DISCIPLINA Geometria Analítica e Números...
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Cláudio Carlos Dias
Neuza Maria Dantas
Geometria Analítica e Números ComplexosD I S C I P L I N A
Produto vetorial e produto misto
Autores
aula
12
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Dias, Cláudio Carlos. Geometria analítica e números complexos / Cláudio Carlos Dias, Neuza Maria Dantas. – Natal, RN : EDUFRN, 2006.
320 p. : il
1. Geometria analítica plana. 2. Geometria analítica espacial. 3. Números complexos. I. Dantas, Neuza Maria. II. Título.
ISBN 978-85-7273-331-1 CDU 514.12RN/UF/BCZM 2006/88 CDD 516.3
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos 1
a aula passada (aula 11 – Produto escalar), tratamos do produto escalar de vetores no plano e no espaço que associava a cada par de vetores um número real. Nesta aula, você vai estudar o produto vetorial que associa a cada par de vetores no espaço
um outro vetor no espaço, ortogonal a esse par. Em seguida, introduziremos o produto misto que associa a cada terno de vetores no espaço um número real obtido, fazendo uma combinação dos produtos vetorial e escalar.
Apresentação
Objetivos
Ao término desta aula, espera-se que você seja capaz de usar o produto vetorial na solução de problemas geométricos, bem como utilizar o produto misto para cálculo de volumes de paralelepípedos.
N
u
v
w
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos2
Produto vetorial
A introdução do produto vetorial é motivada pelo fato de que, para a solução de vários problemas em Geometria, é necessário encontrar um vetor ortogonal a dois outros vetores não colineares u e v dados.
Como achar, então, um terceiro vetor w ortogonal a ambos? A resposta a essa pergunta, do ponto de vista geométrico, é bem simples, pois basta tomar o plano determinado pelas duas retas que contêm os vetores u e v, em seguida, considerar uma terceira reta perpendicular a esse plano. Agora, basta escolher um vetor w sobre essa reta com a mesma origem de u e v. Veja a ilustração na figura a seguir.
Figura 1 – Um vetor w perpendicular a dois vetores u e v
Do ponto de vista algébrico, a pergunta anterior é dada nos cálculos a seguir. Você vai observar que os cálculos são extensos, mas são meras repetições de contas simples, tais como multiplicar uma equação por um número e somar ou subtrair duas equações membro a membro. Senão vejamos, para que w seja ortogonal a u e v, lembre-se da aula 11 (Produto escalar), devemos ter os produtos escalares de w por u e v nulos, ou seja,
Se e , usando a definição de produto escalar, temos que
Observe que queremos determinar x, y e z. Para tanto, multiplicamos a primeira equação do sistema (I) por f e a segunda por c para obter
(I){
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos 3
Agora, subtraindo a segunda equação anterior da primeira, o termo que contém z desaparece e ficamos com . Colocando x e y em evidência, ficamos com
Desse modo, fica eliminada a incógnita z.
Vamos proceder como anteriormente para eliminarmos a incógnita y. Para tanto, multiplicaremos a primeira equação do sistema (I) por e; e a segunda por b, para obter
Como fizemos anteriormente, subtraindo a segunda equação da primeira, o termo que contém y desaparece e ficamos com
Agora, para eliminarmos a incógnita x do sistema (I), multiplicamos a primeira equação por d e a segunda por a, ficando com
Subtraindo a segunda equação anterior da primeira, o termo que contém x desaparece e ficamos com
Juntado as equações (II), (III) e (IV) num mesmo sistema, obtemos
Chamaremos de A o coeficiente de x na primeira equação de (V), isto é, A af cd. Observe que o coeficiente z na terceira equação é af cd cd af que é igual a A. Faça agora B bf ce, que é o coeficiente de y na primeira equação, e observemos
que o coeficiente de z na segunda equação é ce bf bf ce B. Sendo agora C ae bd o coeficiente de x na segunda equação, segue-se que o coeficiente de y na terceira equação é bd ae ae bd C. Agora, com essas novas notações dos coeficientes em termos de A, B e C, o sistema (V) pode ser reescrito como
(II)
(III)
(IV)
(V)
(VI)
{
{
{
{
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos4
Observemos que uma solução da primeira equação do sistema (VI) feita tomando-se x B e y A. Pois, substituindo esses valores na equação, ficamos com
Ax By AB BA
Com os valores de x B e y A, substituídos nas segunda e terceira equações do sistema (VI), obtemos
Atribuindo o valor C para z nas equações anteriores, vemos que
CB Bz CB BC CA Az CA AC
ou seja, z C satisfaz às duas equações.
Resumindo, temos que x B, y A e z C é uma solução do problema original, isto é, são as coordenadas de um vetor w ortogonal aos vetores e .
Desse modo,
Exemplo 1Dados e calcule u v.
Solução
Usando as notações anteriores para u e v , temos que
.Logo,
Donde .
Veja a seguir, na Figura 2, suas representações.
{
{
{
v
z
y
x
u
u x v
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos 5
Figura 2 – O produto vetorial de por
É muito penoso memorizar a fórmula para o produto vetorial da forma como foi apresentada. Fazendo uso de determinantes, vamos estabelecer um método de cálculo que simplifique a memorização dessa fórmula.
Na aula 9 (Vetores no plano e no espaço tridimensional), mostramos que um vetor qualquer se escreve como , sendo que ,
e são vetores unitários na direção dos eixos coordenados.
Feito isso, se e são vetores que desejamos calcular seu produto vetorial, procede-se ao cálculo simbólico de um determinante no qual aparecem na primeira linha i, j, k, na segunda linha as coordenadas a, b, c de u e na terceira linha as coordenadas d, e, f de v a saber
Resolvendo-se esse determinante de acordo com elementos da primeira linha, multiplica-se i pelo determinante da matriz obtida eliminando-se a linha (primeira) e a coluna (primeira) a que i pertence; em seguida, multiplica-se j pelo determinante da matriz que resta quando se elimina a linha (primeira) e a coluna (segunda) a que j pertence, trocando-se o sinal desse determinante; finalmente, multiplica-se k pelo determinante obtido, eliminando-se a linha (primeira) e a coluna (terceira) a que k pertence.
Pelo que foi descrito anteriormente, temos
.
Atividade 1
Atividade 2
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos6
Calcule todos os produtos vetoriais envolvendo os vetores i,j,k
Observação 1 – Você deve ter notado na atividade 1 que ,,
Mostre que e que
Mas,
.
E essas são precisamente as coordenadas do vetor u v.
Resumindo, temos que
u x v
v x u
v
v
u
(b)(a)
u
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos 7
Isso acontece porque escolhemos , de modo que formem um sistema que satisfaz a “regra do saca-rolha”. Isso significa que, se
é o ângulo entre u e v, e se acoplarmos um parafuso na origem comum dos vetores e ortogonal a esses vetores, o sentido de é o mesmo sentido para onde aponta o parafuso quando se gira u para v através do ângulo entre eles. A figura a seguir ilustra essa situação.
Figura 3 – 3a) Ao ser girado de u para v, o parafuso está sendo desapertado, logo ele está subindo, isto é, está
apontando para cima. 3b) Ao ser girado de v para u, o parafuso está sendo apertado, logo ele está
descendo, isto é, está apontando para baixo.
Na atividade 1, você deve ter comprovado essa regra.
Uma propriedade importante do produto vetorial é a distributividade, ou seja, . Para confirmamos isso, sejam ,
e então
.
Segundo uma propriedade dos determinantes, esse determinante é a soma dos seguintes determinantes
e
O primeiro representa e o segundo representa . Isso confirma que .
Atividade 3
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos8
Comprove a distributividade anterior com um exemplo particular de vetores u, v e w.
Um fato interessante é que a norma de pode ser dada em termos das normas de u e v do produto escalar de u por v. Mas, precisamente,
Para que isso seja verificado, lembremos que se e , então,
.
Desse modo,
.
Desenvolvendo as diferenças ao quadrado, ficamos com
Por outro lado,
.
Desenvolvendo os quadrados das somas e tendo eliminado os termos semelhantes, obtemos,
Essa expressão é a mesma, com exceção da ordem das parcelas, que a encontrada para . Donde se conclui que
v
u
||v||
||u||
||v||
sen
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos 9
Seja agora o ângulo entre u e v, como e , a fórmula anterior pode ser escrita como
Ou seja,
,
uma vez que , caso em que sen
Ora, , representa a área do paralelogramo determinado
por u e v uma vez que sua base é e a sua altura é (lembre-se de que“cateto oposto”
“hipotenusa”), conforme ilustrado na figura a seguir.
Como representa a área do paralelogramo determinado por u e v, isso pode ser utilizado para cálculo de áreas de triângulos no espaço, conhecidos os seus vértices.
Exemplo 2Determine a área do triângulo com vértices e .
Figura 4 – A área do paralelogramo determinado por u e v
Solução
A área solicitada do triângulo é a metade da área do paralelogramo determinado pelos vetores e como na figura seguinte.
z
Y
X
PQ
R
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos10
Figura 5 – A área do triângulo com vértices e
Nesse caso, a área do triângulo é . Sendo
e então Desse modo, a
área procurada é .
Observação 2 – Lembramos que o produto vetorial foi definido a partir das coordenadas de u e v. Isso nos leva a pensar que esse produto depende do sistema de coordenadas fixado. Mas, isso não acontece, uma vez que mostramos que seu comprimento é , sua direção é a direção ortogonal a u e v, seu sentido é determinado pela regra do saca-rolha e esses fatos não dependem do sistema de coordenadas.
O exemplo dado a seguir mostra que não vale a lei do corte para o produto vetorial, ou seja, é possível ter sem que seja igual a .
Exemplo 3A Figura 6 ilustra vetores e com , sendo .
Para tanto, são tomados vetores u, v e w em um mesmo plano com , onde é o ângulo entre u e v e é o ângulo entre u e w.
w
u
uxv = uxw
v
º-
v
u
uxv
vxu
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos 11
Figura 6 – Exemplo em que com
Observe que é o . Como e o , então, e têm o mesmo comprimento.
Esses vetores também têm a mesma direção, pois são ortogonais ao plano que contém u, ve w, pela regra do saca-rolha, eles têm também o mesmo sentido. Esses fatos nos permitem concluir que no entanto, .
Obtivemos anteriormente que
,
logo
.
Isso diz que e têm o mesmo comprimento, como são ambos ortogonais a ue v, segue-se que elas têm a mesma direção, logo, pela regra do saca-rolha, , isto é, são de sentido contrário. Esse fato pode ser também visto geometricamente conforme ilustrado na figura que segue.
Figura 7 –
A Figura 7 indica que, quando você vai de u para v através do ângulo o vetor aponta para cima e quando você vai de v para u o vetor aponta conforme diz a “regra do saca-rolha”.
Atividade 4
1
2
Exercícios
3
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos12
Tomando , verifique que
o que confirma que o produto vetorial não é associativo.
Observação 3 – Note que, para qualquer número real , os vetores ee têm o mesmo comprimento dado por a
mesma direção (ortogonal a u e v) e o mesmo sentido (verifique considerando . Para , são todos nulos, isso nos permite concluir que para
qualquer número real e quaisquer vetores u e v, tem-se
.
Dados os vetores u e v mostre que Conclua que
Calcule a área do paralelogramo determinado por u e v em que e
Sejam ee
Calcule
a)
b)
c)
d)
4
5
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos 13
Se u e v são vetores não colineares, represente por uma figura os vetores ee
Se u, v e w são vetores dois a dois ortogonais, mostre que
Produto misto
ara vetores v e w no espaço, sabemos que seu produto vetorial v w ainda é um vetor no espaço. Desse modo, dado um terceiro vetor u, também no espaço, pode-se fazer o produto escalar de u por v w, obtendo-se um número real. Esse produto
é dito o produto misto dos vetores u, v, e w, que é representado por .
Como nos casos de produto escalar e produto vetorial, é importante saber calcular esse produto em termos das coordenadas dos vetores dados. É o que faremos a seguir. Sejam
e em termos de determinantes, temos
Desse modo,
Entretanto, essa expressão é o desenvolvimento do seguinte determinante
seguindo os elementos da primeira linha. Pode-se concluir que
Convém notar que, como então,
P
v
w
u
v
w
u
||v xw||
vxw
h= ||u
|| co
s||u
||
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos14
Figura 8 – Paralelepípedo determinado pelos vetores u, v, e w
Para confirmar esse fato, lembremos que o volume de um paralelepípedo é dado multiplicando a área da base pela sua altura. No nosso caso, sabemos que a área da base é a área do paralelogramo determinado por v e w, a qual é , como mostrado no parágrafo anterior.
Para determinação da altura h desse paralelepípedo, chamamos de o ângulo entre os vetores e . Observe que . Veja isso na figura seguinte.
Figura 9 – O volume do paralelepípedo determinado por u, v, e w
Caso seja o o, então, cos é negativo e devemos ter uma vez que o .
Como vimos na aula 10 (Vetores no plano e no espaço tridimensional), se é o ângulo entre e , temos que
“área da base”.”altura”,
que é o que queríamos mostrar.
Mostraremos agora que o valor absoluto do produto misto, a saber ,tem uma interpretação geométrica bastante interessante. Esse valor absoluto representa o volume do paralelepípedo determinado por u, v, e w , descrito na figura a seguir.
Continuando os exercícios
6
7
8
Resumo
1
2
3
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos 15
Obtenha o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ee .
Determine as áreas das faces laterais do paralelepípedo da questão 6.
Sejam u, v, e w vetores tais que . Use propriedades dos determinantes para encontrar ee .
Nesta aula, você estudou os produtos vetorial e misto. Viu que o comprimento do produto vetorial de dois vetores representa a área do paralelogramo que eles determinam. Enquanto o valor absoluto do produto misto de três vetores representa o volume do paralelepípedo por eles determinado. Foi mostrado também que para o produto vetorial não vale a associatividade, a comutividade nem a lei do corte.
Auto-avaliação
Seu,v e w são vetores não nulos no espaço , sendo dois a dois ortogonais, conclua que são múltiplos escalares de w,v e u, respectivamente. Conclua
que e
Encontre um vetor u perpendicular ao plano determinado pelos três pontos.
Encontre a área do triângulo cujos vértices são os pontos P, Q e R do item 2 dessa auto-avaliação.
4
Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos16
A distância de um ponto B a um plano é o comprimento do segmento AB em que A está sobre o plano e é perpendicular a esse plano. Determine a distância da origem ao plano do item 2 anterior o qual é a componente ortogonal de sobre u.
Sugestões para resolução dos exercícios
1. A área do paralelogramo é dado por .
2. Faça primeiro o cálculo das operações entre parênteses para, em seguida, efetuar a outra operação.
3. Use a propriedade distributiva do produto vetorial em relação à soma. Para concluir, note que u e v são ortogonais a .
4. Desenhe primeiro , que é perpendicular a u e v, para em seguida desenhar e . Note que o segundo é perpendicular a u e u v .
5. Observe que u v é ortogonal a u e v; por hipótese, w também é, donde e são colineares. O mesmo raciocínio se aplica para mostrar que .
6. O volume do paralelepípedo é dado por .
7. As faces opostas têm áreas iguais, logo, basta calcular as áreas dos paralelogramos determinados por u e v, u e w, v e w, as quais são dadas, respectivamente, por
e .
8. A propriedade dos determinantes a ser usada é a que diz que, ao se trocar duas linhas vizinhas de um determinante, este muda de sinal, isto é, será multiplicado por -1.
ReferênciasANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Mcgraw – Hill, 1987. 2v.