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Dinamica_de_Estruturas
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Dinâmica de Estruturas 1
Dinâmica de Estruturas
João J. R. T. Azevedo Jorge Miguel S. F. M. Proença
1991
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Dinâmica de Estruturas 2
1 - OSCILADOR LINEAR DE 1 GRAU DE LIBERDADE 4 1.1 Reposta em Regime livre 4
1.2 Resposta em Regime Forçado 8
1.2.1 Acções Harmónicas 81.2.2 Acções Periódicas 13
1.2.3 Acções não Periódicas. Integral de Duhamel 14
1.2.4 Acções não Periódicas. Método de Iwan 16
1.2.5 Resposta a Movimento do Solo 19
1.3 Espectro de Resposta 24
2 - OSCILADORES DE VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE 27
2.1 Método de Rayleigh 282.1.1 Sistemas contínuos 29
2.1.2 Sistemas discretos 34
2.2 Determinação de Frequências 40
2.3 Determinação de Modos de Vibração 46
2.4 Análise Modal 49
2.4.1 Condições de Ortogonalidade 49
2.4.2 Equações em Coordenadas Modais 51
2.4.3 Resposta em Regime Livre 54
2.4.4 Reposta a Forças Aplicadas 56
2.4.5 Resposta a Acções Sísmicas 59
2.5 Método de Stodola 60
2.6 Matriz de Massas Consistente 65
3 - ANÁLISE SÍSMICA 67 3.1 Resposta Dinâmica a uma Aceleração de Base 67
3.2 Análise Sísmica por Espectro de Resposta 68
3.3 O Método CQC de Combinação Modal 77 3.4 A Adaptação para a Consideração de Movimentos de Base Independentes 79
3.4.1 Necessidade de Adaptação 79
3.4.2 Eq. de Mov. para Excitações Diferentes nos Vários Suportes 79
3.4.3 Os Deslocamentos Pseudo-estáticos 82
3.4.4 Resposta da Estrutura 83
BIBLIOGRAFIA 85
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Dinâmica de Estruturas 3
A organização clássica da dinâmica de estruturas envolve o estudo de sistemas de 1
g.l. - grau de liberdade - seguido do estudo de sistemas de vários g.l. procurando evidenciar
nestes estudos a formulação da resposta em regime livre, resposta a excitações
determinísticas (harmónicas, periódicas e não periódicas) e resposta a excitaçõesestocásticas. Antes de nos debruçarmos sobre estes aspectos vamos abordar os seguintes
conceitos:
(1) Critérios de discretização
(2) Formulação das equações de movimento
A representação numérica dum sistema sujeito a acções com carácter dinâmico envolve
sempre certas hipóteses simplificativas com particular relevo para aquelas decorrentes do
método de discretização adoptado. De facto, apresentando os sistemas reais infinitos graus
de liberdade, é normalmente necessário proceder a hipóteses simplificativas no sentido de
os modelar como sistemas de finitos graus de liberdade. Neste âmbito é corrente distinguir
os seguintes critérios de discretização:
(i) Procedimento de concentração de massas. Consiste em localizar as características de
inércia do sistema real em certos pontos criteriosamente escolhidos. O nº de graus de
liberdade do sistema resulta então igual ao nº de deslocamentos independentes dos pontos
onde se procedeu à concentração de massas.Considere-se como ilustração o sistema constituído por uma viga contínua de vão l,
massa uniformememte distribuída de m, _
e peso W a meio vão. Optando por concentrar a
massa estrutural a 1/4, 1/2 e 3/4 do vão obtém-se:
l
W m_
1 2 3
l / 4 l / 4 l / 4 l / 4
em que
m 1 =4
m l m 2 =2
m l +gW m 3 =
4m l
Desprezando simultaneamente a deformabilidade axial da viga bem como as inércias
de rotação das massas, o sistema em causa reduz-se a um sistema de 3 g.l. (deslocamentos
verticais dos pontos seleccionados).
(ii) Conceito de coordenadas generalizadas. Em sistemas com as características
inerciais razoavelmente distribuidas no seu domínio, o método anterior resulta muito
falível. Uma alternativa consiste em assimilar a deformada do sistema à combinação lineardum conjunto pré-determinado de funções de forma ψn(x). Exige-se a estas a verificação das
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Dinâmica de Estruturas 4
condições de apoio específicas do problema bem como a continuidade nos troços em que o
sistema real apresente continuidade de deslocamentos. Os graus de liberdade, designados
de coordenadas generalizadas, já não representam explicitamente deslocamentos mas
revestem-se aqui do significado de amplitude Zn das funções de forma seleccionadas
q(x) = ∑n
Zn ψ
n(x)
( 1 )
Para o exemplo utilizado em (i) admitindo funções de forma correspondentes ao
desenvolvimento da deformada em série de Fourier restrita aos N primeiros termos obtém-
se:
q(x) = ∑n=1
N
Zn
sen(l
2nπx)
(iii) Método dos elementos finitos. Neste método o sistema é subdividido num nº
discreto de elementos finitos (elementos de barra, de casca, de placa, etc..) delimitados por
nós. Os graus de liberdade, neste método, são então as componentes dos deslocamentos
nodais e a determinação dos deslocamentos em pontos que não os nodais obtém-se através
de funções de forma adequadas.
q(x) = ∑n
qn ψ
n(x)
( 2 )
em que qn representa a nésima coordenada generalizada e ψn(x) a respectiva função
interpoladora(corresponde à configuração deformada do sistema quando se impõe valor
unitário para a nésima coordenada generalizada e valor nulo para as restantes). No caso se
tratar duma estrutura recticulada a função interpoladora corresponde a um polinómio
cúbico hermitiano. Este método que combina as técnicas de ambos os anteriores apresenta a
vantagem de fácil automatização sendo consequentemente aquele que maior aplicação
apresenta em sistemas de engenharia.
A formulação das equações de movimento ou de equilíbrio dinâmico pode ser feita detrês formas diferentes.
A primeira estabelece o equilíbrio com base no princípio de d'Alembert ou,
equivalentemente, através da 2ª lei de Newton. Este princípio diz-nos que quando uma
massa m é actuada por uma força Q,∅
(t) desenvolvem-se forças de inércia proporcionais à
aceleração da massa q,¨,∅
(t) tal que
Q
→
(t) - m q
→
(t) = 0
→..
(3)
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Dinâmica de Estruturas 5
Refira que a resultante das forças aplicadas combina as forças internas elásticas, forças
de atrito viscoso e forças externas.
A segunda formulação baseia-se no princípio dos trabalhos virtuais e diz-nos que seum sistema sujeito a um conjunto de forças está em equilíbrio, o trabalho realizado por todas
as forças é nulo quando este é sujeito a um campo de deslocamentos virtuais compatíveis
com as ligações existentes. Evidentemente ao equacionar o equilíbrio dinâmico, o trabalho
produzido pelas forças de inércia tem de ser contabilizado.
Uma terceira hipótese, baseia-se no princípio de Hamilton e tem a sua aplicação
prática nas equações de equilíbrio de Lagrange. O princípio de Hamilton traduz-se por
∫ t1
t2
δ(C-P) dt + ∫ t1
t2
δWnc
dt = 0
( 4 )
em que C é a energia cinética do sistema, P a energia potencial, incluindo a energia de
deformação e a energia potencial de quaisquer forças externas conservativas, Wnc o trabalho
realizado pelas forças não conservativas que actuam o sistema incluindo o amortecimento e
forças externas arbitrárias, e δ indica uma variação ao longo do tempo. Refira-se que
relativamente às formulações anteriores o princípio de Hamilton não depende
implicitamente das forças de inércia (expressas em C), das forças de atrito (através de Wnc) e
forças de deformação internas (através de P).
Se a energia e o trabalho realizado puderem ser expressos em termos de coordenadasgeneralizadas qi a equação (4) pode ser reescrita sob a forma (aplicável a sistemas de vários
graus de liberdade)
ŽtŽ
(Žqi
ŽC ) -
Žqi
ŽC+
Žqi
ŽP= Q
i .
( 5 )
em que Qi é a força externa correspondente à coordenada generalizada qi .
As equações (5) são conhecidas como equações de Lagrange e têm inúmeras aplicações
em engenharia estrutural e mecânica.
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Dinâmica de Estruturas 6
1 - Oscilador linear de um grau de liberdade
Se se considerar que um sistema pode ser reduzido a uma massa concentrada num
único ponto e que essa massa pode ter apenas uma componente de deslocamento, diz-se que
estamos perante um oscilador com um grau de liberdade. Na figura 1.1 mostram-se
exemplos de osciladores de um grau de liberdade.
q
q
q
Fig. 1.1 - Modelos de osciladores com um grau de liberdade
A equação de movimento obtida por qualquer dos princípios atrás referidos e
correspondente à discretização do sistema por qualquer dos procedimentos descritos reduz-
se sempre à seguinte equação diferencial linear de 2º grau não homogénea:
m q + c q + k q = Q(t).. .
(6)
em que m, c e k são respectivamente a massa, o amortecimento e a rigidez do sistema,
enquanto que Q(t) traduz a acção, variável no tempo, responsável pelo movimento.
1.1 - Resposta em regime livre
Analize-se seguidamente a resposta dum oscilador de 1 g.l. na ausência de acçãoexterior. A equação de movimento é então:
m q + c q + k q = 0.. .
(7)
a qual, dividindo ambos os membros por m ,se reescreve
q + 2ζp q + p2
q = 0.. .
(8)
em que as variáveis p e ζ se obtêm através de
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Dinâmica de Estruturas 7
p =mk
ζ =c
c
c=
2mpc
em quep
-frequência própria angular não amortecida
- traduz a frequência daresposta na ausência de amortecimento e ζ -coeficiente de amortecimento- representa o
amortecimento adimensionalizado ao amortecimento crítico cc. A frequência própria cíclica
f relaciona-se com a frequência angular p da seguinte forma
f =2π
p=
2π
1
mk
A solução da equação (8) depende do valor de ζ ser inferior, igual ou superior à
unidade, situações que se designam respectivamente de amortecimento subcrítico, crítico e
sobrecrítico.
No caso de amortecimento subcrítico (ζ<1) a equação (8) admite a seguinte solução
q(t) = e-ζpt (A sen(p
dt) + B cos(p
dt))
(9a)
ou, indiferentemente
q(t) = e-ζpt
(q cos(pd
t - θ))
(9b)
em que pd-frequência amortecida- se relaciona com p e ζ através da seguinte
expressão
pd= p 1-ζ
2
(10 )
Observe-se da equação (10) que, dado nos sistemas estruturais reais que serão
estudados, o factor de amortecimento raramente exceder 10-15%, se pode assimilar pd a p.
As variáveis A e B ou q, _
e θ traduzem as condições iniciais que, no presente caso, são
as únicas responsáveis pelo movimento. No caso mais corrente de as condições iniciais
corresponderem a deslocamento q0 e velocidade inicial q,. 0 no instante t=0 obtém-se
A =p
d
q0
+ ζp q0
.
( 1 1 a )
B = q0
( 1 1 b )
ou
q= pd
(q0
+ ζp q0)2
+ pd2
q0
. 2_
( 1 2 a )
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Dinâmica de Estruturas 8
θ = arctg(p
dq
0
q0
+ ζp q0)
.
( 1 2 b )
Na figura 1.2 mostra-se a forma geral da equação (9a ou 9b). Nela se pode ter umaideia do significado das constantes pd e ζ .
Resposta em Regime Livre Amortecido
t
q(t)
Td
q e-ζpt
- q e-ζpt
Fig. 1.2 - Gráfico de vibração livre amortecida
Embora não se trate em rigor dum movimento periódico observa-se que os
máximos/mínimos relativos da resposta se verificam em instantes afastados de múltiplos de
Td-período amortecido- que se relaciona com a frequência amortecida da seguinte forma
Td=
pd
2π=
p 1-ζ2
2π
( 1 3 )
Como exemplo, suponhamos que para o terceiro modelo indicado na figura 1.1, o
peso do piso rígido é de 300 KN, para cada pilar (L=3.5 m), I=0.00213 m 4 e que o módulo de
elasticidade é de 2.9 *107 KN / m2. Assim a rigidez dos dois pilares é k =2 *12 EI / L3 ou
seja k =34577 KN/m e a massa m = w / g vale 30.6 KN seg2/m. O período de vibração é
então:
Td
= 2π3 4 5 7 7
3 0 . 6= 0 . 1 8 7 s
A observação da figura 1.2 evidencia também uma forma simples de determinar o
coeficiente de amortecimento de um sistema em vibração em regime livre. Considerando
que os valores máximos da resposta se registam quando o termo harmónico que afecta a
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Dinâmica de Estruturas 9
exponencial negativa na equação (9b) é unitário, a razão entre as amplitudes máximas para
os ciclos i e i+j é dada por
qi+jmax
qimax
=e
- ζ p Td (i+j)q
e- ζ p Td i
q
= e
ζ p Td j
( 1 4 )
Assimilando p a pd e afectando de logaritmo neperiano ambos os membros desta
igualdade obtém-se a seguinte expressão:
2πζ = j
1ln(
qi+j
max
qi
max
)
( 1 5 )
É corrente designar-se a quantidade 2πζ por decremento logarítmico. A expressão (15)
permite a partir da observação dos picos da resposta de um sistema de 1 g.l., quandolibertado de uma posição deformada, determinar experimentalmente o valor do coeficiente
de amortecimento.
Observemos agora o que se passa no caso de ζ=1 -amortecimento crítico-. Neste caso a
solução da equação (8) é da forma
q(t) = e-ζpt (A t + B)
(16)
em que A e B traduzem as condições iniciais de movimento. Por observação da
equação (16) conclui-se que a resposta do sistema já não é periódica e que não há
movimento vibratório. cc representa assim o menor valor de c para o qual não existe um
movimento oscilatório.
No caso de ζ>1 -amortecimento sobrecrítico- a solução da equação (8) é de forma
q(t) = e-ζpt
(A senh(pt) + B cosh(pt))^ ^ (17)
em que p,^ se relaciona com p através de
p = p ζ2-1^
o que corresponde também a uma resposta não periódica e sem movimento vibratório.
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Dinâmica de Estruturas 10
1.2 - Resposta em regime forçado
Pretende-se neste subcapítulo determinar a resposta de sistemas de 1 g.l. a excitaçõesdeterminísticas. A equação do movimento é nestas circustâncias a equação (6) em que o
termo independente não nulo Q(t) representa a excitação, supostamente conhecida, aplicada
ao nível do g.l.. Procede-se em seguida ao estudo das situações em que esta excitação é
harmónica, periódica ou não periódica.
1.2.1 - Acções harmónicas
Suponhamos agora que a estrutura é actuada por uma acção harmónica aplicada ao
nível do grau de liberdade com a forma
Q(t) = Q cos(ωt)
(18)
Neste caso a equação de movimento toma a forma
m q + c q+ kq = Q cos(ωt).. .
(19)
ou, dividindo ambos os membros por m
q + 2ζp q + p
2
q = m
Q
cos(ωt)
.. .
( 2 0 )
A solução desta equação diferencial é composta pela sobreposição da solução geral da
equação homógenea correspondente (da forma da equação 9, 16 ou 17) e da solução
particular da equação não homógenea (equação 20) que, no presente caso, tem a forma
qp(t) = C cos(ωt) + D sen(ωt)
(21 a)
ou alternativamente
qp(t) = qp cos(ωt-φ)
(21 b)
É corrente designar a solução geral como de regime transitório e a solução particular
como de regime permanente. De facto, independentemente do valor de ζ, a parcela de
regime transitório atenua-se ao longo do tempo enquanto que o regime permanente fica
invariável, pelo que a resposta total é redutível ao regime permanente. A função da resposta
em regime transitório destina-se então a, conjugada com a resposta em regime permanente,
verificar as condições iniciais específicas do problema em estudo.
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Dinâmica de Estruturas 11
Substituindo a equação 21 a) na equação 20 e identificando os termos em
sen(ωt) e cos(ωt) (deixa-se ao cuidado do leitor este exercício analítico) obtêm-se os valores
de C e D.
C =kQ
(1-ω2)2
+ (2ζω)2
1 - ω2
( 2 2 a )
D =kQ
(1-ω2
)2
+ (2ζω )2
2ζ ω
( 2 2 b )
com
ω =pω
Duma forma similar considerando a solução particular no formato da equação 21 b)obtém-se
qp
= β1 kQ
( 2 3 a )
com β1, também designado de factor de amplificação dinâmica, dado por
β1
=
(1-ω2
)2
+ (2ζω)2
1
( 2 4 )
e φ , que representa o desfasamento entre a acção e a resposta, dado por
φ = arctg(1-ω
2
2ζω)
( 2 3 b )
A figura 1.3 mostra o andamento geral do factor de amplificação dinâmica β1 em
função do valor do quociente ω, _
e do coeficiente de amortecimento ζ .
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Dinâmica de Estruturas 12
ζ=0.6
ζ=.05
ζ=0.2
ζ=0.3ζ=0.4
ζ=0.5ζ=0.7
ζ=0.8
ζ=0.1
3.02.52.01.51.00.50.00
1
2
3
4
5
6Função de Transferência 1
ω
β1
Fig. 1.3 - Factor de amplificação dinâmica - β1
Pela análise da fig. 1.3 pode constatar-se que o factor de amplificação dinâmica toma
um valor de pico para um valor de ω, _
aproximadamente igual a 1 (na realidade para ω, _
≈ 1-2ζ2 ). A esse fenómeno, que faz corresponder um grande factor de amplificação
dinâmica para valores da frequência de excitação ω que correspondem ao valor da
frequência própria da estrutura p, dá-se o nome de ressonância. Fica assim bem clara a
importância de correctamente determinar a frequência própria da estrutura bem como a
importância de conhecer o melhor possível o conteúdo de frequência das acções dinâmicasque a actuam.
Outra constatação a fazer da observação da curva β1 refere-se ao comportamento
desta para os valores extremos de ω, _
. De facto, para ω, _
<<1 , as diversas curvas
apresentam valores quase unitários, situação explicável pelo facto de que sendo p>>ω as
forças de inércia são desprezáveis quando comparadas com as forças de restituição pelo que
a resposta do sistema é praticamente estática. No outro extremo, isto é para ω, _
>>1, as
forças de inércia apresentam-se bastante superiores às de restituição pelo que odeslocamento exibido pelo sistema é inferior ao apresentado em regime estático.
A curva de β1 , generalizável a sistemas de vários g.l., fundamenta diversos métodos
de identificação experimental das características dinâmicas de sistemas estruturais. Com
efeito é relativamente simples obter experimentalmente a curva β1 para um dada estrutura,
bastando para tal efeito a aplicação de excitação harmónica com diversas frequências ω no
g.l. pretendido, e determinação dos valores discretos da curva β1. A frequência própria do
sistema é então determinada pela ordenada do "pico" da curva experimental de β1, enquantoque para a determinação do coeficiente de amortecimento se definem dois métodos.
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Dinâmica de Estruturas 13
O primeiro, designado de método da amplitude de pico, faz uso da expressão
simplificada de β1 para ω, _
=1.
β1(ω=1) =
2ζ1
ou explicitando em ordem a ζ
ζ =2β
1(ω=1)
1
( 2 5 )
A grande dificuldade da aplicação deste método reside no facto de depender quase
exclusivamente da identificação da frequência de ressonância.
No sentido de obstar ao inconveniente apontado pode aplicar-se o método da meia
potência que depende não tanto da frequência de ressonância quanto da forma da curva β1
na vizinhança desta. Com efeito é intuitivo que o "fecho" da curva β1 na vizinhança da
ressonância é tanto mais acentuado quanto maior fôr o coeficiente de amortecimento. Em
particular, considerando como valores de referência os valores ω, _
1 e ω, _
2 para os quais
β1 é igual a 1/ 2 do valor de pico, obtém-se
2
1
2ζ
1=
(1-ω2 )2 + (2ζω)2
1
ou seja
ω2
= 1-2ζ2± 2ζ 1+ζ
2
ou ainda para pequenos valores de ζ
ω2
- 1-2ζ2± 2ζ
pelo que desprezando mais alguns termos de segunda ordem
ω = 1 - ζ2
± ζ que admite, como esperado, duas soluções
ω1
= 1 - ζ2
- ζ
ω2
= 1 - ζ2
+ ζ
o que conduz a que
ζ =21
(ω2
- ω1)
(
2 6 )
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Dinâmica de Estruturas 14
Poder-se-á argumentar que nem uma estrutura real pode ser representada por um
modelo de um grau de liberdade, nem as forças dinâmicas aplicadas podem ser descritas
por uma acção harmónica do tipo da descrita na equação (18). Na prática, conclui-se que os
resultados obtidos para modelos de um grau de liberdade podem ser, em certas condições,extrapolados para modelos de vários graus de liberdade. De facto, não só qualquer acção
dinâmica fisicamente realizável pode ser decomposta numa soma de funções do tipo da
descrita na equação (18) como se pode reescrever as equações de movimento dum sistema
de vários g.l. como várias equações de 1 gl.. A aplicação exaustiva do princípio da
sobreposição dos efeitos, válido na classe de sistemas lineares à qual nos restringimos,
permite então a extensão dos estudos até aqui desenvolvidos a sistemas/acções mais
complexos.
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Dinâmica de Estruturas 15
1.2.2 - Acções periódicas
A resposta de um oscilador a acções periódicas pode ser facilmente deduzida a partirda solução obtida para a resposta a acções harmónicas.
Com efeito qualquer acção periódica Q(t) com período T e com um mínimo de
regularidade que as funções fisicamente realizáveis apresentam, pode ser desenvolvida em
série de Fourier, ou seja, pode ser substituida pela soma de componentes harmónicas de
períodos múltiplos do período de referência
Q(t) =
2
a0 +
∑i=1
(ai cos(
T
2iπt) + bi sen(
T
2iπt))
( 2 7 )
em que os termos ai e bi designados por coeficientes de Fourier se calculam por
ai =T2
∫ 0
T
Q(t) cos(T
2iπt) dt (i=0,1,2,.. , )
( 2 8 a )
bi=
T2
∫ 0
T
Q(t) sen(T
2iπt) dt (i=1,2,.., )
( 2 8 b )
É evidente da expressão (28 a) que o termo a0/2 representa a parcela estática,
responsável pelo valor médio não nulo da excitação.
Pelo princípio de sobreposição (admitindo um oscilador linear) a resposta do sistema
pode ser obtida a partir da sobreposição das respostas a cada uma das componentes
harmónicas da excitação.
Assim, a resposta em regime permanente é dada por
q(t) =k1 {a
0+ ∑
i=1
(a
i β
1icos(ω
it - φ
i) + b
iβ
1isen(ω
it - φ
i)} /2
( 2 9 )
sendo β1i dado pela equação (24)
β1i
= β1(ω=
Tp2iπ
)
e
ωi=
T2iπ
e φi dado pela equação (23 b)
φi= φ(ω=
Tp
2iπ)
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Dinâmica de Estruturas 16
1.2.3 - Acções não periódicas. Integral de Duhamel.
Considere-se ainda o sistema de um grau de liberdade sujeito a uma força arbitrária,
não periódica Q=Q(τ). Note-se a utilização de uma variável τ diferente de t para designar avariabilidade da força ao longo do tempo. A equação do movimento pode assim ser escrita
m q + c q + k q = Q(τ).. .
(6 rep)
A força por unidade de massa Error!, provoca ao longo de um intervalo de tempo
elementar dτ um impulso, que por sua vez provoca uma variação elementar da velocidade
do sistema
dq = m
Q(τ)
dτ
.
( 3 0 )
A resposta incremental de um sistema a uma velocidade incremental inicial dq,.
aplicada no instante τ , pode ser obtida no instante t por (ver equações 9a), 11a) e 11b))
dq = e-ζp(t-τ)
mp
d
Q(τ)sen(p
d(t-τ)) dτ
( 3 1 )
Dado que cada impulso incremental E dτ para 0<τ<t provoca uma respostaincremental no instante t, a resposta à força genérica é dada, no instante t por
rror!
q(t) =m p
d
e-ζpt
∫ 0
t
eζpτ
Q(τ) sen(pd(t-τ)) dτ
( 3 2 )
A equação (32) é vulgarmente referida como o integral de Duhamel. Outra forma de
apresentação do integral de Duhamel que faz intervir o conceito de função resposta ao
impulso instantâneo unitário h(t-τ) é a seguinte
q(t) = ∫ 0
t
Q(τ) h(t-τ) dτ
( 3 3 )
com
h(t-τ) =m p
d
e-ζp(t-τ)
sen(pd(t-τ))
( 3 4 )
em que o significado de h(t-τ) é obviamente o da resposta no instante t a um impulso
unitário aplicado no instante τ. Refira-se apenas que a expressão (33) é também designada
por integral de convolução porque apresenta a resposta do sistema como resultante da
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Dinâmica de Estruturas 17
convolução, no domínio do tempo, da acção e da função resposta ao impulso instantâneo
unitário.
De salientar que a integração a efectuar de acordo com a equação (32) é feita nodomínio de τ e não de t, significando que é feita no domínio da variável que representa a
acção e não a resposta.
Deixa-se ao cuidado do leitor deduzir a expressão que permite obter a velocidade do
sistema q,.
, em função de uma força genérica Q=Q(τ).
A expressão genérica da resposta de um sistema sujeito a uma força genérica, e ainda a
um deslocamento e velocidade iniciais é dada por:
q(t) =m p
d
e-ζpt
∫ 0
t
eζpτ
Q(τ) sen(pd(t-τ)) dτ + e
-ζpt (q0
cos(pdt) +
pd
q0+ζpq
0 sen(pdt))
.
( 3 5 )
expressão que é conhecida como forma geral do integral de Duhamel.
Como exemplo da aplicação do integral de Duhamel iremos analisar a resposta de um
sistema de um grau de liberdade, a uma força Q definida como Q(τ)=Q0+Q, _
τ
A resposta é dada por
q(t) =m p
d
e-ζpt
∫ 0
t
e-ζpτ
(Q0
+ Qτ) sen(pd(t-τ)) dτ =
=k
Q0 (1-e
-ζpt(cos(p
dt) + ζ sen(p
dt)) +
kQ(
p-2ζ
+ e-ζpt
(p
2ζcos(p
dt) -
pd
(1-ζ2)
sen(pdt))
d d
( 3 6 )
) )
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Dinâmica de Estruturas 18
1.2.4 - Ações não periódicas. Método de Iwan
Em muitas situações, não é possível representar uma acção através de uma expressãoanalítica, e vulgarmente são conhecidos apenas alguns dos seus valores ao longo do tempo.
Considere-se a situação em que se dispõe apenas dos valores da acção em instantes
igualmente espaçados no domínio do tempo. Nestas circunstâncias pode proceder-se a uma
interpolação entre os pontos conhecidos, a qual pode ser efectuada quer admitindo valores
constantes num intervalo de tempo ∆t (equidistância entre abcissas) centrado nos pontos
conhecidos, quer utilizando interpolação linear ou de grau superior.
Examinaremos o caso em que se admite interpolação linear entre os pontos conhecidos
(fig. 1.4).
Q(t)
ti-1
ti
ti+1
Qi-1
Qi
Qi+1
t
Fig. 1.4 - Função arbitrária (Interpolação linear)
Neste caso, a resposta no instante ti depende da resposta no instante ti-1 e da força
actuante entre ti-1 e ti (intervalo de tempo ∆ti).
Tendo em conta a equação (35) que representa a forma geral do integral de Duhamel, a
equação (36) que representa a resposta de um sistema a uma força do tipo da apresentada na
figura 1.4 e a equação similar à equação (36) para a resposta em termos da velocidade,poder-se-ia concluir que a resposta do sistema no instante ti é , no caso de um sistema não
amortecido, dada por
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Dinâmica de Estruturas 19
qi= q
i-1cos(p ∆t
i) +
p
qi-1 sen(p ∆t
i) +
k
Qi-1 (1-cos(p ∆t
i)) +
pk∆ti
∆Qi (p ∆t
i- sen(p ∆t
i))
.
( 3 7 a )
qi= -q
i-1p sen(p ∆t
i) + q
i-1cos(p ∆t
i) +
k
Qi-1 p sen(p ∆t
i) +
k ∆ti
∆Qi (1-cos(p ∆t
i))
. .
( 3 7 b )
No caso de estarmos perante um sistema com amortecimento, um método numérico
conhecido por método de Iwan, permite de uma forma similar à apresentada nas equações(37 a) e (37 b) determinar a resposta no instante ti (deslocamento e velocidade) em função
dos valores da resposta no instante ti-1 , do valor da acção nos dois instantes e do intervalo
de tempo ∆t, que toma neste caso um valor constante.
O algoritmo de cálculo que pode ser apresentado de forma matricial consiste na
aplicação da equação
q i
q i.
q i-1
q i-1.
b 1 1 b 1 2
b 2 1 b 2 2
a 1 1 a 1 2
a 2 1 a 2 2
Qi-1
∆ Q i
+=
( 3 8 )
em que
a11
= e-ζp ∆t (
1-ζ2
ζ sen(pd ∆t) + cos(p
d ∆t))
( 3 9 )
a12
=p
d
e-ζp ∆t
sen(pd ∆t)
( 4 0 )
a21
= e-ζp ∆t (
1-ζ2
-psen(p
d ∆t))
( 4 1 )
a22
= e-ζp ∆t
(cos(pd ∆t) -
1-ζ2
ζ sen(pd ∆t))
( 4 2 )
b11
=k1
(1-e-ζp ∆t
cos(pd ∆t) +
1-ζ2
ζ sen(pd ∆t))
( 4 3 )
b12
=k ∆t
1 (∆t - 2
pζ + e
-ζp ∆t(2
pζ cos(p
d ∆t) -
pd
(1-2ζ2)
sen(pd ∆t)))
( 4 4 )
b21
=k1
e-ζp ∆t
(1-ζ
2
psen(p
d ∆t))
( 4 5 )
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Dinâmica de Estruturas 20
b22
=k1
e-ζp ∆t
(1-ζ
2sen(p
d ∆t))
∆t1 -
ζcos(p
d ∆t) +{ }
( 4 6 )
Relativamente ao método de Iwan e métodos similares, saliente-se que para que
possam conduzir a resultados correctos, o valor de ∆t não deve nunca ser superior a metade
do inverso da frequência mais elevada a considerar, ou seja
∆t <2f
max
1
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Dinâmica de Estruturas 21
1.2.5 - Resposta a movimento do solo
Suponha-se que um oscilador de um grau de liberdade é sujeito a acelerações ao níveldo solo.
Defina-se a variável
q*
= q - qs
(47 a)
sendo q* o deslocamento relativo entre o sistema e solo, q o deslocamento absoluto do
sistema e qs o deslocamento do solo. Nesse caso derivando em ordem ao tempo
q
*
= q - qs
.. .
(47 b)
q*
= q - qs
.. .. ..
(47 c)
Nestas condições o equilíbrio dinâmico do sistema pode ser escrito em termos da força
de inércia mq,.. , força de amortecimento cq,
. * e força de restituição kq*.
m q + c q*
+ k q*
= 0.. .
(48)
equação que pode ser reescrita como
m q*
+ c q*
+ k q*
= -m qs
.. . ..
(49 )
ou
q*
+ 2ζp q*
+ p2
q*
= - qs
.. . ..
(4 9 )a
Comparando a equação (49) com a equações (6) pode constatar-se que a análise da
resposta de um sistema a uma aceleração do solo processa-se de uma forma similar à então
referida, assumindo uma força fictícia aplicada ao sistemaQ(t) = -m q
s(t)
..
(50)
sendo a resposta obtida em termos de q*, deslocamento relativo solo-sistema.
A equação (24) representa o factor de amplificação dinâmica de um sistema sujeito a
uma força exterior. Se pensarmos no produto β1Error!ele representa a função de
transferência entre uma força aplicada F e o deslocamento sofrido pelo oscilador.
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Dinâmica de Estruturas 22
Dado que a resposta de um sistema (em termos de deslocamento relativo) a uma
aceleração de base pode ser comparada à resposta de um sistema (em termos de
deslocamento absoluto) a uma força, pode dizer-se que o mesmo coeficiente β1 pode ser
utilizado para representar o factor de amplificação dinâmica entre o deslocamento relativoq* e a aceleração de base q,
.. s = a cos(ωt).
Nesse caso bastará lembrar que a "força equivalente" ao nível do grau de liberdade é -
m a cos(ωt) pelo que
q*
= β1
km a
cos(ωt-φ) = -β1 p2
acos(ωt-φ)-
( 5 1 )
Suponha-se agora que se pretende conhecer o deslocamento absoluto em termos da
aceleração de base (q,
..
s = a cos(ωt)). Neste caso a equação de movimento pode ser escrita
m q + c q + k q = k qs
+ c qs
.. . .
(52)
Assumindo que q é da forma A cos(ωt)+B sen(ωt), substituindo essa solução em (52)
e individualizando os termos em cos(ωt) e sen(ωt) obtêm-se os valores de A e B que por sua
vez permitem obter a solução em termos de amplitude sob a forma
q = β2
a cos(ωt-φ2)
..
(53)
com β2 e φ2 dados por
β2
=
(1-ω2
)2
+ (2ζω)2
1 + (2ζω)2
( 5 4 )
φ2
= arctg(1-ω
2+ (2ζω)
2
ω2
2 ζ ω )
( 5 5 )
representam o factor de amplificação dinâmica entre acelerações na base e acelerações
absolutas ao nível do grau de liberdade, e o respectivo desfasamento.
Deixa-se ao cuidado do leitor demonstrar que o mesmo β2 representa também o factor
de amplificação dinâmica entre um deslocamento de base e o deslocamento absoluto ao
nível do grau de liberdade ou seja quando o oscilador é sujeito a um deslocamento de base
da forma qs=d cos(ωt), a resposta é dada por
q = d β2
cos(ωt-φ2)
(56)
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Dinâmica de Estruturas 23
Um terceiro factor de amplificação dinâmica poderia ser obtido para representar a
função de transferência entre um deslocamento de base qs e o deslocamento relativo solo-
estrutura q*. Esse factor, β3, pode ser escrito como
β3 =
(1-ω2
)2
+ (2ζω)2
ω2
( 5 7 )
tal que
q*
= qs β
3cos(ωt-φ
3)
(
58)
e sendo
φ3
= arctg(1-ω
2
2ζω )
( 5 9 )
Valores de β2 e β3 para vários coeficientes de amortecimento são apresentados em
função de ω, _
=E respectivamente nas figuras 1.5 e 1.6 .rror!
ζ=.05
ζ=0.2
ζ=0.3ζ=0.4ζ=0.5
ζ=0.7ζ=0.8
ζ=0.1
3.02.52.01.51.00.50.00
1
2
3
4
5
6Função de Transferência 2
ω
β2
Fig 1.5 - Factor de amplificação dinâmica - β2
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Dinâmica de Estruturas 24
3.02.52.01.51.00.50.00
1
2
3
4
5
6Função de Transferência 3
ω
β3ζ=.05
ζ=0.2
ζ=0.3ζ=0.4
ζ=0.5ζ=0.6ζ=0.7 ζ=0.8
ζ=0.1
Fig 1.6 - Factor de amplificação dinâmica - β3
Algumas aplicações interessantes podem retirar-se das curvas β1 , β2 e β3 .
Relativamente à curva β1 ela permite, se obtida experimentalmente e utilizando os
método referidos em 1.2.1, determinar para um dado sistema o seu coeficiente de
amortecimento e respectiva frequência própria.
Como exemplo de aplicações dos princípios expressos nas curvas de amplificação β2
refira-se o relativo ao isolamento de vibrações.
Suponha-se que uma massa m deve ser isolada de um movimento de base através de
uma mola de rigidez k e de um amortecedor c. A relação deslocamento de base-
deslocamento de massa ou aceleração da base-aceleração da massa é traduzida pelas curvas
β2 .
Para melhor isolar o sistema da excitação de base, é conveniente que o valor de ω, _
seja o mais elevado possível, ou seja que o valor de p seja o mais reduzido possível. Duas
formas alternativas são reconhecidas para materializar este objectivo
(i) diminuição do valor de k . Consiste em interpôr um elemento flexível entre a base e
o sistema. De aplicação limitada pelo facto de que os elementos flexíveis são
simultaneamente aqueles que menor resistência apresentam.
(i) aumento do valor de m. Consiste na interposição de um "maciço de inércia". De
extensa utilização em aplicações práticas.
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Dinâmica de Estruturas 25
Simultaneamente, e como pode ser visto pela figura 1.5, o amortecimento deve ser o
mais reduzido possível já que na zona ω, _
> 2 as maiores amplificações correspondem
aos maiores valores de amortecimento.
Algo de semelhante se passa no que diz respeito ao isolamento de vibrações
transmitidas por máquinas a estruturas.
A força máxima F transmitida ao pavimento por uma máquina rotativa
desenvolvendo uma força Q(t) = Q, _
cos(ωt), pode ser calculada através da curva β2, ou
seja
F = Q β2
( 6 0 )
Note-se que evitar a transmissão de forças ao pavimento corresponde neste caso a
aumentar o valor de ω, _
, o que tem o inconveniente de não evitar as vibrações ao nível da
máquina, o que só poderia ser conseguido, de acordo com as curvas β1, diminuindo o valor
ω, _
.
Uma referência final para o facto de os acelerómetros e sismómetros basearem o seu
funcionamento nas curvas de amplificação.
Os primeiros através das curvas β1, relacionando os valores medidos de
deslocamentos relativos, com as acelerações de solo que se pretendem determinar,
recorrendo a elevados valores de p (ω, _
reduzidos) e valores de ζ≈0.7. Refira-se que para
este coeficiente de amortecimento a curva β1 é praticamente plana para valores de ω, _
compreendidos entre 0 e 0.6 pelo que a resposta registada no acelerómetro é proporcional à
amplitude da aceleração imposta na base.
Os sismómetros funcionam através das curvas β3, relacionando os valores medidos de
deslocamentos relativos com os deslocamentos absolutos impostos pelo solo. Estes
aparelhos fazem uso da propriedade que a curva β3 apresenta de ser praticamente plana
para o coeficiente de amortecimento de ζ≈0.5 e ω, _
superior à unidade havendo apenas que
dotar o aparelho de frequência própria p inferior às gamas de frequência mais baixas
esperadas para sismos.
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Dinâmica de Estruturas 26
1.3 - Espectro de resposta
Suponha-se que um oscilador com um grau de liberdade é actuado por uma acçãoexterna, seja ela uma força aplicada, um deslocamento imposto, ou movimento de solo. É
possível com base nos princípios já enunciados, determinar a resposta do sistema, quer seja
em termos de deslocamento (absoluto ou relativo), acelerações, velocidades, ou mesmo
esforços induzidos no sistema, ou ainda reacções.
Suponha-se que conhecida a acção, as características dinâmicas do sistema, e definida
a resposta que interessa analisar, se determina essa resposta ao longo de um período de
tempo. Essa resposta será variável ao longo do tempo, mas terá um valor máximo que podeser facilmente determinável, e que representará uma espécie de envolvente da resposta.
Suponha-se agora que a mesma acção é aplicada a um sistema, também de um grau de
liberdade, com caracteristicas dinâmicas diferentes (diferente frequência e possivelmente
diferente coeficiente de amortecimento). Imagine-se que da mesma forma é determinado o
valor máximo da resposta.
Se este procedimento for repetido para uma gama suficientemente lata de frequências
e amortecimentos, o conjunto dos valores máximos de resposta representam o que é
vulgarmente conhecido por espectro de resposta. Usualmente determinam-se vários
espectros de resposta, cada um para um dado coeficiente de amortecimento, efectuando o
varrimento no domínio da frequência.
Poder-se-ia definir espectro de resposta como um gráfico das respostas máximas de
uma dada quantidade (deslocamento, aceleração, momento flector, etc) em função da
frequência própria ou período de um sistema de um grau de liberdade quando actuado por
uma acção (força, deslocamento, aceleração de solo, etc).
São particularmente utilizados os espectros de resposta de aceleração (ou
deslocamento) para acções sísmicas, que representam a aceleração máxima, (ou
deslocamento máximo) previsível para um dado sistema de um grau de liberdade quando
actuado por uma dada acção sísmica. Tais espectros podem ser determinados com base na
resposta de sistemas de um grau de liberdade a registos sísmicos (acelerogramas).
Para representação dos espectros de resposta de acções sísmicas é vulgarmente
utilizado o papel trilogarítmico. O papel trilogarítmico consegue um tipo de representação
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Dinâmica de Estruturas 27
gráfica que permite quantificar os três espectros (deslocamentos relativos, velocidade
relativa e aceleração absoluta) através de um único gráfico.
Supondo que a acção sísmica pode ser assimilável a uma sobreposição de movimentosharmónicos, a velocidade espectral é dada em função do deslocamento espectral Sd e da
frequência do movimento p
Sv
= p Sd= 2π f S
d ( 6 1 )
e a aceleração espectral por
Sa= p S
v= 2π f S
v= 4π
2f 2
Sd
(62)
Se a representação for feita numa escala logarítmica tendo por eixos log Sv e log f e
tendo em conta quelog Sv= 1 + log + log f C Sd
( 6 3 )
e
Clog Sv= 2 + log - log f Sa ( 6 4 )
é possível ver que valores constantes de log Sd correspondem a uma relação do
tipo log Sv = Cte + log f ou seja linhas a 45o e que valores constantes de log a
correspondem a linhas a 135o ou seja a uma relação do tipo log Sv = Cte - log f .
Na figura 1.7 apresenta-se um exemplar de papel trilogarítmico com indicações doseixos que representam Sa, Sv e Sd em função de T=E .rror!
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Dinâmica de Estruturas 28
Fig. 1.7 - Papel trilogarítmico para representação de espectros de resposta
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Dinâmica de Estruturas 29
2 - Osciladores de vários graus de liberdade
Se um sistema estrutural é composto por várias massas que correspondem a outros
tantos graus de liberdade, está-se perante um sistema com vários graus de liberdade.Exemplos de modelos de sistemas com vários graus de liberdade são apresentados na figura
2.1 .
q1
q1
2q2
q
2q
3q
3q
3q 4q
q5
q1
Fig. 2.1 - Modelos de osciladores de vários graus de liberdade
Para os sistemas de vários graus de liberdade, o tratamento que foi feito para ossistemas com um grau de liberdade não pode ser aplicado. Deixa de haver apenas uma
frequência própria e passam a haver tantas frequências próprias como o número de graus de
liberdade. A sua determinação, especialmente através de métodos numéricos com
aplicabilidade em computadores serão objecto de análise.
Entre os diferentes métodos contam-se os métodos aproximados dos quais se
apresentará o método de Rayleigh, os métodos iterativos dos quais se apresentará o de
Stodola e os métodos directos baseados na determinação analítica directa de valores e
vectores próprios.
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Dinâmica de Estruturas 30
2.1 - Método de Rayleigh
O método de Rayleigh, previsto no actual Regulamento de Segurança e Acções paraEstruturas de Edifícios e Pontes (artº 31.2) é um método aproximado de determinação de
frequências. A sua aplicabilidade embora não restrita, estende-se na prática apenas à
determinação da frequência fundamental (frequência própria mais baixa).
Para aplicação do método torna-se necessário arbitrar qual a configuração deformada
da estrutura durante a vibração. Quanto melhor a configuração idealizada corresponder à
configuração de vibração, melhor será a aproximação da frequência obtida, a qual é no
entanto sempre superior à frequência real.
O método de Rayleigh fundamenta-se no princípio da conservação de energia dum
sistema a oscilar em regime livre, desprezando consequentemente a contribuição das forças
de amortecimento. A determinação da frequência corresponde assim à igualdade entre as
energias cinética e potencial máximas para a configuração de vibração adoptada.
É ainda corrente diferenciar a aplicação do método de acordo com a maior ou menor
distribuição das características de inércia e flexibilidade do sistema distinguindo-se neste
âmbito as formulações do método para sistemas contínuos e sistemas discretos.
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Dinâmica de Estruturas 31
2.1.1 - Sistemas contínuos
Considere-se nesta secção a aplicação do método de Rayleigh a sistemas cujascaracterísticas de inércia e/ou flexibilidade se encontram distribuidas no domínio do
sistema.
Para exemplificar a aplicação do método considere-se uma viga simplesmente apoiada
de vão l, massa distribuida m(x) e rigidez de flexão EI(x). Arbitrando uma configuração
deformada que depende harmonicamente do tempo
q ( x , t ) = q ψ ( x ) s e n ( p t )
( 6 5 )
em que q, _ e ψ(x) representam respectivamente a amplitude de vibração (eliminada
nos cálculos subsequentes) e uma função de forma que relaciona os deslocamentos das
diversas secções. Relembrando o exposto no início destes apontamentos relativamente ao
conceito de coordenadas generalizadas, esta configuração deformada tem apenas que
verificar as condições de apoio do sistema e continuidade nos troços em que o sistema a
apresente.
A energia potencial é num dado instante
V(t) =21
∫ 0
l
EI(x) (Žx
2
Ž2
q(x,t)) dx =21
q2sen
2(pt) ∫
0
l
EI(x) ψ2(x) dx' '
( 6 6 )
em que o sobrescrito (') designa derivada em ordem à coordenada de posição x.
Em particular, o valor máximo da energia potencial atinge-se quando a parcela
harmónica é unitária
Vmax = 21
q2
∫ 0
l
EI(x) ψ2
(x) dx' '
( 6 7 )
Nas mesmas circustâncias, a energia cinética é, num dado instante
C(t) =21
∫ 0
l
m(x) (Žt
Žq(x,t))2dx =
21
q2
p2
cos2(pt) ∫
0
l
m(x) ψ2(x) dx
( 6 8 )
cujo valor máximo é
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Dinâmica de Estruturas 32
Cmax
=21
q2
p2 ∫ 0
l
m(x) ψ2(x) dx
( 6 9 )
Igualando os valores máximos da energia potencial e cinética extrai-se a seguinteequação
p2
=
∫ 0
l
m(x) ψ2(x) dx
∫ 0
l
EI(x) ψ2(x) dx''
( 7 0 )
A equação (70) traduz a frequência própria que o sistema apresentava se vibrasse coma configuração adoptada. Na realidade, a configuração fundamental é, dentro das infinitas
configurações deformadas em conformidade com as condições impostas inicialmente,
aquela cuja frequência, designada aqui de frequência fundamental, é a menor. Um critério
para arbítrio da configuração fundamental consiste em verificar, para além das condições
cinemáticas, as condições estáticas (em termos do andamento dos esforços) verificadas no
sistema real. De facto, distribuições de esforços incompatíveis com o sistema real traduzem a
existência de restrições artificiais que têm por efeito rigidificar o sistema ou, o que é o
mesmo, aumentar a frequência fundamental.
Considere-se a aplicação da expressão (70) ao sistema em análise, supondo que a
massa e a rigidez de flexão são ambas uniformemente distribuidas , isto é
m(x) = cte.
EI(x) = cte.
Admitindo como configuração de vibração uma função polinomial do 2º grau, ou seja
ψ(x) = a x2
+ b x + c
impondo a verificação das condições de apoio (ψ(0)=ψ(l)=0) determina-se o valor das
constantes a, b e c
a =l2
1b = -
l1
c = 0
substituindo na equação (70) obtém-se o seguinte valor para a frequência fundamental
correspondente a esta configuração de vibração
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Dinâmica de Estruturas 33
p2
=m l
4
120 EI
Repetindo este procedimento para uma configuração sinusoidal
ψ(x) = sen(l
π x)
a frequência correspondente é
p2
=m l
4
π4
EI
Observe-se que a frequência determinada inicialmente é cerca de 23% superior à
correspondente à configuração sinusoidal. De facto, a configuração parabólica pressupõe um
diagrama de momentos constante (relembre-se que o diagrama de momentos é proporcional
à curvatura da deformada) violando, entre outras, a condição de anulamento dos momentos
nos apoios. Em contrapartida, a configuração sinusoidal, aliás a verdadeira configuração
fundamental, verifica a condição de anulamento dos momentos sobre os apoios
apresentando adicionalmente o momento máximo a meio vão. Serve este exemplo para
acentuar que a melhor aproximação à frequência/configuração fundamental é aquela que,
dentro das configurações que verificam as condições cinemáticas, melhor aproxima as
condições estáticas.
Na existência de rigidezes concentradas, a expressão (67) generaliza-se a
Vmax
=21
q2 ∫ 0
l
EI(x) ψ2(x) dx'' +
21
q2∑
i
Ki ψ
2(x
i)
( 7 1 )
em que K i e xi referenciam a i–ésima rigidez concentrada e a respectiva posição. Da
mesma forma tem-se que na ocorrência de massas concentradas, a expressão (69) para a
energia cinética máxima altera-se para
Cmax
=21
q2
p2 ∫ 0
lm(x) ψ
2(x) dx +
21
q2
p2 ∑
j
M j ψ
2(x
j)
( 7 2 )
em que M j e x j referem respectivamente a massa e a coordenada de posição da j-
ésima massa concentrada.
No sentido de tornear a dificuldade no arbítrio da configuração fundamental
desenvolveu-se um outro procedimento também designado de método de Rayleigh
simplificado que consiste em admitir que a configuração de vibração corresponde à
deformada do sistema quando se aplica o carregamento gravítico. De facto, na inexistência
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Dinâmica de Estruturas 34
de forças viscosas a configuração fundamental corresponde à deformada do sistema quando
se aplica o carregamento inercial, ou seja
Qf (x) = m(x) q
f m ax
(x)..
( 7 3 )
em que o subescrito (f ) refere a configuração fundamental. Como à partida
desconhecemos a configuração fundamental é impossível determinar correctamento Qf(x).
Se no entanto admitirmos que a aceleração máxima em cada secção é igual à aceleração da
gravidade, isto é
Qg
( x ) = m ( x ) g = W ( x )
( 7 4 )
a correspondente deformada é, ao longo do tempo
q ( x , t ) = q g ( x ) s e n ( p t ) = q g ψ g( x ) s e n ( p t )
( 7 5 )
em que qg (x) e q, _
g representam respectivamente a deformada devida á aplicação do
carregamento gravítico e a amplitude da respectiva função de forma. Nestas circunstâncias a
energia potencial máxima pode ser entendida como o trabalho das forças gravíticas na
deformada gravítica cujo valor máximo é
Vm ax
=21
∫ 0
l
(x) qg(x ) dx =
21
g qg ∫ 0
l
m(x) ψg(x) dxW
( 7 6 )
pelo que a respectiva frequência fundamental é
p2
=q
g
g
∫ 0
l
m(x) ψg2(x) dx
∫ 0
l
m(x) ψg(x) dx
= g
∫ 0
l
m(x) qg2(x) dx
∫ 0
l
m(x) qg(x) dx
( 7 7 )
Atente-se que a configuração deformada adoptada, a deformada do sistema quando é
aplicado o carregamento gravítico, verifica não só as condições cinemáticas, pois é uma
deformada real, como também as condições estáticas do sistema, pois equilibra umdeterminado carregamento. Deixa-se ao cuidado do leitor confirmar que a aplicação deste
método ao exemplo atrás considerado conduz à seguinte frequência própria
p2
=m l
4
97.548 EI
valor apenas 0.14% superior ao real.
Refira-se por fim que embora o carregamento em causa seja um carregamento gravítico
este pode ser aplicado em qualquer sentido (inclusivé no sentido vertical ascendente) e em
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Dinâmica de Estruturas 35
qualquer direcção (inclusivé na direcção horizontal) consoante a configuração deformada
que se pretende impôr.
Deixa-se ao cuidado do leitor deduzir as expressões das energias potencial e cinéticamáximas para um sistema contínuo com rigidezes e/ou massas concentradas
correspondentes ao método de Rayleigh simplificado.
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Dinâmica de Estruturas 36
2.1.2. Sistemas discretos
Considere-se que por aplicação do procedimento de concentração de massas o sistemacontínuo da subsecção anterior se reduzia ao sistema de três graus de liberdade ilustrado na
figura 2.2.
qg1 g3
qg2q
Fig. 2.2 - Ilustração da aplicação do método de Rayleigh
Admitindo como configuração de vibração a deformada correspondente à aplicação
estática dos pesos correspondentes, a energia potencial máxima resulta equivalente ao
trabalho exterior, ou seja
Vmax
=21
∑i
Wiq
gi
( 7 8 )
em que Wi representa o peso atribuído ao grau de liberdade i e q
gi o respectivo
deslocamento na configuração de vibração adoptada .
Da mesma forma a energia cinética máxima é
Cmax
=21
∑i
mi
qgi2
.
( 7 9 )
o que, supondo movimento harmónico e amortecimento nulo
Cmax
=21
g p2 ∑
i
Wiq
gi2
( 8 0 )
Igualando as energias potencial e cinética máximas determina-se a frequência de
vibração
p2
= g
∑i
Wi
qgi2
∑i
Wi
qgi
( 8 1 )
Deixa-se ao cuidado do leitor demonstrar que atribuindo 1/4 da massa estrutural aos
nós 1 e 3 e a restante ao nó 2 se obtém
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Dinâmica de Estruturas 37
qg1
= qg2
=614476
m gEIl4
qg2 = 307254 mg EIl4
o que substituindo na equação (81) conduz a
p2
= 64.822m l
4
EI(rad/s)
valor apenas 0.04% superior ao que se obteria para o modo fundamental de vibração
resolvendo a equação característica correspondente ao modelo discretizado.
Refira-se o facto de a frequência determinada pelo método de Rayleigh para o modelocom massas concentradas ser inferior à correspondente à distribuição uniforme de massa.
Isto resulta exclusivamente de que ao concentrarmos as massas em determinados pontos
estamos indirectamente a considerar outro sistema que não o original. Embora as
frequências não sejam equiparáveis realce-se que o procedimento de concentração de
massas conduz geralmente a sistemas com menor frequência fundamental.
Considere-se agora a aplicação deste método à estrutura indicada na figura 2.3.
Fig. 2.3 - Exemplo de aplicação do método de Rayleigh
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Dinâmica de Estruturas 38
Suponha-se que as massas dos três pisos são respectivamente
m1
= 2 0 0 K N s2 /m
m2
= 3 0 0 K N s2 /m
m3
= 4 0 0 K N s2 /m
e que a rigidez dos elementos estruturais entre pisos é ,
k1 = 120 000 KN /m
k2 = 240 000 KN /m
k3 = 360 000 KN /m
Os deslocamentos correspondentes à aplicação de forças estáticas equivalentes aos
pesos de cada piso são dados por:
q1
= ∆ s3
+ ∆32
+ ∆21
q 2 = ∆ s 3 + ∆32
q 3 = ∆ s 3
em que ∆ij representa o deslocamento relativo do piso i em relação ao piso j sendo o
solo designado por s.
Calculando os valores de ∆ , obtém-se
∆ s3
=360 000
900 g
∆32
=240 000
500 g
∆21
=120 000
200 g
pelo que os deslocamentos ao nível dos pisos são
q1
=7 20045 g
q2
=7 20033 g
q3
=7 20018 g
substituindo na equação (81) conduz a
p2
=
[ 2 0 0 g * ( 4 5 g )
2
+ 3 0 0 g * ( 3 3 g )
2
+ 4 0 0 g * ( 1 8 g )
2
] / 7 2 0 0
2
g [ 2 0 0 g * 4 5 g + 3 0 0 g * 3 3 g + 4 0 0 g * 1 8 g ] / 7 2 0 0
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Dinâmica de Estruturas 39
o que corresponde a um valor de p=14.77 rad/seg ou seja f=2.35 Hz ou um período
fundamental T=0.425 seg. Para efeitos de comparação, saliente-se que o valor exacto da 1ª
frequência própria desta estrutura é de p=14.5 rad/seg. O erro cometido é apenas 1.9% e,
como esperado, por excesso.
Para calcular aproximadamente a frequência própria de edifícios pode portanto
recorrer-se a programas de cálculo de análise estática de pórticos planos. Para uma dada
direcção aplicam-se, simultaneamente ao conjunto de pórticos com desenvolvimento na
direcção considerada e ao nível de cada piso, as forças estáticas horizontais equivalentes às
cargas verticais permanentes do piso respectivo, e calculam-se os deslocamentos ao nível de
cada piso. Uma vez calculados os deslocamentos, a aplicação das equação (81) dá o valor da
frequência em rad/s.
De salientar, tal como o faz o R.S.A, que na aplicação deste método há que ter em conta
não só a rigidez e massa dos elementos estruturais considerados como resistentes, mas
também as dos elementos considerados não resistentes que lhes estão ligados, tal como
paredes de alvenaria e similares, os quais podem contribuir para um aumento da rigidez do
edifício, dando assim origem a valores mais elevados da frequência própria fundamental.
Como a valores mais elevados de frequência correspondem também valores mais elevados
dos coeficientes sísmicos, a não consideração da massa e da rigidez dos elementos não
estruturais, pode ser não conservativa e portanto contra a segurança.
Para finalizar saliente-se que a determinação de frequências próprias superiores à
primeira através do método de Rayleigh, envolve a utilização de uma deformada
correspondente a uma configuração de vibração diferente da adoptada. Para tanto torna-se
necessário conhecer as características dinâmicas do edifício, o que se torna complexo a
menos que seja realizada uma análise dinâmica exacta.
O método de Rayleigh torna-se no entanto suficiente quando se pretenda apenasproceder a uma análise estática equivalente. As condições de aplicabilidade dessa análise
estática a edifícios, designados vulgarmente por "edifícios correntes", são definidas no artº
30.4 do R.S.A. da seguinte forma:
"Não apresentarem, em planta, distribuições desproporcionadas entre a massa e a rigidez;
Não apresentarem, no seu desenvolvimento em altura, grandes variações de massa ou de rigidez;
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Dinâmica de Estruturas 40
Terem uma estrutura em malha ortogonal e não demasiado deformável;
Terem os pisos constituídos de forma que possam considerar-se como diafragmas indeformáveis
no seu plano"
Pretende-se com a primeira condição que os efeitos da torção, não contabilizados na
análise plana simplificada, sejam pouco significativos. Entende-se a condição como satisfeita
quando o centro de massa dos pisos, determinado considerando a combinação quase
permanente de acções, não dista do centro de rigidez de mais de 15% da dimensão do
edifício na direcção perpendicular à actuação do sismo.
A cláusula relativa a variações em altura da massa ou rigidez pretende excluir da
análise estática equivalente os edifícios com acentuadas variações das características
dinâmicas em altura. A elevada concentração de esforços e deformações nos pisos de
transição, completamente mensurável apenas através duma análise dinâmica, justifica esta
condição.
A obrigatoriedade dos edifícios correntes apresentarem estrutura em malha ortogonal
explica-se por este tipo de estrutura exibir um comportamento dinâmico mais simples em
geral e particularmente por apresentarem efeitos de torção controlados. Quanto à cláusula
relativa à excessiva deformabilidade da estrutura esta destina-se a acautelar as seguintes
ocorrências:
(i) contribuição significativa dos efeitos geometricamente não lineares. Entende-se que
uma análise de primeira ordem é suficiente quando os correspondentes deslocamentos
horizontais relativos entre dois pisos não excedem 1,5% da distância entre estes.
(ii) contribuição significativa dos modos superiores. Esta situação verifica-se quando a
frequência fundamental é tão baixa que o 2º modo (de frequência superior de 2 a 3
vezes) se situa na zona de maior conteúdo de frequências da acção sísmica. Considera-se que a estrutura não é excessivamente deformável sempre que a frequência
fundamental seja superior quer a 0.5 Hz quer ao quociente de 8 pelo nº de pisos.
Por fim a condição relativa à indeformabilidade dos pisos no seu plano destina-se a
garantir que as forças de inércia desenvolvidas durante a actuação do sismo sejam
absorvidas pelas sub-estruturas que lhe resistam (pórticos ou paredes) proporcionalmente à
rigidez dessas mesmas sub-estruturas. Assim se garante que todas as sub-estruturas são
proporcionalmente esforçadas devido à acção sísmica.
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Dinâmica de Estruturas 41
2.2 - Determinação de frequências
As equações de movimento para um sistema de vários graus de liberdade têm umaforma análoga à equação de movimento para os sistemas de um grau de liberdade.
Assim para o grau de liberdade i da estrutura poder-se-ia escrever uma equação em
tudo similar à equação de movimento de um sistema de um grau de liberdade em que as
forças de inércia Fii, as forças de amortecimento Fai e as forças de restituição elástica Fri são
agora as devidas aos efeitos das várias massas do sistema, dos vários amortecimentos e dos
vários elementos da rigidez do sistema, sobre o movimento do grau de liberdade i.
As equações tomam assim uma forma matricial com os seguintes componentes:
Fr1
Fr2
::Fr
i::Fr
N
K11
K12
. . . . . K1i
. . . . . K1N
K21
K22
. . . . . K2i
. . . . . K2N
::K
i 1K
i 2. . . . . K
i i. . . . . K
i N::K
N1K
N2. . . . . K
Ni. . . . . K
NN
::
::
::
::
::
::
q1
q2
::q
i::q
N
=
( 8 2 )
=
C11
C12
. . . . . C1i
. . . . . C1N
C21
C22
. . . . . C2i
. . . . . C2N
::C
i 1C
i 2. . . . . C
i i. . . . . C
i N::C
N1C
N2. . . . . C
Ni. . . . . C
NN
::
::
::
::
::
::
q1
q2
::q
i::q
N
.
.
.
.
Fa1
Fa2
::Fa
i::Fa
N
( 8 3 )
=
M11
M12
. . . . . M1i
. . . . . M1N
M21
M22
. . . . . M2i
. . . . . M2N
::M
i 1M
i 2. . . . . M
i i. . . . . M
i N::M
N1M
N2. . . . . M
Ni. . . . . M
NN
::
::
::
::
::
::
Fi1
Fi2
::Fi
i::Fi
N
q1
q2::q
i::q
N
..
..
..
..
( 8 4 )
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Dinâmica de Estruturas 42
Assim os elementos K ij são os elementos da matriz de rigidez da estrutura, de tal
forma que a força de restituição correspondente ao grau de liberdade i é calculada como
Fri= ∑
n
Kin
qn
( 8 5 )
e pode ser intrepretada como o somatório em n, das forças ao nível do grau deliberdade i devidas a um deslocamento unitário no grau de liberdade genérico n, (K in) vezes
o deslocamento correspondente ao grau de liberdade n (qn).
De igual forma se poderia intrepretar a construção das matrizes correspondentes às
forças de amortecimento e de inércia.
As equações de movimento para vibrações em regime livre, podem assim ser escritas
de uma forma matricial:
M q + C q + K q = 0. . .
( 8 6 )
em que é a matriz de massa, a matriz de amortecimento, a matriz de rigidez e
o vector de deslocamentos.
Normalmente admite-se, em sistemas discretizados e sem condensação, que a matrizde massa é uma matriz diagonal, o que é o mesmo que dizer que uma aceleração
correspondente a um grau de liberdade apenas provoca forças de inércia nesse mesmo grau
de liberdade.
Para determinação das frequências próprias do sistema e semelhantemente ao que foi
feito para os sistemas com um grau de liberdade, despreza-se a contribuição do
amortecimento. Assim, a equação (86) pode ser reescrita (apenas para efeito de determinação
de frequências) comoM q + K q = 0
. .
( 8 7 )
Por analogia com o comportamento dos sistemas de um grau de liberdade pode-se
admitir que o movimento de resposta numa dada frequência toma a forma
q ( t) = q c o s ( p t- φ )
( 8 8 )
em que é um vector que representa a configuração da deformada de vibração, a
qual não se altera com o tempo (apenas a amplitude varia de acordo com o valor do coseno).
A segunda derivada de (t) em ordem ao tempo toma a forma
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Dinâmica de Estruturas 43
q ( t) = - p2
q c o s ( p t- φ ) = - p2
q ( t). .
( 8 9 )
Substituindo as equações (88) e (89) na equação (87) obtêm-se
- p 2 M q c o s ( p t- φ ) + K q c o s ( p t- φ ) = 0
( 9 0 )
equação que pode ser reeescrita sob a forma
[ K - p2
M ] q = 0
( 9 1 )
A única solução não trivial ( ≠ ) para este sistema de equações corresponde ao
anulamento do determinante do primeiro factor da equação (91)
d e t ( K - p2
M ) = 0
( 9 2 )
pelo que se conclui que a determinação de frequências e modos de vibração redunda
num problema tradicional de valores e vectores próprios.
O desenvolvimento do determinante da equação (91), também designada de equação
característica, redunda na determinação das raízes de um polinómio de grau n em p2,
vulgarmente designado por polinómio característico. As raízes desse polinómio (valores
próprios) são os quadrados das frequências próprias do sistema. A cada valor próprio
(frequência) corresponde uma solução para o vector a qual é o vector próprio associado
com essa frequência. Esse vector representa a configuração da estrutura (modo de vibração)
correspondente à vibração na frequência respectiva.
Como exemplo de aplicação escolha-se novamente a estrutura apresentada na figura
2.3 .
As matrizes de massa e de rigidez são:
200 0 0
0 300 00 0 400M = [KN s2 / m]
K =120 000 -120 000 0-120 000 360 000 -240 000
0 -240 000 600 000 [KN / m]
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Dinâmica de Estruturas 44
Fig 2.4 - Exemplificação da formação da matriz de rigidez
pelo que a equação (92) toma a seguinte forma
6 0 0 - p2
-6 0 0 0-6 0 0 1 8 0 0 -1 . 5 p
2- 1 2 0 0
0 -1 2 0 0 3 0 0 0 - 2 p2
2 0 0 = 0
A respectiva equação polinomial é assim:
( 6 0 0 - p2
) [ ( 1 8 0 0 - 1 . 5 p2
) ( 3 0 0 0 - 2 p2
) - 1 2 0 02
] + 6 0 0 [ - 6 0 0 ( 3 0 0 0 - 2 p2
) ] = 0
Esta equação tem três raízes que são aproximadamente:
p 12
= 2 1 0 p 1 = 1 4 . 5 r ad /s
p22
= 9 6 6 p2
= 3 1 . 1 r ad /s
p 32
= 2 1 2 4 p 3 = 4 6 . 1 r ad /s
e que são as frequências próprias da estrutura. Como se pode constatar, e tal como nadevida altura tinha sido referido, o método de Rayleigh conduziu a uma boa aproximação
do valor da 1ª frequência.
Uma outra forma de determinar as frequências próprias de uma estrutura é utilizar
uma alternativa à equação (91). Tal alternativa tem talvez uma mais fácil aplicabilidade a
microcomputadores, já que a determinação explícita dos coeficientes da matriz de rigidez,
não é possível para a maior parte dos programas.
Pré-multiplicando ambos os membros da equação (91) pelo matriz de flexibilidade a
equação característica toma a seguinte forma
F [ K - p2
M ] = 0q
( 9 3 )
ou fazendo
p2
1= ¥
2
( 9 4 )
e dado que =
[ F M - ¥ 2
I ] = 0q
( 9 5 )
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Dinâmica de Estruturas 45
A determinação das frequências próprias resume-se da mesma forma à resolução de
um sistema de valores próprios análogo ao anterior. A vantagem que esta metodologia pode
ter sobre a metodologia que emprega a matriz de rigidez, resulta do facto de que, dispondo
por exemplo de um programa de cálculo de pórticos planos, os coeficientes da matriz deflexibilidade podem ser facilmente obtidos através da aplicação de forças unitárias ao nível
de cada piso. Assim o coeficiente Fij da matriz de flexibilidade não é mais do que o
deslocamento ao nível e segundo a direcção do grau de liberdade i quando se aplica uma
força unitária ao nível e segundo a direcção do grau de liberdade j.
O método para determinação de frequências baseado na resolução directa da equação
característica tem apenas aplicação prática quando as raízes dessa mesma equação são fáceis
de determinar. Como tal não é o caso para estruturas com mais do que dois ou três graus deliberdade, torna-se necessário recorrer a outros métodos de determinação dos valores
próprios.
É corrente distinguir os seguinte algoritmos de determinação de valores e vectores
próprios:
(i) Métodos de iteração de vectores. Consistem em algoritmos que utilizam a equação
característica duma forma recursiva. Dentre destes é ainda possível distinguir os
métodos de iteração directa e métodos de iteração inversa que utilizando a equação
característica em duas formas distintas (correspondentes às equações 91 e 95) facultam
a determinação dos valores próprios inferiores e superiores respectivamente. O
método de Stodola, objecto de estudo na secção 2.5, corresponde ao método da iteraçãoinversa.
(ii) Métodos de transformação. Consistem em transformar as matrizes do sistema de
forma à matriz de massa igualar a matriz identidade e a matriz de rigidez assumir
uma forma diagonal em que cada elemento diagonal corresponde ao valor próprio
associado. Destaca-se nesta classe de métodos o método de Jacobi.
(iii) Métodos de iteração em polinómio. Fundamentam-se na determinação de zeros da
polinómios que, no presente caso, corresponde ao polinómio característico.
(iv) Métodos compostos. Consistem na conjugação de dois ou mais métodos dosanteriormente citados. Destaca-se dentro de estes métodos o método da iteração em
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Dinâmica de Estruturas 46
subespaços que conjugando os métodos referidos em (i) e (ii) consiste no algoritmo
mais adequado a sistemas de grande dimensão.
Dada a acessibilidade de subrotinas de cálculo automático para determinação devalores e vectores próprios, não será dado especial ênfase aos métodos numéricos neste
domínio.
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Dinâmica de Estruturas 47
2.3 - Determinação dos modos de vibração
Na aplicação do método de Rayleigh à determinação de frequências, viu-se que aconfiguração de vibração arbitrada influenciava o valor calculado da frequência. Assim
conclui-se que a cada frequência está associada uma configuração de vibração. Quer isto
dizer que se a estrutura vibra com uma frequência correspondente a uma frequência própria,
a deformada de vibração é, a menos da amplitude máxima, uma característica dessa mesma
frequência.
Reveja-se o sistema de equações (91), supondo-se que já se conhecem os valorespróprios (frequências). Para cada frequência p
i pode-se reescrever o sistema de equações sob
a forma.
[ K - pi2
M ] q = 0
( 9 6 )
Dado que o determinante da "matriz" que multiplica o vector é nulo, o sistema de
equações é homogéneo, com equações linearmente dependentes e portanto indeterminado.
Esse facto implica que não possam ser calculados os valores do vector (amplitudes dos
deslocamentos para cada grau de liberdade), e que apenas se possam estabelecer relações
entre esses mesmos valores.
Na prática isso significa que apenas se pode determinar a forma da configuração de
vibração, mas que os valores dos deslocamentos dos vários graus de liberdade, apenas
podem ser conhecidos em função de um deles. Geralmente supõe-se que o deslocamento do
primeiro grau de liberdade, ou daquele a que corresponde maior deslocamento, é unitário,
determinam-se os outros valores, e assim se determina para cada frequência o modo de
vibração, ou vector próprio que lhe está associado. Refira-se, como vai ser descrito em 2.4,
ser corrente normalizar os modos de vibração relativamente à matriz de massa com as
vantagens que na altura serão detalhadas.
Uma forma possível de determinar para cada frequência o vector próprio associado, é
através da matriz adjunta da matriz característica [ -pi2 ]. A matriz adjunta é a matriz
transposta da matriz dos cofactores. A matriz dos cofactores é calculada, substituindo cadaelemento de uma matriz (aij) pelo valor do determinante da matriz que se obtém por
eliminação das linha e coluna a que pertence o elemento (linha i, coluna j), multiplicado por
(-1)(i+j).
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Dinâmica de Estruturas 48
Na prática, dado que a matriz característica é simétrica, não se torna necessário fazer a
transposição da matriz dos cofactores. Também não se torna necessário calcular a matriz dos
cofactores de todos os elementos da matriz característica, mas apenas os cofactores da última
coluna desta matriz.Como exemplo, determinem-se os vectores próprios (modos de vibração) da estrutura
da figura 2.3, para a qual já foram determinadas as frequências próprias.
A matriz característica é
[
600 - p2
- 600 0
- 600 1800 - p2
- 1200
0 - 1200 3000 - 2p2]
Substituindo para o valor da 1ª frequência (p1
2=210) obtém-se
[ 0
390 - 600 0
- 600 1485 - 120
0 - 1200 258 0]
alcu dos mentos da última coluna obtém-seC lando os cofactores ele
[- 600 * - 1200 * ( -1 )
4
390 * - 1200 * ( -1 )5
(390 * 1485 - (-600 )2)* ( -1 )
6 ]
=
[720000
468000
219150 ]
[1.0
0.65
0.30]norm alizan do
Em que o critério de normalização consistiu em impôr valor unitário da componente
correspondente ao deslocamento do último piso.
Para obtenção do 2º e 3º modos de vibração, seria necessário substituir na matriz
característica o valor de p2
respectivamente por 966 e 2124, e proceder de uma formaanáloga.
Na figura 2.5 são apresentados os três modos de vibração. Em qualquer deles optou-se
por normalizar através da fixação de um valor unitário para o deslocamento modal
correspondente ao primeiro grau de liberdade.
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Dinâmica de Estruturas 49
Fig. 2.5 - Modos de vibração - Exemplo
Uma análise dos três modos de vibração, permite detectar uma característica própria
dos modos de vibração de sistemas deste tipo. O primeiro modo tem todos os deslocamentos
modais com o mesmo sinal, o que significa que quando a estrutura vibra nessa frequência,
todos os pontos estão em movimento e com o mesmo sentido. Em relação ao segundo modo,
pode detectar-se um ponto entre o 2º e o 3º piso que não sofre qualquer deslocamento. Para oterceiro modo podem detectar-se dois desses pontos. Tal característica é importante quando
se precisar idealizar a deformada da estrutura para um dado modo de vibração.
A metodologia usada para determinação dos vectores próprios (através da matriz
adjunta), tem pela sua simplicidade, aplicabilidade a microcomputadores. A determinação
das frequências próprias e dos modos de vibração de uma estrutura são os passos essenciais
da análise dinâmica de qualquer estrutura. A implementação de métodos numéricos de
determinação de valores próprios (frequências) e de vectores próprios (modos de vibração) éportanto condição necessária de qualquer análise dinâmica.
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Dinâmica de Estruturas 50
2.4 - Análise modal
2.4.1 - Condições de ortogonalidade
Os modos de vibração têm determinadas propriedades que justificam a sua utilização
na análise dinâmica de sistemas de vários graus de liberdade. Essas propriedades são
conhecidas por condições de ortogonalidade.
Tal como atrás foi referido, as equações de movimento em regime livre podem ser
escritas sob a forma
K q n = p n2
M q n
( 9 7 )
em que n representa o vector de deslocamentos quando a estrutura vibra com a
frequência pn. Na equação (97), n pode ser substituido por n (vector próprio
correspondente à frequência de ordem n) em ambos os lados da equação, já que bastará para
tanto dividir ambos os membros pelo valor da amplitude do movimento. Assim a equação
(97) pode ser reescrita como
K v n = p n2
M v n
( 9 8 )
Igual equação pode ser escrita para o modo m, dando lugar aK v m = p m
2M v m
( 9 9 )
Premultiplicando a equação (98) por mT e posmultiplicando a transposta da equação
(99) por n obtém-se respectivamente
v m
TK v n = p n
2v m
TM v n
( 1 0 0 )
v m
TK v n = p m
2v m
TM v n
( 1 0 1 )
Como se pode ver o lado esquerdo das duas equações é igual, pelo que a diferença dasduas equações conduz a
( pn2
- pm2 ) v
m
TM v
n= 0
( 1 0 2 )
vm
TM v
n= 0
( 1 0 3 )
para (m≠n) o que traduz a ortogonalidade dos modos de vibração com respeito à
matriz de massa.
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Dinâmica de Estruturas 51
Se dividirmos as equações (100) e (101) por pn2 e pm
2 respectivamente, a diferença
entre as duas equações dá lugar a
( p n
2
1-
p m2
1 ) v
m
TK v
n= 0
( 1 0 4 )
o que traduz também a ortogonalidade dos modos de vibração com respeito à matriz
de rigidez.
Refira-se ainda que como consequência, se pode afirmar que os modos de vibração são
ortogonais em relação a qualquer matriz que seja uma combinação linear da matriz de massa
e de rigidez.
Ainda como consequência das propriedades de ortogonalidade pode constatar-se que,
se se definir como a matriz modal ou seja a matriz cujas colunas são os modos de
vibração, os produtos
VT
M V = MG
( 1 0 5 )
VT
K V = KG
( 1 0 6 )
representam matrizes de massa e de rigidez normalizadas, as quais são
necessariamente matrizes diagonais.
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Dinâmica de Estruturas 52
2.4.2 - Equações em coordenadas modais
Se voltarmos a escrever a equação de equilíbrio em regime livreM q + K q = 0
. .
( 1 0 6 )
e a premultiplicarmos por T e inserirmos a matriz identidade
I = V V-1
( 1 0 7 )
antes de e obtém-se
VT
M V V-1
q + VT
K V V-1
q = 0. .
( 1 0 8 )
que pode ser reescrita como
MG q G + K G q G = 0. .
( 1 0 9 )
sendo
qG
= V-1
q ou q = V qG
( 1 1 0 )
qG
= V-1
q ou q = V qG
. . . . . . . .(111)
A equação (109) representa um sistema de equações diferenciais de segunda ordemindependentes já que as matrizes G e G são diagonais.
Desta forma o problema da resolução de um sistema de N equações diferenciais em
coordenadas normais pode ser, caso se efectue a transformação de coordenadas acima
descrita, reduzido ao problema de N equações independentes, em tudo similares às
utilizadas no estudo de sistemas de 1 grau de liberdade. Mostra-se assim que a solução de
um sistema de N graus de liberdade pode ser encarado como a sobreposição das soluções de
N sistemas de um grau de liberdade.
As novas coordenadas introduzidas, as coordenadas generalizadas ou modais, já não
representam, como as coordenadas inciais, explicitamente deslocamentos mas sim
amplitudes de configurações deformadas. A vantagem deste procedimento reside no facto
de que as matrizes características do sistema, quando referidas às coordenadas modais, se
apresentam diagonais, permitindo o estudo separado de cada novo grau de liberdade.
Como foi oportunamente referido, a matriz modal pode ser determinada a menos dasamplitudes modais ou seja, cada modo de vibração pode ser determinado a menos de uma
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Dinâmica de Estruturas 53
const
em que
ante. Uma das formas utilizadas para representar a matriz modal é admitir amplitudes
unitárias para um dos graus de liberdade. Existem contudo vantagens ao nível da
formulação posterior em adoptar como critério o de normalizar os modos de vibração
relativamente à matriz de massas, isto é:φ i
TM φ i
= 1
( 1 1 2 )
i representa o vector i normalizado de acordo com este critério.
φi
=
vi
M vi
v
Deixa-se ao cuidado do leitor a demonstração, a partir das eqs 100 e 112, das matrizes
de massa e rigidez generalizadas de acordo com este critério de normalização.
em que
T
i
( 1 1 3 )
M G = ΦT
M Φ = I
( 1 1 4 a )
K G = ΦT
K Φ = [ p2
]
( 1 1 5 )
e [p2] são respectivamente a matriz modal normalizada e uma matriz
diagonal na qual cada termo diagonal é o quadrado da frequência própria correspondente.
No ca eso do sist ma apresentar uma matriz de amortecimento ortogonalizavel pelos modos
de vibração, situação que se refere como de amortecimento modal, é ainda possível definir amatriz de amortecimento generalizada G dada por:
CG
= Φ T C Φ = [ 2 ζ p ]
( 1 1 6 )
Se as equações de equilíbrio em regime livre com amortecimento forem escritas nas
coordenadas principais ou generalizadas tem-se
Premultiplicando por
M Φ q + C Φ q + K Φ q = 0. . .
G G
G
( 1 1 7 )
T obtém-se
G
ou seja
Tirando partido do critério de normalização referido
+ [ 2ζp ] q + [ p2
] q =. . .
ou, individualizando uma das equações
Φ Τ M Φ q + ΦT
C Φ q + ΦT
K Φ q = 0. . . ( 1 1 8 )G G
MG
qG
+ CG
qG
+ KG
qG
= 0. . .
( 1 1 9 )
qG G G
0 ( 1 2 0 )
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Dinâmica de Estruturas 54
qiG
= 0
pelo que a equação de movimento duma determinada coordenada generalizada, ou o
que é
ara demonstrar os conceitos apresentados estudaremos o sistema de três graus de
liberd
matriz modal
qiG
+ 2ζip
iq
i G+ p
i2.. .
( 1 2 1 )
o mesmo dum determinado modo, representa a equação de movimento dum sistemade 1 grau de liberdade com massa unitária, rigidez igual ao quadrado da frequência e
amortecimento duplo do produto da frequência pelo coeficiente de amortecimento modal.
P
ade apresentado na figura 2.3 em que se admite coeficiente de amortecimento modal
de 5%.
A normalizada de acordo com o critério exposto é então:
A matriz
[ ]Φ =
0.05251 0.03406 0.01585
0.04496 -0.02727 -0.03052
0.01488 -0.03781 0.03629
-1 necessária para transformar as coordenadas iniciais em coordenadas
gener e
ou seja
As equações de comportamento do sistema reduzem-se consequentemente a três
equaç
q2 G
+ 3.11 q2 G
+ 966 q2 G
= 0.. .
q3 G
+ 4.61 q3 G
+ 212 4 q3 G
= 0.. .
Como cada uma das equações representa a resposta de um sistema de um grau de
liberd
alizadas pod ser obtida, dado já se tratar de matriz modal normalizada em relação à
matriz de massas, a partir da seguinte propriedade evidente quando comparada a eq. 114
com a equação que relaciona uma dada matriz com a sua inversa:Φ
- 1= Φ Τ M
( 1 1 4 b )
Φ-1
= [10.502 13.488 5.952
6.812 -8.181 -15.124
3.17 -9.156 14.516]
ões diferenciais desacopladas de 2ª ordem.
.. .q
1G+ 1 .4 5 q
1G+ 2 1 0 q
1G= 0
ade, as técnicas utilizadas na análise de resposta de sistemas de um grau de liberdade
poderão ser aplicadas.
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Dinâmica de Estruturas 55
2.4.3 - Resposta em regime livre
Da análise de sistemas com um grau de liberdade podemos dizer que a resposta de umsistema em regime livre não amortecido é da forma (ver eq. 9 a) com ζ=0).
q = q0 cos(pt) +p
q0 sin(pt)
.
( 1 2 2 )
Assim para determinar a resposta de um sistema de N graus de liberdade deve
proceder-se à transformação de coordenadas dos vectores das condições iniciais através de
qG0
= Φ-1
q0
= ΦT
M q0
(123)
qG0
= Φ-1 q0
= ΦT M q0
. . .
es.
e
(124)
e utilizar depois a equação (122)
Utilizando o exemplo atrás referido, desprezando o amortecimento e supondo que a
estrutura era libertada duma deformada com deslocamento unitário no último piso e nulo
nos restant
q0
=
[]1.000
0.000
0.000
tem-s
10.502
6.812
3.17
qG
=[]0
e ainda
qG0
= q0
= 0. .
pelo que as equações de movimento em coordenadas generalizadas são
q 1G (t ) = 10 .50 2 co s (14 .5 t )
q 2G (t ) = 6 .8 12 co s (31 .1 t )
q 3G (t ) = 3 .1 7 cos (46 .1 t )
Para obter os resultados nas coordenadas iniciais não há mais do que aplicar atransformação inversa.
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Dinâmica de Estruturas 56
q1(t) = 0.5515 cos(14.5t) + 0.30 3 cos(31.1t) + 0.0472 cos(46.1t)
q2(t) = 0.3577 cos(14.5t) - 0.1858 cos(31.1t) - 0.1199 cos(46.1t)
q3(t) = 0.1665 cos(14.5t) - 0.2079 cos(31.1t) + 0.1150 cos(46.1t)
6
Constata-se assim que, para estudar a resposta de um sistema, deve primeiro
transformar-se o problema para coordenadas principais, utilizar as soluções existentes para
equações desacopladas e voltar a efectuar uma transformação de coordenadas para obter os
resultados nas coordenadas iniciais.
Deixa-se ao cuidado do leitor demonstrar que quando as condições iniciais
correspondem a um campo de deslocamentos e/ou velocidades com a configuração dum
determinado modo o sistema responde em coordenadas iniciais apenas nesse modo.
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Dinâmica de Estruturas 57
2.4.4 - Resposta para forças aplicadas
No caso da existência de forças aplicadas, a equação de movimento
M q + C q + K q = Q (t)...
( 1 2 5 )
pode ser transformada em
ΦT
M q + ΦT
C q + Φ Τ K q = ΦT
Q(t). . .
( 1 2 6 )
equação que tirando partido do critério de normalização referido pode ser reescrita
q G + [ 2ζp ] q G + [ p2 ] q G = Q
. . .G(t)
( 1 2 7 )
em que G(t), vector das forças generalizadas, é o resultado da transformação de
coordenadas para as forças aplicadas (t).
Como será fácil de constatar, o sistema representado na equação (127) é ainda um
sistema de equações diferenciais desacopladas, sendo possível para cada uma delas
determinar a resposta com base nos conceitos apresentados quando do estudo dos sistemas
de um grau de liberdade sujeitos a forças externas, nomeadamente as soluções descritas em
1.2.
Estudam-se seguidamente as formulações aplicáveis nos casos de excitação harmónica,
periódica e não periódica.
Quando o sistema é sujeito a uma excitação harmónica com frequência ω, isto é sujeito
a um vector de forças aplicadas (t) do tipo:
Q ( t) = Q cos (ω t)
(128)
a resposta em coordenadas generalizadas é, para o iésimo grau de liberdade (ver eq.21
b e 23 a)):
qiG
(t) = β1i
pi2
QiG cos(ωt+ϕ
i)
( 1 2 9 )
com β1i e ϕi dados pelas eqs.23 b e 24 (para p=pi e ζ=ζi) e Q,_
iG dado por
QiG
= ∑ j=1
N
Φ ji
Q j
( 1 3 0 )
Ao transpôr a resposta para coordenadas iniciais obtém-se:
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Dinâmica de Estruturas 58
qi(t) = ∑ j=1
N
Φij β1j p j2
Q jG cos(ωt+ϕ j)
( 1 3 1 )
ou seja a resposta do sistema resume-se a uma sobreposição de harmónicas desfasadasde frequência igual à da excitação em que cada harmónica desfasada representa a
contribuição dum determinado modo para a resposta final. A existência dum factor β1 a
modelar a resposta de cada modo permite concluir que se a frequência de excitação se
aproximar bastante da frequência dum determinado modo a estrutura responde quase
exclusivamente no referido modo dependendo este fenómeno de ressonância dos
coeficientes de amortecimento modais dos restantes modos e da afinidade da excitação com
a configuração modal ressonante. Refira-se que, independentemente das considerações
expostas, a existência do denominador p j2
na expressão anterior indica que é previlegiada acontribuição dos modos inferiores.
Quando o sistema é sujeito a uma excitação periódica é ainda possível proceder à
decomposição em série de Fourier de cada um dos elementos do vector das forças aplicadas
e recorrer à formulação exposta atrás para determinar a resposta a cada componente
harmónica da excitação em coordenadas generalizadas.
Relativamente à situação em que o sistema é sujeito a uma excitação determinísticanão periódica existe ainda formulação analítica adequada ao problema. Com efeito,
transformando a excitação para coordenadas generalizadas (ver eq.127) é possível, aplicando
o conceito de integral de Duhamel, determinar a resposta em cada modo após o que, por
aplicação da eq.110, se determina a resposta em coordenadas iniciais.
Como exemplo, suponha-se que à estrutura da figura 2.3 e desprezando os efeitos do
amortecimento, é aplicada uma força constante Q=1 ao nível do primeiro grau de liberdade.
O vector das forças generalizadas é então:
QG
(t) = ΦT
Q(t) =[ 0.05251
0.03406
0.01585]
Utilizando os resultados expostos na eq.36 para o caso particular de força constante e
condições de massa e rigidez características das coordenadas generalizadas quando se
adopta o critério de normalização dos modos relativamente à matriz de massas (m=1, k=p2):
q(t) = p2
Q
(1-cos(pt))
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Dinâmica de Estruturas 59
Deixa-se ao cuidado do leitor confirmar que a resposta em coordenadas iniciais é a
seguinte:
q(t) =
[
14..432 + 13.114cos(14.5t) + 1.199cos(31.1t) + 0.118cos(46.1t)
10.041 + 11.299cos(14.5t) - 0.860cos(31.1t) - 0.228cos(46.1t)
2.655 + 3.716cos(14.5t) - 1.331cos(31.1t) + 0.2707cos(46.1t)]x 10e-6
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2.4.5 - Resposta a acções sísmicas
A resposta de um sistema de vários graus de liberdade a acções sísmicas pode serefectuada utilizando as técnicas referidas na análise da resposta de sistemas a forças
aplicadas.
Com efeito, tal como se referiu previamente, a resposta a uma aceleração de solo é
idêntica à resposta do sistema a forças aplicadas ao nível dos vários graus de liberdade e
iguais ao produto do valor da aceleração de base correspondente ao grau de liberdade em
questão, pela massa respectiva.
Assim se um sistema está sujeito a uma aceleração, por exemplo segundo a direcção x,
a análise da resposta pode ser efectuada, supondo aplicadas a todos os graus de liberdade
segundo a direcção x forças equivalentes ao valor da aceleração de solo vezes a massa
correspondente a esse mesmo grau de liberdade.
Tal é equivalente a fazer actuar sobre o sistema um vector de forças definido como
Q ( t) = - M 1x
qsx
..( t)
( 1 3 2 )
em que q,¨ sx (t) é o valor da aceleração do solo, e x é um vector formado por
elementos unitários nas posições correspondentes aos graus de liberdade segundo a direcção
da aceleração e elementos nulos em todas as outras posições.
Na ocorrência simultânea de aceleração do solo em várias direcções o raciocínio
exposto é generalizável à seguinte expressão (caso tridimensional):
Q(t) = - M 1{ qsx
qsy
qsz}
. .
. .
. .
( 1 3 3 )
em que representa uma matriz constituída por três colunas em que cada coluna é
preenchida por elementos nulos excepto nas posições correspondentes a graus de liberdade
de translação segundo a direcção a que se reporta, isto é:
1 = {1 x 1 y 1 z}
( 1 3 4 )
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2.5 Método de Stodola
O método de Stodola, também conhecido por Stodola-Vianello, é um método iterativode determinação de frequências próprias e modos de vibração particularmente adaptado a
microcomputadores.
Este método fundamenta-se na equação (95) que, reescrita para o modo genérico n,
conduz a:
D φ n =p n
2
1 φ n
( 1 3 5 )
em que também designada de matriz dinâmica é o produto da matriz de
flexibilidade pela matriz de massas.
O processo iterativo preconizado para determinar a configuração fundamental de
vibração e respectiva frequência é o seguinte:
(1) arbitrar a estimativa inicial para o 1º modo ,_
(0) .
(2) utilizando a expressão 135 na forma recursiva determinar a estimativa seguinte
v
(k)
= D v
(k-1)
(3) normalizar por qualquer critério a estimativa de ordem k
v
(k)= norm ( v
(k))
(4) critério de paragem. Verificar se as estimativas normalizadas correspondentes aos
ciclos (k) e (k-1) são aceitavelmente iguais. Proceder para (5) ou repetir passos (2), (3) e
(4) até satisfação do critério de paragem respectivamente.
(5) determinar aproximação à configuração e frequência fundamental através de:
φ 1 =
v
( k ) TM v
( k )
v
( k )
(
1 3 6 )
p1
2=
∑i
∑ j
v j
(k)M
jiv
i
(k)
∑i
∑ j
v j
(k)M
jiv
i
(k-1)
( 1 3 7 )
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Dinâmica de Estruturas 62
Observe-se que a expressão 137 resulta do facto de se tratar dum processo iterativo. De
facto, como é demonstrado seguidamente, no limite (k→ ∞) a estimativa de ordem k do 1º
modo coincide com este e verifica-se a seguinte igualdade:
v (k) = D v
(k-1)=p
12
1 v (k )-1
( 1 3 8 )
pelo que o quociente do mesmo elemento das estimativas consecutivas conduz,
independentemente do elemento, ao valor de p1.
Na prática, o facto de se interromper o ciclo de Stodola com um número finito de
iterações conduz à existência de elementos i e j tais que:
v j
(k-1)
vj
(k)
<p
121 <
vi
(k-1)
vi
(k)
(
1 3 9 )
pelo que a média ponderada destes quocientes preconizada na expressão 137 conduz à
melhor aproximação para cálculo da frequência fundamental.
Falta apenas demonstrar porquê a utilização da expressão 135 na forma recursiva a
partir duma estimativa inicial arbitrária conduz a aproximações progressivamente refinadas
da configuração fundamental. Com efeito observe-se que a estimativa inicial é implicitamente
uma combinação linear das diversas configurações modais, isto é:
v
(0 )= c
1φ
1+ c
2φ
2+ . . + c
nφ
n+ . . + c
Nφ
N
( 1 4 0 )
Após o 1º ciclo de Stodola obtém-se:
v
(1 )= D v
(0 )= c
1D φ
1+ c
2D φ
2+ . . + c
nD φ
n+ . . + c
ND φ
N
( 1 4 1 )
tirando partido da expressão 135
v
(1 )=
p12
c1 φ 1+
p22
c2 φ 2 + . . +
pn2
cn φ n + . . +
pN2
cN φ N
( 1 4 2 )
ou, individualizando a fracção com p, 1 2
v
( 1 )=
p1
2
1 { c1φ
1+ c
2(
p2
p1 )
2
φ2
+ . . + cn(
pn
p1 )
2
φn
+ . . + cN(
pN
p1 )
2
φN}
( 1 4 3 )
Generalizando esta expressão para o késimo ciclo determina-se a seguinte expressão:
v
(k )=
p 1
2 k
1
{c
1φ
1+ c
2(
p2
p1 )
2 k
φ2
+ . . + cn(
pn
p1 )
2 k
φn
+ . . + cN(
pN
p1 )
2 k
φN
} ( 1 4 4 )
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o que tendo em conta a ordem relativa das frequências próprias serve como
demonstração ao pretendido.
Outra observação possível de extrair da expressão anterior é que, se por algumprocesso se eliminasse da estimativa inicial a componente do 1º modo, as estimativas
posteriores convirgiriam não para o 1º mas para o 2º modo. É precisamente nesta
propriedade que se radica a extensão do método de Stodola para a determinação de
frequências e modos superiores.
Com efeito atente-se a que:
φ 1T
M v( 0 )
= c φ 1T
M φ 1+ c
2 φ 1T
M φ 2+ . . + c
n φ 1T
M φ n+ . . + c
N φ 1T
M φ N1
( 1 4 5 )
o que, atendendo às relações de ortogonalidade:
φ1T
M v(0 )
= c1
( 1 4 6 )
,´(0) obtido da seguinte forma Nestas circunstâncias resulta que o vector
v´ ( 0 )
= v(0 )
- φ 1 φ 1T
M v(0 )
= { I - φ 1 φ 1T
M } v(0 )
( 1 4 7 )
não apresenta componente do 1º modo pelo que o posterior processamento pelo ciclo
de Stodola conduz a aproximações progressivamente afinadas do 2º modo. Observe-se que
este procedimento é extensível à determinação dos modos superiores. Com efeito admitindoo conhecimento as estimativas dos primeiros (n-1) modos é possível através da seguinte
expressão:
v´ ( 0 )
= v( 0 )
- φ1T
M v( 0 )
- φ2T
M v( 0 )
- . . - φn - 1T
M v( 0 )
φn - 1
φ2
φ1
( 1 4 8 )
ou equivalentemente
v´ (0)
= { I - φ1 φ 1
TM - φ
2 φ 2T
M - . . - φn -1 φ n -1
TM } v
(0 )
( 1 4 9 )
eliminar da estimativa inicial as componentes dos modos inferiores a n. O posteriorprocessamento desta estimativa conduz ao nésimo modo. Na prática, a existência de erros de
arredondamento numérico aconselha à eliminação das componentes dos modos inferiores
dentro do próprio ciclo de Stodola. Nestas circunstâncias define-se a matriz de varrimento
correspondente ao nésimo modo:
Sn
= { I - φ1 φ
1T
M - φ2 φ
2T
M - . . - φn -1
φn -1T
M} = Sn -1
- φn -1
φn -1T
M
( 1 5 0 )
e redefine-se a matriz dinâmica
D n = F M S n = D S n ( 1 5 1 )
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Dinâmica de Estruturas 64
Como exemplo de aplicação, o método de Stodola será utilizado para calcular as duas
primeiras frequências próprias da estrutura previamente apresentada.
O primeiro passo consiste em determinar a matriz de flexibilidade quer por aplicaçãode forças unitárias ao nível dos pisos quer ainda por inversão da matriz de rigidez. Neste
caso a matriz de flexibilidade é dada por :
[ F =
720000
1
11 5 25 5 22 2 2 ] [ m/KN ]
A aplicação do método de Stodola conduz ao quadro 2.1.
Observe-se que cada elemento da estimativa inicial do primeiro modo corresponde àsoma dos termos respectivos da mesma linha da matriz 1. Este vector não é mais que a
deformada que a estrutura apresenta quando a cada nível se aplica a massa do piso ou seja
este vector corresponde à deformada utilizada pelo método de Rayleigh.
Refira-se por fim a importância de desenvolver convenientemente os ciclos de Stodola
relativos aos primeiros modos por forma a evitar que, na determinação dos modos
superiores, a ortogonalização efectuada pela matriz n não seja eficaz.
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Dinâmica de Estruturas 65
S1
= I
[D1 = F M = 720000
1 2200 1500 8001000 1500 800400 600 800]
1.000 1.000 1.000 1.000 1.0000.733 0.669 0.653 0.649 0.6490.400 0.320 0.306 0.303 0.302
0.00503 0.00480 0.00476 0.00475 0.004740.00336 0.00314 0.00309 0.00308 0.003080.00161 0.00147 0.00144 0.00143 0.00143
v(k)
v(k)
k=1 k=2 k=3 k=4 k=5p1
= 14.52 rad/s
φ1T
= ( 0.05251, 0.03406, 0.01585 )
S2
= S1
- φ1 φ
1T
M
[D
2= F M S
2= -
-
44 -46.1 -46.830.7 43.3 8.7123.4 6.54 63.5]x 10
-5
1.000 1.000 1.000 1.000
-1.000 -0.605 -0.606 -0.606-1.000 -0.682 -0.680 -0.679
0.00137 0.00104 0.00104 0.00104-0.00083 -0.00063 -0.00063 -0.00063-0.00093 -0.00071 -0.00071 -0.00071
p2
= 31.05 rad/s
φ2T
= ( 0.04495, -0.02726, -0.03053)
k=1 k=2 k=3 k=4
v(k)
v(k)
Quadro 2.1 - Exemplo de aplicação do método de Stodola
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Dinâmica de Estruturas 66
2.6 - Matriz de massa consistente
Na generalidade dos casos a matriz de massa é supostamente diagonal (lumped-mass) oque corresponde a concentrar a massa do sistema nos seus nós.
Casos há em que a distribuição contínua de massa ao longo dos elementos, que se
verifica, com maior o menor relevância, nos sistemas reais, justifica a utilização de uma
matriz de massa que tenha em conta a distribuição da massa ao longo da estrutura e que se
denomina por matriz de massa consistente. Essa matriz de massa é obtida a partir da
sobreposição das matrizes de massa de cada membro, de uma forma semelhante à utilizada
na formação de matriz de rigidez global a partir das matrizes elementares. Na matriz demassa de cada elemento, a posição M jk representa a força de inércia que se desenvolve no
grau de liberdade j quando se aplica uma aceleração unitária segundo o grau de liberdade k .
No caso particular de um elemento de barra a matriz de massa do elemento pode ser
escrita como (sendo m,_ e l respectivamente a densidade linear de massa e o comprimento
do elemento):
q1
q 2 q 3
q4
q 5 q 6
i j
Fig. 2.7 - Esquema de numeração dos graus de liberdade em elemento barra
420
m l
[ ]
210 0 0 0 0 00 156 54 0 22l -13l0 54 156 0 13l -22l
0 0 0 210 0 00 22l 13l 0 4l -3l
0 -13l -22l 0 -3l 4l2
2
2
2
( 1 5 2 )
Considere-se como exemplo o pórtico representado na fig.2.8 com os três graus de
liberdade.
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Dinâmica de Estruturas 67
q1
q2
q3
m
2m
m l
2l Fig. 2.8 - Pórtico de aplicação de matriz de massa consistente
As matrizes de massa diagonal e consistente serão neste caso respectivamente :
[ ]2100 0 00 0 00 0 0420
mlM =
[ ]1992 22l 22l
22l 68l -48l22l -48l 68l22
22
420
mlM =
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Dinâmica de Estruturas 68
3 - Análise sísmica
3.1 - Resposta dinâmica a uma aceleração de base
Quando, em vez de actuada por forças ao nível de cada grau de liberdade, a estrutura
é actuada por movimentos na base, situação verificada durante a actuação de sismos, as
equações que caracterizam a resposta dinâmica tomam uma forma diferente das descritas
nas eqs. 6 e 86.
Nessas condições o equilíbrio dinâmico pode ser escrito da seguinte forma em sistemasde 1 grau de liberdade:
m q*
+ c q*
+ k q*
= - m qs
. . . . .( t) = F
i( t)
( 4 8 r e p )
em que q* representa o deslocamento relativo solo-estrutura
Vemos assim que a análise de uma estrutura sujeita a uma aceleração de base e q,¨ s é
equivalente à análise dessa mesma estrutura, sujeita a uma força de inércia Fi(t) igual ao
produto da sua massa pela aceleração do solo. Para um oscilador de vários graus de
liberdade, a equação acima toma uma forma matricial em que o segundo membro é o
produto da matriz de massa por um vector com todos os termos iguais à aceleração do solo
(ver eq. 133).
Se a aceleração do solo puder ter uma representação similar à da equação (18), ou seja
Fi(t)=Ficos(ωt), conclui-se que tudo o que foi dito para resposta em regime forçado (secção
1.2) pode ser extrapolado para resposta dinâmica a acções sísmicas.
Dado que uma acção sísmica pode ser idealizada como a sobreposição de harmónicas,com diferentes amplitudes para as diferentes frequências, a análise torna-se possível com os
conhecimentos anteriormente apresentados. A solução da equação de movimento pode ser
obtida quer recorrendo a técnicas de resolução numérica da eq.125, quer através de técnicas
de análise modal. O primeiro tipo de análise não será objecto de referência e o segundo foi
descrito nas secções 2.4.4 e 2.4.5. Abordaremos agora, pela sua facilidade de aplicação a
análise por espectros de resposta.
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Dinâmica de Estruturas 69
3.2 - Análise sísmica por espectro de resposta
O actual Regulamento de Segurança e Acções, prevê a possibilidade de utilização dastécnicas de análise sísmica por espectro de resposta. O espectro de resposta (no caso do
R.S.A., espectro de resposta de acelerações) é o valor máximo da aceleração que um
oscilador de um grau de liberdade sofreria quando excitado por uma dada acção sísmica (o
R.S.A. define espectros para dois tipos de sismo e três tipos de terrenos). A partir da analogia
que existe entre a resposta de osciladores de vários graus de liberdade e um oscilador de um
grau de liberdade é possível quantificar através de espectros de resposta os valores máximos
de resposta de um oscilador de vários graus de liberdade.
Para tanto relembremos que a resposta de um sistema de vários graus de liberdade
pode ser imaginada como a sobreposição das respostas para cada um dos seus modos de
vibração. Dado que a configuração de vibração para um determinado modo é conhecida, a
resposta para esse modo pode ser idealizada como a resposta de um oscilador de um grau
de liberdade. Na realidade, tendo em conta que para um determinado modo, as relações
entre os deslocamentos dos diversos graus de liberdade são interdependentes, o sistema
comporta-se como um sistema com um único grau de liberdade, que não é mais do que a
amplitude pela qual tem de ser corrigida a configuração de vibração respectiva.
No estudo sísmico de estruturas por espectros de resposta a aceleração do solo pode
ser escrita na forma
qs(t) = qsx(t) + q sy(t) + q sz(t). . . . . . . .
( 1 5 3 )
em que as parcelas representam as acelerações do solo segundo as três direcções x, y, e
z. Isolando o efeito da aceleração do solo segundo a direcção x conclui-se que a equação de
movimento relativa ao modo i é então
q iG + 2ζ ip i q iG + p i2 q iG = - P ix qsx . . . . .
( 1 5 4 )
em que pi e ζi representam respectivamente a frequência e o coeficiente de
amortecimento do modo de ordem i e qiG é a iésima coordenada generalizada ou, o que é
igual, a amplitude da iésima configuração modal.
A variável Pix designada de factor de participação modal (modo i, direcção x) é
definida para uma acção de base rígida da seguinte forma (ver eqs. 132 e 133)
P ix = φ i
T
M 1 x ( 1 5 5 )
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Dinâmica de Estruturas 70
pelo que se constata que o factor de participação modal é uma entidade independente
da acção que solicita a estrutura. Este factor, que apresenta na eq.154 um efeito amplificador
da aceleração do solo, depende essencialmente do conteúdo e coerência dos movimentos
segundo x da iésima configuração modal.
Recorrendo ao conceito de deslocamento espectral, o valor máximo da iésima
coordenada generalizada é então
qiGm ax
= Pi x
Sx(p
i)
x
( 1 5 6 )
em que Sx (pi) é o deslocamento espectral na direcção x, correspondente à frequência
pi. Nestas circunstâncias, o campo de deslocamentos máximo que a estrutura apresenta
considerando a acção específica que solicita a estrutura e a contribuição exclusiva do modo i
obtém-se da seguinte forma
q i
(max)= q iG
(max) φ i = P ix S x(p i) φ ix x
( 1 5 7 a )
De modo idêntico as respostas máximas correspondentes às direcções y e z são
qi
(max)= q
iG(max)
φi
= Piy
Sy(p
i) φ
iy y
( 1 5 7 b )
q i
(m ax)= q iG
(m ax) φ i = P iz S z(p i) φ
iz z
( 1 5 7 c )
em que os termos Piy e Piz representam os factores de participação do modo i
relativamente às direcções y e z
Piy
= φiT
M 1y
( 1 5 8 )
Piz
= φiT
M 1z
( 1 5 9 )
Na hipótese, preconizada pelo R.S.A., de independência dos movimentos do solo
segundo as diversas direcções, a resposta total máxima correspondente ao modo i é então
qi
(max)= (q
ix
(max))2+ (q
iy
(max))2+ (q
iz
(max))2
( 1 6 0 )
ou alternativamente
qi
(max)= q
ix
(max)+ q
iy
(max)+ q
iz
(max)
( 1 6 1 )
O cálculo da resposta modal máxima a partir da soma dos valores absolutos das
componentes nas três direcções ortogonais, não estando de acordo com o previsto como
admissível no R.S.A, é no entanto extremamente semelhante ao ali preconizado. Com efeito,
o R.S.A. permite que o cálculo da resposta máxima possa ser efectuado através duma
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Dinâmica de Estruturas 71
combinação quadrática das respostas nas três direcções (eq. 160). De salientar que o facto de
se efectuar uma soma dos valores absolutos das componentes nas três direcções ortogonais,
representa em relação às condições previstas no regulamento, uma análise ligeiramente mais
conservativa. Dado que na maioria dos casos há uma preponderância nítida de uma dascomponentes, os dois métodos acabam no entanto por conduzir a resultados similares.
Relativamente à regra de combinação das respostas máximas para os diferentes
modos, o R.S.A. prevê que a resposta global possa ser calculada por uma combinação
(também quadrática) das respostas calculadas para cada um dos modos.
q(max)
= ∑i
(qi
(max))2
( 1 6 2 )
Refira-se que a regra de combinação quadrática entre os modos se encontra
condicionada no R.S.A. a determinadas hipóteses relativas ao afastamento das frequências
próprias do sistema. Quando tais hipóteses são violadas é ainda possível efectuar uma
combinação das respostas modais, desta feita através duma combinação quadrática
completa -CQC- (ver secção 3.3).
Nas condições da combinação quadrática simples, a ordem pela qual se efectuam as
combinações é irrelevante, já que, tratando-se de combinações quadráticas, pode ser
calculada primeiramente a resposta para uma determinada direcção através da combinação
das respostas modais para essa mesma direcção, e posteriormente ser feita a combinação das
respostas para cada uma das direcções.
Tendo como objectivo a utilização da formulação apresentada a aplicações destinadas
a microcomputador, como alternativa mais elaborada ao método das forças estáticas
equivalentes, apresentam-se seguidamente alguns exemplos, necessariamente sumários, das
diversas fases do algoritmo proposto.
Suponha-se para começar que um oscilador de um grau de liberdade (peso W) está
sujeito na zona A, a uma acção sísmica tipo 1 em terreno tipo II e que o seu amortecimento é
de 5%. Suponha-se ainda que a frequência própria desse oscilador é de 1.5 Hz . De acordo
com a Fig. III-3 do R.S.A., o valor de aceleração espectral correspondente a essa frequência e
amortecimento é de 200 cm/seg2 o que corresponde a dizer que a massa (m) desse oscilador
vai ficar sujeita a uma força horizontal igual a 200*m o que é o mesmo que dizer que o
coeficiente sísmico é de 200/980 ou seja 20.5%. Assim, uma análise "dinâmica" simplificada
permite determinar a frequência própria do sistema e, conhecida a aceleração espectralcorrespondente, calcular as forças actuantes ao nível do grau de liberdade ((w/980)*200).
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Dinâmica de Estruturas 72
No caso de osciladores de vários graus de liberdade, o processo torna-se mais
complexo, mas é ainda relativamente simples, quando aplicado a análises planas de
estruturas de edifícios em que se possa supôr que devido à elevada rigidez dos pavimentosno seu próprio plano, possuem apenas um grau de liberdade por piso.
Para tanto, torna-se primeiro necessário determinar as frequências e os modos de
vibração. Na realidade não é necessário calcular todas as frequências e modos de vibração, já
que, como veremos, apenas alguns dos modos, geralmente os que correspondem a
frequências mais baixas, têm contribuição efectiva na resposta.
A análise é efectuada modo a modo, após o que se efectua uma combinação dasrespostas modais. Depois da determinação das frequências f j (Hz) e modos de vibração vij
torna-se necessário calcular para cada modo de vibração j, a massa efectiva ou generalizadadesse modo M j e o " factor de contribuição" (não confundir com factor de participação) desse
modo para a resposta ao sismo P j .
Se denominarmos por mi a massa correspondente ao grau de liberdade i e por vij o
valor correspondente ao elemento de ordem i do modo de vibração j , por hipótese
normalizado por qualquer outro critério que não o da normalização relativamente à matriz
de massas.
M j
= ∑i
miv
ij2
( 1 6 3 )
P j
= ∑i
miv
ij
( 1 6 4 )
Saliente-se que o quociente Error!não é mais do que o factor de participação do modo
j definido na eq.155
Uma vez calculados estes valores, os deslocamentos qij e as forças modais Fij máximas
(deslocamentos e forças máximas para o grau de liberdade i, para a resposta no modo de
vibração j) podem ser calculados
qij
= vij M
j
P j
4π2f j2
Saj
( 1 6 5 )
Fij
= mi
vij
M j
P j S
aj
( 1 6 6 )
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Dinâmica de Estruturas 73
em que Saj é o valor da aceleração espectral correspondente à frequência f j. De notar
que fj é expresso em Hz o que explica o denominador 4p2f j2 na primeira expressão.
A partir dos valores dos deslocamentos e forças ao nível dos diversos graus deliberdade, é possível determinar os deslocamentos e esforços em qualquer ponto daestrutura. Designaremos qualquer uma dessas quantidades por r j, seja esforço ou
deslocamento, em que o índice j significa que se trata da resposta no modo de vibração j.
Adoptando a já referida regra de combinação quadrática das respostas modais a resposta
máxima global é então:
r = ∑ j
r j2
( 1 6 7 )
Como exemplo de aplicação far-se-á a análise da estrutura de três graus de liberdade
(um por piso) para a qual já foram determinadas as frequências próprias e os modos de
vibração.
Na Figura 3.1 apresentam-se as diversas grandezas necessárias para os cálculo a
desenvolver.
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Dinâmica de Estruturas 74
v
SM P
q
Fig. 3.1 - Exemplo de análise simplificada por espectro de resposta
De salientar em relação ao quadro de cálculo da fig. 3.1 , que todos os valores qij e Fij
são calculados tendo em atenção os respectivos sinais.
Faça-se uma análise dos resultados em termos das forças obtidas. Para a resposta no
primeiro modo de vibração ( j=1) obtiveram-se os seguintes valores
F1
= 823 KN
F2
= 803 KN
F 3 = 494 KN
a que corresponde a um esforço tranverso total na base de
Fh
= ∑i
Fi= 2120 KN
Se combinarmos quadraticamente os valores correspondentes ao 1º e ao 2º modos devibração obtém-se:
F1
= 8232
+ (-403)2
= 916 KN
F2
= 8032
+ 3682
= 883 KN
F3 = 494
2+ 548
2= 737 KN
Fh
= 21202
+ 5132
= 2181 KN
Se incluirmos nessa combinação os resultados para o terceiro modo obtém-se:
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Dinâmica de Estruturas 75
F1
= 8232
+ (-403)2
+ 732
= 919 KN
F2
= 8032
+ 3682
+ (-278)2
= 926 KN
F3 = 4942 + 5482 + 3542 = 818 KN
Fh
= 21202
+ 5132
+ 1492
= 2186 KN
De salientar que o valor de Fh não é igual à soma das forças aos vários níveis (∑Fi). Tal
deve-se ao facto de cada um dos valores das forças aos diversos níveis ser o valor máximo
esperado para essas forças, enquanto que o valor máximo da força ao nível do solo, não tem
necessariamente de ser a soma dos máximos, dado que esses máximos podem não ocorrer
simultaneamente.
Tal facto significa que ao fazer uma análise por espectro de resposta, a resposta para
cada modo de vibração tem de ser calculada separadamente, seja ela um deslocamento, um
esforço normal ou um momento flector numa dada barra, e só depois dessa quantidade ser
calculada para todos os modos de vibração é que a combinação pode ser efectuada.
Chame-se também a atenção para o facto de que, por vezes, não se torna necessário
calcular a resposta para todos os modos de vibração. Com efeito, se se tivesse desprezado a
contribuição do terceiro modo, estar-se-ia a cometer um erro por defeito de apenas 0.2% parao valor da força Fh. Esse erro seria de 3% se se tivesse desprezado a influência dos 2º e 3º
modos. Por aqui se pode ver que os modos que correspondem a frequências mais altas, têm
geralmente uma contribuição menor para o valor global da resposta.
Para tal concluir basta atentar que a contribuição imputável a cada modo para a
resposta final resulta dos seguintes dois efeitos: factor de participação modal e deslocamento
espectral. Os factores de participação associados aos modos inferiores são, regra geral,
bastante maiores que os restantes. Este facto deve-se à maior coerência apresentada pelas
configurações modais mais baixas (com todas as parcelas envolvidas no cálculo do factor de
participação aditivas). Relativamente ao efeito do deslocamento espectral é imediado
concluir que nos espectros preconizados pelo R.S.A. se observa uma atenuação do
deslocamento particularmente significativa a partir de valores na vizinhança de 1 Hz.
Repare-se apenas que no cálculo de grandezas estáticas (forças, etc..) pretende-se não o
deslocamento mas sim a aceleração espectral, grandeza sensivelmente constante a partir dos
1-2 Hz. Nestas situações apenas se faz sentir o efeito do factor de participação modal pelo
que a contribuição dos modos superiores já não é tão desprezável quanto o verificado no
cálculo de grandezas cinemáticas.
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Dinâmica de Estruturas 76
Este tipo de considerações não deve contudo ser cegamente generalizado pois casos há
em que certas especificidades próprias de determinadas estruturas se sobrepõem aos efeitos
analizados originando contribuições significativas dos modos superiores. Citam-se a títulode exemplo as estruturas muito flexíveis (pontes, edifícios altos, ..etc) em que, devido às
baixas frequências dos modos fundamentais, os maiores deslocamentos espectrais estão
associados a modos que não os de frequências mais baixas.
Finalmente comparem-se os resultados obtidos, com os que se obteriam efectuando
uma análise estática equivalente de acordo com o previsto no R.S.A. (pags. 48 a 52).
De acordo com o R.S.A. teríamos como alternativa calcular a frequência própria pelafórmula simplificada
f =n
12
ou ainda pelo método de Rayleigh.
Pela primeira via obter-se-ia 4Hz, a que corresponderia, para terreno tipo II, um
coeficiente sísmico de 0.40. Pela segunda via admita-se que se obteria a frequência correcta
de 2.31 Hz, a que corresponde um coeficiente sísmico de 0.304. A razão para esta
disparidade deverá residir no facto de que o exemplo seleccionado não representa
convenientemente as características de rigidez/massa dos edifícios reais para os quais foi
ajustada a expressão de cálculo aproximada de frequências próprias preconizada no R.S.A..
Compararemos os resultados que se obtêm pelas duas vias, admitindo o valor da
frequência fundamental determinado pelo método de Rayleigh. Nesse caso, as forças aos
diversos níveis podem ser calculadas de acordo com o regulamento (pag. 98) e admitindo
alturas uniformes entre pisos (h) :
F1
=9.8*(100*3h+150*2h+200*h)
0.304*3h*200*9.8*(9.8*(100+150+200))= 1005 KN
F2
=9.8*(100*3h+150*2h+200*h)
0.304*3h*300*9.8*(9.8*(100+150+200))= 1005 KN
F3
=
9.8*(100*3h+150*2h+200*h)
0.304*1h*400*9.8*(9.8*(100+150+200))= 670 KN
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Dinâmica de Estruturas 77
O valor correspondente de Fh é de 2680 KN .
Tal representa um acréscimo de 22.6% em relação ao resultado previamente obtido. Sese fizer a comparação por exemplo entre os esforços inter-pisos (F1, F1+F2 e F1+F2+F3=Fh)
os acréscimos são respectivamente de 9.4%, 8.9% e 22.6%.
Se em vez de se ter utilizado o valor da frequência calculado, se tivesse optado pela
fórmula simplificada, o acréscimo, por exemplo do esforço ao nível do solo, seria de 61%.
As comparações aqui efectuadas não podem obviamente ser extrapoladas para todas
as situações. Poderá inclusive dar-se o caso de uma análise por meio de espectro de resposta
conduzir em certos pontos da estrutura a valores mais elevados. Esta comparação foi feita,
apenas com a intenção de sensibilizar para o facto de que genericamente é vantajoso
proceder a uma análise mais elaborada, dado que de um modo geral conduzirá a esforços
menos elevados do que aqueles que se obtêm por uma análise simplificada, em que,
obviamente, há um preço a pagar pela incerteza associada com as simplificações efectuadas.
Ainda de salientar que, os valores de F1, F2 e F3 que se apresentaram, não devem ser
utilizados para cálculo de esforços. Eles correspondem apenas aos valores máximos das
forças ao nível de cada piso, os quais não é lógico supor que actuem simultaneamente. Para
determinação dos esforços, devem pois calcular-se os esforços correspondentes a cada modo,
e apenas depois efectuar a combinação final.
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Dinâmica de Estruturas 78
3.3 - O método CQC de combinação modal
A versão original da análise por espectro de resposta realiza a combinação dasrespostas modais máximas através do método da combinação quadrática ou da raiz
quadrada da soma dos quadrados, que é vulgarmente designado por SRSS (Square- Root-of-
Sum-of-Squares).
De acordo com tal princípio a resposta total r(max), quer em termos de deslocamentos
quer em termos de forças, pode ser obtida por
r(max) = ∑ j
(r j(max))2
( 1 6 8 )
onde r j (max) é a resposta máxima no modo j.
A experiência de largos anos de aplicação permitiu detectar que para análise
tridimensional e no caso de existirem frequências próprias aproximadas que correspondam a
modos de vibração com componentes de torção importantes, o método pode causar erros
significativos.
Na sequência de tal observação, vários métodos de combinação das respostas modais
têm sido propostos. Um deles, o método da combinação quadrática completa, (Complete
Quadratic Combination) CQC , propõe uma metodologia que segue a filosofia base do SRSS
mas que entra também em linha de conta com a autocorrelação existente entre as respostas
modais.
Assim, propõe para uma componente típica de deslocamento, qk
qk = ∑i
∑ j
qki
µij
qkj
( 1 6 9 )
e para uma componente típica de força Fk
Os coeficientes de correlação modais, ij, são função da duração e do conteúdo de
frequência da acção e das frequências modais e seus amortecimentos. Quando a duração da
acção sísmica é suficientemente longa comparada com os períodos de vibração da estrutura,
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Dinâmica de Estruturas 79
e se o espectro de resposta é regular para uma larga faixa de frequências é possível
aproximá-los por
com r =p
i
p j
Para amortecimento modal constante ζ, a eq.171 reduz-se a
µij
=(1-r
2)2
+ 4ζ2r(1+r)
2
8ζ2(1+r)r
2
3
( 1 7 2 )
Para r=1 (pi=p j), µij=1 e para r=0 (frequências não relacionadas), µij=0, situação em
que os resultados obtidos pelo método de CQC coincidem com os obtidos pelo método de
SRSS.
De salientar que os termos cruzados das equações (169) podem tomar valores positivos
ou negativos consoante correspondam a respostas modais com o mesmo sinal ou sinais
opostos.
A partir dos coeficientes de correlação modais calcula-se a resposta da estrutura tendo
em conta a correlação entre as respostas modais (equações 169). Esta metodologia, dado não
afectar significativamente a complexidade ou tempo de execução da análise, é perfeitamente
justificada mesmo para casos em que a separação de frequências deixa antever ausência de
correlação entre as respostas modais.
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Dinâmica de Estruturas 80
3.4 - A adaptação para a consideração de movimentos de base independentes
3.4.1 - Necessidade da adaptação
A análise por espectro de resposta, ou mesmo a análise, no domínio do tempo, da
resposta de uma estrutura a uma acção sísmica definida através de um acelerograma são
apenas aplicáveis, da forma como foram previamente enunciadas, quando um mesmo
espectro, ou um mesmo acelerograma são aplicados a toda a base de ligação ao exterior
(espectro de base rígida ou acelerograma aplicado a toda a base da estrutura).
A fim de contemplar a possibilidade de existência de movimentos independentesaplicados a apoios individuais, torna-se necessário introduzir algumas alterações. Tais
alterações baseiam-se na metodologia que seguidamente se enuncia.
3.4.2 - Equações de movimento para excitações diferentes nos vários suportes
As equações gerais de movimento antes de aplicar as condições de fronteira podem ser
escritas da seguinte forma
Mc
qc
+ Cc
q* c
+ Kc
q* c
= Q. . . c
( 1 7 3 )
com
qc
=q
qb
( 1 7 4 )
em que e b são respectivamente os graus de liberdade acima dos apoios e os graus
de liberdade da base. Em relação aos primeiros tem-se
q = qs+ q*
(175)
sendo s os deslocamentos pseudo-estáticos (deslocamentos correspondentes à
deformada da estrutura resultante de deslocamentos estáticos impostos a nível dos apoios)
e * os deslocamentos relativos solo-estrutura.
Por outro lado, e dado não existirem forças aplicadas à estrutura mas tão somente
deslocamentos impostos na sua base, o vector de forçasc
pode também ser decompostonum sistema de forças aplicado ao nível dos graus de liberdade acima da base ,
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Dinâmica de Estruturas 81
necessariamente nulo, e num sistema de forças existente ao nível da base, b, o qual é igual
às reacções totais provocadas nos apoios pela acção sísmica ( ) diminuidas de um sistema
de forças auto-equilibrado que corresponde às reacções provocadas por movimentos
relativos impostos entre os vários apoios.
Qc
= =Q
Qb[ ] ]o
q[ q bK bb-K b)(T
-Rs
(
1 7 6 )
Tendo em conta a equação 176 e ainda que
+
=
]q*q
qb
[ ]q
qb
[s
( 1 7 7 )
fazendo a partição das matrizes (completas c) indicadas em 173,
M Mb
Mb b( M
b)T
K Kb
Kb b( K
b)T
C Cb
Cb b( C
b)T
q*.
q*
+ + =[ ]][[[ ]] ]] [[[ 0
Q]. .q. .q b b0 0
( 1 7 8 )
. .
resulta
M qs
+ M q*
+ Mb
qb
+ C q*
+ K q*
= 0. . . . . . .
( 1 7 9 a )
(Mb)
Tq
s + (M
b)T
q* + M
bbq
b (K
b)T
q*
=. . . . . .
=
+
q q bK b b-K b )(T
-
(Cb)
T q
*.+
sR
( 1 7 9 b )
podendo a equação 179 a) ser reescrita da seguinte forma
M q*
+ C q*
+ K q*
= - M qs
- Mb
qb. . .. .
( 1 8 0 )
Dado o princípio da reciprocidade
K qs
=+ Kb
qb
0
( 1 8 1 )
ou
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Dinâmica de Estruturas 82
K qs= - ∑
i
giq
ib
( 1 8 2 )
em quei é a coluna i da matriz b.
Considere-se
bi
= K-1
gi
( 1 8 3 )
Nesse caso
K-1
K qs
= - ∑i
K-1
giq
ib
( 1 8 4 )
ou ainda
q s = - ∑i
biq
ib
( 1 8 5 )
em que i é portanto o vector deslocamento na estrutura devido a qib=1 ou seja, os
deslocamentos na estrutura devidos a um deslocamento unitário correspondente ao iésimo
grau de liberdade da base.
Nestas circunstâncias
qs = - ∑i
biq
ib
(
1 8 6 )
ou, transformando a eq. (180)
M q*
+ C q*
+ K q*
= - ∑i
M biq
ib
- Mb
qb
. . . . ...
( 1 8 7 )
No caso de não haver massas concentradas ao nível da fundação a eq. 187 reduz-se a
M q*
+ C q*
+ K q*
= - ∑i
M biq
ib
. . . ..
( 1 8 8 )
que é a equação fundamental de equilíbrio de movimento para movimentos de base
independentes.
De notar que no caso de haver um movimento de base rígida (i=1), i é um vector de
elementos unitários para os graus de liberdade correspondentes à direcção do movimento
pelo que a eq. 188 resulta em
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Dinâmica de Estruturas 83
+ C q + K q = - M 1 q
or outro lado, e feitas as devidas simplificações, a equação 179b pode ser usada para
determinar as reacções ao nível do solo.
al como foi mostrado na secção 3.4.2 a consideração de movimentos de baseindep
M q* * * b. . . . .
( 1 8 9 )
que é uma equação formalmente idêntica à equação 173.
P
3.4.3 - Os deslocamentos "Pseudo-Estáticos"
Tendentes, obriga à determinação dos coeficientes i definidos pela eq. 183.
Tais coeficientes não são mais do que os deslocamentos correspondentes à deformada
da estrutura quando "actuada" estaticamente por um deslocamento imposto a nível de um
dos apoios. Podem assim ser encarados como uma linha de influência correspondente a um
deslocamento unitário em um dos apoios. Dada a sua característica de corresponderem a
deslocamentos que se verificariam na estrutura se não existissem forças de inércia nem de
amortecimento, tais deslocamentos, quando multiplicados pelo correspondente valor do
deslocamento imposto num dos apoios são designados por deslocamentos "pseudo-
estáti
pois
necessário proceder separadamente, para cada um dos movimentos de base, a uma análise
estáti
e, através do número correspondente a cada grau de liberdade, garante-se que se
faz corresponder os deslocamentos calculados aos respectivos graus de liberdade em análise
dinâm
cos".
Numa análise sísmica por espectro de resposta com movimentos independentes dos
vários apoios, tais deslocamentos podem ser fornecidos como dados. Torna-se
ca prévia, para determinar os deslocamentos "pseudo-estáticos" correspondentes.
No seu cálculo podem utilizar-se as capacidades de análise estática do próprioprograma,
ica.
Os coeficientes i são posteriormente utilizados para "alterar" os factores de
participação de resposta modal, tal como será posteriormente descrito. Simultaneamente os
deslocamentos "pseudo-estáticos", bem como os esforços que lhes correspondem, são
também utilizados, como se verá também mais tarde, para calcular uma componente da
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Dinâmica de Estruturas 84
resposta que representa uma parcela "pseudo-estática" correspondente aos deslocamentos
relativos dos apoios.
epois de definida a acção sísmica na base de cada apoio, sob a forma de espectros de
respo
" paramovimentos unitários impostos separadamente a cada um dos graus de liberdade da base.
Assim sendo, os factores de participação, por exemplo do modo i para a direcção x, são para
cada
as em que o vector
3.4.4 - Resposta da Estrutura
D
sta diferenciados, procede-se a uma análise da resposta dinâmica de acordo com o
exposto nas secções 3.4.2 e 3.4.3.
Assim, são primeiramente determinados os deslocamentos "pseudo-estáticos
movimento de base dados por uma equação semelhante à eq. 155, que se repete
Pix
= φiT
M 1x
( 1 5 5 r e p )
m x é substituido pelo vector de deslocamentos "pseudo-estáticos"
j, qu
mplo se supõe ser segundo a direcção x).
A equação que permite calcular os "novos" factores de participação para o modo de
vibra
resposta estrutural é calculada para cada movimento de base j, por um processo
simila
e é o vector de deslocamentos correspondente a um deslocamento unitário segundo o
grau de liberdade da base j (que neste exe
ção i e movimento de base j é assim
Pixj
= φiT
M b j
( 1 9 0 )
A
r ao descrito nas eqs. 157 em que o vector é substituido pelo vector de deslocamentos
pseudo-estáticos.
Para um determinado apoio, a resposta total máxima é obtida pela soma das respostas
devid
ência estocástica entre os movimentos em
cada um dos apoios. Assim, parece correcto assumir que a parcela dinâmica da resposta
as aos movimentos correspondentes a cada um dos graus de liberdade de base do
respectivo apoio, segundo uma fórmula igual à da eq. 160 ou 161 e 162
Na combinação das respostas correspondentes a cada um dos apoios, e a fim de
calcular a parcela dinâmica correspondente à resposta máxima global, assumiu-se que de
acordo com o modelo idealizado, existe independ
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Dinâmica de Estruturas 85
máxim
amento estático igual ao valor de pico de deslocamento, imposto
no respectivo grau de liberdade de base. Tal como se fez para a componente dinâmica da
respo
Finalmente, pode também optar-se por uma combinação quadrática das parcelas
"dinâmica" e "estática" da resposta. Assim, a resposta total é, no seguimento das equações 18,
e escrita para um valor de resposta generalizado (deslocamento ou força) :
a total pode ser obtida fazendo uma combinação quadrática das respostas dinâmicas
devidas aos movimentos de cada um dos apoios.
Seguidamente, procede-se, também com base nos valores obtidos pela análise pseudo-estática, à determinação dos deslocamentos e esforços estáticos correspondentes a um
deslocamento de base de cada apoio. Considera-se para tanto o valor de pico de
deslocamento do solo para a acção sísmica em questão. Assim para cada um dosmovimentos de base (qb
j), calculam-se os esforços e deslocamentos introduzidos na
estrutura, para um desloc
sta global, faz-se uma combinação quadrática das parcelas estáticas das respostas para
cada movimento de base.
qk
= ∑ j
(∑m
∑n
qkm
µm n
qkn
) 2+ ∑ (T
kjq
b
j)
2
j j
em que Tkj é a matriz de transformação do deslocamento de base j na resposta
generalizada k . A primeira parcela da equação 191 corresponde à componente dinâmica daresposta e a segunda à componente estática.
( 1 9 1 )
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Dinâmica de Estruturas 86
BIBLIOGRAFIA
1 - DYNAMICS OF STRUCTURES
Ray W. Clough e Joseph Penzien
McGraw-Hill- Internacional Student Edition - 1975
2 - VIBRATION PROBLEMS IN ENGINEERING
S. Timoshenko, D. H. Young e W. Weaver, Jr.
John Wiley & Sons, Inc. , 4th Edition - 1974
3 - NUMERICAL METHODS IN FINITE ELEMENTS ANALYSIS
Klaus-Jürgen Bathe e Edward L. Wilson
Prentice-Hall, Inc. - 1976
4 - DYNAMICS OF STRUCTURES
W. C. Hurty e M. F. Rubinstein
Prentice-Hall, Inc. - 1970
5 - DINÂMICA DE ESTRUTURAS
R. Teixeira Duarte
Curso de Mestrado em Engª. de Estruturas - IST - 1983
6 - DINÂMICA DE ESTRUTURAS
Artur Ravara
Laboratório Nacional de Engenharia Civil - 1969