&DStWXOR –0DWUL]HVLQYHUWtYHLV ’ HWHUPLQDQWHV - …sweet.ua.pt/rosalia/cadeiras/AL/ALcap3.pdf ·...

&DStWXOR��±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV��1BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

ÈOJHEUD�/LQHDU�� 5RViOLD�5RGULJXHV��

&DStWXOR��±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV

ÅÅ $$OOJJXXPPDDVV TTXXHHVVWW}}HHVV

xx Já sabemos somar, subtrair e multiplicar matrizes.

Porque não aprendemos a dividir matrizes?

xx Sabemos que a UHVROXomR�GH�XP�VLVWHPD consiste na determinação da

VROXomR ; da HTXDomR�PDWULFLDO $ ;� �%.

Então porque não calcular directamente ; �$��% ?

Por exemplo, para

bastaria começar por calcular,

e depois apenas multiplicar,

xx Acontece que:

¨̈ $��nem sempre existe

¨̈ Mesmo que $��exista, é tão difícil calculá-la como resolver o sistema.




xx Neste capítulo trataremos apenas de PDWUL]HV�TXDGUDGDV.

ÅÅ 00DDWWUULL]]HHVV LLQQYYHHUUWWttYYHHLLVV

xx Uma matriz $ ∈ 0QlQ(£) diz-se LQYHUWtYHO, ou QmR�VLQJXODU,se existir uma matriz % ∈ 0QlQ(£) tal que,

$ %� �%�$� �,QA matriz % chama-se LQYHUVD da matriz $.

xx Por exemplo a matriz

é LQYHUWtYHO, porque existe a matriz

tal que $ %� �%�$� �,�, ou seja, a matriz % é LQYHUVD de $.

xx 3URSRVLomR: A LQYHUVD de uma matriz quadrada p ~QLFD.

'HPRQVWUDomR: Suponhamos que $ tinha duas inversas: % e &.

Nesse caso, pela definição, $ %� �%�$� �,Qe também $ &� �&�$� �,Q

Então, pela definição de matriz identidade, e substituindo,

% �%�,Q %��$�&�� %�$��&� �,Q & �&




xx Uma vez que a LQYHUVD da matriz $ é ~QLFD, podemos representá-la por $��.

xx Como veremos mais tarde, se alguma matriz % satisfizer $ %� �,Q, então

também satisfaz�%�$� �,Q e portanto % é a inversa de $.

> $$OOJJXXPPDDVV SSUURRSSUULLHHGGDDGGHHVV GGDD ,,QQYYHHUUVVDD

x 3URSULHGDGH��: ,Q é invertível e � ,Q �� ,Q

x 3URSULHGDGH��: Se $ é invertível então $�� é invertível e � $�� $

x 3URSULHGDGH��: Se $ e % são invertíveis então $ % é invertível

e �$�%�� %��$��

'HPRQVWUDomR: Se $��%�∈ 0QlQ(£) são invertíveis,

então existem $�� %��∈ 0QlQ(£) tais que,

$ $�� ,Q e % %�� ,QCalculando o produto,

�$�%��%��$�� $��%�%�� $��(DVVRFLDWLYLGDGH)

$��,Q $��(LQYHUVD)

$��$��(LGHQWLGDGH)

,Q (LQYHUVD)




e, como provaremos, nesse caso também,

�%��$�� $�%�� ,Qe portanto $ % é invertível e %��$��

a sua matriz inversa.

Note que é igualmente simples verificar que,

�%��$�� $�%�� %��$��$��%�(DVVRFLDWLYLGDGH)

%��,Q %��(LQYHUVD)

%��%��(LGHQWLGDGH)

,Q (LQYHUVD)

x Portanto, D LQYHUVD�GR�SURGXWR�p�R�SURGXWR�GDV�LQYHUVDV�SRU�RUGHP�LQYHUVD

e este resultado pode ser generalizado ao SURGXWR�GH�YiULDV�PDWUL]HV,

� $� $� ��$N �� $N��$��$��

Como caso particular deste, temos a potência de uma matriz.




x 3URSULHGDGH��: Se $ é invertível então, para todo o N ∈ ´ ,

$Né invertível e � $N �� $��N

'HPRQVWUDomR: Pelo 3ULQFtSLR�GD�,QGXomR�0DWHPiWLFD, basta mostrar que:

D� a propriedade é verdadeira para N ��

E� VH a propriedade for verdadeira para NHQWmR também é verdadeira para N��

e a propriedade fica então provada para todo o N ∈ ´.

'HPRQVWUDomR�SRU�,QGXomR��

D� Para N ��a propriedade é evidente pois $� $� E� (SDVVDJHP�LQGXWLYD)

$VVXPLQGR� que� � $N �� $��NSURYHPRV� que� � $N�� $��N��

Calculando,�� $N�� $N $ �� (SRWrQFLD�GH�XPD�PDWUL])

$��$N �� (LQYHUVD�GR�SURGXWR)

$��$��N (KLSyWHVH�GH�LQGXomR)

��$��N�� (SRWrQFLD�GH�XPD�PDWUL])

e assim fica provada a propriedade para todo o N ∈ ´.




x 3URSULHGDGH��: Se $ é invertível então $Té invertível

e � $T �� $��T

'HPRQVWUDomR: Se $ é invertível, então existe $��tal que $ $�� $��$� �,QProvemos que � $��T é a matriz inversa de $T

Calculando o produto,�$T � $��T ��$��$ �T (WUDQVSRVWD�GR�SURGXWR)

��,Q �T (GHILQLomR�GH�LQYHUVD)

,Q (GHILQLomR�GH�WUDQVSRVWD)

e, como provaremos, nesse caso também,

� $��T $T ,Qe portanto $T

é invertível e � $��T a sua matriz inversa.

x 3URSULHGDGH��: Se $ é invertível e D ��então D$ é invertível

e � D$ �� D��$�� D $��

'HPRQVWUDomR: Como exercício.�

x ��




x ([HUFtFLR: Sendo $ e % matrizes do tipo QlQ, prove que:

D� $2 ,Q ¾ $ �$��

E� Se $2 %2 �$�%�2 ,Qentão $%� �%�$

ÅÅ &&iiOOFFXXOORR GGDD 00DDWWUULL]] ,,QQYYHHUUVVDD

xx Consideremos por exemplo a matriz,

Pretendemos averiguar se $ é uma matriz LQYHUWtYHO e, em caso afirmativo,

FDOFXODU�D�VXD�LQYHUVD.

Ou seja, queremos determinar uma matriz,

tal que $ %� �,� .

xx Como sabemos, basta determinar uma matriz % tal que $ %� �,� ,

pois fica também provado que $ é LQYHUWtYHO e que % $� �,�.

xx Nesse caso, ficamos também a saber que a matriz % �$�� é ~QLFD.




xx Partindo então de $ %� �,�,

ou seja,

onde, igualando colunas,

xx Temos assim GRLV�VLVWHPDV para resolver,

xx Contudo, como ambos os sistemas têm D PHVPD�PDWUL]�GH�FRHILFLHQWHV, as operações elementares são as mesmas,




xx Temos então para VROXo}HV�GRV�GRLV�VLVWHPDV,

xx Está portanto encontrada a matriz %,

xx Contudo, se as operações elementares efectuadas sobre as duas matrizes são as mesmas, podemos MXQWDU�RV�GRLV�SURFHVVRV.

Partindo de uma matriz ampliada da forma [ $ _�,� ] ,

chegamos a uma matriz ampliada da forma [ ,� _ %�] onde % �$�� .

&DStWXOR��±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV��10�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�



¨̈ $OJRULWPR�SDUD�FDOFXODU�D�PDWUL]�LQYHUVD�Dada uma matriz $ ∈ 0QlQ(£) :

�� Construir uma matriz ampliada da forma [ $ _�,Q ].

�� Executar sobre esta matriz uma sequência de operações elementares,

de modo a transformar $ na matriz identidade ,Q.

No final do processo obtemos uma matriz ampliada da forma [ ,Q _ $�� ].

xx Caso não seja possível transformar $ na matriz identidade ,Q,

então a matriz $ QmR�p�LQYHUWtYHO.

xx Por exemplo para a matriz,

Partindo de [ $ _�,� ],




E portanto,




xx ([HUFtFLR: Mostre que a matriz

é QmR�VLQJXODU e calcule a sua LQYHUVD.

6ROXomR:

([HUFtFLR: Uma das seguintes matrizes é VLQJXODU.Calcule a matriz LQYHUVD da outra.

xx ([HUFtFLR: Determine o valor de N para o qual é VLQJXODU a matriz,

6ROXomR: $ é singular para N �±��




ÅÅ 33HHUUPPXXWWDDoo}}HHVV

xx Chamamos SHUPXWDomR dos elementos do conjunto { ��Q�}a uma lista desses Q elementos, apresentados qualquer ordem.

Representamos uma permutação por � L�� L�� LQ �onde cada LN ∈ { ��Q�} para todo o N ∈ { ��Q�}e LN � LM para todo o M � N.

xx Por exemplo, para o conjunto { ��},

permutações possíveis são: � ��, � ��, ...

xx O conjunto de WRGDV as permutações de { ��Q�} denota-se por 6Q.

Para um conjunto de Q elementos existem Q� permutações, ou seja, _6Q_ �Q�

xx Por exemplo para o conjunto { ��}, _6�_ ��

��

Para inferir que _6�_ ��_6�_ �� basta notar que, para cada permutação

de { ��}, existem � SHUPXWDo}HV�GLVWLQWDV de { ��} .

��




xx É esse o caminho para a GHPRQVWUDomR�SRU�LQGXomR de que _6Q_ �Q�.

xx Dada uma permutação � L�� L�� LQ � ∈ 6Q , o par � LN� LM � com N ��M chama-se uma LQYHUVmR se LN > LM.Ou seja, o SDU�GH�HOHPHQWRV aparece WURFDGR em relação ordem inicial.

xx Por exemplo na permutação��∈ 6�existem � LQYHUV}HV:

��, ��, ��, ��e ��

xx Para determinar WRGDV�DV�LQYHUV}HV�GH�XPD�SHUPXWDomR � L�� L�� LQ �basta considerar o SULPHLUR elemento da permutação�L� e encontrar todos os

elementos que são PHQRUHV que L� e estão GHSRLV� de L�.

Depois repetir o processo para os UHVWDQWHV elementos L�� LQ�� .

xx Uma SHUPXWDomR � L�� L�� LQ � ∈ 6Q é SDU se o Q~PHUR�WRWDO�GH�LQYHUV}HV que nela ocorrem é SDU.Uma SHUPXWDomR�p�tPSDU�se o número total de inversões é ímpar.

xx Por exemplo, para Q ��, as � permutações sobre o conjunto { ��},

SHUPXWDomR�� WRWDO�GH�LQYHUV}HV�� SDULGDGH��

� �� SDU�� tPSDU�




xx E para Q ��, as � permutações sobre o conjunto { ��},

SHUPXWDomR�� WRWDO�GH�LQYHUV}HV�� SDULGDGH��

�� SDU�� SDU�� SDU�� tPSDU�� tPSDU�� tPSDU��

xx Para uma dada permutação � L�� L�� LQ � definimos V,

xx Assim, podemos definir o VLQDO�GH�XPD�SHUPXWDomR como,

�±��V �� se a permutação é SDU �±��V ±� se a permutação é tPSDU




ÅÅ ''HHWWHHUUPPLLQQDDQQWWHHVV

xx Para uma dada matriz $ = [ DLM�] ∈ 0QlQ(£),

definimos GHWHUPLQDQWH de $, representado por GHW�$ ou _$_ , como o escalar de dado por,

onde �±��V é o VLQDO�GD�SHUPXWDomR,

�±��V �� se � L�� LQ � é SDU �±��V ±� se � L�� LQ � é tPSDU

xx Para Q ��,

xx Para Q ��,

�� SDU� tPSDU�




xx Para Q ��,

xx Para este cálculo existem YiULDV�PQHPyQLFDV.

Por exemplo,

�� ±�

xx Outra mnemónica, mais conhecida por 5HJUD�GH�6DUUXV, tem duas possíveis versões.

A �� YHUVmR consiste em UHSHWLU�DV�GXDV�SULPHLUDV�FROXQDV,

�� 6RPDU os produtos das � GLDJRQDLV�SULQFLSDLV,




�±�e VXEWUDLU�os produtos das � GLDJRQDLV�VHFXQGiULDV.

xx A �� YHUVmR da 5HJUD�GH�6DUUXV consiste em UHSHWLU�DV�GXDV�SULPHLUDV�OLQKDV,

�±�

�� De modo análogo, VRPDU os produtos das � GLDJRQDLV�SULQFLSDLV,

e VXEWUDLU�os produtos das � GLDJRQDLV�VHFXQGiULDV.

xx Escolha uma mnemónica e calcule o determinante de,




_$_��

��l � l ��l � l � ��l ��l � �� ±��l � l � ��±��l � l � ��±��l ��l � ��

xx Pela própria definição de determinante, o Q~PHUR�GH�WHUPRV�D�FDOFXODU é igual

ao Q~PHUR�WRWDO�GH�SHUPXWDo}HV, ou seja, Q�.Tal como no exemplo anterior, para Q ��, foram calculados � termos, sendo

cada termo o produto de � elementos.

Para valores superiores de Q este cálculo torna-se incomportável.

Mesmo para Q ��, seriam necessários �� termos.

xx Para uma dada matriz $ = [ DLM�] ∈ 0QlQ(£), seja $��L�_�M�� a submatriz

quadrada, de ordem Q��, que se obtém de $ eliminando a linha L e a coluna M.Chama-se FRPSOHPHQWR�DOJpEULFR, ou FR�IDFWRU do elemento DLM ao escalar,

$LM� ��L�M�GHW� $��L�_�M��

xx Por exemplo,




ÅÅ 22 77HHRRUUHHPPDD GGHH //DDSSOODDFFHH

xx Para uma dada matriz $ = [ DLM�] ∈ 0QlQ(£),

para quaisquer L, V ∈ { ��Q�}.

xx Assim, para calcular o determinante de uma dada matriz, basta HVFROKHU�XPD�ILOD (linha ou coluna), PXOWLSOLFDU�cada um dos seus elementos pelo respectivo FR�IDFWRU e VRPDU.

xx Para o exemplo anterior,

Escolhendo a SULPHLUD�FROXQD,




Como exercício, escolha qualquer RXWUD�OLQKD�RX�FROXQD e confirme o resultado.

xx Deste modo, a aplicação do 7HRUHPD�GH�/DSODFH permite-nos transformar o

cálculo de um determinante de ordem Q, no cálculo de Q determinantes de

ordem Q��.

xx Por exemplo para a matriz,

desenvolvendo ao longo da SULPHLUD�OLQKD.

_ $�_��




xx Naturalmente, escolhemos a fila que nos facilite os cálculos.

Por exemplo para a matriz,

desenvolvendo ao longo da VHJXQGD�FROXQD,

Neste caso, podemos mesmo evitar o cálculo do determinante de ordem �,

desenvolvendo ao longo da TXDUWD�OLQKD,




> $$OOJJXXPPDDVV SSUURRSSUULLHHGGDDGGHHVV GGRR ''HHWWHHUUPPLLQQDDQQWWHHSejam $ = [ DLM�] e % = [ ELM�] matrizes quadradas de ordem Q.

x 3URSULHGDGH��: Se $ tem uma ILOD (linha ou coluna) GH�]HURV,

então _$_� ��.

3RUTXr"�

x 3URSULHGDGH��: Se $ é uma PDWUL]�WULDQJXODU (superior ou inferior)

então _$_� �D��D�� DQQ.

3RUTXH�D�SULPHLUD�FROXQD��RX�OLQKD��GH�FDGD�XPD�GDV�VXFHVVLYDV�VXE�PDWUL]HV�WHP�VHPSUH�Vy�XP�HOHPHQWR��R GD�GLDJRQDO�SULQFLSDO��

Por exemplo,

&RPR�FDVR�SDUWLFXODU��YHULILTXH�TXH�R�PHVPR�DFRQWHFH�FRP�XPD�PDWUL]�GLDJRQDO��




x 3URSULHGDGH��: Se a uma linha (ou coluna) de uma matriz

DGLFLRQDUPRV�XP�P~OWLSOR de outra linha (ou coluna),

o valor do determinante não se altera.

Por exemplo, sabendo que,

se adicionarmos à segunda linha o dobro da primeira,

verificamos que,

Assim, por exemplo sabendo que,

podemos também calcular,




x 3URSULHGDGH��: Se a matriz $ tem GXDV�OLQKDV (ou colunas) LJXDLV,

então _$_� ��.

3HOD�SURSULHGDGH�DQWHULRU��SRGHPRV�VXEWUDLU�DV�GXDV�OLQKDV��RX�FROXQDV��LJXDLV�H�REWHU�XPD�OLQKD��RX�FROXQD��GH�]HURV��( JHQHUDOL]DQGR��

Se a matriz $ tem GXDV�OLQKDV (ou colunas) SURSRUFLRQDLV,

então _$_� ��.

Assim, por exemplo o determinante,

pode ser calculado de duas formas:

ou detectando duas colunas proporcionais,

ou transformando numa matriz triangular com um zero na diagonal.




x 3URSULHGDGH��: Se WURFDUPRV�GXDV�OLQKDV (ou colunas) de uma matriz

então o determinante WURFD�GH�VLQDO.

Por exemplo, sabendo que,

se trocarmos as duas linhas verificamos que,

Assim, podemos por exemplo calcular,

x 3URSULHGDGH��: Se PXOWLSOLFDUPRV�XPD OLQKD�(ou coluna) de uma matriz

por um escalar Dentão o GHWHUPLQDQWH�PXOWLSOLFD por D.




Partindo de,

e multiplicando a segunda linha por D obtemos,

Assim, por exemplo para,

como�_�$�_� ��então �_�%�_� ��_�$�_� ��.

Naturalmente, multiplicar toda a matriz por D consiste em multiplicar todas as

suas linhas (ou colunas) por D. Por isso ...

x 3URSULHGDGH��: _ D $ _� ��Dn | $ _�Por exemplo para,

como�_�$�_� ��então �_�%�_�� _ $�_� ��




x 3URSULHGDGH��: _ $T _ �| $ _�

É simples verificar que, para Q ��,

Para dimensões superiores basta verificar que, pelo 7HRUHPD�GH�/DSODFH,o desenvolvimento poder ser feito tanto ao longo de uma OLQKD como de uma FROXQD.

x 3URSULHGDGH��: Sejam $ e % duas matrizes que só diferem na linha L.e seja & uma matriz cuja linha L é a soma das linhas Lde $ e de %, e igual em todas as outras.

Então, _ &�_� �_�$�_��_�%�_ Por exemplo para Q ��,

onde as matrizes $ e % só diferem na segunda linha,

e a segunda linha da matriz & é a soma,




Assim podemos aplicar

por exemplo,

x 3URSULHGDGH��: _ $�%�_� �_�$�_�_�%�_ Como exercício, verifique que, para Q ��,




Por exemplo para,

_ $�%�_�� _�$�_�_�%�_�� ±�� ±��

Note, no caso de $ �%,

esta propriedade permite-nos concluir que _ $� _ �_�$�_�.

E generalizando para qualquer Q ∈ ´, _ $Q _ �_�$�_Q.

x 3URSULHGDGH��: Se $ é uma matriz LQYHUWtYHO,então _$_�� e _ $��_� �_�$�_�� _�$�_.

Por exemplo para,

cuja matriz inversa é,

temos,

� _�$�_� �±�� _ $��_� ��±�� _�$�_��

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