ExemplosResolver as seguintes

equações:

Método dos Coeficientes a Determinar (Método de Descartes)

Para calcular uma solução particular yP, pelo método dos coeficientes a determinar, ou método de Descartes, têm-se três casos a considerar:

1º CASOQ é um polinômio inteiro em x, do grau m.yP é um polinômio inteiro em x, do grau m + h. sendo h a ordem da derivada de menor ordem contida na equação.

3

3

d y dy2) -4 =1 - 3x

dx dx

3 22

3 2

d y d y3) -2 =3x -2x+1

dx d x

22

2d y dy1) -5 +6y=2x - 1

dx dx

m'=2

m''=3

2 31 2

x xcy c e c e

Resolver as seguintes equações:

1)y’’ – 5y’+ 6y = 2x2 – l

Passo 1 Determinar a solução da equação homogênea

Equação característica:

m2 – 5m + 6 = 0

Assim ;

Passo 2 Determinar a solução da particular.

Assim:

yP = Ax2 + Bx + C

Derivando até a ordem da equação dada, tem-se:

yP = Ax2 + Bx + C

y’P = 2Ax + B

y’’P = 2A

* Como Q é um polinômio do 2º grau, então m = 2

Cálculo da solução particular yP:

* O 1° membro da equação tem como derivada de menor ordem a de grau zero, que é a própria função y, então h = 0,

* Tem-se que yP , é do grau m+h grau de yP = 2 + 0 = 2, ou seja yP é do 2º grau.

substituindo na equação dada:

yP’’ – 5 yP’+ 6 yP = 2x2 – l

2A – 10Ax –5B + 6Ax2 + 6Bx +6C = 2x2 – l

6Ax2 + (– 10A + 6B)x + ( 2A – 5B + 6C ) = 2x2 – l

B –10A + 6B = 0 – 10. + 6B = 0 6B = B =

C =

2A – 5B + 6C = – l 2. – 5. + 6C = – l – + 6C = – l

6C = – l – 6C = C =

6A = 2 A = 1

3