GEOMETRIA ANALTICA - 1a LISTA DE EXERCCIOS - VETORES

lgebra Linear

6 Lista de Exerccios 154 Questes de Vetores1)A figura abaixo constituda de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmaes:

RESP: a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V

2) A figura a baixo representa um paraleleppedo retngulo. Decidir se verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes abaixo:

RESP: a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F i)V j)V k)V l)F m)V n)V o)V p)V

3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retngulo ABCD, sendo O, o ponto de interseo das diagonais desse losango. Decidir se verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes:

RESP: a)V b)F c)V d)V e)F f)F g)V h)V

i)V j)F k)V l)V m)V n)F o)V4) Com base na figura do exerccio1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

RESP: a) b) c) d) e) f)

g) h) i) j) k) l)

5) Com base na figura do exerccio 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

RESP:

6) Com base na figura do exerccio 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

RESP: c)

7) Determine as somas que se pedem:

RESP: .8)A figura abaixo representa um paraleleppedo retngulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vrtices deste slido, sabendo que A (2, 1,2). RESP: B(2, 3,2), C(3, 3,2) , D(3, 1,2), E(3, 1,5), F(2, 1,5), G(2, 3,5) e H(3, 3,5)9) Determine x para que se tenha , sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6).

RESP: x=2

10) Escreva o vetor (7,1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,1) e outro paralelo ao vetor (1,1). RESP: x = 3 e y = 411) Dados A(1,1) e B(3,5), determinar C, tal que

a) b). RESP: a) x = 1 e y = 2 b) e y =312) Dados os vetores =( 2,1 ) e =( 1,3) , determinar um vetor , tal que:

a) b)

RESP: a) =

EMBED Equation.3 b)

13) Dados os vetores =(1,1,2) e =( 2,0,4), determine o vetor , tal que:

RESP:

14)Sendo A(1, 1,3) e B(3,1,5), at que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? RESP: (9,7,11)

15) Sendo A(2,1,3) e B(6, 7,1) extremidades de um segmento, determinar:

a) os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;

b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em trs partes de mesmo comprimento.

RESP: , e ; b) e .16)Dadas as coordenadas, x=4, y=12, de um vetor do (3, calcular sua terceira coordenada z, de maneira que ((((= 13. RESP: z=( 3

17)Sejam os pontos M(1,(2,(2) e P(0,(1,2), determine um vetor colinear e tal que RESP:

18)Achar um vetor de mdulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor =623.

RESP:

19) No tringulo ABC, os vrtices A (1,2), B(2,3) e C(0,5):

a) determinar a natureza do tringulo;

b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto mdio do lado BC.RESP: a) issceles b) ((((=

20) Sejam . Determine um versor dos vetores abaixo: a)+ B) 23 c) 5+4

RESP: a) (3,3,5) b) c) (13,14,23)

21) Determine um vetor da mesma direo de = 2+2 e que:

a) tenha norma (mdulo) igual a 9;

b) seja o versor de ;

c) tenha mdulo igual a metade de .

RESP: a)=((6,3,6) b)(2,1,2) c)(2,1,2)

22) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,2) e que as diagonais so =(4,2,3) e =(2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros trs vrtices.

RESP: C(5,5,5) ,B( 4,4,4) e D( 2,4,3)

23)Sabendo que A (1,(1), B(5,1) e C(6,4) so vrtices de um paralelogramo,determinar o quarto vrtices de cada um dos trs paralelogramos possveis de serem formados.

RESP: (2,2), (0,4), e (10,6)24) Dados os vetores =(3,2), =(2,4) e =(1,3), exprimir como a combinao linear de e . RESP:

25) Dados os vetores =(3,2,1),=(1,1,2) e =(2,1,3), determinar as coordenadas do vetor =(11,6,5) na base . RESP:

26)Escreva o vetor =(4,(1,0) , na base ,sendo =(1,0,0) ,=(3,2,1) e =((1,(1,1). RESP:

27)Dois vetores =(2,3,6) e =(1,2,2), tem uma mesma origem. Calcular as coordenadas do vetor sobre a bissetriz do ngulo formado pelos vetores e,sabendo que ((((= . RESP: =( ( 3, (15, ( 12)28) Dados os vetores =(1,1,0), =(3,1,1), =(2,2,1) e =(4,3,1). Determinar o vetor =(x,y,z), tal que : (+) (( e (+) ((. RESP: =( 10,4,3)PRODUTO DE VETORES

PRODUTO ESCALAR

29) Sendo = ( 2,3,1) e = ( 1,4, 5) . Calcular:

a) ( b) () c)( + )2 d) (3 2)2 e) (23)((+2) RESP: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) 205 f)28

30)Sendo =(2,1,1), =(1,2,2) e =(1,1,1). Calcular um vetor =(x,y,z), tal que ( = 4, ( = 9 e ( = 5. RESP: =(3,4,2)31)Sejam os vetores =(1,m,3),=(m+3,4m,1)e =(m,2,7).Determinar m para que (=(+)(. RESP: m=2

32) Determinar a, de modo que o ngulo do tringulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,2,3). RESP: 1 ou

33) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine:

a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?

b) O ngulo entre as retas paralelas aos vetores .

RESP: a) Paralelogramo b) .

34) Os vetores e formam um ngulo de 600. Sabe-se que ((((=8 e ((((=5, calcule:

a)((+(( b) (((( c) (( 2+3(( d) ((4 5(( RESP: a) b)7 c) d)

35) Os vetores e formam um ngulo de 1500, sabe-se que ((((= e que ((((=, Calcule:

a) ((+(( b) (((( c) ((3+2(( d) ((5 4(( RESP: a) b) c) d)

36) Determinar o valor de x para que os vetores = x2+3 e =2+2, sejam ortogonais. RESP: x = 4

37) Determine um vetor unitrio ortogonal aos vetores =(2,6,1) e =(0,2,1). RESP:

38) Dados =(2,1,3) e =(1,2,1), determinar o vetor (,(e ((((= 5. RESP:

39) Dados dois vetores =(3,1,5) e =(1,2,3), achar um vetor , sabendo-se que ele perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relaes: (=9, e (=4.

RESP: =(2,3,0)

40) Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar:RESP: a) 0 b) 0 c) 0 d) e) a2 f) g) h)

41)Calcule o ngulo formado pelas medianas traadas pelos vrtices dos ngulos agudos de um tringulo retngulo issceles. RESP: (=arc cos ,( (360 52'11,6''

42)Um vetor forma ngulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que ((((= 3. RESP: .43)Um vetor unitrio forma com o eixo coordenado OX um ngulo de 600 e com os outros dois eixos OY e OZ ngulos congruentes. Calcule as coordenadas de . RESP: ou

44) O vetor forma um ngulo de 600 com o vetor , onde A (0,3,4) e B(m, (1,2). Calcular o valor de m. RESP: m=34 ou m=2

45)Os vetores e formam um ngulo (= , calcular o ngulo entre os vetores =+ e = , sabendo que ((((= e ((((= 1. RESP: cos(=,((40053'36,2''

46) Dados =(2,3,6) e =344, determine:

a) a projeo algbrica de sobre ( norma do vetor projeo de sobre );

b) 0 vetor projeo de sobre . RESP: a)6 b)

47)Decomponha o vetor =(1,2,3) em dois vetores e , tais que (( e (, com =(2,1,1). RESP: e

48)So dados os vetores = (1,1,1), =(1,2,3) e =(26,6,8). Decompor o vetor em dois vetores e ortogonais entre si, sendo simultaneamente ortogonal a e a . RESP: =(1,4,3) e =(25,10,5)49)So dados =(3,2,2) e =(18,22,5), determine um vetor , que seja ortogonal e a , tal que forme com o eixo OY um ngulo obtuso e que ((((=28.

RESP: =(8,12,24)

50)Os vrtices de um tringulo so M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor , onde H o p da altura relativa ao lado NQ.

RESP: =(2,2,1)

PRODUTO VETORIAL

51) Dados os vetores =( 1,3,2),=(1,5,2) e =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores:

a) ( b) ( c) ((()

d) (()( e)(+)((+) f) ()(

RESP: a)(16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,12,2) d)((24,(72,48) e)(24,0,64) f)(3,13,18)

52)Determinar o vetor , paralelo ao vetor ao vetor =(2,3,0) e tal que ( =, onde =(1,1,0) e =(0,0,2). RESP: =(4.6,0)

53) Determinar o vetor , sabendo que ele ortogonal ao vetor =(2,(3,1) e ao vetor =(1,(2,3) e que satisfaz a seguinte condio; . RESP:

54)Determinar , tal que seja ortogonal ao eixo dos y e que ,sendo e . RESP: =(1,0,1)55) Dados os vetores =(0,1,(1), =(2,0,0) e =(0,2,(3).Determine um vetor , tal que // e (=. RESP: =(0,4,(6)

56)Determine um vetor unitrio ortogonal aos vetores =(1,1,0) e=(0,11).

RESP:

57) Ache tal que ((((=e ortogonal a =(2,3,(1) e a =(2,(4,6). Dos encontrados, qual forma ngulo agudo com o vetor (1,0,0). RESP:

58)So dados os vetores = (1,1,1), =(1,2,3) e =(26,6,8). Decompor o vetor em dois vetores e ortogonais entre si, sendo simultaneamente ortogonal a e a . RESP: =(1,4,3) e =(25,10,5)59) Dado o vetor =(3,0,(1).Determine o vetor =(x,y,z), sabendo-se que ortogonal ao eixo OX, que ((( ((= , e que (=(4. RESP:

60) So dados =(3,2,2) e =(18,22,5), determine um vetor , que seja ortogonal e a , tal que forme com o eixo OY um ngulo obtuso e que ((((=28. RESP: =(8,12,24)61)Sendo =(2,1,1) e =(0,y,z), calcule y e z de modo que (((((= 4 e que o vetor =( faa ngulos congruentes com os eixos OX e OY. RESP: (0,(2,(2)

62) Resolva os sistemas abaixo:

a)

RESP: a)(4,6,-2) b)(2,4,2) c)(1,3,1)63) Dados os vetores =(1,(1,1) e =(2,(3,4), calcular:

a) A rea do paralelogramo de determinado por e ;

b)a altura do paralelogramo relativa base definida pelo vetor .

RESP: a)A= b)

64)Dados os vetores =(2,1,(1) e =(1,(1,(), calcular o valor de ( para que a rea do paralelogramo determinado por e seja igual a u.a.(unidades de rea).

RESP: (=365) A rea de um tringulo ABC igual a . Sabe-se que A(2,1,0), B(1,2,1) e que o vrtice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C.

RESP: (0,3,0) ou

66)Os vrtices de um tringulo ABC so os pontos A (0,1,(1), B((2,0,1) e C(1,(2,0). Determine a altura relativa ao lado BC. RESP:

67) Determine a rea do tringulo ABD, obtido pela projeo do vetor sobre o vetor , onde A (5,1,3), B((3,9,3) e C(1,1,2). RESP:

68) Calcule a distncia do ponto P(2,1,2) reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e N(0,1,3). RESP: d=u.c.PRODUTO MISTO

69)Qual o valor de x para que os vetores =(3,x,2), =(3,2,x) e =(1,3,1) sejam coplanares. RESP: x=14 ou x=2

70)Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,1,1) e D(2,2,k) sejam vrtices de uma mesma face de um poliedro. RESP: k= 171)Determinar o valor de x de modo que o volume do paraleleppedo gerado pelos vetores = 2+ e = e =x+3, seja unitrio. RESP: x=5 ou x= 3

72)Sejam os vetores =(1,1,0), =(2,0,1) e , e . Determinar o volume do paraleleppedo definido por , e . RESP: V=44 u.v.73)Dado um tetraedro de volume 5 e de vrtices A (2,1,1), B(3,0,1) e C(2,1,3). Calcular as coordenadas do quarto vrtice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.

RESP: D (0,7,0) ou D(0,8,0)

74)So dados os pontos A(1, 2,3), B(2, 1, 4), C(0,2,0) e D(1,m,1), calcular o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paraleleppedo determinado pelos vetores e . RESP: m=6 ou m=2

75)Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1).

RESP: (1,0,0) ou

76)Sendo =(1,1,0), =(2,1,3) e =(0,2,1). Calcular a rea do tringulo ABC e o volume do tetraedro ABCD, onde B=A+. C=A+ e D=A+ . RESP: S=,V=

77)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,(2,4) ,C(2,1,(3) e D(0,(6,0).

RESP:

78)Determine a distncia do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , B(1,1,3) e C(1,3,0). RESP: u.c.

79)Os vrtices de um tetraedro so M (0,3,4), N((1,2,2) e Q(2,1,2) e P um ponto pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:

a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv;

b)a rea e o permetro da face NMQ;

c)os ngulos internos da face MNQ;

d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa face MNQ.

RESP: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S=u.a., 2p=u.c. c)(=300, (=900, (=600 d)u.c.80)A figura abaixo representa uma pirmide de base quadrada OABC em que as coordenadas so O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vrtice V eqidistante dos demais, determine:

a) as coordenadas do vrtice D;

b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirmide igual a 72 u.v. RESP: a)D(4,4,2) b) V(2, 1,7)

81)So dados no espao os pontos A(2,1,0), B(1,2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D, tal que ,( e ( sejam coplanares, (= 28 e que o volume do tetraedro OABD seja igual a 14. RESP: D(0,0,28) ou D(12,24,8)

RETA NO 382) Estabelecer as equaes vetoriais, paramtricas, simtricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:

a)determinada pelo ponto A(1,2,1) e pelo vetor =(3,1,4);

b)determinada pelos pontos A(2,1,3) e B(3,0,2) ;

c)possui o ponto A(1,2,3) e paralela reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor =(2,2,3);

d)possui o ponto M (1,5,2) e paralela reta determinada pelos pontos A(5,2,3) e B(1,4,3);

e)possui o ponto A(2,1,0) e paralela reta de equao ;

f)possui o ponto A(6,7,9) e paralela ao vetor = (2,0,2);

g)possui o ponto A(0,0,4) e paralela ao vetor =(8,3,0);

h)possui o ponto A(2, 2,1) e paralela ao eixo OX ;

i)possui o ponto A(8,0,11) e paralela ao eixo OZ.

RESP: a) P=(1,2,1) +m(3,1,4) , , ,

b) P=(2,1,3) +m(1,2,5) , , , ;

c) P=(1,2,3) +m(2,2,3) , , , ;

d) P=(1,5,2) +m(3,1,0) , , ;e) P=(2,1,0) =m(5,3,2) , , , ;

f) P=(6,7,9) =m(1,0,1) , ,

EMBED Equation.3 ;

g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) , , ;

h) P=(2,2,1) = m(1,0,0) , ; i ) P=(8,0,11) =m(0,0,1) , .

83) Determine as equaes simtricas da reta que passa pelo baricentro do tringulo de vrtices A(3,4,1), B(1,1,0) e c(2,4,4) e paralela reta suporte do lado AB do tringulo. RESP: .84) Os vrtices de um tringulo so O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equaes reduzidas da bissetriz interna do ngulo AB e determine sua interseo com o lado AB.

RESP: e .85) Os pontos de trisseo do segmento A(4,3,0) e B(2,3,3) so M e N. Unindo-os ao ponto P(0,1,0), obtm-se as retas PM e PN . Calcule o ngulo formado pelas mesmas.

RESP: ( = arc cos ,( ( 700 31'43,6''

86) A reta , forma um ngulo de 300 com a reta determinada pelos pontos A(0,(5,(2) e B(1,n(5,0). Calcular o valor de n. RESP: n=7 ou 1

87) Determine as equaes da reta r definida pelos pontos A (2,1,4) e B= , com . RESP:

88) Determinar as equaes paramtricas da reta t, que perpendicular a cada uma das retas:

a) , e que passa pelo ponto P(2,3,5);

b) , e que passa pelo ponto P(2,3,1);

c) e , e que passa pelo ponto P(3,(3,4).

RESP: a)t: c)

80)Estabelea as equaes, em funo de x, da reta traada pela interseo de r:P=((6,1,0)+m(1,1,1), com a reta , e que forma ngulos agudos congruentes com os eixos coordenados. RESP:

90) So dadas as retas e e o ponto A(3,2,1). Calcule as coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que A seja o ponto mdio do segmento PQ. RESP: P(1, 1,0) e Q(5,3,2)

91) Determine o ponto O', simtrico de da origem O dos eixos coordenados, em relao reta . RESP: 92) Determine as coordenadas de A' simtrico de A (4,0,3), em relao a reta . RESP:

93) Estabelea as equaes paramtricas da reta traada pelo ponto A(1, 4,5) e que perpendicular reta r; P=(2,1,1) + m(1,1,2). RESP:

94)Determine uma equao da reta r que passa pelo ponto A(2,1,3), e perpendicular reta . RESP: P= (2,(1,3)+m((13,3,(33)95)Estabelea as equaes da reta s, traada pelo ponto P((1,(3,1), que seja concorrente com a reta e seja ortogonal ao vetor .RESP:

PLANO96) Determinar a equao geral dos planos nos seguintes casos:

a) passa pelo ponto D(1,1,2) e ortogonal ao vetor =(2,3,1);

b)possui o ponto A(1,(2,1) e paralelo aos vetores e ; c) passa pelos pontos A(2,1,0) , B(1,4,2) e C( 0,2,2); d) passa pelos pontos P((2,1,0),Q((1,4,2) e R(0,(2,2); e)passa pelos pontos A(2,1,5), B((3,(1,3) e C(4,2,3); f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contm os vetores =(2,1,1) e =( 3,1,(2); g) possui o ponto P(2,(1,3) e paralelo ao plano XOZ; h) contm as retas e ; i) contm as retas e ; j) que contm as retas ; k)contm as retas ;l) passa pela reta e paralelo reta

RESP: a) (:2x(3y+z(7=0 b) (:x(y(z=0 c) (:12x+2y(9z+22=0 d) (:12x+2y(9z+22=0 e) (:6x(14y(z+7=0 f) (:x+y(z(5=0 g) (:y+1=0 h) (:2x(16y(13z+31= 0 i) (:y(z(2=0 j) (:4x+4y+3z=0 k) (:11x+2y(5z(11=0 l) (:3x(2y(2z(1=0

97) Determine a equao da reta interseo dos planos, nos seguintes casos:

a) b)

c) d) RESP: a)r:P=((3,2,0)+m((1,1,1) b)

c) d) 98) Forme a equao do plano que possui um ponto M((2,1,3) e que perpendicular reta . RESP: (:2x + 3y ( z +4 = 099) Dado o ponto P(5,2,3)e o plano (:2x+y+z(3=0,determinar:

a) a equao paramtrica da reta que passa por P e perpendicular a (;

b) a projeo ortogonal de P sobre (;

c) o ponto P simtrico de P em relao a (;

d) a distncia de P ao plano (.

RESP: a) b) I(1,0,1) c)P((3, (2, (1) d)

100)Forme a equao do plano mediador do segmento A(1,2,(3) e B(3,2,5)

RESP: (:x+4z(6=0

101)Determinar a equao do plano que contm os pontos A (1,(2,2) e B((3,1,(2) e perpendicular ao plano (: 2x+y(z+8-0. RESP: (:x(12y(10z(5=0102) Um plano (, traado por P(3,3,(1) intercepta os semi-eixos coordenados positivos OX,OY e OZ, respectivamente nos pontos A,B, e C, tais que e .Estabelea a equao geral de (. RESP: (;x+2y+3z(6=0

103)Determine a equao do plano que contm a reta interseo dos planos (1: 3x2yz(1=0 e (2: x +2y(z(7=0 e que passa pelo ponto M(2,0,(1). RESP: (:9x+2y(5z(13=0104) Determinar as equaes paramtricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e paralela a cada uma dos planos (1: 2xyz+1=0 e (2:x+3y+z+5=0. RESP:

105) Determinar equao geral do plano (,que passa ponto A(4, 1, 0) e perpendicular aos planos (1: 2x y 4z 6 = 0 e (2: x + y + 2z 3 = 0. RESP: (:2x(8y+ 3z=0106) Determinar a equao do plano que contm o ponto A(3,(2,(1) e a reta . RESP: (:2x+3y+x+1=0107) Determinar a equao do plano ( , que passa pelo ponto P(2, 5, 3) e perpendicular reta r, interseo dos planos (1: x ( 2y + z ( 1 = 0 e (2:3x + 2y ( 3z + 5 = 0. RESP: (: 2x + 3y + 4z ( 31 = 0108) Determinar a equao do plano que passa pela reta , paralelo reta . RESP: (:3x + 2y + 5z + 6 = 0 109) Dados os planos (1:2x + y ( 3z + 1 = 0, (2:x + y + z + 1 = 0 e (3:x ( 2y + z + 5 = 0, ache uma equao do plano que contm (1((2 e perpendicular a (3. RESP: (:x + y + z +1= 0

110) Calcule o volume do tetraedro, cujas faces so os planos coordenados e o plano (:5x+4y(10z(20=0. RESP: VT= u.v.111)Determine o ponto A', simtrico de A (1,4,2) em relao ao plano (: x(y+z(2 =0.

RESP: R: A'(3,2,4)112) Determine uma equao da reta t, simtrica de , em relao ao plano (:2x+y(z+2=0. RESP:

113) Dado o plano (1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a equao do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano (1 e paralelo ao plano (2:x(3=0. RESP: (:

114) Considere as retas r:P=(1,1,0)+t(0,1,1) e . Seja A o ponto onde s fura o plano (:x(y+z=2, e B e C ,respectivamente, os pontos onde r fura os planos XOZ e XOY,respectivamente. Calcule a rea de tringulo ABC. RESP: S=

115)Determinar a equao simtrica da reta r, que passa pelo ponto M(2,(4,(1), e pelo meio do segmento de reta ,compreendido entre os planos (1:5x+3y(4z+11=0 e (2: 5x+3y(4z(41=0. RESP: 116) Dados o ponto P(1,3(1), o plano (:x+z=2 e a reta s:P=(2,0,0)+m(1,0,1), obtenha uma equao da reta r que passa por P, paralela a ( e dista 3 da reta s.

RESP: r:P=(1,3,(1)+m((1,0,1)COORDENADAS POLARES E TRANSFORMAES LINEARES117)Dois dos vrtices de um tringulo eqiltero so os pontos A(0 , 75 0 ) e B( 3, 180 0 ). Ache as coordenadas polares do terceiro vrtice. RESP: C e C( 3, -2400) ou C(3,-1200)118)Lado de um hexgono mede 4 u.c. Determine as coordenadas polares dos vrtices deste hexgono quando seu centro coincidir com o plo do sistema e um de seus vrtices pertencerem ao eixo polar. RESP: A (4,) , B( 4,600) , C( 4,1200), D( 4,1800) ,E( 4,2400) e F( 4,3000)119)Determine as coordenadas polares dos vrtices de um quadrado ABCD, sabendo-se que o plo o ponto O'(1,2), que o eixo polar paralelo ao eixo OX e que tem o mesmo sentido deste. Sendo dados as coordenadas cartesianas dos vrtices: A (4,2), B(7,5), C(4.8) e D(1,5). RESP: A (3,00) , B, C(,63,50 ), D(3,900) 120)Num sistema de coordenadas polares so dados os dois vrtices e do paralelogramo ABCD e o ponto de interseo das diagonais coincide com o plo. Achar as coordenadas polares dos outros dois vrtices. RESP:

121)Determinar as coordenadas polares dos vrtices do quadrado ABCD, sabendo-se que o eixo polar a reta paralela a diagonal AC, com o mesmo sentido desta, que o plo o ponto mdio de BC e que o lado do quadrado mede 6 cm.

RESP: A (3,161030') , B(3,1350), C(3,450) e

122)Transformar as seguintes equaes cartesianas em equaes polares:a) x2 + y 2 = 25 b) x2 y2 = 4 c) ( x2 + y 2 )2 = 4 ( x2 - y 2 ) d) x - 3y = 0 e) y 2 + 5x = 0 f) xy =4 g) x2 + y 2 + 4x - 2y = 5 h) ( x2 + y 2 ) 2 - 18 xy = 0 i) 4y2-20x 25=0 j) 12x2 4y2 24x+ 9 = 0 k) x2+ y2 2y = 0Obs.: Somente considere a resposta em que ( ( 0.

RESP: a) ( = 5 b) (2cos2(=4 c) (2 = 4 cos 2 ( d) ( = arctg 1 / 3 e) (sen2( + 5 cos( = 0 f) (2sen2(=8 g) (2 + 2( (2 cos ( - sen ( ) = 5 h) (2 = 9 sen 2 ( i)(= j) ( = k) (=2sen(123)Transformar as seguintes equaes polares em equaes cartesianas:

a) ( = 4 b) ( = 1/ 4 ( c) ( = 8 cos ( d) ( = 6 sen ( + 3 cos (

e) ( = 15 sec ( f) ( (sen ( + 3 cos ( ) = 3 g) ( (2 ( cos ( ) = 4

h) 2( = 2 + cos 2( i) ( 2 = 4 cos 2 ( j) ( = 4 ( 1 + cos ( )

RESP: a) x2 + y2 = 16 b) x = y c) x2 + y2 ( 8x = 0 d) x2 + y2 ( 3x ( 6y = 0 e) x = 15 f)3x(y(3=0 g) 3x2 + 4y2 - 8x (16 = 0 h) 4 (x2 + y 2)3 = ( 3x2 + y2)2 i) ( x2 + y2 )2 = 4x2 4y2 j) 16( x2 + y2) = ( x2 + y2 (4x ) 2124) Transforme, em relao a um novo sistema de coordenadas de eixos paralelos aos primeiros e origem conveniente para que na nova equao no figure os termos do 1o grau, as equaes:a) x2 + y 2 - 6x + 2y - 6 = 0 b) xy x + 2y 10 = 0

c) x2 - 4y2 - 2x + 8y - 7 =0 d) x2 + 4 y 2 - 2x - 16 y + 1 = 0 e) 30xy +24x-25y-80=0 f)3x2+ 3y2 10xy 2x+ 14y+27=0 RESP: a) x2 + y2 = 16, O'(3,(1) b) xy=8, O'((2,1) c) x2 - 4y2 - 4 = 0, O'(1,1) d) x2 +4 y2 - 16 = 0, O'(1,2) e)xy=2 ,O f) O ( 2,1) 3x2+3y2 (10xy+32=0 g) ,

125)Transforme as equaes abaixo, mediante uma rotao de eixos :

a) x2 + 2 xy + y 2 (32 = 0 b) xy (8 = 0 c) 31 x2 + 10

xy + 21 y 2 - 144 = 0 d) 6x2 + 26y2 + 20

xy - 324 = 0 e)4x2+ 4xy +y2+x =1

g) 2xy +6x 8y=0 h) 7x2 6xy + 13y2 16 =0 RESP: a) x = ( 4 (=450 b) x2 - y2 = 16 (=450 c) 9x2 + 4y2 - 36 = 0 (=300 d) 9x2 y2 81= 0 (=600

e)5x2+2x(y=1,(=26,20 g) (=450, x'2y'2 x(7y=0 h) (= 300, x2+4y2 4=0 CNICASELIPSE

126)Achar a equao de uma elipse cujos focos se encontram sobre o eixo das abscissas, e sabendo-se que: a) a distncia focal igual a 6 e a excentricidade ;

b) seu menor eixo 10 e a excentricidade e ;

c) C(0,0), eixo menor igual 6, passa pelo ponto ; d) focos F1(3,2) e F2(3,8),comprimento do eixo maior 8.

e) C(0,0), , , ponto da cnica; f) seus vrtices so A1 ((2,2), A2(4,2), B1(1,0), B2(1,4);

g) vrtices (7,2) e (1,2), eixo menor=2; h) C(0,0), ponto da cnica, distncia focal 8;RESP: a) 16x2 +25y2 400=0 b) 25x2 +169y2 4225=0; c) d)

e) f) g) h)

127) A rbita da Terra uma elipse, com o Sol em um dos focos. Sabendo-se que o eixo maior da elipse mede 2.999.338.000 km e que a excentricidade mede . Determine a maior e a menor distncia da Terra em relao a Sol. RESP: MAD =152.083.016 km; med =147.254.984 km. 128) O centro de uma elipse coincide com a origem. O eixo maior vertical e seu comprimento o dobro do comprimento do eixo menor, sabendo-se que essa elipse passa pelo ponto , achar sua equao. RESP: 4x2 +y2 16=0

129) Uma elipse tangente ao eixo das abscissas no ponto A(3,0) e ao eixo das ordenadas no ponto B(0,4). Formar a equao dessa elipse, sabendo-se que seus eixos de simetria so paralelos aos eixos de coordenadas. RESP: 9x2 +16y2 54x+128y+193=0130) Achar a equao da cnica com centro C(3,1), um dos vrtices A(3,(2) e excentricidade . RESP:

131) Determine a equao da elipse de centro C(2, 1), excentricidade 3/5 e eixo maior horizontal de comprimento 20. RESP: 16x2 +25y2 +64x50y1511=0 132) Determine a equao da cnica de C(4,1), um foco (1,1) e excentricidade .

RESP:

133) Determine a equao da cnica de vrtices A1(1,8) e A2(1,(4) e excentricidade .

RESP: 134) Determine a equao da cnica de focos (1, 3) e (1,5), e excentricidade . RESP:

135) Determine a equao da elipse de excentricidade , cujos focos so pontos da reta y (1=0 e sendo B((2, 9) um dos extremos do seu eixo menor. RESP:

136) A uma elipse de excentricidade , circunscreve-se um retngulo de lados paralelos aos eixos coordenados da elipse. Calcular a rea do retngulo, sabendo-se que seu permetro vale . RESP:

137) Em cada uma das equaes abaixo, determinar as coordenadas dos vrtices, focos, centro, excentricidade, corda focal, parmetro e as equaes das diretrizes:

a) b) c) d) 25x2 +16y2 +50x+64y 311=0 e) 16x2 +25y2 +32x100y284=0

f) g) RESP: a)C(0,0), A (10,0), B(0,6), F(8,0), e= 4/5, eixo maior horizontal;

b) C(0,0),A(0,3),B(,0),F(0,2),e =2/3, eixo maior vertical;

c) C(0,0),A(0,1),,B(1/2,0),e=/2, eixo maior vertical;

d) C(1,2),A1 (1,2),A2 (1,7), F1(4,0), F2(1,5), B1(3,2), B2 (5,2), e =3/5, eixo maior horizontal;

e) C(1,2), A1(6,2), A2 (4,2), F1(3,2), F2(4,2), B1(1,2),B2(1,6) e =1/2, eixo maior horizontal;

f) C((4,(4), A1((4,0), A2((4,8), F1((4,(2), F2((4,(6), ,, eixo maior vertical;

g) C(6,(4), A1(12,(4), A2(0,(4), , , eixo maior horizontal;

HIPRBOLE138) Determine a equao da hiprbole, nos seguintes casos:

a)de focos F(0,(5) e vrtices A (0, (3); b)que tem focos no eixo das abscissas e eixos real e imaginrio 10 e 8 , respectivamente; c) de focos F(3,4) e (3,2) e excentricidade e=2;

d) de focos F ((1,(5) e (5,(5) , eqiltera

e) eixo real horizontal, eqiltera, de vrtices ((3,(4) e ( (3,4);

f) de C0,0),que passa pelo ponto (5,3), eqiltera e de eixo real horizontal; g) que tem eixo real vertical de comprimento 8 e passa pelo ponto (6,5); h) eixo real sobre o eixo das abscissas ,distncia focal igual a 10 e eixo imaginrio 8;

i)eixo real sobre o eixo das ordenadas, as equaes das assntotas e distncia focal 52.

j) eixo real horizontal, distncia focal igual a 6 e a excentricidade ;

k) eixo real paralelo ao eixo OX, centro no ponto C((1,(3), comprimento do eixo imaginrio e excentricidade ;

l) C(2, 3), eixo real vertical, passando pelos pontos (3, 1) e (1,0)( trabalhosa); m)centro o ponto C(0,4), um dos focos (0,(1) e um de seus pontos . RESP: a) b)

c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l)

m)

139) O centro de uma cnica est na origem, seu eixo real encontra-se ao longo do eixo OY e cujas assntotas so as retas . Determinar a equao da cnica, se seus vrtices so os pontos A(0,(2). RESP:

140) Determine a equao da hiprbole que tem como uma assntota, a reta eixo horizontal e passa pelo ponto (3,(1). RESP:

141) Determine a equao da hiprbole que tem como assntotas, as retas 2x+y3=0 e 2xy1=0, eixo horizontal e passa pelo ponto (4,6). RESP:

142) Determine a equao da hiprbole que tem como assntotas, as retas 3x(4y+16=0 e 3x+4y(16=0, eixo vertical e que passa pelo ponto . RESP:

143) Determinar a equao reduzida da hiprbole, cujo eixo real tem por extremos os focos da elipse 16x2 +25y2 625=0 e cuja excentricidade o inverso da excentricidade da elipse dada. RESP:

144) Os focos de uma hiprbole coincidem com os da elipse Forme a equao da hiprbole, considerando-se que sua excentricidade e= 2.RESP:

145) Determine a equao da elipse de centro na origem, cujos vrtices coincidem com os focos da hiprbole e cujos focos so os vrtices da hiprbole.

RESP:

146) Em cada uma das equaes de hiprbole abaixo, determine as coordenadas dos vrtices, focos, centro a excentricidade, corda focal, parmetro, equao das diretrizes e das assntotas. a) b) 9x2 16y2 =144 c)4x2 5y2 +20=0 d) x2 y2 =1 e)x2 4y2 +6x+24y31=0 f)16x2 9y2 64x18y+199=0 g)9x2 4y2 54x+8y+113=0 h)

RESP: a) C(0,0),A((10,0), ,,eixo real horizontal, , b) C(0,0), A((4,0), F((5,0), , eixo real horizontal, ;

c) C(0,0), A(0,(2), F(0,(3), , eixo real vertical, , ;

d) C(0,0), A((1,0), , , eixo real horizontal, ass: y=(x;

e) C((3,3),A1((1,3), A2((5,3), , eixo real horizontal, ass1:x(2y(9=0,ass2:x + 2y(3=0,;

f) C(2, 1), A1(2, (3), A2(2, (3), F1(2, (4), F2(2, 6), eixo real vertical, ass1:4x(3y(5=0, ass2:4x(3y(5=0;

g)C(3,1), A1(3,4), A2(3,(2), , ass1:3x(2y(1=0, ass2:3x\=2y(5=0;

h) C((1, (3), A1(1, (3), A2((3, (3), , ass1: 3x ( 2y ( 3 = 0 e ass2: 2x + 2y -9 = 0,

PARBOLA

147) Determinar a equao da parbola:

a) de vrtice V(6,2) , cujo eixo y +2=0 e que passa pelo ponto (8,2);

b) de foco F(3,3) e diretriz y1=0;

c) de vrtice V(0,3) e diretriz x + 5=0; e) de foco F(3,3) e diretriz y5=0;

g)V(3,(6),eixo de simetriaparalelo ao OY, e que passa pelo ponto ((3,(10);

i) F(4,3), diretriz ;

k) Eixo // OY, passa pelo ponto M((1,(1);

l) V(4, (1), eixo: y+1=0 e passa pelo ponto (3, (3)

n) F(3,(1) e diretriz ; o) V((4,3) e F((4,1) p) V(1,3), eixo de simetria paralelo ao eixo dos x, passa pelo ponto P((1,(1) q) V(3,(2) , eixo de simetria y+2=0, passa pelo ponto P(2,2) s) de foco F(7,3) e diretriz x+3=0;

v) F(5,2), diretriz ;RESP: a) b) c) e)

g) i) k) l) n) o) p) q)

s) v) 148)Determine a equao da parbola que tem eixo de simetria horizontal que passa pelos pontos A((5,5), B(3,(3) e C(3,1). RESP: ; V(4,-1), p=-2149) Determine os pontos de interseo da hiprbole com a parbola . RESP: e

150) Achar a equao da parbola, cuja corda focal liga os pontos (3,5) e (3,(3). RESP: ou

151) Encontre na parbola um ponto tal que sua distncia diretriz seja igual a 4. RESP: P(2,4) ou P(2,(4)152) Determine a equao da parbola que tem eixo de simetria vertical e passa pelos pontos A(0,0), B(2,2,) e C(-4,20). RESP: ; ;

153) Dada uma elipse de centro na origem, distncia focal 8 e comprimento do eixo maior 12 e eixo maior paralelo ao eixo OX. Considere uma parbola que tem por diretriz, a reta suporte do eixo menor da elipse e por foco, o foco direita do cento da elipse. Determine a equao da parbola. RESP:

154) Determinar as coordenadas do vrtice, foco, a equao da diretriz e o parmetro das seguintes parbolas:

a) y2 6x=0 b) x2 5y=0 c)y2 +4x=0 d) y2 4x+8=0

e)x2 6y2=0 f)x2 6x+9y+63=0 j) y2 8y8x+40=0 k)y2 8x6y7=0

RESP: a)V(0,0), , d:2x+3=0, eixo de simetria horizontal,CVD;

b) V(0,0). , d: 4y+5=0, eixo de simetria vertical, CVC;

c)V(0,0), F((1,0). d: x = 1,eixo de simetria horizontal, CVE ;

d)V(2,0), F(3,0), d:x(1=0,eixo de simetria horizontal, CVD ;

e) , d: 6y +11=0, eixo de simetria vertical, CVC;

f)V(3,(6), , d:4y +15=0, eixo de simetria vertical, CVB;

i)V(4,(1), F(3,(1), d:x (5=0,eixo de simetria horizontal, CVE ;

k)V((2,3), F(0,3), d:x +4=0,eixo de simetria horizontal, CVD;

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EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE 12PROF: AMINTAS AFONSO - LISTA DE EXERCCIOS DE GEOMETRIA ANALTICA 17/4/2013

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