Domínio de Funcões

CÁLCULO I

ENGENHARIA CIVIL

ESTUDO DAS FUNÇÕES

DOMÍNIO DE FUNÇÃO

CÁLCULO I – ENGENHARIA CIVIL – 2/2015 Página 2

1 – CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO

DEFINIÇÃO 1: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa relação f é uma

função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do

conjunto B .

Podemos usar a seguinte notação para lei de associação que define uma função.

y x 5 ou 5)( xxf

y 2x ou )(xf 2x

NOTAÇÃO - Quando temos uma função de A em B , podemos representá-la da seguinte forma:

f : A B (lê-se: função de A em B )

x y (lê-se: a cada valor de x A associa-se um só valor y B )

A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h , r, etc.

Numa função g : RR , dada pela fórmula y 2x 8, podemos também escrever g ( x ) 2x 8. Neste caso,

g ( 2 ) significa o valor de y quando x 2 , ou seja,

g ( 2 ) 8)2( 2 = 4 – 8 = 4.

2 ESTUDO DO DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO

Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma função de A em B, isto é, f : A B .

O conjunto A é chamado DOMÍNIO da função f .

O conjunto B é chamado CONTRADOMÍNIO de f .

O elemento em B que corresponde a Ax é chamado a IMAGEM de x e é representado por )(xf .

Ou seja, a imagem pertence ao conjunto B.

Exemplo 1- Dados os conjuntos A{0,5,15} e B {0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B expressa pela

fórmula )(xf x 5, com x A e y B .

0

0A B

5

15

5

10

15

20

25

Observe que :

5)0( f

10)5( f

20)15( f

Pelo exemplo,

o conjunto A é o domínio,

B é o contradomínio

ESTUDO DAS FUNÇÕES


e a imagem é o conjunto formado pelos elementos de B que estão associados a algum elemento de A. A

imagem é formada pelo conjunto {5, 10, 20} , que são os únicos elementos de B que estão associados a

elementos de A.

Definição 1: Domínio D da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente Ax .

Definição 2: Imagem I da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente

)(xf .

3 DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

Quando definimos uma função, o domínio, que é o conjunto de todos os possíveis valores da variável

independente x , pode ser dado explicitamente ou implicitamente. Assim,

Se é dado apenas )(xf x2 - 5, sem explicitar o domínio D, está implícito que x pode ser qualquer

número real, ou seja, D = R = Reais.

Se é dado )(xf x2 - 5, com 101 x , está explícito que o domínio da função dada consiste em todos os

números reais entre 1 e 10, incluindo-os, pois o intervalo é fechado, ou seja: D = { 101/ xRx }

Se é dado apenas )(xf 2

32

x

x, sem explicitar o domínio D, está implícito que x pode ser qualquer

número real, com exceção de 2, pois se x = 2, teremos uma divisão por zero, o que não é possível. Vejamos:

)2(f 0

1

0

1

0

34

22

3)2.(2e

não é definido.

Logo, D = { 2/ xRx }

Se é dado apenas )(xf 2x , sem explicitar o domínio D, está implícito que x - 2 pode ser qualquer

número real não negativo, ou seja, x - 2 0 ou x 2 , pois se x 2 , obtém–se a raiz quadrada de um

número negativo e, portanto, não existe um número real f(x) correspondente. Logo, D = { 2/ xRx }.

Assim, quando o domínio de uma função não está explícito, devemos considerar para esse domínio todos os

valores reais de x que tornam possíveis em R as operações indicadas na fórmula matemática. Em geral, temos

que considerar dois casos:

1- RAIZ QUADRADA – Não existe raiz quadrada de número negativo.

Logo, o termo que está dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero ( 0 ).

2- DENOMINARDOR DE UMA DIVISÃO – Não se divide um número por zero.

Logo, o termo que está no denominador tem que ser diferente de zero ( 0 ).

Exemplos – Determinar o domínio das seguintes funções:

(a) )(xf 16

35

x

x

- Solução -

16

35

x

x só é possível em R se x – 16 0 , pois não podemos dividir um número por zero.


x – 16 0 16 x

Logo, D = { 16/ xRx }.

(b) )(xf 25

722

x

x

- Solução -

25

722

x

x só é possível em R se 252 x 0 , pois não podemos dividir um número por zero.

252 x 0 252 x 55 xex

Logo, D = { 55/ xexRx }.

(c) )(xf 5x

- Solução -

5x só é possível em R se 05x , pois não existe raiz quadrada de números negativos.

05x 5 x

Logo, D = { 5/ xRx }.

(d) )(xf 6

2

x

x

- Solução -

Observe neste exemplo que, além de uma divisão, temos também uma raiz quadrada. Neste caso temos que

considerar dois casos: divisão e raiz quadrada.

6

2

x

x só é possível em R se

6x 0 (pois está dentro de uma raiz e não pode ser negativo) e

6x 0 (pois está no denominador e não pode ser zero).

A princípio teríamos que analisar estes dois casos pra calcular o domínio de )(xf . Mas podemos resumi-los em

apenas um.

Observe que o primeiro caso diz que zero é possível ( ) e o segundo caso diz que zero não é possível )( . Se

excluirmos o igual do primeiro caso teríamos então ( > ) e assim excluiríamos o zero, e o segundo caso

continuaria da mesma forma. Agora os dois casos estão em total acordo. Assim, basta estudar o seguinte caso:

6x 0 6 x

Logo, D = { 6/ xRx }.

(e) )(xf 4x + 2

1

x

- Solução -


4x só é possível em R se 404 xx .

2x só é possível em R se 202 xx

Para determinar o domínio, temos que fazer a interseção das duas soluções acima, já que os valores possíveis de

x têm que atender os dois casos ao mesmo tempo. Fazendo a interseção, teremos:

Logo, D = { 4/ xRx }.

4 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO

Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o nome

de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que são imagens de valores de x forma

o conjunto imagem da função, que indicaremos por . Note que o conjunto imagem da função é um

subconjunto do contradomínio da mesma.

f : AB

x y f ( x )

Domínio (D) = A

Contradomínio (CD)= B

Imagem (I) = { y CD / y é correspondente de algum valor de x }.

Exemplos:

1- Dados os conjuntos A{3,1,0,2} e B {1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem da função

f : A B definida por f ( x ) x 2.

f (3) (3) 2 1

f (1) (1) 2 1

f (0) (0) 2 2

f (2) (2) 2 4

{1,1,2,4}

A B

0

2

0

1

2

3

4

-3

-1

-1

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS DE DOMÍNIO

1) Determine o domínio das seguintes funções:

(a) 54)( xxf (b) xxf 21)( (c) 3

1)(

x

xxf (d) 13)( xxf

(e) xxh 2)( (f) 1)( 2 xxg (g) xxf 24)( (h) xxg )(

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