DISTRIBUIÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE POISSONPOISSON

Distribuição discreta de probabilidade aplicável a

ocorrências de um evento em um intervalo

especificado. TAXA

EXEMPLOS:EXEMPLOS: usuários de computador ligados à usuários de computador ligados à

Internet Internet Clientes chegando ao caixa de um Clientes chegando ao caixa de um

supermercado.supermercado. Acidentes com automóveis em uma Acidentes com automóveis em uma

determinada estrada .determinada estrada . Número de carros que chegam a um Número de carros que chegam a um

posto de gasolina. posto de gasolina. Número de aviões sequestrados em um Número de aviões sequestrados em um

dia. dia.

Número de falhas em componentes Número de falhas em componentes por unidade de tempo.por unidade de tempo.

Número de requisições para um Número de requisições para um servidor em um intervalo de tempo t. servidor em um intervalo de tempo t.

Número de peças defeituosas Número de peças defeituosas substituídas num veículo durante o substituídas num veículo durante o primeiro ano de vida.primeiro ano de vida.

Em todas estas situações, temos um Em todas estas situações, temos um conjunto de ocorrências que satisfazem as conjunto de ocorrências que satisfazem as seguintes condições:seguintes condições: O número de ocorrências de um O número de ocorrências de um

evento em um intervalo de tempo evento em um intervalo de tempo (espaço) é independente do número (espaço) é independente do número de ocorrências do evento em de ocorrências do evento em qualquer outro intervalo disjunto.qualquer outro intervalo disjunto.

Ocorrências independentes umas das Ocorrências independentes umas das outras e a probabilidade de duas ou outras e a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é mais ocorrências simultâneas é praticamente zero. praticamente zero.

O número médio de ocorrências por O número médio de ocorrências por unidade de tempo (espaço) é constante unidade de tempo (espaço) é constante ao longo do tempo (espaço).ao longo do tempo (espaço).

Ocorrências distribuídas uniformemente Ocorrências distribuídas uniformemente sobre o intervalo considerado.sobre o intervalo considerado.

O número de ocorrências durante O número de ocorrências durante qualquer intervalo depende somente da qualquer intervalo depende somente da duração ou tamanho do intervalo; duração ou tamanho do intervalo; quanto maior o intervalo, maior o quanto maior o intervalo, maior o número de ocorrências.número de ocorrências.

Portanto:Portanto: A variável aleatória X é o número de A variável aleatória X é o número de

ocorrências do evento no intervalo.ocorrências do evento no intervalo. O intervalo pode ser o tempo, a O intervalo pode ser o tempo, a

distância, a área, o volume ou outra distância, a área, o volume ou outra unidade análoga.unidade análoga.

Esta distribuição representa a Esta distribuição representa a probabilidade de que um evento probabilidade de que um evento ocorra um nº especificado de vezes ocorra um nº especificado de vezes em um intervalo de tempo (espaço), em um intervalo de tempo (espaço), quando a taxa de ocorrência é fixa:quando a taxa de ocorrência é fixa:

x = valor da v. a. node ocorrências x = valor da v. a. node ocorrências do evento em um intervalodo evento em um intervalo

λ= taxa de ocorrência do evento x λ= taxa de ocorrência do evento x (nº esperado de eventos) (nº esperado de eventos)

e ≈2,71828 (constante natural)e ≈2,71828 (constante natural)

EXEMPLO:EXEMPLO: Uma central telefônica tipo Uma central telefônica tipo

PABX recebe uma média de 5 PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste PABX não probabilidade deste PABX não receber nenhuma chamada receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 durante um intervalo de 1 minuto? minuto?

Reforçando....Reforçando.... A distribuição de Poisson exige que: A distribuição de Poisson exige que: A variável aleatória X seja o nº de A variável aleatória X seja o nº de

ocorrências de um evento em um ocorrências de um evento em um intervalo.intervalo.

As ocorrências sejam aleatórias . As ocorrências sejam aleatórias . As ocorrências sejam independentes As ocorrências sejam independentes

umas das outras.umas das outras. As ocorrências tenham a mesma As ocorrências tenham a mesma

probabilidade sobre o intervalo probabilidade sobre o intervalo considerado.considerado.

Os parâmetros da distribuição de Os parâmetros da distribuição de Poisson:Poisson:

Média = Média = λλ

Desvio padrão = √Desvio padrão = √λλ

A distribuição de Poisson DIFERE DA A distribuição de Poisson DIFERE DA Distribuição Binomial em dois aspectos:Distribuição Binomial em dois aspectos:

A binomial é afetada pelo tamanho da A binomial é afetada pelo tamanho da amostra n e pela probabilidade p, amostra n e pela probabilidade p, enquanto a Poisson é afetada apenas enquanto a Poisson é afetada apenas pela taxa de ocorrência (média) λ.pela taxa de ocorrência (média) λ.

Em uma binomial, os valores possíveis Em uma binomial, os valores possíveis da variável aleatória X são 0, 1, 2, ..., n da variável aleatória X são 0, 1, 2, ..., n (limite máximo), enquanto que em uma (limite máximo), enquanto que em uma Poisson os valores possíveis de X são Poisson os valores possíveis de X são 0,1,2,3 ... (sem limite superior)0,1,2,3 ... (sem limite superior)

OBSERVAÇÃO FINAL:OBSERVAÇÃO FINAL: Podemos utilizar a Distribuição de Podemos utilizar a Distribuição de

Poisson como uma aproximação da Poisson como uma aproximação da Distribuição Binomial quando: Distribuição Binomial quando:

““n” é grande e “p”, muito pequeno.n” é grande e “p”, muito pequeno. n ≥100 e n.p ≤10 (regra empírica) n ≥100 e n.p ≤10 (regra empírica) Ao utilizarmos Poisson como Ao utilizarmos Poisson como

aproximação da Binomial, podemos aproximação da Binomial, podemos achar o valor de λ pela fórmula: λ= n achar o valor de λ pela fórmula: λ= n . p. p

Exercício 1:Exercício 1:No estudo de átomos de Césio durante No estudo de átomos de Césio durante 365 dias, 1.000.000 átomos 365 dias, 1.000.000 átomos deterioraram-se para 977.287 átomos.deterioraram-se para 977.287 átomos.a)a)Determine o número de átomos Determine o número de átomos médio que se deterioraram por dia.médio que se deterioraram por dia.b)b)Qual a probabilidade de, em qualquer Qual a probabilidade de, em qualquer dia, 50 átomos se deterioram? dia, 50 átomos se deterioram?

Exercício 2:Exercício 2:O governo de uma ilha informou que O governo de uma ilha informou que durante um período de 20 anos, 196 durante um período de 20 anos, 196 turistas faleceram.turistas faleceram.a) Qual a média do número de turistas a) Qual a média do número de turistas que faleceram por ano?que faleceram por ano?b) Qual a probabilidade de nenhum b) Qual a probabilidade de nenhum turista falecer no próximo ano?turista falecer no próximo ano?c) Qual a probabilidade de 4 turistas c) Qual a probabilidade de 4 turistas falecerem no próximo ano?falecerem no próximo ano?

Exercício 3:Exercício 3:5% das televisões fabricadas têm defeito:5% das televisões fabricadas têm defeito:a)a)Qual a probabilidade de duas em cem Qual a probabilidade de duas em cem televisões ( escolhidas aleatoriamente) televisões ( escolhidas aleatoriamente) terem defeito?terem defeito?b)b)Qual a probabilidade de duas em cem Qual a probabilidade de duas em cem televisões ( escolhidas aleatoriamente) televisões ( escolhidas aleatoriamente) terem defeito, utilizando a aproximação terem defeito, utilizando a aproximação da distribuição de Poisson à distribuição da distribuição de Poisson à distribuição Binomial?Binomial?

Exercício 4:Exercício 4:Um jogador joga na roleta duzentas Um jogador joga na roleta duzentas vezes e aposta sempre no número vezes e aposta sempre no número sete. A probabilidade de ganhar em sete. A probabilidade de ganhar em cada jogada é 1/38. Qual a cada jogada é 1/38. Qual a probabilidade de perder nas duzentas probabilidade de perder nas duzentas vezes?vezes?