Dissertação de Mestrado - Engenharia de Energias.pdf

Adair Vilas Boas Martins

Dissertao de Itajub pCincias em

O USO DA TCNICA DOS GRAFOS DE LIGAOPARA A SIMULAO DE CENTRAIS HIDRELTRICAS

EM REGIME TRANSITRIO

I

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB - UNIFEIapresentada Universidade Federalara obteno do ttulo de Mestre em Engenharia da Energia.tajub2004

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB - UNIFEI

Dissertao apresentada Universidade Federal de Itajubpara obteno do ttulo de Mestre em Cincias emEngenharia da Energia.

rea de Concentrao: Gerao Hidreltrica

Orientador: Dr. Geraldo Lcio Tiago Filho (UNIFEI)Co-orientador: MSc. Angel Roberto Laurent (UNCo)

O USO DA TCNICA DOS GRAFOS DE LIGAOPARA A SIMULAO DE CENTRAIS HIDRELTRICAS

EM REGIME TRANSITRIO

Itajub 2004

Adair Vilas Boas Martins

minha famlia, Roberto, Viviana, Mauricio e Jessica que sempre estiveram ao meu lado em todos os momentos.

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Dr. Geraldo Lcio Tiago Filho, pela amizade, sugesto do tema, orientao eapoio concretizao deste trabalho de dissertao.

Ao Prof. Roberto Laurent, pelo carinho, ajuda incondicional, incentivo e co-orientao destadissertao.

Aos Professores Zulcy de Souza, Edson Bortoni, Augusto Nelson de Carvalho e GensioJos Menon pelo incentivo e apoio dado.

Aos Professores Mrcia Martins e Oscar Maldonado pela amizade e apoio incondicional.

todas secretrias do LHPCH, especialmente Evilene e Amlia, pela amizade e ajudabrindada.

Ao Centro Nacional de Referncias em Pequenos Aproveitamentos Hidroenergticos(CERPCH) pela aquisio do software utilizado nesta dissertao.

Ao Eng. Glauco Freitas da Voith Siemens pelas valiosas informaes conferidas.

Ao meu filho Mauricio que com muita pacincia fez os desenhos que compe este trabalho.

minhas filhas Viviana e Jessica pelas noites de companhia e ajuda na reviso da digitao.

Facultad de Economa y Administracin e ao Departamento de Ciencias de laComputacin de la Universidad Nacional del Comahue (UNCo), Patagnia, Argentina, porpropiciar minha participao na concretizao deste trabalho.

diretora do Departamento de Cincias de la Computacin, Jorgelina Giorgetti peloincentivo constante.

todos os docentes do Departamento Ciencias de la Computacin, especialmente LauraSanchez, Ldia Lpez, Carina Fracchia, Claudia Allan, Ingrid Godoy, AlejandraChegoriansky, Nadina Carod, Susana Parra, Sandra Roger, Laura Cecchi e Silvia Amaropela amizade e ajuda brindada.

Aos docentes Irene Mosconi do Departamento de Matemtica e Marta Marizza doDepartamento de Construcciones pela amizade e apoio dado.

Aos docentes Orlando Audisio e Ariel Marchegiani do Departamento de Mecnica pelacolaborao prestada.

Meus agradecimentos a todas as pessoas envolvidas direta ou indiretamente, quecolaboraram neste trabalho.

SUMRIO

CAPTULO 1 - INTRODUO

1.1 Justificativa da Dissertao.......................................................................................1

1.2 Objetivo da Dissertao................................................................................................2

1.3 Contedo da Dissertao..................................................................................................3

1.4 Reviso Bibliogrfica...................................................................................................3

CAPTULO 2 - EQUAES DIFERENCIAIS PARA TRANSITRIOS EM CIRCUITOS HIDRULICOS

2.1 Introduo...................................................................................................................6

2.1.1 Causas dos Transitrios Hidrulicos........................................................................7

2.2 Propagao das Ondas de Presso em um Sistema Hidrulico...........................................7

2.2.1 Celeridade das Ondas de Presso............................................................................12

2.2.2 Tempo de Reflexo da Onda no Conduto...............................................................13

2.3 Equaes Fundamentais para o Escoamento Transitrio..................................................15

2.3.1 Equao do Movimento.....................................................................................15

2.3.2 Equao da Continuidade......................................................................................16

2.3.3 Forma Simplificada das Equaes Fundamentais.................................................17

2.3.4 Consideraes sobre as Equaes Fundamentais..................................................18

2.4 Mtodos de Resoluo das Equaes Diferenciais...........................................................19

2.5 Analogia entre Circuitos Hidrulicos e Eltricos: Resistncia, Inertncia e Capacitncia

Fluda................................................................................................................................20

2.5.1 Grandezas por Unidade...................................................................................23

2.6 Concluses....................................................................................................................25

CAPTULO 3 - METODOLOGIA DOS GRAFOS DE LIGAO

3.1 Origem dos Grafos de Ligao.........................................................................................26

3.2 Elementos Bsicos dos Grafos de Ligao.......................................................................27

3.3 Elementos Passivos e Ativos............................................................................................29

3.3.1 Resistncia..............................................................................................................30

3.3.2 Capacitncia............................................................................................................31

3.3.3 Inertncia.................................................................................................................32

3.3.4 Elementos Transdutores..........................................................................................34

3.3.5 Elementos de Juno...............................................................................................36

3.3.5.1 Juno tipo 0..........................................................................................36

3.3.5.2 Juno tipo 1..........................................................................37

3.4 Causalidades..................................................................................................................37

3.5 Algoritmo para Construo dos Grafos de Ligao..........................................................41

3.5.1 Procedimento para Assinalar as Causalidades........................................................41

3.5.2 Exemplos de Construo dos Grafos de Ligao...................................................42

3.5.2.1 Circuito Eltrico RLC...............................................................................42

3.5.2.2 Sistema Mecnico de Translao:Massa-mola.........................................44

3.5.2.3 Circuito hidrulico: Reservatrio, Conduto Forado e Vlvula...............46

3.6 Equaes de Estado...........................................................................................................48

3.7 Concluses........................................................................................................................52

CAPITULO 4 - APLICATIVOS DISPONVEIS

4.1 Introduo.........................................................................................................................53

4.2 20-SIM..............................................................................................................................53

4.2.1 Ambiente 20-SIM...................................................................................................54

4.3 SYMBOLS2000................................................................................................................59

4.3.1 Ambiente SYMBOLS 2000....................................................................................59

4.4 POWERDYNAMO...........................................................................................................64

4.4.1 Ambiente POWERDYNAMO.................................................................................65

4.5 Outros Programas..............................................................................................................70

4.6 Concluses........................................................................................................................71

CAPTULO 5 - SIMULAO DO GOLPE DE ARETE COM GRAFOS DE LIGAO

5.1 Modelagem do Conduto Forado com Parmetros Concentrados................................72

5.2 Modelagem da Vlvula.................................................................................................74

5.3 Exemplo Proposto por Wylie e Streeter (1990)................................................................75

5.3.1 Clculo das Grandezas do Circuito Hidrulico para a Tubulao Discretizada

em Dois Trechos com Circuito T............................................................76

5.3.2 Grafos de Ligao do Exemplo Proposto..............................................................77

5.3.3 Comparao da simulao obtida com Grafos de Ligao e com o Mtodo das

Caractersticas........................................................................................................77

5.4 Correo da Capacitncia.................................................................................................79

5.5 Resistncia no Linear versus Resistncia Linear............................................................81

5.6 Exemplo Proposto por Watt.............................................................................................81

5.6.1 Grafos de Ligao do Exemplo Proposto...............................................................84

5.6.2 Comparao da Simulao obtida com Grafos de Ligao e com o Mtodo das

Caractersticas.........................................................................................................85

5.7 Concluses........................................................................................................................87

CAPITULO 6 - INTERAO ENTRE TURBINA, REGULADOR DE VELOCIDADE E CARGA ELTRICA

6.1 Consideraes Gerais........................................................................................................88

6.2 Modelagem da turbina com Grafos de Ligao: Girador ou Transformador?..................91

6.3 Representao com Grafos de Ligao da Inrcia Mecnica e a Carga Eltrica..............93

6.4 Perdas e Rendimento.........................................................................................................95

6.5 Diagrama de blocos do Regulador de Velocidade............................................................98

6.6 Modelo de um sistema Hidreltrico Isolado...............................................................100

6.7 Simulao com Grafos de Ligao de Casos de Rejeio e Aceitao de Carga

Propostos por Wylie e Streeter (1993)..................................................................101

6.8 Anlise de Rejeio Total de Carga na Hidreltrica Santa Clara...............................108

6.9 Concluses......................................................................................................................113

CAPTULO 7 - CONCLUSES E SUGESTES

Concluses e Sugestes.........................................................................................................114

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS....................................................................118

ANEXO A - PREOS DOS APLICATIVOS

ANEXO B - PUBLICAES DERIVADAS DESTA DISSERTAO

B.1 Bond Graphs versus Mediciones de Laboratorio y el Mtodo de las Caractersticas en la Simulacin del Golpe de Arete.

B.2 O Uso da Tcnica dos Grafos de Ligao na Simulao de Sistemas Hidrulicos em Regime Transitrio.

LISTA DE FIGURAS E TABELAS

CAPTULO 2

FIGURAS:

2.1 Onda de presso no fechamento instantneo de uma vlvula..... 8

2.2 Fechamento instantneo da vlvula de um conduto forado (sem perturbao).... 9

2.3 Vlvula totalmente fechada............ 9

2.4 Tempo L/2a......... 10

2.5 Tempo L/a .......... 10

2.6 Tempo 3L/2a............... 10

2.7 Tempo 2L/a ....... 11

2.8 Tempo 5L/2a....... 11

2.9 Tempo 3L/a ........ 11

2.10 Tempo 7L/2a....... 12

2.11 Tempo 4L/a..... 12

2.12 Volume de controle para a equao do movimento.... 16

2.13 Volume de controle para a equao da continuidade.......... 17

2.14 Pequeno elemento de uma linha de transmisso..... 20

CAPTULO 3

FIGURAS:

3.1 Smbolo de causalidade... 29

3.2 Representao convencional das fontes...... 30

3.3 Representao convencional para a resistncia...... 30

3.4 Representao convencional para a capacitncia.......... 31

3.5 Lei constitutiva para a capacitncia........... 32

3.6 Representao para a inertncia..... 33

3.7 Lei constitutiva da inertncia......... 34

3.8 Representao convencional do transformador......... 35

3.9 Representao convencional do elemento de transformao indireta........ 35

3.10 Representao convencional da juno 0... 36

3.11 Representao convencional da juno 1... 37

3.12 Circuito RLC...... 43

3.13 Exemplo de construo dos GL: Circuito Eltrico RLC.... 43

3.14 Sistema mecanico Massa- mola...... 44

3.15 Exemplo de construo com GL do Sistema Mecnico: Massa mola... 45

3.16 Sistema Hidrulico.. 46

3.17 Exemplo de construo com GL do sistema hidrulico...... 47

3.18 Procedimentos para a obteno das equaes de estado a partir dos GL....... 49

TABELAS:

3.1 Variveis generalizadas...... 28

3.2 Causalidades, diagrama de blocos dos elementos primrios... 39

3.3 Elementos bsicos, equaes constitutivas e causalidades..... 40

CAPTULO 4

FIGURAS:

4.1 Janelas do 20 SIM... 54

4.2 Circuito RLC serie com 20 SIM..... 55

4.3 Subjanela das equaes constitutivas da capacitncia..... 56

4.4 Subjanela Parameters...... 57

4.5 Janela Simulator: Representao grfica..... 58

4.6 Resultado da simulao com 20.. 58

4.7 Janela do mdulo Bond Pad....... 60

4.8 Modulo Simulator: subjanela de parmetros e representao grfica..... 61

4.9 Janela de compilao....... 62

4.10 Janela compilao: subjanela Set Path........... 62

4.11 Sada da simulao.. 63

4.12 Resultado da simulao com SYMBOLS 2000...... 64

4.13 Janela principal....... 65

4.14 Janela de biblioteca: elementos lineares dos Grafos de Ligao 65

4.15 Circuito RLC serie com POWERDYNAMO...... 66

4.16 Uma janela de parmetros... 67

4.17 Diagrama de blocos circuito RLC serie no ambiente SIMULINK....... 68

4.18 Diagrama de blocos circuito RLC modificado........... 68

4.19 Resultado da simulao circuito RLC serie com POWERDYNAMO... 69

4.20 Obteno da sada da simulao desde Grafos de Ligao..69

4.21 Resultado da simulao... 70

CAPTULO 5

FIGURAS:

5.1 Conduto forado da Usina Antas II em Poos de Caldas (MG Brasil)... 72

5.2 Representao do conduto forado discretizado em dois trechos com Grafos de

Ligao.... 74

5.3 Representao da vlvula com Grafos de Ligao .... 75

5.4 Exemplo proposto por Wylie e Streeter...... 75

5.5 Representacao do sistema hidraulico usando GL com o 20-SIM e a tubulao

discretizada em 2 trechos.. 77

5.6 Resultado da simulao com Grafos de Ligao.... 78

5.7 Resultado da simulao com o mtodo das caractersticas........ 78

5.8 Sobrepresso na vlvula com Grafos de Ligao e mtodo das caractersticas..... 79

5.9 Sobrepresso na vlvula com correo da capacitncia ........ 80

5.10 Golpe de arete e amortecimento com resistncia linear e no linear .... 82

5.11 Esquema original proposto por Watt.......... 83

5.12 Modelo dos GL para simular golpe de arete com 20-SIM e tubulao

discretizada em 1 trecho ....... 85

5.13 Modelo dos GL para simular golpe de arete com 20SIM e tubulao

discretizada em 4 trechos ......... 85

5.14 Transitrio de presso medido e simulado com GL ....... 86

5.15 Golpe de arete simulado com o mtodo das caractersticas e GL...... 87

TABELAS:

5.1 Lei de fechamento da vlvula.. 83

CAPTULO 6

FIGURAS:

6.1 Interao entre sistema hidrulico e eltrico... 88

6.2 GL em palavras de um sistema hidreltrico isolado.... 90

6.3 Variao dos mdulos do transformador e girador durante uma rejeio total de

carga, excluindo o efeito da abertura.do distribuidor ........ 93

6.4 Modelagem da turbina como transformador modulado no linear com 20- SIM... 93

6.5 Turbina, gerador e volante de inrcia da Usina Antas II de Poos de Caldas........ 94

6.6 Representao com 20 SIM da inrcia e da carga como fonte inversa modulada.. 95

6.7 Perdas de torque (esquerda) e por escorregamento (direita) modeladas

com resistncias.. 95

6.8 Perda de torque modelada com uma fonte inversa controlada....... 96

6.9 Perdas de torque moduladas com a vazo e a velocidade.. 97

6.10 Vista do servomotor principal do regulador da Usina Santa Clara (M.G.).... 98

6.11 Diagrama de blocos de um regulador com estatismo nulo, limitadores

de velocidade e posio, e tabela de correo da abertura. 100

6.12 GL de um sistema hidreltrico isolado modelado com 20 SIM..... 101

6.13 Poro do diagrama de colina da turbina estudada... 102

6.14 Curvas correspondentes s tabelas da figura 6.12 para o caso proposto por

Wylie e Streeter... 103

6.15 Obteno das condies iniciais automaticamente......... 103

6.16 Simulao da rejeio parcial de carga com TURB.FOR...... 104

6.17 Simulao da rejeio parcial de carga com 20-SIM..... 104

6.18 Simulao de rejeio total de carga com TURB.FOR...... 105

6.19 Simulao de rejeio total de carga com 20-SIM e distribuidor no linear.. 105

6.20 Simulao de rejeio total de carga com 20-SIM e distribuidor linear..... 106

6.21 Simulao de aceitao de carga com TURB.FOR.... 107

6.22 Simulao da aceitao de carga com 20 SIM... 107

6.23 Rendimento pouco realista em funo da vazo segundo o TURB.FOR... 108

6.24 Vista panormica da Usina Hidreltrica Santa Clara (M.G Brasil).... 108

6.25 Simulao rejeio total de carga com o programa SIPROHS da VOITH-HYDRO.. 111

6.26 Rejeio total de carga na Usina Hidreltrica Santa Clara...... 112

LISTA DE SMBOLOS

Caracteres Latinos

a celeridade da onda de presso [m/s]A rea [m2]

matriz dos coeficientes das variveis de estadoAo rea da seco transversal do condutoA(x) rea da vlvulaB matriz dos coeficientes das variveis de estadoC capacitncia [F]C1 tipo de fixao do condutoCx capacitncia por unidade de comprimentoCd coeficiente de descarga da vlvulaCpu capacitncia fluida por unidadeC/x capacitncia por unidade de comprimentoD dimetroEc energia cintica [J]Em coeficiente caracterstico da vlvulaEp energia potencial [J]E(t) varivel relacionada fonte de esforoE mdulo de elasticidade do materiale esforo varivel de estado

espessura da parede do tubof fluxo varivel de estado

fator de fricoF fora [N]F(t) varivel relacionada fonte de fluxoGY giradorg acelerao da gravidadeHo carga esttica do sistemaHR altura do reservatrioH carga hidrulica [m]I inertnciaIpu inertncia fluida em por unidadeI/x inertncia por unidade de comprimentoI corrente eltrica [A]J momento total de inrciak compressibilidadeK constante de proporcionalidade

ganhoL comprimento do tubo [m]

indutncia [H]m massa [kg]

mdulo do transformadorPo potncia refernciaPe potncia no eixo [w]p quantidade de movimentoP presso [Pa]

p& derivada da quantidade de movimento

p.u por unidadeQ vazo [m3/s]Qo vazo de operao do sistemaq deslocamento R/Q resistncia por unidade de vazor mdulo do giradorrpu resistncia fluida em por unidadeR resistncia eltricaRv resistncia da vlvulaRv/Q resistncia por unidade de vazo da vlvulaRpu resistncia fluida em por unidadeR/x resistncia por unidade de comprimentoSe fonte de esforoSf fonte de fluxoT tempo [s]TF transformadortc tempo de fechamento da vlvulaT torque [N.m]To torque correspondente potncia absorvida pelo geradorTd constante de tempo do amortecedorT constante de tempo de prontidoU tenso [Volts]u(t) vetor coluna correspondente as variveis de excitaoV velocidade [m/s]vo velocidade do escoamento em regime permanentex distnciay abertura distribuidor [pu]Zo impedncia base

Caracteres Gregos

ngulo de inclinao do conduto grandeza unitria

H sobrepresso mximaU queda de voltagem estatismo transitrio / derivada parcial rendimento [pu]T rendimento total [pu] ngulo de inclinao grandeza qualquero grandeza de referncia massa especfica [kg/m3] estatismo permanenteo tenso de cizalhamento lei de fechamento da vlvula freqncia fundamental de oscilao velocidade angular [rd/s]

RESUMO

Estuda-se a simulao de fenmenos transitrios em tubulaes e centraishidreltricas usando aplicativos de uso geral baseados na metodologia dos Grafos de Ligao.A modelagem com Grafos de Ligao tira proveito do intercmbio de potncia e dasanalogias entre os subsistemas hidrulico, mecnico e eltrico, permite descrever nolinearidades importantes dos componentes, e pode utilizar-se para simular pequenas e grandesrespostas transitrias. Apresenta-se um panorama sobre os aplicativos mais convenientes parao uso acadmico.

Faz-se uma anlise da modelagem das tubulaes atravs de parmetrosconcentrados versus distribudos. As simulaes do Golpe de Arete em dois sistemas simplescompostos de um reservatrio, conduto forado e vlvula, do resultados bastante exatosdesde o ponto de vista prtico nas comparaes com simulaes com mtodo dascaractersticas e dados experimentais.

Ao final, prope-se uma modelagem original da turbina hidrulica como umtransformador no linear e desenvolve-se um modelo de eficincia, carga eltrica e reguladorde velocidade. Esta modelagem usada para simular rejeies parcial e total de carga eaceitaes de carga em dois sistemas de potncia eltrica isolados: um caso tirado da literaturaclssica e um estudo recente da Usina Hidreltrica Santa Clara em Minas Gerais, Brasil. Ascomparaes dos transitrios de velocidade e presso com outros mtodos e aplicativosespecializados confirmaram a validade da modelagem da turbina e dos outros componentes.

ABSTRACT

The simulation of transient phenomena in pipes and hydroelectric power plants,using standard software based on the Bond Graphs approach, is investigated. The BondGraphs modeling takes advantage of the power exchange and the analogies between thehydraulic, mechanic and electrical subsystems, permits to describe the major nonlinearities ofthe components, and can be used to simulate the small and large transient response. A surveyabout the most suitable software for academic use is presented.

The modeling of conduits through lumped parameters versus distributed ones isanalyzed. The simulations of water hammer in two simple systems composed of reservoir,conduit and valve, give quite accurated results from the practical point of view whencompared with simulations with the Method of Characteristics and experimental results.

Finally, a new model of hydraulic turbine as a nonlinear transformer is proposed anda model of efficiency, electric load and governor are developed. This modeling is used tosimulate partial and total load rejection and load acceptance in two isolated electrical powersystems: a case extracted from classical literature and a recent study of Santa ClaraHydroelectric Power Plant in Minas Gerais, Brazil. The comparisons of speed and pressuretransients with another methods and specialized software confirmed the validity of the turbineand the others components modeling.

.

Captulo 1- Introduo 1

CAPTULO 1

INTRODUO

1.1 Justificativa da Dissertao

Os fenmenos transitrios em sistemas hidrulicos podem causar srios problemas

aos equipamentos e tubulaes. O golpe de arete o fenmeno transitrio de elevao (golpe

de arete positivo) ou diminuio (golpe de arete negativo) da presso provocado pelo

fechamento ou abertura rpida do mecanismo de controle (vlvula, injetor, distribuidor, etc.)

de vazo em um conduto forado. Um caso de interesse o fechamento do distribuidor que o

regulador de velocidade executa quando ocorre uma rejeio parcial ou total de carga em uma

central hidreltrica para limitar a sobrevelocidade do gerador e da turbina. O conhecimento

deste fenmeno transitrio fundamental para o dimensionamento tcnico e economicamente

adequado dos sistemas hidrulicos.

O mtodo mais utilizado para a simulao de transitrios hidrulicos o denominado

Mtodo das Caractersticas, introduzido na dcada de 1960 por Streeter. As equaes

diferenciais parciais fundamentais: da quantidade de movimento e da continuidade que

modelam uma tubulao so do tipo hiperblicas e para serem solucionadas so expressas em

forma de diferenas finitas e integradas numericamente no plano (x,t) com intervalos t e x

constantes. Lamentavelmente, os programas computacionais baseados neste mtodo resultam

poucos flexveis e tm a desvantagem de estar limitados a casos particulares e de apresentar

dificuldades para modelar a interao entre os diferentes domnios de energia: hidrulico,

mecnico, eltrico, etc., em uma central hidreltrica. Seu principal mrito sua exatido por

considerar a tubulao com parmetros distribudos.

Um mtodo que no tem estas limitaes e que comeou a ser utilizado para este fim

a tcnica dos Grafos de Ligao. O objetivo da sua criao foi superar as limitaes dos

modelos clssicos baseados em funes de transferncia e diagrama de blocos que somente

utilizam uma entrada e uma sada.

Curiosamente, esta tcnica foi criada pelo professor Henry Paynter para modelar

justamente a interao entre os subsistemas hidrulico, mecnico e eltrico no processo de

gerao hidreltrica, embora tenha sido utilizada mais popularmente em outras aplicaes.


Nos ltimos anos vem sendo utilizada em forma crescente com o propsito inicial da sua

criao (Tiago Filho, 1994; Carvalho 1995).

Ento, a justificativa deste trabalho a necessidade de aprofundar no estudo da

aplicabilidade do mtodo dos Grafos de Ligao na modelagem de centrais hidreltricas para

simulao de transitrios, vistas as suas vantagens e potencialidades. Uma motivao

importante a inexistncia de antecedentes na literatura de modelagem de turbinas hidrulicas

com esta metodologia.

1.2 Objetivo da Dissertao

O objetivo principal deste trabalho de dissertao o estudo da utilizao do mtodo

dos Grafos de Ligao na simulao de transitrios em centrais hidreltricas. Particularmente

se pretende verificar a aplicabilidade do mtodo na determinao do golpe de arete provocado

pelo fechamento rpido de vlvulas no conduto forado e obter a modelagem da turbina

hidrulica, regulador de velocidade e carga para simulao de rejeio parcial ou total da

carga eltrica. Alm disso, outro objetivo fazer um estudo e reviso dos programas

computacionais existentes no mercado que utilizam esta metodologia, especialmente os mais

apropriados para uso acadmico.

As simulaes obtidas com os Grafos de Ligao so confrontadas com simulaes

obtidas pelo mtodo das caractersticas, resultados experimentais e estudos realizados por

empresas especializadas de engenharia na etapa de projeto de PCH com programas

profissionais prprios.

1.3 Contedo da Dissertao

Este trabalho de dissertao est estruturado da seguinte maneira:

No Captulo 2 so apresentadas as equaes fundamentais do escoamento transitrio

e atravs da analogia entre circuitos hidrulicos e eltricos mostra-se a obteno das grandezas

dos circuitos hidrulicos nas formas: dimensional e em por unidade.


No Captulo 3 descrita a metodologia dos Grafos de Ligao: origem, elementos

bsicos, equaes constitutivas, causalidades e exemplos de aplicao.

No Captulo 4 apresentada uma reviso dos programas computacionais que utilizam

a metodologia dos Grafos de Ligao. Faz-se uma comparao entre eles e analisam-se

facilidades de uso, preos e verses demo na Web.

No Captulo 5 apresentada a simulao do Golpe de Arete com o mtodo dos

Grafos de Ligao, se analisa a modelagem do conduto forado com parmetros concentrados,

modelagem da vlvula e mostra-se a simulao de alguns casos propostos na literatura. Os

resultados da simulao so comparados com os resultados obtidos pelo mtodo das

caractersticas. Apresenta-se uma anlise da utilizao de resistncia linear versus resistncia

no linear e prope-se uma correo da capacitncia na modelagem do conduto forado.

No Captulo 6 desenvolvida a modelagem no linear da turbina com os Grafos de

Ligao. Apresenta-se um modelo simplificado de regulador de velocidade com diagrama de

blocos e o modelo de um sistema hidreltrico isolado. Mostra-se a validao da modelagem

desenvolvida com Grafos de Ligao comparando com estudos de simulao de rejeies e

aceitaes de carga realizadas com outros mtodos. Apresentam-se dois casos prticos: um

exemplo proposto no livro clssico de Wylie e Streeter, e um estudo da Usina Hidreltrica

Santa Clara (Minas Gerais) recentemente fornecido pela VOITH SIEMENS para esta

validao.

Finalmente no Captulo 7 so apresentadas as concluses e sugestes do trabalho de

dissertao.

1.4 Reviso Bibliogrfica

Com o avano da rea numrica computacional, novas tcnicas tm sido empregadas

na soluo e representao do equacionamento dos sistemas dinmicos e atualmente, diversos

mtodos numricos so utilizados para analisar os transitrios hidrulicos. Tais mtodos

substituram os mtodos algbricos e grficos que devido a sua menor aproximao no so

convenientes para a anlise de grandes sistemas ou sistemas tendo condies de contorno

complexas. O mtodo das caractersticas introduzido na dcada de 1960 por Streeter (Wylie e

Streeter, 1978, 1990, 1993) vem sendo usado largamente at os dias de hoje. Com o objetivo

de superar as limitaes j mencionadas anteriormente surgiram novas tcnicas, sendo uma


delas a metodologia dos Grafos de Ligaes. Este mtodo baseia-se no conceito de analogias

entre sistemas de distintas naturezas fsicas com os sistemas eltricos. A evoluo dos

programas computacionais baseados nesta tcnica permite atualmente simular em forma

interativa diretamente da representao grfica do sistema. Existem vrios programas

disponveis no mercado entre os quais pode-se mencionar o 20-SIM, SYMBOLS 2000 e

POWERDYNAMO, etc. Neste trabalho se utilizou o 20-SIM pela sua facilidade de uso, baixo

custo e interface amigvel com o usurio.

A metodologia dos Grafos de Ligao foi amplamente difundida desde a dcada de

1960 atravs dos livros de Karnopp e Rosenberg (1975, 1983, 2000) e Thoma (1975). Uma

pesquisa realizada por Montbrum-Di Filippo; Brie e Paynter (1991) sobre teoria, aplicaes e

programas lista mais de 500 artigos e livros publicados sobre a metodologia at esse

momento. Paynter (2000) publicou na Web um artigo sobre a gestao e nascimento do

mtodo dos Grafos de Ligao que inclui documentao original da dcada de 1950. Existem

vrios artigos introdutrios, por exemplo, Speranza Neto (1992) apresenta o emprego dos

Grafos de Ligao em alguns problemas tpicos na rea de termocincias com o objetivo de

motivar pesquisadores e engenheiros a utilizarem esta metodologia. Kofman e Junco (1999)

apresentam um ambiente computacional para a modelagem de sistemas dinmicos usando a

tcnica.

Em aplicaes hidrulicas se distinguem nos ltimos anos os trabalhos de Tiago

Filho (1994) que utilizou em sua tese de doutorado para a simulao do transitrio hidrulico

em um conduto, dotado de uma vlvula de alvio anti-golpe de arete e de Carvalho (1995) que

analisou em sua dissertao de mestrado sua aplicabilidade na simulao de transitrios

hidrulicos. Os programas utilizados nestes trabalhos requeriam algumas aproximaes no

modelo que faziam que os resultados no tivessem toda a exatido desejvel. Mais a sua

evoluo foi muito boa e estas restries foram superadas completamente, ganhando em

flexibilidade e facilidade de uso.

Diante das facilidades apresentadas, o presente trabalho de dissertao tem como

objetivo o uso da metodologia dos Grafos de Ligao para simular o golpe de arete no

conduto forado, e a determinao do modelo da turbina, regulador de velocidade e carga

eltrica para simulao de rejeio parcial e total de carga e aceitao de carga, justificando o

estudo devido a existncia de interaes de diferentes meios fsicos. Para validar o mtodo se

utiliza um caso de referncia baseado em resultados experimentais de laboratrio publicados

por Watt (1980) e por Wylie e Streeter (1978, 1990, 1993).


Na bibliografia recente destaca-se uma pesquisa paralela a desta dissertao de

mestrado publicada em trs artigos de C. Nicolet (2001, 2002, 2003) do Laboratrio de

Maquinas Hidrulicas do Instituto Federal Suo de Tecnologia de Lausana (Sua). O

estudante de doutorado Nicolet est desenvolvendo na sua tese de doutorado um mtodo

denominado de impedncia e implementou-o computacionalmente. Fundamentalmente este

mtodo se baseia, como a metodologia geral dos Grafos de Ligao, na analogia dos sistemas

mecnicos e hidrulicos com os eltricos, da a denominao de mtodo de impedncia, e

permite simular a interao entre conduto forado, turbina, regulador de velocidade e sistema

eltrico durante fenmenos transitrios.

Captulo 2 - Equaes Diferenciais para Transitrios em Circuitos Hidrulicos 6

CAPTULO 2

EQUAES DIFERENCIAIS PARA TRANSITRIOSEM CIRCUITOS HIDRULICOS

2.1 Introduo

Transitrio hidrulico um dos mais importantes termos para descrever escoamentos

no permanentes de fluidos em condutos forados, cujas condies em qualquer ponto variam

com o tempo. Por exemplo, a variao da presso quando a velocidade de escoamento sofre

alguma perturbao causada pela ao de algum mecanismo de controle do sistema (vlvula,

injetor, distribuidor, etc).

Durante o transitrio hidrulico, as oscilaes de presso ao longo da tubulao

ocorrem de maneira brusca provocando rudos caractersticos comumente denominados

golpe de arete. Estas sobrepresses e subpresses podem causar srios problemas ao

conduto forado e seus equipamentos, se estes no foram dimensionados para suportar tais

sobrecargas, comprometendo a segurana e o funcionamento do sistema.

A anlise do Golpe de Arete consiste na determinao das presses e velocidades

em uma determinada seo de um conduto forado no perodo em que ocorre um escoamento

transitrio. A quantificao das presses mximas e mnimas de importante interesse para o

projetista, a fim de que este possa dimensionar a tubulao e introduzir equipamentos

protetores, cuja finalidade amortecer as variaes de carga prejudiciais vida til da

instalao.

O estudo est baseado nas denominadas equaes do movimento e da continuidade.

Estas duas equaes hiperblicas formam um sistema de equaes diferenciais cuja soluo

exata no est disponvel, sendo necessrio utilizar tcnicas especificas para se determinar

uma soluo aproximada do problema. Existem diferentes mtodos para a soluo destas

equaes, mais com algumas dificuldades na sua utilizao, devido a diferentes suposies

restritivas. Com a evoluo de programas computacionais, estas dificuldades foram superadas

e atualmente encontram-se programas de fcil uso e com resultados bastante precisos.


2.1.1 Causas dos Transitrios Hidrulicos

As causas mais comuns dos transitrios hidrulicos em sistemas de condutos sob

presso so devidas a manobras em algum equipamento hidromecnico do sistema. Por

exemplo, no fechamento programado ou acidental das vlvulas, pode produzir-se uma

elevao anormal da presso no conduto que antecede o mecanismo de controle ou regulao,

e uma queda anormal da presso no tubo de suco conectado depois, enquanto na abertura

pode produzir-se o fenmeno contrrio. Tambm se podem mencionar outras causas de

transitrios hidrulicos como:

Alteraes de potncia em turbinas (rejeies de carga).

Aumento ou diminuio da presso, provocados por variaes rpidas na vazo do

conduto forado.

Instabilidade do regulador de velocidade da turbina.

Vibraes nos distribuidores ou rotores de turbinas.

Ondas de presso no reservatrio, cmara de carga ou chamin de equilbrio.

Instabilidade no tubo de suco devido aos escoamentos helicoidais.

2.2 Propagao das Ondas de Presso no Sistema Hidrulico

O fenmeno do golpe de arete um intercmbio de energia cintica em potencial e

vice-versa. Quando se fecha uma vlvula rapidamente, obedecendo ao principio da

conservao da energia, ao diminuir a energia cintica esta vai se transformando em um

trabalho de compresso do fluido que enche o conduto e no trabalho necessrio para dilat-lo,

produzindo ento uma onda de presso positiva (sobrepresso) ou golpe de arete positivo. O

fluido num ponto determinado do conduto possui uma energia cintica e potencial, resultando

uma energia total conforme a equao (2.1):

Et = Ec + Ep (2.1)ou seja:

Et = 22

22

11

21 zg

P

2

Vzg

P

2

V++=++ (2.2)

onde: o ndice 1 representa um tempo inicial t1 e o ndice 2 um tempo posterior t2 e V

a velocidade do fluido


Como se est analisando um ponto determinado do conduto forado, a altura a

mesma, portanto z1 e z2 podem ser simplificados de forma que a equao (2.2) fica:

2

22

1

21 P

2

VP

2

V +=+ (2.3)

Na equao (2.3) P1 e P2 representam a presso esttica enquanto que os termos da

velocidade se associam com a presso dinmica. Ento se pode expressar:

Ptotal = Pesttica + 1/2V2 (2.4)

Na equao (2.4) pode-se observar que no instante onde se produz a parada brusca do

fluido (fechamento instantneo da vlvula), toda a energia cintica do fluido se transforma em

energia potencial, portanto a presso esttica aumenta.

Ptotal = Pesttica (2.5)

Conseqentemente observa-se que a presso esttica que afeta o conduto nesse

instante maior devido a esta transformao. Embora fisicamente seja impossvel fechar

instantaneamente uma vlvula, o estudo inicial do caso de fechamento instantneo ajuda a

analise dos casos reais. A propagao das ondas de presso em um sistema de aduo ser

descrita a seguir, considerando-se o fechamento instantneo de uma vlvula e um caso sem

atrito. O ciclo completo ou perodo inicia-se quando do fechamento desta vlvula (t = 0) onde

o fluido comprimido e tem sua velocidade reduzida a zero.

Figura 2.1- Onda de presso no fechamento instantneo de uma vlvula


Ao fechar-se instantaneamente a vlvula da figura 2.1 a parede do conduto dilatada.

Se o fluido for dividido em camadas, a primeira camada comprimida e o processo se

propaga para as prximas camadas. O fluido continua a mover-se do reservatrio para a

vlvula e a velocidade diminuindo at que as camadas sucessivas tenham sido comprimidas.

Na vlvula se originou uma onda de presso que se propaga com velocidade a, a qual no

instante considerado tem sentido contrrio velocidade V do fluido, se formou uma onda

elstica ou seja uma onda de presso que se propaga pelo conduto, se reflete no reservatrio,

volta para a vlvula, novamente ao reservatrio e assim sucessivamente originando

sobrepresses e subpresses no conduto o qual se dilata ou se contrai. Sendo a a velocidade

da onda e L o comprimento do conduto, o tempo que demora a onda em recorrer uma vez a

distncia entre a vlvula e o reservatrio to = L/a. Ao final de um tempo t = 4to = 4L/a o

ciclo se repete. Considera-se nas figuras seguintes a srie dos acontecimentos no conduto

durante um perodo T = 4L/a.

A figura 2.2 mostra o sistema hidrulico em regime permanente (sem perturbao). O

fluido se move com velocidade V do reservatrio para a vlvula. O dimetro do conduto

forado normal.

Figura 2.2 - Fechamento instantneo da vlvula de um conduto forado (sem perturbao)

A vlvula fecha instantaneamente (t = 0). A velocidade do fluido se anula a partir da

vlvula, em todo o conduto forado.

Figura 2.3 - Vlvula totalmente fechada (t = 0)


A onda de presso se propagou ao reservatrio com celeridade a e a frente da onda

chegou at a metade do conduto forado. A metade direita do conduto foi dilatada pela

sobrepresso, e na metade esquerda o dimetro normal. Nesta metade esquerda o fluido

segue escoando com velocidade V para a vlvula. Na metade direita V = 0.

Figura 2.4 - Tempo L/2a

A onda de presso chegou ao reservatrio. Em todo o conduto forado o fluido est

em repouso, V = 0, mas no est em equilbrio. O conduto forado esta todo dilatado. Como

uma mola se expande, o fluido no conduto forado comea a escoar com velocidade V, mas

em sentido contrrio ao da figura 2.2. Ele comea mover-se pelas camadas prximas ao

reservatrio.

Figura 2.5 - Tempo L/a

A metade esquerda do conduto forado voltou ao seu dimetro normal. A onda segue

propagando-se direita do conduto com velocidade a. Na metade esquerda do conduto o

fluido escoa com velocidade V.

Figura 2.6 - Tempo 3L/2a


O dimetro de todo o conduto forado est normal.Todo o fluido do conduto forado

se move da vlvula ao reservatrio com velocidade V contrria a das figuras 2.2, 2.3 e 2.4.

No h sobrepresso em nenhuma parte do conduto, mas pela inrcia a presso continua

diminuindo, a onda elstica segue propagando-se, agora com depresso desde a vlvula ao

reservatrio com a velocidade a. O dimetro do conduto forado ir diminuindo com valores

abaixo do seu dimetro normal.

Figura 2.7 - Tempo 2L/a

A depresso alcanou a metade do conduto forado. A metade direita do conduto

contm o fluido em repouso e a uma presso abaixo da normal. O dimetro do conduto nesta

metade inferior ao normal.


O fluido em todo o conduto est em repouso, mas no est em equilbrio, e o fluido

inicia seu movimento desde o reservatrio com direo vlvula com velocidade V com

sentido direita. O dimetro de todo o conduto forado inferior ao normal.

Figura 2.9 - Tempo 3L/a


Na metade esquerda do conduto forado o fluido est em movimento com velocidade

V em direo vlvula. Na metade direita o fluido continua em repouso e em depresso. O

dimetro da parte esquerda do conduto normal e na metade direita menor que o normal; a

e V tem o mesmo sentido.


O dimetro do conduto forado est normal. Todo o fluido em movimento com

velocidade V com direo vlvula. No instante 4L/a as condies so exatamente as mesmas

do que no instante de fechamento para t = 0. Esse processo ento repetido a cada 4L/a

indefinidamente para o caso sem atrito. Portanto o perodo deste movimento dado por:

T = 4to = 4L/a. Com a ao do atrito no fluido, a imperfeita elasticidade do fluido e parede do

conduto forado, as oscilaes de presso so amortecidas at que o fluido permanentemente

retorne condio de repouso.

Figura 2.11 - Tempo 4L/a = T = perodo

2.2.1 Celeridade das Ondas de Presso

A celeridade das ondas de presso (Wylie eStreeter, 1990) representa a velocidade de

propagao do som em um meio fluido infinito com propriedades k e , compressibilidade emassa especifica, representada pela seguinte expresso:

a = k (2.6)


Se o meio for finito, como o interior de um tubo, faz-se necessrio a introduo de

elementos modificadores que levem em conta o mdulo de elasticidade E; e as caractersticas

geomtricas do tubo (dimetro D; a espessura da parede e) e o tipo de fixao do conduto C1.

1CE.e

D.k1

k

a

+

= (2.7)

onde: o numerador representa a velocidade de propagao do som em um meio fluido infinito

com propriedades k e , e o denominador o elemento modificador do som pelo fato do meio noser infinito e sim confinado num tubo de dimetro D, espessura e, e mdulo de elasticidade E.

No caso de sistemas hidrulicos a equao (2.7) conhecida como de Allievi, e fica:

e

D.k3,48

9900a

+

= (2.8)

onde: k o coeficiente funo do mdulo de elasticidade do material que constitui o tubo

D o dimetro do tubo

e a espessura do tubo

O coeficiente k para os materiais mais comuns so os seguintes:

Ao 0,5

Ferro fundido 1

Fibrocimento 4,4

Plstico, PVC 18

Madeira 20

2.2.2 Tempo de Reflexo da Onda no Conduto

Define-se por tempo de reflexo da onda no conduto ao tempo T que leva a onda de

presso para deslocar-se desde a vlvula at o reservatrio, retornando novamente at a


vlvula, ou seja, duas vezes o tempo de viagem da onda no conduto, conforme equao

(2.9):

a

L2T = (2.9)

onde: L o comprimento do conduto

a a celeridade da onda de presso

As manobras que ocasionam os transitrios hidrulicos como o fechamento de uma

vlvula ou do distribuidor de uma turbina so classificadas por comparao entre o tempo tc

que dura a manobra e o tempo T (Zulcy et al., 1999).

Se tc < T, manobra rpida, no recomendvel para centrais hidreltricas

Se tc = T, manobra crtica

Se tc > T, manobra lenta, recomendvel para centrais hidreltricas

A sobrepresso mxima provocada pelo fechamento brusco de uma vlvula, manobra

rpida, pode ser estimada pela frmula clssica de Joukowsky (Abreu et al., 1995):

g

V.aH o= (2.10)

onde: Vo a velocidade do escoamento em regime permanente e g a acelerao da gravidade

Se a manobra lenta a sobrepresso mxima pode ser estimada pela frmula de

Michaud (Zulcy et al., 1999).

c

o

tg

V.L2H = 0,2 .

c

o

t

LV (2.11)

cujas variveis j foram definidas anteriormente.


2.3 Equaes Fundamentais para o Escoamento Transitrio

A fim de desenvolver o mtodo e a soluo de problemas de transitrios hidrulicos,

duas equaes fundamentais bsicas da mecnica so aplicadas a um curto trecho de fluido

para obteno das equaes do movimento e da continuidade. Elas devem ser resolvidas

simultaneamente e fornecem a carga e a vazo numa determinada posio da tubulao em

funo do tempo. Essas equaes formam um sistema de equaes diferenciais parciais do

tipo hiperblico quase-linear cuja soluo analtica exata no se pode determinar, contudo,

desprezando ou linearizando os termos no lineares, diversos mtodos grficos, analticos e

numricos foram desenvolvidos para se chegar a uma soluo aproximada. As variveis

dependentes so a presso P e a velocidade V, numa determinada seco transversal do

conduto, sendo considerada positiva a velocidade na direo de montante para jusante. As

variveis independentes so a distncia x, medida na tubulao com origem na extremidade

de montante e o tempo t. Portanto P = P(x,t) e V = V(x,t). No estudo desse escoamento em

regime transitrio, segundo Wylie e Streeter (1990) so feitas as seguintes hipteses:

O escoamento unidimensional

O tubo permanece cheio de gua durante todo o tempo

A presso mnima do fluido superior presso de vaporizao

A velocidade do fluido uniforme em toda a seo do tubo

A tubulao e o fluido so perfeitamente elsticos

As perdas por atrito no regime transitrio so as mesmas do regime permanente

2.3.1 Equao do Movimento

A equao do movimento obtida a partir do escoamento de um fluido em um tubo

cnico ou cilndrico. A equao considera a presso na linha de centro do tubo P(x,t) e a

velocidade mdia V(x,t). Por convenincia dos sistemas hidrulicos essa equao

convertida na forma de carga hidrulica H(x,t), tambm chamada de altura, carga

piezomtrica ou simplesmente carga, e vazo Q(x,t). A carga H(x,t) e a vazo Q(x,t) so

variveis dependentes, x e t so as variveis independentes. A figura 2.12 mostra um

elemento fluido de seo transversal com rea A e a espessura x.


Figura 2.12 - Volume de controle para a equao do movimento

O tubo inclinado em relao horizontal de um ngulo . As foras atuantes no

sistema na direo x so as foras de presso normais s superfcies transversais, a fora

lateral exercida pelo tubo no fluido e a fora cortante devido ao atrito do fluido. Em funo da

gravidade, adiciona-se uma componente da fora peso na direo de x. A fora de

cizalhamento o age na direo x.

O somatrio de foras igual massa vezes a acelerao (segunda lei de Newton).

Aplicando-se a segunda lei e fazendo-se as simplificaes necessrias, obtm-se a equao

diferencial do movimento:

0D2

VVf

t

V

x

VV

x

Hg =+

+

+

(2.12)

No ltimo termo da equao 2.12, como o atrito se ope ao movimento, expressa-se

V2 como VV para introduzir o sinal adequado ao termo.

2.3.2 Equao da Continuidade

A equao da continuidade obtida a partir do principio de conservao de massa

aplicada a um volume de controle de comprimento x em um instante t, conforme mostra afigura 2.13.


Figura 2.13 - Volume de controle para a equao da continuidade

Portanto, aplicando-se a lei de conservao de massa para este volume de controle, e

fazendo-se as simplificaes e rearranjos necessrios, obtm-se a equao diferencial da

continuidade, que considera o efeito da compressibilidade da gua bem como o efeito de

elasticidade do tubo:

0x

V

g

asenV

t

H

x

HV

2

=

+

+

(2.13)

uma forma conveniente para a equao da continuidade com V e H como variveis

dependentes e com x e t como variveis independentes. A celeridade a representa as

propriedades do fluido e da tubulao.

2.3.3 Forma Simplificada das Equaes Fundamentais

Representando a equao do movimento dada pela equao (2.12) em termos de

altura H e vazo Q, sabendo que V = Q/A e desprezando-se o termo convectivo V V / x

obtm-se:

0gDA2

QQf

t

Q

gA

1

x

H2=+

+

(2.14)


A equao (2.14) constitui a Equao fundamental do modelo rgido, traduz o

comportamento transitrio do escoamento de um lquido no interior de uma tubulao rgida e

para a sua integrao necessrio especificar as condies iniciais (t = 0).

Da mesma forma representando a equao da continuidade dada pela equao (2.13)

em termos de altura H e vazo Q e desprezando-se o termo convectivo V H / x e o terceiro

termo obtm-se:

0

t

H

a

Ag

x

Q2

=

+

(2.15)

Uma observao importante relativa condutos onde a celeridade apresenta valores

baixos ou em que a quantidade de gs dissolvido na gua elevada, os termos convectivos

bem como a inclinao do conduto passam a influenciar o fenmeno. Nestes casos, portanto

os termos desprezados devero ser considerados visando maior preciso dos resultados.

2.3.4 Consideraes sobre as Equaes Fundamentais

A equao (2.12) aplica-se a um escoamento no permanente e verificada para o

caso especial de escoamento permanente. De fato, se o regime permanente com velocidade

V, V / t = 0 e H = H(x) substituindo estes valores resulta a equao (2.16):

0Dg2

VVf

x

H=+

(2.16)

Integrando a equao (2.16) obtm-se a expresso de Darcy-Weisbach, que fornece a

perda de carga por unidade de comprimento:

Dg2

VVf

x

H=

(2.17)


Para o caso ideal, ou seja, sem atrito, substituindo f = 0 na equao (2.14) obtm-se:

t

V

g

1

t

Q

gA

1

x

H

=

=

(2.18)

Integrando a equao (2.18) pode-se ver que a diferena de carga por unidade de

comprimento utilizada para acelerar o lquido.

2.4 Mtodos de Resoluo das Equaes Diferenciais

Atualmente, diversos mtodos numricos so utilizados para analisar os transitrios

hidrulicos. Tais mtodos substituram os mtodos algbricos e grficos que devido a sua

menor aproximao no so convenientes para a anlise de grandes sistemas ou sistemas

tendo condies de contorno complexas. Dos mtodos numricos utilizados destacam-se o

Mtodo das Caractersticas, o Mtodo das Diferenas Finitas e o Mtodo dos Elementos

Finitos. O mtodo das caractersticas introduzido na dcada de 1960 por Streeter o mais

utilizado para a simulao de transitrios hidrulicos. As equaes diferenciais parciais

fundamentais da quantidade de movimento e da continuidade que modelam uma tubulao,

so expressas em forma de diferenas finitas e integradas numericamente no plano (x,t) com

intervalos t e x constantes, ou seja, os parmetros so considerados em forma aproximada

como distribudos. Os programas computacionais baseados neste mtodo resultam poucos

flexveis e tem a desvantagem de estar limitados a casos particulares e de apresentar

dificuldades para modelar a interao entre os diferentes domnios de energia.

Um mtodo que no tem estas limitaes, e que est sendo utilizado nos ltimos anos

para este fim, a tcnica dos Grafos de Ligao. Esta tcnica baseia no fluxo de potncia

entre os componentes do sistema e atravs de sinais, linhas e smbolos prprios, permite

representar graficamente o modelo fsico do sistema com parmetros concentrados. Como foi

mencionado no captulo 1, esta tcnica foi criada pelo professor Henry Paynter do MIT para

modelar justamente a interao entre os subsistemas hidrulico, mecnico e eltrico no

processo de gerao hidreltrica, embora tenha sido utilizada mais popularmente em outras

aplicaes de Engenharia Mecnica. Nos ltimos anos vem sendo utilizada em forma

crescente com o propsito inicial da sua criao.


A vantagem dos Grafos de Ligao o de fornecer todas as informaes necessrias

modelagem matemtica do sistema atravs da representao fsica, e obteno das equaes

de estado do mesmo. A evoluo dos programas computacionais baseados nesta tcnica

permite atualmente simular em forma interativa diretamente da representao grfica do

sistema, conforme ser visto no Captulo 3.

2.5 Analogia entre Circuitos Hidrulicos e Eltricos:Resistncia, Inertncia e Capacitncia Fluda

A metodologia dos Grafos de Ligao baseia-se no conceito de analogias entre

sistemas de distintas naturezas fsicas com os sistemas eltricos. Para mostrar a analogia entre

os sistemas hidrulicos e eltricos considera-se o pequeno elemento de uma linha de

transmisso esquematizado na figura 2.14,

Figura 2.14 - Pequeno elemento de uma linha de transmisso

onde: U a tenso entre os ns [Volts]

i a corrente eltrica [Ampre]

L/X a indutncia [Henry/m]

R/X a resistncia [Ohm/m]

C/X a capacitncia [Farad/m].

A seguir mostra-se a modelagem do circuito, onde a queda de tenso no indutor e

resistncia se calcula com a seguinte equao:

- U = L/ X xt

i

+ R/X x i (2.19)


A equao (2.19) pode ser escrita como:

iRt

iL

x

UX/X/

=

(2.20)

A corrente no capacitor pode ser calculada com a seguinte equao:

- i = C/ X xt

U

(2.21)

A equao (2.21) pode ser escrita como:

t

UC

x

iX/

=

(2.22)

Comparando as equaes (2.20) e (2.22) com as equaes fundamentais do circuito

hidrulico (2.14) e (2.15), pode-se estabelecer as seguintes analogias. Substituindo H = P/ g

na equao (2.14) e fazendo as simplificaes correspondentes se obtm a seguinte equao:

2AD2

QQf

t

Q

Ax

P

=

(2.23)

Substituindo H na equao (2.15) e tambm fazendo as simplificaes

correspondentes se obtm a equao:

t

P

a

A

x

Q2

=

(2.24)

Comparando a equao (2.23) do escoamento transitrio com a equao (2.20) do

circuito eltrico pode-se estabelecer as seguintes analogias:

QRt

QI

AD2

QQf

t

Q

Ax

Px/x/2

=

=

(2.25)


Portanto: I/ x = A

, R/x = 2DA2

Qf (2.26)

onde: I/ x a inertncia por unidade de comprimento devido massa do fluido, ou indutncia

hidrulica por unidade de comprimento

R/ x a resistncia por unidade de comprimento devido perda por atrito ou resistncia

hidrulica por unidade de comprimento

Comparando a equao (2.24) do escoamento transitrio com a equao (2.22) do

circuito eltrico pode-se estabelecer as seguintes analogias:

t

PC

t

P

a

A

x

Qx/2

=

=

(2.27)

Portanto: C/x = 2aA

(2.28)

onde: C/x a capacitncia por unidade de comprimento devido deformabilidade do

conjunto fluido-conduto ou capacitncia fluida por unidade de comprimento.

Para um trecho do conduto de comprimento L pode-se reescrever I/x, R/x, C/x como

valores totais de Inertncia, Resistncia e Capacitncia.

Para Inertncia fluida obtm-se:

I = A

L (2.29)

A inertncia fluida representa a inrcia da massa contida no interior de um trecho de

tubo. a capacidade do fluido em acumular energia na forma cintica. A inertncia fluida

proporcional massa especifica do fluido , ao comprimento do tubo L, e inversamenteproporcional rea da seo transversal do tubo.

Para a Capacitncia fluida obtm-se:

C = 2a

LA

(2.30)


A capacitncia fluida o elemento que leva em conta a compressibilidade do fluido e

a deformabilidade das paredes do conduto forado. a capacidade do sistema em acumular

energia na forma potencial.

Para a resistncia fluida obtm-se:

R = 2DA2

QLf (2.31)

A parte constante da expresso anterior pode ser denominada resistncia em por

unidade de vazo e ser expressa pela letra R/Q conforme se mostra na seguinte equao:

R/Q = 2DA2

Lf (2.32)

A resistncia fluida corresponde dissipao de energia, em sistemas hidrulicos, na

sua forma mais simples est associada perda por atrito viscoso ao longo do conduto forado.

2.5.1 Grandezas Por Unidade

Muitos dos sistemas de controle so complexos e envolvem componentes de

diferentes naturezas fsicas resultando difcil a comparao entre as distintas variveis. Para

superar essas dificuldades, se aconselha trabalhar com todas as variveis e parmetros

expressos na mesma dimenso e ordem de grandeza. O procedimento para isso referindo

todas as variveis aos valores tomados como base. As grandezas assim dimensionadas so

especificadas em [pu] ou por unidade. Por exemplo: sendo uma grandeza qualquer e o a

grandeza de referncia tomada como base, a grandeza por unidade ser:

o

= [p.u]

Considerando as seguintes grandezas bsicas para o sistema hidrulico:

Po a potncia tomada como referncia

Qo a vazo de operao do sistema


Ao a rea da seo transversal do conduto

Ho a carga esttica do sistema

Da analogia entre o sistema hidrulico e eltrico a presso P com a tenso U e a

vazo Q com a corrente i pode-se escrever as equaes:

Sistema eltrico: o

oo i

UZ ==== , onde: Zo impedncia base

Sistema hidrulico por analogia: o

oo Q

PZ =

Utilizando as expresses anteriores obtm-se a equao para a resistncia fluida em

[pu] dada pela equao (2.33):

o

oQ/

o

Q/pu P

QR

Z

RR == (2.33)

Substituindo o valor de R/Q da equao (2.32) em (2.33) e Po = g Ho, obtm-se aresistncia fluida por unidade conforme mostra-se na equao (2.34):

o2

oo

opu

HADg2

QLfR = (2.34)

A inertncia fluida em [pu] se calcula como:

o

o

opu

P

QI

Z

II == (2.35)

Substituindo o valor de I da equao (2.29) na equao anterior obtm-se a inertncia

fluida por unidade:

oo

opu HgA

LQI = (2.36)

A capacitncia fluida em [pu] se calcula como:


o

opu Q

PCC = (2.37)

Substituindo o valor de C da equao (2.30) na equao (2.37) obtm-se a

capacitncia fluida por unidade:

o2

oopu

Qa

LHAgC = (2.38)

2.6 Concluses

Foram mostrados os fundamentos sobre transitrios hidrulicos como fenmenos de

ondas viajantes de presso e vazo e a modelagem matemtica de tubulaes atravs das

equaes diferenciais hiperblicas do movimento e da continuidade. Discutiram-se

brevemente as limitaes da soluo numrica desta modelagem de parmetros distribudos

com o mtodo das caractersticas, e a proposta de utilizao da metodologia dos Grafos de

Ligao baseada em parmetros concentrados. Mostraram-se as analogias entre circuitos

hidrulicos e eltricos nas quais se baseia a metodologia dos Grafos de Ligao, e

apresentaram-se as equaes de inertncia, capacitncia e resistncia concentrada para um

trecho de tubulao de longitude finita que sero utilizados nos captulos seguintes. Mostrou-

se uma forma baseada na analogia dos circuitos hidrulicos com os eltricos de se expressar

em por unidade as grandezas que representam os componentes concentrados.

Captulo 3 - Metodologa dos Grafos de Ligao 26

CAPTULO 3

METODOLOGIA DOS GRAFOS DE LIGAO

3.1 Origem dos Grafos de Ligao

O termo Grafos de Ligao (GL), traduo do termo original Bond Graphs,

bastante apropriado para designar esta metodologia devido ao fato que a sua principal

caracterstica a de ligar os componentes de um sistema atravs de smbolos prprios e sinais,

que permitem representar graficamente o modelo fsico do sistema. uma ferramenta

poderosa na modelagem de sistemas dinmicos e baseia-se no conceito de analogias entre os

sistemas de distintas naturezas fsicas com os sistemas eltricos.

Esta metodologia foi criada em 1959 pelo professor Henry Paynter do Departamento

de Engenharia Mecnica do Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT), USA. Desde a

sua criao, centenas de artigos, livros, foram publicados por Henry Paynter e outros nos

Estados Unidos e no resto do mundo. Alguns deles se referem s tcnicas e teorias

matemticas de GL, outros aplicao do mtodo em diferentes campos, e ainda alguns ao

desenvolvimento de programas de computador usando este mtodo.

O esforo de Paynter no desenvolvimento da teoria geral de engenharia de sistemas

comeou em 1950, com a esperana de que a energia e a potncia fossem as variveis

dinmicas fundamentais, que permitissem todas as interaes fsicas. Uma das razes da

criao da tcnica de GL, de acordo a Paynter foi para generalizar o conceito de diagrama de

circuito eltrico, como tambm para eliminar algumas de suas limitaes (Paynter, 2000).

Seu treinamento e experincia em sistemas hidroeltricos de potncia fizeram surgir

certas idias e mais particularmente uma conscientizao das fortes analogias existentes entre:

Transmisso: condutos de fluido e linhas eltricas, Transduo: turbinas e geradores,

Controle: reguladores de velocidade e de tenso. Quando estes dispositivos anlogos foram

reduzidos a equaes como a de simulao de computadores, as diferenas se tornaram

completamente indistintas. Enquanto Paynter trabalhava neste projeto foi influenciado por

muitas pessoas e teorias at que surgiu no dia 24 de abril de 1959 a tcnica dos GL como uma

disciplina formal.


Esta tcnica foi amplamente difundida nos Estados Unidos desde a dcada de 1960

por Karnopp e Rosenberg (1978, 2000), professores nas Universidades da Califrnia e

Michigan respectivamente, e na Europa por Thoma (1975). No Brasil se distinguem os

trabalhos dos professores Speranza Neto da PUC (1992,1995) e Tiago Filho da UNIFEI

(1994), e na Argentina as pesquisas e o desenvolvimento de aplicativos realizados pelos

professores Kofman e Junco (1999) da UNR.

3.2 Elementos Bsicos dos Grafos de Ligao

Este captulo baseia-se no livro de D. Karnopp e R. Rosenberg (2000) e no trabalho

desenvolvido por Tiago Filho (1994). Na metodologia dos GL so encontrados nove

elementos bsicos: as fontes de esforo Se, as fontes de fluxo Sf, as resistncias R, os

capacitores C, as inertncias I, os transformadores TF, os giradores GY e as junes 0 e

1, que representam respectivamente os geradores de potncia, os dissipadores, os

acumuladores de energia e os elementos de acoplamento. A combinao desses elementos em

forma conveniente descreve o modelo fsico de um sistema atravs de uma representao

grfica usando simbologia prpria, que alm de permitir a visualizao das conexes entre os

vrios elementos do sistema, traz implcito todo o equacionamento do modelo

Um modelo de GL est formado por componentes ou subsistemas conectados por

ligaes (bonds) que representam o fluxo de potncia entre eles, ou seja, nestas ligaes que

ocorre a transmisso de potncia. Independentemente do seu domnio fsico, dois

componentes so modelados pelo mesmo elemento dos GL se processam a energia da mesma

forma. Este fato motiva a generalizao das variveis fsicas em quatro tipos:

Variveis de Potncia : esforo (e) e fluxo (f)

Variveis de Energia : quantidade de movimento (p) ou momentum

e deslocamento (q)

As variveis de esforo e(t) e de fluxo f(t) so chamadas de variveis de potncia

porque o produto dessas duas variveis consideradas como funes do tempo, igual

potncia instantnea que flui entre os dois componentes conectados pela ligao conforme

indicado na equao (3.1).

P(t) = e(t).f(t) (3.1)


As variveis de energia so definidas pelas integrais no tempo das variveis de

potncia. A quantidade de movimento representada de acordo a equao (3.2) e o

deslocamento conforme a equao (3.3).

p = t e(t) dt (3.2)q(t) = t f(t) dt (3.3)

A tabela 3.1 mostra em cada domnio fsico uma possvel generalizao com as

respectivas variveis.

Tabela 3.1: Variveis generalizadas

Variveis de Potncia Variveis de Energia

Domnio

fsico Esforo

e

Fluxo

f

Quantidademovimento

p

Deslocamento

q

Mecnico

Translao

Fora Velocidade Quantidademovimento

Posio

Mecnico

Rotao

Torque Velocidadeangular

Quantidademovimento

ngulo

Hidrulico Presso Vazovolumtrica

Quantidademovimento

Volume

Eltrico Tenso Corrente Fluxomagntico

Carga eltrica

Qumico potencialqumico

Fluxo molar Nmero demoles

Termodinmico Temperatura Fluxo de entropia Entropia

O elemento fundamental desta tcnica o de ligao, representado por uma barra

onde so indicadas as variveis de energia ou de potncia devidamente indexadas. Atravs da

meia seta conforme se mostra na figura 3.1, a ligao permite indicar o sentido da potncia

que flui de um elemento para outro. A potncia ser positiva se, e e f forem positivos, e

ser negativa se uma das ditas variveis for negativa. Atravs de uma barra causal mostrada


a relao necessria entre a causa e efeito, ou seja, a entrada e sada da troca de energia entre

dois elementos. Essa causalidade indicada atravs de uma barra vertical inserida em uma das

extremidades da ligao, de forma a indicar o sentido do esforo e. Em sentido contrrio

fica subentendido o fluxo f como mostrado na figura 3.1.

(a) (b)

Figura 3.1- Smbolo de causalidade (a) GL, (b) diagrama de blocos.

3.3 Representao dos Elementos Bsicos

Na metodologia dos GL procura-se modelar um sistema fsico atravs das leis

constitutivas dos vrios elementos que constituem esse sistema. Os diferentes efeitos fsicos

podem ser representados por trs elementos puros: elementos que dissipam energia,

resistncia R, e elementos que armazenam energia, capacitncia C e inertncia I. Estes

elementos podem ser no lineares, neste caso seus parmetros se modulam por funes

externas.

Os elementos que fazem a interao do sistema dinmico com o meio ambiente, tm

a funo de impor ou de drenar energia ao sistema. Em funo da natureza da varivel

suprida, as fontes podem ser: fonte de esforo Se e fonte de fluxo Sf. A fonte de esforo Se

assim definida quando a varivel que supre o sistema tem a dimenso de esforo, por

exemplo: fonte de torque no sistema mecnico rotacional; fonte de tenso no sistema eltrico,

fonte de presso no sistema hidrulico, etc. A fonte de fluxo Sf assim definida quando a

varivel que supre o sistema tem a dimenso de fluxo, por exemplo: fonte de velocidade no

sistema mecnico, fonte de corrente no sistema eltrico e fonte de vazo no sistema

hidrulico, etc.


As simbologias utilizadas para as fontes so:

(a) (b)

Figura 3.2- Representao convencional das fontes

(a) Fonte esforo, (b) Fonte de fluxo

3.3.1 Resistncia

um elemento dissipador de energia. A relao constitutiva entre as variveis de

potncia, o esforo e e o fluxo f, constituem em uma dissipao dada pela relao (3.4) para o

caso linear e pela relao (3.5) para o caso no linear.

e(t) = Rf(t) (3.4)

e(t) = R.f(t) (3.5)

Convencionalmente pela tcnica dos GL, a resistncia, ser representada pelo

diagrama da figura 3.3.

(a) (b)

Figura 3.3 - Representao convencional para a resistncia

(a) GL, (b) diagrama de blocos

3.3.2 Capacitncia

A capacitncia C, o elemento armazenador de energia, que relaciona a varivel de

potncia, o esforo e, com a varivel integral, deslocamento q. Isso ocorre quando o elemento

tem a capacidade de acumular energia na forma potencial, o que implica que e funo de q

conforme a seguinte relao:


e = e (q) (3.6)

Como q uma integral no tempo do fluxo, f, definido pela expresso (3.3), a lei constitutiva

ser:

e = C

1q (3.7)

Ou seja:

e(t) = t

0

dt)t(fC

1 (3.8)

A figura 3.4 representa convencionalmente a capacitncia com GL e com diagrama

de blocos.

(a) (b)

Figura 3.4 - Representao convencional para a capacitncia


De acordo com a equao (3.3) tem-se:

dq = f dt (3.9)

Portanto o fluxo ser:

f = qdt

dq &= (3.10)

A figura 3.5 mostra de forma grfica a lei constitutiva para a capacitncia, onde a

rea sob a curva e = e(q) corresponde energia acumulada, caractersticas do elemento

capacitivo, e dada pela integral mostrada na equao (3.11).

E(q) = q

0

dq)q(e (3.11)


Figura 3.5 - Lei constitutiva para a capacitncia.

3.3.3 Inertncia

um elemento passivo e corresponde indutncia de energia no sistema. Relaciona

a varivel de potncia fluxo f com a varivel integral quantidade de movimento p. O elemento

de inertncia tem a capacidade de acumular energia na forma de energia cintica, o que

implica que f funo de p.

f = f (p) (3.12)

De acordo com a equao (3.2), a quantidade de movimento ou momentum

definida como a integral no tempo do esforo e. Desta forma o elemento de inertncia ter

uma lei constitutiva na forma:

f = I

1 p (3.13)

ou seja: f(t) = t

0

dt)t(eI

1 (3.14)


A equao (3.14) representa a lei constitutiva do elemento de inertncia se a sua

causalidade for integral. A figura 3.6 mostra as convenes para o elemento de inertncia nos

GL e diagrama de blocos respectivamente.

(a) (b)

Figura 3.6 - Representao para a inertncia.

(a) GL, b) diagrama de blocos

De acordo com a equao (3.2) a varivel de potncia o esforo e dado por:

e(t) = pdt

dp &= (3.15)

A energia acumulada no sistema representada pela seguinte expresso:

E(t) = =t

0

t

0

dt)t(f)t(edt)t(P (3.16)

De acordo com a equao (3.2) tem-se:

d p = e(t) dt (3.17)

Ento pode-se considerar o fluxo f como uma funo da quantidade de movimento:

f = f(p) (3.18)

A equao (3.16) indica que a energia acumulada no sistema corresponder rea

sob a curva f = f(Pp) da figura 3.7 calculada pela equao:

E(p) dp)p(fpP

0= (3.19)


Figura 3.7 - Lei constitutiva da inertncia

3.3.4 Elementos Transdutores

So elementos capacitados a ampliar ou reduzir a amplitude de uma entrada, ou

elementos conversores de energia, onde a transformao do domnio da energia d-se segundo

a lei de conservao de potncia. Desta forma o elemento transformador TF de acordo com a

sua natureza pode fazer a interao entre dois domnios de energia.

(a) (b)

Figura 3.8 - Representao convencional do transformador


A lei constitutiva do elemento de transformao direta dada por:

e1 = m e2

m f1 = f2 (3.20)

onde: m o mdulo de transformao.

A lei constitutiva de conservao de potncia no elemento transformador pode ser

verificada da seguinte forma:

P1 = e1 f2 e P2 = e2 f2 (3.21)


Ento: 1fme

fem

fe

fe

P

P

12

12

22

11

2

1=== (3.22)

Da equao (3.22) fazendo as simplificaes se verifica que:

P1 = P2

So exemplos de transformadores diretos, isto , que ampliam ou reduzem um sinal:

os servomecanismos, as alavancas, as caixas de engrenagens e os transformadores de potncia

nos circuitos eltricos e pisto hidrulico.

Outro tipo de elemento transformador o girador, GY, do tipo transformador

inverso, cuja relao de transformao entre as variveis de esforo de entrada com o fluxo de

sada e o fluxo de entrada com o esforo de sada conforme mostrado na figura 3.9.

(a) (b)

Figura 3.9 - Representao convencional do elemento de transformao indireta.


A lei constitutiva deste elemento dada:

e1 = r f2

r f1 = e2

onde: r o modulo de girao

Um exemplo de girador a relao entre a fora e velocidade de deslocamento de um

ncleo metlico no interior de uma bobina com a tenso e a corrente dessa bobina.


3.3.5 Elementos de Juno

De maneira a compor a topologia do sistema, faz-se necessrio interligar todos os

seus elementos. Na metodologia dos GL isto feito atravs dos elementos de juno onde

ocorre acumulo ou dissipao de energia. Estes elementos simplesmente distribuem a

potncia entre vrios componentes do sistema. Existem dois tipos de junes: juno tipo 0

e juno tipo 1.

3.3.5.1 Juno do tipo 0

Sua caracterstica o esforo comum, isto , todos os elementos ligados entre si por

uma juno deste tipo esto sob a ao de um mesmo esforo. Neste caso, para que a lei de

conservao de energia seja valida, o somatrio do fluxo desse elemento tem que ser zero. A

juno do tipo 0 uma generalizao da lei de Kirchhoff de correntes (lei dos ns).

(a) (b)

Figura 3.10 - Representao convencional da juno 0


Por definio na juno 0 tem-se:

e1 = e2 = e3 (3.23)

Assim de acordo com o sentido das potncias indicado atravs da meia seta, o

somatrio dos fluxos resulta:

f1 - f2 - f3 = 0 (3.24)

As equaes (3.23) e (3.24) formam as relaes constitutivas desse elemento de juno.


3.3.5.2 Juno do tipo 1

Sua caracterstica o fluxo comum, isto , todos os elementos ligados entre si por

uma juno do tipo 1, esto sob a ao do mesmo fluxo, e o somatrio dos esforos deve

ser zero. A juno do tipo 1 uma generalizao da lei de Kirchhoff de tenses (lei das

malhas).

(a) (b)

Figura 3.11 - Representao convencional da juno 1


Por definio na juno 1, tem-se:

f1 = f2 = f3 (3.25)

De acordo com o sentido das potncias indicadas atravs da meia seta, o somatrio dos

esforos resulta:

e1 e2 e3 = 0 (3.26)

3.4 Causalidades

A causalidade permite indicar entre as duas variveis de potncia, o esforo e e fluxo

f qual a entrada e qual a sada num determinado elemento, isto , qual a excitao e qual

a resposta. a maneira utilizada na metodologia dos GL para relacionar a causa ao efeito da

troca de energia entre os elementos. A causalidade indicada atravs de uma barra vertical,

denominada barra causal, inserida em uma das extremidades da ligao do elemento em

questo, de forma a indicar qual o sentido da varivel de esforo e, ou seja, para que lado a


varivel de esforo atua como entrada. importante notar que a causalidade e o sentido

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