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&DStWXOR��±�0DWUL]HV��1BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

ÈOJHEUD�/LQHDU�� 5RViOLD�5RGULJXHV��

&DStWXOR��±�0DWUL]HV

ÅÅ 11RRoo}}HHVV **HHUUDDLLVV

xx Seja £ uma HVWUXWXUD�DOJpEULFD que possua as operações de DGLomR e PXOWLSOLFDomR com as propriedades habituais ( por exemplo: ¸, ©, ·, ... ).

Aos elementos de £ chamamos HVFDODUHV.

xx Uma PDWUL]�GH�WLSR (ou tamanho) S l T é uma tabela de S OLQKDV�e T FROXQDV com elementos de £.

QRPH da matriz

HOHPHQWRV que são HVFDODUHV da forma DLM�onde L ∈ {��S} indica a OLQKD

e M ∈ {��T} a FROXQD

xx Geralmente denotamos,

a PDWUL] $ = [ DLM�] com L ∈ {��S} e M ∈ {��T}

o HOHPHQWR (L��M) que está na OLQKD�L e FROXQD�M




xx Ambas as notações [DLM ]SlT e [$]SlT indicam que a matriz tem S linhas e�T colunas.

xx Por exemplo,

é uma matriz [$]�l�onde D�� = 27

xx Quando S �� temos uma PDWUL]�OLQKD

e quando T �� temos uma PDWUL]�FROXQD

Por exemplo,

xx Quando S �T a matriz chama-se TXDGUDGD

Por exemplo,

é uma matriz TXDGUDGD�GH�RUGHP��.

xx Numa matriz quadrada, os elementos com L �M�formam a GLDJRQDO�SULQFLSDO.Neste exemplo, os HOHPHQWRV�GLDJRQDLV são,

D�� = 25 D��= 10 D�� = 7




D�� = 3 e D��= 6 chamam-se HOHPHQWRV�RSRVWRV.

xx Uma matriz quadrada onde DLM� �� para L ≠ M chama-se PDWUL]�GLDJRQDO.Por exemplo,

Note que podem ocorrer elementos nulos na diagonal principal.

xx Quando os elementos de uma matriz diagonal são todos iguais, temos uma PDWUL]�HVFDODU�Por exemplo,

�

xx A PDWUL]�LGHQWLGDGH é uma matriz escalar cujos elementos são todos iguais a �.

Por exemplo, a PDWUL]�LGHQWLGDGH�GH�RUGHP�Q,

geralmente indicada por ,Q ,




xx Note que ,Q = [GLM]QlQ onde GLM� é o VtPEROR�GH�.URQHFNHU,

xx Numa PDWUL]�QXOD todos os elementos são iguais a zero.

Por �SlT representamos a matriz nula de tipo S l T.

��l� =

xx Uma matriz quadrada chama-se WULDQJXODU�VXSHULRU quando DLM� �� para todo o L > M .

Por exemplo,

xx Uma matriz quadrada chama-se WULDQJXODU�LQIHULRU quando DLM� �� para todo o L < M .

Por exemplo,

xx Duas matrizes $ = [ DLM�] e % = [ ELM�] ambas de tipo S l T são LJXDLV

se DLM = ELM para todo L ∈ {��S} e todo M ∈ {��T} .




ÅÅ 22SSHHUUDDoo}}HHVV FFRRPP 00DDWWUULL]]HHVV

xx Seja 0SlT(£) o conjunto das matrizes de tipo S l T com elementos de £.

xx Uma RSHUDomR�ELQiULD�em 0SlT(£) é uma aplicação,

0SlT(£) l 0SlT(£) | 0SlT(£)

� $��%�� &A cada par ordenado de matrizes do conjunto a operação faz corresponder, de forma única, uma matriz do mesmo conjunto.

xx A DGLomR�GH�PDWUL]HV é uma operação binária em 0SlT(£).

Dadas $��%�∈0SlT(£), com $ = [ DLM�] e % = [ ELM�] ,

a PDWUL]�VRPD é definida por,

$ + % = [ DLM�+ ELM�]para todo L ∈ {��S} e M ∈ {��T} .

xx Por exemplo, dadas duas matrizes de 0�l�(¸),

a PDWUL]�VRPD & = $ + % também pertence a 0�l�(¸) e é calculada de forma única adicionando elementos correspondentes.




& = $ + %

xx De modo análogo, a VXEWUDFomR�GH�PDWUL]HV é uma operação binária em 0SlT(£), definida por,

$ – % = [ DLM�- ELM�]para todo L ∈ {��S} e M ∈ {��T} .

> 33UURRSSUULLHHGGDDGGHHVV GGDD $$GGLLoommRR GGHH 00DDWWUULL]]HHVV

x As propriedades da adição de matrizes são consequência directa das mesmas propriedades que se verificam na adição em £.

x Sejam $��%��&�∈0SlT(£)

onde $ = [ DLM�] , % = [ ELM�] e & = [ FLM�]com L ∈ {��S} e M ∈ {��T} .




x &RPXWDWLYLGDGH: $ + % = % + $'HPRQVWUDomR:

$ + % = [ DLM�+ ELM�] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�� = [ ELM�+ aLM�] FRPXWDWLYLGDGH�GD DGLomR�HP��£

= % + $ GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV

x $VVRFLDWLYLGDGH: � $ + % ��&� =�$ ��%��&�� 'HPRQVWUDomR:

�$ + %��&� = [DLM�+ ELM] + [FLM] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�� = [(DLM�+ ELM) + FLM] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV

= [DLM�+ (ELM + FLM)] DVVRFLDWLYLGDGH�GD�DGLomR�HP��£= [DLM] + [ELM + FLM] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�

� = $ ��%��&�� GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV

x ([LVWrQFLD�GH�(OHPHQWR�1HXWUR: �SlT + $ = $ + �SlT = $'HPRQVWUDomR:

�SlT + $ = [�£]SlT + [DLM] GHILQLomR�GD�PDWUL]�QXOD = [ �£ + DLM�] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�

� = [ aLM�] �£ p R�HOHPHQWR�QHXWUR�GD DGLomR�HP��£= $ GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV




$ + �SlT = [DLM] + [�£]SlT GHILQLomR�GD�PDWUL]�QXOD = [ DLM�+ �£ ] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�

� = [ aLM�] �£ p R�HOHPHQWR�QHXWUR�GD DGLomR�HP��£= $ GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV

x ([LVWrQFLD�GH�(OHPHQWR�6LPpWULFR:

$ + (–$) = (–$) +�$ = �SlTonde –$ = [ - DLM�]

'HPRQVWUDomR:

$ + (–$) = [ DLM�+ (-DLM) ] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�

� = [ �£ ]SlT HOHPHQWR�VLPpWULFR�GD�DGLomR�HP��£= �SlT GHILQLomR�GD�PDWUL]�QXOD

(–$) + $ = [ (-DLM) + DLM�] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�

� = [ �£ ]SlT HOHPHQWR�VLPpWULFR�GD�DGLomR�HP��£= �SlT GHILQLomR�GD�PDWUL]�QXOD

x Verificadas esta quatro propriedades, podemos concluir que

R FRQMXQWR 0SlT(£), PXQLGR�GD�RSHUDomR�DGLomR�GH�PDWUL]HV,

é um JUXSR�DEHOLDQR (ou FRPXWDWLYR).




ÅÅ 00XXOOWWLLSSOOLLFFDDoommRR GGHH XXPPDD 00DDWWUULL]] SSRRUU XXPP ((VVFFDDOODDUU

xx Consideremos uma PDWUL]� $ = [ DLM�] ∈0SlT(£) e um HVFDODU D∈£.

A matriz D $ ∈ 0SlT(£) é o resultado da multiplicação

de cada elemento da matriz $ pelo escalar D.

Ou seja,

D $ = [ D DLM�] com L ∈ {��S} e M ∈ {��T} .

xx Por exemplo,

se então

xx Definidas a adição entre matrizes e a multiplicação por um escalar, podemos calcular FRPELQDo}HV�OLQHDUHV�GH�PDWUL]HV.

Por exemplo dadas,

calcule � $�±��% .

> 33UURRSSUULLHHGGDDGGHHVV GGDD 00XXOOWWLLSSOOLLFFDDoommRR SSRRUU XXPP ((VVFFDDOODDUU

x De modo análogo, as propriedades seguintes são consequência directa das propriedades da adição e da multiplicação em £.

&DStWXOR��±�0DWUL]HV��10�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�



x Sejam $��%�∈0SlT(£) onde $ = [ DLM�] e % = [ ELM�]com L ∈ {��S} e M ∈ {��T}

e sejam D, E ∈ £.

x 3URSULHGDGH��: D � $ + % ��= D $ ��D %'HPRQVWUDomR:

D �$ + %�� = D [DLM�+ ELM] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�� = [ D (DLM�+ ELM) ] GHILQLomR�GD�PXOWLSOLFDomR�GH�XPD�� PDWUL]�SRU�XP�HVFDODU

= [ D DLM�+ D ELM ] GLVWULEXWLYLGDGH�GD PXOWLSOLFDomR�� HP�UHODomR�j�DGLomR�HP��£

= [ D DLM�] + [ D ELM ] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�� = D $ ��D % GHILQLomR�GD�PXOWLSOLFDomR�GH�XPD�� PDWUL]�SRU�XP�HVFDODU

x 3URSULHGDGH��: � D + E ) $ = D $ ��E $'HPRQVWUDomR:

�D + E) $ = �D + E) [DLM] GHILQLomR�GH�PDWUL]�� = [ �D + E) DLM ] GHILQLomR�GD�PXOWLSOLFDomR�GH�XPD�� PDWUL]�SRU�XP�HVFDODU

= [ D DLM�+ E DLM ] GLVWULEXWLYLGDGH�GD PXOWLSOLFDomR�� HP�UHODomR�j�DGLomR�HP��£

= [ D DLM�] + [ E DLM ] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�� = D $ ��E $ GHILQLomR�GD�PXOWLSOLFDomR�GH�XPD�� PDWUL]�SRU�XP�HVFDODU




x 3URSULHGDGH��: D � E $ � = �D E� $� 'HPRQVWUDomR�FRPR�H[HUFtFLR��

x 3URSULHGDGH��: �£ $ = $onde �£ é o elemento neutro da multiplicação em £.

No âmbito deste curso, �£ é a própria XQLGDGH.

'HPRQVWUDomR�FRPR�H[HUFtFLR��

x 3URSULHGDGH��: �£ $ = �SlTonde �£ é o elemento absorvente da multiplicação em £.

No âmbito deste curso, �£ é o próprio ]HUR.

'HPRQVWUDomR�FRPR�H[HUFtFLR��

xx Por exemplo, dadas duas matrizes de 0�l�(¸), tais que,

aplicando propriedades anteriores, calcule,




xx 7HRUHPD�� Sejam $ = [ DLM�] ∈ 0SlT(£) uma PDWUL],

com L ∈ {��S} e M ∈ {��T}

e D∈£ um HVFDODU.Então,

D $ = �SlT x D = �£ ½ $ = �SlT

'HPRQVWUDomR��D $ = �SlT x D [DLM]SlT = �SlT

x [D DLM]SlT = �SlT GHILQLomR�GD�PXOWLSOLFDomR�GH�� XPD�PDWUL]�SRU�XP�HVFDODU� x [D DLM]SlT = [ �£ ]SlT GHILQLomR�GD�PDWUL]�QXOD�

x D DLM�= �£ , � L ∈ {��S} , M ∈ {��T}

GHILQLomR�GD�LJXDOGDGH�GH�PDWUL]HV

x D = �£ ½ DLM�= �£ , � L ∈ {��S}, M ∈ {��T}

OHL�GR�DQXODPHQWR�GR�SURGXWR�HP £

x D = �£ ½ [DLM]SlT = [ �£ ]SlT

x D = �£ ½ $ = �SlTT�H�G��




ÅÅ 00XXOOWWLLSSOOLLFFDDoommRR GGHH 00DDWWUULL]]HHVV

xx Duas PDWUL]HV [$]SlT e [%]QlP dizem-se HQFDGHDGDV quando T �Q.

xx O SURGXWR $% só pode ser efectuado se as matrizes $ e % forem encadeadas.

xx Nesse caso, sendo $ uma matriz do tipo S l T e % uma matriz do tipo T l P,

o produto $% será uma matriz do tipo S l P.

xx Naturalmente, o produto %$ destas duas matrizes só seria possível se S �P.

Nesse caso, $% e %$ seriam matrizes do mesmo tipo S l S mas não necessariamente iguais.

xx Note ainda que, se $ for uma matriz do tipo S l T e % uma matriz do tipo T l S,

o produto $% será uma matriz do tipo S l S e o produto %$ será uma matriz do tipo T l T.




xx Comecemos por considerar o caso particular do SURGXWR�GH�XPD�PDWUL]�OLQKD�SRU�XPD�PDWUL]�FROXQD.

xx Dadas as matrizes [$]�lQ e [%]Ql�

definimos o SURGXWR $% por,

portanto uma matriz do tipo � l �.

xx Por exemplo,

xx O caso geral da multiplicação de duas matrizes é uma generalização desta operação.

xx Sejam $ e % matrizes do tipo S l T e T l P, respectivamente.

O SURGXWR de $ por %, representado por $%, é a matriz do tipo S l Pque se obtém, calculando FDGD�HOHPHQWR �L��M� como

o SURGXWR�GD�OLQKD L da matriz $ SHOD�FROXQD M da matriz %.




xx Claro que o SURGXWR�GD�OLQKD L da matriz $ SHOD�FROXQD M da matriz % só é possível se tiverem ambas a mesma dimensão, isto é, se as matrizes forem HQFDGHDGDV.

xx Assim, dadas duas matrizes $ = [ DLN�] e % = [ ENM�]com L ∈ {��S} , N ∈ {��T} e M ∈ {��P}

o SURGXWR da matriz $ pela matriz % é a matriz $% do tipo S l P definida por.

$% = [ FLM�] , com L ∈ {��S} e M ∈ {��P}

onde cada,




xx Por exemplo, dadas as matrizes,

temos o produto,

xx Um WUXTXH�DX[LOLDU consiste em dispor as matrizes na forma,

o que também facilita a verificação das dimensões.

xx Por exemplo, para as matrizes,

temos o produto,




enquanto que,

xx Vemos portanto que a operação multiplicação de matrizes QmR p�FRPXWDWLYD.

xx Outras propriedades da multiplicação habitual entre escalares deixam também de se verificar. Por exemplo, QmR�p�YiOLGD�D�OHL�GR�DQXODPHQWR�GR�SURGXWR.

Facilmente encontramos um contra-exemplo, pois com,

e

obtemos,

xx Também QmR p�YiOLGD�D�OHL�GR�FDQFHODPHQWR�GR�SURGXWR.

Por exemplo,

dadas as matrizes $, % e &, podemos ter $%� �$& mas com % z &.

xx Obviamente, o TXDGUDGR $� $$ de uma matriz $ do tipo S l T só está definido se S �T, ou seja, se a matriz for quadrada.

Por exemplo,




xx Note-se também que, não sendo válida a lei do anulamento do produto,

podemos ter $� �SlS com $ z �SlS.

Por exemplo,

xx Para uma PDWUL]�TXDGUDGD $ do tipo Q l Q e um LQWHLUR N ≥ �, definimos

SRWrQFLD�GH�RUGHP�N da matriz por,

$N $��$��$

N

xx Se N ��, utilizamos a convenção $� ,Q.

xx Apesar destas restrições, continuam a ser válidas algumas das propriedades fundamentais da multiplicação habitual ...

> 33UURRSSUULLHHGGDDGGHHVV GGDD 00XXOOWWLLSSOOLLFFDDoommRR GGHH 00DDWWUULL]]HHVV

No que se segue, D é um escalar e assumimos que as matrizes $, % e &têm os tamanhos adequados.




x ([LVWrQFLD�GH�(OHPHQWR�1HXWUR: ,S $ = $% ,T = %

x $VVRFLDWLYLGDGH: $ � % &�� =��$�%��&�

x $VVRFLDWLYLGDGH�PLVWD: D � $�%�� = � D $ ��%�� = $ ��D % ��

x 'LVWULEXWLYLGDGH: $ � % ��&�� =�$�%��$�&� � $ + % ��&��= $ &��%�&

ÅÅ 77UUDDQQVVSSRRVVWWDD GGHH XXPPDD 00DDWWUULL]]

xx Seja $ = [ DLM�] uma matriz do tipo S l T.

Chama-se WUDQVSRVWD�GD�PDWUL] $ e representa-se por $7

à matriz do tipo T l S que se obtém de $, trocando as linhas pelas colunas.

Ou seja, cada elemento,

D7LM� �DML��, com L ∈ {��S} e M ∈ {��T}

Por exemplo,




> 33UURRSSUULLHHGGDDGGHHVV GGDD 77UUDDQQVVSSRRVVWWDD GGHH XXPPDD 00DDWWUULL]]No que se segue, D é um escalar e assumimos que as matrizes $, e %têm os tamanhos adequados.

x � $7 �7 = $'HPRQVWUDomR:

Seja $ = [ DLM�] , com L ∈ {��S} e M ∈ {��T}.

A matriz transposta $7 [ D7LM�] [ DML��] ,

portanto a transposta da transposta � $7 �7 [ D7ML�] [ DLM��] = $ .

x � $��%��7 = $7 � %7

'HPRQVWUDomR:

Sejam $ = [ DLM�] e % = [ ELM�], com L ∈ {��S} e M ∈ {��T}.

Por definição de adição de matrizes,

$ ��%� �&� [ FLM�] com FLM�� DLM�� ELM Então a transposta da soma,

� $��%��7 = &7 [ F7LM�] [ FML��] , com FML�� DML�� EML Por outro lado também,

$7 � %7 [ D7LM�] + [�E7LM�] = [�DML��] + [�EML��]= [�DML� +�EML��]




x � D $ �7 = D $7

'HPRQVWUDomR:

Seja $ = [ DLM�], com L ∈ {��S} e M ∈ {��T}.

Partindo da definição de transposta, $7 [ D7LM�] [ DML��]e multiplicando por D, D $7 D [ D7LM�] D [ DML��]

[ D DML��]Por outro lado, partindo da definição de produto

de uma matriz por um escalar D $ = D [ DLM��] = [ D DLM��]e transpondo, � D $ �7 = � D [ DLM��] �7

= � [ D DLM��] �7= [�D DML��]

x � $�%��7 = %7 $7

Comecemos com um exemplo,




sendo,

verificamos que,

'HPRQVWUDomR:

Dadas $ = [ DLM�] do tipo S l T e % = [ ELM�] do tipo T l P,

chamemos & à PDWUL]�SURGXWR do tipo S l P.

$ % = & = [ FLM�] onde,

com L ∈ {��S} e M ∈ {��P} .

Então a transposta do produto será,

� ��$�%��7 = &7 [ F7LM�] [ FML��] do tipo P l S.

Por outro lado, tomemos as matrizes transpostas,

$7 [ D7LM�] [ DML��] do tipo T l S%7 [ E7LM�] [ EML��] do tipo P l T

e multipliquemos por ordem inversa.




Chamemos ' a esta matriz produto, do tipo P l S.

%7 $7 = [�E7LM��] [D7LM��] = ' = [ GLM�]com L ∈ {��P} e M ∈ {��S}

onde,

com L ∈ {��S} e M ∈ {��P}

Assim, &7 = ' e portanto � $�%��7 = %7 $7.

No exemplo anterior, analisemos o cálculo de G�� F��,




ÅÅ 66LLPPHHWWUULLDD HH DDQQWWLL��VVLLPPHHWWUULLDD GGHH PPDDWWUULL]]HHVV

xx Uma matriz $ = [ DLM�] chama-se VLPpWULFD se $ �$7

Obviamente, para que a matriz seja simétrica é necessário que seja TXDGUDGD.

A designação de�VLPHWULD (em relação à diagonal principal) ilustra o facto

dos HOHPHQWRV�RSRVWRV�serem�LJXDLV, ou seja,

DLM� �DML��, � L, M ∈ {��S}

Por exemplo,




xx Uma matriz $ = [ DLM�] chama-se DQWL�VLPpWULFD se� $7 – $

Do mesmo modo, para que $ seja anti-simétrica é necessário que seja

uma matriz TXDGUDGD.

Os HOHPHQWRV�RSRVWRV�são�VLPpWULFRV entre si e os elementos

da GLDJRQDO�SULQFLSDO terão de ser todos QXORV, ou seja,

DLM� ��DML��, � L, M ∈ {��S}

Como por exemplo,

xx ([HUFtFLR: Sendo $ uma matriz quadrada, prove que:

D� $ ��$7é simétrica

E� $ – $7é anti-simétrica

D� $ ��$7é VLPpWULFD

Como por exemplo,




5HVROXomR�$ ��$7 = [ DLM ] + [ D7LM�]

= [ DLM�] + [ DML�] = [ DLM�+ DML�] � L, M ∈ {��S}

� $��$7�7 = [ (DLM�+ DML�7 ]

= [ (DLM�7 + (DML�7 ] WUDQVSRVWD�GD�VRPD

= [ DML�+ DLM�] = [ DLM�+ DML�] � L, M ∈ {��S}

= $ ��$7

E� $ – $7é DQWL�VLPpWULFD

Como por exemplo,

5HVROXomR�$ ±�$7 = [ DLM�] - [ D7LM�]

= [ DLM�] - [ DML�] = [ DLM�- DML�] � L, M ∈ {��S}

± ��$�±�$7�7 = [ - (DLM�- DML�7 ]

= [ - (DML�- DLM� ] WUDQVSRVWD�GD�VRPD�GLIHUHQoD

= [ DLM�- DML�] � L, M ∈ {��S}

= $ ±�$7




xx ([HUFtFLR: Mostre que qualquer matriz quadrada se pode decompor na

VRPD�GH�XPD�PDWUL]�VLPpWULFD�FRP�XPD�PDWUL]�DQWL�VLPpWULFD.

5HVROXomR��Nos exercícios anteriores verificámos que,

$ ��$7é uma matriz VLPpWULFD

$ ±�$7é uma matriz DQWL�VLPpWULFD

somando,

� $��$7 � ��$�±�$7 � ��$

portanto,

$ �ò��$��$7 � ��ò��$�±�$7 �onde

ò ��$��$7 � é uma matriz VLPpWULFD

ò ��$�±�$7 � é uma matriz DQWL�VLPpWULFD

5HVROXomR��Sem utilizar os resultados anteriores, pretendemos decompor,

$ �%��& onde % é uma matriz VLPpWULFD� % �%7

e& é uma matriz DQWL�VLPpWULFD� ±&� �&7

Então a transposta de $, $7 �%��&�7 %7 � &7

%�±�&




Assim, para calcular % e& temos GXDV�HTXDo}HV,

$ �%��&�� $7 %�±�&

somando as duas equações obtemos, $ ��$7 ��%

% ò ��$��$7 �

e subtraindo as duas equações obtemos, $ ±�$7 ��&

& ò ��$�±�$7 �

e portanto $ �%��&,

$ �ò��$��$7 � ��ò��$�±�$7 �

e também $7 %�±�&,

$7 ò��$��$7 � ±�ò��$�±�$7 �




xx ([HUFtFLR: Em cada caso, SURYH que a afirmação é verdadeira

ou apresente um FRQWUD�H[HPSOR mostrando que é falsa.

Sejam $, % e & matrizes de tamanhos adequados.

D� Se $ ��%� �$��& então % e & têm o mesmo tamanho.

E� Se $ ��%� ��, então % ��.

F� Se o elemento �� da matriz $ é �,

então o elemento �� de $7é ±�.

G� Se $ �±$, então $ ��.

H� Para toda a matriz quadrada, $ e $7têm a mesma diagonal principal.

I � A igualdade �$��%�� $� � �$%��%�

é sempre válida para quaisquer matrizes.

J� Se $� $ então $ �� ou $ �,.

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