ANDR HORCIO CAMARGO CAREZIA

REDUO ADAPTATIVA DE ECO E DE

RUDO PARA TERMINAIS VIVA-VOZ

Dissertao apresentada Escola Poli-tcnica da Universidade de So Paulopara obteno do ttulo de Mestre emEngenharia.

So Paulo2002

ANDR HORCIO CAMARGO CAREZIA

REDUO ADAPTATIVA DE ECO E DE

RUDO PARA TERMINAIS VIVA-VOZ

Dissertao apresentada Escola Poli-tcnica da Universidade de So Paulopara obteno do ttulo de Mestre emEngenharia.

rea de concentrao:Sistemas Eletrnicos

Orientador:Prof. Max Gerken

So Paulo2002

Carezia, Andr Horcio CamargoReduo adaptativa de eco e de rudo para terminais viva-voz.So Paulo, 2002.140p.

Dissertao (Mestrado)Escola Politcnica da Universidadede So Paulo. Departamento de Engenharia de Telecomunica-es e Controle.

1. Cancelamento de eco acstico 2. Supresso de rudo parasinais de voz 3. Algoritmos adaptativos I. Universidade deSo Paulo. Escola Politcnica. Departamento de Engenhariade Telecomunicaes e Controle II. t

Para meus pais e Ana Cndida

Sumrio

1 Apresentao 1

2 Aspectos Tericos 62.1 Cancelamento de Eco Acstico . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 As diferentes abordagens . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Algoritmo RLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.4 Experimento computacional . . . . . . . . . . . . . 122.1.5 O algoritmo LSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Reduo de Rudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1 Banco de filtros: fundamentos . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Resposta em freqncia . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.3 Estrutura polifsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.4 Subtrao espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.5 Estimao estatstica do rudo . . . . . . . . . . . . 422.2.6 Ponderao psicoacstica . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Comentrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Implementao Prtica 503.1 Processador SHARC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Cancelamento de eco acstico . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.1 Ncleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.2 Complexidade computacional . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Subtrao espectral do rudo . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

I

SUMRIO II

3.3.1 Processamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.2 Filtros e tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Integrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.5 Comentrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Resultados 734.1 Medidas em campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Cancelamento de eco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2.2 Especificaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3 Reduo de rudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3.2 Especificaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.4 Sistema integrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5 Comentrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5 Concluses 87

A Listagens Matlab 90A.1 Algoritmo LMS convencional . . . . . . . . . . . . . . . . 91A.2 Algoritmo RLS convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . 92A.3 Filtro passa-baixas (janela de Kaiser) . . . . . . . . . . . 93A.4 Coeficientes para os filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.5 Tabelas de senos e cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B Listagens SHARC 97B.1 Reduo de rudo (em linguagem C) . . . . . . . . . . . . 98B.2 Cancelamento de eco (Assembly) . . . . . . . . . . . . . . 107

C Artigo SBT 1999 112

D Artigo ICASSP 2001 119

Lista de Figuras

1.1 Aplicao de terminal viva-voz . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Diagrama de blocos para o cancelador de eco acstico. . . 82.2 Filtro transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Resposta impulsiva (janelada) da caixa usada no experi-

mento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Curvas de aprendizado para o exemplo. . . . . . . . . . . 142.5 Fluxograma do filtro em trelia utilizado no algoritmo

LSL com estimao de erros de predio a priori. . . . . . 172.6 Diagrama de subtrao espectral bsica. . . . . . . . . . . 202.7 Anlise espectral com banco de filtros passa-baixas . . . 212.8 Anlise espectral com banco de filtros passa-faixa . . . . 242.9 Sntese espectral com banco de filtros passa-baixas. . . . 262.10 Sntese espectral com banco de filtros passa-faixa. . . . . 292.11 Clculo de um sistema de mnima fase usando transfor-

mada de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.12 Resposta impulsiva do filtro prottipo . . . . . . . . . . . 352.13 Resposta em freqncia do filtro prottipo . . . . . . . . . 362.14 Estrutura polifsica de anlise. . . . . . . . . . . . . . . . 382.15 Estrutura polifsica de sntese. . . . . . . . . . . . . . . . 392.16 Leis para supresso de rudo. . . . . . . . . . . . . . . . . 412.17 Funo de espalhamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1 Diagrama de blocos do processador SHARC . . . . . . . . 52

III

LISTA DE FIGURAS IV

3.2 Diagrama de condies para funcionamento paralelo dasunidades computacionais do SHARC. . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Resposta impulsiva do filtro prottipo . . . . . . . . . . . 693.4 Resposta em freqncia do filtro prottipo . . . . . . . . . 703.5 Filtros individuais e erro de reconstruo para M = 64 e

r = 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1 Resposta impulsiva para o veculo usado nos testes. . . . 764.2 Influncia de L no AEC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3 Influncia do rudo de medida no AEC. . . . . . . . . . . . 784.4 Influncia de sinal de voz local no AEC. . . . . . . . . . . 794.5 Redutor de rudo para SNR alto . . . . . . . . . . . . . . . 814.6 Redutor de rudo para SNR baixo . . . . . . . . . . . . . . 824.7 Redutor de rudo para SNR varivel . . . . . . . . . . . . 834.8 Cancelamento de eco + Reduo de rudo . . . . . . . . . 854.9 Reduo de rudo + Cancelamento de eco . . . . . . . . . 86

Lista de Tabelas

2.1 Algoritmo LMS convencional. . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Algoritmo RLS convencional. . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Algoritmo LSL convencional. . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Algoritmo EFLSL modificado. . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Regras para supresso de rudo. . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 Bandas crticas na faixa telefnica. . . . . . . . . . . . . . 46

3.1 Grupos de registradores no SHARC. . . . . . . . . . . . . 533.2 Ncleo do algoritmo EFLSL modificado. . . . . . . . . . . 553.3 Ncleo do algoritmo EFLSL modificado, com equaes re-

ordenadas e identificadores atrelados aos operandos. . . 563.4 Representao alternativa do algoritmo EFLSL . . . . . 583.5 Quadro mostrando o contedo dos registradores imedia-

tamente antes de cada ciclo de execuo. . . . . . . . . . . 603.6 Endereamento para o algoritmo EFLSL . . . . . . . . . 613.7 Diagrama de transferncias de memria . . . . . . . . . . 623.8 Modificadores de ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1 Combinaes de parmetros para avaliao geral do can-celador de eco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Especificaes tcnicas do bloco de cancelamento de eco. . 794.3 Combinaes de parmetros para avaliao do redutor de

rudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.4 Especificaes tcnicas do bloco de reduo de rudo. . . . 84

V

Resumo

H um grande interesse hoje em desenvolver terminais viva-voz quepermitam aos participantes de uma conversa distncia contarem comum bom grau de naturalidade e inteligibilidade.

O objetivo deste trabalho apresentar soluo para dois impedi-mentos que surgem quando se deseja projetar um terminal viva-vozpara ser utilizado em automveis: o eco acstico resultante do acopla-mento entre microfone e alto-falante do terminal; e o rudo ambienteproduzido por exemplo pelo vento, pneus e motor do veculo.

A soluo proposta envolve o uso de filtros adaptativos e alteraesno espectro do sinal de voz para minimizar os problemas menciona-dos. Os aspectos tericos so abordados de forma breve, sem deixarno entanto que nenhum detalhe importante fique de fora. Uma imple-mentao prtica e eficiente em processador digital de sinais um dosdestaques do trabalho.

VI

Abstract

There is currently great motivation in developing hands-free deviceswhich offer users, engaged in a telephone conversation, a good level ofnaturalness and intelligibility.

In this work, the goal is to present a solution for two well-knownproblems that occur when designing a hands-free device for use in au-tomobile environments: (1) the acoustic echo coupling between micro-phone and speaker, and (2) the background noise generated for exam-ple by wind, tires and vehicle engine.

The proposed solution includes adaptive filtering techniques andmodifications in the speech signal spectrum, in order to minimize thetwo problems above. Theoretical issues are briefly analyzed, howeverthe author believes no relevant detail is kept out. Highlighted in thereport is a practical and efficient implementation of the algorithms ina modern digital signal processor.

VII

Contribuies deste trabalho

Mtodo eficiente de implementao de seqncia de operaes dotipo ab + cd em processador digital de sinais com assembly alg-brico;

Projeto de filtros de reconstruo quase-perfeita com atraso pe-queno, para uso em estrutura polifsica;

Implementao integrada do cancelador de eco e do redutor derudo ambiente;

Implementao de conceitos psicoacsticos no algoritmo de sub-trao espectral para reduo de rudo;

Implementao de tcnicas de estimao do perfil do rudo sem ouso de detectores de atividade vocal;

Testes positivos de qualidade feitos com sinais e situaes reais; osistema aprimora a experincia de estabelecer uma comunicaomvel em automveis.

VIII

Captulo 1

Apresentao

Em 1982, quando o FCC1 autorizou os servios de telefonia mvel, umanova indstria comeou seu caminho evolutivo para a situao que seapresenta hoje: milhes de telefones mveis em operao, permitindo acomunicao de voz e dados em qualquer lugar, desde a prpria casa ouescritrio, nas horas de lazer e at nas ruas e dentro dos automveis.

Quando se pensa no uso de telefones celulares em automveis, vm mente as preocupaes com o conforto e a segurana; por isso, h hojeum grande interesse em desenvolver terminais viva-voz que permitamaos participantes de uma conversa distncia contarem com um bomgrau de inteligibilidade e naturalidade. Esses terminais avanados tra-tam de resolver ou minimizar dois problemas (ver Figura 1.1 na pginaseguinte):

O eco acstico resultante do acoplamento entre o alto-falante, o ambi-ente e o microfone; e

O rudo ambiente, do prprio motor do carro, dos pneus e do vento najanela que perturbam a voz local2, reduzindo a relao sinal-rudo

1Federal Communications Commission: Agncia do governo americano que regulao funcionamento dos sistemas de comunicao nos EUA, alm de diversos aspectosdos sistemas de comunicao no mundo todo.

2local e remoto ou distante: termos usados no texto para diferenciar o usurio de

1

Apresentao 2

Figura 1.1: Terminais viva-voz so usados em automveis para garantir

segurana e conforto ao usurio.

devido distncia entre o usurio local e o microfone do terminalviva-voz.

O objetivo desta dissertao apresentar um sistema avanado paracomunicao de voz que procure corrigir os problemas antes menciona-dos (e representados pelas duas linhas tracejadas na Figura 1.1).

As pessoas conversam quase sempre na presena de ecos, que soproduzidos pelas reflexes dos sinais de voz nas paredes, objetos e ja-nelas. Normalmente o atraso entre o sinal de voz e o eco pequeno (daordem de alguns poucos milissegundos), e o efeito percebido soa maiscomo uma reverberao. Em conversas telefnicas, no entanto, o atrasopode alcanar centenas de milissegundos, devido s vrias etapas deprocessamento do sinal de voz, passando por cabos, equipamentos deconverso analgico-digitais e enlaces via satlite nas ligaes interna-cionais. O eco nitidamente distinto do sinal de voz irrita quem participade uma conversa e precisa ser eliminado para torn-la mais natural einteligvel.

um equipamento viva-voz (e.g. no interior de um veculo)localdo seu interlocutorque est no outro lado da linharemoto.

Apresentao 3

Um filtro adaptativo serve bem a esse propsito e vem sendo utili-zado extensivamente em equipamentos de viva-voz [1, 2, 3, 4, 5], parareduzir o chamado eco acstico. Outro tipo de eco presente nos enlacesque envolvem telefones fixos, causado pelo descasamento de impedn-cia entre o cabo e o aparelho, tem sido resolvido com equipamentosinstalados na central telefnica [6] e no especificamente abordadoneste trabalho.

Dois so os propsitos de um sistema de reduo de rudo para sinaisde voz: a) diminuir o incmodo causado pela presena do rudo e b)destacar o sinal de voz para aumentar sua inteligibilidade.

Ao longo da ltima dcada, diversos autores atacaram o problemade vrias formas, incluindo abordagens baseadas nos conceitos de fil-tragem adaptativa [7, 8, 9] e que precisam de um ou mais microfones dereferncia longe da fonte de voz. Tambm alguns usaram idias de re-des neurais e separao de sinais aplicadas ao problema de melhorar aqualidade dos sinais de voz [10, 11, 12]. Outros modelaram os sinais deudio ou voz como processos estocsticos autorregressivos de mdia m-vel (ARMA3) e empregaram a teoria de Bayes ou dos filtros de Kalmanpara estimar verses mais limpas dos sinais de interesse [13, 14, 15].

O algoritmo empregado neste trabalho pertence a outra classe detcnicas conhecida como subtrao espectral, a qual alcanou populari-dade no desenvolvimento de terminais viva-voz graas sua simplici-dade conceitual e computacional, capacidade de reduo do rudo emambientes hostis (fbricas, aeroportos, helicpteros e caminhes, porexemplo) e necessidade de apenas um microfone para seu uso.

A teoria, a implementao prtica e os resultados obtidos aparecemassim divididos nos captulos seguintes:

Captulo 2: Mostra os conceitos fundamentais de filtragem adapta-tiva e subtrao espectral, expondo os diversos algoritmos maisutilizados em cancelamento de eco e as tcnicas utilizadas para

3ARMA: Autoregressive Moving Average

Apresentao 4

analisar e reduzir o rudo presente em sinais de voz; o captuloinclui o projeto de banco de filtros para decomposio dos sinaisno domnio da freqncia e tambm conceitos importantes de psi-coacstica;

Captulo 3: Mostra a implementao dos algoritmos de reduo de ecoe rudo em linguagem assembly e C.

Captulo 4: Apresenta e analisa algumas resultados obtidos com o sis-tema implementado em processador digital de sinais (DSP).

Captulo 5: Contm as concluses gerais sobre o trabalho e algumasidias para futuras investigaes.

Listagens e artigos tcnicos diretamente relacionados a este traba-lho se encontram anexados ao final do documento:

Anexo A: Listagens (em Matlab) dos programas usados no projeto defiltros e tabelas para a implementao;

Anexo B: Listagens (em C e assembly) dos programas implementadosno processador digital de sinais;

Anexos D e C: Reproduo de artigos, deste mesmo autor, publicadosnos congressos SBT99 e ICASSP 2001 a respeito da implementa-o do cancelador de eco acstico mostrado aqui.

Para finalizar esta introduo, importante salientar que emborao uso de terminais viva-voz em automveis tenha motivado e norteadotodo este estudo, essa no a nica aplicao possvel para as tcnicasapresentadas no texto. Eis outras possibilidades:

Uso em multimdia: equipamentos e perifricos para computado-res pessoais voltados para aplicaes de audioconferncia e video-conferncia podem incorporar reduo de eco e rudo para tornar

Apresentao 5

as conversas mais naturais; os ambientes envolvidos nessas ativi-dades so maiores que um automvel tpico e exigem maior cargacomputacional, mas possvel;

Restaurao de udio com rudo estacionrio (e.g. discos velhos efitas com chiados);

Equalizao de montagens com microfones para apresentao empalco, onde o efeito de microfonia ocorre com freqncia e podeser facilmente controlado com um cancelador adaptativo;

Captulo 2

Aspectos Tericos

Este captulo dividido em duas sees, correspondendo a pri-

meira teoria usada no cancelamento de eco acstico e a se-

gunda reduo de rudo.

A primeira seo comea com uma reviso dos conceitos de

filtragem adaptativa e suas vrias abordagens. Detem-se depois

no mtodo dos mnimos quadrados para explicar o algoritmo da

famlia RLS1 utilizado no desenvolvimento do cancelador de eco

proposto. Nenhum algoritmo perfeito em todos os aspectos, mas

esse foi escolhido por apresentar alta taxa de convergncia, robus-

tez numrica e boa capacidade de ajuste s mudanas estatsti-

cas do ambiente modelado.

A segunda seo inicia com a apresentao de uma reviso

terica sobre anlise e sntese em freqncia utilizando a transfor-

mada de Fourier. Essa reviso estendida na Seo 2.2.3 com a

introduo da estrutura polifsica e o projeto de filtros para essa

estrutura. O algoritmo de subtrao espectral convencional, em

sua forma mais simples, explicado na Seo 2.2.4 junto com a

discusso de suas propriedades mais importantes. A Seo 2.2.5

apresenta algumas tcnicas de obteno das estatsticas do rudo

1RLS: do ingls Recursive Least-Squares

6

Aspectos Tericos 7

e como podem ser utilizadas em conjunto com o algoritmo de sub-

trao espectral. Finalmente, so introduzidos elementos de psi-

coacstica que tornam o algoritmo bastante mais robusto e com

menos perda de qualidade na voz.

2.1 Cancelamento de Eco Acstico

2.1.1 As diferentes abordagens

O eco acstico, que atrapalha a comunicao entre participantes deuma conversa distncia usando terminais viva-voz, pode ser elimi-nado ou reduzido por meio da introduo de um filtro no processamentodos sinais de voz. Esse filtro, para todos os efeitos prticos, precisa seadaptar s propriedades estatsticas do sinal e s mudanas do ambi-ente no qual os terminais viva-voz operam.

Nesse contexto, identificam-se pelo menos trs parcelas do sinalque trafega pelo sistema de comunicao (ver Figura 2.1 na pgina se-guinte):

O sinal de voz do participante remoto x(n), reproduzido pelo alto-falante do terminal viva-voz do participante local;

O sinal de voz do participante local v(n), captado pelo microfonede seu prprio terminal viva-voz;

O eco do sinal de voz do participante remoto, tambm captado pelomicrofone do terminal local

Sem a presena do filtro adaptativo, o participante remoto recebeum sinal que a combinao do sinal de voz do participante local esua prpria voz modificada pelo ambiente reverberante (e.g. comparti-mento de passageiros do automvel). De modo grosseiro, o filtro adap-tativo tem como objetivo criar uma estimativa d(n) para o sinal d(n)

Aspectos Tericos 8

e(n)

+Filtro

adaptativow(n)

AmbienteReverberante

v(n)

d(n)x(n)

d(n)

Figura 2.1: Diagrama de blocos para o cancelador de eco acstico.

captado pelo microfone local a partir do sinal do alto-falante x(n). Ide-almente, supondo que a contribuio v(n) para o sinal do microfone sejaestatisticamente independente do eco acstico, o sinal de erro

e(n) = d(n) d(n) (2.1)

do filtro contm apenas a parcela local v(n).Soluo tima. Na abordagem estatstica, certos parmetros como

mdia e funo de correlao so assumidos conhecidos para os sinaisenvolvidos.

Comumente, o critrio adotado na soluo para esse problema deotimizao minimizar o valor quadrtico mdio do sinal de erro e(n),dando origem ao que se costuma chamar de filtro timo de Wiener [16].

Mais precisamente, o sinal de sada do filtro dado pela soma deconvoluo

d(n) =M1k=0

wkx(n k), (2.2)

na qual w0, w1, . . . , wM1 so os M coeficientes do filtro, quando imple-

Aspectos Tericos 9

mentado em uma estrutura transversal como na Figura 2.2.

y(n)

x(n) x(n 1) x(n 2)

w0 w1 w2 wM1

z1z1 z1

Figura 2.2: Filtro transversal.

Os coeficientes so escolhidos de modo a minimizar um ndice dedesempenho definido como

J(w) = E{|e(n)|2} (2.3)

em que E{} denota o operador estatstico esperana, com o erro de esti-mao dado pela equao (2.1) e os coeficientes do filtro representadospelo vetor w.

Sinais no-estacionrios. Quando os sinais envolvidos no soestacionrios, ou suas propriedades estatsticas no so conhecidas,no possvel projetar o filtro de Wiener. possvel, no entanto, con-tornar essa dificuldade por dois caminhos:

1. Adotar um procedimento de dois estgios, com a estimativa dosparmetros estatsticos ocorrendo no primeiro e o resultado sendousado para computar, de forma no-recursiva, os coeficientes dofiltro no segundo; ou

2. Usar um filtro adaptativo, no qual um algoritmo recursivo partede algumas condies iniciais para convergir aos poucos para asoluo tima de Wiener. Um algoritmo bem conhecido para fazeressa adaptao chamado Least-Mean Square, ou LMS.

Aspectos Tericos 10

Mnimos quadrados. Na abordagem determinstica, a derivaodos algoritmos no depende do conhecimento prvio de parmetros es-tatsticos dos sinais envolvidos.

Nessa abordagem, baseada no mtodo dos mnimos quadrados, ocritrio minimizar uma soma ponderada de erros quadrticos. Comono se assume o conhecimento das propriedades estatsticas, esses al-goritmos so apropriados para uso em ambientes no-estacionrios eoperao em tempo real, como o caso deste trabalho.

Em sua derivao recursiva e com implementao em uma estru-tura transversal, o mtodo d origem ao popular algoritmo RecursiveLeast-Squares, ou simplesmente RLS.

2.1.2 Algoritmo LMS

A derivao do algoritmo LMS sai do escopo deste documento, mas umbreve esboo da lgebra envolvida fornecido aqui. Ao final desta se-o, uma tabela sumariza o algoritmo e pode ser usada diretamentepara implementao.

De acordo com a teoria de Wiener, a equao de Wiener-Hopftambm conhecida como equao normaldescreve a soluo tima wopara o filtro

Rwo = p, (2.4)

com ndice de desempenho dado pela equao (2.3).

R a matriz de autocorrelao do sinal de entrada x(n), dada por:

R = E{x(n)xT (n)

}(2.5)

com xT (n) = [x(n), x(n 1), . . . , x(nM + 1)].O vetor p a correlao cruzada entre o sinal de entrada e o sinal

desejado (a sada do microfone, por exemplo), mais precisamente

p = E {x(n)d(n)} . (2.6)

Aspectos Tericos 11

Gradiente estocstico. Para encontrar a soluo da equao (2.4),o algoritmo LMS adota uma verso modificada do mtodo de otimiza-o steepest descent (tambm conhecido como gradiente determins-tico) para computar recursivamente o vetor timo wo. Nesse mtodoso utilizadas a matriz R e o vetor p para calcular o gradiente exato.J no algoritmo LMS se utiliza uma estimativa instantnea do vetorgradiente a partir das amostras disponveis a cada passo de adaptao.

O algoritmo resultante, conhecido como gradiente estocstico, segueapresentado na Tabela 2.1. Nessa tabela, o passo de adaptao deveobedecer a restrio

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