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Esta aula: ! Sistema de representação de grandezas por

unidade (pu) Há quatro grandezas elétricas fundamentais: • Tensão, • Corrente, • Impedância, • Potência (aparente).

Dadas duas delas, as outras duas podem ser calculadas. Sistema por unidade: • Escolhemos valores para duas das

grandezas fundamentais e determinamos os valores das outras duas grandezas, formando, assim, o conjunto de grandezas base;

• Todas os valores de tensão, corrente, impedância e potência de um circuito são, então, expressas como frações das grandezas base.

Grandeza de base: sempre um número real

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Por exemplo: Suponha que as grandezas base sejam: • Tensão base bV • Potência aparente base bS

Portanto:

• Corrente base: b

bb VSI =

• Impedância base: b

bb SVZ2

=

Assim, tensões, correntes, impedâncias e potências poderão ser expressas como frações de bV , bI , bZ e bS . Exemplo: Seja a tensão fasorial φ∠= 0VV volts. Essa tensão pode ser expressa em pu como

φφ

∠=∠

=bb VV

VV 00v pu.

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A potência complexa θ∠= SS volt-ampere pode ser expressa em pu como

bbb SQj

SP

SS

+=∠

=θs

Exercício (Retirado das notas de aula do ET720, do Prof. Castro) Consideremos o circuito abaixo:

Ω8,0 Ω6,0

EkVA100=CSV200=CVatrasado 8,0=FP

Vamos adotar como grandezas base a tensão e a potência na carga:

kVA 100=bS e V 200=bV .

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Portanto, a corrente base e a impedância base são:

Ω=== 4,0000.100

20022

b

bb SVZ

AVSIb

bb 500== .

Portanto, a potência complexa da carga agora pode expressa como (usando o FP = 0,8 atrasado)

pu 9,361 oc ∠=s ,

Se assumirmos que a tensão na carga é a referência de fase do circuito, temos

pu 01 oc ∠=v .

Podemos redesenhar o circuito com as grandezas expressas apenas em pu:

pu5,1

Epu 9,361∠=Cs

pu 01∠=Cv

pu2

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Sistema por unidade em circuitos com transformadores

Veremos a seguir que o uso do sistema por unidade permite eliminar a representação de transformadores, ficando os efeitos de um transformador (aumento ou diminuição de corrente e tensão) incorporados intrinsicamente pelo sistema por unidade. Consideremos o transformador ideal abaixo, com suas especificações de potência aparente e de relação entre tensões indicadas.

V2V1

I1 I2

100 kVA 138/13,8 kV

Área 2 Área 1

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Portanto, a relação entre os números de espiras é

1,0000.138800.13

1

2 ===NNa .

A potência aparente especificada (100 kVA) corresponde à potência aparente nominal referente ao primário e ao secundário, pois estamos assumindo que o transformador é ideal. Note que o transformador foi dividido em duas áreas, pois serão definidos dois conjuntos de grandezas base para serem usadas em cada uma das áreas: Área 1:

kVA 1001 =bS e V .0001381 =bV

Área 2: kVA 1002 =bS e V 800.132 =bV

Note-se que foram escolhidas como grandezas base a potência aparente e a tensão de cada lado (área). Essa regra deverá ser observada para se garantir que a representação do transformador possa ser eliminada.

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Vamos supor que a tensão no primário seja igual V 00.01301 =V . Se quisermos expressar essa tensão por unidade, usaremos as bases da área 1, ou seja,

0,942V = 000.138000.130

1 =v

Voltando ao transformador, uma tensão no primário V 00.01301 =V corresponde a uma tensão no secundário de

V 000.1300.01301,01,0 21

2 =×=⇒= VVV

Agora, para expressarmos V 00.0132 =V por unidade, usamos as bases da área 2, resultando:

0,942V = 8000.13000.13

2 =v

Portanto, os valores em pu, 1v e 2v , são iguais, indicando que o transformador pode ser eliminado.

130 kV 13 kV 0, 92pu 0, 92pu

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Ou:

0, 92pu 0, 92pu

Vamos agora supor que no circuito secundário há uma impedância de valor 2Z . Seu valor em pu será

222

2

2

22

bbb SVZ

ZZz == .

Se essa impedância for transportada para o circuito primário, valerá, em ohms

22

1 aZZ = ,

e, em pu, valerá

121

1

1

11

bbb SVZ

ZZz == .

Lembrando que

21 bb SS = e 12 bb aVV = ,

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então, temos,

z1 =Z1

Vb12 Sb1

=Z2 a2

Vb22 a2( ) Sb2

=Z2

Vb22 Sb2

= z2 .

Portanto, se expressa em pu, usando as bases de cada área, uma impedância mantém o seu valor quando é transferida de um circuito para outro no transformador. Essa propriedade constata que, quando usamos o sistema por unidade, podemos eliminar a representação do transformador no circuito. Exemplo: Considere o circuito abaixo.

1Ω

1:10

I1 I2

200Ω

Inicialmente determinamos os valores das correntes no circuito usando o método convencional, e chegamos a

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10

1Ω

1:10

I1 = 33,3A I2 = 3,33A

200Ω 666, 7V33,3V

66, 7V100V 666, 7V

Vamos agora redesenhar o circuito, usando a representação por unidade. Para tal, vamos adotar: Primário: kVA 511 =bS e V 0011 =bV Secundário: kVA 512 =bS e V 000.12 =bV Note que adotamos um valor arbitrário para a potência aparente base, mas que é igual para ambas as áreas. Por outro lado, ou 1bV ou 2bV é arbitrário, mas devemos garantir 12 bb aVV = . Portanto, temos:

Primário Secundário kVA 511 =bS kVA 512 =bS

V 0011 =bV V 00012 =bV A 0151 =bI A 152 =bI Ω= 667,01bZ Ω= 7,662bZ

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Assim, usando essas grandezas base, o circuito fica:

1Ω

1:10

i1 = 0, 222A i2 = 0, 222A

3Ω 0, 667V0,33V

0, 667V1V 0, 667V

Note, portanto, que a representação do transformador nesse circuito é desnecessária, pois o seu efeito está embutido na relação entre as grandezas base 1bV ou 2bV , ou seja, usamos

12 bb aVV = . Caso tenhamos um transformador em que a impedância de dispersão não seja desprezível, podemos representa-lo como um transformador ideal, associado a uma impedância de dispersão (referida ao primário ou ao secundário). Em geral, a impedância de dispersão é expressão em pu, ou seja, uma porcentagem da impedância base.

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Circuito com diversos transformadores Quando um circuito tem diversos transformadores conectados em cascata, aparecerão diversas áreas, e os limites entre essas áreas serão os acoplamentos magnéticos dos transformadores. Cada uma dessas áreas terá a sua própria base, como nos exemplos vistos até agora. Para garantir a vantagem do sistema por unidade de eliminar a representação de transformadores, devemos: • Adotar em todas as áreas o mesmo valor

para a grandeza base da potência aparente; • Adotar valores de grandeza base de tensão

que obedeçam as relações entre os números de espiras dos transformadores.

Note que esse procedimento nada mais é do que uma extensão do procedimento adotado nos exemplos mostrados acima.

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Exemplo: Considere o circuito abaixo.

1:10 2 :1

300Ω

10.000 kVA kVA 000.12

1T 2T

kV 38/691kV 3,8/1381 As reatâncias de dispersão dos transformadores 1T e 2T referidas ao secundário são,

respectivamente, Ω20j e Ω50j (essas impedâncias não estão desenhadas no circuito). Vamos desenhar o circuito equivalente usando grandeza por unidade.

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Note que o circuito possui três áreas, como mostrado na figura abaixo:

1:10 2 :1

300Ω

10.000 kVA kVA 000.12

1T 2T

Área A Área B Área C

kV 38/691kV 3,8/1381 Adotando a tensão base da área C igual a

kV 69=bCV , então as tensões bases de cada área serão:

kV 13821

21

2 =⇒=""#

$%%&

'= bB

TbB

bC VNN

VV

e

kV 8,131011

2 =⇒=""#

$%%&

'= bA

TbA

bB VNN

VV .

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Relembrando, precisamos usar o mesmo valor de potência aparente base em todas as áreas, de forma a garantir que a representação dos transformadores possa ser eliminada. Assim, adotaremos.

kVA 000.10=== bCbBbA SSS .

Note que poderíamos ter adotado outro valor, como, p.ex. 12.000 kVA. O importante é usar o mesmo valor para todas as áreas. Agora, podemos calcular as outras grandezas bases das três áreas, usando:

b

bb VSI = e

b

bb SVZ2

= .

Fazendo-se os cálculos, os valores mostrados na tabela abaixo resultam: Área bS (kVA) bV (kV) bI (kA) bZ (Ω)

A 10.000 13,8 724,6 19 B 10.000 138 72,5 1.904,4 C 10.000 69 144,9 476,1

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Agora, vamos tratar das impedâncias do circuito. Explicitando tais impedâncias, temos o circuito:

5,02 =a

300Ω

Ω=19bAZ

Área A Área B Área C

101 =a

Ω=1904bBZ Ω= 1,476bCZ

Ω50jΩ20j

Usando os valores das impedâncias base de cada área, o circuito pode ser redesenhado como mostra a figura abaixo:

pu63,0

Ω=19bAZ

Área A Área B Área C

Ω=1904bBZ Ω= 1,476bCZ

puj 105,0puj 0105,0

12 =a11 =a Note que o valor por unidade de qualquer uma das três impedâncias permanece inalterado se a

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impedância for transferida para as outras áreas (usando o conceito de impedância refletida). Por exemplo, se mudássemos a posição da impedância de dispersão referida ao secundário do segundo transformador (cujo valor é j50 ohms), passando-a para o primário desse transformador (ou seja, mudar a impedância de j50 ohms da área C para a área B), o seu novo valor, em ohms, seria

Ω== 20025,05050

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jjaj .

Agora, o valor por unidade dessa impedância é calculado com base no valor Ω=1904bBZ , resultando em

puj 105,01904200

= ,

Portanto, o mesmo valor obtido quando a impedância estava no secundário do transformador (na área C). Uma vez que o valor da impedância de dispersão expresso por unidade é o mesmo,

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independentemente se for referido ao primário ou ao secundário, podemos apenas indicar o seu valor em pu, não sendo necessário especificar se aquele valor se refere ao primário ou ao secundário. É claro, precisamos conhecer os valores base usados. Por fim, o circuito com os dois transformadores pode ser apresentado como mostra a figura.

pu63,0

puj 105,0puj 0105,0

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Escolha dos valores base Equipamentos elétricos são tipicamente especificados pelos seus valores nominais de tensão e de potência aparente. Esses valores são aqueles de operação normal do equipamento. Assim, a tensão nominal e a potência aparente nominal são geralmente escolhidas como valores bases para o sistema por unidade. • Lembre-se que a corrente e a impedância

base podem ser obtidas a partir da tensão e da potência aparente base.

Assim, as características relacionadas a impedância de um equipamento (p.ex., a sua reatância de dispersão) são tipicamente expressas em pu, usando como base a tensão e a potência aparente nominais daquele equipamento.

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Mudança de base É comum o caso em que temos num circuito equipamentos com potências aparentes e/ou tensões nominais diferentes. Se alguma característica desses equipamentos está expressa por unidade que usa como base os valores de potência e tensão nominais, teremos que fazer a mudança de base antes de analisar o circuito. O procedimento de mudança de base resulta diretamente do conceito de expressar grandezas com relação a bases. Se uma tensão 0V , expressam em pu, vale v1 na base 1bV , então, essa mesma tensão expressa na base 2bV valerá v2 , tal que

!"#!"#00

2211

V

b

V

b VvVv ×=×

e, portanto,

2

112

b

b

VVvv ×= .

A mesma ideia valor para as outras grandezas.