SUBLIMAÇÃO EM UMA CAMADA LIMITE IAMINAR

EM PRESENÇA DE RADIAÇÃO

GERALD PELIKS

TESE SUEMETIDA AO CORPO !XONI'E DA COORDENAÇÃO OOS

PROGRAMAS PÕS-GRADUADOS DE ENGENHARIA DA UNIVERSI -

DADE FEDERAL DO RIO DE Jl\NEIRO C(M) PARI'E DOS RE­

QUISITOS NEx::ESs/ÍRIOS PAHA A OBTENÇÃO DE GRAU DE

ME'STRE EM CI~IA (M.Sc,)

Aprovada por:

E~ t\vt s-f~

AgÔsto de 1967

Aos meus pais dedico esta tese:

à minha mãe, pela bondade que

me inspirou desde pequeno ; ao

meu pai, por suas lições de di.il,

nidade, A ambos devo o que sou

e o que venho obtendo pelo est!:!.

do e pelo trabalho, Esta pesqu.!_

sa, fruto de esfôrço e dedica­

çao - sentimentos por êles incu

tidos em mim - por isso mesmo

lhes pertence,

HOMENAGENS

Ao Professor Ephraim Maurice ·Sparrow por sua firme e dedicada,

,orientação, Aos Professores Alberto Luiz Coimbra e Francisco Nilo de Farias ,

respectivamente, Coordenador e Chefe do Programa de Engenharia Mecânica da C~

ordenação dos Programas Pós-Graduados de Engenharia da Universidade Federal do

Rio de Janeird (COPPE-UFRJ) por seu apÔio e incentivo, Ao Departamento de Cá]:.

culo Cientifico da COPPE - UFRJ, seu Chefe, Major Tércio Pacitti e Engenheiros

Ysmar Vianna e Silva Filho e José Paulo Favilla Lobo, pela opdrtunidade de uso

do computador digital IBM-1130, sem o qual a realização dos cálculos numéricos

teria sido impraticável, À Coordenação do Aperfeiçoamento de Pessoal de Nivel

Superior (CAPES) pelo auxilio financeiro, À Srta, Suely Paez e ao Sr. Augusto

'Barbosa pelo cuidadoso trabalho de datilografia,

ÍNDICE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

........................................................... DEDICATÕRIA

H<NENAGENS

lliDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SUMÃRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulos:

I.

II.

INTRODu:;ÃC) . ..................................................... . ANÃLISE 00 PROBLEMA . ............................................ . 1. O balanço de energia na parede ................................ 2. As equações de ronservação e similaridade local . . . . . . . . . . . . . . . 3. o rrétodo de soltção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 .1. Caso geral ................................................. 3.2. caso estwado; simplificações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . REFEfilNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •·• .................... . APOOICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A - Valores de

Pr = 0,7 e

( de / dl) >w Se = 0,55

e respectivamente para

......................................... B - Tabelas de valores numêriros relativos às distriruições de tanperatu

ra na parede ....................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv.

ii .

iii.

iv .

v •

vi .

1.

3.

3,

8 •

12 •

12.

15 •

22 •

32 •

33 •

33.

34.

59 •

V,

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Diagrama do sistema físico ..................................... 3.

FigUra 2 Distribuição de terrperaturas na parede, ( e / € a r4 ) = 1,6 ... 27. "'

Figura 3 Distribuição de temperaturas na parede, ( e / € a r4 ) = 1,2 28. "'

Figura 4 Distribuição de temperaturas na parede, ( e / € o r4 ) m 0,8 29. "'

Figura 5 Distriaiição de temperaturas na parede, ( e / € a r4 ) = 0,4 ... 30. "'

Figura 6 Distrialição de temperaturas na parede, ( e / € o r4 ) = º·º 31.

"'

vi,

SUMÁRIO

Consideração é dada à troca sinultânea de calor e Irassa em uma

camada laminar SÔbre uma placa plana. A transferência de calor inclui trocas

oonvectivas e radiativas cem o ant>iente. A transferência de Irassa resulta de su

' bliiração na superfície da placa. Uma fonte (ou sumidouro) de calor dentro da

placa é também levada em consideração. A distrihlição longitudinal, de terrpera~

ras ao longo da superfície da placa é a Iraior inCÓgnita éb probleira.

O problema agora descrito não pode ser resolvido por rrétodos

oonvencionais de similaridade da cairada limite. O conceito de similaridade lo­

cal foi enpregado na obtenção de soluções. Resultados nurrérioos foram obtidos

para o caso em que a placa oonsiste de gêlo e o fluido da oorrente livre é ar.

Distrihlições de tenperatura da superfície são apresentadas para uma faixa de

terrperaturas .da oorrente livre e de um parãrretro que caracterizé'I. a intensidade

da radiação absorvida é de Uira fonte interna de calor. É enoontrado, dependendo

do valor dêste Últirro parãrretro, que a tenperatura da placa pode aunentar ru d.!:_

minuir cem valores crescentes da distância, segundo o sentido da oorrente livre,

a partir da origem da placa. De um rrodo geral, os resultados desta investigação

indicam que radiação tem um papel decisivo na determinação da distrib.tição · de

tenperatura na superfície da placa.

1.

. CAPÍTUIJ) I

Im'RODUÇÃO

Para =rpos ll'OVimentando-se em detenninadas =ndições, torna-se

importante evitar que a temperatura, en qualquer de seus pontos, ultrapasse trrn

valor críti=, além do qual suas prcpriedades seriam af~tadas. Dentre os dife -

rentes processos que poderiam, entc~o, ser utilizados, destaca-se o resfriamento

por transferência de !l'aSSa. É estudado, nêste trabalho, o rrétodo em que o calor

é impedido de atingir o =rpo por meio da subli!l'ação de trrn material que reveste

a superfície a ser protegida.

Considera-se urna placa plana com urna superfície sublimável e es­

=amento laminar na ca!l'ada limite, trocando calor com o ambiente por radiação e

=nvecção. A radiação térmica emitida nela superfície torna, evidentementc,não

linear o problema, impossibilitando a sua resolução por rrétodos convencionais

de similaridade da ca!l'ada limite. Além disto, pode ser rrnstrado que fatores li­

neares, tais corro a radiação absorvida e fontes (ou strrnidouros) de calor dentro

do =rpo, levam a =nclusões análogas. O caminho adotado foi, então, o uso de

similaridade local, levando em cont~ a variação de temperatura da -superfície ao

longo da =rrente livre. Isto é, é sup,sto que a similaridade se aplica em cc1.­

da ponto, isoladamente.

O fato novo nesta investigação é a inclusão de radiação inciden­

te e emitida. Na ausência dêstes proce,~sos de transferência ele energia, o pro­

ble!l'a é solúvel com o errprêgo do método descrito tia rE>ferência 1. O efeito da

!l'al1utenção ou supressão da radiação da ,superfície foi especificamente investig~

2.

do.

Para fins de cálculo mnrérico, gêlo (água) foi escolhido corro o

rraterial sublimável e ar 001TO o gás da corrente livre.

3.

CAPÍTULO II

ANÁLISE DO PIDBLEMA

1. O balanço de energia na parede.

O m:xl.êlo físico adotado ,; = placa plana cuja superfície é con!!

titUÍda de um material sublimável (Figura 1) • Em direção paralela ã superfície

da placa escoa um gás com velocidade uniforrre U. A pressão estática é p, en -00 00

quanto a terrq:,eratura da corrente livre é T00

e a concentração, na rresma, do va

por correspondente ao material da parede é dada pela fração mâssica W. 00

---------y

_J) Ldx r

Fig. 1 - Diagrama do sistema físico

A placa recebe radiação do ambiente'e, por sua vez, irradia pa­

ra o ambiente. Há, também, uma transfen,ncia de calor por convecção da (ou para

a) superfície para o (ou do) gás que escoa. No caso a ser aqui considerado, w 00

será inferior ã fração mâssica de equilÍbrio correspondente ã tenperatura local

4.

da parede e sublimação, portanto, normalnente oa:>rrerá. Tendo em vista general.!:_

zar o problema, será =nsiderado que há um fluxo de energia que deve ser trans­

ferido da superfície da placa para o gás e o ambiente (por exerrplo, fonte ou

sumidouro.de.calor, internos).

O ponto inicial da análise é um balanço de energia em um dado 1~

cal da placa (Figura 1)

(1)

onde qs é um sumidouro de calor, na suP=rfÍcie, devido à sublimação; qc é o ca­

lor transferido do rreio ambiente para a placa, por =nvecção; er(l) é a energia

radiante ténnica absorvida pela placa; er(2) é a energia radiante ténnica emiti

da pela placa; e e é a energia cedida (ou retirada) à placa por uma fonte (ou p . .

sumidouro) de calor. Too.as as quantidades de energia acima são dadas por unida-

de de tenp:> e área.

gue.

mh s'

Cada um dos ternos em ( 1 J podem ser abertos da fo:ma que se se -

Inicialrrente, seja o tenro da sublimação. A quantidade qs é reescrita ==

onde m é a taxa local de sublimação e hs é o calor latente de sublimação.

Por sua vez, m pode ser expresso em ternos da densidade local p da mistura e da

velocidade =nvectiva vw na parede, isto é, m = pvw (ref. 1 ) • Assiro, qs fica

q = p V h (2) s w s

A seguir, =nsiderando a representação matemática do calor trans

ferido por =nvecção, deve ser observado o fato de ser a temperatura da super -

fÍcie uma função da posição. Por enquanto, q será expresso por c

q = h* ( T - T ) e ., w (3)

5,

onde h* ê um coeficiente local de transferência de calor o qual, em princípio,

deve levar em conta a variação de T • A avaliação de h* será discutida, em deta w -

lhes; mais tarde. T e T são as terrpera.turas absolutas da parede e da corrente w 00

livre, respectivarrente.

A radiação emitida pela placa será dada por

(4)

onde E ê o "emittance" total hemisférico. Considere-se a radiação absorvida pe­

la_ placa er(l) COITO unifonre ao longo de seu corrprirrento, anàlogamente à fonte

(ou sumidouro) ep, e seja

(5)

Então, apÓs substituição de (2),(3),(4) e (5) em (1) e rearranjo

dos tenros, vem

onde

T w

-T-• 00

{ K -T

( _w_ )4 T

00

e K =--=---

E CI T4 00

V h - p

----3_ __ s_ T h*

00

h =ECI~ r oo

!!: conveniente colocar (6) em função.de quantidades adimensionais, corro

µ e -_.....cP_ Pr = -

k Nu = X

h* X

k

V

f =-2-w-~ W U X

00

Além disto, fazendo

X = h . E C1 T3 ( __ r_ J2 = ( ______ oo_ -2i..

. h* / ,=:- k Nu v Re X X

vem

(6)

(7)

(8)

(9)

6.

T ( _w_ )4

T O<>

1 /2 h }x +l+-1-c-~s~-)

2 e T p O<>

Pr f w (10)

Nu/~ X X

Nesta equação, a influência das radiaçÕ<!s absorvida e emitida está concentrada 1/2 4 1/7

nos tenros K x e ( T / T ) x , respectivaJrente. Convecção é repre -w O<>

sentada por · ( T / T ) e a unidade. o tenro restante leva em conta a sublima w O<>

çao.

A equação (10) tem corro inCÓgnitas T e f , uma vez fixados o ma w w -

terial da placa, as condições ambiente e a localização x (*). Torna-se, po~

to, necessário o uso de outra relação. ImpÕe-se, então, a condição de ser a su­

perfície · ~:meável ao gás ambiente. Denotando por g o gás da corrente livre ,

a condição de ~abilidade é expressa por

V 0 g

em y = O (11)

Em uma mistura binária, a velocidade de um dos componentes é a

sorna das velocidades convectiva

velocidade difusiva é dada por

ente), vem

V g

( v c ) e difusiva. Assim, tendo em vista que a

- ( n / w ) ( aw / ay) (para o fluido ambi g . g

aw =-----~B-+v w ay e

D

g (12)

Nesta expressão D é o coeficiente de difusão binário. Aplicando (11), e levando

em conta que W + W = 1 resulta, na pnrede g

V w

D aw = - --- ( ~...,g_ )w

1 - w ay w

(13)

(*) Esta afinnação é valida desde que o valor de Nu / IRe possa ser local-. X X

rrente avaliado, tal avaliação sendo deixada de lado até mais tarde.

7.

onde a variável W representa a fração rniissica do gás sublimado e o índice w a

parede. Devido à Última equaçqo de (8), pode-se escrever

Definindo, finalrrente,

vem, de (14)

2 D l - w = w

. -as variaveis

w - w <I> = w - w

w

l - w w

00

00

( ;iw / ay > ~ w X

lJ f 00 w

=....L~ 11 X X

2 ( •<I> / a11 > w =--------w - w W 00

Se f w

(14)

(15)

(16)

Pode ser observado que <j, é um pa.rârretro de fração mãssica, ao passo que 11 e

prontamente identificável corro a variável de similaridade de Blasius.

Embora a equação (16) contenha fw corro desejado, contém também

Ww' a qual à primeira vista, parece ser uma inCÓgnita adicional. A quantidade

( a4> I 011 )w tem um papel serrelhante ao de Nux / ./ Rex na equação (10), e se

rã discutida mais tarde. Por ora, e apropriado rrostrar que W é, de fatc, rela ' w

cionado biunivocarrente com T. w

can êste propÓsito, considere-se os dados do estado de saturação

para o Il'aterial sublimável, nonnalrrente dados corro pressão de vapor p em fun -V

ção da temperatura. Quando a pressão tc1:al p (soll'a das pressões parciais) do /

sistema é especificada e os pesos rroleculares dos gases participantes conheci -

dos, pode ser derronstrado que

p . / p W a ----,---,---~V-~--,--,----,----,--,---:--;--

( Mg / M) + ( pv / p) { l - ( Mg / M) } (17)

onde M é a nassa rrolecular do Il'aterial ~;ublill'ado e M do gás da oorrente livre. g

8.

Na equação (17) foi suposto que a mistu,·a e os gases oomponentes obedecem à lei

dos gases perfeitos. Quando a equação (1.7) é usada juntamente com os dados do

estado de saturação, Ww pode ser tomado oomo

Uma tabela de w versus ~, e w w

uma função de T • w

as equações (10) e (16) apresentam,

oomo inCÓgnitas, T , W e f • No entanto, a solução do problema requer os valo-w w w

res locais de Nu / IRe e X X

( â$ / ân) • As quantidades precedentes deJJC::_ w

dem, respectivamente, da &pendência cor, x da temperatura da parede e da fração

mássica, as quais não são conhecidas a priori.

É sabido· que o escoamcnt.o laminar tem "boa merrória" quanto à si

tuação reinante a montante. Para diferentes casos, o valor do coeficiente local

de transferência de calor h (e, portanto, de Nu / ~ ) já foi estudado. So-x X

luções exatas, por similaridade, podem ,:er obtidas para variação de temperatura,

T - T = l: a w oo n

n X (referências 2 e 3) e fluxo de calor, na parede, da forma

na parede, da forma n q = L b

0 X. (referência 4 ), onde ªn' bn e n'são números

reais quaisquer. O presente problema não se enquadra a priori, em nenhum dos ci

tados. Assim sendo, algum outro caminho deve ser achado para a avaliação de

Nu l IRe ; anàlogamente para ( a~ / an ) . Com êste fim, é proveitoso ex~ X X W

minar as equações de conservação.

2. As equações de conservaçao e similaridade local.

Para o caso de escoamento laminar na camada limite, regirre pe~

nente a duas dirrensões, considerando-se dissipação viscosa desprezível e propri

edades constantes, as equações diferenciais da continuidade, quantidade de movi

mente, energia e difusão podem ser escritas da forma

Continuidade

Quantidade de rrovirrento

au au a2u u--+v--=v~~-ax av a/

Energia

ar a·r a2T

U -- + V -- = CX ax ay ay2

Difusão

aw aw a2w u -- + V - - = D ---'--"--ax ay ay2

cujas condições de contôrno são

y = o

u = o v=v w T=T

w W=W

w

u+U 00

T+T 00

W+W 00

9.

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Corro rrencionado anteriorrrente, as condicões de contôrno T e W não sao indepen ' w w

dentes, estando relacionadas pela expressão (17). Há,também, uma ligação entre

Ww e vw por rreio da equação (16) .

Para a resolução de (19), (20) e (21), satisfazendo (18), corivfun

definir a função ,p ("stream function"l

as variáveis independentes

u = -ª.!L ay

T) = ..L.. X

1/2 Re

X

i.í V = - ax (23)

(24)

10.

e as variáveis dependentes

f ( r, 'n j / V u X

00

T - T ( )

00 e F, , T) ~

T - T (25)

w 00

w - w (

00

~ r., n ) ~

w - w w 00

onde A e p são constantes reais. Do (23), (24) e (25) obtém-se os canponentes

da velocidade

u = u ~ oo a n

(26)

V = - l(vU /x){-.l_f i;~--n-~} oo 2 + P ai; 2 an

Introduzindo as novas variáveis, as equações de =ntinuidade(19)

a (21) tornam-se

Quantidade de rrovirrento

a3f 1 a2f i; { at a2f af :l2f

} (27 +-2-f-2=p ---3 a n an ar, ai; 2 a n a n a n

Energia

1 ª2ª +-1- f __lQ___ - élf i; { ~ __lQ___ - ....1L __lQ_ } (28) 2 nT o -- = p Pr

a n 2 a n d T) an ai; ai; an

Difusão

1 ª21 +-1- f 2L - 3f p i; (~2L-~2L}

2 n ~ --= (29) Se a n 2 a n w a n an ai; ai; an

onde

11.

X ( dT / dx ) w X ( dW / dx )

n = ---~w ___ _ w w - w (30)

W M

Para que similaridade seja aplicada ao longo da placa é necessa­

rio que as derivadas em relação a x e é sejam nulas, isto é, que f, e e 4> sejam

função sàrrente de n. Seriam obtidas, então, as equações usadas por Hartnett e

Eckert (ref. 1 ) . No presente caso, é proposto o emprêgo do conceito de similar!_

dade local, tal que as derivadas a/ar, que aparecem nas equaçocs transformadas -

de continuidade são despregadas. l\ssim, as equações resultantes são aplicáveis

localmente, em específicos valores de x (usando valores locais de ~ e '\Jl.

Se os tenros que envolvef'l 3/31'; são eliminados, as equações resu!_

tantes são idênticas às obtidas para condições de similaridade com Tw - Tm =

= A xil.r e W - W = B x~. Para fins de aplicação local, as derivadas parci-w m .

ais em relação a n são escritas corro derivadas totais. Assim

1 Pr

1 Se

+ _1_ f 2

if <lnz- = o

ie + _1_ f .....<i.L = n e -ªL dn2 2 <ln T <ln

1 d~ . +-f-=-=n..,j,

2 <ln . w df <ln.

(31)

(32)

As condições de contômo correspondentes as novas equaçoes sao

n = o V

f=f =-2~~ W U X

df ~=O

m

e = 1

(34a)

1

n -+ oo

-ªL_,. 1 dn

e -+ o

</> -+ o

12.

(34b)

onde, em geral, fw é uma função da posicão ao longo da placa.

Das equações (31) a (33) podem ser obtidos ( dq,/dn ) e, também, w

Nu /~,pois X X

Nu ___ x_ = - ( __jJL_ )

r-::--- <ln w , Re (35)

X

Isto porque o calor perdno por convecçiio por uma placa plana q em um determin~

do ponto, por umidade de tempo e área é dado por q = - k ( 'iJT/'iJy ) , onde l< w

é a condutividade térmica do material da parede. A substituição, nesta expres -

são, das variáveis e e n ( definidas er1 (25) e (24)),resulta na relação (35)

Os valores ( d<j,/dn ) ·. e Nu / ~ , é mais fw , sao os resultados necessári W X X

os para a avaliação de (10) e (16), satisfazendo Ww versus Tw. A solução de (31)

a (33) é silrples em um COJ!1lltador digital. Os valores específicos. dos parârretros

~, l\<, e fw, e os correspondentes ( d<J,/dn )w e Nux / / Rex serão discutidos /

=is tarde.

3. o método de solução.

3 .1. Caso geral.

Cono visto na seção precedente, para a solução do problema pro -

posto torna-se necessário o conhecimento prévio de ( d<j,/dn) e Nu / rr;;-. Ês W X X -.

tes valores podem ser obtidos do sistema de equações (31) a (33). Ocorre que a

solução da velocidade (equação 31) depende de fw; a solução de e (equação 32) de

13.

pende de Pr, fw e l'\r; a solução de ,j> (equação 33) depende de Se, fw e 1w· !Vias

Pr e Se são fixados pelos gases sublimarlo e da corrente livre. Restam os parã­

metros fw' l'\r e 1w que não são conhecidos antecipadamente, para qualquer ponto

da placa. fste obstáculo pode ser conto:mado pelo uso de um processo iterativo,

conforrre detalhado a seguir.

Inicialmente, escolhe-se quaisquer valores para fw' l'\r e 1w· Os

citados parârretros podem ser considerados, por exemplo, iguais a zero. Observe­

se, das equações (30), cµe o caso ~ = nw = O corresp:mde à situação em que ,

localmente, não há variação de temperab1ra e concentração ao longo da placa./

Com êstes valores arbitrados, é

Nu / l"Re""" , por intermédio da X X

imediata a avaliação de ( d,j>/dn) w

solução das equações (31) a (33).

e

O passo seguinte é a deb~rminação de T . Para tal, f é el:imina w w

do de (10) e (16), resultando

T T l /2 h ( d,j>/dn )w w - w w { K-(-w-)4 } + ( s ) Pr ( w 00

) (36) --= X + 1 ----T T e T Se Nu / fRe"""" 1 - w 00 00 p 00 w

X X

Esta equação tem, corro inCÓgnitas, n.penc1s T e W , uma vez fixado o local x.Mas w .w

como discutido anteriormente, T e w si10 relacionados biunivocamente, para um w ·w

dado valor da pressão total p. Assjm sendo, resolve-se (36), obtendo-se Tw. Ês:_

te resultado, no entanto, originou-se d" valores arbitrados de fw, nT e ~.,,·

Os valores l'\r e ~" :o.ao conferidos efetuando-se o cálculo ac:Lrn.a /

mensionado para quatro pontos próxjmos do local x escolhido, sendo dois à direi

ta e dois à esquerda do mesmo. Curvas rolinomiais · T = T (x) e w = w (x) W W W \•7

sao, então, ajustadas por mínimos quadr!1ticos e diferenciadas, de modo a se a -

char dTw / dx e dl'lw / dx no ponto cc,ntral. Tendo em vista que

T - T w 00

X ( dT / dx ) w

= T - T w 00

x ( dW / dx ) w

X ( dT / dx ) w

w - w w 00

X ( dW / dx ) w

w - w W 00

(37)

14.

novos valores de "r e 1\., são avaliados. A verificação de fw é feita oom o auxí­

lio de (16) , Nesta expressão são conhecidos W (a partir do valor de T recém -w w calculado), Se e W , além do valor aproximado de ( d<J,/dn ) • Portanto, um no-

~ w

vo fw é encontrado.

Para a continuação do método iterativo, os valores recalculados

de fw, "r e 1\., são usados a fim de providenciar ( d<J,/dn) e Nu /~,O W X X

circuito descrito acima é repetido tantas vêzes quanto for necessário até que o

critério adotado para sua intern1pção s(,ja satisfeito. No presente trabalho foi

determinado que a interrupção dar-se-ia quando a variação de Nux / / Rex, cal

culado para o meSIID ponto, em duas iterações sucessivas, não fÔsse superior a

0,0005

baixo.

, A escolha de Nu / ~ corro parãmetro de oomparação é'explicada a-x X

O resultado que se procura é a distribuição de terrq:,eraturas ao -

longo da parede, ou seja, T = T (x) • Acontece que, pelo método de solução a­w w

dotado, obtém -se valores de T corresmndentes à abcissa adimensional x a qual, w lc"'

confome (9), é função do valor local de Nu / ~ , sendo os demais ternos X X

conhecidos. Logo, uma vez limitado o êrro em Nu / ~ , é qarantido um va-x X

lor bastante acurado para x relacionado oom a terrq:,eratura Tw achada. Conseqüen-

terrente, T = T (x) w w convergirá para o resultado correto, consistente com o

rrodêlo físico adotado e a precisão consic'lerada = razoável para os diversos'/

parãmetros.

Para a execuçãô' do trahalho de c:crnputação de uma foma eficien -

te, é apropriado detenninar os valores de ( d<J,/dn ) e Nu / ~ anteci~ W X X

damente. Para atingir êste objetivo, fixa-se diferentes valores de fw' resolven

do-se as equações (31) a (33) para vários valores de "r e 1\., • Com:> resultado ,

são obtidos relações de ( d<f>/dn )w e Nux / I Rex em função de 1\., e "r• res

15.

pectivarrente, para valores pararrétricos de f Representações por rnínirros quadr~ w

dos podem ser ajustadas para as distribuições Nu / fRe versus rL X X '1'

e

( dcj>/dn )w versus I\v• para cada fw. Dêste modo, para dados ~ e '\,• por inte~

lação de acôrdo com o valor de f, encontra-se prontamente os correspondentes/ w .

Nu / fRe e ( d4>/d n ) . X X W

3.2. Caso estudado; simplificações.

Para a solução do prcsenie problema, devem ser especificados o/

material da parede e as condições ambiente. De tal especificação podem ser obti

dos os diversos parâmetros que entram como constantes nas várias equações, ou

seja, K, T, W, cp, Pr, Se e p, além <ln relação entre temperatura e pressão de 00 00

vapor para o gás sublimado. No caso aqui estudado foi escolhido ar isento de u

midade corro gás da corrente livre e gêlo corro o material sublimável. A pressão

ambiente p foi fixada em uma atrrosfera, enquanto T00

e K foram deixados corro p~

râmetros a serem variados durante o =i,o da investigação. Assim, com respeito

às equações (10) e (16), os seguintes wüores são apropriados

Pr = 0,7

Se= 0,55

e = 0,238 J'.TU / lbOF p

h 1220 llTU / lb s

w o 00

(38)

A relação entre T e ·F1,, para o vapor d 'água, ohtic1a da em1arao

w

(17) * , com o auxílio da referência ( 5 ) , é dada na tabela l.

Para fins de computacão, W e T foram relaciom1dos al0ehricareen . w w

te por meio de cinco expressões polinomiais, válidas ern iqual núrrero de interva

(*) M = 18,016 , M = 28,967 g

16.

TJ\BEí.l\ l

Relação entre Te W para o sistema ar-gêlo, a 1 atrrosfera, no estado de saturação

pv (psi) w

32 0,0885 0,0037539530

30 0,0808 0,0034266576

25 0,0640 0,0027130093

20 o, 0~;05 0,0021399895

15 O, 0396 O ,0016776197 .

10 0,0309 0,0013087585

5 0,07.40 0,0010163309

o 0,0185 0,0007833109

- 5 O, 0142 0,0006011775

-10 0,0108 O, 0004571935

-15 0,0082 0,0003471052

-20 0,0062 0,0002624319

-25 O,OM6 0,0001946995

-30 0,0035 0,0001481367

-35 0,0025 0,0001058092

-40 0,0019 0,0000804137

17.

los de temperatura. Assim

· 2 3 4 W =A+ B.T + C.T + D.T + E.T (39)

onde T é dado em Op e as constantes A, B, C, D e E sao função do intervalo de

temperatura considerado, ou seja,

17,5 Op ~ T < 32,0 Op A -3 = 0,1258720697xl0-3, = 0,3183296050xl0 ,B w (39a) e =-0,4630506426xl0-5 -6 =-0,149371815lxl0-S, D = 0,1744272424xl0 ,E

o o -3 0,4179606600xl0-4 , .2,5 F ~ T < 17,5 F A = 0,7833108766xl0 ,B = w (39b)

e= 0,848477543lxl0-6 D 0,2260755944xl0-l,E = 0,3161334867xl0-l~

-15 O Op < T < 2 5 Op A 0,7833108948xl0-3 ,B = 0,4094937659xl0-4 , , ~ w , -7 0,5655669760xl0-9 , (39c)

e= 0,1003595460xl0-5 D = 0,2263875527xl0 ,E =

-30,0 Op < T <-15 O Op A = 0,8504233844xl0-3 ,B 0,5823029579x10-4 ' w (39d)

= 0,2508279544x10-5 -7 0,8418330726xl0-9, e D = 0,7017462691x10 ,E =

-40,0 Op < T ~-30,0 Op -3 0,3047698368xl0-4 , A= 0,7576717066xl0 ,B = w (39e)

e = 0,3386383826x10-fi D = 0,0 ,E = 0,0

Numa simplificação :importante ocorreu corno conseqüência da expr~

sao (16). Desta pode-se tirar

2 H - H w 00

f = -------w Se 1 - W

w (16a)

Mas W = O e W máxirro nas condic:;õcs iadas e O, 003753953 • Corro Se = O, 55 00 W

W = 0,003753953 e com ( d~/dn ) em valor absoluto da ordem de .0,4 (que é es-w w

sencialrrente o máxirro encontrado), vem 'llle f não ultrapassa O ,0055 em rróclulo. . w

Assim, para fins de determinação de ( d p/dn ) e Nu / · ~ o parârrctro f · W X X W

pode ser considerado igual a zero, pois sua pequena faixa de variação pràtica

18.

pràticarrente nao influi nos referidos valores.

Além disto, devido ao fato de que W « 1 e W = O , a equação W 00

~

(36) e ligeirarrente simplificada para

T w

-T-= 00

{ K -T

( _w_ )4 } T

00

1 /2 X + 1 + (

h __ s __

e T p 00

( d<j,/dn ) ) Pr -----~w-

Sc ,=---Nu / v Re

X X

w w

De nodo a facilitar sua solução, (36a) é reescrita da forma

T w = {

w

_w __

T 1-[K-(

00

T w

T 00

4 ] 1 /2 ) X } (

Nu/~ X X

(36a)

(36b)

Esta equação relaciona W e T , urn vez indicados T , K e a localização x w w O)

Mas W e T devem satisfazer também (39). A detenninação dêstes valores foi fei w w .

ta definindo-se urna função Z = Z (Ti_,) , tal que

z = Ww ( eq. 39) W ( eq. 36b ) w

(40)

e pesquizando-se, pelo rrétodo de Muller (ref. 6 ) , a raiz T compreendida no in w

tervalo ( -40 Op, 32 Op ) • Uma vez achado T , a avaliação de W é :irrediata da w w

equaçao (39).

A escolha de -40 Op corro limite inferior deveu-se ao fato de ser

esta a menor temperatura para a qual a :ceeferência ( S ) fornece dados. A cota su­

perior (32 Op) teve corro rrotivo restrinqir o estudo à região de sublimação, p,óis

àquela temperatura a parede se fundiria.

É interessante observar cme só é possível ocorrer sublimação a /

partir da abcissa x = O quando, nêste local, T <32 Op. Da equação (36b) con -w

clui-se que, para x ~ O, ràd:iação pcx1e ser desprezada em presenc,a da troca de

calor por convecçao. Fazendo em (36h) x = O , Ww = 0,0037539530 (corresponden­

te a Tw = 32 Op e pressão total de uma atrrosfera), Nu / f"Re" = 0,29268 (pois, X X

da equação (30) , ~ = O) e ( d<f,/dn ) = -0,26841 (pois, da equaçao w

= O) , e levando em conta os \Blon,c; esnecificados em (38) , obtém-se

19.

(30) ,

~ 54,5 Op • êste é, portanto, o valor rníxirro que T pode apresentar, sem que 00

haja fusão na origem da placa, nas condições aqui consideradas.

Um outro ponto a sm· discutido refere-se às limitações do modê -

lo de similaridade local. Os parârretros ~ e 1\i foram definidos como

x ( dT / dx ) w

T - T

X ( dW / dx ) w (30)

w 00

sejam liT e liw , respectivamente, as ,espessuras das camadas limite térmica e

de difusão. Então, de (30), pode-sE, escrever

dT / dx w dW / dx

w (30a)

Ein (30a) observa-se que, localrnent:c,, d'" / dx w (ou dW / dx ) mostra COITD vari w

a T (ou W ) ao longo da placa pl2na an passo que ( T - T ) / li'!' W W W 00

ou

( w - w w 00 ) indica a variação d,, T ( ou w

w w ) através da camada limi-

"' "' ~ ( liT / x ) = ( liw / x ) = ( 5 / , Rex ) vem, te. Tendo em vista que para

Rex = 10 000 , '\, 'V

( X / liT ) = ( X / liW ) •20 •

O método de similaridade local é baseado na hipStese de que vari

açoes ao longo da parede são muito JTenores que as variações através da caniac1a

limite. Portanto, a razão de dT / dx w

para

ra ( W - W ) / liw ) deve ser muito menor que a unidade. l\ssim, fixando em W 00

0,1 o limite da referida relação, onmn-,:ra-se J lL J ~ J n_ J ~ 2 O 'l' (max) - · w (max) - ' •

Devido à natureza de ordem de grancleza de derivar.ão precedente, foi julqado ra-

zoável tomar como cota superior aproxim1damente 1, O

Consideração especial c1eve ser dada para valores neqativos de~

20.

e, 11w • Em particular quando ~ = 1\v = -o, 5 , Nu / ~ = ( d<j> / dn ) = O. X X W

Além disto, quando ~ e 11w < - O, 5 Nu / riie"" e ( d~ / dn ) são neqati X X W - -

vos. Em outras palavras, a direção de transferência é contrária à fôrça propul­

sara global entre a parede e a corrente livre. Êste comportanento é produzido /

por efeitos de nontante que se propaqan, ao ponto de interêsse. Da rresma fonna /

que o nodêlo de similaridade local exclui fortes ligações ao longo da oorrente

livre, foi decidid- excluir casos em que~ e 11w são inferiores a -0,5 . Con -

vêm frizar que o método de soluç.'io para a equação (36b) falha quando ~< -0,5

e pode também falhar quando 1\,i < -O, 5

Agora, reconsiderando a equacao (9), é visto que enquanto x é um

parârretro computacional oonveniente, isto não se verifica quanto à sua adoção/

corro parârretro para apresentação de resultados. O motivo é que contém, simul-

tanearrente, x e Nu / riie"" X X

, sendo que a relação que liga Nux / / Rex a X

não é conhecida a priori. Com o fim de evitar tal problema, é interessante a ob

servação da equação (9) na fonna

3 E (J T

( Nu / l""Re"""" ) 2 X = ( ---

00

-X X k.

X )2

l""Re"""" (9b)

X

O segundo rrcmbro de (9b) envolve apenas elerrentos constantes, além de x que e

prescrito independentemente. Ooorre, porém, que o rresmo é linearmente propordi"2_

nal a x. É conveniente, assim, a introdução de uma nova variável

íl = (

ou seja

íl = (

e: o T 3 00

k

Nu X //~

X

(41)

)2 X (42)

Da relação linear entre íl e x conclui-se que é vantajosa a substituição de x

21.

por íl caro variável independente. Por simples mudança de escala, isto é, por

uma divisão de íl por ( E o T: ) 2 V / ( U"' k 2 ) , obtém-se a distribuição de

tanperatura em função da abcissa real :x •

Can base na equação (9), um limite máxirro para x (para efeito

de cálculo numériro) pode ser estabelecido. Para o sistana considerado (ar-gelo)

tau-se, aproximadamente (ref. 7 . ) ,

k = 0,014 BTU / h ft Op

-5 2 V= 13 X 10 ft / seg

E = l (43)

Além disto, o= l,714xl0-9 BTU / h ft 2 ºR4 e as temperaturas ambiente adota­

das são da ordau de 500 ºR • Tonando Nux / ./ Rex cano 0,35 a equação (9)

tana a forma

X= 0,2485 X/ U "'

(9c)

Visando evitar que convecção natural possa ter influência au escoamentos muito

lentos, ronvém fixar cano limite mfoimo para U o valor 2 ft / seg • TaTiando ·"'

x máximo igual a l ft encontra-se x = 0,12 As tabelas e gráfiros anexos

foram obtidos a partir de valores de x até 0,25.

Cano mencionado anteriornente, os pontos para os quais ~ e , '1w

encontram-se fora da faixa - 0,5 <. ~ , l\v < '" 1,0 não foram considerados

Em consequência, curvas para determinados valores dos parâmetros do problema -

não puderam ser cCITipletamente estabelecidas, sendo'interranpidas em alguns lo­

cais. Nos referidos trechos, o traçado foi cCITipletado por meio de arros que se

ajustassau suave e lÕgicamente às c:urva:; obtidas analiticamente.

22.

CAPÍTlLO III

APRESENTAÇÃO E DISCUESÃO !XlS RESULTA!XlS

A marcha de cálculo descrita no capítulo precedente foi execu~

da para diferentes valores dos parârretros K e T • Os resultados assim obtidos "'

são apresentados nas Figuras 2 a 6. Listagens nurréricas életalhadas são provid~

ciadas no Apêndice.

As figuras dão informação a respeito da variação de terrperatura

da superfície (em graus Farenheit) cono função de posição ao longo da placa, a

abcissa sendo diretamente proporcional à coordenada longitudinal x. Cada figura

corresponde a um valor específico do parârretro de radiação K( = e / E o T4 ) . "'

igual a 1,6, 1,2, 0,8, 0,4 e O, respectivarrente para as Figuras 2,3,4,5 e 6.

Em cada figura são dadas curvas para terrperaturas da corrente livre T de 10, "'

O , 10 e 20 ºF.

Para cada nível d,, ternp~ratura da corrente livre, são nnstradas

três curvas. A linha contínua indica resultados obtidos quando, apÓs inúrreras :!;_

terações, o critério de interrupção des.:=rito na seção ( II - 3.1 ) foi satisfe:!;_

to. A linha tracejada nnstra a distribuição de terrperaturas encontrada conside.:

rando-se, para efeito de determinação d3 Nu / ~ e ( d~ / dn ) , parede X X W

isotérmica, ou seja, ~ = ~ = O. A linha constituída de traços e pontos al-

ternados é obtida usando-se conn ordenada o valor da temperatura para o caso de

~ = ~ = O e corrputando-se íl através da equação ( 42 ) , levando-se em conta,

no entanto, o valor corrigido de Nu / IRe""" encontrado apÓs a prirreira itera X X -

ção. As três nodalidades de curva acima rrencionadas são designadas por final '

23,

inicial e ajustado, respectivamente.

Nas Figuras 2 e 4 aparecem algumas curvas representativas de ca

sos em que a radiação anitida pela superfície é suprimida.

Uma inspeção global das figuras rrostra que para valores de K mai

ores que a unidade a tanperatura cresce cano aurrento da distância·segundo o

sentido da corrente livre; o inverso ocorre quando o referido parâmetro é menor

que a unidade. Cano sera discutido mais tarde, um critério mais preciso para o

aumento ou diminuição de T can x w

~

e dado por K>(T /T ) 4 W OO Q

ou K <

< (T / T ) 0

4 , respectivamente, onde o Índice o w 00

denota x = O , Acrescente-

-se que, quando K > ( T / T ) 4 , o 2umento de Tw com x é mais rápido para

W OO Q

maior K Quando K < ( T / T ) 4 menores valores de K estão associados a W OO Ü I

diminuições mais rápidas de T can x. w

A tanperatura da parede, na origem é satipre inferior a T00

e e

obtida da equação (36a), fazendo x =o, Fisicamente, a forma assim simplifi~

da da equação (36a) corresponde a um balanço entre o fluxo de calor para a pla­

ca por convecção e o calor latente nece~sário à sublimação. Êstes dois mecanis-

mos de transporte sobrepujam completamente os outros nas vizinhanças do . ~ . l.nJ.Cl.O

da parede ("leading edge"). Consideranéo que o fluxo de calor por convecçao se

dá no sentido do fluido para a parede, é evidente que T < T • w 00

De um cuidadoso estudo dê equação (36a), pode ser visto o aumen­

to ou diminuição de T com x é condicionado no fato de ser ou não K maior w

que o valor de (Tw / T) 4 • Além disto, observa-se. que se Tw inicialmente cres

ce, continuará a crescer para qualquer x, atingindo uma temperatura de 32 °F -

(fusão da parede) ou aproximando-se de ~m valor assintótico abaixo de

Anàlogamente, se Tw inicialmente decrEsce, oontinuará a decrescer, aproximand~

se de um valor assintótioo.

\ 24.

\

Nos casos an que K > ( T / T ) 4 , a curva inicial encontra-se w ., o

sanpre acima das curvas ajustada e final; ( / ) 4 ~ . ~ para K < T T O

o contrario e w .,

verificado. Portanto, para um x determinado, a curva inicial fornece um valor

superior ao real para perfis crescentes de tanperatúra e inferior para situações

an que a tanperatura decresce can x • A curva ajustada está an boa concordância

cana curva final an baixos,valores da tanperatura da corrente livre, porán sub~

tanciais desvios existan an altos T .,

Para K < ( T / T ) 4

, a curva ajustada. corresponde serpre a W (O 0

uma aproximação melhor que a curva inicial. Por outro lado, quando K >

> ( T / T ) 4

, existan· alguns casos an que a curva inicial está mais próxima -w ., o

da final do que está a ajustada. Devido a seu fácil cálculo, a curva inicial é

considerada.cano sendo suficienterrente 1x,a para lll1a primeira estimativa da dis -

triruição de tanperaturas.

11. medida que a espessura das camadas l:imite tênnica e de difusão

aunenta·can valores ascendentes de x, cresce a resistência às trocas de calor

(por co11vecçãci) e massa (por difusão). Ingo, quando· x -> ., , o balanço de ener -

gia (1) se reduz a

(44)

ou consideramo (4) , (5) e (7)

'• T =T /1< w 00 (45)

·4 onde 11< é lll1a raiz real e positiva. Assim, Tw tende a um valor constante

quando x-,. "'• Os valores assintótioos de Tw ( < 32 Op e > - 40 Op) sao

rrostrados nas figuras, an seu E!Xtrerros direito. f evidente que, nos casos est~

dados, mesrro para os maiores valores da abcissa, a tanperatura da parede é subs-

tancialmente diferente dos valores assintóticos. Para K

lor assintótico é igual a T wo

=(T /T )4

w o:, o,

25.

o va

Quando Tw se aproxirra de uma constante (assíntota), então~

'1w +O. Portanto as curvas ajustaca e final se aproximam assintoticamente da

curva inicial, para a qual foi considerado ~ = '1w = O Da equação ( 4 5) ob-

tem-se o valor máximo que K pode assunir sem que haja fusão da placa, isto e,

T < 32 ºF em qualquer x w . Para T iqual a -10 , O , 10 e 20 OF acha-se 00

K

máximo 1,43 , 1,31 , 1,20 e 1,10 , respectivamente.

O método de similaridade local, confonne já mencionado, so deve

ser aplicado em regiões onde a variação longitudinal é muito menor que a varia­

ção transversal da mesma. Quando [ Tw - T00

[ é muito pequeno, o critério ac.!:_

nia citado pode não ser satisfeito. Quar,do Tw aumenta muito lentamente ao lon-

go da placa, pode haver um grande intervalo de x no qual [ Tw - T00

[ é sufici-

entemente pequeno para impedir o uso do modêlo de similaridade local (ver, por

exemplo, Figura 3, T = 20 OF ) • 00

Para baixos valores de K, o critério '1w > - 0,5 (seção II - 3.2)

é sànente satisfeito em pontos muito pré;ximos da origem. Logo, o método de simi

laridade local é de aplicabilidade limitada. Por esta razão, apenas =tos seg­

mentos das curvas final e ajustada são mostrados nas Figuras 5 e 6. As curvas i

. niciais que aparecem nestas figuras correspondem a ~ = '1w = O e nao sao, por,­

tanto, truncados.

Uma vez mostrada a forte influência da radiação absorvida pela

parede (por meio do parâmetro K) , foi investigada a importãncia da consideração

da radiação emitida pela mesma. Cem êste fim, as figuras 2 e 4 contém curvas

representativas de casos em que a emisú,o da superfície é suprimida. Nas tabe­

las encontradas no Apêndice aparece o pé,râmetro B , o qual é feito igual a

26.

1,0 ou 0,0 dependendo, respectivamente, da consideração ou não da radiação e

mitida.

Observa-se, das figuras acima mencionadas, que há uma brusca as

cenção da temperatura ao longo da placa quando S = O • Além disto, na Figura

4 a supressão da emissão da superfície resulta em uma reversão da tendência de­

crescente de · T can x , encontrado quando aquêle fator é incluído. can base w

nos resultados agora discutidos, IX)de ser concluído que a radiação emitida pela

superfície é um fator importante na det<>nninação da distribuição de temperatu -

ras na superfície da placa.

A referência (1) estuda o problema para o caso K = B = O, can

a consequência de que Tw é uniforme ao longo da parede. Ass.im, K '/ O e S = O

equivale a se supor no balanço de energ::.a da referência (1) uma fonte adicio­

nal de calor, o que explica a tendência ascendente de temperaturas encontrada._

1i(l1J

±:

Ti!' 'T l"Hi'"l'W't'il'l'il' •u, ·1r111111 v11 · . · i11u· 't ·'r r.n"'' ·, 111' ,, ~1· 1 ·J 11 ,,,Jiir',ii1il2,. t;'h,t1tj,,;1,,;i,,- .,,. '.11 1 .1·'f,Li, ,ii1fJ'.:ti ,1, ,1 .l .· ii, t-L ;;t~ H+f, 1,~1 1 "!.ttttt ,,1 rr-, ,. -,- -· f., .: ·r:-T tt, f , ~ · •. f, "i1 "" ,,,, ,111H1,n 1f, ,i,: , .. 1 ", , ,, . , 1 111 11 ",l ,rn jj , 1 . ·" , , .~ , .1 ,,,, .,., i/ ... lft11; . t 1,1, ,IJ .-. ~1 l 1- . - tL,. .1 . ..i ~ . ~ _ i! F" ',:' ,''1: !ili 'i•'I ·1"1i'1 liii ffH ·11" !f 1 i14, m, ,l\'1 '', \ I' '•I Jifil'"ft\ tl..:I" ,;;I ,, . ,!L tl lí J.h, !t ,, j , , " ,;:, ,, , ,_ ., \i.. 1t ~-H

: ;J+ tJt1 m; :n l!li i-.L [j!I , ·! i~I _1l· - t 11 : ,,~r p_i· 1 .i -!:! ,., - - n1 " 1 :111 11;: il/1 ttt t 1, 1111 iit!: ! 1. • l-,-1- + + - i !ili ;!tf ·!i ~~ti-.. ' J

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,_:'.!\J _:'.: ·~;-: ;;;· ;i i\-ti'. ;!!1 ''.'._:: _'.:!:: -;1\; :. J. l~-r_ t .1 _'. rn:,-~. tr~Jr-:,_: J- ~ui- ~t 1J 1 ,-;nm

jli!:: ::. ,1,: :til .Jq ,:,, ,(ll 111: t!1!,: 11 1ft ti fl .Jl.1]! dl1l11 l 1jj11 " f;i:. ,* :-::: :,1'. ;.,: .. ~ili.:-:.!.~.~:. p •,-t-t • - _, " '""1 '.,., •' '· _,

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32,

REFERÊNCIAS

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7. E.R.G. Eckert e Robert M. Drake ,Tr., Heat and mass transfer, McGraw-Hill

Book Canpany, Inc., New York, 1959.

APÊNDICE A

Valores de (da/ <ln )w e (d~/ dn) , respectivamente w

0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

-0,05 -0,10 -0,15 -0,20 -0,25 -0,30 -0,35 -0,40 -0,45 -0,50

para Pr = 0,7 e Se= 0,55

(.de/dn) w

-0,4385 ··0,4308 -0,4228 -o ,414'; -0,4059 -o, 3969 -0,3876 -·O ,37713 -0,367G -o, 356') -·O, 345(i -0,3336 -0,320'l -0,3073 -0,2927 -0,2769 -0,259(1 -o, 240,• -0,2200 -0,1966 -0,169S -0,1389 -o ,1021 -o ,0571

0,0000

-0,4035 -0,3963 -0,3889 -0,3812 -0,3732 -0,3649 -0,3563 -0,3473 -0,3378 -0,3279 -0,3174 -0,3063 -0,2945 -0,2819 -0,2684 -0,2538 -0,2380 -o ,2206 -0,2013 -0,1797 -0,1551 -0,1266 -0,0929 -0,0519

0,0000

33,

34,

AP!iliJJICE B

Tabelas de valores numério:is relativos às distribuições de tanperatura na parede

Nas tabelas que se seguem, o título de cada coluna tan o se­

guinte significado:

K

TAMBF

WAMB

BETA

PR

se

CHI

'IWF-I

'IWF-F

CMEXiA-I

CMEX;A-A

CMEXiA-F

Nl'-A

NW-A

Nl'-F

NW-F

NURE-F

DFIW-F

parâmetro de radiação-fonte,

w m

parâmetro que considera a radiação anitida (BETA= 1,0) ou nao (BETA = 0,0)

núnero de Piandtl,

núnero de Schmidt, v / D

ooordenada adimensional, equação (9)

Tw ( Dp ) , inicial e ajustada

Tw ( Dp ) , final

íl , inicial

!l, ajustada

íl final

~, resultante da primeira iteração

~ , resultante da prim3ira iteração

~, resultante da Última iteração

~, resultante da Última iteração

Nu / /"ile" , obtido a partir de Nl'-F X X

( d, / dn >w , obtido a partir de NW-F

TAR""LA PARA K= 1,6 TAMBF= -10,0 WAMB= 0,0 BETA= 1,0 PR= 0,70 SC= 0,55

CHI Tl,IF- ! OtVEGA-l NT-A 1\:W-A OMF.:GA-A HIF-F O:~EGA-F NT-F NW-F ,'füRE-F DF!-F

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TI RELA PARA K= l • 6 TAMBF= o.o ~!M'B= O• O BETA= 1.0 PR= o.70 SC= 0.55

CHI TWF-l O'-'EGA-l NT-A NW-A O'-'EGA-A T 11JF-F O<iEGA-F NT-F NW-F NURE-F DFI-F

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TABELA P4RA K= l • 6 TAMflF= lOoO 1,/A'-'B= OoO BETA= l,O PR= 0,70 SC= 0,55

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0,'1000 -3,P2 0,000000 o.ooc º·ººº 0,000000 -3,82 0,000000 0,000 o. 000 0,2926 -0,268 0,0001 -4,44 0,000008 0,068 -0.016 0,000009 -4.19 0,000009 0,075 -0,016 0,3141 -0,263 o.nso5 -5,16 0,000042 0,121 -0,033 0,000053 -4,74 0,000054 0,137 -0,035 0,3305 -0,258 0.000P -5,49 0,000068 0,139 -0,041 0,000087 -5,02 0,000090 0,160 -0,043 0,3360 -0,255 0,0(110 -5.67 0,000085 0,151 -0,046 0,000111 -5.17 0,000115 0,174 -0,048 0,3396 -0,254 0,0020 -6,34 0,000171 0,175 -0,060 0,000230 -5,79 0,000239 0,203 -0,063 0,3463 -0,249 0,0050 -7,54 0,000428 0,203 -0,084 0,000599 -6,97 0,000624 0,233 -0,089 0,3532 -0,241 0,0070 -8.09 0,000599 0,210 -0,093 0,000847 -7,52 0,000881 0,240 -0,099 0,3548 -0,238 O,OlJO -8,73 0,000856 0,217 -o .104 0,001221 -8,17 0,001268 0,246 -o .111 0,3561 -0,234 0.0200 -10.15 C,001713 0.218 -o .12 3 0,002447 -9,65 0,002528 0,244 -0,130 0,3555 -0,227 0,0300 -11.00, 0,002569 0,215 -0.132 0,003654 -10,63 0,003761 0,237 -0,140 0,3540 -0,224 0,0400 -11,78 0,003426 O, 21 O -0,138 Cl,004843 -11,36 0,004970 0,230 -0.145 0,3525 -0,222 0,0500 -12,34 0,004283 0,205 -0,141 0,006018 -11,95 0,006161 0,223 -0,148 0,3510 -0.221 0,0600 -12,Pl 0,005139 0,201 -0,142 0,007179 -12,44 0,007336 0,217 -0,150 0,3496 -0,220 0,0700 -13,21 0,005996 0,197 -0,143 0,008329 -12,87 0,008498 0,212 -0,151 0,3484 -0.220 O,OAOO -13,56 0,006853 0,193 -0,143 0,009469 -13,23 0,009648 0,207 -0,151 0,3472 -0.220 0,0900 -13,f\7 0,007709 0,189 -0,143 0,010600 -13,56 0,010788 0,202 -0,150 0,3462 -0.220 0,1000 -14,15 O,OOR566 O, 18 6 -0,143 0,011731 -13,85 0,011928 0,199 -0,150 0,3453 -0.220 n-1200 -14,63 0,010279 O, 180 -0,142 0,013955 -14,36 0,014166 O ol 91 -o ,148 0,3435 -0.221 U,1300 -14,R4 0,011136 O, 1 77 -0,141 0,015058 -14,58 0,015274 O, 18 8 -0,147 0,3427 -0.221 0,1500 -15,22 0,012849 0,172 -0,143 0,017242 -14,98 0,017473 O .181 -0,146 0,3413 -0.221 O ol 700 -15,54 0,014562 o. 16 7 -0,142 0,019411 -15,32 0,019652 Ool 76 -0,148 0,3400 -0.221 0.2000 -15,96 0,017132 O, 161 -0,141 0,022632 -15,76 0,022887 Ool69 -0,146 ü,3382 -0.221 0,2200 -16,21 0,018845 0,157 -o, 140 0,024762 -16,01 0,025025 O• 165 -0.145 0,3372 -0.222 0,?500 -16,53 0,021415 O, 15 2 -0,139 0,027934 -16,35 0,028206 0,159 -0,143 0.3353 -0.222

TARi:'LA õARA K= 0,A TA!v!BF= 10,0 WAMR= 0,0 BETA= 1,0 PR= 0,70 SC= 0,55

CHI TWF-l 0"'EGA-I NT-A 1'!Vf-A 0'1FG/l.-A TWF-F O'IEGA-i=- NT-F NW-F hURE-F DFI-F

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•

TAREL,, DARA K= 0,8 TAMBF= 2n.c BETA= 1,0 P~= 0.70 SC= 0.55

CHI HIF-1 0'-'EGA-1 .'iT-A t\\\'/- .A O'IEGA-A HJF-F Q\':EGA-F 'iT-F Nv!-F i'<URE-F DFI-F

o. '.1 oo e 11,54 0,000000 0.000 ü. 80 :-' o.ooDoo~ 11,54 0,000008 O.O:J8 0,000 0,2926 -0,268 0,0001 11, l O O,OOOOOP 0.024 -0,010 '.l, 000008 11,31 (),000009 0,025 -0,010 8.3002 -0,265 0,000~ 10,60 0,000042 o,n47 -0.022 O, C,0C:CJ46 11,00 0.000047 O, 051 -0,023 0,3077 -0.261 '1,00(19 lC,36 0,00006A O, 057 -0,027 0,000076 10,84 0,:108077 C,063 -0,028 0,31CJ9 -0,260 U,0010 10,23 O,OOOOR5 0,063 -0,030 :J,OC0096 10,76 O,OOC097 0,070 -Cl,032 0'3129 -0,258 0,0020 9.7~ 0,000171 0,079 -0,04C 8.008198 10,38 8,000202 0,09·J -·J,043 '.J • 3 l 8 2 -C,255 0,0'.150 8.~6 0,00042A 0, 10? -0,057 ·J.000517 9,62 0,000531 O ol 19 -0,062 () .. 3260 -0,249 0,0070 ~.45 0,000599 0,111 -0,064 0,0()0733 9,25 (l.000756 0.130 -0,07'1 o.3287 -0,247 0,0100 7,97 o. 0008'56 0.120 -0,072 O,OD1063 a.so 0,001099 O .141 -0,079 n.3315 -0.244 0,0200 6,87 0,001713 O, 13 2 -0,087 o.C0?166 7.7ü 0,00224"- O, 15 5 -0.096 0.3349 -0.239 0,0300 6,13 0,002569 O, l 3f -0.09~ C,003271 6.93 0,0033.37 c.159 -0.1C5 C.3360 -0,236 0,0400 5,57 0,003426 O, 13 ~ -o, 1 O 1 O.OOú:372 6,34 0,0045?? 0, 160 -'.l,111 0,3362 -G,234 0,0500 5, 12 o,0042g3 0 • l 3R -o, 1 O 5 0,D0546R 5eA5 0,005648 0.160 -0,115 0.3361 -0,232 0,)600 4,74 0,005139 0,13? -0,107 0,006559 5,44 '.l,006766 O .159 -0,118 :).335f: -0,231 0,0700 4,úl 0,005996 0,137 -0,109 ü,007643 5.08 0,0:)7876 0,157 -0.120 c.3354 -0,231 O,C1ROO 4,13 0,006853 O, 136 -0.111 0,008723 4,77 o.ooe978 O, 15 5 -0,121 :J.335\'\ -0,230 0,0900 3,87 0,007709 Cl, 135 -0.112 0,00979P. 4,49 0.01007L. 0,153 -0,122 CJ.3345 -0,230 0,1000 3,64 0,008566 0,13~ -0,113 0,010874 1.i..24 0,011170 O, 15 2 -0,123 0.3342 -0.?30 0,1200 3,24 0,010279 0,132 -o, 114 D,Cl3000 3,80 '.', Jl3332 o.16.8 -0,124 0,3333 -0,229 U.1300 3.06 '.l,011136 0,131 -G.114 0,014058 3.60 (),0144(5 0,147 -0,12" C-3328 -0,229 1),1500 2,74 :),012849 O, 128 -0,115 0,016163 3,25 0,016538 0,143 -0,124 0.3320 -0,229 o.i~oo 2,47 0,014562 O, l? 5 -o, l 2 6 0,018216 2,95 0,018656 0,140 -0,124 0.3312 -0,229 0,?000 2, 1 1 0,017132 O, 12 3 -0,114 Cl,021375 2,58 ri.021suri 0,136 -0,133 0.3:301 -0,226 0,?200 1 • 9 O 0,018845 O.J 21 -0,114 0,023441 2. 3 ;j 0.023892 O ,133 -0,123 0,3295 -0,230 0,?500 1 , A 2 0,021415 O, 11 P -0,113 0,026522 2,02 o.021ono o.1so -0,121 0,328S -0,230

TABELA PARA K= 0.4 TAMBF= -lOoO WAMB= o.o BETA= 1,0 PR= 0,70 SC= 0.55

CHI TWF-l OMFGA-l NT-A NV!-A OMFGA-A H/F-F OMEGA-' NT-F NW-F NURE-F DFI-F

0,()000 -12,39 O, OOOOCH1 0.000 0,000 0,000008 -12,39 0,CJO:JOOO o.coo 0,000 0,2926 -0,268 0.0001 -14,63 0,000008 0,240 -0,060 O,C00012 -14.ló C),000813 0,274 -0,062 0,3622 -0,249 0,0005 -17.23 0,000042 0,314 -0,126 0,000068 -16.68 0,000071 0,353 -0,130 0,3784 -0,227 0,000B -18,42 0.000068 0,330 -0,157 0,000111 -17,86 0,000116 0,368 -0,162 0,3814 -0,216 J,0010 -19,07 0,000085 0,344 -0,179 o.COC141 -18 o "-9 0,000147 0,382 -0,184 0,3843 -0,207 0,00;_0 -21,51 0,000171 0,351 -0,240 0,000286 -20,93 0,000296 O, 38 6 -0,248 0,3850 -0,180 r,0050 -25,91 0,000428 0,352 -0,335 0,000716 -25,35 0,000737 0.380 -0,352 0,3839 -0,124 0.0010 -27,91 0,000599 0,350 -0,343 0,000999 -27,41 0,001023 0,372 -0,367 0,3823 -o. 115 0,0100 -30,27 0.000856 0.344 -o, "-12 Cl,001419 -29.80 0,001450 0,365 -0,402 0,3808 -0,091 0.0120 -31,56 0,001027 0,337 -o.soo 0,!1150 -33.22 '.l.001284 0,331 -0.518 '.l,0170 -34,20 íl,001456 0.328 -0,522 0,0200 -35,51 C!,001713 0,323 -o,51e 0,0?20 -36,30 0,001884 0,319 -0,509 0.0250 -'37.39 0,002141 0,315 -o, 48 7 0,003438 0,0270 -38,06 0,002312 0,312 -0,468 0,003702 -37,73 0,0037"-8 0,324 -0,493 0,3726 -0,007 c.,;300 -39.00 0,002569 o,3nq -0,433 0.004095 -38.72 0,004135 0,317 -0,455 0,3712 -0,046

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0,0800 -12,39 0.000000 0,000 u.ooo C,OOOIJOO -12,39 0,0000GO 0.000 0,000 0,2926 -0,268 n.0001 -16,19 n.ol'Joo08 0,305 -0,104 8,000013 -15,64 0,000014 o.347 -0,107 0,3772 -0,235 •J.r~005 -20,64 '.J,000042 0,3A6 -0,227 0,C00072 -20,00 0,000075 0,406 -0,235 0,3587 -0,186 0,0'.)08 -22,6R 0,000068 0,377 -0.287 0.000117 -22,01 0,000122 0,416 -0.298 0,3907 -0,155 O,Cl'.111 -23.PO CJ,OOOOR5 Q,3R9 -C,329 0,000148 -23-10 0.000154 0,430 -0,31.3 0,3933 -0,130 0,0ê'20 -28,DI. 0,000171 0,39? -0,386 0,000298 -27,39 0,000307 0,423 -0,419 0,3920 -0,078 o.C050 -3'i,72 0,0004?º 0.3~3 -0,611. D.0070 -39,?I. 0,0CJ0599 0,379 -0.520

TABELA PARA K= 0,0 TA>'18F= 0,0 vlA"IB= O, O SETA= 1,0 P,,= 0,70 se= o.ss

CHI HW-1 0'1EGA- I NT-A NW-A O"IEGA-A T;JF-F OMEGA-F NT-F NW-F NURE-F DFI-F

0.0000 -3,R2 0.000000 o.ooc, º·ººº o.oocooo -3,82 0.000000 0.000 0.000 0,2926 -o. 2(,8 0,0001 -7.45 0,000008 0,243 -0.099 0.000012 -6,66 0,000013 0,284 -0,103 0,3643 -0,236 0,0005 -11,74 (1,000042 0,323 -0.211 :J.C00069 -10,77 0,000073 0,373 -0,224 0,3824 -0,191 0,0008 -13,73 0,000068 0,342 -0.257 0,000113 -12,73 0,000119 0,391 -0,275 0,3860 -0,167 0,0010 -14,84 0,000085 0,356 -0,293 0,000143 -13,7e 0,000151 0,409 -0.314 0,3893 -J,147 0,0020 -19.02 0,000171 0,366 -0,398 0,000290 -17,91 0,000305 0,417 -0.420 0,3908 -G.076 ü,0050 -26,65 0,000428 0,370 -0,577 O,J070 -30,18 0,000599 0,366 -0,665 0.0100 -34,35 0,000856 e. 362 -O• R 2 5

TARcLA DARA K= O.O TAMRF= 10•0 WA"R= O.O RETA= 1.0 PR= 0.70 SC= 0.55

CHI TWF-l O'>EGA-l NT-A NVi-.1\ 0'1EGA-A TWF-F OMEGA-ç NT-F :\~~V-F i!URE-F DFI-F

C,0000 4.1 7 º·ºººººº CJ.80() º·ººº J.nooooo 4.1 7 0,000000 0.000 0.000 ü,2'i26 -0,268 0.0001 0,7R O,OOOOOP 'J, 185 -0,089 0,000011 1.78 0,000012 0,218 -0,095 0,3498 -0,239 o.ooo~ -3.30 0.000042 0,272 -o• 19 2 0,000065 -1,93 0,000069 0,327 -0.206 0.3733 -0.198 O,ODOR -5,20 0,000068 0,296 -0,242 0,000107 -3,73 0.000114 0,356 -0,260 0,3790 -0.174 0,001,J -6,?5 o.oooos5 0,312 -0.27P. 0,000137 -4.68 O,D0011+7 0,378 -0.301 0,3835 -0,154 0,0020 -10,29 0.000111 0.33-, -0.377 0,000280 -B,54 0,000302 0,405 -0,416 0.38t36 -0,080 0,0050 -17,79 0,000428 0,350 -0.546 o.orno -21.28 0.000599 0,351 -0,64P 0,0100 -25.44 o.oooas6 n. 351 -0,753 0,0200 -35,01 0,001713 0.338 -0,979

,

e ,

f ,

fw,

h, h*

K ,

k ,

M ,

n.r , I1w ,

Pr,

NOMEN< ::r.ATURA

calor específico a pressão constante

ooeficiente de difusão binário;

carga térmica interna/ tanpo-área

59.

energia radiante térmica absorvida pela placa/ tempo -~

- area ;

e . r (1) '

energia radiante térmica emitida pela placa ~

- area;

"stream function" aclimensional

valor de f na parede ;

coeficientes locuis de transferência de calor

coeficiente de radiação, e cr r! calor latente de sublimação

parâmetro de radiação-fonte,

condutividade ténnica ;

massa molecular do material da parede ;

massa molecular elo gás da co=ente livre

taxa local dé sublimação por unidade de área

número de NusselL, h x / k

/ tenpo -

parâmetro de variação da temperatura da parede, equação(30};

parâmetro de variação da fração mássica na parede , ~

ção · (30) ;

número de Prandtl, µ e / k p

p '

p"' '

q ,. e

Re I X

Se I

T I

T I "'

u I

"' u I

V ,

vc I

w '

wg

.w"' X ,

y I

z I

SÍillbolos gregos

a I

e:

pressao total (E.ana das pressoes parciais) ;

pressao parcial de vapor do gás sublimado;

pressão estática do meio ambiente;

60.

fluxo local de calor por convecçao por unidade de área;

sumidouro de calor devido à sublimação (energia/ tempo­

- área);

número de Reynolds,

número de Schmict,

temperatura ;

U X / li "'

\) I D

temperatura da corrente livre ;

velocidade da ccrrente livre ;

c:anponente longitudinal da velocidade

canponente tranEversal da velocidade

velocidade convectiva;

fração mássica ao gás sublimado

fração mássica ao gás da corrente livre ;

fração mássica co gás sublimado na corrente livre

ccordenada longitudinal;

coordenada transversal;

função auxiliar, equaçao (40)

difusividade térmica;

espessura da carrada limite ténnica ;

espessura da carrada limite de difusão

"emittance" ;

n

e

µ ,

\J ,

p ,

0 I

~ I

X '·

1/J ,

íl ,

fndices:

g ,

w ,

o ,

m ,

variável de s:imilaridade I equaçao (24)

temperatura adimensional I equaçao (25) i

viscosidade absoluta;

viscosidade cine.nática

variável de s:imilaridade local , equaçao

densidade

constante de Stefan - Boltzrr,ann;

fração mássica a:J.imensional, equação (25)

coordenada adilrensional, equação (9) ;

"stream fw1ction" , equação (23) ;

(24)

coordenada logitudinal proporcional a x, equaçoes e (42).

gás da corrente livre;

superfície da placa, y = O

origem da placa, x = O ;.

corrente livre.

61.

(41)

40:3090 SUBLIMACAO PE UMA CAMADA LAMINAP EM PPESEi"iCA DE PAD I ACAO 1 1 11 11 ,,,~,,

7176 01 'l '1 " '1 '1 . ' '1

i ' 1 ri '1

1 1

'1 '1 ·1 '''l 1 1 1 1

o I o o lo l l o o o o o o o o o o o o ' o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o'! o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 1 o o o o o o o o 1 ZJ4 56 189Wngn14~IB11IB19MZIUHN~nz1nMMMJ2JlM~HJl~~W~U4J444546414649~~~~M~%Sl~"W6!6/6lM~~6168~raJIU/]M~MllfflHM

1 11 11 1 11 111 11 111 111 i' 11 1 1 1 1 1 , 11 1111111 111 '' 1 1 11 1 '' 1 1 ·: 1 ': 111 1 J '' 1 11111 1 1 1 1 11

2 2 2 2 111 2 '2 2 121212 2 2121211121111212 12212222221':211112121211221121211111111111111

3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3,3 3 ,, 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ': 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

4~44444 444 '44444 44 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 4 4 44 4 4 4 4 4 4 ': 4 4 4 4 ': 4 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 4

5555555555555555555 5555555555555555 555 5555 5 '5555':55555555555555555555555555

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ', 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ' 6 6 6 6 6 6 ' 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

7777777777777777777777777777777777777777777 777777777)77)777777717:1·77777777777

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

9999 '999999 ·99999999999999999999999 '99 '99999 '9999999999 '99 999999999999999999999 1 1 l 4 ~ 6 1 B 9 mnll1Jl41516tll8192021212l242526212B2930Jl3233Ji:l'il6lJJaJ9404\4?4H44~!6414~.495il515]5lJl5'i5~J/'iJ'.i'l60~1Uh<6r.(,'i6fi;,:ra6·•iC·ll'11Jg" 1é 11/Bi~BO COtJlltlAC +-

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2111111 '2 ·111111122111111111111111111111112121 121121111111111111111111111111112

33 3333333 :333 ,3333333333 333333 3333333333333333 3333333333 3333333333333333333

4444 4 4444 444444 4444444444 4444 4444444444444444444444

5555555555555555555 ,5555555555555555 555 5555 5 5555 55555555555555555555555555

6666666666666666 ,666666666666666666666666666666666666666666666 666666 6666666666

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88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

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