ1/n = 1

6= 0 =∫f dδ0 =

∫φ d(f∗δ0)

Proposicao 11.5. Sejam ηn, η ∈M, n ≥ 0 entao sao equivalentes:

• ηn → η, na Topologia Fraca∗;

• Para todo fechado F ⊂M entao lim sup ηn(F ) ≤ η(F );

• Para todo aberto U ⊂M entao lim inf ηn(U) ≥ η(U);

• Para todo A ∈ B(M) com η(∂A) = 0 entao ηn(A) → η(A).

Teorema 11.7 (Krylov-Bogolubov). Seja f : M →M uma transformacaocontınua em um espaco metrico compacto. Entao f admite uma medida deprobabilidade invariante.

Demonstracao. Seja µ uma probabilidade qualquer em M. Defina

µn =1n

n−1∑

j=0

f j∗µ

Sabemos que µn possui subsequencia convergente. Denote este limitepor µ0; µni → µ0. Usando a continuidade de f∗:

f∗µ0 = f∗

limi→∞

1ni

ni−1∑

j=0

f j∗µ

= lim

i→∞

1ni

ni−1∑

j=0

f j∗µ+1nifni∗ µ−

1niµ

= µ0.

Para a ultima igualdade olhe as medidas integrando sobre as funcoescontınuas, a contribuicao de 1

nifni∗ µ− 1

niµ vai a zero.


Exercıcios

Exercıcio 11.1. a) A transformacao

f : [0, 1] → [0, 1]x 7→ 10x (mod 1)

preserva a medida de lebesgue.

b) Quase todo ponto x ∈ [0, 1] cuja expansao decimal aparece o blocoa1a2 . . . ak (por exemplo: x = 0, 4265a1a2 . . . ak837 . . .), esse bloco apa-rece infinitas vezes na expansao decimal.

Exercıcio 11.2. Seja f : M → M contınua, entao f possui ponto recor-rente.

Exercıcio 11.3. a) Sejam f1, f2, . . . , fN : M →M uma famılia de trans-formacoes contınuas que comutam entre si (fi fj = fj fi). Entaoexiste uma probabilidade invariante por todas essas transformacoes.

b) Se N = ∞ vale o mesmo resultado.


12 Teorema Ergodico de Birkhoff

Considere (X,F , µ) um espaco de medida. Se e T : X → X uma funcaomensuravel, entao a n-esima media de Birkhoff para uma funcao f : X → Rmensuravel e definida como

Sn(f, x) =1n

n−1∑

i=0

f(T i(x))

Proposicao 12.1 (Lema Ergodico Maximal). Seja T : X → X uma trans-formacao mensuravel que preserva a medida µ. Suponha f ∈ L1(X,µ) edefina

En = x ∈ X |j−1∑

i=0

f(T i(x)) > 0 para algum j ≤ n.

Entao ∫

En

fdµ ≥ 0, ∀n ∈ N.

Demonstracao. Defina

Fn(x) = max

(0,j−1∑

i=0

f(T i(x)) : j ≤ n

)

as funcoes assim definidas sao crescentes: Fn ≤ Fn+1. E facil ver que

Fn+1 = max(0, f + Fn T ).

Em En+1 temos Fn+1 = f + Fn T ⇒ f = Fn+1 − Fn T .Note que Fn+1 = 0 fora de En+1; sempre vale −Fn T ≤ 0. Assim

Fn+1 − Fn T ≤ 0 fora da En+1.

Usando estas desigualdades e o fato que T preserva a medida µ:

∫

En+1

fdµ =∫

En+1

(Fn+1 − FnT )dµ ≥∫

X(Fn+1 − FnT )dµ

=∫

X(Fn+1 − Fn)dµ ≥ 0

Como querıamos.

Corolario 12.1. Se E∞ :=∞⋃

n=0

En, entao∫

E∞f dµ ≥ 0.


Corolario 12.2. ∫eEn(α)

φ dµ ≥ 0

onde En(α) = x ∈ X |∑j−1i=0 f(T i(x)) > 0 para algum j ≤ n.

Comecamos com uma versao um pouco mais geral do teorema ergodico,dado que a medida utilizada e apenas σ-finita.

Teorema 12.1 (Teorema Ergodico de Birkhoff, para medida σ-finita). SejaT : X → X funcao mensuravel preservando uma medida σ-finita µ. Sef ∈ L1(X,µ), entao

• f+(x) = limn→∞

1n

n−1∑

i=0

f(T i(x)) existe µ-q.t.p.;

• f+ ∈ L1(µ).

Demonstracao. Dados dois racionais u, v ∈ Q considere o seguinte conjunto

Eu,v = x ∈ X | lim supn

Sn(f, x) > v > 0 ≥ u > lim infn

Sn(f, x)

Provemos que µ(Eu,v) = 0. Veja que tomar v > 0 nao e de fato umarestricao, caso exista x e racionais u, v tais que

lim supn

Sn(f, x) > 0 ≥ v > u > lim infn

Sn(f, x)

entao basta olharmos para

lim infn

Sn(−f, x) < 0 ≤ −v < −u < lim supn

Sn(−f, x)

e portanto recaımos em um conjunto do tipo E−v,−u como acima, so quepara −f .

Veja que T−1(Eu,v) ⊂ Eu,v. Como T preserva medida, posso supor X =Eu,v. Faremos isso pois usaremos o corolario do Lema Ergodico Maximalmais adiante e o nosso E∞ sera o proprio X(= Eu,v) caso nao o fosse, E∞poderia ser um conjunto um pouco maior.

Se x ∈ X, para algum n temos1n

n−1∑

i=0

(f(T i(x) − v) > 0. A funcao

f − v /∈ L1(µ) se µ(X) = ∞. Considere A ⊂ X mensuravel, com µ(A) <∞.Agora a funcao f − vχA e integravel e ∀x ∈ X existe n tal que

1n

n−1∑

i=0

(f(T i(x)− χAv) > 0


veja que continua a desigualdade estrita dado que tomamos v > 0.Aplicando o Lema Ergodico Maximal

∫

X(f − vχA)dµ ≥ 0 ⇒

∫

Xfdµ ≥ vµ(A)

Crescendo A para todoX (aqui usamos que e σ-finito), usando o fato quef e integravel, entao µ(X) <∞. Usando este fato, vemos que u−f ∈ L1(µ)e que para algum n,

u− 1n

n−1∑

i=0

f(T i(x)) > 0

O Lema Ergodico Maximal novamente fornece∫

X(u− f) ≥ 0 ⇒

∫

Xfdµ ≤ uµ(X)

Comparando as desigualdades obtidas, e lembrando que X = Eu,v obte-mos

v µ(Eu,v) ≤∫

Xf dµ ≤ u µ(Eu,v)

E como u < v ⇒ µ(Eu,v) = 0. Concluımos a primeira parte, f+ existe q.t.p..

Pelo lema de Fatou∫

Xφ+dµ ≤ lim inf

n

∫

XSn(f, .)dµ =

∫

Xfdµ. Portanto

φ+ ∈ L1(µ).

Agora, o teorema ergodico em espaco de probabilidade, conseguimosassim mais informacoes.

Teorema 12.2 (Teorema Ergodico de Birkhoff, em espaco de probabili-dade). Seja T : X → X funcao mensuravel preservando uma probabilidadeµ.

a) Se f ∈ Lp(X,µ), 1 ≤ p <∞, entao

• f+(x) = limn→∞

1n

n−1∑

i=0

f(T i(x)) ∈ Lp(µ);

• limn→∞

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣f+ − 1

n

n−1∑

i=0

f(T i(x))

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣p

= 0;

• f+ T = f+.

b) Se f ∈ L1(µ), entao ∫

Xf+dµ =

∫

Xfdµ.


Demonstracao. a) Seja g uma funcao em L∞(X,µ), logo em Lp(X,µ). Sabe-mos que Sn(g) convergem quase certamente a g+. Logo |Sn(g, x)−g+(x)| →0 quase certamente, pelo teorema da convergencia dominada ||Sn(g)−g+||p →0.

Seja f ∈ Lp(µ). Provemos que Sn(f) e uma sequencia de cauchy.Dado ε > 0, seja g ∈ L∞(µ) tal que ||f − g||p < ε/4. Pelo feito acima, sejan0 ∈ N para o qual ||Sn(g)− Sn+k(g)||p < ε/2, ∀k > 0. Assim para n > n0

e k > 0

||Sn(f)− Sn+k(f)||p ≤ ||Sn(f)− Sn(g)||p + ||Sn(g)− Sn+k(g)||p+ ||Sn+k(f)− Sn+k(f)||p ≤ ε/4 + ε/2 + ε/4 = ε.

Logo Sn(f) converge a uma funcao f∗ que deve ser portanto f+.Por fim, observe que

(n+ 1n

)(Sn+1(f))− (Sn(f))(T (x)) =

f(x)n

Fazendo n tender a infinito

f+ T = f+.

b) Como temos convergencia em L1(µ) entao∫

Xf+dµ = lim

n→∞1n

n−1∑

j=0

∫

Xf T jdµ

= limn→∞

1n

n−1∑

j=0

∫

Xfdµ =

∫

Xfdµ.

Seja T : X → X mensuravel e µ uma probabilidade T -invariante. Oconjunto F = g ∈ L2(X,µ) | g T = g e um subespaco fechado do espacode Hilbert L2(X,µ). Considere

π : L2(X,µ) → F

a projecao ortogonal.

Teorema 12.3. Com a notacao acima temos que se f ∈ L2(X,µ), entaoπ(f) = f+.

Demonstracao. Dado g ∈ F queremos ver que< f−f+, g >= 0, i.e.∫X(fg−

f+g) = 0. Temos que∫

X(fg − f+g)dµ =

∫

X(fg − f+g)+dµ =

∫

X(fg)+ − (f+g)+dµ

Porem, usando a invariancia de g, f+ por T obtemos (fg)+ = f+g, (f+g)+ =f+g.


Obtemos agora o seguinte resultado

Corolario 12.3. Se T : X → X for invertıvel, entao f+ = f− quase todoponto. Onde

f−(x) = limn→∞

1n

n−1∑

j=0

f(T−j(x))

Demonstracao. Podemos provar o resultado para f ∈ L2 o que implica paraf ∈ L1. Isto pois, dado f ∈ L1 podemos tomar fn → f uniformemente efn ∈ L2. Assim

∫

X|fn − f | dµ =

∫

X|f+n − f+| dµ

=∫

X|f−n − f−| dµ

Entretanto f+ = f− e usando a desigualdade triangular temos∫

X|f+ − f−|dµ ≤

∫

X|f+ − f+

n |dµ+∫

X|f−n − f−|dµ ≤ 2

∫

X|fn − f | dµ

que vai a zero quando n→∞. Logo f+ = f− quase todo ponto.Por fim, o resultado vale para f ∈ L2 pela proposicao acima. Note que

o conjunto F tambem e igual a g ∈ L2(X) | g T−1 = g. Pela proposicaocomo π e a projecao, por um lado π(f) = f+, por outro π(f) = f−.

Exercıcios

Exercıcio 12.1. Exemplo em que µ seja medida σ-finita, T : X → X, µseja uma medida invariante por T , φ ∈ L1(µ), mas

∫φ+ dµ 6= ∫

φ dµ.


13 Sistemas Ergodicos e Unicamente Ergodicos

Teorema 13.1. Seja T : X → X uma funcao mensuravel em um espaco deprobabilidade que preserva a probabilidade µ. Sao equivalentes:

a) φ+ e constante µ-q.t.p. ∀φ ∈ L1;

a’) φ+ e constante µ-q.t.p. ∀φ em m conjunto denso de L1;

b) φ+ =∫φ dµ ∀φ ∈ L1;

b’) φ+ =∫φ dµ ∀φ em um subconjunto denso de L1;

c) Se φ : M → R, tal que φ(T (x)) = ψ(x) µ-q.t.p. entao φ e constanteµ-q.t.p.;

d) Se A ⊂M tal que T−1(A) = A, entao µ(A) = 0 ou µ(A) = 1;

d’) Se A ⊂M tal que T−1(A) ⊂ A, entao µ(A) = 0 ou µ(A) = 1;

d”) Se A ⊂M tal que T−1(A) ⊃ A, entao µ(A) = 0 ou µ(A) = 1.

Demonstracao. • a) ⇒ c): φ T = φ implica φ+ = φ, que e constanteq.t.p. por hipotese.

• c) ⇒ a): Sabemos que φ+ T = φ+, logo φ+ e constante q.t.p..

• c) ⇒ d): Tome φ = χA. Se T−1(A) = A entao φT = φ. Por hipoteseφ e constante q.t.p. igual a zero ou 1. Integrando φ sobre X obtemoso desejado.

• d) ⇒ c): Dada φ invariante. Defina Ac = x | φ(x) ≤ c, note que Ace invariante por T . Logo µ(Ac) = 0 ou 1. Considere a funcao

c 7→ µ(Ac)

seja c0 o ponto em que ocorre a descontinuidade, isto e, c0 = supc |µ(Ac) = 0. Portanto,

∀c < c0 ⇒ µ(x|φ(x) < c) = 0 e ∀c > c0 ⇒ µ(x|φ(x) > c) = 0

Sendo

x | φ(x) 6= c0 = (∪∞k=1Ac−1/k) ∪ (∪∞k=1(Ac0+1/k)c)

uma uniao enumeravel de conjuntos de medida nula, entao x | φ(x) 6=c0 tem medida nula. Por conseguinte φ(x) = c0 q.t.p..


• a′) ⇒ a): Pelo Teorema Ergodico definamos

B : L1(µ) → L1(µ)φ 7→ φ+

que e linear e contınua dado que ||B|| ≤ 1 (||φ+||1 ≤ ||φ||1). SejaD ⊂ L1(µ) um conjunto denso como na hipotese. Sendo B contınuaB(D) ⊂ B(D). Entao

B(L1(µ)) ⊂ funcoes constantes = funcoes constantes

Definicao 13.2. Dizemos que (f, µ) e ergodica se satisfaz uma das propri-edades acima.

Exemplo 13.3.

a) A rotacao irracional Rθ : S1 → S1 e ergodica com relacao a medida deLebesgue.

Seja ψ : S1 → C integravel. Sua serie de Fourier e dada por ψ(α) =∑n∈Z ane

2πinα, an ∈ C. Chequemos a propriedade c) do Teorema13.1. Se ψ Rθ = ψ, entao

∑

n∈Zane

2πin(α+θ) =∑

n∈Zane

2πinα .

Por conseguinte ane2πinθ = an ∀n ∈ Z. Se 2πinθ ∈ 2πiZ, entao n = 0ja que θ ∈ R\Q.

Para n 6= 0 ⇒ an = 0. Logo ψ = a0, e portanto constante q.t.p..

b) Seja α = (α1, . . . , αn) ∈ Zn um vetor racionalmente independente, istoe

∑ni=1 aiαi /∈ Z, ∀(a1, . . . , an) ∈ Zn. Uma rotacao irracional no toro e

uma aplicacao da forma

T : Tn → Tn

(x1, . . . , xn) 7→ (x1 + α1, . . . , xn + αn)

Analogamente ao item a), seja φ ∈ C0(Tn) que comuta com T , entaoφ(X) =

∑Z∈Zn aZe

2πi<Z,X>. E concluımos que aZ = 0, ∀Z 6= 0 ∈ Zn.

Exemplo 13.4. Seja

Em : [0, 1] → [0, 1]x 7→ mx (mod 1)


Em preserva lebesgue. Provemos que Em e ergodica. Seja φ ∈ C0([0, 1]) quecomuta com Em. Considere a serie de Fourier de φ. φ(x) =

∑n∈Z ane

2πinx.Portanto an = amn. A teoria de Fourier nos fornece que

∑n |an|2 = ||φ||L2 <

∞. Consequentemente se n 6= 0, entao an = amn = am2n = . . . devemos teran = 0. E portanto Em e ergodica.

Exemplo 13.5. Para quase todo ponto (Lebesgue) em [0, 1) a frequenciade 1′s na expansao binaria e 1/2.

De fato, considere a funcao

T : [0, 1) → [0, 1)

T (x) = 2x mod 1

entao T preserva a medida de Lebesgue. Considere x = a1/2 + a2/22 +. . . que possui expansao binaria unica (os que nao possuem sao um con-junto enumeravel, por isso os desconsideramos). Contamos a quantidadede 1′s na expansao de x, definindo a funcao f = χ[1/2,1) e notando quea soma

∑nk=1 f(T k) fornece a quantidade de 1′s que aparecem nos coefici-

ente a1, . . . , an. Portanto dividindo por n tomamos a media. O TeoremaErgodico implica

1n

n∑

k=1

f(T k) →∫χ[1/2,1) = 1/2

Proposicao 13.1. Se (f, µ) e ergodica, entao existe B ⊂ X, com µ(B) = 1,tal que ∀x ∈ B

φ+(x) = limn→∞

1n

n−1∑

j=0

φ T j(x) =∫φ dµ, ∀φ ∈ C0(X).

Demonstracao. Tome φk∞k=0 um conjunto denso em C0(X). Seja Bk umconjunto de probabilidade total tal que φ+

k (x) =∫φk dµ para todo x ∈ Bk.

DefinaB :=

⋂

k∈NBk

Dado φ ∈ C0(X) existe uma subsequecia de φk∞k=0 que converge uni-formemente a φ.

Proposicao 13.2. (f, µ) e ergodica ⇐⇒ limn→∞ 1/n

n−1∑

j=0

µ(A ∩ f−j(B)) =

µ(A)µ(B) ∀A,B mensuravel.


Demonstracao. (⇒): Sejam A e B mensuraveis. Defina φ = χB. PeloTeorema 13.1 φ+ e constante q.t.p. e φ+ =

∫φ+dµ =

∫φdµ = µ(B).

Defina ψ = χA.

limn→∞

1n

n−1∑

j=0

µ(A ∩ f−1(B)) = limn→∞ 1/n

n−1∑

j=0

∫ψ(x)χf−1(B)(x)dµ(x) =

= limn→∞

∫ψ(x)1/n

n−1∑

j=0

χf−1(B)(x)dµ(x) =

(Teo. Conver. Dominada) =∫ψ(x)

limn→∞ 1/n

n−1∑

j=0

φ(f j(x))

dµ(x) =

= µ(B)∫ψ(x)dµ(x) = µ(B)µ(A).

(⇐): Seja A mensuravel tal que f−1(A) = A, tome B = A na hipotese:

µ(A)µ(A) = limn→∞

n−1∑

j=0

µ(A ∩ f−1(A)) = µ(A)

⇒ µ(A) = 0 ou 1 ⇒ f e ergodica.

Proposicao 13.3. f : M → M , µ, ν medidas f-invariantes. Se (f, µ) eergodica e ν << µ, entao ν = µ.

Demonstracao. Seja φ integravel entao

φ+(x) =∫φdµ µ-q.t.p.

sendo ν absolutamente contınua com respeito a µ

φ+(x) =∫φdµ ν-q.t.p.

pelo Teorema Ergodico de Birkhoff∫φdν =

∫φ+dν =

∫(∫φdµ)dν =

∫φdµ

logo ν = µ, ja que vale a igualdade acima para toda funcao integravel φ.

Definicao 13.6. Seja X um conjunto convexo, dizemos que p ∈ X e umponto extremal se para toda combinacao convexa p = tx + (1 − t)y comx, y ∈ X e t ∈ [0, 1], implica t = 0 ou t = 1.


Proposicao 13.4. Seja µ ∈M, entao

(f, µ) e ergodico ⇔ µ e ponto extremal de M.

Demonstracao. (⇒) : µ = tµ1 +(1− t)µ2, logo µ1 << µ e µ2 << µ portantoµ1 = µ2 = µ.

(⇐) : Suponha que (f, µ) nao seja ergodico, entao existe A ⊂ M com0 < µ(A) < 1, f -invariante. Definimos as seguintes medidas

µ1(E) =µ(E ∩A)µ(A)

e µ2(E) =µ(E ∩Ac)µ(Ac)

Assim vemos que µ nao e extremal ja que

µ(E) = µ(A)µ1(E) + µ(Ac)µ2(E)

o que e um absurdo.

Teorema 13.7. Seja f : M → M contınua, M espaco metrico compacto.Entao f admite uma medida de probabilidade (boreliana) ergodica.

Demonstracao. Seja φii∈N um conjunto denso de funcoes contınuas. De-finamos os seguintes conjuntos

Mi+1 =µ ∈ Mi

∣∣∣∣∫φi+1dµ = max

ν∈Mi

∫φi+1dν

onde M0 = M(f).Como a funcao ν 7→ ∫

φi+1 e contınua, o conjunto Mi+1 e fechado, logocompacto. Como Mi+1 forma uma sequencia encaixada de compactos temos

⋂

i∈NMi 6= ∅

Tome ν na intersecao acima. Vejamos que ν e um ponto extremal e as-sim, pela proposicao anterior, ergodico. Seja ν = λν1 + (1 − λ)ν2 comλ ∈ [0, 1] e ν1, ν2 ∈ M0. Assim

∫φ1dν = λ

∫φ1dν1 + (1 − λ)

∫φ1dν2.

Pois ν ∈ M1,∫φ1dν =

∫φ1dν1 =

∫φ1dν2; caso contrario

∫φ1 dν <

max∫ φ1 dν1,∫φ1 dν1. Assim temos ν1, ν2 ∈ M1.

Indutivamente, repetimos o argumento para φi e assim chegamos que∫φidν1 =

∫φidν2, ∀i ∈ N

Portanto ν1 = ν2 implicando que ν e um ponto extremal.


Exemplo 13.8. As medidas ergodicas nao formam um conjuntofechado.

Olhemos para o shift∑

d. Seja µ a medidade de Bernoulli (1/d, . . . , 1/d).Seja Ci uma enumeracao dos cilindros. Tome um ponto x ∈ ⋂

iB(χCi), ondeB(χCi) e o conjunto de medida total para o qual as medias de Birkhoff con-vergem. x = (. . . , x−1.x1, x2, . . .). Defina o ponto periodico y = [x−n, . . . ,x−1;x1, . . . , xn, 0 . . . , 0], sao 2n zeros.

Defina µn como sendo a medida atomica equidistribuıda na orbita deyn. Sabemos que existe µn possui uma subsequencia convergente µni queconverge a uma medida, digamos, µ0.

Pela escolha feita de x temos

limi→∞

µni([l, a1, . . . , ak]) =12

12k

Observer que os cilindros sao abertos e fechados. Com isso vemos que

limi→∞

µni = µ0 =12µ+

12µ0

Onde µ0 e o delta de dirac no ponto (. . . 000.000 . . .).

Teorema 13.9. Seja φ integravel tal que∫φdµ = 0 e (T, µ) ergodica. De-

fina A = x ∈ X | ∑∞j=0 φ T j(x) = ∞, entao µ(A) = 0.

Demonstracao. Por absurdo, suponha µ(A) > 0. Defina

h(x) = infn=1,2,...

n∑

j=0

φ T j(x).

E facil ver que |h(x)| ≤ |φ(x)|, portanto h e integravel.

h(Tx) = infn=1,2,...

n∑

j=0

φ T j+1(x) = infn=2,...

n∑

j=0

φ T j(x)− φ(x)

≥ infn=1,2,...

n∑

j=0

φ T j+1(x)− φ(x) = h(x)− φ(x)

Considere An = x ∈ A | n ≤ |h(x)| < n + 1, existe n0 tal queµ(An0) > 0. Pelo teorema de recorrencia de Poincare An0 ⊂ An0 de medidatotal, tal que para todo x ∈ An0 existe sequencia de inteiros nk tais queTnk(x) ∈ An0 ∀k ∈ N.

Definamos a funcao K(x) = φ(x) + h(Tx) − h(x), pelo feito acima sa-bemos que K ≥ 0. Por ergodicidade sabemos que 1

n

∑n−1j=0 K(T j(x)) →∫

K dµ, quase certamente. Para x ∈ An0


1nk

nk−1∑

j=0

K(T j(x)) =1nk

nk−1∑

j=0

φ(T j(x)) +1nk

(h(Tn(x))− h(x)) → 0 + 0 = 0

Portanto∫K dµ = 0 ⇒ φ(x) = h(x) − h(T (x)) quase certamente. E

novamente para x ∈ An0

1nk

nk−1∑

j=0

φ(T j(x)) =1nk

(h(Tn(x))− h(x))

ou seja,∑nk−1

j=0 φ(T j(x)) e limitado, absurdo.

Proposicao 13.5. Considere f : M →M uma transformacao que preservaa medida boreliana µ, entao sao equivalente:

(i) f e ergodica;

(ii) Para todo A ∈ B(M) com µ(A) > 0, entao µ(⋃∞n=1 f

−n(A)) = 1;

(iii) Para todo A,B ∈ B(M) com µ(A) > 0 e µ(B) > 0, entao existe n > 0tal que µ(f−n(A) ∩B) > 0.

Demonstracao. • (i) ⇒ (ii): Como f−1(∪∞n=0f−n(A)) = ∪∞n=1f

−n(A) ⊂∪∞n=0f

−n(A) e µ(∪∞n=0f−n(A)) > 0 dado que contem o conjunto A

entao pelo Teorema (13.1) µ(∪∞n=1f−n(A)) = 1.

• (ii) ⇒ (iii): Como µ(∪∞n=1f−n(A)) = 1 entao ∪∞n=1f

−n(A)⋂B tem

medida total, e portanto deve haver n > 0 como tal que µ(f−n(A) ∩B) > 0.

• (iii) ⇒ (i): Por absurdo, suponha que exista A mensuravel invariantetal que 0 < µ(A) < 1 entao tomando B = Ac na hipotese temos queexiste n > 0 tal que 0 < µ(f−n(A) ∩ B) = µ(A ∩ B) = µ(∅) = 0,absurdo.

Definicao 13.10. Dizemos que f : M → M e unicamente ergodica se fadmite uma unica probabilidade invariante.

Teorema 13.11. Sejam f : M → M contınua e M espaco metrico com-pacto. Sao equivalentes

a) 1/n∑n−1

j=0 φ f j converge uniformente a uma constante ∀φ ∈ C0(M);

b) 1/n∑n−1

j=0 φf j converge pontualmente a uma constante ∀φ ∈ C0(M);


c) Existe µ ∈ M(f) f-invariante tal que ∀φ ∈ C0(M) 1/n∑n−1

j=0 φ f jconverge pontualmente a

∫φdµ;

d) f e unicamente ergodica.

Demonstracao. a) ⇒ b): Trivial.b) ⇒ c): Definamos a seguinte funcao

B : C0(M) → Rφ 7→ φ+

que pela hipotese esta bem definida. Note que B e linear, contınua (ja que||B|| ≤ 1) e se φ ≥ 0 ⇒ B(φ) ≥ 0. O Teorema de Representacao de Riezgarante que existe probabilidade µ tal que

B(φ) =∫φdµ, ∀φ ∈ C0(M)

Resta checar que esta medida e f-invariante, mas observe que∫φ fdµ = B(φ f) = B(φ) =

∫φdµ⇒ µ e f-invariante.

c) ⇒ d): Seja ν outra medida invariante. Como

1/nn−1∑

j=0

φ(f j(x)) →∫φdµ

integrando ambos os lados com respeito a ν obtemos

1n

∑n−1j=0

∫φ f j(x)dν //

q²²

∫(∫φdµ)dν

q²²

1n

∑n−1j=0

∫φdν

∫φdµ

obtemos∫φdν =

∫φdµ⇒ ν = µ.

d) ⇒ a): Facamos por absurdo. Entao existem φ integravel, ε > 0, umasequencia de pontos xn, inteiros kn (estritamente crescentes) tais que

∣∣∣∣∣∣1n

kn−1∑

j=0

φ(f j(xn))− φdµ

∣∣∣∣∣∣≥ ε

Seja µ a unica medida invariante da hipotese. Considere agora a sequenciade medidas νn definidas por

νn =1n

kn−1∑

j=0

δfj(xn)


note que∫f dνn = 1/n

n−1∑

j=0

φ(f j(xn)). Portanto a relacao anterior fornece

∣∣∣∣∫φdνn −

∫φdµ

∣∣∣∣ ≥ ε

Tome ν como sendo um ponto de acumulacao da sequencia νn. ν e f-invariante e passando o limite, a subsequencia, obtemos | ∫ φdν−∫

φdµ| ≥ εo que e absurdo, dado que ν = µ.

Definicao 13.12. Seja µ uma medida boreliana em um espaco metrico M ,definimos o suporte de µ por

supp µ := x ∈M | µ(U) > 0 sempre que x ∈ U e U aberto.

Proposicao 13.6. Seja T : X → X uma funcao contınua e X um espacometrico compacto. Entao

(i) Se µ e ergodica, entao T|supp µ tem orbita densa;

(ii) Se µ e unicamente ergodica, entao supp µ e um conjunto minimal.

Demonstracao. Observe que T (supp µ) ⊂ supp µ sempre que µ for invari-ante por f .

(i): Basta provar que dados dois abertos de supp µ A,B com medidapositiva se intersectam, todavia segue direto da Proposicao (13.5).

(ii): Suponha que exista K ⊂ supp µ compacto invariante propriamentecontido em supp µ. Portanto sabemos que existe uma medida invarianteν para T : K → K, e que pode ser olhada como uma medida em todoM . Encontramos assim uma medida ν 6= µ o que implica que (T, µ) nao eunicamente ergodica. Absurdo.

Definicao 13.13. Sejam f ∈ C0(X) e µ uma medida invariante por f . Dize-mos que (f, µ) e misturadora ou mixing se lim

n→∞µ(A∩f−n(B)) = µ(A)µ(B).

Exemplo 13.14. Exemplos que satisfazem uma condicao e nao outra.

• Unicamente ergodica, mas nao e minimal.

f : S1 → S1, f(e2πiθ) = e2πiθ2

• Unicamente ergodica, mas nao misturadora.

Pegue a mesma funcao acima.


• Ergodica, mas nao misturadora.

Considere a rotacao irracional Rα : S1 → S1. Pegue dois intervalosabertos A e B pequenos (menores que metade do diametro de S1 porexemplo), existe ni →∞ tal que A ∩Rni

α (B) = ∅. Consequentementenao pode ser misturadora.

• Topologicamente mixing, mas nao e mixing.

Considere o shift de Bernoulli e tome duas medidas de Bernoulli distin-tas, µ1 e µ2. Sabemos que o shift e topologicamente mixing e preservaa medida µ = 1

2(µ1 + µ2). Se µ fosse mixing, entao seria ergodica,entretanto nao pode ser ergodica dado que e soma nao trivial de me-didas.

Exemplo 13.15 (Teorema de Kac). Considere (T, µ) ergodica. Seja A ⊂ Xde medida positiva, defina a funcao tempo de primeiro retorno, n : A → Npor n(x) = mini ∈ N | T i(x) ∈ A.

Afirmacao:∫

An(x) dµ = 1.

DefinaAk := x ∈ A | n(x) = k

Bk := x ∈ X | T j(x) /∈ A, j = 1, . . . , k − 1; T k(x) ∈ Apelo Teorema de Recorrencia A =

⋂k≥1Ak q.t.p., logo

∑k≥1 µ(Ak) = µ(A).

Vale tambem que X =⋂k≥1Bk q.t.p. e esta uniao e disjunta. Como

A ⊂ ⋂n≥1 T

−nA ⊂ ⋂k≥1Bk.

∫

An(x) dµ =

∞∑

k

µ(Ak) =∞∑

k=1

( ∞∑

n=k

µ(An)

)

Afirmacao:∑∞

k=1 µ(An) = µ(Bk).Provemos por inducao. Para k = 1, B1 = T−1A, entao

∑n≥1 µ(An) =

µ(A) = µ(B1). Suponhamos que vale para k e provemos para k + 1.

T−1Bk = Bk+1

⋃T−1Ak

a uniao acima e disjunta, isto pois

T−1Ak = T−1Bk⋂T−1A, Bk+1 = T−1Bk

⋂(T−1A)c

Por conseguinte, µ(T−1Bk) = µ(Bk) = µ(Bk+1)+µ(T−1Ak) = µ(Bk+1)+

µ(Ak). Da hipotese indutiva, µ(Bk+1) = µ(Bk)− µ(Ak) =∞∑

n=k+1

µ(An).

Shift de Bernoulli


∑d := 1, . . . , dZ = (xn)n∈Z | xn ∈ 1, . . . , d.

Dados an, . . . , an+m ∈ 1, . . . , d chamamos de cilindros os conjuntosdefinidos por:

[n; an, . . . , an+m] := (xn)nZ | xn = an, xn+1 = an+1, . . . , xn+m = an+m

Considere em∑

d a σ-algebra β gerada pelos cilindros. Definimos amedida de Bernoulli µ associada a p1, . . . , pd onde p1 + . . . + pd = 1, deforma que

µ([n; an, . . . , an+m]) = pan . . . pan+m

ou equivalentemente µ = νZ, isto e a medida produto onde ν e a medidaem 1, . . . , d definida por ν(i) = pi.

Definimos agora a funcao shift (a esquerda)

σ :∑

→∑

(xn)n∈Z 7→ (xn+1)n∈Z

onde∑

=∑

d.

Teorema 13.16. Na notacao acima, σ preserva a medida µ.

Demonstracao. σ preserva a medida dos cilindros, pois

σ1([n; an, . . . , an+m]) = [n+ 1; an, . . . , an+m].

Os cilindros formam uma algebra e o conjunto abaixo

A = A ∈ B | µ(σ−1(A) = µ(A))

e uma classe monotona que os contem, portanto pelo Teorema de ClasseMontotona σ preserva µ.

Teorema 13.17. ∀A,B ∈ B, limn→∞µ(A ∩ σ−m(B)) = µ(A)µ(B).

Demonstracao. Basta provar o resultado para A,B cilindros. A = [n; an,. . . , an+m] e B = [p; bp, . . . , ap+q]. σ−m(B) = [p + m; bp, . . . , bp+q], seja mtal que p+m+ q ≥ n+ r. Entao temos a seguinte unicao disjunta

A ∩ σ−m(B) =.⋃

c1,...,cs∈1,...,d[n; an, . . . , an+m, c1, . . . , cs, bp, . . . , ap+q]

onde s = p +m − n − r − 1. Suponhamos, para simplificar a notacao, ques = 2.

A ∩ σ−m(B) =d⋃

i=1

d⋃

j=1

[n; an, . . . , an+m, ci, cj , bp, . . . , ap+q]


Consequentemente

µ(A ∩ σ−m(B)) =d∑

i=1

d∑

j=1

µ([n; an, . . . , an+m, ci, cj , bp, . . . , ap+q])

= µ(A)µ(B)∑

i

pi∑

j

pj = µ(A)µ(B).

Corolario 13.1. (σ, µ) e misturadora, portanto ergodica.


Exercıcios

Exercıcio 13.1. (a) supp µ e fechado;

(b) µ(X\supp µ) = 0;

(c) Se A ∈ B tem medida total, entao A e denso em supp µ.

Exercıcio 13.2. Sejam (T, µ) ergodica e φ integravel.

• A = x | ∑∞j=0 φ(T j(x)) = ∞. Se µ(A) > 0 ⇒ ∫

φ dµ > 0.

• B = x | ∑∞j=0 φ(T j(x)) = −∞. Se µ(B) > 0 ⇒ ∫

φ dµ < 0.

Exercıcio 13.3. Prove que a rotacao irracional e unicamente ergodica.

Exercıcio 13.4. Sejam T : X → X mensuravel, X metrico compacto eµ probabilidade boreliana preservada por f tal que µ(U) > 0 para todo Uaberto. Prove que µ(x ∈ X | Tn(x)n∈N denso em X) = 1.

Exercıcio 13.5. Sejam T : X → X, X espaco metrico e µ probabilidadeinvariante. Se supp µ = X, entao todo ponto e nao-errante e quase todoponto e recorrente.

Exercıcio 13.6. Se ν e µ sao medidas ergodicas distintas, entao elas saomutualmente singulares.

Exercıcio 13.7. Vale a Proposicao 13.1 considerando φ no conjunto dasintegraveis?

Exercıcio 13.8. De um exemplo em que Ti : Xi → Xi, i = 1, 2, sejaergodica, mas T = T1 × T2 nao seja ergodica com a medida produto.

Exercıcio 13.9. De um exemplo em que (T, µ) seja ergodica, mas (T 2, µ)nao seja.

Exercıcio 13.10. Suponha k ≥ 2.

a) Se (T k, µ) e ergodica, entao (T, µ) e ergodica;

b) Se (T k, µ) e misturadora se, e somente se, (T, µ) e misturadora.

Exercıcio 13.11. As medidas ergodicas no shift de Bernoulli formam umconjunto denso no conjunto das medidas invariantes pelo shift.


14 Desintegracao de medidas

Seja (M,µ,B) um espaco de probabilidade, onde M e um espaco metricocompacto, µ uma probabilidade e B a σ-algebra de borel. Dada uma particaoP de M por conjuntos mensuraveis, associamos o espaco mensuravel

(P, µ, B)

da seguinte maneira. Seja π : M → P a projecao canonica que associa umponto de M a particao que o contem. Entao definimos µ := π∗µ e B := π∗B.

Definicao 14.1. Dada uma particao P. Uma famılia µP p∈P e um sistemade medidas condicionais para µ (com respeito a P) se

i) Dada φ ∈ C0(M), entao P 7→ ∫φµP e mensuravel;

ii) µP (P ) = 1 µ-q.t.p.;

iii) Se φ ∈ C0(M), entao∫

Mφdµ =

∫

P(∫

PφdµP )dµ

Observe que as condicoes i) e iii) tambem valem para φ limitada peloteorema da convergencia dominada. Quando bem entendida a particao queestamos trabalhando, dizemos tambem que a famılia µP desintegra a me-dida µ.

Proposicao 14.1. Se µP e νP sao medidas condicionais que desinte-gram µ, entao µP = νP µ-q.t.p.

Demonstracao. Suponha por absurdo que exista Q ⊂ B com µ(Q) > 0 talque µP 6= νP para todo P ∈ Q.

Afirmacao: ExisteQ0 ⊂ Q com µ(Q) > 0 e φ ∈ C0(M) tal que∫P dµP >∫

P dνP para todo P ∈ Q0 ou∫P dµP <

∫P dνP para todo P ∈ Q0.

De fato, seja φk um conjunto denseo enumeravel de C0(M). Defina osconjuntos

Ai = P ∈ Q |∫

PdµP 6=

∫

PdνP

Como µ(∪iAi) = µ(Q) > 0, existe i0 tal que µ(Ai0) com µ(Qi0) > 0. Ea afirmacao segue.

Sejam φ e Q como na afirmacao.∫φχπ−1(Q)dµ =

∫(∫φχπ−1(Q)dµP )dµ(P ) =

∫

Q(∫φdµP )dµ(P )

>

∫

Q(∫φdνP )dµ(P ) =

∫φχπ−1(Q)dµ

Chegando assim a um absurdo.


Corolario 14.1. Se T : M → M preserva uma probabilidade µ, entaopreserva µP µ-q.t.p.

Demonstracao. Basta ver que T∗µP P∈P tambem e uma desintegracao deµ.

Definicao 14.2. Dizemos que a particao P e mensuravel se existe umafamılia de borelianos Aii∈N tais que

P = A1, Ac1 ∨ A2, A

c2 ∨ . . .mod 0

Teorema 14.3 (Desintegracao de Rokhlin [16]). Seja P uma particao men-suravel do compacto M e µ uma probabilidade boreliana. Entao existe umadesintegracao de µ.

Demonstracao. Definimos a particao Pn := A1, Ac1∨ . . .∨An, Acn. Dado

z ∈ M denotamos por Pn(z) ao elemento da particao Pn que contem z.Dada uma funcao limitada ψ : M → R definimos ψn : M → R por

ψn(z) =

1/µ(Pn(z))∫Pn(z) ψdµ se µ(Pn(z)) > 0

0 se µ(Pn(z)) = 0

Lema 14.1. Existe F = F (ψ) ⊂M com µ(F ) = 1 tal que existe o limite

limn→∞ ψn(z), ∀z ∈ F

Demonstracao. Sejam α < β numeros reais, definimos o conjunto

S(α, β) = z ∈M | lim inf ψn(z) < α < β < lim sup ψn(z)

Basta provar que µ(S(α, β)) = 0. De fato, defina o conjunto A :=⋂

q,p∈QS(q, p), entao definimos F := Ac.

Denotemos S(α, β) por S. A cada z ∈ S associamos uma sequencia deinteiros az(1) < bz(1) < az(2) < bz(2) . . . de modo que

ψaz(i)(z) < α e ψbz(i)(z) > β

Definamos os conjuntos

Ai =⋃

z∈SPaz(i)(z), Bi =

⋃

z∈SPbz(i)(z)

Os conjuntos Ai e Bi sao mensuraveis, pois podem ser olhados comouma uniao enumeravel. Isto porque az(i)z∈S,i∈N e bz(i)z∈S,i∈N sao enu-meraveis dado que sao subconjuntos dos naturais. E facil ver S ⊂ Ai+1 ⊂Bi ⊂ Ai, assim defina o conjunto S :=

⋂

i∈NAi =

⋂

i∈NBi. Observe que os


conjuntos Ai e Bi podem ser olhados como uniao de conjuntos disjuntos,isto porque pela particao ou dois conjuntos tem intersecao vazia ou um estaum contido no outro. Com esta observacao fazemos as somas abaixo usandoolhando apenas para esta uniao disjunta:

βµ(Bi) =∑

Pbz(i)

µ(Pbz(i)(z))β ≤∫

Bi

ψdµ ≤

≤∫

Ai

ψdµ =∑

Paz(i)

∫

Paz(i)

≤∑

Paz(i)

µ(Paz(i)(z))α ≤ αµ(Ai)

Mandando i a infinito temos que βµ(S) ≤ αµ(S) e portanto µ(S) = 0pois β > α. Logo µ(S) ≤ µ(S) = 0 como querıamos.

Seja φ(n)n∈N um conjunto enumeravel denso em C0(M). Pelo lemaacima, considere o seguinte conjunto de massa total

F =⋂

n∈NF (φ(n))

Lema 14.2. Para toda ϕ contınua existe o limite de ϕn(z), denotado porϕ(z) para todo z ∈ F .

Demonstracao. Provemos que ϕn(z) e uma sequencia de Cauchy. Dadoε > 0, seja α ∈ N tal que φ(α) ε/3-aproxima ϕ. Sendo φ(α)n cauchy, seja n0

tal que para n,m ≥ n0 tenhamos |φ(α)n(z)− φ(α)m(z)| < ε/3. Este mesmon0 tomamos para a seuquencia ϕn

|ϕn(z)− ϕm(z)| ≤ |ϕn(z)− φ(α)n(z)|+ |φ(α)n(z)− φ(α)m(z)|+ |φ(α)m(z)− ϕm(z)| ≤ ε/3 + ε/3 + ε/3≤ ε

Fixado P ∈ P e ϕ contınua, entao ϕ e constante em P , isto porque elae limite de funcoes constantes em P . Assim, fica bem definida a funcao

C0(M) → Rϕ 7−→ ϕ(P )

Podemos aplicar o teorema de Riez a essa funcao, portanto existe umamedida µP tal que ϕ(P ) =

∫ϕdµP . Temos tambem

∫ϕdµ =

∑

µ(Pn)>0

∫

Pn

ϕdµ =∑

µ(Pn)>0

∫

Pn

µ(Pn)ϕndµ =∫ϕndµ


Aplicando o limite quando n vai a infinito obtemos∫ϕdµ =

∫ϕdµ =

∫ϕ(P )dµ(P ) =

∫(∫ϕdµP )dµ(P )

Por fim, vejamos que para µ(P ) > 0 entao µP (P ) = 1. A ultima igual-dade abaixo vem quando n e grande.

µP (P ) =∫χPdµP = lim

n→∞ 1/µ(Pn)∫

Pn

χPdµ = 1

Com isso provamos o teorema.

14.1 Decomposicao ergodica

Seja f : M →M um transformacao que preserva a medida µ. Defina

B = z ∈M | existe φ+(z), ∀φ ∈ C0(M)

Lembre que φ+(z) = limn→∞ 1/n

n−1∑

j=0

φ f j(z). Defina a seguinte classe de

equivalencia em B, x ∼ y se, e somente se, φ+(x) = φ+(y), ∀φ ∈ C0(M).Defina a particao PB como as classes de equivalencias em B uniao M\B.

Teorema 14.4 (Desintegracao ergodica). Seja f : M →M e µ uma proba-bilidade f-invariante, entao

• PB e uma particao mensuravel;

• Aplicando o Teorema 14.3 a PB e µ tem-se que µP sao invariantes eergodicas µ-q.t.p.

• Seja x ∈ P e P ∈ PB, entao ηx = µP µ-q.t.p.

onde ηx = limn→∞ 1n

∑n−1j=0 δfj(x)

Demonstracao. A demonstracao esta quebrada nos tres lemas abaixo.

Lema 14.3. PB e uma particao mensuravel.

Demonstracao. Tomemos φn um conjunto enumeravel denso em C0(M)e qm conjunto enumeravel denso na reta. Defina o conjunto

An,m = x ∈ B | φ+n (x) > qm

Considere a particao P =∨n,mAn,m. E facil ver que esta particao e a

que procuramos.

Lema 14.4. Aplicando o Teorema 14.3 a PB e µ tem-se que µP sao inva-riantes e ergodicas µ-q.t.p.


Demonstracao. Primeiramente vejamos que µP e invariante. Da demons-tracao do Teorema 14.3 no nosso caso agora temos que f−1(Pn) = Pn, eusando que µ e f -invariante, dada φ contınua:

∫φdµP = φ(P ) = lim φn(z ∈ P ) = lim µ(Pn)

∫

Pn

φdµ

= lim µ(Pn)∫

Pn

φdµ =∫φ fdµP

Por fim, µP e ergodica pois por construcao da particao as medias deBirkhoff sao constantes para quase todo ponto.

Lema 14.5. Seja x ∈ P e P ∈ PB, entao ηx = µP µ-q.t.p.

Demonstracao. O limite limn→∞ 1n

∑n−1j=0 δfj(x) existe, dado que toda sub-

sequencia convergente converge a um mesmo valor. Dado φ contınua:

∫φdηx = lim

n→∞1n

n−1∑

j=0

φ f j(x) =∫φdµP

O que prova a igualdade entre as medidas.

O teorema segue do feito acima.

Uma aplicacao direta da decomposicao ergodica e que toda funcao men-suravel num espaco metrico compacto admite uma medida ergodica.


Exercıcios

Exercıcio 14.1. Sejam Rα uma rotacao racional no cırculo e λ a medidade lebesgue no cırculo.

a) (Rα, λ) nao e ergodica;

b) Fazer a decomposicao ergodica de λ.

Exercıcio 14.2. Exemplo de sistema em que haja ininito enumeravel nadecomposicao ergodica.

Exercıcio 14.3. Considerando a rotacao irracional no cırculo, particione ocırculo por meio das orbitas. Mostre que esta particao nao e mensuravel.

Exercıcio 14.4. T e unicamente ergodica se, e somente se, existir umaunica medida ergodica para T .


15 Entropia

15.1 Entropia Metrica

Um particao P, e uma colecao P = Aiki=1 de conjuntos mensuraveis, taisque: Ai ∩Aj = ∅, se i 6= j e X =

⋂ki=1Ai.

Definicao 15.1. Sejam uma particao P e uma probabilidade µ. Definimosa entropia hµ(P), da particao P com respeito a µ, por:

hµ(P) = −k∑

i=1

µ(Ai) log µ(Ai)

Definicao 15.2. Sejam P = Aiki=1 e P = Bjlj=1 duas particcoes de X.Dizemos que P refina Q, ou que P e mais fina que Q, denotado por

P ≺ Q

se dado Bj existe Ai tal que Bj ⊂ Ai.

Proposicao 15.1. A funcao φ : [0,∞) → R definida por

φ(x) =

0 se x = 0x logx se x 6= 0

(5)

e estritamente convexa.

Demonstracao. φ′(x) = 1 + log x e φ′′(x) = 1/x > 0.

Corolario 15.1. Se P = Aiki=1, entao hµ(P) ≤ log k. E hµ(P) = log kse, e somente se, µ(Ai) = 1/k.

Demonstracao. Temos

−φ(k∑

i=1

αixi) ≥ −k∑

i=1

αiφ(xi)

se xi ∈ [0,∞), αi positivo e∑k

i=1 αi = 1; a igualdade ocorre se, e somentese, os xi’s com αi 6= 0 sao iguais.

Logo, o corolario segue tomando αi = 1/k e xi = µ(Ai).

Definicao 15.3. Dada duas particoes P = Aiki=1 e Q = Bjlj=1, defini-mos P ∨Q por

P ∨Q = Ai ∩Bj ⊂ X | i ∈ 1, . . . , k, j ∈ 1, . . . , l


Note que P ∨Q refina P e Q.Seja f : X → X mensuravel e P = Ai uma particao. Definimos

Pn = P ∨ f−1P ∨ . . . ∨ f−(n−1)P

onde f−kP = f−k(Ai).Observacao 15.1. • Fixado a aplicacao T , a funcao entropia µ 7→

hµ(T ) e contınua superiormente (Vide Teorema 8.2 em [17].)

• Se T for um difeomorfismo C∞, entao a funcao entropia e contınua.

15.2 Entropia Topologica

Teorema 15.4. Seja X um espaco compacto e T : X → X.

a) Se T for um homemorfismo expansivo com constante de expansivi-dade δ e γ = A1, . . . , Ar uma cobertura finita (nao necessaria-mente aberta) de X com diam(Aj) ≤ δ, entao diam(∨nj=−nT−jγ) → 0quando n→∞.

b) Se T for aplicacao contınua positivamente expansiva com constante deexpansividade δ e γ = A1, . . . , Ar uma cobertura finita (nao necessa-riamente aberta) de X com diam(Aj) ≤ δ, entao diam(∨nj=0T

−jγ) →0 quando n→∞.

Demonstracao. Provemos o item a). Por absurdo, suponha que existam ε >0, ni ∈ N, xi, yi ∈ Pi ∈ ∨nj=−nT−jγ talque d(xi, yi) > ε. Por compacidade,podemos supor que xi e yi convergem a x0 e y0. Por continuidade d(x0, y0) >ε e d(T j(x0), T j(y0)) ≤ δ. Absurdo.

A demosntracao do item b) e analoga.

Teorema 15.5. Seja T : X → X um homeomorfismo expansivo ou aplica-cao positivamente expansiva cuja constante de expansividade e δ; se α =A1, . . . , Ar cobertura aberta de diamento menor que δ, entao h(T ) =h(T, α);

Demonstracao. Seja T um homeomorfismo. Dado β uma cobertura abertaseja l o numero de lebesgue da cobertura β. Seja N grande o suficiente paraque β <

∨Nj=−N T

−jα.


h(T, β) ≤ h(T,N∨

j=−NT−jα) = lim

n→∞1nH(

n−1∨

i=0

T−i(N∨

j=−NT−jα)

= limn→∞

1nH

N+n−1∨

j=−NT−jα

= lim

n→∞1nH

2N+n−1∨

j=0

T−jα

= limn→∞

2N + n− 1n

12N + n− 1

H

2N+n−1∨

j=0

T−jα

= h(T, α).

E segue o resultado para homeomorfismo. No caso de aplicacao positi-vamente expansora tome N de forma que β <

∨Nj=0 T

−jα.

Teorema 15.6. A entropia topologica do shift uni e bilatera de k sımbolose igual a log(k).

Demonstracao. O shift e expansivo com constante de expansividade igual a1/2. Tomemos a cobertura aberta α = A1, . . . , Ak onde Aj = xn∞n=−∞| x0 = j no caso de shift bilateral e Aj = xn∞n=0 | x0 = j no casounilateral.

Assim

h(T ) = h(T, α) = limn→∞

1nlog N(

n−1∨

i=0

T−iα)

= limn→∞

1nlog(kn) = log(k)

Corolario 15.2. Seja Y ⊂ ∑d um conjunto fechado e invariante pelo shift,

σ(Y ) = Y . Entaoh(T |Y ) = lim

n→∞(1/n)logθn(Y ).

Onde θn(Y ) e o numero de cilindros de tamanho n em Y que nao sejamvazios.

Demonstracao. Ver walters pagina 178

Ver walters pagina 178

Exemplo 15.7. Mostremos agora que para todo numero real positivo existeum sistema cuja entropia tologica atinge este numero.




Teorema 15.8. Seja T : S1 → S1 um homeomorfismo do cırculo, entaoh(T ) = 0.

Demonstracao. Por continuidade uniforme, existe β < 1/4 positivo tal quese d(x, y) < β entao d(T−1(x), T−1(y)) < 1/4.

Seja ε < β. Provemos que existe α > 0 tal que rn(ε, S1) ≤ nα.Vejamos como escolher α. Seja Z ⊂ S1 um conjunto finito em S1 tal qoe

todo ponto do cırculo dista ε de algum ponto de Z. Definamos α por

α := #Z.

Onde #Z siginifica a cardinalidade de Z. Por hipotese indutiva rn(ε, S1)≤ nα. Olhemos para a etapa n+ 1. Seja Y um conjunto (n, ε)-spanning decardinalidade rn(ε, S1). Definamos o conjunto

A = Y ∪ T−nZ.

Note que #A ≤ rn(ε, S1)+α ≤ (n+1)α. Para obtermos o que queremosbasta checar que A e um conjunto (n+ 1, ε)-spanning.

Dado x ∈ S1, existe y ∈ Y tal que d(T ix, T iy) ≤ ε, i = 0, 1, . . . , n−1. Sed(Tnx, Tny) ≤ ε nao ha nada para fazer. Suponha entao d(Tnx, Tny) > ε.

Escolha z ∈ T−nZ tal que d(Tnx, Tny) ≤ ε e T−n+1z pertenca ao inter-valo de extremos Tn−1x e Tn−1y de menor comprimento (logo menos queε).

Afirmo que d(Tn−1x, Tn−1z) ≤ ε ⇒ d(Tn−2x, Tn−2z) ≤ ε. Pois Tn−2

pertence ao intervalo de menor comprimento de extremos Tn−2x e Tn−2y,caso contrario, por conexidade, T−1 mandaria um intervalo de tamanho me-nor que ε em outro com tamanho maior que 1/4 o que nao pode pela escolhade β. Repetindo o argumento para n − 3 e assim por diante terminamos aprova.

Exemplo 15.9. (h(T ) = ∞.) Construamos um exemplo com entropiatopolodica infinita. Seja Ti : Λi → Λi um homeomorfismo, com (Λi, di)metrico compacto e diametro de Λi menor que 1, tal que h(T ) = log(i)(shift por exemplo). Colocaremos estes sistemas em um unico, para isso ocompactificamos acrescentando um “ponto no infitnito”. Defina o conjunto

X =⋃

i∈NΛi ∪ x∞

Consideremos em X a metrica d dada por d(x, y) = di(x, y)/i2 se x, y ∈ Λi;d(x, y) =

∑jα=i 1/α

2 se x ∈ Λi e y ∈ Λj (i < j); d(x∞, y) =∑∞

α=i sey ∈ Λi. Munido X de uma metrica que o torne compacto, agora definamosa aplicacao T : X → X. T (x) = Ti(x) se x ∈ Λi e T (x∞) = x∞. Assimh(T ) ≥ log(i) para todo i ∈ N, por conseguinte h(T ) = ∞.


15.2.1 Princıpio Variacional

Teorema 15.10 (Princıpio Variacional). Seja T : X → X uma funcaocontınua em um espaco metrico compacto X. Vale a seguinte relacao

h(T ) = suphµ(T ) | µ ∈M(T ).Lembrando que M(T ) sao as probabilidades T -invariantes.

Demonstracao. Primeiramente provemos que hµ(T ) ≤ h(T ), ∀µ ∈M(T ).Seja ξ = A1, . . . , Ak uma particao finita. Tomemos ε > 0 tal que ε <

1/(klog(k)). Sejam Bj ⊂ Aj , j = 1, . . . , k, compactos tais que µ(Aj\Bj) < ε.Definamos a particao η = B0, B1, . . . , Bk, onde B0 = X\ ∪kj=1 Bk. Entaoµ(B0) < kε.

Hµ(ξ|η) = −k∑

i=0

k∑

j=1

µ(Bi)φ(µ(Bi ∩Aj)µ(Bi)

)

= −µ(B0)k∑

j=1

φ

(µ(Bi ∩Aj)µ(Bi)

)

≤ µ(B0)log(k) ≤ kε log(k) < 1.

Fazemos agora o relacionamento com a entropia topologica.Para i 6= 0 o conjunto B0 ∪ Bi = X\ ∪j 6=i Bj e um aberto. β = B0 ∪

B1, . . . , B0 ∪Bk e uma cobertura aberta de X. Para n ≤ 1

Hµ(∨n−1i=0 T

−iη) ≤ log N(∨n−1i=0 T

−iη)

onde N(∨n−1i=0 T

−iη) e a quantidade de conjuntos nao vazios da particao∨n−1i=0 T

−iη.Portanto

Hµ(∨n−1i=0 T

−iη) ≤ log (N(∨n−1i=0 T

−iβ)2n)

⇒ hµ(T, η) ≤ h(T, β) + log2 ≤ h(T ) + log2.

⇒ hµ(T, ξ) ≤ hµ(T, η) +Hµ(ξ|η)≤ h(T ) + log2 + 1.

⇒ hµ(T ) ≤ h(T ) + log2 + 1⇒ hµ(Tn) ≤ h(Tn) + log2 + 1⇒ hµ(T ) ≤ h(T ) + (log2 + 1)/n


Mandando n a infinito obtemos

hµ(T ) ≤ h(T ).

Queremos provar a outra desigualdade, isto e h(t) ≤ suphµ(T ) | µ ∈M(T ). Para isto basta provarmos que dado ε > 0, encontramos µ ∈M(T )tal que hµ(T ) ≥ s(ε,X, T ). O que implicaria a desigualdade procurada.

Seja En um (n, ε) conjunto separado de cardinalidade sn(ε,X). Seja σn =1/sn(ε,X)

∑x∈En

δx, ou seja σn e a medida atomica centrada uniformimentesobre os pontos de En.

Definamos agora a medida µn = 1/n∑n−1

i=0 σn T−i. Considere nj umasubsequencia dos naturais crescendo a infinito de modo que

limj→∞

1/nj log snj (ε,X) = s(ε,X, T ) e limj→∞

µnj = µ.

Sabemos que µ e T -invariante. Vejamos que hµ(T ) ≥ s(ε,X, T ).Tome uma particao ξ = A1, . . . , Ak tal que diam(Ai) < ε e µ(∂Ai) = 0,

1 ≤ i ≤ k.Observemos que Hσn(∨n−1

i=0 T−iξ) = log sn(ε,X). Isto porque nenhum

membro de ∨n−1i=0 T

−iξ pode ter mais que um membro de En; temos sn(ε,X)elementos com medida 1/sn(ε,X) e os outros com medida nula.

Fixe naturais q, n com 1 < q < n e defina a(j) = [(n−j)/q], 0 ≤ j ≤ q−1.Fixe um tal j. Entao

n−1∨

i=0

T−iξ =a(j)−1∨

r=0

T−(rq+j)q+1∨

i=0

T−iξ ∨∨

l∈ST−lξ

e S tem cardinalidade no maximo igual a 2q.Portanto,

log sn(ε,X) = Hσn(∨n−1i=0 T

−iξ)

≤a(j)−1∑

r=0

Hσn(T−(rq+j) ∨q−1i=0 T

−iξ) +∑

k∈SHσn(T−nξ)

≤a(j)−1∑

r=0

HσnT−(rq+j)(∨q−1i=0T

−iξ) + 2q log(k).

Somemos em j variando de 0 ate q − 1.

q log sn(ε,X) ≤n−1∑

p=0

HσnT−p(∨q−1i=0T

−iξ) + 2q2 log(k).

Dividindo por n e usando que HPαiµi(ξ) ≥ ∑

αiHµi(ξ) obtemos


q/n log sn(ε,X) ≤ Hµn(∨q−1i=0T

−iξ) + 2q2/n log(k). (6)

Observe que os membros de ∨q−1i=0T

−iξ tem fronteira com medida nula,implicando limj→∞ µnj (B) = µ(B), ∀B ∈ ∨q−1

i=0T−iξ.

⇒ limj→∞

Hµnj(∨q−1

i=0T−iξ) = Hµ(∨q−1

i=0T−iξ)

Substituindo n por nj em 6 e fazendo j → ∞ temos qs(ε,X, T ) ≤Hµ(∨q−1

i=0T−iξ). Dividindo por q e mandando-o a infinito

s(ε,X, T ) ≤ hµ(T, ξ) ≤ h(µ, T ).

Corolario 15.3.h(T ) = h(T |Ω(T ))

Demonstracao. Segue diretamente do princıpio variacional e do fato queµ(Ω(T )) = 1.

Para continuarmos a fazer o relacionamento entre as entropias metrica etopologica, provemos que a entropia metrica e afim sob o espaco das medidas,ou melhor

Teorema 15.11. Seja T : X → X uma funcao contınua em um espacometrico compacto. Se µ,m ∈ M(T,X) e p ∈ [0, 1], entao hpµ+(1−p)m(T ) =phµ(T ) + (1− p)hm(T ).

Vimos na secao 14 que podemos desintegrar uma medida invariante poruma transformacao, o que fazemos e essencialmente uma soma convexa demedidas ergodicas. Isto quer dizer que e natural esperar que possamosdesintegrar tambem a entropia metica. Ou seja,

hµ(T ) =∫

(hµP ) dµ.

E de fato isto acontece. Por seu carater intuitivo e consequencias interes-santes, utilizaremos o fato sem demonstra-lo. Sua demonstracao pode serconferida no Teorema 8.4 de [17].

Teorema 15.12. T : X → X contınua e X espaco metrico compacto.Entao

h(T ) = suphµ(T ) | µ ergodica .


Demonstracao. Seja µi uma sequencia de medidas com entropia finita talque hµi → h(T ), supomos tambem que hµi < h(T ) (se esta condicao naopuder ser satisfeita obetmos automaticamente o resultado). Pela observacaoacima

hµ(T ) =∫

(hµP ) dµ.

Fixado i, se para quase todo P -µ q.t.p. hµP ≤ hµi , entao hµ ≤ hµi < h(T ), oque e absurso. Portanto existe P tal que a medida ergodica µP tem entropiamaior que hµi .

Definicao 15.13. T : X → X contınua e X espaco metrico compacto. Di-zemos que µ ∈M(T ) e uma medida de maxima entropia se hµ(T ) = h(T ). Oconjunto das medidas de maxima entropia sera denotado por Mmax(X,T ).

A seguir alguns resultados que concernem medidas de maxima entropia.

Teorema 15.14. Seja T : X → X contınua e X espaco metrico compacto.Entao

a) Mmax(X,T ) e convexa;

b) Se h(T ) < ∞ os pontos extremais de Mmax(X,T ) sao as medidasergodicas de Mmax(X,T );

c) Se h(T ) <∞ e Mmax(X,T ) 6= ∅, entao Mmax(X,T ) tem uma medidaergodica;

d) Se h(T ) = ∞, entao Mmax(X,T ) 6= ∅.Demonstracao. O item a segue diretamente do Teorema 15.11.

Para o item b. Suponha µ um ponto extremal de Mmax(X,T ), sejaµ = aµ1 + (1 − a)µ2. Entao hµ = ahµ1 + (1 − a)hµ2 , logo hµ = hµ1 = hµ2 ,caso contrario uma dessas medidas teria entropia maior que a entropia de µ.Como µ1, µ2 ∈ Mmax(X,T ) entao µ = µ1 = µ2. Sendo µ extremal e umamedida ergodica. Agora se µ for ergodica, claramente sera ponto extremalde Mmax(X,T ).

O item c segue diretamente da desintegracao de entropia. hµ =∫hµP dµ.

Caso nao houvesse µP com maxima entropia, entao hµ < h(T ) = hµ, ab-surdo.

Por fim, se h(T ) = ∞ considere medidas µn tais que hµn ≥ 2n. Defina amedida

µ =∞∑

n=1

1/2nµn.


Provemos que hµ(T ) = ∞. Fixado N , existe probabilidade ν tal que µ =∑Nn=1 1/2nµn + 1/2Nν. Portanto

hµ(T ) =N∑

n=1

1/2nhµn + 1/2Nhν ≥N∑

n=1

1/2nhµn ≥ N.

Implicando hµ(T ) = ∞.


Exercıcios

Exercıcio 15.1. Prove que h(T ) = h(T |∩∞n=0TnX).

Exercıcio 15.2. Todo homeomorfismo de [0, 1] tem entropia zero.

Exercıcio 15.3. Todo difeomorfismo Kupka-Smale tem entropia zero.

Exercıcio 15.4. Exemplo que tenha entropia finita e que nao haja medidade maxima entropia.

Exercıcio 15.5. O Exemplo 15.9 possui medida de maxima entropia, en-tretanto ela nao pode ser ergodica.

Exercıcio 15.6. Se h(T ) = ∞ e possui apenas uma medida de maximaentropia, entao T e unicamente ergodica.

Exercıcio 15.7. Se T tem duas medidas de maxima entropia, entao possuiinfinitas.

Exercıcio 15.8. Seja A = T : Tn → Tn | T anosov , entao o conjuntoh(T )T∈A e enumeravel.

Exercıcio 15.9. Se T e um homeomorfismo expansivo, entao T tem medidade maxima entropia.


16 Apendice

16.1 Teoria da Medida

Definicao 16.1. Seja M um conjunto de subconjuntos de Ω. Dizemos queM e uma classe monotona se:

i) Ai ∈ M; Ai ⊂ Ai+1; i ∈ N, implica que A =⋃∞i=0Ai ∈ M;

ii) Ai ∈ M; Ai ⊃ Ai+1; i ∈ N, implica que A =⋂∞i=0Ai ∈ M.

Teorema 16.2. Seja A uma algebra e M uma classe monotona. Se A ⊂ M,entao σ(A) ⊂ M.

Definicao 16.3. Uma medida µ na σ-algebra de Borel e dita regular se dadoB mensuravel com medida positiva e ε > 0 entao existe compacto Kε ⊂ Be u aberto Uε ⊃ B tal que µ(Uε\Kε) < ε.

Teorema 16.4. Uma probabilidade na σ-algebra de Borel em um espacometrico e regular.

Proposicao 16.1. Em espaco de medida finita temos

L1 ⊃ L2 ⊃ . . . ⊃ Ln ⊃ . . .

Demonstracao. Usamos a desigualdade de Jensen. Seja f ∈ Lp queremosver que f ∈ Lp−1. Tome φ(t) = t

pp−1 e portanto

φ(∫f) ≤

∫φ(f) ⇒

(∫|f |p−1

) pp−1

≤∫

(|f |p−1)p

p−1

A seguir, dois resultados conhecidos como Lema de Borel-Cantelli.

Proposicao 16.2. Se∑

n∈Nµ(An) converge, entao µ(lim sup An) = 0.

Proposicao 16.3. Se An sao independentes e∑

n∈Nµ(An) diverge, entao

µ(lim sup An) = 1.

16.2 Outros

Teorema 16.5. Seja X um espaco compacto de Hausdorff. Sao equivalentes

• X e metrizavel;

• X admite base enumeravel de abertos;

• C(X) = f : X → C | f contınua possui subconjunto enumeraveldenso.


Referencias

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[17] Walters, P., An Introduction to Ergodic Theory, Springer-Verlag,2000.


[18] Wen, Lan., A short course on Differentiable Dynamical Sys-tems, 2002.

Indice Remissivo

Mmax(X,T ), 95

Aplicacaode primeiro retorno, 56expansora, 50

BernoulliMedida de, 79Shift de , 78

Caracterıstica de Euler, 53Conjunto hiperbolico, 8

Isolado, 8

Difeomorfismode Anosov, 45Kupka-Smale, 31Morse-Smale, 33

Estabilidade EstruturalConjunto hiperbolico isolado, 24Conjunto hiperbolico, 30

Lambda-Lema, 27Lema

da inclinacao, 27de Borel-Cantelli, 98Ergodico Maximal, 64

Lema de sombreamentode aplicacoes expansoras, 53

Media de Birkhoff, 64Metrica adaptada, 9Matriz hiperbolica, 10Medida

de maxima entropia, 95Ergodica, 70condicional, 82Desintegracao de, 82Suporte de uma, 77

Misturadora, 77Mixing, 77Morse-Smale, 33

Ponto extremal, 72Ponto fixo hiperbolico, 10Princıpio Variacional, 92

Rotacao irracional em Tn, 70

Shift, 79

Teoremada R-estabilidade, 44de decomposicao espectral, 35de desintegracao de Rokhlin, 83de Hadamard-Perron, 14de Hartman-Grobman, 10de Krylov-Bogolubov, 62de desintegracao ergodica, 85de Kac, 78

Teorema Ergodico de Birkhoffem espaco de probabilidade, 66para medida σ-finita, 65

Topologia Fraca∗, 59Transformacao de grafico, 17

101

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