Distribuições de Probabilidades

Qual o objectivo da Estatística?

Estudar conjuntos de indivíduos (não necessariamente pessoas) com características comuns que são objecto de estudo.

Como definimos Variável ?

É uma característica comum, que assume

valores diferentes de indivíduo para indivíduo.

Variáveis

Qualitativas

QuantitativasDiscretas

Contínuas

Experiência aleatória

Lançar 3 moedas sucessivamente e verificar as faces que ficam voltadas para cima.

Associada a esta experiência, uma variável que pode ter interesse estudar é:

Nº de faces nacionais que saem no lançamento das 3 moedas.

N

E E

E

N

E

N

NEN

E

N

N

E

NNN

NNE

NENNEEENN

ENE

EEN

EEE

ResultadosVariável

“ nº de faces nacionais” X=3

X=2

X=1

X=2

X=1

X=1

X=0

X=2

Os valores possíveis para esta variável são:

0, 1, 2 ou 3

Mas em cada repetição da experiência não sabemos qual o resultado, pelo que à variável

chamamos variável aleatória.

Variável aleatória

É uma variável cujos valores são resultados numéricos associados aos resultados de uma experiência aleatória.

Retomemos a experiência aleatória referida:

Lançar 3 moedas sucessivamente e verificar as faces que ficam voltadas para cima.

Variável aleatória X

Nº de faces nacionais que se obtém no lançamento de uma moeda 3 vezes

Admitamos que a experiência aleatória que consiste no lançamento da moeda 3 vezes, foi realizada 1000 vezes.

A variável aleatória X é definida por “ nº de faces nacionais”

Distribuição de frequências relativas

xi 0 1 2 3

f. abs 130 370 372 128

fri130

1000

370

1000

372

1000

128

1000

N

E E

E

N

E

N

NEN

E

N

N

E

NNN

NNE

NENNEEENN

ENE

EEN

EEE

ResultadosVariável aleatória

“ nº de faces nacionais X=3

X=2

X=1

X=2

X=1

X=1

X=0

X=2

Temos então:

P(X=3)=p{(NNN)}=1

8

P(X=2)=p{(NNE), (NEN), (ENN)}=

P(X=1)=p{(NEE), (ENE),(EEN)}=

P(X=0)=p{(EEE)}=

3

83

81

8

Distribuição de Probabilidades

X=xi 0 1 2 3

P(X=xi) 1

8

3

8

3

8

1

8

Compilando os resultados anteriores numa tabela designada tabela de distribuição de probabilidades:

Faz-se corresponder a cada valor da variável aleatória a probabilidade da variável tomar esse valor.

Repare-se que:

A probabilidade da variável aleatória assumir um dos seus valores admissíveis está entre 0 e 1.A soma das probabilidades da variável aleatória assumir qualquer um dos seus valores é igual a 1.

Distribuição de Probabilidades

X=xi 0 1 2 3

P(X=xi) 1

8

3

8

3

8

1

8

Distribuição de frequências relativas

Relembrem…

xi 0 1 2 3

f. abs 130 370 372 128

Fri130

1000

370

1000

372

1000

128

1000

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3

Distribuição das frequências relativas

Distribuição de probabilidades

Definimos uma função que se chama distribuição de probabilidades ou função massa de probabilidades de uma variável aleatória discreta X como sendo a aplicação que associa a cada valor xi da variável X a probabilidade pi da variável tomar esse valor.

Média versus valor médio(*)

A média é uma característica da amostra e portanto o seu valor varia de amostra para amostra, sendo calculado para cada uma.

O valor médio é uma característica da população, fixa, embora na maior parte das vezes desconhecida.

(*) valor esperado ou esperança matemática

1n

i ii

f xx

n 1

n

i ii

p x

Desvio padrão amostral versus Desvio padrão populacional

2

1

( )

n

i ii

f x x

n

2

1

( )

n

i ii

p x