Distribuição Normal

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Modelos de Probabilidades

Introdução

Vamos trabalhar com distribuições de variáveis aleatórias contínuas

A distribuição mais importante de variável aleatória contínua é a distribuiçãonormal

Variável aleatória X: altura de um atleta, escolhido ao acaso, de entre osatletas de Portugal

Exemplo 1: Estudar a “altura” dos atletas que participam em competições

X é uma variável aleatória contínua

Distribuição Normal


Para estudar a população considere-se uma amostra constituida por 3560atletas, em que os dados obtidos estão organizados na tabela:

xi (em cm) Nº de atletas (fi) Frequência relativa fri

[150, 160[ 180 0,05

[160, 170[ 560 0,16

[170, 180[ 890 0,25

[180, 190[ 1110 0,31

[190, 200[ 630 0,18

[200, 210[ 190 0,05

Histograma e Polígono de fequências


Considerando cada vez mais observações e mais classes para o histograma, nolimite, o histograma terá o aspecto de uma linha curva representativa da funçãodensidade de probabilidade

A função densidade de probabilidade ou função de probabilidade, que serepresenta por uma curva com a forma de “sino” é, para a população, oequivalente ao histograma para a amostra

Esta função permite ter uma ideia intuitiva da distribuição de probabilidade deuma variável aleatória contínua


Uma função y = f(x) é uma função densidade de probabilidade de umavariável aleatória contínua X se:

• f(x) ≥ 0, para todo o x do intervalo em que está definida a variável aleatória;

• a área abaixo da curva é 1;

• a probabilidade de a variável tomar valores pertencentes ao intervalo [xi, xj]

é igual à área abaixo da curva e correspondente ao intervalo [xi, xj] conforme

sugere a figura.

xi xj

P(xi ≤ X ≤ xj) é igual à área a sombreado


A curva com o aspecto de “sino” é conhecidas por Curva Normal ou Curva deGauss

A curva normal fica caracterizada pelo valor médio e pelo desvio padrão

Uma distribuição normal de uma variável aleatória contínua, de valor médio e desvio padrão , representa-se por N(, )

Propriedades da curva normal

• É simétrica em relação a um eixo vertical que passa pelo ponto de abcissaigual ao valor médio da variável aleatória, assumindo aí o valor máximo


• Quanto maior for o desvio padrão , mais achatada é a curva

1 < 21

2

• A área compreendida entre a curva e o eixo das abcissas é igual a 1(probabilidade do acontecimento certo)

µ+

• A área compreendida entre a curva, o eixo das abcissas e as rectas verticaisque passam nos pontos - e + de abcissa é, aproximadamente, igual a0,683

µ-

P(µ- < X< µ+) = P(µ- ≤ X ≤ µ+) 0,683


• A área compreendida entre a curva, o eixo das abcissas e as rectas verticaisque passam nos pontos -2 e +2 de abcissa é, aproximadamente, igual a0,954

µ+2µ-2

P(µ-2 ≤ X ≤ µ+2) 0,954

µ+3

• A área compreendida entre a curva, o eixo das abcissas e as rectas verticaisque passam nos pontos -3 e +3 de abcissa é, aproximadamente, igual a0,997

µ-3

P(µ-3 ≤ X ≤ µ+3) 0,997


Na distribuição normal com média μ e desvio padrão σ:

• 68,3% das observações estão entre μ - σ e μ + σ

• 95,4% das observações estão entre μ - 2σ e μ + 2σ

• 99,7% das observações estão entre μ - 3σ e μ + 3σ

-3 +3-2 +2- +

34,13% 34,13%

13,59%13,59%

2,15%2,15%0,13%

0,13%

50%50%

N(, )


Exemplo 2: A distribuição dos pesos dos soldados de um quartel segue umadistribuição normal com µ = 64 e = 10 (em kg). Determine a percentagem desoldados que pesam:a) Mais de 64 kg

X: peso de um soldadoPretende-se determinar P(X > 64)

P(X > 64) = P( X > µ) = 0,5

µ50% dos soltados pesam mais de 64 kg


P(54 < X < 74) = P(µ - < X < µ - ) 0,683

µ- = 64 – 10 = 54

µ+ = 64 + 10 = 74µ- µ+

b) Entre 54 kg e 74 kg

Pretende-se determinar P(54 < X < 74)

Aproximadamente, 68,3% dos soldados têm um peso compreendido entre 54 kge 74 kg

c) Menos de 54 kg

Pretende-se determinar P(X < 54)

P(X < 54) = P(X < µ - ) = µ

Cerca de 15,85% dos soldados têm um peso inferior a 54 kgµ-


Calculadora gráfica (TEXAS)

Para obter o gráfico da função densidade da distribuição N(, ):

Em Y1 inserir DISTR/2:

normalpdf(X, , )

Janela: [0, 100]x[-0.001,0.05]

0,5 - 0,683/2 0,1585

d) Entre 45 kg e 70 kg


DISTR (2nd/vars)

2:normalcdf(limite inferior, limite superior, , )

P( 45 < X < 70) = normalcdf(45, 70, 64,10)

Para calcular P(a ≤ X ≤ b), faz-se:

DISTR/DRAW/1:shadeNorm(a, b, , )

Pretende-se determinar P(45 < X < 70)

Usar a função de distribuição normal acumulada normalcdf

Visualizar o intervalo indicado e calcular a probabilidade

Janela: [0, 100]x[-0.015,0.05]

0,69703

Uma distribuição normal fica definida dados o valor médio µ e o desvio-padrão

N(0, 1)

Representação gráfica da função densidade correspondente à distribuição

normal N(0, 1):


Distribuição Normal Standardizada

Distribuição normal standard ou Distribuição normal

standardizada ou Distribuição normal tipificada

Função densidade de uma variável aleatória N(µ, ) para diferentes parâmetrosµ e

N(3, 0.6)N(0, 2)

N(4, 8)

Dada uma variável aleatória X, define-se função distribuição ou funçãodistribuição cumulativa de X, à função F(x), definida por

Calcular P( a X b)


F(x) = P(X x), para todo o x real,

x

P( a X b) = F(b) – F(a)

ba

ou (x) = P(X x)

F(x)

Tabela


a) P( Z 1,25)

Exemplo 3: Determine em percentagem e com três casas decimais, asprobabilidades seguintes:

Tabela da distribuição normal

Procurar na coluna da

esquerda

1,2 (unidade, décima)

Procurar na linha de cima

0,05 (centésimas)

P( Z 1,25) 0,894 35

1,25 = 1,2 + 0,05

Distribuição Normal, N(0, 1), com µ = 0 e = 1



P( Z 1,25) = 0,5 + normalcdf(0, 1.25, 0, 1) 0,894 35

b) P( Z ≥ 1,3)

Tabela

P( Z ≥ 1,3) = 1 – P(Z 1,3) 1 – 0,9032 = 0,0968

Probabilidade pedida: 89, 435%


P( Z ≥ 1,3) = 0,5 - normalcdf(0, 1.3, 0, 1) 0,0968

Probabilidade pedida: 9,68%


c) P( Z 0,5)

Tabela

P(Z 0,5) 0,69146


P( Z 0,5) = 0,5 + normalcdf(0,0.5, 0, 1) 0,69146


d) P( Z ≥ - 0,5)

Tabela

P( Z ≥ -0,5) = P(Z 0,5) 0,69146


P( Z ≥ -0,5) = 0,5 + normalcdf(-0.5,0, 0, 1) 0,69146



e) P(0,2 Z 1,33)

Tabela

P(0,2 Z 1,33) = P(Z 1,33) – P(Z 0,2) 0,90824 – 0,57926


P(0,2 Z 1,33) = normalcdf(0.2, 1.33, 0, 1) 0, 32898


Tabela


P(-0,3 Z 1,32) = normalcdf(-0.3,1.32, 0, 1) 0,52449


= 0,32898

f) P(-0,3 Z 1,32)

P(-0,3 Z 1,32) = P(Z 1,32) – P(Z -0,3) = P(Z 1,32) – (1 - P(Z 0,3))

0,90658 – 1 + 0,61791

= 0,52449

Calcular a probabilidade de uma distribuição N(, )

Variável X da distribuição N(, )


Estandardização da variável

Variável Z da distribuição N(0, 1)

Estandardização ou tipificação da variável

Exemplo 4

Calcule P(8 < X < 11), sabendo que X N(10, 2)

P(-1 < Z < 0,5) = normalcdf(-1, 0.5, 0, 1) 0,533

Exemplo 5: Num estudo concluiu-se que o valor médio para a vida útil do motorde um autocarro é de sete anos com um desvio padrão de dois anos.Admita que a variável aleatória, X, que corresponde à vida útil de um motor deum autocarro, em anos, se distribui normalmente.

a) Determine, em percentagem, a probabilidade de um motor de umautocarro ter uma vida útil superior a 8 anos?

P(X > 8) = P( Z > (8 – 7)/2)

normalcdf(8, 500, 7, 2) 0,30854


A variável X: “vida útil de um motor de um autocarro” segue uma distribuição normal N(7, 2)

= P( Z > 0,5) = 1 - P( Z 0, 5)

= 1 – 0,69146 = 0,30854


P(X > 8) =

A probabilidade pedida é 30,85%

b) Determine a percentagem de motores de autocarros com uma vida útilentre 6 e 9 anos. Apresente os valores aproximados às décimas.

P(6 X 9) = P( X 9) – P(X 6)

normalcdf(6, 9, 7, 2) 0,5328


= P( Z (9 – 7)/2) – P( Z (6 – 7)/2)


= P( Z 1) – P( Z -0,5)

= P( Z 1) – P( Z ≥ 0,5)

= P( Z 1) – [1- P( Z < 0,5)]

= 0,84134 – 1 + 0,69146

= 0,5328

P(6 X 9) =

A probabilidade pedida é 53,28%

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