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DISTRIBUCIN NORMAL o campana de Gauss-Laplace

Esta distribucin es frecuentemente utilizada en las aplicaciones

estadsticas. Su propio nombre indica su extendida utilizacin, justificada

por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenmenos tienden a

parecerse en su comportamiento a esta distribucin.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcin de densidad

cuya grfica tiene forma de campana.

En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p),

para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que

sus polgonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de

campana".

En resumen, la importancia de la distribucin normal se debe

principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenmenos

naturales que siguen el modelo de la normal

Caracteres morfolgicos de individuos (personas, animales,

plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras,

dimetros, permetros,...

Caracteres fisiolgicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis

de un frmaco, o de una misma cantidad de abono.

Caracteres sociolgicos, por ejemplo: consumo de cierto

producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de

examen.

Caracteres psicolgicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado

de adaptacin a un medio,...

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

Valores estadsticos muestrales, por ejemplo : la media.

Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son

aproximaciones normales, ...

Y en general cualquier caracterstica que se obtenga como suma de

muchos factores.

FUNCIN DE DENSIDAD

Empleando clculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el

modelo de la funcin de densidad que corresponde a tales

distribuciones viene dado por la frmula

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Representacin grfica de esta funcin de densidad

La distribucin normal queda definida por dos parmetros, su media y

su desviacin tpica y la representamos as

FUNCIN DE DISTRIBUCIN

Puede tomar cualquier valor (- , + )

Son ms probables los valores cercanos a uno central que llamamos media

Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simtrica).

Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de

forma ms o menos rpida dependiendo de un parmetro , que es la desviacin tpica.

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F(x) es el rea sombreada de esta grfica

TIPIFICACIN

Por tanto su funcin de densidad es

y su funcin de distribucin es

siendo la representacin grfica de esta funcin

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a la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su

funcin de densidad curva normal tipificada.

Caracterstica de la distribucin normal tipificada (reducida, estndar)

No depende de ningn parmetro

Su media es 0, su varianza es 1 y su desviacin tpica es 1.

La curva f(x) es simtrica respecto del eje OY

Tiene un mximo en este eje

Tiene dos puntos de inflexin en z =1 y z = -1

Aproximacin de la Binomial por la Normal (Teorema de De Moivre) :

Demostr que bajo determinadas condiciones (para n grande y tanto p

como q no estn prximos a cero) la distribucin Binomial B(n, p) se

puede aproximar mediante una distribucin normal

Debemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto

ms prximo sea p a 0.5, tanto mejor ser la aproximacin realizada.

Es decir, basta con que se verifique

gracias a esta aproximacin es fcil hallar probabilidades binomiales, que

para valores grandes de n resulten muy laboriosos de calcular.

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Hay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta

transformacin de una variable discreta (binomial) en una variable

continua (normal) es necesario hacer una correccin de continuidad.

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MANEJO DE TABLAS. CASOS MS FRECUENTES.

La distribucin de la variable Z se encuentra tabulada

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