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Sidney de Oliveira Lins

Otimização de Forma Aplicando B-splinessob Critério Integral de Tensões

Natal – RN

Fevereiro – 2009

Livros Grátis

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA MECÂNICA

Otimização de Forma Aplicando B-splinessob Critério Integral de Tensões

Dissertação submetida à

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

como parte dos requisitos para obtenção do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

Sidney de Oliveira Lins

Natal – RN

Fevereiro – 2009

Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Lins, Sidney de Oliveira.Otimização de forma aplicando B- sob critério integral de

tensões / Sidney de Oliveira Lins. – Natal, RN, 2009.140 f.

Orientadores: João CarlosArantes Costa Júnior.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande doNorte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em EngenhariaMecânica.

1. Engenharia mecânica – Dissertação. 2. Método de Otimização deForma – Dissertação. 3. Método lagrangiano aumentado Dissertação. 4.Método dos elementos finitos – Dissertação. 5. Modelagem geométrica decurva – Dissertação. 6. Curvas paramétricas – Dissertação. 7. B- –Dissertação. I. Costa Júnior, João Carlos Arantes. II. UniversidadeFederal do Rio Grande do Norte. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 621(043.3)

splines

–

splines

Epígrafe

“Continue a navegar, destemido, pelo turbulento mar da existência.

Mesmo que a bússola quebre e o leme pare de funcionar,

mesmo que a noite seja escura e pareça que seu barco vai naufragar,

continue adiante porque Deus é seu guia.

Se ele pode controlar os reinos e governar as nações,

por que Se esqueceria de Você?”

Alejandro Bullón - autor do livro: Janela para Vida

“Para mim, e para a grande maioria dos cientistas respeitáveis,

a ciência não lida com os segredos naturais e nem mesmo

com as verdades. Ciência é simplesmente o método que usamos

para tentar postular um número mínimo de hipóteses

que podem explicar, através de uma derivação lógica,

a existência de muitos fenômenos da natureza.”

Eliyahu Goldratt - autor do livro: A Meta

Dedicatória

As minhas filhas Haydée, Ana Leonor e Aída Caroline,

aos meus pais José e Ilza Lins, aos meus irmãos Cheila, Charles e

Alzira pela motivação, incentivo, carinho e amor.

Palavra alguma refletirá o grande

amor que sinto por vocês.

Agradecimentos

Expresso primeiramente à Deus por estar presente na minha vida e pelo auxílio no desen-

volvimento deste trabalho, por ter sido um grande facilitador nesta minha realização pessoal e

profissional. Certamente não conseguiria sem a ajuda e as orientações do Professor e Amigo

João Carlos Arantes Costa Júnior. Sua atenção, otimismo, apoio e paciência levou-nós a tra-

balharmos com o mesmo objetivo. A ele, a minha satisfação, reconhecimento e respeito pelos

ensinamentos

À UFRN pela aceitação e a realização do presente trabalho; à CAPES pela a bolsa de

pesquisa concedida; aos professores e funcionários do programa da Pós-graduação do Departa-

mento de Engenharia Mecânica – PPGEM pelas horas dedicadas ao ensino e à formação de cada

mestrando e doutorando do curso; aos membros da bancada examinadora, os professores Ma-

noel Firmino de Medeiros Júnior, Raimundo Ricardo Matos da Cunha e Selma Hissae Shimura

da Nóbrega, pelas contribuições e sugestões

Aos amigos do Departamento de Engenharia da ABB do site da Ford em Camaçari (Marco

Reis, Rossini Santos, Rounald Santos, Alfredo Bandeira, Fernando Razoni, Juçara Lima, Ri-

cardo Breckenfeld, Sérgio Provenzano, Vanderson Valente e Wilson) pelo apoio, companhe-

irismo, incentivo e recomendação para realização desse projeto.

Aos meus pais José Lins, Ilza Lins e aos meus irmãos Cheila, Charles e Alzira pela credi-

bilidade e incentivo; e aos amigos Elias Nakai, Leandro Marx, Cintia Fernandes, Paulo Sérgio,

Patrícia Pereira, Sheylla Scortt; a família Nakai; aos amigos baianos Jussara, Getulinho e Suzy,

Leitinho e Ricardo; aos amigos do mestrado, Duciane Freita, Vinícius Prata, Paulo Alison e

Rairam Almeida; a turma da Fundação FMM hoje conhecida como Scion pelas horas de dis-

trações e torcida para realização do mestrado.

E a todos que direta ou indiretamente contribuíram para realização deste Mestrado.

Sumário

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

Lista de abreviaturas e siglas

Lista de símbolos

Resumo

Abstract

Apresentação 1

Prolegômenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Revisão Bibliográfica 6

1.1 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Otimização Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Otimização Paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2 Otimização de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3 Otimização Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Modelagem Geométrica de Curvas 18

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Resumo Geral de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Continuidade de Curvas Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Curva Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Curva Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Curva Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Curva B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.1 B-splines uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.2 B-splines não-uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6.3 B-splines fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6.4 B-splines não-uniformes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7 Implementação Computacional Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Técnica de Otimização 38

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Formulação do Problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Valor Mínimo da Função Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Condições Necessárias de Otimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Direção de Descida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Método Lagrangiano Aumentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Modelo de Aproximação e Análise de Sensibilidade 53

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.1 Elasticidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.2 Equação de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.3 Formulação Forte do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.4 Formulação Fraca do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Formulação Discreta - Método dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.1 Transformação do Domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Modelo de Aproximação do Problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5 Análise da Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5.1 Sensibilidade de £A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5.2 Sensibilidade da função restrição global em relação à variável de projeto 71

4.5.3 Sensibilidade da função restrição local em relação à variável de projeto . 71

4.5.4 Sensibilidade do vetor tensão em relação à variável de projeto . . . . . . . . . 72

4.5.5 Sensibilidade da matriz de rigidez K em relação à variável de projeto . . . 72

4.5.6 Sensibilidade da função restrição global em relação ao vetor de deslo-

camentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.6 Estratégia da Qualidade da Malha do Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.7 Implementação Numérica do PMOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5 Análise do Resultado Final 79

5.1 Exemplo 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2 Exemplo 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3 Exemplo 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4 Exemplo 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.5 Exemplo 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.6 Exemplo 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.7 Exemplo 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.8 Exemplo 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.9 Exemplo 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.10 Exemplo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6 Conclusão 107

6.1 Comentários Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2 Perspectiva de Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Referências Bibliográficas 110

Anexo A -- Método da Penalidade 116

A.1 Método da Função de Penalidade Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A.2 Método da Função de Penalidade Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Lista de Figuras

Figura 1.1 Resultado da otimização estrutural de Michell [1904] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Figura 1.2 Resultado do Estudo de Smith, simulando o modelo de Michell [1904] . . . . . . 8

Figura 1.3 Exemplos representativos dos Métodos de Otimização Estrutural . . . . . . . . . . . . 14

1.3.a Problema inicial para o Método de Otimização Paramétrica . . . . . . . . . . . 14

1.3.b Projeto final pelo Método de Otimização Paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.c Problema inicial para o Método de Otimização de Forma . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.d Projeto final pelo Método de Otimização de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.e Problema inicial para o Método de Otimização Topológica . . . . . . . . . . . 14

1.3.f Projeto final pelo Método de Otimização Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Figura 2.1 Continuidade da função de interpolação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Figura 2.2 Conectividade dos segmentos de curvas paramétrica cúbica de Bézier com 4

pontos de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Figura 2.3 Controle de um segmento da curva B-spline cúbica passando um conjunto de

pontos-chave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 2.4 Curvas B-splines uniformes com ordem de n= 2,3,4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 2.5 Curva B-spline fechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 2.6 Esquema da curva B-spline cúbica passando um conjunto de pontos-chave. . . . 34

Figura 2.7 Segmento paramétrica da uma curva B-spline. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 2.8 Representação de uma estrutura por segmento paramétrico de curvas B-splines

com 19 pontos-chaves e 15 segmentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Figura 3.1 Classificação da Programação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 4.1 Descrição do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 4.2 Elemento Finito Triangular Tri6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 4.3 Transformação do Domínio do sistema (x,y)⇒ (ξ ,η) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.a Elemento triangular na coordenada global (x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.b Elemento triangular na coordenada local (ξ ,η) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 4.4 Estrutura do sistema PMOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Figura 4.5 Algoritmo generalizado do PMOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Figura 5.1 Concepção do modelo do Exemplo 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1.a Concepção da geometria do projeto do Exemplo 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1.b Condições de contorno do problema de otimização do Exemplo 01 . . . 80

Figura 5.2 Resultado Final do exemplo 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.a Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.b Resultado da otimização do Exemplo 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81



5.3.b Condições de contorno do problema de otimização do Exemplo 02 caso

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3.c Condições de contorno do problema de otimização do Exemplo 02 caso

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Figura 5.4 Resultado final do Exemplo 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4.a Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 02 caso 1 . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4.b Resultado da otimização do Exemplo 02 caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4.c Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 02 caso 2 . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4.d Resultado da otimização do Exemplo 02 caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


5.5.a Condições de contorno do problema de otimização Exemplo 03 caso 1 85

5.5.b Condições de contorno do problema de otimização Exemplo 03 caso 2 85







5.7.a Condições de contorno do problema de otimização Exemplo 04 caso 1 87

5.7.b Condições de contorno do problema de otimização Exemplo 04 caso 2 87







5.9.a Condições de contorno do problema de otimização do Exemplo 05 caso

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89






5.10.e Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 05 caso 3 . . . . . . . . . . . . . . 90

5.10.f Resultado da otimização do Exemplo 05 caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90



5.11.b Condições de contorno do problema de Otimização do Exemplo 06 . . . 92


5.12.a Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.12.b Resultado da otimização do Exemplo 06 ν = 0,45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.12.c Resultado da otimização do Exemplo 06 ν = 0,47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.12.d Resultado da otimização do Exemplo 06 ν = 0,48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.12.e Resultado da otimização do Exemplo 06 ν = 0,49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.12.f Resultado da otimização do Exemplo 06 ν = 0,499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


5.13.a Concepção da geometria do Projeto do Exemplo 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.13.b Condições de contorno do problema de Otimização do Exemplo 07 . . . 95





5.15.a Concepção da geometria do projeto do Exemplo 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Figura 5.16 Resultado final do Exemplo 08 caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97



5.16.c Resultado da otimização do Exemplo 08 caso 1 com limite de tensão . . 97




5.17.c Resultado da otimização do Exemplo 08 caso 2 com limite de tensão . . 98

Figura 5.18 Resultado final do Exemplo 08 caso 3 - refino da malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.18.a Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 08 caso 3 - refino da

malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.18.b Resultado da otimização do Exemplo 08 caso 3 - refino da malha . . . . . 98

5.18.c Resultado da otimização do Exemplo 08 caso 3 - refino da malha . . . . . 98




1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100




Figura 5.21 Resultado final do exemplo 09 caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101





5.22.b Condições de contorno do problema de otimização do Exemplo 10 . . . . 104

Figura 5.23 Resultado final do Exemplo 10 para 1/4 simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.23.a Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 10 para 1/4 simetria . . . . 104

5.23.b Resultado da otimização do Exemplo 10 para 1/4 simetria . . . . . . . . . . . . 104




Figura A.1 Método Penalidade Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Figura A.2 Método Penalidade Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 Dados de uma curva B-spline cúbica passando por um conjunto de pontos-

chave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Tabela 2.2 Valores dos coeficientes do sistema de equações e pontos de controle das ex-

tremidades para as condições de contorno da B-splines cúbicas. . . . . . . . . . . . . 37

Tabela 5.1 Propriedade Mecânica do Aço ASTM-A36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Tabela 5.2 Resultado numérico do exemplo 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Tabela 5.3 Resultado da função objetivo e do critério de tensão do Exemplo 01 . . . . . . . . . 82

Tabela 5.4 Resultado numérico do Exemplo 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Tabela 5.5 Vetor direção do Exemplo 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84



Tabela 5.8 Vetor direção do exemplo 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
















Tabela 5.24 Vetor direção do Exemplo 09 caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


Tabela 5.26 Resultado numérico do exemplo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105



Tabela 5.29 Comparação entre os algoritmos de programação matemática . . . . . . . . . . . . . . . 105

Lista de abreviaturas e siglas

2D Bidimensional

3D Tridimensional

CAD Computer Aided Design

CAE Computer Aided Engineering

CAM Computer Aided Manufacturing

CIM Computer Integrated Manufacturing

EPD Estado Plano de Deformação

EPT Estado Plano de Tensão

GIS Geographic Information Systems

GRG Generalized Reduced Gradient

KKT Condições de ótimo de Karush, Kuhn e Tucker

MDF Método das Diferenças Finitas

MEC Método dos Elementos de Contorno

MEF Método dos Elementos Finitos

MEMS Micro-electro-mechanical Systems

MLA Método Lagrangiano Aumentado

MMQ Método Mínimos Quadrados

MOF Método de Otimização de Forma

MOT Método de Otimização Topológica

MVF Método dos Volumes Finitos

NURBS Non Uniform Rational B-splines

PMOF Programa do Método de Otimização de Forma

SI Sistema Internacional de Unidades

SQP Sequential Quadratic Programming

Lista de símbolos

Ke Matriz de rigidez elementar

N Funções de interpolação de elementos finitos

R Conjunto dos números reais

Bo Vetor força de corpo por unidade de volume

G Matriz dos coeficientes dos polinômios

Gi Ponto de controle

H Matriz Hessiana da função objetivo

K Matriz de rigidez global

M Matriz da função-base da representação paramétrica

Nni (t) Funções-base de aproximação das curvas paramétricas

P(t) Representação paramétrica de uma curva

Pi Ponto-chave

R j Vetor Resíduo

T Vetor da variável paramétrica

Z j Vetor Solução do Sistema

Ae Área do elemento

Qi Segmentos das curva

d Vetor de perturbação

dk Direção de descida

gi Vetor posição do ponto de controle Gi

hi Vetor pesos da curva NURBS

s Vetor das variáveis de projeto

t Vetor de nós

f (s) Função objetivo

gi(s) Função restrição de desigualdade

h j(s) Função restrição de igualdade

n Ordem grau das funções-base polinomial parametrizada

pi Polinômios cúbicos

r Parâmetro de penalidade

sin f Restrição do limite lateral inferior

ssup Restrição do limite lateral superior

t Coordenada paramétrica de uma curva

zi Vetor da variável de folga

Γt Parte do contorno sob tração prescrita

Γu Parte do contorno sob deslocamento prescrito

Ωs Conjunto solução da região factível

Ω Domínio genérico do projeto

∇ Gradiente de uma função

α Tamanho do passo da busca linear

ηk Parâmetro de Severidade da Penalidade

γ Escalar que pertence ao intervalo [0,1]

λ Multiplicador de Lagrange da função restrição de desigualdade

µ Multiplicador de Lagrange da função restrição de igualdade

φ Função objetivo penalidade

ψ Função penalidade das restrições

∨ Conectivo lógico “ou”

£ Função Lagrangiana

£A Função Lagrangiana Aumentada

∂Ω Domínio do contorno

∂ Operador diferencial

∆ f Variação do valor da função

Resumo

Neste trabalho propõe-se uma metodologia computacional para resolver problemas de Oti-

mização de Forma para projeto estrutural. A aplicação é particularizada para problemas bidi-

mensionais em estado plano de tensões, de modo a minimizar a massa atendendo um critério de

tensão. Para atender ao critério paramétrico de tensões é proposto um critério global de tensão

de von Mises, dessa maneira, amplia-se o critério local de tensões sobre o domínio, visando à

obtenção de programas mais seguros. O problema é aproximado pelo Método dos Elementos

Finitos utilizando elementos triangulares da base Lagrangiana padrão com seis nós, tendo uma

estratégia de geração automática de malhas baseada em um critério geométrico do elemento.

O modelo geométrico do contorno material é definido por curvas paramétricas B-splines.

Estas curvas possuem características vantajosas para implementação do processo de otimização

de forma, que se utiliza dos pontos-chave para determinar o mínimo do problema.

A formulação do problema de otimização faz uso do Método Lagrangiano Aumentado,

que transforma o problema de otimização com restrição, em problema irrestrito. A solução da

função Lagrangiana Aumentada é alcançada pela determinação da análise das sensibilidades

analíticas em relação aos pontos-chave da curva B-spline. Como conseqüência, o problema

de otimização reduz-se à solução de uma seqüência de problemas de limites laterais do tipo

caixa, o qual é resolvido por um método de projeção de segunda ordem que usa o método de

Quase-Newton projetado sem memória.

São demonstrados vários exemplos para o Método de Otimização de Forma integrado a

Análise da Sensibilidade Analítica sob o critério global de tensão de von Mises.

Palavras-chave: Método de Otimização de Forma, Método Lagrangiano Aumentado, Mé-

todo Elementos Finitos, Modelagem Geométrica, Curvas Paramétricas B-splines.

Abstract

This work proposes a computational methodology to solve problems of optimization in

structural design. The application develops, implements and integrates methods for structural

analysis, geometric modeling, design sensitivity analysis and optimization. So, the optimum

design problem is particularized for plane stress case, with the objective to minimize the struc-

tural mass subject to a stress criterion. Notice that, these constraints must be evaluated at a

series of discrete points, whose distribution should be dense enough in order to minimize the

chance of any significant constraint violation between specified points. Therefore, the local

stress constraints are transformed into a global stress measure reducing the computational cost

in deriving the optimal shape design. The problem is approximated by Finite Element Method

using Lagrangian triangular elements with six nodes, and use a automatic mesh generation with

a mesh quality criterion of geometric element.

The geometric modeling, i.e., the contour is defined by parametric curves of type B-splines,

these curves hold suitable characteristics to implement the Shape Optimization Method, that

uses the key points like design variables to determine the solution of minimum problem.

A reliable tool for design sensitivity analysis is a prerequisite for performing interactive

structural design, synthesis and optimization. General expressions for design sensitivity ana-

lysis are derived with respect to key points of B-splines. The method of design sensitivity

analysis used is the adjoin approach and the analytical method. The formulation of the opti-

mization problem applies the Augmented Lagrangian Method, which convert an optimization

problem constrained problem in an unconstrained. The solution of the Augmented Lagrangian

function is achieved by determining the analysis of sensitivity. Therefore, the optimization

problem reduces to the solution of a sequence of problems with lateral limits constraints, which

is solved by the Memoryless Quasi-Newton Method.

It is demonstrated by several examples that this new approach of analytical design sensi-

tivity analysis of integrated shape design optimization with a global stress criterion purpose is

computationally efficient.

Keywords: Shape Optimization Method, Augmented Lagrangian Method, Finite Element

Method, Geometric Modeling, Parametric Curves.

Apresentação

Prolegômenos

Desde os primórdios, o homem busca a melhoria no processo de manufatura para obter uma

boa condição de vida. No decorrer dos anos, a repetição e a melhoria nos distintos processos

de manufatura passaram por etapas de reduções de desperdícios dos esforços de trabalho. O

sucesso das melhorias dos processos é obtido por tentativas e erros, e na ausência de conheci-

mento, busca-se a solução com problemas similares. No entanto, essa concepção está mudando,

conforme o avanço das novas tecnologias. A Otimização entra neste contexto para buscar a me-

lhor solução de uma função objetivo.

A resultante desse processo de melhoria é a criação de artefatos1 consistentes da experiên-

cia prática bem sucedida dos especialistas de cada área. O grande desafio na construção de

um artefato recai na tomada de decisão para buscar a solução ótima, de forma que a criação

pode originar-se de modelos físicos ou intuições empíricas adquiridas ao longo do tempo de

experiência na área de desenvolvimento em questão.

O processo de melhoria também é inerente à engenharia, como se observa no projeto de

vários artefatos nos diversos ramos das engenharias. Os projetos são aperfeiçoados no decorrer

dos anos visando à redução de desperdício e eficiência na funcionalidade. Num sentido filosó-

fico, os artefatos para engenharia consubstanciam-se no sentido de proporcionar ou ampliar a

sua capacidade funcional, pela aplicação de métodos científicos e empíricos à utilização dos

recursos disponíveis em benefício do ser humano.

O método de otimização é uma poderosa ferramenta para sistematizar a escolha da melhor

decisão respeitando certos critérios especificados para construção do artefato. O desenvolvi-

mento do método de otimização é realizado por aplicações multidisciplinares nas quais regis-

tram convivências em diversas situações do cotidiano da engenharia de projeto que estimulam a

busca da ótima decisão ou solução para maximizar a eficiência do desempenho de um artefato.

De forma sistemática, iterativa e autônoma, de maneira a aproveitar o máximo dos recursos

do sistema, visando compartilhar a ótima solução numa sociedade extremamente competitiva

como a nossa.1O termo artefatos é definido neste trabalho como produto manufaturado ou simplesmente de objeto.

Desde a década de 60, vários estudos de algoritmos numéricos computacionais foram reali-

zados para automatizar, de forma iterativa a busca da solução ótima de determinado funcional.

Denominado de função objetivo, pode ser unidimensional ou multidimensional. No entanto,

os avanços das pesquisas na área da engenharia numérica são obtidos na medida em que a tec-

nologia dos computadores de alto desempenho se encontra com certa disponibilidade no meio

acadêmico. Atualmente, os resultados dessas pesquisas estão tornando uma realidade tanto no

nível acadêmico quanto industrial.

O processo de otimização consiste em maximizar ou minimizar a função objetivo. As

inúmeras pesquisas sobre o tema se defrontam com alguns obstáculos durante a solução. Entre

as principais dificuldades do processo de otimização, citam-se:

- O grande esforço computacional pelo fato de que os métodos exigem solução iterativa

para otimizar a função objetivo;

- A existência de extremos locais que aumentam a dificuldade de convergência com o au-

mento da quantidade de variáveis de projeto;

- A inclusão de termo não-linear no problema que contribui para lentidão da convergência

da função objetivo.

A Otimização Estrutural iniciou com o estudo de Michell [1904]. A indústria aeroespa-

cial investiu no desenvolvimento de produtos e componentes estruturais em seus projetos com

objetivo de minimizar o peso estrutural. E, conseqüentemente, maximizar a autonomia de com-

bustível, além de melhorar o desempenho aerodinâmico, afim de reduzir a resistência do ar e

suportar grandes solicitações de pressão. Destarte, a indústria automobilística acompanhou os

mesmos passos da indústria aeroespacial.

Na área militar, a otimização desperta interesse estratégico na construção de pontes tre-

liçadas de forma a otimizar a fabricação, o tempo de logística, o tempo de montagem e o peso

[NADIR, 2004]; e na indústria de armamentos bélicos, como exemplos, no projeto de torpedos

e mísseis procurando minimizar a resistência ao escoamento [PORTER et al., 2003].

Segundo os artigos de Cohn e Dinovitzer [1994], Sarma e Adeli [1998], na área da constru-

ção civil encontram-se vastos trabalhos em otimização estrutural com o objetivo de maximizar a

rigidez da estrutura e aplicações em edificações, torres, pontes, reservatórios metálicos, perfis de

estruturais metálicas, isto se deve à simplificação da formulação em utilizar material isótropo e

homogêneo, em vez de usar o concreto armado que envolve materiais distintos. Por outro lado,

as aplicações na prática são comparativamente modestas devido às formulações matemáticas

que não são suficientemente robustas para lidar com problemas complexos de projeto. Sarma

e Adeli [1998], Nogueira [2005] motivam a utilização do Método de Otimização Estrutural

baseado em confiabilidade e no custo de construção civil em vez do peso estrutural.

O Método de Otimização visa atender à atual e crescente demanda de mercado que emana

o desenvolvimento de artefatos mais competitivos, exigindo melhoria e até mesmo novas con-

cepções de projeto de acordo com Arora [2004] de forma a garantir redução de custos de projeto,

de impactos ambientais, aumento na segurança, produtividade e qualidade. No entanto, a otimi-

zação não é a chave para resolver todos os fatores citados, porém é uma técnica multidisciplinar

para auxiliar na obtenção de projetos ótimos. Sendo assim, o trabalho tem a proposta de obter

leiaute ótimo de projetos estruturais usando o Método de Otimização de Forma, com objetivo

de modificar a forma do componente estrutural com a finalidade de minimizar o volume de ma-

terial, satisfazendo a um critério global de tensão. Em síntese, a proposta visa reduzir a matéria

prima, diminuindo o desperdício de material localizado no contorno, proporcionando contornos

suaves e homogeneidade na tensão.

Objetivo

Com a globalização industrial, a escassez de recursos naturais e financeiros tem acelerado

a busca de novos materiais, métodos e processos que venham gerar a melhor relação custo-

benefício nas mais diversas áreas da ciência. Dentro deste cenário, os projetos de componentes e

sistemas mecânicos estão sendo desenvolvidos para atender o máximo de solicitação mecânica,

de modo à assegurar a funcionalidade e confiabilidade, e conseqüentemente, a obtenção de

projetos mais eficientes. Os Métodos de Otimização podem ser aplicados nesse contexto, de

modo que seus conceitos agregam conhecimentos e tecnologias multidisciplinares na busca da

ótima solução dos mais variados objetivos funcionais.

Os projetos baseados na concepção em sistemas Computer Aided Engineering - (CAE),

Computer Aided Manufacturing - (CAM) e Computer Integrated Manufacturing - (CIM) têm

despertado interesse nos últimos anos para a área computacional, principalmente na integração

entre os sistemas e os problemas associados com leiaute ótimo. Desta maneira, novos métodos

de otimização têm sido propostos e desenvolvidos de forma a integrar com os demais ambientes

de desenvolvimentos de projetos no intuito de reduzir o tempo de projeto.

O presente trabalho tem como principais objetivos:

- Desenvolver um sistema computacional com a metodologia de otimização de forma apli-

cado em estrutura bidimensional no estado plano de tensão utilizando o Método La-

grangiano Aumentado;

- Descrever o modelo geométrico por curva paramétrica B-splines cúbicas;

- Propor um critério de restrição global de tensão, dessa maneira, amplia-se o critério local

de tensões sobre o domínio;

- Propor uma estratégia de geração de malha automática para o Método de Otimização de

Forma.

Os projetos baseado na concepção do Método Otimização Estrutural têm auxiliando os pro-

jetistas a desenvolverem projetos computacionais tais como: dispositivos da mecânica de pre-

cisão, isto é, o desenvolvimento de mecanismos para discos rígidos de computadores, cabeçote

óptico para DVD-CD, máquinas fotográficas; na área biomédica, em projeto de instrumen-

tações cirúrgicas tais com garras, pinças, tesouras e mecanismos que produzam movimen-

tos variados como os instrumentos de cirurgia; na área de eletrônica, na construção de sis-

temas microeletromecânicos (Micro-electro-mechanical Systems - MEMS) como a fabricação

de nanomanipuladores, membranas; na área de semicondutores, miniaturização dos circuitos

eletrônicos; na área aeroespacial no desenvolvimento de airfoil; na indústria automobilística,

no desenvolvimento de estrutura mais leves que suportem os limite máximos de esforços, per-

mitindo a redução de custos de fabricação, de tempo de montagem, de logística e outros pro-

cessos indiretos para tornar o projeto competitivo no mercado globalizado.

Organização do Trabalho

O trabalho está organizado em seis capítulos, além dos anexos, sendo estruturado do seguinte

modo:

1. Revisão Bibliográfica: aborda a evolução do desenvolvimento histórico da linha de pes-

quisa sobre otimização estrutural desde Marxwell até atualidade. Apresenta também a

classificação do processo de otimização clássica conhecida pelos pesquisadores da área e

seus conceitos fundamentais;

2. Modelagem Geométrica de Curvas: expõe os princípios fundamentais da modelagem

geométrica das curvas splines2 e formulação das funções-base que descrevem matemati-

camente a função objetivo do problema de Otimização de Forma proposto neste trabalho

através de curvas paramétricas cúbicas B-splines;

3. Técnica de Otimização: explana o método de otimização com restrição e a sua transfor-

mação em um problema irrestrito utilizando o Método Lagrangiano Aumentado;

4. Modelo de Aproximação e Análise de Sensibilidade: desenvolve a formulação do pro-

blema genérico de otimização com objetivo de minimizar o volume sob o critério de

tensão de von Mises utilizando o Método dos Elementos Finitos com elemento Tri6.

Apresenta os cálculos da análise da sensibilidade e faz uma síntese da implementação

computacional;

5. Análise do Resultado Final: disserta sobre o resultado da simulação numérica da formu-

lação proposta e apresenta a análise das respostas do software desenvolvido;

6. Conclusão: discute os resultados, suas vantagens, limitações do procedimento e os de-

safios para novos trabalhos que porventura venham seguir essa linha de pesquisa;

Referência Bibliográfica: expõe a lista dos artigos, livros, dissertações e teses que supor-

tam o desenvolvimento deste trabalho.

2Nome é de origem da língua inglesa, denotado para régua estreita e flexível feita de madeira ou outro materialque possua a mesma flexibilidade, utilizada para traçar curvas suaves em pontos determinados. No entanto, paramatemática é uma função de interpolação que representa curvas [FOLEY et al., 1996].

1 Revisão Bibliográfica

1.1 Histórico

Uma revisão bibliográfica se torna necessária para o neófito compreender o desenvolvi-

mento histórico e a tendência atual dos processos e aplicações da otimização estrutural na

mecânica computacional, por se tratar de uma linha de pesquisa multidisciplinar.

Sendo a base deste trabalho o estudo de otimização, teve-se a preocupação com os conceitos

e noções fundamentais, adquiridos e sugeridos como referência os “clássicos” livros de Vander-

plaatz [1984]; de Bazaraa, Sherali e Shetty [1993]; de Nocedal e Wright [1999]; de Fletcher

[2000]; de Luenberger [2003] e de Arora [2004]. Estas são as principais referências bibli-

ográficas quando inicia-se o estudo de otimização, posteriormente para aplicação práticas de

otimização estrutural recomenda-se o livro de Bendsøe e Signmund [2003] antes de prosseguir

para os artigos específicos da área de otimização da mecânica computacional.

A teoria da matemática clássica da otimização tem seu início no século XVII juntamente

com o desenvolvimento do cálculo diferencial. As condições necessárias de pontos estacionários

de uma função diferenciável foram estabelecidas por Euler e a extensão de tais condições para

problemas sujeitos a restrições de igualdade foi realizada por Lagrange. Em 1951, Karush,

Kuhn e Tucker estabeleceram as condições de otimalidade para problemas sujeitos a restri-

ções de desigualdade, conhecidas na literatura como as condições de KKT, obtendo assim o

enunciado geral do problema de otimização de funções diferenciáveis [BAZARAA; SHERALI;

SHETTY, 1993].

Até a década de 60, não houve grandes evoluções na otimização estrutural, porém com o

surgimento dos computadores e o desenvolvimento de métodos numéricos para executar cálcu-

los de aproximações, tais como: Método dos Elementos Finitos - (MEF), o Método das Dife-

renças Finitas - (MDF), o Método dos Elementos de Contorno - (MEC), o Método dos Volumes

Finitos - (MVF), e o Método dos Mínimos Quadrados - (MMQ), ocorreu uma revolução no

cotidiano do engenheiro estrutural.

1.1 Histórico 7

Entre os métodos citados, o MEF se destaca na área de Estruturas e é utilizado nos softwares

comerciais consolidados pela área científica e pela área de engenharia de aplicação de projeto

estrutural. Basicamente o método subdivide o domínio global em subdomínios de forma ge-

ométrica simples denominada elementos finito formando uma malha de elementos finitos, na

qual caracteriza o domínio global de forma discreta. Utiliza-se função de aproximação que

descreve o comportamento estrutural do modelo matemático, dessa forma tem-se o sistema de

equações algébricas lineares que pode ser calculado numericamente [COOK, 1995; BATHE,

1996; MOTTRAM; SHAW, 1996]. Portanto, o problema passa de uma função definida em

cada ponto infinitesimal do domínio para valores aproximados definidos em pontos específi-

cos dos subdomínios denominados de “nós”. Quando uma estrutura é formulada pelo MEF,

naturalmente são também aproximados os parâmetros estruturais que serão otimizados. Em

contraste com o modelo contínuo, onde se busca a extremidade de uma função objetivo, no

modelo discreto busca-se um conjunto de parâmetros discretos que representam o ponto ótimo

[SANT’ANNA, 2002].

Nas décadas de 60 a 80 o processamento de dados numérico era executado por mainframe

ou supercomputadores. A partir da década de 90, o desenvolvimento computacional evolui de

forma surpreendente, de modo que as estações de trabalho, ou seja, os desktops e os notebooks

começam a ter capacidade de processamento para algumas aplicações práticas da engenharia,

com uma redução de área física e um custo financeiro acessível. Mais recentemente, com o

conceito de processamento paralelo, surgiu a tecnologia de programação paralela que não é o

foco deste trabalho, porém é importante comentar os objetivos desta tecnologia: reduzir tempo

de processamento computacional; distribuir a capacidade de armazenamento e processamento

de dados na memória; e flexibilizar a integração de grandes projetos. Isto se torna possível

pelo desenvolvimento de tecnologia específica em rede local de computadores, que possibilita

distintos computadores comunicarem-se entre si [LEITÃO; SCHIOZER, 1998; VERDE; FER-

REIRA; PFITSCHER, 2005]. A programação paralela agrega valor para aplicações científicas

e da engenharia a um custo econômico interessante e tangível no que diz respeito aos proces-

sadores e memórias de baixo custo.

As primeiras pesquisas de otimização estrutural foram desenvolvidas no século XIX por

James Clerk Maxwell [MAXWELL, 1872], e Michell deu continuidade ao trabalho de Maxwell

que visava buscar o critério de máxima rigidez com mínimo de material para uma configu-

ração estrutural de treliça submetida a um único carregamento, sujeito a restrição de tensão

[MICHELL, 1904] com mostra na figura 1.1. Seu princípio consiste em calcular o campo das

principais isotensões, para isso utiliza a teoria da elasticidade para o caso de uma força aplicada

a um ponto de um domínio infinito sujeita as restrições de deslocamento em outros pontos.

1.1 Histórico 8

Obtidas as linhas de isotensões principais, a idéia é alinhar as barras nas mesmas direções das

principais tensões calculadas no domínio. Portanto, o ótimo leiaute seria aquele no qual os

elementos estariam sujeitos apenas a tração e compressão e não haveria momento fletor. As

formulaões foram resolvidas analiticamente sobre um domínio contínuo. Mas na época, foi

considerada apenas como uma abordagem acadêmica e com solução analítica de difícil apli-

cação em situação prática.

Figura 1.1: Resultado da otimização estrutural de Michell [1904]Fonte: Buelow [2007].

O estudo é considerado como o início da otimização estrutural e serve como referência

padrão para os algoritmos modernos. Smith et al. [2002] ver na figura 1.2, reproduziu o resul-

tado numericamente. O trabalho propõe um método de otimização não-linear para projeto de

estrutura de treliça aplicado em edificações, pontes, torres e estrutura metálica, com objetivo de

obter a “melhor” rigidez e geometria.

Figura 1.2: Resultado do Estudo de Smith, simulando o modelo de Michell [1904]Fonte: Smith et al. [2002].

A utilização de técnicas de otimização na engenharia de estrutura iniciou-se com o trabalho

de Schmit [1960], considerado marco da otimização estrutural moderna, compreendeu e viabili-

zou a aplicação sistemática do MEF e da programação matemática em problemas de otimização

1.1 Histórico 9

não-linear com restrição de desigualdade para projetos de estruturas de treliças e barras. En-

tretanto, o seu uso era limitado, devido ao escasso recurso computacional da época e possuía

pouca solidez matemática [SCHMIT, 1981; VANDERPLAATZ, 1984].

Depois da década de 70, vários artigos foram escritos sobre o assunto, impulsionados pelas

indústrias aeroespacial e aeronáutica com objetivo de reduzir o peso estrutural sem comprome-

ter a integridade da estrutura. Os resultados desses artigos estão concentrados no desenvolvi-

mento e na seleção de método de programação matemática para solução de variáveis discretas

e nas melhorias dos algoritmos computacionais mais robustos.

Com esse impulso, várias diretrizes na linha de pesquisa de programação matemática foram

desenvolvidas para a formulação de otimização estrutural, sendo que as metodologias que se

destacam na área são as seguintes:

- O Método do Gradiente Reduzido Generalizado: conhecido na literatura internacional

como Generalized Reduced Gradient - GRG, foi desenvolvido por Lasdon e Smith para

resolver problema não-linear por processo de linearização local, como exposto nos traba-

lhos de Lasdon et al. [1978], Gedig e Stiemer [2006]. As variáveis de projeto se encon-

tram nas proximidades do minimizador local, desta maneira, a cada iteração do algoritmo,

o ponto viável é movimentado para o mínimo local. Este método pode ser encontrado na

biblioteca das ferramentas de planilhas eletrônicas tipo Excell Microsoft implementado

por Lasdon e Waren em 1991 [FYLSTRA et al., 1998], o método é uma extensão do

método Simplex;

- A Programação Seqüencial Quadrática: conhecida na literatura internacional como Se-

quential Quadratic Programming - SQP é eficiente para uma vasta classe de aplicações

de problema de otimização, como exposto nos trabalhos [HOLZLEITNER; MAHMOU,

1999; JARRAYA et al., 2007], a sua caracterização é minimizar a função Lagrangiana

por aproximação quadrática a cada passo de descida;

- O Método Lagrangiano Aumentado: conhecido na literatura internacional como Aug-

mented Lagrangian Method é o método mais utilizado nos problemas estruturais pela

facilidade de implementação na qual transforma a função objetivo e as funções restrições

em uma única função denotada de função Lagrangiana. Este é o método utilizado neste

trabalho.

As características em comum dos métodos apresentados estão no minimizador local, na

eficiência computacional e no sucesso na solução de problemas de projeto de engenharia. Re-

centemente estão sendo desenvolvidos trabalhos na área estrutural com proposta de encontrar o

1.1 Histórico 10

minimizador global pela técnica de otimização natural onde a idéia do algoritmo é baseada no

comportamento do fenômeno da natureza, isto é, reproduz a evolução natural. O método que

se destaca para área estrutural é o Algoritmo Genético ou Genetic Algorithms - GA conhecido

na literatura internacional. No entanto, o custo computacional é elevado em relação as técnicas

tradicionais, para mais detalhe sobre o método GA recomenda-se ver os trabalhos de [CERRO-

LAZA; ANNICCHIARICO; MARTINEZ, 2000; NAKANISHI, 2001; XU; JIANG; OU, 2007;

GRIGOLETTI, 2008].

Dos três métodos de programação não-linear citados, os mais utilizados para resolução

de problemas contínuos são: o Método Lagrangiano e a Programação Seqüencial Quadrática,

ambos podem ser aplicados em conjunto com o Método da Penalidade [PAPADRAKAKIS et

al., 2001], no qual penaliza o valor da função objetivo original sempre quando encontradas

soluções aproximadas na região viável, ou na região inviável das funções restrições.

No trabalho de Zienkiewicz e Cambell [1973], apresenta-se a primeira formulação numérica

para o Método de Otimização de Forma. O problema é aproximado pelo Método dos Elementos

Finitos sendo que as variáveis de projeto são as coordenadas nodais do contorno; para a análise

da sensibilidade se resolveu pelo método das diferenças finitas; para o problema de otimização

aplicou-se o método de programação linear seqüencial. O enfoque é adequado para estruturas

reticuladas, porém apresenta falha no caso de estruturas contínuas.

Segundo Haug, Choi e Komkov [1986], o desafio em utilizar o Método de Otimização de

Forma está no desenvolvimento do cálculo da sensibilidade (gradiente) da função Lagrangiana

e da matriz Hessiana em relação às variáveis de projeto. Sendo que a análise da sensibilidade

pode ser calculada na forma numérica ou analítica.

A sensibilidade analítica foi desenvolvida como formulações de equações funcionais em

relação à variação do domínio do problema estrutural para forma integrais na década de 80,

como demonstram os trabalhos de Choi e Haug [1983], Haftka e Grandhi [1986], Haug, Choi

e Komkov [1986], sendo que estabelecem conceitos de campo de velocidade de projeto (a

derivada do domínio em relação as variáveis de projeto) satisfazendo assim, a integração do mo-

delo matemático na análise de sensibilidade. Desta forma, foi possível obter técnicas de análise

de sensibilidade para aplicação em otimização de forma mais adequadas com a realidade.

Atualmente, as técnicas mais utilizadas para determinar a sensibilidade são:

i. Método das Diferenças Finitas: é simples e genérico, porém ineficiente pelo alto custo de

processamento e dependente do valor do tamanho do passo da perturbação;

1.1 Histórico 11

ii. Método Analítico: é o mais preciso e eficiente. No entanto, para obtenção das expressões

é necessário um bom conhecimento teórico da formulação de análise. Pode exigir maior

volume de trabalho para os cálculos e para a implementação;

iii. Método Semi-Analítico: é a combinação do Método Analítico com o Método das Dife-

renças Finitas. Isto assegura um custo computacional baixo quando comparado com o

Método das Diferenças Finitas, porém apresenta sérios problemas de precisão.

O algoritmo da programação matemática utilizado neste trabalho necessita dos gradientes

das funções objetivo e de restrições para determinar a direção de busca. Conseqüentemente, a

convergência do processo de otimização é influenciada diretamente pela qualidade das sensibi-

lidades calculadas. Optou-se pela utilização do Método Analítico neste trabalho.

As dificuldades na implementação do Método de Otimização de Forma são conhecidas

pelos especialistas da área e a literatura propõe várias diretrizes visando solucionar a imple-

mentação do método de caráter multidisciplinar tais como: a formulação do problema de otimi-

zação; a representação do modelo geométrico; a análise de sensibilidade; o sistema de geração

e atualização de malhas para o Método dos Elementos Finitos e a programação matemática.

Cada tema isoladamente se constitui em uma área do conhecimento bastante expressiva. Uma

das principais dificuldades do problema de otimização de forma é a distorção da malha du-

rante o processo iterativo de otimização. Isto significa que, usando a mesma malha de elemento

finito durante o processo, esta sofre perturbações que podem conduzir a resultados imprecisos

da análise. Portanto, a estrutura precisa de uma estratégia de geração automática de malhas

durante o processo de otimização [HAFTKA; GRANDHI, 1986; FANCELLO, 1993; SIENZ,

1994; PARENTE JR., 2000; PETCHSASITHON; GOSLING, 2005; STEFFENS, 2005].

No trabalho de Cea [1981], o processo de atualização da malha dos elementos finitos usa

a regra de deformação da malha inicial de acordo com a modificação do contorno. A defor-

mação da malha é calculada pelas equações diferenciais de equilíbrio ou relações paramétricas.

Em ambos os casos a correlação entre o modelo dos elementos finitos e variáveis de projetos

são favoráveis à representação geométrica por curva spline de baixa ordem para maximizar a

suavidade do contorno.

O marco inicial da modelagem geométrica moderna começou na década de 50, com os

trabalhos de representar matematicamente a modelagem de curvas não racionais e superfícies de

forma livre utilizando funções de interpolação polinomiais. Os trabalhos que se destacam são os

dos engenheiros da indústria automobilística e aeroespacial: Steven Anson Coons (1963,1965)

na Ford e James Ferguson (1964) na Boeing; Paul Casteljau (1959,1963) na Citröen e Pierre

1.1 Histórico 12

Bézier (1966,1967,1968) na Renault. Eles buscaram formas de curvas e superfícies que eram

fáceis de modificar e compatíveis com a análise e os processos industriais, tendo como destaque

a superfície de Coons e Ferguson e a formulação de Bézier e Boor [1972] se implementou o

algoritmo para as curvas B-splines.

Todos esses trabalhos proporcionaram um grande avanço na área da modelagem geométrica,

bases de formulação dos mais diversos trabalhos científicos e, principalmente, dos programas

de modelagem gráfica da engenharia aeroespacial, automobilística e náutica como os programas

de CAD e da programação de controle numérico.

Na tese de Sienz [1994] sobre Otimização de Forma e Análise Adaptativa Integrada à Mode-

lagem Estrutural, desenvolveu-se um sistema computacional que integra os métodos de Otimi-

zação Topológica e de Forma para estrutura bidimensional com os conceitos de projeto assistido

por computador, de maneira que a modelagem da estrutura é realizada por curvas B-splines, com

gerador de malha não estruturadas e refino adaptativo em combinação com o estimador de erro.

A análise do estado plano de tensão é feita pelo Método dos Elementos Finitos. A Otimização

Topológica e de Forma são módulos separados que integram o sistema computacional, sendo

que a análise da sensibilidade pode ser realizada pelos métodos semi-analíticos ou o método de

diferença finita. A programação matemática para otimização de forma utiliza a Programação

Seqüencial Quadrática.

Pourazady e Fu [1996] propõe a Integração do Método Otimização de Forma aproximado

pelo Método dos Elementos Finitos combinado com Análise da Sensibilidade obtida direta-

mente pelas diferenças finitas das equações, sendo que a representação modelagem geométrica

usa-se as curvas B-splines através do algoritmo de Boor [1972] para obter a forma “ótima”. O

problema de otimização é de programação matemática não-linear resolvido através da lineariza-

ção da série de Taylor, e propõe uma estratégia para geração de malha automática.

No artigo Cerrolaza, Annicchiarico e Martinez [2000] propõe o conceito de otimização de

forma usando o Método dos Elementos de Contorno combinado com a técnica do Algoritmo

Genético, onde as curvas B-splines modelam o contorno do domínio. Descrevem como usar

operadores genéticos para movimentar o contorno e efetuar a geração de malha adaptativa no

contorno que possa atender aos critérios das restrições sem violá-las.

Parente Jr. [2000] propõe uma metodologia para a otimização de forma de estruturas geo-

metricamente não-lineares que visa evitar os problemas de instabilidade apresentados por es-

truturas otimizadas de acordo com a formulação clássica. Utiliza os conceitos de modelagem

geométrica de curvas paramétricas B-splines para definir a forma da estrutura. Para realizar

a geração de malha foram implementados diferentes algoritmos de malhas estruturadas e não-

1.2 Otimização Estrutural 13

estruturadas. O Método de Newton-Raphson é utilizado para determinar a configuração de

equilíbrio e para análise da sensibilidade utiliza-se a técnica analítica e semi-analítica. Na pro-

gramação matemática pode ser utilizada a Programação Seqüencial Quadrática ou Método dos

Pontos Interior (Penalidade Interior), os quais são métodos de primeira ordem, isto é, precisa

da informação dos gradientes da função objetivo e das restrições.

Steffens [2005] propõe um procedimento numérico integrado para problemas de otimiza-

ção de forma aplicada ao escoamento de fluidos. A definição do problema de otimização é

formulada pela equação de Navier-Stokes com objetivo de reduzir a dissipação viscosa apro-

ximado pelo MEF, o modelo geométrico é representado por segmentos de curvas paramétricas

B-splines cúbicas, onde as variáveis de projeto são as coordenadas dos pontos-chave, os quais

descrevem o contorno do domínio. A resolução do problema de otimização se dá por meio do

Método Lagrangiano Aumentado submetida às restrições de volume e dimensão geométrica.

1.2 Otimização Estrutural

A otimização estrutural consiste em encontrar o leiaute ótimo da distribuição de massa da

estrutura no domínio da região factível do projeto, respeitando certos critérios de projeto. A

distribuição do material no domínio é modificada, considerando as alterações em algum com-

portamento mecânico da estrutura, como exemplo: a flexibilidade, freqüências naturais ou ten-

são, entre outros [SANT’ANNA, 2002; BENDSØE; SIGNMUND, 2003; ARORA, 2004], que

são denominadas de restrições do projeto e podendo estas ser de igualdade ou desigualdade.

Para isso, a otimização estrutural utiliza ferramentas computacionais para encontrar de

forma sistemática o leiaute ótimo da distribuição do material de uma estrutura considerando

as condições de carregamento no contorno e as especificações de natureza do material como

restrições.

O algoritmo de otimização é usado para encontrar de forma sistemática a distribuição ótima

do material, o que torna o processo rápido. Caso contrário, milhões de análises seriam ne-

cessárias para encontrar a distribuição ótima. A seguir, apresenta-se um resumo do tipo de

classificação do Método de Otimização Estrutural segundo as variáveis de projeto, conhecida

como: Otimização Paramétrica, Otimização de Forma e Otimização Topológica.


1.3.a:Problema inicial para o Método de OtimizaçãoParamétrica

1.3.b:Projeto final pelo Método de Otimização Para-métrica

1.3.c:Problema inicial para o Método de Otimização deForma

1.3.d:Projeto final pelo Método de Otimização deForma

1.3.e:Problema inicial para o Método de OtimizaçãoTopológica

1.3.f:Projeto final pelo Método de OtimizaçãoTopológica

Figura 1.3: Exemplos representativos dos Métodos de Otimização Estrutural

1.2.1 Otimização Paramétrica

Neste tipo de otimização, as variáveis de projeto são definidas por parâmetros, os quais

podem ser citados como exemplo: propriedades mecânicas do material, como o módulo de


Young e coeficiente de Poisson; tensão de escoamento; densidade; propriedades geometrias

como altura, espessura, largura, momento de inércia, entre outros parâmetros, de maneira a

preservar a topologia na região do domínio, na qual é definida a equação de estado do problema.

Também é conhecida pelo nome de otimização dimensional por alguns autores, e é conhecida

na literatura internacional como size optimization.

Através de algoritmo computacional encontram-se as diversas combinações possíveis entre

os parâmetros estabelecidos na função objetivo. Com isso, determinam-se o valor ótimo para

uma determinada condição de restrição imposta ao projeto. As figuras 1.3.a e 1.3.b exibem um

exemplo clássico para este método.

Este método foi o primeiro a ser desenvolvido pela indústria aeroespacial para minimi-

zar o peso da estrutura, e para exemplificar, pode-se citar a otimização paramétrica de placas

formadas por materiais compostos laminados, onde as variáveis de projeto são a espessura do

laminado e a orientação das fibras, dentre outros [LABANOWSKI JR., 2004].

1.2.2 Otimização de Forma

Método de Otimização de Forma - (MOF) começou a ser desenvolvido na década de 70 em

aplicações na área de escoamento de fluido e hoje se tem uma extensão desta pesquisa na área

estrutural, que busca o ótimo leiaute pela variação da fronteira do domínio. Com isso, varia-

se a geometria pela fronteira sem alterar a sua topologia, isto é, o número de componentes de

conexões da sua fronteira manter-se-á igual ao da estrutura inicial, sendo que o seu contorno

pode ser aproximado por segmentos de curva paramétricas do tipo splines, ou polinômios ou por

funções naturais que constituem as variáveis de projeto. É conhecida na literatura internacional

com shape optimization.

O processo de otimização de forma é considerado genérico em relação ao método de otimi-

zação paramétrica pois não permite a alteração da forma externa da estrutura.

Para o caso de estruturas discretas como as treliças ou pórticos, o leiaute ótimo é alcançado

através da modificação das coordenadas nodais, e para estruturas contínuas como placas, cascas,

sólidos e outros, a forma é pré-definida e modificada pelas variáveis de controle geométrico tais

como: pontos de controle de B-splines, raios, tangentes, entre outros. Nas figuras 1.3.c e 1.3.d

visualizam-se um exemplo do método.

Um problema freqüente na otimização de forma é a distorção da malha, que muitas vezes

invalida os resultados devido a problemas de convergência da solução de elementos finitos.

Alguns autores, [SALAGAME; BELEGUNDU, 1995; STEFFENS, 2005] aconselham utilizar


o processo de otimização acompanhado de um processo de adaptatividade da malha, atualização

de malha e/ou estimativa de erros.

De modo geral, entre as várias considerações necessárias para caracterizar um projeto es-

trutural, o critério de tensão sempre merece destaque. Mas a inclusão das restrições de tensões

apresenta inúmeras dificuldades como destaca Costa Jr. [2003], estas são:

- A necessidade de se considerar um grande número de restrições necessárias para uma

aproximação adequada do critério paramétrico de tensão local. Para assegurar uma apro-

ximação adequada, estas restrições devem ser avaliadas em uma série de pontos discretos,

cuja distribuição deve ser densa o suficiente, de modo a minimizar a possibilidade de vi-

olação da restrição entre quaisquer dois pontos;

- O comportamento altamente não linear das restrições de tensão, com relação às vari-

áveis de projeto, o que requer a utilização de sofisticados algoritmos de programação

matemática.

1.2.3 Otimização Topológica

Método de Otimização Topológica - (MOT) é considerado genérico em relação ao três tipos

de otimização, é conhecida na literatura internacional como topology optimization. Ele busca o

ótimo leiaute na variação em todo seu domínio, isto é, modificação da topologia da estrutura.

Como pode ser verificado nas figuras 1.3.e e 1.3.f. A otimização topológica pode ainda ser

definida com um método numérico para encontrar a distribuição ótima de material dentro de

um domínio de projeto pré-definido de modo a atender as condições de projeto.

Na década de 80, Bendsøe e Kikuchi [1988] estenderam os conceitos existentes de oti-

mização topológica através do uso das chamadas microestruturas artificiais. A partir daí, a

otimização topológica começou a tornar-se um problema mais acessível. Até então, a maior

parte dos trabalhos consistia em minimizar o volume ou maximizar a rigidez de estrutura linear

elástica. Dessa maneira, vários outros problemas puderam ser resolvidos, tais como os projetos

de reforços em placas, de maximizar ou minimizar as freqüências naturais, de minimizar a carga

crítica de flambagem, projeto de concepção de materiais avançados com coeficiente de Poisson

negativo. Estes são alguns dos exemplos que podem ser observados nos estudos de aplicações

em diversas áreas da otimização estrutural [CHENG, 1992; ROZVANY; BENDSØE; KIRSCH,

1995].

Segundo Bendsøe e Signmund [2003] a distribuição ótima de material consiste em se veri-

ficar quais pontos do domínio estarão com ausência ou presença de material. Desta maneira, o


material em cada ponto do domínio pode variar de “vazio” (ausência de material) até “sólido”

(presença total de material), podendo também assumir densidades intermediárias entre vazio e

sólido de acordo com um modelo de material definido.

2 Modelagem Geométrica de Curvas

2.1 Introdução

Um dos objetivos da tecnologia da modelagem geométrica de objetos é desenvolver dife-

rentes alternativas computacionais para representar, manipular e analisar os artefatos físicos,

com técnicas da matemática para processar e descrever o fenômeno de interesse, através das en-

tidades geométricas. Sejam elas: pontos; curvas; superfícies ou sólidos, necessárias para definir

um dado domínio do artefato físico.

Os profissionais da área de arquitetura e da engenharia de desenvolvimento de produto,

além dos artistas e profissionais de animação da computação gráfica têm um contato no seu

cotidiano com a modelagem geométrica. Os conceitos da modelagem geométrica estão inseri-

das nas ferramentas computacionais do tipo Computer Aided Design - (CAD), Computer Aided

Engineering- (CAE), e as ferramentas de gerenciamento de projeto como Computer Aided Ma-

nufacturing - (CAM) e Computer Integrated Manufacturing - (CIM) que permitem construir

protótipos e peças complexas. Nota-se com isso, a importância da qualidade visual e o proces-

samento da geometria analítica do artefato durante todo o processo de manufatura.

O artefato a ser modelado pode ser obtido pela interpolação ou por aproximação de seg-

mentos de curvas, superfícies, sólidos ou outra entidade geométrica. Steffens [2005] em seu

trabalho propõe que a modelagem geométrica deve possuir o menor número possível de vari-

áveis sem que se torne ambígua e ser de fácil implementação computacional. Existem várias

técnicas utilizadas para “transformação” do modelo geométrico, como o uso de polinômios ou

macro-elementos, isto reduz o tamanho do problema, porém pode apresentar instabilidade nu-

mérica e distorções quando aplicada em geometrias complexas [PARENTE DE DEUS, 2002;

VIECELLI, 2004; STEFFENS, 2005].

A solução proposta por Sienz [1994], Cerrolaza, Annicchiarico e Martinez [2000], Steffens

[2005] é utilizar a teoria de curvas B-splines cúbicas para descrever o modelo geométrico nos

problemas de otimização de forma devido a representação matemática que requer poucas dados

de entrada em função do número reduzido de pontos da curva que pode ser modificada pelo

processo iterativo de Boor [1972]. Assim, os pontos de controle das curvas são alterados de

2.2 Resumo Geral de Curvas 19

maneira a gerar um deslocamento prescrito. Dependendo das restrições impostas ao problema

de otimização, o “ótimo” leiaute é determinado. E ainda, possibilita a utilização de estratégia

na geração de malhas automáticas.

Neste trabalho, a modelagem geométrica surge como uma importante ferramenta para de-

terminar a ótima disposição do contorno, de forma que os pontos-chave das curvas paramétri-

cas B-splines cúbicas controlem a forma do contorno do domínio de projeto representado por

topologia algébrica1. Portanto, admite-se a implementação numérica computacional por sis-

tema de equações algébricas com matrizes, que permitem descrever as curvas paramétricas

splines e de superfícies implícitas.

Este capítulo tem como objetivo discutir os conceitos e técnicas de modelagem geométri-

cas de curvas. Em seguida, o desenvolvimento teórico para implementação computacional é

particularizado para representação de curvas paramétricas B-splines cúbicas em modelos bidi-

mensionais utilizado nos problemas de otimização. A simplificação bidimensional - (2D) não

prejudica o estudo para o caso tridimensional - (3D). Para mais detalhe sobre o assunto de mode-

lagem de curvas e superfícies recomenda-se a leitura dos livros [FARIN, 1988; YAMAGUCHI,

1988; ROGERS; ADAMS, 1990; FOLEY et al., 1996; MORTENSON, 1997; PIEGL; TILLER,

1997; GOMES; VELHO, 1998].

2.2 Resumo Geral de Curvas

Os primeiros conceitos fundamentados da geometria no plano e no espaço foram deduzidos

por Euclides, em torno do ano 300 a.C., seus trabalhos resultaram em axiomas, definições e re-

lações conhecidas hoje como geometria euclidiana, e as suas formas geométricas são facilmente

construídas com uso dos instrumentos de desenhos técnicos. Atualmente, para a modelagem

geométrica, os instrumentos utilizados são as funções polinomiais vetoriais que possibilitam

representar o problema em forma algébrica que facilita a implementação numérica.

Segundo Mortenson [1997], Piegl e Tiller [1997], as curvas e superfícies podem ser descri-

tas através de três formas principais:

i. Na forma explícita: a função é associada às variáveis dependentes e independentes, é

dada na forma y = f (x). Por exemplo: f (x) = sinx, f (x) = ax2 +bx+ c;

1Topologia algébrica é propriedade geométrica que se mantém invariante sob transformação biunívoca e con-tínua [MORTENSON, 1997]


ii. Na forma implícita: a função é associada às variáveis independentes com uma constante,

e é dada na forma f (x,y) = 0. Por exemplo: f (x,y) = x2 + y2− r2 = 0, f (x,y) =x2

a2 +

y2

b2 −1 = 0;

iii. Na forma paramétrica: a função é associada aos valores de um ou mais parâmetros com

o ponto correspondente da curva ou da superfície, isto facilita determinar quais pontos

estão sobre a curva ou superfície, apenas substituindo os valores dos parâmetros, e é

definida pela expressão f (t) = (x(t),y(t)). Por exemplo: x = acos(t), y = bsin(t), tal que

f (t) = (acos(t),bsin(t)).

De modo geral, as curvas e superfícies paramétricas podem ser representadas pelas equações

(2.1a) e (2.1b) respectivamente, na forma maricial

P(t) =[

px(t) py(t) pz(t)]

(2.1a)

P(u,w) =[

px(u,w) py(u,w) pz(u,w)]

. (2.1b)

A curva paramétrica pode ser definida por função de interpolação, aproximação ou com-

posição ponderada numérica de segmentos retos ou curvas descritas por dois ou mais pontos. O

uso de curvas é essencial para determinar o contorno e ou superfície geométrica do objeto. Uma

vez determinado o tipo da função, os segmentos do contorno e a malha para superfície podem

ser conectadas.

Para uma curva paramétrica cúbica aproximada pela função polinomial de terceira ordem

n = 3 que garante uma continuidade C−2 definida na seção 2.2.1 entre os segmentos adjacentes

podem ser expressas na forma geral como

P = pi(t); i = x,y,z

px(t) = axt3 +bxt2 + cxt +dx;

py(t) = ayt3 +byt2 + cyt +dy; 0≤ t ≤ 1

pz(t) = azt3 +bzt2 + czt +dz;

(2.2)

onde, P é a matriz linha que contém a posição das coordenadas cartesianas dos pontos-chave da

curva, pi(t) a função polinomial paramétrica da curva, i índice da base canônica euclidiana e t a

variável paramétrica associada ao ponto da curva normalizada no intervalo [0,1]. Decompondo

na forma matricial a equação (2.2), tem-se


P(t) =[t3 t2 t 1

]

︸︷︷︸T

ax ay az

bx by bz

cx cy cz

dx dy dz

︸︷︷︸C

. (2.3)

Denota-se T o vetor das variáveis independentes paramétrica e C a matriz dos coeficientes

da função-base polinomial da dependência geométrica. Pode-se reescrever a equação (2.3) na

forma reduzida.

P(t) = T C . (2.4)

A matriz C possui uma dependência das condições geométrica implícitas para as coorde-

nadas de controle das posições x,y e z com os coeficientes da função-base polinômio [FARIN,

1988; MORTENSON, 1997]. Portanto, pode-se expandir a matriz como C = M G, sendo M a

matriz da funções-base dos coeficientes e a sua estrutura depende do tipo de curva, e G o vetor

de geometria (coordenada cartesiana dos pontos de controle). Reescrevendo a equação (2.4),

tem-se

P(t) = T M G . (2.5)

Para o caso particular da função cúbica tem-se 4 pontos geométricos, portanto generalizado

na forma matricial expandida,

P(t) =[t3 t2 t 1

]

m11 m12 m13 m14

m21 m22 m23 m24

m31 m32 m33 m34

m41 m42 m43 m44

g1

g2

g3

g4

. (2.6)

2.2.1 Continuidade de Curvas Paramétricas

Como visto na seção precedente existem três formas de representações de curvas. A forma

explícita tem problemas para representar curvas arbitrárias, as curvas implícitas são difíceis de

controlar as tangentes (derivadas) das curvas que se unem, ou a equação pode ter mais soluções

que o desejado e as paramétricas são aproximadas por segmentos de curvas polinomiais que

atende ao critério de continuidade [FARIN, 1988; YAMAGUCHI, 1988].

2.3 Curva Hermite 22

O conceito de continuidade de curva paramétrica definido por Yamaguchi [1988], Morten-

son [1997] é de assegurar a junção dos segmentos adjacentes no ponto de união, dando a forma

de uma única curva. Para isso, as derivadas de cada segmento deverão ser iguais.

A eficiência da representação do objeto está na quantidade de coordenadas de pontos de

contorno e na ordem n do grau das funções-base de aproximação entre os segmentos das cur-

vas. No entanto, a característica da continuidade das curvas paramétricas mostra vantagens

na representação do objeto, que permite utilizar funções polinomiais de baixa ordem entre os

segmentos das curvas. Dando solução para diversas aplicações e para otimização de forma

soluciona a representação do contorno.

A escolha da ordem n do grau função-base de aproximação garante a suavidade e con-

tinuidade paramétrica Cn−1 na junção dos segmentos das curvas, é neste ponto aonde se con-

trola a continuidade da curvatura. Na figura 2.1 visualiza-se o comportamento da continuidade

da junção dos segmentos.

Figura 2.1: Continuidade da função de interpolação.

Para uma continuidade de ordemC0 os segmentos adjacentes coincidem nos seus extremos,

assegurando uma continuidade das curvas. Para continuidade C1 os segmentos das curvas têm

tangentes comuns no ponto de junção, e para continuidade C2 têm as mesmas curvaturas.

Na maioria das aplicações prática utiliza-se a função de polinômio cúbico por possuir uma

continuidade C2, sendo que os graus inferiores não possibilitam a interpolação entre junção de

dois segmentos das curvas com mesma definição da derivada dos vértices dos extremos dos

segmentos, para os graus superiores apresentam oscilação indesejáveis na continuidade e maior

esforço computacional [FOLEY et al., 1996; MORTENSON, 1997].

2.3 Curva Hermite

Recebe o nome de seu idealizador o matemático francês Charles Hermite. A curva é

definida pelos vetores posições dos pontos inicial e final e suas derivadas respectivamente.

Isto é, entre dois pontos distintos e seus respectivos vetores tangentes determinam a geração

2.3 Curva Hermite 23

da curva por meio de uma equação polinomial, a alteração da direção do vetor tangente permite

um controle e modificação razoável sobre a curva gerada.

A utilização dos pontos e dos vetores tangentes são úteis para modelar o objeto complexo.

No entanto, a falta da invariância da curva causa um problema de precisão [FOLEY et al., 1996;

MORTENSON, 1997], não despertando o interesse na utilização prática para otimização, mas

é básica para entender os princípios da teoria de curvas.

A formulação geral da curva de Hermite é dada

P(t) =

gi(t)

g f (t)

g′i(t)

g′f (t)

; 0≤ t ≤ 1 (2.7)

onde que gi(t) e g f (t) são vetores posições, g′i(t) e g′f (t) são vetores tangentes (primeira derivada

do vetor posição) dos pontos inicial e final respectivamente. Para o caso particular de uma curva

paramétrica cúbica de Hermite utiliza-se as seguintes equações

P(t) = t3 + t2 + t +1 (2.8)

P′(t) = 3t2 +2t +1. (2.9)

Aplicando as condições de contorno para os pontos de t = 0 e t = 1 nas equações (2.8) e

(2.9), obtém-se o sistema de equações

P0(0) = 03 +02 +0+1

P1(1) = 13 +12 +1+1

P′0(0) = 3(0)2 +2(0)+1

P′1(1) = 3(1)2 +2(1)+1 . (2.10)

Substituindo o sistema de equações (2.10) na equação (2.7), resulta numa relação matricial

dada por

gi(t)

g f (t)

g′i(t)

g′f (t)

=

0 0 0 1

1 1 1 1

0 0 0 1

0 3 2 1

MH (2.11)

2.4 Curva Bézier 24

onde MH é a matriz dos coeficientes das funções-base polinomiais.

Para determinar MH é necessário encontra a matriz inversa da relação matricial (2.11), ver

[YAMAGUCHI, 1988]. Obtém-se a seguinte equação

MH =

0 0 0 1

1 1 1 1

0 0 0 1

0 3 2 1

−1

gi(t)

g f (t)

g′i(t)

g′f (t)

=

2 −2 1 1

−3 3 −2 −1

0 0 1 0

1 0 0 0

gi(t)

g f (t)

g′i(t)

g′f (t)

. (2.12)

Portanto, pode determinar a forma geral para a curva cúbica de Hermite na forma matricial

independe do vetor de geometria GH .

P(t) =[t3 t2 t 1

]

2 −2 1 1

−3 3 −2 −1

0 0 1 0

1 0 0 0

GH (2.13)

2.4 Curva Bézier

Recebe o nome do engenheiro francês Pierre Bézier. A curva é definida por uma coleção

de segmentos de pontos de controle que determina o grau do polinômio de Bernstein como

funções-base que descreve a forma geral da curva. Portanto, a curva aproxima nos pontos de

controle por uma única função de polinômio. Ao movimentar um ponto de controle toda a curva

se modifica, junto com os demais pontos-chave que definem as tangentes da curva Bézier no

primeiro e do último ponto de controle formando um polígono fechado. Desta maneira, não

define um controle local, porque alterando a posição de qualquer ponto de controle altera todos

os segmentos ao longo da curva [MORTENSON, 1997]. A diferença básica em relação à curva

de Hermite é que utiliza somente os pontos de controle em vez calcular os vetores tangentes aos

pontos que são implícitos na equação.

A formulação da curva Bézier é definida por

P(t) =k

∑i=0

giNni (t) (2.14)

2.4 Curva Bézier 25

sendo i = k + 1 pontos de controle do vetor de posição gi, Nni (t) a função de aproximação

polinomial de ordem n.

Nni (t) é definido pelo polinômio de Bernstein dado por

Nni (t) =

n!i!(n− i)!

t i(1− t)n−i. (2.15)

Substituindo a equação (2.15) na equação (2.14), no intervalo t = [0,1], tem-se

P(t) =k

∑i=0

gin!

i!(n− i)!t i(1− t)n−i; 0≤ t ≤ 1 . (2.16)

Desta maneira, pode determinar a expressão geral pela equação (2.16) para uma curva pa-

ramétrica cúbica de Bézier com 4 pontos de controle, isto é, i = 0,1,2,3.

P(t) = (1− t)3g0 +3t(1− t)2g1 +3t2(1− t)1g2 + t3(1− t)0g3

P(t) = (−t3 +3t2−3t +1)g0 +(3t3−6t2 +3t)g1 +(−3t3 +3t2)g2 +(t3)g3 (2.17)

Na forma matrical,

P(t) =[t3 t2 t 1

]

−1 3 −3 1

3 −6 3 0

−3 3 0 0

1 0 0 0

g0

g1

g2

g3

. (2.18)

As desvantagens da curva Bézier para otimização de forma estão no controle global que

descreve curva e na quantidade de pontos de controle que está relacionado com a ordem do grau

da função polinomial que é dada por n = i− 1. Portanto, as expressões se tornam complexas

para um i elevado e conseqüentemente causa o aumento do custo de avaliação da curva. A

alternativa é particionar em segmentos de graus menores de tal forma, que a inclinação da

junção dos segmentos possam ser as mesmas. Isto faz com que as curvas paramétricas cúbicas

sejam alternativas simples, quando necessários muitos pontos de controle, pois elas permitem

que dois ou mais segmentos de curvas tenham as mesmas inclinações no ponto de união, ou

seja, derivadas contínuas [YAMAGUCHI, 1988; FOLEY et al., 1996; MORTENSON, 1997].

Assim, os pontos final e inicial entre os segmentos das curvas adjacentes sejam coincidentes,

ver na figura 2.2.

2.5 Curva Spline 26

Figura 2.2: Conectividade dos segmentos de curvas paramétrica cúbica de Bézier com 4 pontos decontrole.

2.5 Curva Spline

O nome spline é de origem da língua inglesa utilizado para denominar a régua flexível

usada em desenho para gerar curvas livres suaves, de classe C2, isto é, com curvatura contínua

natural. A spline possui uma variação quando ao tipo de curva, porém constitue com a mesma

propriedade de continuidade [YAMAGUCHI, 1988; PIEGL; TILLER, 1997].

A formulação geral da curva spline é semelhante da Bézier, a diferença está nas funções-

base de aproximação Nni (t) que podem ser determinadas por função polinomial, pelo método

Not-a-Knot ou Condição de Boor [BOOR, 1972; MORTENSON, 1997], que são combinadas

com os vetores posição gi dos k +1 pontos de controle Gi. A curva é definida como

P(t) =k

∑i=0

giNni (t); 0≤ t ≤ 1 (2.19)

onde i = k + 1 quantidade de pontos de controle, o grau função de aproximação polinomial é

dada por n−1 e a ordem de continuidade da curva é dada C(n−1)−1.

A spline tem uma concepção bastante semelhante da curva de Bézier, no entanto, consegue-

se implementar um controle local, ou seja, altera a forma da curva na posição de um ponto de

controle localmente e não propagando para os segmentos adjacentes, com isso, não se altera a

forma global da curva, somente na região vizinha ao ponto. A ordem do grau das funções-base

é definida independentemente do número de pontos de controle. A curva pode ser calculada de

forma recursiva numericamente.

As curvas splines e Bézier têm muitas vantagens em comum, tais como: os pontos de

controle que influenciam naturalmente na forma da curva, sendo boas candidatas para processos

recursivos de iteração; ambas possuem pequenas variações, nos eixos independentes; multi-

avaliações e possuem propriedade de convexidade. Porém, a spline tem um controle local que

descreve a forma da curva, capacidade de adicionar pontos de controle sem perde a continuidade

2.6 Curva B-spline 27

e sem altera a ordem do grau das funções-base de aproximação, sendo essas vantagens em

relação a curva Bézier e de Hermite [MORTENSON, 1997].

2.6 Curva B-spline

Em 1946, Schoenberg sugeriu a curva B-spline que é baseada na concepção das curvas

Bézier e spline. A curva B-spline é constituída por funções-base que controlam o segmento

local e depende somente dos pontos de controle, o grau da continuidade da curva independe da

quantidade dos pontos de controle, mas sim do grau do polinômio da função-base escolhida.

Esta característica permite a mudança no segmento local ou apenas no segmento adjacente e

não se propaga aos demais segmentos, como se observa na figura 2.3. O movimento de um

ponto-chave afetará somente um trecho da curva.

Figura 2.3: Controle de um segmento da curva B-spline cúbica passando um conjunto de pontos-chave.

Esta característica desperta interesse para otimização de forma, pelo fato ter um equilíbrio

no controle local nos segmentos das junções obtendo formas sofisticadas e pela facilidade de

implementação computacional no processo recursivo proposto pelo algoritmo de Boor [1972],

que gera curvas iterativas para determinar o ótimo leiaute do projeto. Como será discutido nas

seções futuras.

Na formulação apresentada na equação (2.19), as funções-base Nni (t) para curva B-spline

podem ser definidas por vários métodos [PIEGL; TILLER, 1997], mas o procedimento de Boor

[1972] é muito utilizado pela facilidade da implementação numérica. Desta maneira, a função

de aproximação da curva P(t) é definida de forma recursiva pelas equações.

N1i (t) =

1 se ti ≤ t ≤ ti+1

0 caso contrário(2.20)


sendo n > 1

Nni (t) =

[t− ti

ti+n−1− ti

]Nn−1

i (t)+[

ti+n− tti+n− ti+1

]Nn−1

i+1 (t) (2.21)

onde Nni (t) são as funções-base de aproximação polinomial com o grau n−1 e continuidade de

curva C(n−1)−1, i = k + 1 pontos de controle dos vetores posição gi, ti denominado de valores

do vetor de nós que definem o intervalo onde as funções-base são ativas, sendo que a coleção

é formada por um vetor t = [t0, t1, ...tk+n] que será definido nas próximas seções e é dado por

n + k + 1 elementos numa seqüência de números crescente, eles relacionam com a variável

paramétrica t com os vetores posição gi.

Para obter os valores do vetor de nós t usa-se a equação (2.22) que são determinados por

critérios,

ti

0 se i < n;

i−n+1 se n≤ i≤ k;

k−n+2 se i > k .

(2.22)

Na equação (2.21) o denominador pode ser zero em função dos valores do vetor de nós,

usa-se a convenção 00 = 0 para esse caso.

Quando o parâmetro t é normalizado para cada segmento da curva, tem-se que o somatório

dos intervalos [t0, t1, ...tk+n] é igual a ∑Nni (t) = 1.

A característica do vetor de nós t classifica o tipo de curva B-spline que pode ser: uniforme,

não-uniforme e fechada, discutida nas próximas seções.

O algoritmo de Boor [1972] permite calcular os pontos-chave sobre uma curva B-spline

arbitrária sem conhecer as funções-base B-splines utilizando somente a interpolação linear re-

cursivamente a partir dos pontos de controle da curva.

Agora pode-se encontrar uma expressão para P(t) de ordem n = 4 com 4 pontos de con-

trole sobre um segmento de curva arbitrário no intervalo (i ≤ t < i + 1) normalizado entre os

segmentos, utilizando as equações (2.20), (2.21) e (2.22), tem-se

P(t) =16

[(−t3 +3t2−3t +1)gi +(3t3−6t2 +4)gi+1 +(−3t3 +3t2 +3t +1)gi+2 +(t3)gi+3

].

(2.23)

Reescreve-se a a equação (2.23) para Pi(t) i-ésimo intervalo, onde i é substituído por i−1

que denota o número de segmentos da curva. Assim, para B-spline cúbica, em notação matricial

fica


Pi(t) =[t3 t2 t 1

] 16

−1 3 −3 1

3 −6 3 0

−3 0 3 0

1 4 1 0

gi−1

gi

gi+1

gi+2

(2.24)

i ∈[1 : k−2

]para curva aberta e 0≤ t ≤ 1 .

Observa-se que a equação (2.24) tem a mesma estrutura da equação (2.6), podendo colocar

na forma reduzida, conforme a seguir

T =[t3 t2 t 1

](2.25)

MBS =16

−1 3 −3 1

3 −6 3 0

−3 0 3 0

1 4 1 0

(2.26)

GBS =

gi−1

gi

gi+1

gi+2

. (2.27)

Então,

P(t) = T MBS GBS (2.28)

onde T é a matriz linha das variáveis independentes paramétricas da função polinomial, MBS a

matriz dos coeficientes das funções-base polinomial e GBS o vetor da posição geometria. Sendo

que o produto MBS GBS origina as funções de forma de cada segmento.

Para analisar a continuidade da curva cúbica paramétrica B-spline normalizada, num dado

segmento i, para os pontos t = 1 e t = 0 (ponto final e inicial dos segmentos adjacentes res-


pectivamente) entre os segmentos adjacentes deverão ser iguais. Isto é, a primeira e a segunda

derivadas deverão ser iguais. Agora, a primeira derivada da equação (2.28), tem-se

P′i(t) = T′ MBS GBS =[3t2 2t 1 0

]MBS GBS (2.29)

e a segunda derivada

P′′i (t) = T′′ MBS GBS =[6t 2 0 0

]MBS GBS (2.30)

sendo 0≤ t ≤ 1 e 1≤ i≤ k−2.

Agora, avalia-se a primeira e a segunda derivadas das equações (2.29) e (2.30) para as

condições na junção dos segmentos P′i(1), P′i+1(0), P′′i (1) e P′′i+1(0) (ponto final e inicial dos

segmentos respectivamente).

Para a primeira derivada, tem-se

t = 1⇒ 2P′i(1) = (gi+2−gi)

t = 0⇒ 2P′i+1(0) = (gi+2−gi) (2.31)

e para segunda derivada, tem-se

t = 1⇒ 2P′′i (1) = (gi+2−gi+1)+(gi−gi+1)

t = 0⇒ 2P′′i+1(0) = (gi+2−gi+1)+(gi−gi+1) . (2.32)

Observa-se que P′i(1) = P′i+1(0) e P′′i (1) = P′′i+1(0), o que demonstra a continuidade da

primeira e da segunda derivada na junção dos segmentos. Com esse resultado pode-se determi-

nar o vetor tangente e a curvatura em qualquer ponto da B-spline pelas seguintes expressões.

tang(t) =

[p′x(t)

p′y(t)

](2.33)

e

Curv(t) =p′x(t)p′′y (t)− p′′x (t)p′y(t)

[(p′x(t))2 +(p′y(t))2]32

. (2.34)

2.6.1 B-splines uniformes

É defina pelo vetor de nós t quando os intervalos são iguais, isto é, ti− ti−1 = ti+1− ti = ∆t

para todos os intervalos e está limitado por cada função-base n. Pode-se ser também denomi-

nada por B-spline periódica.


Para o caso da curva B-spline uniforme o procedimento de Boor [1972] pode ser simplifi-

cado, modificando a equação (2.21) para

Nni (t) =

[t− in−1

]Nn−1

i (t)+[

i+n− tn−1

]Nn−1

i+1 (t) . (2.35)

2.6.2 B-splines não-uniformes

É defina pelo vetor de nós t quando os intervalos são diferentes, isto é, os valores do es-

paçamento do nós são distintos entre si (ti− ti−1 6= ti+1− ti). A vantagem de usar esse tipo de

curva B-spline é o controle mais preciso na forma da curva.

Uma característica da curva B-spline não-uniforme é que o ponto-chave não passa pelos

pontos de controle, a menos que seja de ordem 2, ou seja, uma reta. Na figura 2.4 visualizam

várias curvas B-splines não-uniformes de grau 2,3 e 4 calculadas com os mesmos pontos de

controle. Nota-se que para n = 2 é a forma linear da curva e ponto-chave coincide com os

pontos de controle. Para n > 2, a curva se torna cada vez mais suave e mais distante dos pontos

controle.

Figura 2.4: Curvas B-splines uniformes com ordem de n= 2,3,4.

2.6.3 B-splines fechadas

As curvas B-splines fechadas são um tipo particular das curvas B-splines uniformes, e po-

dem ser definidas a partir da modificação do índice subscrito dos pontos de controle de acordo

com a equação (2.24). Com isso, reescreve-se a equação da seguinte forma,


Pi(t) = T MBS

gi−1 mod (K+1)

gi mod (K+1)

gi+1 mod (K+1)

gi+2 mod (K+1)

(2.36)

i ∈[1 : K +1

]para curvas fechadas,

sendo mod(K +1) é o operador restante2.

Como exemplo, a figura 2.5 ilustra uma curva fechada definidas por K = 5 e n = 4, neste

caso a equação (2.24) fica da seguinte forma

Figura 2.5: Curva B-spline fechada.

Pi(t) = T MBS

gi−1 mod 6

gi mod 6

gi+1 mod 6

gi+2 mod 6

(2.37)

i ∈[1 : 6

].

2O operador mod retorna o resto de uma divisão de número inteiro. Isto é, dada a expressão A mod B, adivisão retornara o valor do resto que é um valor inteiro. Exemplos: 5mod4 = 1, 8mod3 = 2, 4mod4 = 0, e assimsucessivamente.


Expandindo o termo da equação (2.38), tem-se

p1(t) = T MBS

[g0 g1 g2 g3

]T

p2(t) = T MBS

[g1 g2 g3 g4

]T

p3(t) = T MBS

[g2 g3 g4 g5

]T

p4(t) = T MBS

[g3 g4 g5 g0

]T

p5(t) = T MBS

[g4 g5 g0 g1

]T

p6(t) = T MBS

[g5 g0 g1 g2

]T

.

Assim, calculando cada um destes segmentos de curva, para uma seqüência de valores de t

e especificando as coordenadas dos pontos de controle, resulta naturalmente o desenho da curva

B-spline fechada.

2.6.4 B-splines não-uniformes racionais

Outra forma de modelar a curva spline é na forma racional conhecida como B-splines não-

uniformes racionais - NURBS3, que possui uma variável h que funciona com peso e controle

na equação da curva. A sua equação é dada por

P(t) =

k

∑i=0

higiNni (t)

k

∑i=0

hiNni (t)

(2.38)

onde os hi são pesos. Se hi = 1 para todo i, então as funções-base da equação (2.38) se reduzem

à forma não-racional da curva B-spline da equação (2.19) e Bézier da equação (2.14), sendo

assim, uma generalização de ambas as curvas.

A modificação da curva pode ocorrer por três maneiras:

1. Vetor de nós: a modificação é relativamente difícil, pois não é previsível determinar como

a curva responderá as mudanças do vetor de nós;

3NURBS – Non Uniform Rational B-spline

2.7 Implementação Computacional Geométrica 34

2. Pontos de controle: a modificação é relativamente fácil, o efeito de mudar os pontos de

controle é previsível e intuitivo;

3. Pesos: a modificação da curva é controlado pelo peso, se o valor de hi for aumentado ou

diminuído, conseqüentemente a curva será alterada afastando-se ou aproximando-se do

ponto de controle Gi.

2.7 Implementação Computacional Geométrica

Neste trabalho a curva paramétrica B-spline não uniforme foi adotada, pois o vetor de nós

t é normalizado para cada segmento do objeto modelado.

Na figura 2.6 visualiza-se o arco modelado por uma B-spline cúbica com quatro pontos-

chave P1,P2,P3 e P4 e a tabela 2.1 informa os segmentos da curva com os respectivos intervalos

paramétricos, pontos de controle e pontos-chave.

Figura 2.6: Esquema da curva B-spline cúbica passando um conjunto de pontos-chave.

Tabela 2.1: Dados de uma curva B-spline cúbica passando por um conjunto de pontos-chave

Segmento Intervalo Paramétrico Pontos de Controle Pontos-ChaveQ1 0≤ t ≤ 1 G0,G1,G2,G3 P1,P2

Q2 1≤ t ≤ 2 G1,G2,G3,G4 P2,P3

Q3 2≤ t ≤ 3 G2,G3,G4,G5 P3,P4

Observa-se que na figura 2.6 a curva B-spline é formada por segmentos associados aos

pontos-chave. Sendo Q1 o primeiro segmento é determinado pelo polígono cujos vértices são

chamados de pontos de controle, G0,G1,G2 e G3. Se adicionar mais um vértice G4, então


G1,G2,G3 e G4 determinam o subsegmento subseqüente da curva (compreendido entre P2 e

P3). Desta forma, continua se o procedimento até a formação da geometria desejada. Este

arranjo assegura a continuidade C2 nas junções dos segmentos adjacentes.

Como o objetivo da implementação computacional, considera-se uma B-splines cúbica não-

uniforme passando por uma coleção de pontos-chave que definem o contorno bidimensional de

um domino. Desta maneira, uma curva é definida por k pontos-chave, de forma que o domínio

é mapeado por k+2 pontos de controle (G0,G1, ...,Gk+1,k≥ 3) e o segmento Qi é definido por

i = k−1.

Cada segmento é definido em intervalo unitário “normalizado”, isto é, 0 ≤ t ≤ 1. Cada

segmento Qi da curva é definido por quatro vértices de controle. Assim, o vetor de geometria

que se refere a este segmento é representado pela equação,

GBS =

gi−1

gi

gi+1

gi+2

, 1≤ i≤ k−1 (2.39)

sendo gi−1,gi,gi+1 e gi+2 os vetores posição dos pontos de controle Gi−1,Gi,Gi+1 e Gi+2, que

são os vértices do polígono representativo da curva na figura 2.7.

Figura 2.7: Segmento paramétrica da uma curva B-spline.

Aplicam-se as relações obtidas na seção 2.2.1, onde demonstrou a continuidade da curva e

suas derivadas, resultando num sistema de equações lineares dado por

6pi = gi−1 +4gi +gi+1, i = 2, ...,k−1 (2.40)


onde pi é o vetor de coordenadas de pontos-chave. Para este sistema de equações (2.40) são

acrescentadas as duas equações de condições de contorno impostas nas extremidades da curva,

assegurando, desta forma, a unicidade da solução. Portanto, reescrevendo o sistema resultante

na forma matricial

a b

1 4 1. . . . . . . . .

1 4 1. . . . . . . . .

1 4 1

c d

g1

g2

...

gi

...

gk−1

gk

=

e

6p2

...

6pi

...

6pk−1

f

; i = 2, ...,k−1 . (2.41)

Para obter as posições dos pontos de controle resolve-se o sistema de equações (2.41),

através do qual determinam as coordenadas do primeiro e último ponto de controle a partir das

condições de contorno do problema. Assim, com as posições geométrica de todos os pontos de

controle definidas, pode-se controlar e avaliar a curva em qualquer ponto.

As considerações de contorno são especificadas pelo tipo da natureza da aplicação en-

volvida. Neste trabalho considera-se quatro tipos específicos de condições:

i. Tangentes definidas nas extremidades da curva;

ii. A spline natural;

iii. Tangente definida e spline natural;

iv. Spline natural e tangente definida.

Para determinar o primeiro caso, são aplicadas regras empíricas para obter a magnitude das

tangentes; no segundo caso, impõe-se a curvatura nula na extremidade e os casos três e quatro

são obtidos a partir das duas primeiras condições.

Os valores de a,b,c,d,e e f , referentes às quatro condições descritas, são obtidos a partir

das relações geométricas das B-splines cúbicas para maiores detalhes consultar Sienz [1994], e

estão contidas na tabela 2.2 juntamente com os vetores posição do primeiro e último pontos de

controle.


Tabela 2.2: Valores dos coeficientes do sistema de equações e pontos de controle das extremidades paraas condições de contorno da B-splines cúbicas.

Variável Tipo de Condição de ContornoNome Tangente-Tangente Natural Tangente-Natural Natural-Tangente

e 3

p1 +(

13

)p1

p1 3

p1 +

(13

)p1

p1

f 3

pk−(

13

)pk

pk pk 3

pk−

(13

)pk

a 2 1 2 1b 1 0 1 0c 1 0 0 1d 2 1 1 2g0 g2−2p1 2g1−g2 g2−2p1 2g1−g2

gk+1 gk−1−2pk 2gk−gk−1 2gk−gk−1 gk−1−2pk

A concepção para representar um modelo por meio das curvas paramétricas B-splines num

problema típico de contorno bidimensional é mostrado na figura 2.8. O contorno do modelo

geométrico é construído por um conjunto de segmentos da fronteira. Além disso, cada segmento

é formado por um conjunto de sub-segmentos que interpolam alguns pontos-chave, definindo

uma curva paramétrica B-spline cúbica entre dois pontos adjacentes. Para representar uma

reta necessitam, no mínimo, de dois pontos-chave, e três pontos-chaves para representar uma

curva.

Figura 2.8: Representação de uma estrutura por segmento paramétrico de curvas B-splines com 19pontos-chaves e 15 segmentos.

Fonte: Sienz [1994].

Observa-se que o modelo da figura 2.8 é construído por 19 pontos-chave e 15 segmentos dos

quais quatro têm sub-segmentos (3-5-13-15). A orientação dos segmentos do contorno externo

é definida no sentido anti-horário e para o contorno interno no sentido horário.

3 Técnica de Otimização

3.1 Introdução

O método de otimização é uma ferramenta matemática com uma diversidade de aplicação

na ciência. Consiste em buscar o máximo ou mínimo de uma função multidimensional, dentro

de uma região factível. Essa idéia é aplicada para tomada de decisões nos mais variados campos

da atividade humana, os quais defrontam-se no nosso cotidiano. Pode-se citar como exemplo

um engenheiro que busca sempre o máximo de desempenho de seu produto, sem contrariar as

especificações de mínimo custo do projeto; ou uma companhia aérea que busca maximizar o

número de passageiros com um mínimo de custo entre itinerários; ou simplesmente uma dona

de casa, que vai às compras maximizando o número de produtos adquiridos com um mínimo de

gasto possível [AVILA; LIMA; CARPES JR., 2003].

Segundo Martínez e Santos [1998], o método de otimização é um problema matemático

com muitas aplicações no “mundo real”. Consiste encontrar os mínimos ou máximos de uma

função de um determinado domínio. O processo de modelagem, que descobre isomorfismos1

entre a realidade empírica e o idealismo dos objetos matemáticos, leva a formalizar as variáveis

de projeto, restrições e objetivo para natureza da matemática. Sendo que as variáveis de projeto

são as variáveis de decisão, as restrições são as especificações e limitações do projeto e objetivo

é o melhor valor para a decisão. No entanto, a correspondência entre experiência e modelo está

longe de ser perfeita, porque está sujeita a erros de simplificações, falha de comunicações e

erros de aproximações. Mas quando o modelo matemático é bem condicionado ou formulado

adequar-se a uma situação real.

Atualmente tem-se uma variedade de técnicas de otimização numérica para resolver o pro-

blema Linear e Não-Linear, mas a escolha mais adequada depende de uma série de caracte-

rísticas do problema a ser otimizado, principalmente do comportamento das funções objetivo

e restrições. Daí, faz-se necessário um conhecimento da técnica de otimização, que pode ser

estudado com mais detalhe nos conceitos e algoritmos dos livros [VANDERPLAATZ, 1984;

1Correspondência um-a-um entre todos os elementos de dois conjuntos do modo que qualquer operação resultano mesmo elemento em cada conjunto.

3.1 Introdução 39

CHENG, 1992; BAZARAA; SHERALI; SHETTY, 1993; MARTÍNEZ; SANTOS, 1998; NO-

CEDAL; WRIGHT, 1999; FLETCHER, 2000; GOLDGBARG; LUNA, 2000; LUENBERGER,

2003; ARORA, 2004].

De acordo com as características do problema de otimização, a programação matemática é

classificada em dois grupos: Programação Linear e Programação Não-linear, ver [FLETCHER,

2000; LUENBERGER, 2003]. Na figura 3.1 mostra-se um esquema da classificação.

Programação

Linear: Função Linear

Não-linear: Função Não-linear

EnumerativosDeterminísticosEstocásticos

Esquema classificação da programação matemática

Figura 3.1: Classificação da Programação Matemática

A programação linear é caracterizada por um sistema de equações lineares. Se alguma

das equações que compõem o problema de otimização for não-linear, o sistema é caracterizado

programação não-linear.

As técnicas para programação não-linear podem ser subdivididas em três subgrupos, quanto

a estratégia de busca:

Enumerativos: fazem uma varredura completa, isto é, uma busca exaustiva de todas as pos-

síveis soluções dentro de uma região factível. Os métodos dessa natureza percorrem

todas as combinações possíveis de soluções, conseqüentemente se tornam inviável para

uma região extensa, implicando num excessivo tempo de cálculo;

Determinísticos: são baseados nos cálculos de derivadas, ou em aproximações destas. Neces-

sitam, portanto, de alguma informação do vetor gradiente, de modo a procurar o ponto

onde ele se anula usando a direção de descida da função. Logo, a procura é do ótimo

local;

Estocásticos: utilizam um conjunto de ações que buscas o ótimo de maneira “aleatória ori-

entada” através da teoria da probabilidade. Dessa forma, a busca do ótimo não ocorre

apenas na vizinhança, e com isso a chance de encontrar um ótimo global aumenta. Esse

grupo não necessita de qualquer informação de derivadas.

O objetivo deste capítulo é abordar a técnica de otimização utilizada neste trabalho, apre-

sentando os conceitos básicos de programação matemática não-linear do tipo determinístico,

3.2 Formulação do Problema de Otimização 40

necessários para a compreensão da formulação de problemas de otimização e, na seqüência,

discutir o método para minimizar funções diferenciáveis no Rn, as condições de otimalidade, a

analise de sensibilidade das funções que compõem o problema de ótimo e a transformação de

um problema com restrições para irrestrito usando o Método Lagrangiano Aumentado.

3.2 Formulação do Problema de Otimização

A caracterização do problema de otimização deve seguir alguns passos para formulação,

vale ressaltar que não existe um único método que pode ser aplicado para todos os problemas.

Contudo, Arora [2004] propõe etapas que devem ser cumpridas de forma a obter um modelo

matemático mais adequado com a realidade:

i. Identificar e definir as variáveis de projeto;

ii. Identificar a função objetivo e desenvolver uma expressão em termos das variáveis de

projeto;

iii. Identificar as restrições e desenvolver expressões para elas em termos das variáveis de

projeto.

Deve-se ressalta que a técnica de otimização escolhida deve ser analisada para cada caso

particular pois depende das características da função objetivo, da natureza das restrições e das

variáveis de projeto. A seguir tem-se os conceitos básicos dos componentes chaves da formu-

lação de um problema de otimização.

Função Objetivo: função que mede a “melhora” de um determinado requisito de projeto e é

dependente das variáveis de projeto;

Funções Restrições: são condições que limitam o espaço do domínio; podem ser de igual-

dades e desigualdades;

Variáveis de Projeto: parâmetros escolhidos para descrever o projeto de um sistema. Após

os valores numéricos destas variáveis serem escolhidos, então, o projeto está definido.

O problema de otimização é formulado na literatura como sendo para minimizar a função

objetivo, isto é, min f (s). Isto não oferece perda de generalidade, pois maximizar f (s) pode ser

transformada para minimizar [− f (s)], ou seja, max f (s) = min[− f (s)]. Isto demonstra que é

possível padronizar a formulação do problema a ser otimizado.


Portanto, considere o problema de otimização no seu caso mais geral:

Seja f (s) : Rn → R uma função objetivo. Determinar o vetor de variáveis de projetos,

s ∈Rn tal que seja, a solução minimizar a função objetivo. Tem-se então:

f (s) = f (s1,s2, ...,sn) (3.1)

sujeita a um número p de restrições de igualdade

h j(s) = h j(s1,s2, ...,sn) ; j = 1, ..., p (3.2)

a m restrições de desigualdades

gi(s)≤ gi(s1,s2, ...,sn) ; i = 1, ...,m (3.3)

na forma da notação padronizada

mins f (s)

t.q.

h j(s) = 0 ; j = 1, ..., p

gi(s)≤ 0 ; i = 1, ...,m . (3.4)

Admite-se que o vetor de variáveis de projeto s ∈Rn e as funções f (s), h j(s) e gi(s) sejam

contínuas e diferenciáveis em Rn.

Na formulação padronizada devem ser observadas algumas regras:

1. As funções f (s), h j(s) e gi(s) devem depender de, pelo menos, uma variável de projeto,

seja de forma explícita ou implícita. Caso contrário, a função que não dependa pode ser

ignorada para o problema de otimização;

2. Quando as restrições de igualdade do problema forem lineares, o número de restrições de

igualdade independentes p deve ser menor que, ou no máximo igual ao número de variá-

veis de projeto n, isto é, (p≤ n). Quando p > n o sistema está sobre determinado, existem

restrições de igualdade redundante (linearmente dependentes com outras restrições), ou

ainda, a formulação é inconsistente. Em todos os projetos de otimização, devem-se elimi-

nar as restrições redundantes. Quando p = n o processo de otimização não é necessário,

pois considerando que as restrições são consistentes a solução será única, ou novamente

não terá solução para o caso de restrições inconsistentes. Quando p < n solução possível;


3. O formato padrão requer que escreva as restrições de desigualdade com “gi(s)≤ 0”, se as

restrições forem “gi(s)≥ 0” converte-se o formato, multiplicado a inequação por (−1);

4. Observe que no item 2 existe uma limitação no número de restrições de igualdade, porém,

não existe limitação no número de restrições de desigualdades;

5. Se todas as funções f (s), h j(s) e gi(s) são lineares em relação as variáveis de projeto

“s”, então o problema é denominado “problema de programação linear”. Se algumas das

funções é não-linear, então, é denominado de “problema de programação não-linear”;

6. As funções do problema de otimização devem ser parametrizadas por um fator de escala

e, quando necessário adimensionalizadas, de modo a proporcionar um “melhor” condi-

cionamento numérico e compatibilidade no processo de solução. Observe que: após estas

modificações o valor do ponto ótimo (vetor de projeto ótimo) não muda, porém a ampli-

tude do valor da função objetivo varia.

Um conjunto restrição para o problema de projeto é a coleção de todos os pontos de projeto

factível, ou seja, é a coleção de pontos de projeto que satisfazem a todas as restrições,

Ωs = s | h j(s) = 0 ; j = 1, ..., p e gi(s)≤ 0 ; i = 1, ...,m . (3.5)

Analisando cada restrição em relação a um ponto de projeto s∗, verifica-se que:

i. Uma restrição de desigualdade gi(s)≤ 0 é denominada “ativa” no ponto de projeto s∗ se

é satisfeita na igualdade, isto é, gi(s∗) = 0;

ii. Uma restrição de desigualdade gi(s) ≤ 0 é denominada de “inativa” no ponto de projeto

s∗ se for estritamente satisfeita, isto é, gi(s∗) < 0;

iii. Uma restrição de desigualdade gi(s) ≤ 0 é considerada “violada” num ponto de projeto

s∗ se seu valor é positivo, isto é, gi(s∗) > 0;

iv. Todas as restrições de igualdade estão ativas para todos os pontos de projeto factível;

v. Uma restrição de igualdade h j(s) = 0 é violada num ponto de projeto s∗ se h j(s∗) 6= 0.

A região do domínio em que as restrições são atendidas é denominada domínio viável, e a

região do domínio em que alguma restrição é violada, é denominada domínio inviável.

3.3 Valor Mínimo da Função Objetivo 43

3.3 Valor Mínimo da Função Objetivo

Inicialmente deve ser cuidadosamente definido o significado de “mínimo” local e global.

De acordo com os teoremas de Rolle e Weierstrass do cálculo diferencial, encontrar o valor

de mínimo de uma função f (s) contínua num intervalo fechado [a,b] ∈ Ωs e diferenciável, é

obter primeira condição necessária para existência do valor extremo num ponto s∗ ∈ [a,b],

que apresenta a primeira derivada igual a zero, ou seja, f ′(s∗) = 0. Isto é denotado como

ponto estacionário de uma função. Conseqüentemente, informa que é um candidato ao valor

de mínimo, ou ao máximo, ou inflexão. Para assegurar que o valor é o mínimo, verifica-se a

condição de segunda ordem, que é a segunda derivada da função no ponto s∗ seja positiva, isto

é, f ′′(s∗) > 0. Portanto, as definições do Teorema de Rolle e Weierstrass para o mínimo num

ponto s∗ são definidas:

Definição 1. . O ponto s∗ ∈ Ωs é um mínimo local de f (s) em Ωs se e somente se existe ε > 0

tal que f (s)≥ f (s∗) para todo s ∈Ωs tal que ‖ s− s∗ ‖< ε . Se f (s) > f (s∗) para todo s ∈Ωs,

tal que s 6= s∗ e ‖ s− s∗ ‖< ε , se trata de um mínimo local estrito em Ωs.

Definição 2. . O ponto s∗ ∈Ωs é um mínimo global de f (s) em Ωs se e somente se f (s)≥ f (s∗)

para todo s ∈ Ωs. Se f (s) > f (s∗) para todo s ∈ Ωs, tal que s 6= s∗, se trata de um mínimo

global estrito em Ωs.

Com essas definições, pode-se determinar a condição necessária para o mínimo de uma

função unidimensional que consiste encontrar a primeira derivada igual a zero. No entanto, para

caso de várias variáveis são as derivadas parciais da função objetivo em relação às variáveis de

projeto que interessam, ou seja, o gradiente da função

∂ f (s∗)∂ si

=∂ f (s∗)

∂ s1=

∂ f (s∗)∂ s2

= · · ·= ∂ f (s∗)∂ sn

= 0 . (3.6)

Na forma matricial

∇ f (s∗) =

∂ f (s∗)∂ s1

∂ f (s∗)∂ s2

...

∂ f (s∗)∂ sn

=

[∂ f (s∗)

∂ s1

∂ f (s∗)∂ s2

· · · ∂ f (s∗)∂ sn

]T

= 0 . (3.7)

3.3 Valor Mínimo da Função Objetivo 44

Geometricamente, o vetor ∇ f (s∗) é normal ao plano tangente ao ponto s∗ e indica a direção

do crescimento da função, sendo um parâmetro para determinar a descida da função objetivo.

Para o caso unidimensional, a condição de segunda ordem deve obter a segunda derivada

na qual ela tem que ser maior que zero, porém para o caso de várias variáveis a informação da

segunda derivada da função f (s∗) é obtida derivando novamente por cada componente do vetor

s. Tem-se, então

∂ 2 f (s∗)∂ s∂ s

=∂ 2 f (s∗)∂ si∂ s j

; i = 1, ...,n e j = 1, ...,n . (3.8)

Na forma matricial, na qual é denominada de matriz Hessiana H(s∗) = ∇2 f (s∗),

H(s∗) =

∂ 2 f∂ s2

1

∂ 2 f∂ s1∂ s2

· · · ∂ 2 f∂ s1∂ sn

∂ 2 f∂ s2∂ s1

∂ 2 f∂ s2

2· · · ∂ 2 f

∂ s2∂ sn

...... . . . ...

∂ 2 f∂ sn∂ s1

· · · · · · ∂ 2 f∂ s2

n

. (3.9)

Pode ser representada na notação compacta como

H(s∗) =

[∂ 2 f

∂ si∂ s j

]. (3.10)

Desta maneira, a condição suficiente é definida se a matriz H é positiva-definida no ponto

estacionário s∗, isto garante o ponto de mínimo da função.

Para determinar as condições necessárias e suficientes no caso geral de problemas de otimi-

zação irrestrito, pode-se aplicar o método da função quadrática ou série de Taylor de segunda

ordem, para mais detalhe ver [VANDERPLAATZ, 1984; BAZARAA; SHERALI; SHETTY,

1993; NOCEDAL; WRIGHT, 1999; ARORA, 2004].

Uma função pode ser aproximada por polinômios em uma vizinhança de qualquer ponto em

termos de seu valor e derivadas, usando a expansão da série de Taylor. Considerando a função

f (s), tal que s ∈Rn, a expansão de Taylor sobre o ponto s∗ é formulada como a equação (3.11),

desconsiderando o termo R denotado de resíduo, que representa os termos de ordem superior,

3.4 Condições Necessárias de Otimalidade 45

na qual apresenta pequeno valor se o ponto s está próxima de s∗, isto é, numa vizinha d, tal que

d = s− s∗.

f (s) = f (s∗)+∇ f (s∗)T d+12

dT H(s∗)d+R

f (s)− f (s∗) = ∇ f (s∗)T d+12

dT H(s∗)d+R (3.11)

Note-se que na equação (3.11) o termo do lado esquerdo representa uma variação do valor

da função que é dada por ∆ f = f (s)− f (s∗) e admitindo s∗ um ponto de mínimo local, então

deverá ter ∆ f ≥ 0 para qualquer ponto de s próximo da vizinhança distante d de s∗. Portanto,

podem-se estabelecidas as condições necessárias e suficientes do mínimo da função.

No primeiro termo do lado direito da equação (3.11) tem-se a primeira condição necessária

que é dada pelo gradiente ∇ f (s∗) = 0, que determina o ponto estacionário. O segundo termo é

a segunda condição de suficiência que deve assegurar a seguinte condição

dT H(s∗)d > 0 . (3.12)

Assim, para todo d 6= 0 da equação (3.12) é verdadeira, então a Hessiana calculada no ponto

em consideração H(s∗) deve ser uma matriz positiva-definida.

3.4 Condições Necessárias de Otimalidade

As condições necessárias e suficientes de otimilidade para um problema de otimização

irrestrito foram estabelecidas por Karush, Kuhn e Tucker (KKT) para funções contínuas e dife-

renciáveis dentro de um intervalo definido. Se satisfeitas, garante que um ponto s∗ é um ponto

extremo.

Para contornar a dificuldade de determinar a direção de descida da função objetivo, e con-

seqüentemente um ponto minimizador para problemas com restrições, pode ser transformado

o problema com restrições em problema irrestrito com a utilização do Método Lagrangiano,

ou do Método da Penalidade que garantem a utilização das condições KKT para o ponto can-

didato ao mínimo, ver [BAZARAA; SHERALI; SHETTY, 1993; BENDSØE; SIGNMUND,

2003; ARORA, 2004]. Esta transformação é realizável, adicionando os termos das restrições

de igualdade e da desigualdade na função objetivo.

3.4 Condições Necessárias de Otimalidade 46

Para o Método Lagrangiano, a função objetivo é expandida com adição dos multiplicadores

de Lagrange nas funções de restrições. Daí pode-se reescrever a equação (3.4) aplicando o

Método Lagrangiano, o qual é definido como

£(s,µ ,λ ) = f (s)+p

∑j=1

µ jh j(s)+m

∑i=1

λigi(s) . (3.13)

Sendo £(s,µ,λ ), a Função Lagrangiana; f (s), a função objetivo original; µ j e λi os multi-

plicadores de Lagrange das funções restrições de igualdade e desigualdade respectivamente; e

s é vetor das variáveis de projeto.

Para determinar o ponto minimizador da Função Lagrangiana é necessário impor as condições

de otimilidade. Assim, a condição de primeira ordem de ponto extremo da função (3.13) é

definida como

∇£(s,µ ,λ ) = 0

∇ f (s)+p

∑j=1

µ j∇h j(s)+m

∑i=1

λi∇gi(s) = 0 . (3.14)

Observa-se que, de acordo com a condição necessária definida pela equação (3.14), o gra-

diente da função objetivo no ponto de mínimo s∗ é uma combinação linear dos gradientes das

funções restrições, sendo os coeficientes desta combinação definidas pelos multiplicadores de

Lagrange. Sendo assim, o Método Lagragiano transforma o problema com restrições num pro-

blema irrestrito fazendo com que seja possível aplicar algoritmos computacionais recursivos

[NOCEDAL; WRIGHT, 1999].

Agora, o problema é encontrar os valores dos multiplicadores de Lagrange que satisfazem

as condições KKT, que são:

∇ f (s∗)+p

∑j=1

µ∗j ∇h j(s∗)+m

∑i=1

λ ∗i ∇gi(s∗) = 0 (3.15a)

h j(s∗) = 0 ; j, ..., p (3.15b)

µ∗j ≥ 0 ; j, ..., p (3.15c)

gi(s∗)≤ 0 ; i, ...,m (3.15d)

λ ∗i ≥ 0 ; i, ...,m (3.15e)

λ ∗i gi(s∗) = 0 ; i, ...,m . (3.15f)

3.5 Direção de Descida 47

O sistema de equações (3.15a - 3.15f) formam um sistema não-linear nas incógnitas s∈Rn,

µ ∈Rp, λ ∈Rm. Portanto, verifica-se a ampliação na dimensão n do problema original para a

dimensão (n+ p+m) da função Lagrangiana.

A condição de segunda ordem exige que a segunda derivada da função seja, conforme

descrita na seção 3.3 na equação (3.12). Assim a segunda derivada função Lagrangiana é dada

por

∇2£(s∗,µ∗,λ ∗) = ∇2 f (s∗)+p

∑j=1

µ∗j ∇2h j(s∗)+m

∑i=1

λ ∗i ∇2gi(s∗) . (3.16)

Denotado H∗ = ∇2£(s∗,µ∗,λ ∗) a matriz Hessiana calculada num ponto s∗ que satisfaz a

condição necessária de primeira ordem de KKT. Sendo que H∗ positiva-definida, isto é para

toda direção de descida d 6= 0, obtém-se dT H∗d > 0, então s∗ é um mínimo local.

Para o Método de Penalidade a função objetivo f (s) é expandida adicionando o termo de

violação nas funções restrições, podendo reescrever a formulação (3.4) da seguinte maneira:

min φ(s;ηk) = f (s)+ηkψ(s) . (3.17)

Onde φ(s,ηk), a função objetivo penalizada; f (s), a função objetivo original; ηk, um escalar

denominado de parâmetro de penalidade na k-ésima iteração, e ψ(s) a função penalidade das

restrições, de acordo o método aplicado, que pode ser: Penalidade Exterior ou Penalidade Inte-

rior. No anexo A encontra-se um resumo do Método de Penalidade e para mais detalhes ver as

referências [VANDERPLAATZ, 1984; BAZARAA; SHERALI; SHETTY, 1993; NOCEDAL;

WRIGHT, 1999; ARORA, 2004].

Observa-se que os Métodos de Lagrange e da Penalidade podem ser resolvidos de modo

iterativo por um processo numérico. Assim, ambos são procedimentos que visam aproximar

um problema de otimização com restrições em uma formulação alternativa de problema de

otimização irrestrita para solução numérica, adicionando no funcional, os termos da função

objetivo com as funções restrições, e estas estão associadas a um parâmetro k de iteração.

3.5 Direção de Descida

O problema de otimização apresentado pode ser resolvido por algoritmo baseado em téc-

nicas de programação matemática com procedimento recursivo que garante um mínimo local.

Inicialmente determina uma condição inicial s0 que executa uma seqüência de novos pontos.

3.6 Método Lagrangiano Aumentado 48

Quando bem sucedida, converge para o minimizador local s∗. A formulação “clássica” (Busca

Linear), envolve duas etapas que são: determinar a direção de descida e o tamanho do passo. É

dada por

sk+1 = sk +αkdk ; k ≥ 0 (3.18)

onde s ∈ Rn é o vetor das variáveis de projeto; α ∈ R+ é um escalar que define o tamanho

ou controle do passo de descida; d ∈ Rn, o vetor da direção de descida e k-ésima iteração do

processo recursivo.

Partindo desse conceito da equação (3.18), vários algoritmos podem ser elaborados usando

distintas técnicas para determinar a direção de busca d e do tamanho do passo α .

A técnica mais utilizada para elaboração dos algoritmos da direção de descida é baseada

nos gradientes da função objetivo e das restrições conhecidas como algoritmo de primeira or-

dem. Outra forma é utilizar informações da matriz Hessiana da função objetivo e das restrições

denominada de algoritmo de segunda ordem, computacionalmente mais cara. Os algoritmos

para determinar o tamanho do passo são estratégias que resultam em combinação linear da di-

reção de descida. A determinação desses dois fatores reflete na eficiência e confiabilidade de

um algoritmo.

3.6 Método Lagrangiano Aumentado

Nesta seção é apresentado o Método Lagrangiano Aumentado escolhido para resolução do

problema de otimização de forma desenvolvido neste trabalho.

O Método Lagrangiano Aumentado - (MLA) é a combinação do Método Lagrangiano com

o Método da Penalidade. O Método Lagrangiano Aumentado tem como objetivo contornar o

mal-condicionamento proveniente da penalização elevada e impedir a perda de estrutura de mi-

nimização [MARTÍNEZ; SANTOS, 1998; NOCEDAL; WRIGHT, 1999]. Para desenvolver

o funcional do MLA, considere o problema de otimização com restrições de desigualdade

definido por

min f (s)

t.q.

gi(s)+ z2i = 0 ; i = 1, ...,m ∀s ∈Ωs . (3.19)


Sendo f (s) a função objetiva, gi(s) a função restrição de desigualdade e zi a variável de

folga que converte a restrição de desigualdade em uma restrição de igualdade (ou seja, z2i é não

negativo) e o conjunto solução é dado por

Ωs = s ∈Rn| sin fi ≤ si ≤ ssup

i ; i = 1, ...,n . (3.20)

O problema de otimização definido na equação (3.19), pode ser substituído por uma equi-

valente, agora sem restrições, pelo Método Lagrangiano Aumentado, da seguinte forma:

min £A(s,λ ,z;r) = f (s)+m

∑i=1

λi[gi(s)+ z2i ]+

12r

m

∑i=1

[gi(s)+ z2i ]

2 (3.21)

sendo r o parâmetro de penalidade definido por um escalar, tal que r > 0, ver [NOCEDAL;

WRIGHT, 1999; ARORA, 2004]. Simplificando a equação (3.21) tem-se

£A(s,λ ,z;r) = f (s)+12r

m

∑i=1

[2rλi +(gi(s)+ z2i )](gi(s)+ z2

i ). (3.22)

Agora, o problema da equação (3.22) é determinar a variável de folga. No entanto, não é fá-

cil de ser determinada, usa-se o artifício matemático que suprime as variáveis de folga, impondo

a condição de estacionaridade do funcional £A(s∗,λ ∗,z∗;r∗) da seguinte maneira, δ£A = 0 que

pode ser traduzida por∂£A

∂ zi= 0 ; i = 1, ...,m . (3.23)

Então, a derivada parcial da equação (3.22) em relação à variável de folga, é determinada

por

⇒m

∑i=1

2λizi +1r

m

∑i=1

[gi(s)+ z2i ](2zi) = 0

⇒m

∑i=12λizi +

1r[gi(s)+ z2

i ](2zi)= 0

⇒ 2λizir +[gi(s)+ z2i ](2zi) = 0

⇒ 2zi[rλi +gi(s)+ z2i ] = 0 . (3.24)

Como r > 0, permite concluir que

z2i = 0 ∨ z2

i =−[rλi +gi(s)] . (3.25)


Portanto, permite selecionar

z2i = max0,−[rλi +gi(s)] . (3.26)

Isto satisfaz à condição necessária de otimalidade e permite remover as variáveis de folga

sem a perda da generalidade da função Lagrangiana Aumentada. Note ainda que

gi(s)+ z2i = maxgi(s),−rλi . (3.27)

Substituindo a equação (3.27) na equação (3.22) tem-se a seguinte expressão.

£A(s,λλλ ;r) = f (s)+12r

m

∑i=1

ψi(gi(s),rλi) (3.28)

onde

ψi(gi(s),λi;r) =

[2rλi +gi(s)]gi(s) se gi(s)≥−rλi

−(rλi)2 se gi(s) <−rλi .

(3.29)

Note que: se gi(s) ∈ C1(Rn), então ψi(gi(s), ·) também pertence a C1(Rn). Assim, atuali-

zação do multiplicador de Lagrange é dada por

λ k+1i = max(0,λ k

i +1rk gi(sk) . (3.30)

Desta maneira, o problema original definido na equação (3.19) é transformado num pro-

blema de restrições laterais. Agora, pode-se reescrever a formulação do problema de otimização

a ser implementada no processo, do seguinte modo:

Determinar s∗ ∈Rn tal que s∗ =limk→∞ s∗k , onde s∗k é solução do problema:

Dados λ K ∈Rm e rk > 0, determinar s∗k tal que seja a solução de

min £A(s,λ k;rk)

t.q.

s ∈Ωs (3.31)

onde

Ωs = s ∈Rn| sin fi ≤ si ≤ ssup

i ; i = 1, ...,n (3.32)

£A(sk,λ k;rk) = f (s)+1

2rk

m

∑i=1

ψi(gi(s),rkλ ki ) (3.33)


ψi(gi(s),λ ki ;rk) =

[2rkλ ki +gi(s)]gi(s) se gi(s)≥−rkλ k

i ;

−(rkλ ki )2 se gi(s) <−rkλ k

i .

(3.34)

Estabelecendo a condição necessária de primeira ordem na Função Lagragiana Aumentada

em relação a variável de projeto, tem-se

d£A

dsi=

∂ f (s)∂ si

+12r

dψi

dsi(3.35)

onde a derivada da função penalidade é determinada por

dψdsi

=

2[gi(s)+ rkλ ki ]

dg(s)dsi

se gi ≥−rkλ ki

0 se gi <−rkλ ki .

(3.36)

A atualização do parâmetro de penalidade rk e do multiplicador de Lagrange λ ki são dadas

respectivamente por

rk+1 =

γrk se rk+1 < rcrit ;

onde γ ∈ (0,1)

rk se rk+1 ≥ rcrit

(3.37)

e

λ k+1i = max(0,λ k

i +1rk gi(sk) . (3.38)

Para este trabalho foram utilizados γ = 10−1 e rcrit = 1,0−08.

A implementação computacional pode ser esquematizada para resolver o problema de oti-

mização com restrição de desigualdade pelo Método Lagragiano Aumentado conforme o algo-

ritmo 1.


Algoritmo 1 Método Lagragiano Aumentado1: procedure OPTIMIZATION ALGORITHM (so, tol)2: k = 13: rk . Estima Penalidade Inicial4: rcrit . Definir Penalidade Limite5: Determinar λ k usar equação (3.34) . Multiplicador de Lagrange Inicial6: repeat7: call AUGMENTED LAGRANGIAN METHOD (so, tol,rk,λ k)8: erroλ = λ k+1−λ k

9: Determinar λ k+1 usar equação (3.38) . Multiplicador de Lagrange10: Determinar rk+1 usar equação (3.37) . Parâmetro de Penalidade11: k = k +112: until (erroλ < tol) . Teste de convergência13: print so . Resultado de pós-processamento14: end procedure15: procedure AUGMENTED LAGRANGIAN METHOD (so, tol,rk,λ k)16: i = 117: Calcular ∇£A(so,rk;λ k

i ) usar equação (3.35) . Análise da Sensibilidade18: Calcular erro = ‖∇£A(so,rk;λ k

i )‖ . Estimativa de erro19: while (erro≥ tol) do . Teste de convergência20: Determinar di . Direção de busca linear21: Determinar αi . Tamanho do passo de descida22: Calcular si+1 = si +αidi . Atualizar as variáveis projeto23: Calcular ∇£A(si,rk;λ k

i )24: Calcular erro = ‖∇£A(si,rk;λ k

i )‖25: Atualizar i = i+126: Atualizar si = si+127: end while28: Atualizar so = si+129: end procedure

4 Modelo de Aproximação e Análise de Sensibilidade

4.1 Introdução

Neste capítulo desenvolve-se um Modelo de Aproximação pelo Método dos Elementos

Finitos e calcula-se a Sensibilidade Analítica para a resolução do problema de otimização de

forma bidimensional, que visa minimizar a massa estrutural submetida ao critério de tensão.

Assim, a estrutura sob a condição de contorno e a propriedade do material realizada-se a análise

linear pelo MEF usando o elemento Tri6 determinado a solução linear. Avalia-se a função La-

grangiana Aumentada e inicia-se o processo recursivo da otimização de acordo com a resposta

da sensibilidade da função objetivo há mudança nas variáveis de projeto a ser otimizado, de

forma que defini a geometria para o leiaute ótimo.

Inicialmente, apresenta-se a formulação do modelo de elasticidade linear sob a hipótese

de pequenas deformações e de pequenos deslocamentos e aproximação pelo MEF e seguida

desenvolve-se a formulação do problema de otimização com a análise de sensibilidade do pro-

cesso e finaliza-se com a estratégia adotada para geração de malhas automáticas.

4.2 Formulação do Problema

De uma forma geral pode-se definir um problema de estruturas sob carregamento mecânico

da seguinte forma.

Figura 4.1: Descrição do problema

4.2 Formulação do Problema 54

Sendo:

Ω→ Domínio genérico do projeto;

∂Ω→ Contorno do domínio, tal que, ∂Ω = Γu∪Γt e Γu∩Γt =®;

Γu → Parte do contorno sujeito a deslocamento prescrito também denominada condição de

contorno de Dirichlet, isto é, u = u;

Γt → Parte do contorno sob tração prescrita também deniminada condição de contorno de

Neumann, isto é, t = t;

Bo → Representa o vetor força de corpo por unidade de volume.

Sendo que o vetor força resultante Bo é a soma de todos as forças de corpo atuante em um

volume finito Ω o qual é dada pela integral sobre o volume.

Bo =∫

ΩρbdΩ (4.1)

A força de corpo por unidade de massa atuante em um volume infinitesimal dΩ do corpo é

denotado pelo vetor b. A força de corpo no volume dΩ é ρbdΩ, sendo ρ a massa por unidade

de volume.

O objetivo aqui será utilizar o Método de Otimização de Forma para minimizar a massa

de estruturas 2D atendendo a um critério de tensão. Sendo assim, utiliza-se curvas B-splines

para descrever o contorno da estrutura a ser otimizada. Elas possuem pontos de controle que

determinam segmentos das curvas através dos pontos-chave. Desta maneira, ao alterar os va-

lores dos pontos-chave estará implícita alteração dos valores dos pontos de controle e a curva

será modificada localmente, justificada escolha da curva e dos pontos-chave como variáveis de

projeto do problema de otimização. Pode ser formulado como:

Determinar s, vetor dos pontos-chave das curvas do contorno, tal que soluciona.

min∫

Ωρ(s)dΩ (4.2)

t.q.σe f

σy−1≤ 0 (4.3)

s ∈Ωs (4.4)

sendo

Ωs = s ∈Rns |sin fi ≤ si ≤ ssup

i ; i = 1, ...,ns (4.5)

onde:


ρ → Densidade do material;

σe f → Tensão efetiva de von Mises;

σy → Tensão de escoamento do material.

A tensão de von Mises efetiva é definida da seguinte forma,

σ3De f =

√σ2

xx +σ2yy +σ2

zz−σxxσyy−σyyσzz−σzzσxx +3(σ2xy +σ2

yz +σ2zx) (4.6)

e para caso bidimensional

σ2De f =

√σ2

xx +σ2yy−σxxσyy +3σ2

xy (4.7)

escrita na forma de matriz reduzida

(σe f )2 =H σσσ ···σσσ (4.8)

e as representações da H para os casos 3D e 2D são respectivamente

H3D =

1 −12 −1

2 0 0 0

−12 1 −1

2 0 0 0

−12 −1

2 1 0 0 0

0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 0 3

(4.9)

e

H2D =

1 −12 0

−12 1 0

0 0 3

. (4.10)

4.2.1 Elasticidade Linear

De acordo com a Lei de Hooke a equação que relaciona tensão com a deformação, a qual é

válida na região elástica linear, é dada por

σσσ = Dεεε (4.11)


escrita na forma indicial obtém-se

σi j = Di jklεkl (4.12)

sendo o tensor tensão e o tensor deformação dados respectivamente por

σσσ =

σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

e εεε =

εxx εxy εxz

εyx εyy εyz

εzx εzy εzz

(4.13)

e D o tensor constitutivo do material.

Mas σi j = σ ji e εi j = ε ji para todo i 6= j. Daí, para descrever cada um dos tensores são

necessários apenas seis componentes. Os componentes podem ser arranjadas na forma de um

vetor, de modo que

σσσ =

σxx

σyy

σzz

σxy

σxz

σyz

e εεε =

εxx

εyy

εzz

εxy

εxz

εyz

. (4.14)

Em conseqüência desse agrupamento, o tensor constitutivo de quarta ordem definido na

equação (4.15), é reduzido para um tensor de segunda ordem, tal que

D=E

(1+ν)(1−2ν)

1−ν ν ν 0 0 0

ν 1−ν ν 0 0 0

ν ν 1−ν 0 0 0

0 0 0 1−2ν 0 0

0 0 0 0 1−2ν 0

0 0 0 0 0 1−2ν

(4.15)

sendo assim definida a relação da tensão versus deformação (σσσ × εεε) de comportamento do

material para casos lineares elásticos 3D.

Nos casos particulares 2D, o tensor constitutivo toma a seguinte forma


Para o estado plano de tensão - EPT

D=E

1−ν2

1 ν 0

ν 1 0

0 0 1−2ν

. (4.16)

Para o estado plano de deformação - EPD

D=E

(1+ν)(1−2ν)

1−ν ν 0

ν 1−ν 0

0 0 1−2ν

. (4.17)

Observe que σe f = σe f (u(x)) representa uma medida de tensão (critério de tensão) para-

métrica, isto é, deve-se garantir a condição de tensão para todo ponto x pertencente ao domínio

de projeto Ω.

4.2.2 Equação de Equilíbrio

O sólido está sujeito a força superficial t e a força de corpo ρb. Para que o sólido esteja em

equilíbrio é necessário que ∫

Γt

tdΓ+∫

ΩρbdΩ = 0 (4.18)

sendo o carregamento mecânico σσσn = t, denotando por n o vetor normal, tem-se∫

Γt

σσσndΓ+∫

ΩρbdΩ = 0 . (4.19)

Aplicando o teorema da divergência para o campo tensorial da equação (4.19)sabendo que

o tensor tensão é simétrico, obtém-se∫

Ωdiv σσσ dΩ+

∫

ΩρbdΩ =

∫

Ω(div σσσ +ρb)dΩ = 0 . (4.20)

Analisando a equação (4.20), deduz-se a equação de equilíbrio de forças dado por

div σσσ +ρb = 0 . (4.21)

4.2.3 Formulação Forte do Problema

O problema definido pela formulação forte pode ser enunciado como:


Determinar u na equação de equilíbrio

div σσσ +ρb = 0 em Ω (4.22)

sob carregamento mecânico, escrito de acordo com a equação de Cauchy

σσσn = t em Γt . (4.23)

A deformação e deslocamento devem satisfazer as condições de geometria

εi j =12(ui j +u ji) (4.24)

ui = ui em Γu .

4.2.4 Formulação Fraca do Problema

A equação de equilíbrio definida pela forma forte na equação (4.22) é satisfeita em todo o

ponto x de Ω, de modo que

div σσσ(x)+ρb(x) = 0 ∀x ∈Ω (4.25)

daí, se é zero em todo ponto x de Ω, então dado um deslocamento arbitrário v(x) ∈ Ho,∫

Ω[div σσσ(x)+ρb(x)] ·v(x)dΩ = 0, ∀v(x) ∈ Ho (4.26)

essa equação é denominada de trabalho virtual, sendo v(x) também denominada de desloca-

mento virtual, reescrevendo a equação (4.26), tem-se∫

Ωdiv σσσ ·vdΩ+

∫

Ωρb ·vdΩ = 0, ∀v ∈ Ho (4.27)

sendo aqui definido o conjunto:

i. Conjunto dos deslocamentos admissíveis (H)

H = u|usu f .reg, u = u em Γu (4.28)

ii. Conjunto das variações dos deslocamentos admissíveis (Ho)

Ho = v|vsu f .reg, v = 0 em Γu (4.29)

como resultado, podemos decompor o campo de deslocamentos da seguinte forma

U = u+u, u ∈ Ho (4.30)


e assim

H = u+Ho . (4.31)

De acordo com a regra do produto e sabendo que σσσT = σσσ

div (σσσT v) = div σσσ ·v+σσσ ·∇v (4.32)

mas o vetor gradiente do deslocamento ∇v pode ser decomposto em uma parte simétrica e outra

anti-simétrica do seguinte modo

∇v = εεε +ωωω (4.33)

sendo a parte simétrica, definida por

εεε =12(∇v+∇vT ) (4.34)

εεε denominado tensor deformação (strain tensor).

A parte anti-simétrica é definida por

ωωω =12(∇v−∇vT ) (4.35)

sendo este definido por tensor rotação (rotation tensor), o qual é responsável pela rotação do

corpo rígido, ver [SADD, 2005].

Devido a anti-simetria do tensor rotação e da simetria do tensor tensão, σi jωi j = 0, daí a

expressão (4.32) pode ser escrita como

div (σσσT v) = div σσσ ·v+σσσ · εεε(v) (4.36)

substituindo a equação (4.36) na equação (4.26), obtém-se∫

Ωdiv (σσσT v)dΩ−

∫

Ωσσσ · εεε(v)dΩ+

∫

Ωρb ·vdΩ = 0 (4.37)

de acordo com o teorema da Divergência∫

Ωdiv

(σσσT v

)dΩ =

∫

Γσσσn ·vdΓ (4.38)

sabendo que t = σσσn, substitui-se a equação (4.38) na equação (4.37), tem-se.∫

Ωσσσ · εεε(v)dΩ =

∫

Ωρb ·vdΩ+

∫

Γt ·vdΓ, ∀v ∈ Ho (4.39)

4.3 Formulação Discreta - Método dos Elementos Finitos 60

Agora, substituindo a equação (4.11), o problema é determinar o campo de deslocamento

u(x) tal que v ∈ H, é a solução de∫

ΩDεεε(u) · εεε(v)dΩ =

∫

Ωρb ·vdΩ+

∫

Γt

t ·vdΓ, ∀v ∈ Ho. (4.40)

4.3 Formulação Discreta - Método dos Elementos Finitos

Para resolver o problema, será aplicado o Método dos Elementos Finitos de Galerkin para

determinar o campo de deslocamentos u(x). O elemento finito utilizado na aproximação do

problema do EPT é o Tri6 ilustrado na figura 4.2, que interpola as variáveis do campo de deslo-

camentos (ux,uy).

Figura 4.2: Elemento Finito Triangular Tri6

Pela teoria do MEF sabe-se que os graus de liberdade de um elemento finito relacionam-se

com as componentes dos deslocamentos nodais da seguinte forma

u(x) = Nqe (4.41)

sendo u(x) o vetor do campo de deslocamento de cada elemento da malha, N é a matriz das

funções de interpolação do elemento e qe o vetor de deslocamentos nodais do elemento Tri6,

estes são determinados por

qTe =

[u1

x u1y u2

x u2y u3

x u3y u4

x u4y u5

x u5y u6

x u6y

]T(4.42)

N=

N1 0 N2 0 N3 0 N4 0 N5 0 N6 0

0 N1 0 N2 0 N3 0 N4 0 N5 0 N6

. (4.43)

Para os deslocamentos virtuais,

v(x) = Nqe (4.44)


sendo

qTe =

[v1

x v1y v2

x v2y v3

x v3y v4

x v4y v5

x v5y v6

x v6y

]T. (4.45)

O vetor deformação pode ser expresso como

εεε =

εxx

εyy

εxy

=

∂∂x

0

0∂∂y

12

∂∂y

12

∂∂x

Nqe = ∂∂∂Nqe = Bqe (4.46)

sendo ∂∂∂ um operador diferencial adequado conforme considerações geométricas e B conhecida

por matriz deformação-deslocamento, a qual é dada pela equação (4.47), o desenvolvimento da

equação está na seção 4.3.1.

B= ∂∂∂N (4.47)

Para obter a matriz de rigidez do elemento finito do funcional definido na equação (4.40),

é descomposta em contribuições de elementos individuais. Destarte, substituindo as expressões

(4.41), (4.44) e (4.46), obtém-se.∫

Ωe

DBT qe ·Bqe dΩ =∫

Ωe

NT ρb · qe dΩ+∫

Γt∩∂Ωe

NT t · qe dΓ , ∀ qe ∈ Ho (4.48)

∫

Ωe

BTDBdΩ

qe · qe =∫

Ωe

NT ρbdΩ· qe +

∫

Γt∩∂Ωe

NT tdΓ· qe , ∀ qe ∈ Ho (4.49)

sendo a matriz de rigidez do elemento

Ke =∫

ΩBTDBdΩ (4.50)

e o vetor dde carga do elemento

Fe =∫

ΩNT ρbdΩ+

∫

Γt

NT tdΓ . (4.51)

4.3.1 Transformação do Domínio

A premissa básica do conceito do MEF é que um problema do tipo deslocamento, tempe-

ratura ou pressão, pode ser aproximado por um modelo discreto composto por um conjunto de

funções contínuas definidas sobre um número finito de subdomínios.

Para isso, usa-se uma função de aproximação ϕ formada pela combinação linear de funções

simples, cada uma definida sobre uma pequena região, sendo esta denominada de elemento. Um


elemento finito é uma região no espaço onde uma função é interpolada pelos valores nodais de ϕna fronteira da região, de um modo que a continuidade de ϕ entre os elementos seja mantida na

geração da malha. Desta maneira, tem-se um procedimento numérico sistemático de cálculo,

denominado Método dos Elementos Finitos que aproxima problema de valores de contorno

descrito por uma equação diferencial, mediante a solução numérica de um sistema de equações

algébrica [COOK, 1995].

A transformação de um domínio discreto elementar Ωe qualquer, para um domínio elemen-

tar padrão Ωe, se faz necessário para calcular a derivada das integrais sobre o domínio, caso

contrário os cálculos mudariam de elemento para elemento da malha. Além disso, o cálculo das

matrizes Ke dos elementos seria complicado de ser realizado diretamente em termos das coor-

denadas (x,y). Portanto, há necessidade da transformação do domínio para que seja possível

transformar as operações de Ωe em Ωe, de uma maneira simples e genérica. Veja a figura 4.3.

4.3.a:Elemento triangular na coor-denada global (x,y)

4.3.b:Elemento triangular na coor-denada local (ξ ,η)

Figura 4.3: Transformação do Domínio do sistema (x,y)⇒ (ξ ,η)

A construção da transformação utiliza funções de interpolação N do elemento, sendo a

mudança das coordenadas definida como

x(x,y) = ϕ(x,y)∼= ϕ(ξ ,η)

x(ξ ,η) = xiNte

i (ξ ,η)

y(ξ ,η) = yiNtei (ξ ,η)

(4.52)

onde, x(x,y) são as coordenadas globais do elemento no domínio Ωe, ϕ(ξ ,η) são as coorde-

nadas padrão do domínio Ωe, i índice do número dos nós do elemento e te o tipo de elemento.

A figura 4.34.3.a mostra o elemento Tri6, daí te = 6T, com dois graus de liberdades por nó

correspondente aos deslocamento em x− y.

Considere ϕ como sendo uma função qualquer sob coordenada x a ser representada pelas

funções do elemento finito Tri6, que obedece triângulo de monômios de Pascal de ordem 2

ϕ(x) = ϕ(x,y) = α0 +α1x+α2y+α3x2 +α4xy+α5y2 . (4.53)


Substituindo as coordenadas em cada um dos nós ( j = 1,2, ...,6) do elemento Tri6

ϕ(x j) = α0 +α1x j +α2y j +α3x2j +α4x jy j +α5y2

j (4.54)

reescrevendo na forma matrical

ϕ(x1)

ϕ(x2)

ϕ(x3)

ϕ(x4)

ϕ(x5)

ϕ(x6)

︸︷︷︸ϕϕϕ

=

1 x1 y1 x21 x1y1 y2

1

1 x2 y2 x22 x2y2 y2

2

1 x3 y3 x23 x3y3 y2

3

1 x4 y4 x24 x4y4 y2

4

1 x5 y5 x25 x5y5 y2

5

1 x6 y6 x26 x6y6 y2

6

︸︷︷︸A

α0

α1

α2

α3

α4

α5

︸︷︷︸ααα

(4.55)

sendo a inversa da matriz definida por

A−1 =1

det Aadj A (4.56)

e o determinante por

det A = 2Ae (4.57)

sendo Ae a área do elemento em consideração, então as funções de interpolação são determi-

nadas por

N6Ti =

[1 x y x2 xy y2

][A]−1 i = 1, ...,nn (4.58)

substituindo a equação (4.57 e 4.56) na equação (4.58) tem-se as funções de interpolação de um

elemento Tri6 com nn nós

N6Ti =

12Ae

[1 xi yi x2

i xiyi y2i

]adj A i = 1, ...,nn . (4.59)

No sistema de coordenadas locais, a variável ϕ pode ser escrita como

ϕ(x(ξ ,η),y(ξ ,η)) = N6Tj (ξ ,η)ϕi j (4.60)


sendo as funções de interpolação Lagrangiana do elemento de base natural Tri6 definidas por

N6T1 (ξ ,η) =−ξ (1−2ξ )

N6T2 (ξ ,η) =−η(1−2η)

N6T3 (ξ ,η) =−λ (1−2λ )

N6T4 (ξ ,η) = 4ξ η

N6T5 (ξ ,η) = 4ηλ

N6T6 (ξ ,η) = 4ξ λ (4.61)

λ = 1−ξ −η .

Observa-se ainda que as funções de interpolação de base padrão (natural) dadas pelas

equações (4.61) correspondes ao sistema de equações (4.60) escritas em relação às coordenadas

global (físicas).

Para obter as derivadas das funções de forma com relação às coordenadas naturais utiliza-se

a regra da cadeia

∂N6Ti

∂ξ∂N6T

i∂η

=

∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

∂N6Ti

∂x∂N6T

i∂y

(4.62)

onde, a matriz Jacobiana do elemento é definida

J =

∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

(4.63)

sabendo que o mapeamento do elemento original para o elemento padrão é dado pelas equações

(4.52), substituindo na equação (4.63), obtém-se

J =

∂Ntei

∂ξxi

∂Ntei

∂ξyi

∂Ntei

∂ηxi

∂Ntei

∂ηyi

(4.64)


para o caso particular em que te = 6T

J =

∂N61

∂ξ∂N6

2∂ξ

· · · ∂N66

∂ξ∂N6

1∂η

∂N62

∂η· · · ∂N6

2∂η

x1 y1

x2 y2

......

x6 y6

. (4.65)

Portanto, é possível escrever o elemento diferencial de área dΩ = dxdy em termos de ele-

mentos dξ e dη da seguinte forma

Ae(x) =∫

Ae

dx dy = det J∫ 1

0

∫ 1−ξ

0dη dξ . (4.66)

resolvendo a parcela da integração

∫ 1

0

∫ 1−ξ

0dη dξ =

∫ 1

0(1−ξ ) dξ = ξ − ξ 2

2

∣∣∣∣∣1

0

=12

(4.67)

agora, substituindo na equação (4.66)

det J = 2Ae(x) . (4.68)

A equação (4.65) pode ser escrita na forma matricial

J =GN6T X (4.69)

sendo G o operador gradiente com relação ao sistema de coordenada natural

G=

∂∂ξ∂

∂η

(4.70)

a matriz com a funções de interpolação N6T é dada por

N6T =[

N1 N2 N3 N4 N5 N6

](4.71)


e X a matriz de coordenadas nodais do elemento, dado por

X =

x1 y1

x2 y2

......

x6 y6

. (4.72)

As derivadas das funções de forma com relação às coordenadas físicas podem ser obtidas

ainda reescrevendo a equação (4.62), da seguinte forma

∂N6Ti

∂x∂N6T

i∂y

= J−1

∂N6Ti

∂ξ∂N6T

i∂η

. (4.73)

Na forma matricial

∇N6Ti = J−1 GN6T

i . (4.74)

A matriz B, também denominada matriz deformação-deslocamento, definida para o ele-

mento Tri6 por

B6T = ∂∂∂N6Tu =

∂∂x

0

0∂∂y

12

∂∂y

12

∂∂x

N1 0 N2 0 N3 0 N4 0 N5 0 N6 0

0 N1 0 N2 0 N3 0 N4 0 N5 0 N6

.

(4.75)

Para o caso geral de um elemento com nn número de nós, pode-se definir a matriz B como

B=[b1 b2 · · · bi · · · bnn

](4.76)

4.4 Modelo de Aproximação do Problema de Otimização 67

sendo bi uma submatriz, que está associada ao ponto nodal i do elemento finito, e que tem a

forma

bi =

∂Ni

∂x0

0∂Ni

∂y12

∂Ni

∂y12

∂Ni

∂x

. (4.77)

4.4 Modelo de Aproximação do Problema de Otimização

O problema de otimização tem por objetivo minimizar a massa estrutural, a função objetivo

é definida como

min∫

Ωρ(x)dΩ (4.78)

esta pode ser escrita de forma discreta de modo a ser utilizado o Método dos Elementos Finitos.

Considerando ρ(x) =cte, ∀x ∈Ω, a função objetivo pode ser reescrita, de modo adimensional,

da seguinte forma

min1Ω

∫

ΩdΩ (4.79)

sendo Ω o volume de toda a estrutura. O domínio Ω é “aproximadamente” particionado em

elementos Ωe, daí

min1Ω

ne

∑e=1

∫

Ωe

dΩ (4.80)

sendo ne o número total de elementos da malha.

A restrição de tensão deve ser atendida ∀x ∈ Ω, caracterizando um problema de restrições

paramétricas. Um método efetivo para contornar o problema de restrições paramétricas, con-

siste na relaxação pontual (critério local) através da consideração de uma restrição integrada,

isto é, da utilização de um critério global. Portanto, a condição pontual

ge(x) =[σe f (x)

σy−1

]≤ 0 (4.81)

será substituída pelo seguinte critério global

g(u(x)) =

1Ω

∫

Ω〈ge(x)〉pdΩ

1p

≤ 0 (4.82)

sendo definido que 〈ge(x)〉= max0,ge(x), representando a parte positiva de ge(x).

4.4 Modelo de Aproximação do Problema de Otimização 68

Reescrevendo a equação (4.82) pela aproximação de Ω por particionamentos em elementos

Ωe e sabendo que u(x) = u(x(s)), obtém-se

g(s) = g(u(x(s))) =

1Ω

ne

∑e=1

∫

Ωe

〈ge(x(s))〉p dΩ

1p

≤ 0 . (4.83)

Agora, como resultado das considerações anteriores e sabendo que Ωe = Ωe(s), o problema

pode ser aproximado como:

i. Função objetivo

f (s) =mins

ne

∑e=1

∫

Ωe

dΩ (4.84)

ii. sujeito a

g(s) =

1Ω

ne

∑e=1

∫

Ωe

〈ge(x(s))〉pdΩ

1p

=

1Ω

ne

∑e=1

∫

Ωe

〈ge(x(s))〉p|J|dΩ

1p

= G1p ≤ 0 (4.85)

iii. Restrições laterais

sin f ≤ s j ≤ ssup ; j = 1, ...,ns (4.86)

sendo ns o número total de pontos-chave de todos os segmentos de curvas B-splines.

O cálculo de u(x(s)) advém da solução de

a(u,v) = l(v), ∀v ∈ Ho (4.87)

sendo

a(u,v) =∫

ΩDεεε(u) · εεε(v)dΩ (4.88)

e

l(v) =∫

Ωρb ·vdΩ+

∫

Γt

t ·vdΓ (4.89)

conforme definido na seção 4.2.4. Daí denota-se por S = s ∈Rns | sin f ≤ s j ≤ ssup o conjunto

solução.

4.5 Análise da Sensibilidade 69

4.5 Análise da Sensibilidade

A análise da sensibilidade estuda o comportamento da taxa da variação do funcional em

relação à variável de interesse. Aplicando o conceito para a otimização de forma, é a investi-

gação da taxa de mudança da função objetivo em relação às variáveis de projeto. P envolve o

cálculo do gradiente de uma função objetivo em função das variáveis de projeto. Geralmente

são funções não-lineares, dependentes das variáveis de projeto, conseqüentemente são difíceis

de determina e envolvem altos custos computacionais.

A análise da sensibilidade consome a maior parte do esforço computacional requerido para

determinação da solução do problema, tornando um ponto crucial para o processo. Outros pon-

tos a serem considerados são a precisão obtida do resultado e a avaliação do erro da sensibilidade

que levam às direções de busca incorretas, criando obstáculo na convergência do algoritmo de

otimização. Por esse motivo, é importante a utilização de um algoritmo robusto, com a finali-

dade de reduzir o erro e diminuir o tempo de processamento. Sendo assim, esta seção tem como

enfoque central mostrar as técnicas utilizadas neste trabalho de forma sistemática para realizar

a análise de sensibilidade baseada nos conceitos clássicos do cálculo variacional e da mecânica

do contínuo.

4.5.1 Sensibilidade de £A

Cálculo da sensibilidade de £A definida pela equação (3.35) em relação a variável de projeto

s jd£A

ds j=

∂ f∂ s j

+1r

dψds j

(4.90)

sendo

dψds j

=

2[g(s,u(s))+ rλ ]dg(s,u(s))

ds jse g≥−rλ

0 se g <−rλ(4.91)

Para a sensibilidade do critério de tensão global em relação a variável de projeto s j

dgds j

=∂ g∂ s j

+2nn

∑k=1

∂ g∂uk

duk

ds j(4.92)

onde nn número de nós.

Pelo que se pode perceber é mais “complicado” determinarduk

ds j, que representa o gradiente

do deslocamento nodal com relação a variável de projeto s j, além de proporcionar alto custo

computacional tornando-se inviável seu cálculo direto.


Diante disso, aplica-se novamente a idéia de transformar um problema complexo em pro-

blema mais simples ou possíveis de serem resolvidos. Propõe-se uma alternativa para eliminar

o cálculo do termoduk

ds j, que consiste em realizar uma operação denominada Método Adjunto.

A equação (4.92) pode ser reescrita como

dgds j

=∂ g∂ s j

+⟨

∇ug,∂u∂ s j

⟩(4.93)

mas da condição de equilíbrio

Ku = Fext . (4.94)

Daí∂K∂ s j

u+K∂u∂ s j

=∂Fext

∂ s j(4.95)

denotando

R j = K∂u∂ s j

(4.96)

então

R j =∂Fext

∂ s j− ∂K

∂ s ju (4.97)

sendo que∂Fext

∂ s j= 0 , daí

R j =−∂K∂ s j

u (4.98)

Analisando a equação (4.96) verifica-se que

∂u∂ s j

= K−1R j (4.99)

substituindo a equação (4.99) na equação (4.93), obtém-se

dgds j

=∂ g∂ s j

+⟨∇ug, K−1R j⟩ (4.100)

reescrevendo a equação (4.100), obtém-se

dgds j

=∂ g∂ s j

+⟨K−T ∇ug, R j⟩ (4.101)

Mas K−1 = K−T , daídgds j

=∂ g∂ s j

+⟨K−1∇ug, R j⟩ (4.102)

denominando

Z j = K−1∇u g =⇒ KZ j = ∇u g (4.103)


entãodgds j

=∂ g∂ s j

+⟨Z j,R j⟩ (4.104)

sendo Z j é o vetor solução do sistema da equação (4.103).

4.5.2 Sensibilidade da função restrição global em relação à variável deprojeto

Sendo g definida como na equação (4.85), observe que Ω = Ω(x(s)), então derivando em

relação a s j, tem-se

dgds j

=1p(G)

1p−1

[−Ω−2 ∂Ω

∂ s j

ne

∑e=1

∫

Ωe

〈ge〉p|J|dΩ+Ω−1ne

∑e=1

∫

Ωe

p〈ge〉p−1 ∂ge

∂ s j|J|

+〈ge〉p ∂ |J|∂ s j

dΩ]

(4.105)

manipulando a parcela da expressão acima

(G)1p−1 = (G)

1p · (G)−1 = (G)

1p · (G)−

pp = g · g−p = g1−p (4.106)

substituindo a relação da equação (4.106) na equação (4.105), obtém-se

dgds j

=g1−p

pΩ

[− 1

Ω∂Ω∂ s j

ne

∑e=1

∫

Ωe

〈ge〉p|J|dΩ+ne

∑e=1

∫

Ωe

p〈ge〉p−1 ∂ge

∂ s j|J|

+Ω〈ge〉p ∂ |J|∂ s j

dΩ]

(4.107)

4.5.3 Sensibilidade da função restrição local em relação à variável de pro-jeto

Sendo ge definida como na equação(4.81), então derivando em relação a s j, tem-se

∂ge

∂ s j=

∂∂ s j

[σe f

σy−1

]=

1σy

∂σe f

∂ s j. (4.108)

Mas

σ2e f =Hσσσ ···σσσ (4.109)

∂∂ s j

[σe f ]2 =∂

∂ s j[Hσσσ ···σσσ ] (4.110)

2σe f∂σe f

∂ s j= 2

[Hσσσ ··· ∂

∂ s jσσσ

](4.111)


então, a sensibilidade é dada por

∂σe f

∂ s j=

1σe f

[Hσσσ ··· ∂σσσ

∂ s j

]. (4.112)

4.5.4 Sensibilidade do vetor tensão em relação à variável de projeto

∂σσσ∂ s j

=∂

∂ s j[Dεεε(u)] = D

∂εεε(u)∂ s j

(4.113)

então, a sensibilidade é dada por

∂σσσ∂ s j

= D∂ (Bqe)

∂ s j= D

[∂B∂ s j

qe +B∂qe

∂ s j

]. (4.114)

4.5.5 Sensibilidade da matriz de rigidez K em relação à variável de pro-jeto

A matriz de rigidez global pode ser decomposta da seguinte forma

K =ne

∑e=1Ke (4.115)

sendo Ke a matriz de rigidez elementar, na qual é definida por

Ke =∫

Ωe

BTDBdΩ =∫

Ωe

BTDB|J|dΩe . (4.116)

Agora, calcula-se a derivada da matriz de rigidez elementar Ke em relação à variável de

projeto s j, sendo necessário para o cálculo do vetor R j definido na equação (4.96).

∂Ke

∂ s j=

∫

Ωe

[∂BT

∂ s jDB+BTD

∂B∂ s j

]|J|dΩe +

∫

Ωe

[BTDB]∂ |J|∂ s j

dΩe (4.117)

denominando

B∗ =∂B∂ s j

+1|J|

∂ |J|∂ s j

B (4.118)

conseqüentemente a equação (4.116) pode ser escrita como

∂Ke

∂ s j=

∫

Ωe

[∂BT

∂ s jDB+BTDB∗

]|J|dΩe (4.119)

que é a maneira mais eficaz de calcular a sensibilidade da matriz do elemento.


4.5.6 Sensibilidade da função restrição global em relação ao vetor de deslo-camentos

Analisando a equação (4.85) é fácil deduzir que

∂ g∂u

=g(1−p)

Ω

∫

Ω〈ge〉(p−1) ∂ge

∂udΩ . (4.120)

Lembrando que a configuração Lagrangiana não há atualização da geometria, portanto Ω =

Ω(x(s)) não depende da trajetória do deslocamento. Agora, a expressão acima pode ser escrita

como

∂ g∂u

=g(1−p)

Ω

ne

∑e=1

∫

Ωe

〈ge〉(p−1) ∂ge

∂uedΩ =

g(1−p)

Ω

ne

∑e=1

∫

Ωe

〈ge〉(p−1) ∂ge

∂ue|J|dΩ . (4.121)

Para calcular∂ gel

∂u, temos a equação (4.122) para cada elemento

∂ gel

∂u=

∫

Ωe

〈ge(·)〉p−1 ∂ge(·)∂ue

|J|dΩ (4.122)

sendo a restrição de tensão von Mises é definida pela equação (4.81), pode reescrever como

ge =σe f

σy−1≤ 0 (4.123)

sendo

σ2e f =Hσσσ ···σσσ

σσσ e = DBqe (4.124)

aplicando o operador diferencial em relação a r-ésima componente do deslocamento nas equações

(4.124), obtém-se

∂∂ur

[σe f

]2 =∂

∂ur[Hσσσ ···σσσ ]

2σe f

[∂σe f

∂ur

]= 2


∂ur

]

∂σe f

∂ur=

1σe f


∂ur

](4.125)

e∂σσσ∂ur

= DB∂qe

∂ur. (4.126)

4.6 Estratégia da Qualidade da Malha do Elemento Finito 74

Agora, substitui-se a expressão (4.126) em (4.125)

∂σe f

∂ur=

1σe fHσσσ

[DB

∂qe

∂ur

]

∂σe f

∂ur=Hσσσσe f

···DBk , sendo r = lm(k) (4.127)

como a matriz constitutiva do material é simétrica, isto é, D= DT , então

∂σe f

∂ur=DHσσσ

σe fBk (4.128)

denotando

w =1

σe fDHσσσ (4.129)

assim∂σe f

∂ur= w ···Bk (4.130)

sabendo que

B=[B1 B2 · · · Bk · · · Bngl

](4.131)

para ngl o número de graus de liberdade do elemento. Desta forma

∂σe f

∂ue= BT w (4.132)

representa toda a contribuição do e-ésimo elemento. Daí, derivando ge na equação (4.123)

∂ge

∂ue=

1σyBT w (4.133)

substituindo a expressão (4.133) em (4.121), obtém-se

∇u g =∂ g∂u

=g(1−p)

Ω

ne

∑e=1

∫

Ωe

〈ge〉(p−1) 1σyBT wdΩ . (4.134)

Com o cálculo de ∇u g pela expressão (4.134), substituindo na segunda expressão de (4.103),

determina-se o vetor Z j. Agora é possível calcular a sensibilidade da função restrição definida

pela equação (4.104).

4.6 Estratégia da Qualidade da Malha do Elemento Finito

Uma estratégia de medir a distorção do elemento finito ao longo do processo iterativo é uma

etapa de suma importância para o sucesso do Método de Otimização de Forma.

4.7 Implementação Numérica do PMOF 75

A geração da malha triangular inicial consiste basicamente na aproximação do domínio

para as condições iniciais do problema de otimização. Uma vez que o elemento finito sofre

uma perturbação a cada iteração, isto ocasiona uma degeneração do elemento finito triangular,

conseqüentemente, a perda na generalidade do modelo matemático. Para evitar a degeneração

durante o processo faz-se necessário uma estratégia para avaliar a medida da triangulação do

elemento finito para determinar o controle para geração automática da malha.

A estratégia adotada neste trabalho é mesma utilizada por [COSTA JR., 2003; SILVA, 2007]

para determinar o refinamento da malha que consiste em medir a qualidade de cada elemento

triangular de tal forma que os elementos sejam o mais próximo possível de um triângulos equi-

láteros, a qual é definida por

Qe =6Ae√

3LemaxPe

(4.135)

onde: Qe ⇒ é a medida da qualidade de elemento;

Ae ⇒ área do elemento triangular;

Lemax = maxab, ac, bc⇒ é o maior comprimento da aresta do elemento triângulo;

Pe ⇒ é a metade do perímetro do elemento triangular.

O fator de qualidade adotado para gerar um nova malha é Qe ≤ 0,45. Assim, a nova malha

é gerada para um novo domínio e a estrutura de dados é atualizado para o processo recursivo,

conforme a figura 4.5.

4.7 Implementação Numérica do PMOF

Nesta seção é descrito o desenvolvimento do sistema computacional PMOF de modo ge-

neralizado, por ter uma complexidade em desenvolver todo um sistema do “zero” devido ao

grande número de procedimentos a serem executados, conforme discutido ao longo deste traba-

lho que requer o conhecimento de programação matemática, modelagem geométrica, geração

de malha, análise estrutural e análise da sensibilidade, de modo que algumas bibliotecas com-

putacionais do procedimento de análise estrutural e a programação matemática desenvolvidas

e implementadas por pesquisadores do centro de pesquisa da UFRN com conceito de progra-

mação orientada a objeto foram herdados para o sistema. No entanto, a implementação das bi-

bliotecas herdadas para o sistema proposto é um desafio que não deve ser desprezado, pois cada

biblioteca isoladamente se constitui em uma integração para o sistema computacional PMOF.


O desenvolvimento “clássico” de um projeto de otimização estrutural, pode ser dividido

em três etapas: pré-processamento, processamento e pós-processamento. Sendo que o pré e

pós-processamento realizado pelo software GiD e, por meio de arquivos de entrada e saída,

é realizada a comunicação para o processamento do algoritmo. Desta maneira a estrutura do

PMOF obedece a seguinte fluxo de informação conforme a figura 4.4.

Figura 4.4: Estrutura do sistema PMOF

Analisando as três etapas do processo tem-se:

Pré-processamento: envolve duas etapas por intermédio de dois arquivos input.dat e GiD.dat

respectivamente, sendo que a primeira etapa no arquivo input.dat é definida a geometria

da estrutura, as condições de contorno, informações sobre as propriedades do material e a

relação do tamanho do elemento finito. O programa PMOF armazena essas informações

em um banco de dados, posteriormente gera um arquivo de saída do tipo Gid.dat e por

meio de comando interno executa o GiD, de modo automático, para iniciar a segunda

etapa que consiste em gerar a malha de elementos finitos num arquivo output.dat;

Processamento: consiste em processar os dados de acordo com a formulação proposta no tra-

balho utilizando o código programação na linguagem Fortran 95, para isso lê-se as infor-

mações geradas pelo GiD através do arquivo output.dat que contém todas as informações

da malha de elementos finitos, como: número de elementos, número de nós, coordenadas

dos nós, conectividades, graus de liberdade dos nós. Num outro momento, também é

gerado um arquivo GiD.dat para auxiliar a geração de malha automática durante o pro-

cessamento de otimização;


Pós-processamento: visualização gráfica dos resultados através das combinações das infor-

mações da malha de elementos finitos, do critério de tensão de von Mises e a deformação

pelo pelo arquivos GiD_].msh e GiD_].res que são gerados pelo algoritmo.

O algoritmo do PMOF é sintetizado conforme a estrutura da figura 4.5.


Não

Não

Sim

Não

Sim

Determinar a

Direção de

Descida

Determinar o

Tamanho do

Passo de Descida

Calcular1k k k k

a+

= +s s d

Calcular

F=Ku(s)

Calcular1-

u=K F

Atualiza as

variáveis de

projeto

Calcula a

Qualidade da

Malha EF

0.45eQ >

3

1

2

2

3

Inicio

Lê os dados de

entrada

Gera banco de

dados do modelo

MOF

Executa o gerador

de Malha EF

Gera o banco de

dados da estrutura

EF

Calcula a

Qualidade da

Malha EF

Análise da

estrutura pelo MEF

Análise da

Sensibilidade

Convergiu

?

Fim

Imprime

Resultado

0.45e

Q >

Sim

1

1

Figura 4.5: Algoritmo generalizado do PMOF

5 Análise do Resultado Final

Neste capítulo são apresentados os resultados numéricos de estruturas lineares sob estado

plano de tensão, de maneira a verificar a potencialidade do software de otimização de forma,

denominado por PMOF.

O algoritmo do PMOF tem como objetivo reduzir a massa estrutural de problema bidimen-

sional submetida ao critério de tensão de von Mises, caracterizado pela modelagem geométrica

de curvas β -splines com a finalidade de obter contornos suaves no segmento e uma homogenei-

dade de tensão na estrutura otimizada.

O PMOF, por ser um programa que processa dados numéricos, não possui um sistema de

unidade definida. Portanto, os dados inseridos deverão ter uma consistência em um referencial

de sistema de unidade adotado.

Por simplicidade, adota-se o Sistema Internacional de Unidade - (SI) onde são utilizados as

propriedades mecânica do aço ASTM-A36 para os exemplos, ver as propriedade do material na

tabela 5.1. As dimensões geométricas do projeto estão especificadas em metros [m] e as estru-

turas sob carregamento distribuído uniforme em [N/m] correspondente a tensão de escoamento

σy de maneira a poder ser verificado em determinadas situações uma distribuição homogênea de

tensão após processo de otimização. Para os exemplos são adotados carregamentos distribuídos

uniformes.

Tabela 5.1: Propriedade Mecânica do Aço ASTM-A36

Propriedade Mecânica Símbolo ValoresLimite de Escoamento σy 250 MPaCoeficiente de Poisson ν 0,29Módulo de Elasticidade E 200 GPa

Módulo Transversal G 78 GPaFonte: Mecânica dos Materiais, Roy R. Craig Jr. [2003]

Nesta etapa é importante definir os significados da legenda da representação do modelo

a ser otimizado para melhor compreensão do texto, como exemplo na figura 5.1.b, onde na

legenda tem as seguintes descrições:

5.1 Exemplo 01 80

FX - Ponto-chave fixo: informa qual o ponto-chave que não pertence ao conjunto das variáveis

de projeto. Isto é, durante o processo de otimização as coordenadas geométricas (x,y),

não são alteradas;

FP - Ponto-chave livre: informa qual o ponto-chave que pertence ao conjunto das variáveis de

projeto. Portanto, existe alteração nas coordenadas geométricas (x,y) durante o processo

de otimização. Por ter dois graus de liberdade, adicionam-se ao problema duas variáveis

de projeto;

FV - Ponto-chave livre na direção vetorial: informa que o ponto-chave está livre para alte-

ração nas coordenadas geométricas de acordo com a direção do vetor unitário prescrito

durante o processo de otimização, isto reduz um grau de liberdade ao movimento, adicio-

nando uma variável ao conjunto das variáveis de projeto.

5.1 Exemplo 01

Uma estrutura sob esforço de tração na extremidade mostrada na figura 5.1, é um exemplo

com solução trivial de uma barra tracionada. Contudo tem por objetivo testar os resultados do

algoritmo PMOF quanto à funcionalidade, à estabilidade de solução, à geração automática da

malha. Para este caso é considerada a simetria do problema.

A figura 5.1.a ilustra a concepção da geometria inicial do problema físico representado por

segmentos de retas, que consiste de um apoio em a, com carregamento distribuído em b de

intensidade de 250 N/m e com a área inicial de 17,0 m2.

5.1.a:Concepção da geometria do projetodo Exemplo 01

5.1.b:Condições de contorno do problema de otimização doExemplo 01

Figura 5.1: Concepção do modelo do Exemplo 01

5.1 Exemplo 01 81

Na figura 5.1.b ilustra a descrição do modelo de otimização de forma que é definido por 4

segmentos de curvas β -splines, onde existem 8 pontos-chave, sendo que os pontos 1−2−5−6

são pontos-chave fixos e os pontos-chave livres são 3−4−7−8 correspondendo a dois graus

de liberdades nas direções (x,y) para cada ponto-chave, que terão as suas coordenadas alteradas

de acordo com as iterações do algoritmo proposto para determinar o ótimo leiaute da estrutura.

Portanto, existem 8 variáveis de projeto.

Na figura 5.2.a visualiza-se a malha inicial do modelo aproximado pelo MEF. Observa-se

que a forma geométrica da figura 5.2.a é diferente da concepção da figura 5.1.b, isto se deve a

quantidade de pontos-chave no segmento na representação pelas curvas β -splines. No entanto,

para esse exemplo isto não influenciará no resultado final. Porque os pontos-chave são inter-

polados nos pontos desejados a ser otimizados. Na figura 5.2.b mostra o resultado leiaute final

proposto pelo PMOF com o mapa da tensão. Na tabela 5.2 encontra os valores das restrições

dos limites geométricos impostas para cada grau de liberdade com seus respectivos valores das

coordenadas de ótimo, inicial e final, e na tabela 5.3 apresentam os resultados numéricos da

função objetivo.

5.2.a:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 01 5.2.b:Resultado da otimiza-ção do Exemplo 01

Figura 5.2: Resultado Final do exemplo 01

Observa-se que na figura 5.2.b mostra uma homogeneidade na distribuição da tensão efetiva

de von Mises em quase toda superfície com uma violação de 1,500% do critério de tensão, isto

se deve ao fato do método da penalidade exterior penalizar a função restrição de tal forma que

a aproximação seja efetuada a partir da região “violada”.

5.2 Exemplo 02 82

Tabela 5.2: Resultado numérico do exemplo 01

Pch-TP Eixo Lim. inf. (m) C. ótimo (m) C. inicial (m) C. final (m) Lim. sup. (m)

3-FPx1 −2,150000 −1,947686 2,500000 0,493916 0,000000y1 −0,800000 −0,600299 2,000000 1,399701 0,200000

4-FPx2 −2,150000 −1,884914 2,500000 0,493866 0,000000y2 −0,200000 0,458754 3,000000 3,458754 0,800000

Legenda: Pch→ Ponto-Chave , TP→ Tipo de ponto-chave, Lim.→ Limite, inf.→ inferior, C.→ Coordenada, sup.→ superior

Tabela 5.3: Resultado da função objetivo e do critério de tensão do Exemplo 01

Num. elem. Num. nó Tensão máx. Área (m2) Red. de área ( %)Inicial 1177 2488 70,600% 19,777

74,287%Final 353 814 1,500% 5,085

5.2 Exemplo 02

Neste exemplo, analisa-se a simetria da estrutura tracionada com situação diferenciada pelo

tipo de grau de liberdade conforme a figura 5.3 com 2 pontos-chave.

5.3.a:Concepção da geometria do projetodo Exemplo 02

5.3.b:Condições de contorno do problemade otimização do Exemplo 02 caso 1

5.3.c:Condições de contorno do problema de otimiza-ção do Exemplo 02 caso 2


5.2 Exemplo 02 83

A concepção da geometria inicial do problema físico é representado por segmentos de retas

conforme a figura 5.3.a, que consiste de um apoio em a, com carregamento distribuído em b de

intensidade de 250 N/m e com a área inicial de 15,0 m2.

5.4.a:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 02 caso 1 5.4.b:Resultado da otimizaçãodo Exemplo 02 caso 1

5.4.c:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 02 caso 2 5.4.d:Resultado da otimizaçãodo Exemplo 02 caso 2

Figura 5.4: Resultado final do Exemplo 02

Na figura 5.4 visualiza-se o modelo discreto e a forma proposta pelo PMOF com o mapa

do critério de tensão, na tabela 5.4 encontram os valores das restrições dos limites geométricos

impostas para cada caso com os seus respectivos valores de ótimos e com as coordenadas inici-

5.3 Exemplo 03 84

ais e finais. Na tabela 5.5 o vetor unitário da direção e na tabela 5.6 os resultados numéricos da

função objetivo.

Tabela 5.4: Resultado numérico do Exemplo 02

Caso Pch-TP Eixo Lim. inf. (m) C. ótimo (m) C. inicial (m) C. final (m) Lim. sup. (m)

1 3-FPx1 −2,300000 −2,015542 2,500000 0,484458 0,000000y1 −1,000000 0,364880 2,500000 2,864880 1,000000

2 3-FV u1 -2,300000 -2,0183172,500000 0,481684

0,0000002,500000 2,500000


Tabela 5.5: Vetor direção do Exemplo 02

Caso Ponto-chave Eixo x Eixo y Eixo z2 3 1,000000 0,000000 0,000000


Caso Situação Num. elem. Num. nó Tensão máx. Área (m2) Red. de área ( %)

1Inicial 2328 4851 111,820% 18,220

73,146%Final 732 1627 0,306% 4,892

2Inicial 2328 4851 111,820% 18,220

70,647%Final 730 1623 3,940% 5,348

Nota-se que nos dois casos, mesmo partindo das mesmas coordenadas iniciais, houve uma

leve diferenças nos resultados e sem alterar a forma final da estrutura que pode ser percebido

pelo tamanho da área final e das coordenadas finais.

Sendo que no primeiro caso, tem uma melhor distribuição da tensão em toda a superfí-

cie, com violação no critério de 0,306% em relação ao segundo caso, onde a estrutura está

submetida a uma violação de 3,940%. Esta diferença é ocasionada pela limitação do grau de

liberdade do ponto-chave para segundo caso. No entanto, a flexibilidade no grau de liberdade

para primeiro caso o ocasionou uma melhor movimentação do ponto-chave no segmento da

curva β -spline e uma suavidade no contorno otimizado.

5.3 Exemplo 03

Neste exemplo, analisa-se a simetria da estrutura tracionada com 4 pontos-chave conforme

a figura 5.5 com duas situações, sendo que os pontos-chave partem do mesmo ponto inicial a

5.3 Exemplo 03 85

diferença está no tipo de grau de liberdade. Com uma carga distribuída de 250 N/m e com a

área inicial de 17,0 m2.

5.5.a:Condições de contorno do pro-blema de otimização Exemplo 03 caso1

5.5.b:Condições de contorno do problema de otimizaçãoExemplo 03 caso 2




13-FP

x1 −2,200000 −2,014822 2,500000 0,485179 0,000000y1 0,000000 0,000000 2,000000 3,000000 0,000000

4-FPx2 −2,200000 −2,014698 2,500000 0,485302 0,000000y2 0,000000 0,000000 3,000000 3,000000 0,000000

23-FV u1 −2,300000 −2,014822

2,500000 0,4851800,000000

2,000000 0,000000

4-FV u2 −2,200000 −2,0146972,500000 0,485303

0,0000003,000000 0,000000


Tabela 5.8: Vetor direção do exemplo 03

Caso Ponto-chave Eixo x Eixo y Eixo z

23 1,000000 0,000000 0,0000004 1,000000 0,000000 0,000000



1Inicial 1177 2488 70,600% 19,777

75,226%Final 355 818 3,270% 4,899

2Inicial 1177 2488 70,600% 19,777

75,226%Final 355 818 3,240% 4,899

5.3 Exemplo 03 86

Na figura 5.6 mostra o modelo discreto com a concepção inicial e a forma final proposta

pelo PMOF com o mapa do critério de tensão e os resultados numéricos estão nas tabelas 5.7 e

5.9, e na tabela 5.8 está a direção do vetor unitário prescrito.

5.6.a:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 03 caso 1 5.6.b:Resultado da otimiza-ção do Exemplo 03 caso 1

5.6.c:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 03 caso 2 5.6.d:Resultado da otimiza-ção do Exemplo 03 caso 2


Para ambos os casos não houve nenhuma alteração significativa para o resultado final,

isto se deve porque houve uma restrição ao movimento do eixo y por maneiras diferentes,

no primeiro caso através das limitações do espaço geométrico e no segundo caso pelo vetor

unitário.

5.4 Exemplo 04 87

5.4 Exemplo 04

Analisa-se a simetria da estrutura tracionada em duas situações conforme a figura 5.7, com

uma carga distribuída de 250 N/m e com a área inicial de 9,2 m2 e 9,4 m2 respectivamente. As

coordenas iniciais dos pontos-chave partem de pontos diferentes para ambas as situações.

5.7.a:Condições de contorno do problemade otimização Exemplo 04 caso 1

5.7.b:Condições de contorno do problemade otimização Exemplo 04 caso 2




13-FP

x1 −1,383120 −1,185886 1,683120 0,497234 0,816880y1 −0,174120 0,688723 1,174120 1,862843 1,125880

4-FPx2 −0,167456 0,030305 0,467456 0,497761 2,032544y2 −0,967970 0,532030 3,667970 4,200000 0,532030

23-FP

x1 −0,167456 0,029490 0,467456 0,496946 0,632544y1 −0,374120 −0,374121 1,174120 0,799999 1,275888

4-FPx2 −1,383120 −1,186387 1,683120 0,496733 0,316880y2 −0,637382 0,348618 3,667970 4,016588 0,348618




1Inicial 617 1354 72,690% 9,871

49,604%Final 351 810 0,680% 4,974

2Inicial 631 1380 34,110% 10,086

50,769%Final 353 814 1,070% 4,965

5.4 Exemplo 04 88

Na figura 5.8 apresenta o modelo discreto na concepção inicial e a forma final proposta

pelo PMOF com o mapa do critério de tensão e os resultados numéricos estão nas tabelas 5.10

e 5.11.

Para ambos os casos, observa-se que partindo de diferentes pontos-chave tenderam para a

mesma forma geométrica e com a solução das funções objetivas aproximadas. Pode ser visto,

através da área final e a variação da tensão na superfície de ambos os casos.

5.8.a:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 04caso 1

5.8.b:Resultado da otimizaçãodo Exemplo 04 caso 1

5.8.c:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo04 caso 2

5.8.d:Resultado da otimizaçãodo Exemplo 04 caso 2


5.5 Exemplo 05 89

5.5 Exemplo 05

Analisa-se a simetria da estrutura tracionada em três situações conforme a figura 5.9 com

3 pontos-chave, sendo que as coordenas iniciais dos pontos-chave partem de pontos diferentes

para as três situações. Para os casos 1 e 2 com a área inicial de 5,6 m2 e caso 3 com a área

inicial de 9,8 m2

5.9.a:Condições de contorno do problema de oti-mização do Exemplo 05 caso 1

5.9.b:Condições de contorno do problema deotimização do Exemplo 05 caso 2

5.9.c:Condições de contorno do problema de otimização doExemplo 05 caso 3



do critério de tensão.

5.5 Exemplo 05 90

5.10.a:Malha inicial do modelodiscreto do Exemplo 05 caso 1

5.10.b:Resultado da otimiza-ção do Exemplo 05 caso 1

5.10.c:Malha inicial do modelodiscreto do Exemplo 05 caso 2

5.10.d:Resultado da otimiza-ção do Exemplo 05 caso 2

5.10.e:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 05 caso 3 5.10.f:Resultado da otimiza-ção do Exemplo 05 caso 3


5.5 Exemplo 05 91

Na tabela 5.12 encontra os valores das restrições dos limites geométricos impostas para

cada grau de liberdade com seus respectivos valores das coordenadas de ótimo, inicial e final.

Na tabela 5.13 está a direção do vetor unitário prescrito e na tabela 5.14 os resultados numéricos

da função objetivo.



1

3-FPx1 −0,474580 −0,176271 0,674580 0,498309 0,117185y1 −0,361038 −0,105108 1,011880 0,906772 0,136080

4-FPx2 −0,182815 0,118739 0,382815 0,501554 0,499218y2 −0,353690 0,166670 2,554450 2,721120 0,166670

5-FPx3 −0,499218 −0,201966 0,699218 0,497252 0,117185y3 −0,288490 0,202639 3,953610 4,156249 0,202640

2

3-FV u1 −0,474580 −0,1979010,674580 0,476679

0,1171851,011880 1,011880

4-FV u2 −0,182815 0,0963940,382815 0,479209

0,4992182,554450 2,554450

5-FV u3 −0,499218 −0,2225700,699218 0,476648

0,1171853,953610 3,953610

3

3-FPx1 −0,075482 0,100667 0,375482 0,476149 1,324518y1 −0,338450 −0,338450 1,338450 1,000000 0,361550

4-FPx2 −2,252130 −2,071581 2,552130 0,480549 0,147870y2 −0,500000 0,500002 2,500000 3,000002 0,500000

5-FPx3 −0,164845 0,011110 0,464845 0,475955 1,335155y3 −0,459230 0,140770 3,859230 4,000000 0,140770




23 1,000000 0,000000 0,0000004 1,000000 0,000000 0,0000005 1,000000 0,000000 0,000000



1Inicial 417 944 45,680% 5,666

11,873%Final 355 818 0,810% 4,993

2Inicial 822 1809 59,730% 5,667

15,160%Final 726 1615 5,920% 4,807

3Inicial 619 1380 59,730% 8,927

46,232%Final 357 822 5,920% 4,800

5.6 Exemplo 06 92

Nota-se para o três casos, mesmo alterando as posições iniciais de partida, o grau de liber-

dade e o refino da malha tenderam para mesma solução aproximada com homogeneidade no

critério de tensão.

5.6 Exemplo 06

Neste problema tem com objetivo testar o comportamento algoritmo quando ao travamento

pelo efeito de Poisson. Para isso é alterado coeficiente de Poisson para os seguintes valores:

ν = 0,45; ν = 0,47; ν = 0,48; ν = 0,49 e ν = 0,499 a concepção do projeto é mostrada na

figura 5.11 que consiste de uma apoio em a com uma carga distribuída em b de intensidade de

250 N/m e com a área inicial de 18 m2. Analisa-se a simetria da estrutura.

5.11.a:Concepção da geometria do projeto doExemplo 06

5.11.b:Condições de contorno do problema de Otimização doExemplo 06



do critério de tensão.


cada grau de liberdade com seus respectivos valores das coordenadas de ótimo, inicial e final, e

na tabela 5.16 os resultados numéricos da função objetivo.

O programa comportou-se com uma boa estabilidade numérica como pode observar nos

resultados numéricos nas tabelas 5.15 e 5.16, e na figura 5.12 que visualiza a malha inicial do

modelo aproximado pelo MEF, tendo uma homogeneidade na distribuição da tensão efetiva de

von Mises em quase toda superfície.

5.6 Exemplo 06 93

5.12.a:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 06 5.12.b:Resultado da otimiza-ção do Exemplo 06 ν = 0,45

5.12.c:Resultado da otimiza-ção do Exemplo 06 ν = 0,47

5.12.d:Resultado da otimiza-ção do Exemplo 06 ν = 0,48

5.12.e:Resultado da otimiza-ção do Exemplo 06 ν = 0,49

5.12.f:Resultado da otimiza-ção do Exemplo 06 ν = 0,499


5.6 Exemplo 06 94



13-FP

x1 −2,120000 −2,015848 2,50000 0,484152 0,000000y1 −0,500000 −0,500000 1,70000 1,200000 0,600000

4-FPx2 −2,120000 −2,015500 2,50000 0,484500 0,000000y2 −0,500000 0,600001 3,20000 3,800001 0,600000

23-FP

x1 −2,120000 −2,010406 2,50000 0,489594 0,000000y1 −0,500000 −0,500000 1,70000 1,200000 0,600000

4-FPx2 −2,120000 −2,009212 2,50000 0,490788 0,000000y2 −0,500000 0,600000 3,20000 3,800000 0,600000

33-FP

x1 −2,120000 −2,008922 2,50000 0,491078 0,000000y1 −0,500000 −0,500000 1,70000 1,200000 0,600000

4-FPx2 −2,120000 −2,009332 2,50000 0,490668 0,000000y2 −0,500000 0,600000 3,20000 3,800000 0,600000

43-FP

x1 −2,120000 −2,008962 2,50000 0,491038 0,000000y1 −0,500000 −0,500000 1,70000 1,200000 0,600000

4-FPx2 −2,120000 −2,008987 2,50000 0,491013 0,000000y2 −0,500000 0,600000 3,20000 3,800000 0,600000

53-FP

x1 −2,120000 −2,011677 2,50000 0,488323 0,000000y1 −0,500000 −0,500000 1,70000 1,200000 0,600000

4-FPx2 −2,120000 −2,011318 2,50000 0,488682 0,000000y2 −0,500000 0,600000 3,20000 3,800000 0,600000




1Inicial 1201 2536 56,06% 20,471

76,151%Final 357 822 3,78% 4,882

2Inicial 1201 2536 56,12% 20,471

76,040%Final 357 822 2,75% 4,904

3Inicial 1201 2536 56,15% 20,471

76,042%Final 355 818 2,54% 4,904

4Inicial 1201 2536 56,18% 20,471

75,952%Final 357 822 2,50% 4,922

5Inicial 1201 2536 56,21% 20,471

75,986%Final 357 822 3,22% 4,915

5.7 Exemplo 07 95

5.7 Exemplo 07

Uma estrutura em L sob esforço na extremidade de menor seção transversal como mostra

na figura 5.13, onde a concepção geometria do problema físico é mostrada na figura 5.13.a

que consiste por dois apoios em a e b com uma carga distribuída em c de intensidade de 250

N/m e com uma área de 72 m2. A concepção do modelo para otimização de forma, é vista na

figura 5.13.b, e é descrita por 7 pontos-chave, formado por 4 segmentos de curvas β -splines. Os

segmentos que serão otimizados são 3−4 e tendo 6 variáveis de projeto (os pontos 4−5−6).

Nas tabelas 5.17 e 5.19 encontram os valores resultados numéricos e na tabela 5.18 está a

direção do vetor prescrito, e na figura 5.14 o resultado da simulação.

5.13.a:Concepção da geometria do Projeto do Exemplo07

5.13.b:Condições de contorno do problema de Otimiza-ção do Exemplo 07


Para evitar que as coordenadas do ponto-chave 4 tenha uma intersecção nos pontos-chave

3 e 5 é limitado o intervalo da geometria e alterada a posição inicial da coordenada, conforme a

tabela 5.15.

5.14.a:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 07 5.14.b:Resultado da otimização do Exemplo 07


5.8 Exemplo 08 96


Segmento Pch-TP Eixo Lim. inf. (m) C. ótimo (m) C. inicial (m) C. final (m) Lim. sup. (m)

14-FV u1 0,000000 5,599999

6,010000 11,6099995,600000

4,000000 4,000000

5-FPx2 −4,700000 0,000000 6,000000 6,000000 0,000000y2 −4,500000 −4,091128 8,000000 3,908872 0,000000

4 6-FV u3 -4,500000 -4,0686920,000000 0,000000

0,0000008,000000 3,931308



Ponto-chave Eixo x Eixo y Eixo z4 1,000000 0,000000 0,0000006 0,000000 1,000000 0,000000


Situação Num. elem. Num. nó Tensão máx. Área (m2) Red. de área ( %)Inicial 1484 3139 103,280% 72,033

34,781%Final 994 2117 4,460% 46,979

Nota-se pelo gráfico do mapa de tensão da figura 5.14.b a existência da concentração de

tensão na região central da estrutura em função do critério de violação, no entanto, sobressai

uma homogeneidade na tensão de von Mises na estrutura.

5.8 Exemplo 08

Na figura 5.15 mostra-se uma estrutura com duas configurações para o projeto de otimiza-

ção de forma. Onde a estrutura é apoiada nos pontos a e b submetida ao carregamento em c de

intensidade 145 N/m, com uma área inicial de 60,0 m2.

Para ambas as configurações, os segmentos 1− 3− 5 serão otimizados, a diferença está

no segmento 5 onde é adicionado dois pontos chaves como pode observar nas figuras 5.15.b e

5.15.c; e um terceiro caso, com a malha refinada para a segunda configuração é realizado.

Nas figuras 5.16, 5.17 e 5.18 estão os resultados gráficos do critério de tensão e nas tabelas

5.20, 5.21 e 5.22 estão os resultados numéricos obtidos pelo PMOF.

Nota-se para o primeiro caso, tem pico de violação de tensão na região próximas aos apoios

da estrutura, isto pode ser observado atribuindo um limite máximo de leitura conforme mostra

5.8 Exemplo 08 97

a figura 5.16.c. Não existe uma homogeneidade na tensão na estrutura apesar de ter satisfeito

ao critério global da tensão de von Mises e da tolerância numérica. Isto se deve pela limitação

da quantidade de ponto-chave para representar o contorno de forma a suavizar a concentração

de tensão.

5.15.a:Concepção da geometriado projeto do Exemplo 08

5.15.b:Condições de contornodo problema de otimização doExemplo 08 caso 1

5.15.c:Condições de contorno do pro-blema de otimização do Exemplo 08 caso2


5.16.a:Malha inicial do modelo dis-creto do Exemplo 08 caso 1

5.16.b:Resultado da otimização doExemplo 08 caso 1

5.16.c:Resultado da otimização doExemplo 08 caso 1 com limite detensão

Figura 5.16: Resultado final do Exemplo 08 caso 1

5.8 Exemplo 08 98

5.17.a:Malha inicial do modelo dis-creto do Exemplo 08 caso 2

5.17.b:Resultado da otimização doExemplo 08 caso 2

5.17.c:Resultado da otimização doExemplo 08 caso 2 com limite detensão


5.18.a:Malha inicial do modelo dis-creto do Exemplo 08 caso 3 - refinoda malha

5.18.b:Resultado da otimização doExemplo 08 caso 3 - refino da malha

5.18.c:Resultado da otimização doExemplo 08 caso 3 - refino da malha

Figura 5.18: Resultado final do Exemplo 08 caso 3 - refino da malha

5.8 Exemplo 08 99



1

2-FPx1 −2,50000 −2,50000 5,00000 2,50000 0,00000y1 0,00000 2,60000 0,00000 2,60000 2,60000

5-FPx2 −2,50000 −2,49999 5,00000 2,50001 0,00000y2 −2,60000 −2,60000 12,0000 9,40000 0,00000

8-FPx3 0,00000 2,80083 0,00000 2,80083 4,00000y3 −0,20000 0,20000 6,00000 6,20000 0,20000

2

2-FPx1 −2,50000 −2,49999 5,00000 2,50001 0,00000y1 0,00000 2,58886 0,00000 2,58886 2,60000

5-FPx2 −2,50000 −2,35440 5,00000 2,64559 0,00000y2 −2,60000 −2,60000 12,00000 9,40000 0,00000

8-FV u3 0,00000 0,641210,00000 0,64121

1,1000010,50000 10,50000

9-FV u4 0,00000 3,874210,00000 3,87421

4,400006,00000 6,00000

10-FV u5 0,00000 0,710840,00000 0,71084

1,100001,50000 1,50000

3

2-FPx1 −2,50000 −2,45507 5,00000 2,54493 0,00000y1 0,00000 2,60000 0,00000 2,60000 2,60000

5-FPx2 −2,50000 −2,45852 5,00000 2,54148 0,00000y2 −2,60000 −2,59996 12,00000 9,40004 0,00000

8-FV u3 0,00000 0,648850,00000 0,64885

1,1000010,50000 10,50000

9-FV u4 0,00000 3,914070,00000 3,91407

4,400006,00000 6,00000

10-FV u5 0,00000 0,650340,00000 0,65034

1,100001,50000 1,50000




28 1,000000 0,000000 0,0000009 1,000000 0,000000 0,000000

10 1,000000 0,000000 0,000000

38 1,000000 0,000000 0,0000009 1,000000 0,000000 0,000000

10 1,000000 0,000000 0,000000



1Inicial 4292 8871 35,300% 68,838

84,652%Final 1245 2780 56,420% 10,565

2Inicial 4296 8879 35,300% 68,838

86,963%Final 1111 2522 32,130% 8,974

3Inicial 5310 10937 32,040% 68,839

84,475%Final 1285 2902 23,740% 10,687

5.9 Exemplo 09 100

No entanto, para o segundo e terceiro caso, onde têm os pontos-chave próximo da região de

concentração de tensão encontrado no primeiro caso, o resultado final mostrado nas figuras 5.17

e 5.18 para os respectivos casos, tem-se uma suavidade no contorno e uma melhor distribuição

de tensão na estrutura principalmente quando a malha é refinada.

Com relação à minimização da massa para as duas situações proposta inicialmente o algo-

ritmo propões estrutura bastante diferentes. Apesar da diferença, a redução das áreas é prati-

camente igual, como mostrado na tabela 5.22. Na realidade, variando-se os pontos-chave e

parâmetros dos algoritmos, diferentes leiautes “ótimas” podem ser obtidas.

5.9 Exemplo 09

Na figura 5.19 mostra-se uma estrutura com duas configurações para o projeto de otimiza-

ção de forma. A estrutura é apoiada nos pontos a e b submetida ao carregamento de tração em

c de intensidade 250 N/m, com uma área inicial de 12,5 m2.

5.19.a:Concepção da geometria do projeto do Exem-plo 09

5.19.b:Condições de contorno do problema de oti-mização do Exemplo 09 caso 1

5.19.c:Condições de contorno do problema de oti-mização do Exemplo 09 caso 2


5.9 Exemplo 09 101

5.20.a:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 09 caso 1

5.20.b:Resultado da otimização do Exemplo 09 caso 1


5.21.a:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 09 caso 2

5.21.b:Resultado da otimização do Exemplo 09 caso 2

Figura 5.21: Resultado final do exemplo 09 caso 2

5.9 Exemplo 09 102



1

3-FV u1 0,000000 1,4920342,500000 2,500000

1,8000000,000000 1,492034

6-FPx2 −0,700000 −0,633085 5,000000 4,366915 0,200000y2 −0,400000 0,028075 1,000000 1,028075 0,400000

7-FPx3 −1,900000 −1,129034 5,000000 3,870966 0,000000y3 −0,800000 −0,683329 2,500000 1,816671 0,000000

10-FPx4 0,000000 1,043445 0,000000 1,043445 1,900000y4 −0,800000 −0,800002 2,500000 1,699998 0,000000

11-FPx5 −0,200000 0,474646 0,000000 0,474646 0,700000y5 −0,400000 −0,174362 1,000000 0,825638 0,400000

2

3-FV u1 0,000000 0,8543141,250000 1,250000

1,0000000,000000 0,854314

4-FV u2 0,000000 1,9568212,500000 2,500000

2,2000000,000000 1,956821

5-FV u3 0,000000 0,8558353,750000 3,750000

1,0000000,000000 0,855835

8-FPx4 −0,800000 −0,677923 5,000000 4,322077 0,200000y4 −0,300000 −0,107969 1,000000 0,892031 0,300000

9-FPx5 −1,900000 −1,357719 5,000000 3,642281 0,000000y5 −0,900000 −0,899999 2,500000 1,600001 0,000000

12-FPx6 0,000000 1,362328 0,000000 1,362328 1,900000y6 −0,900000 −0,900000 2,500000 1,600000 0,000000

13-FPx7 −0,200000 0,610266 0,000000 0,610266 0,800000y7 −0,400000 −0,182846 1,000000 0,817154 0,400000


Tabela 5.24: Vetor direção do Exemplo 09 caso 2

Caso Ponto-chave Eixo x Eixo y Eixo z1 3 1,000000 0,000000 0,000000

23 0,000000 1,000000 0,0000004 0,000000 1,000000 0,0000005 0,000000 1,000000 0,000000



1Inicial 2854 5939 41,196% 13,581

68,086%Final 1201 2636 31,010% 4,334

2Inicial 2866 5963 41,196% 13,581

79,523%Final 923 2088 51,320% 2,780

5.10 Exemplo 10 103

Para ambas configurações, os segmentos 2− 4− 6 serão otimizados, a diferença está na

adição de 2 pontos-chave no segmento 2 como pode observar nas figuras 5.19.b e 5.19.c, no

intuito de obter uma estrutura com contorno bem definido com suavidade e homogeneidade no

critério de tensão.

Nas figuras 5.20 e 5.21 visualizam os modelos discretos inicial e as formas final proposta

pelo PMOF com o mapa do critério de tensão de von Mises. Observa-se que o primeiro caso tem

uma violação no critério de tensão nas regiões próximas aos apoios da estrutura. De maneira

para o segundo caso foram selecionados pontos-chave na região de violação para contornar o

problema.


cada grau de liberdade com seus respectivos valores das coordenadas de ótimo, inicial e final,

na tabela 5.24 o vetor unitário da direção prescrita e, na tabela 5.25, os resultados numéricos

da função objetivo. Nota-se que tanto nos resultados numéricos das tabelas com nas figuras

do mapa de tensão de Von Mises que PMOF caminhou para uma homogeneidade da tensão

atendendo o critério e a tolerância imposta ao problema.

Conclui-se que ambos os casos, tem a violação de tensão na região dos apoios da estrutura.

No entanto, o segundo caso tem uma melhor distribuição da tensão devido o número de pontos-

chave existente.

5.10 Exemplo 10

Neste exemplo tem como objetivo de compará o resultado final com as referências [SIENZ,

1994; PARENTE JR., 2000; MACHNIEVSCZ, 2003], que consiste de uma chapa quadrada

com furo central com carga distribuída bi-axial que visa determinar a forma do furo de maneira

a minimizar o volume da chapa mantendo a espessura constante.

Devido à simetria da estrutura é modelado um quarto da chapa conforme a figura 5.22.a, a

estrutura é submetida ao carregamento de tração nas laterais a e b com um volume inicial de

149368 mm3, onde se deseja otimizar o contorno do furo.

Na figura 5.22.b mostra-se o modelo para o problema de otimização de forma com as va-

riáveis de projeto representadas no segmento 2 pelos pontos-chave 2− 4− 3− 5− 6 onde são

movimentados a partir do ponto inicial em uma direção radial com um raio máximo de 250,00

mm, e com carregamento distribuído de intensidade p/2 e p nos segmentos 4− 5 respectiva-

mente.

5.10 Exemplo 10 104

Dados do problema: as dimensões em mm; carregamento de tração p = 1000/650 N/mm2;

espessura esp = 0,1 mm; coeficiente de Poisson ν = 0,3; Módulo de Elasticidade E= 210000

N/mm2; Tensão de Escoamento σy = 7,00 N/mm2.

5.22.a:Concepção da geometria do projeto doExemplo 10

5.22.b:Condições de contorno do problema de otimização doExemplo 10


Na figura 5.23 visualiza-se o modelo discreto inicial e as formas final proposta pelo PMOF

com o mapa do critério de tensão de von Mises com 1/4 de simetria.

5.23.a:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 10para 1/4 simetria

5.23.b:Resultado da otimização do Exemplo 10 para 1/4simetria

Figura 5.23: Resultado final do Exemplo 10 para 1/4 simetria

Na tabela 5.26 encontra os valores das restrições dos limites geométricos impostas para cada

ponto-chave com seus respectivos valores das coordenadas de ótimo, inicial e final, na tabela

5.27 encontra-se o ângulo da direção do vetor unitário prescrito com os respectivos valores

unitários, na tabela 5.28 os resultados numéricos da função objetivo e na tabela 5.29 relaciona

os valores encontrados pelas referências com obtidos neste trabalho.

5.10 Exemplo 10 105

Tabela 5.26: Resultado numérico do exemplo 10

Pch-TP Eixo Lim. inf. (mm) C. ótimo (mm) C. inicial (mm) C. final (mm) Lim. sup. (mm)

2-FV u1 0,000000 99,2277400,00000 300,772

250,000000,0000000 0,00000

3-FV u2 0,000000 250,0000419,03011 188,060

250,0000095,67085 191,342

4-FV u3 0,000000 238,4420473,22330 304,619

250,00000176,77669 345,381

5-FV u4 0,000000 147,8040554,32914 497,766

250,00000230,96988 367,524

6-FV u5 0,000000 99,9971650,00000 650,000

250,00000250,00000 349,997



Ponto-chave Eixo x Eixo y Eixo z ângulo xy2 −1,000000 0,000000 0,000000 180,0

3 −0,923879 0,382683 0,000000 157,5

4 −0,707106 0,707106 0,000000 135,0

5 −0,382683 0,923879 0,000000 112,5

6 0,000000 1,000000 0,000000 90,0


Num. elem. Num. nó Tensão máx. Área (mm2) Red. de área ( %)Inicial 2660 5487 −26,908% 1493699

27,833%Final 2026 4251 40,590% 269488

Tabela 5.29: Comparação entre os algoritmos de programação matemática

Autor Algoritmo Volume final (mm3) σmx (MPa)Sienz [1994] SQP 112132 6,970Parente Jr. [2000] SQP 111797 7,000Parente Jr. [2000] Pontos Interiores 111754 6,998Machnievscz [2003] Zoutendijk 98149 6,904Lins [2009] MLA 107795 9,841

O volume inicialmente calculado pelo PMOF é de 149365 mm3, reduziu-se para 107795

mm3, um valor aproximado dos encontrados na literatura. No entanto, tensão máxima obtida

em relação aos demais algoritmos é violado, isto se deve pelo método adotado neste trabalho

que atende ao critério global de tensão de von Mises e não ao critério que atenda o domínio

da fronteira a ser otimizada como proposto nos demais trabalhos. Na figura 5.24 visualiza-se o

resultado final da chapa com o furo centrado.

5.10 Exemplo 10 106

5.24.a:Malha inicial do modelo discreto do Exemplo 10

5.24.b:Resultado da otimização do Exemplo 10


6 Conclusão

6.1 Comentários Finais

Este trabalho implementou um algoritmo computacional para o Método de Otimização de

Forma aplicado a estruturas bidimensionais em problemas lineares submetidas a um critério

integral de tensões de von Mises, utilizando como variável de projeto os pontos-chave perten-

centes à fronteira do domínio representado por segmentos de curvas paramétricas B-splines

cúbicas. Para obter ótimo leiaute de um projeto foi utilizado o Método Lagrangiano Aumen-

tado. Para a modelagem geométrica foram usados as curvas paramétricas B-splines cúbicas para

a representação do contorno a ser otimizado que permitiu definir e controlar de forma flexível

diferentes contornos garantindo a suavidade no resultado final nos exemplos apresentados.

Um ponto essencial para o sucesso do método deve-se ao desenvolvimento da análise de

sensibilidade analítica da função Lagrangiano Aumentada, utilizando o método do adjunto, e a

estratégia da qualidade da malha que determina e controla a geração automática da malha. Estes

mostraram ser eficientes para convergência da função objetivo no problema de otimização de

forma.

A formulação possibilita verificar a distribuição das curvas de níveis do critério de tensão

em todo o domínio do projeto ótimo resultante do algoritmo de otimização de forma, isto pos-

sibilita ajustar os pontos-chaves onde existe violação do critério de tensão. Vale salientar que o

problema utiliza o Método do Lagrangiano Aumentado e este contém o Método de Penalidade

Exterior com restrição do critério global de tensão adicionado na formulação. Sendo assim,

a solução ótima será aproximada violando o critério global de tensão no espaço de solução

original.

Ressalta-se que o algoritmo computacional desenvolvido é uma ferramenta que auxilia o

projetista a construir modelos que satisfaçam às condições de contorno respeitando as restrições

geométricas de projeto. No entanto, a experiência e habilidade são fundamentais na escolha de

quais parâmetros e seus valores devam ser alterados ou modificados no modelo, de maneira a

contribuir na decisão final do projeto.

6.2 Perspectiva de Trabalhos Futuros 108

A limitação observada durante a execução dos exemplos estimula uma melhoria da proposta

do trabalho, tais como:

- Implementação de recursos de adaptatividade, ou seja, a implementação de um processo

inteligente de refinamento da malha com informações obtidas na malha original, para

que seja melhorada a definição do contorno do projeto com menor custo computacional

e reduzir a violação das restrições locais de tensão mediante a utilização da estratégia de

refino e estimador de erro;

- Implementação de uma função restrição de critério local de tensão no contorno para limi-

tar a tensão máxima de projeto;

- Implementação de recurso que identifique o problema de interseção de segmentos de

curvas paramétricas no contorno do domínio, este problema causa mal-condicionamento

na representação do modelo geométrico e principalmente durante o processo da geração

automática da malha.

6.2 Perspectiva de Trabalhos Futuros

O método utilizado mostrou eficácia no tratamento dos problemas de otimização de forma,

porém a técnica limita-se apenas à periferia de seu contorno do domínio e não podendo criar

bolhas ou furos no interior do domínio, assim denominados nos textos científicos da área. Além

deste fato e dos demais citados no trabalho, estimulam sugestões de continuidade para trabalhos

futuros na linha de pesquisa na área de otimização de forma:

- Integração da formulação desenvolvida com o Método de Otimização Topológica (MOT)

como as desenvolvidas por Coutinho [2006], Silva [2007] com objetivo de suavizar o

contorno do leiaute proporcionado pelo MOT;

- Extensão da formulação com técnicas de criação de bolhas no domínio interno que atenda

aos critérios de restrições de von Mises;

- Utilização de curva spline do tipo Catmull-Rom que tem a característica que os pontos-

chave são os mesmos pontos de controle, o diferencia da B-spline;

- Extensão da formulação para utilização de carregamento conjugado, além da carga dis-

tribuída uniforme apresentada no trabalho;

6.2 Perspectiva de Trabalhos Futuros 109

- Integração do software tipo CAD que define o modelo geométrico, pode ser introduzido

a um programa de geração de malha para posterior análise de otimização de forma;

- Aplicação de refino h-adaptativo na malha de elementos finitos proposto por Costa Jr.

[2003] para identificar as regiões críticas de elevados gradientes diminuindo o erro numé-

rico provocado pela pertubação nas mesmas;

- Extensão do algoritmo para problemas tridimensionais.

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Catarina - UFSC, Florianópolis - SC, Março 2005.

VANDERPLAATZ, G. N. Numerical Optimization Techniques for Engineering Design:

With Applications. New York: McGraw-Hill Book Company, 1984.

VERDE, F. R. V.; FERREIRA, R. R.; PFITSCHER, G. H. Solução paralela em agregado

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Catarinense de Computação, Setembro 2005.

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(Doutorado) — Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - USP, São Paulo - SP, Março

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Design — Theory and Applications. New York: John Wiley & Sons, cap. 7, p. 109–126, 1973.

ANEXO A -- Método da Penalidade

O método de penalidade é o procedimento que transforma problemas de otimização com

restrições para problema irrestrito, sendo assim, uma formulação alternativa para solução nu-

mérica. Isto é obtido, adicionando-se na função objetivo um termo ψ(s) que estabelece uma

penalidade pela violação das restrições. Este termo está associada a um parâmetro ηk que de-

termina a severidade da penalidade.

A função objetivo da equação (3.4) pode ser escrita da seguinte forma,

minφ(s,ηk) = f (s)+ηkψ(s) (A.1)

onde φ(s,ηk) é a função objetivo penalizada, f (s) é a função objetivo original, ηk é o parâmetro

de penalidade, k é o indicador de iteração, e ψ(s) é a função de penalidade.

A função penalidade é definida nos seguintes métodos: Penalidade Exterior que penaliza

a função objetivo de forma que as restrições são violadas, sendo que a solução está na região

inviável; Penalidade Interior penaliza a função objetivo de forma que as restrições não são

violadas, sendo que a solução está na região viável.

A.1 Método da Função de Penalidade Exterior

A função objetivo é penalizada nos limites exterior da região factível com é ilustrado na

figura A.1 e é definida como:

ψ(s) =m

∑i=1max[0,gi(s)]2 +

p

∑j=1

[h j(s)]2 (A.2)

Quando a função penalidade ψ(s) = 0 (for igual à zero), então, φ(s,ηk) ⇒ f (s), isto é,

todas as restrições são satisfeitas e a função objetivo penalizada equivale a função original.

Caso contrário, uma ou mais restrições são violadas, e o quadrado da função ψ(s) é adicionado

na função φ(s,ηk).

A.2 Método da Função de Penalidade Interior 117

Figura A.1: Método Penalidade Exterior

O grau quadrático das restrições da função ψ(s) garante a continuidade e assegura que

a primeira derivada seja nula sobre a fronteira da região factível e descontínua para segunda

derivada limitado a região factível. Isto pode ocasionar um mal-condicionamento numérico

para o método de otimização. A seguir temos um algoritmo de implementação do método.

Algoritmo 2 Método da Penalidade Exteriorprocedure MET_PENAL_EXT (s∗0,η0, tol)

for k=1 to n_iterDeterminar s∗k |minφ(s∗k ,ηk) até quando‖∇φ(s,ηk)‖ ≤ tolif f (s∗k)≤ f (s) then . Teste de convergência

Exitend ifEncontrar novo parâmetro de penalidade tal que : ηk+1 ∈ (0,ηk)Encontrar novo ponto s∗k+1

end forend procedure

A.2 Método da Função de Penalidade Interior

A função objetivo é penalizada na região factível quando o ponto s se aproxima dos limites

da fronteira com é ilustrado na figura A.2 e é definida como:

ψ(s) =m

∑i=1

log[−gi(s)] (A.3)

a sua utilização é apenas para restrição de desigualdade. Com isso, a função função penalidade

é definida por:

minφ(s,ηk) = f (s)−ηk

m

∑i=1

log[gi(s)] (A.4)

A.2 Método da Função de Penalidade Interior 118

A função de penalidade interior tende ao infinito quando s tende a zero.

Figura A.2: Método Penalidade Interior

A seguir temos um algoritmo de implementação do método.

Algoritmo 3 Método da Penalidade Interiorprocedure MET_PENAL_INT (s∗0,η0, tol)

for k=1 to n_iterDeterminar s∗k |minφ(s∗k ,ηk) até quando‖∇φ(s,ηk)‖ ≤ tolif f (s∗k)≤ f (s) then . Teste de convergência

Exitend ifEncontrar novo parâmetro de penalidade tal que : ηk+1 ∈ (0,ηk)Encontrar novo ponto s∗k+1

end forend procedure

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