EDO- Método fator integrante
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PUC Minas
Livro texto: Equacoes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - WilliamE. Boyce e Richard C. Diprima.
Equacoes Lineares de Primeira OrdemAs equacoes (diferenciais ordinarias) lineares de 1a ordem podem ser escritas como
a(t)dy
dt+ b(t)y = c(t).
Vamos considerar as equacoes lineares de 1a ordem na forma
dy
dt+ p(t)y = q(t).
1o Caso: Equacoes em que p(t) = 0
Se a funcao p(t) = 0 a equacao torna-sedy
dt= q(t), que e facilmente resolvida integrando-se os
dois lados. Assim, a solucao geral desta equacao e dada por
y(t) =
∫q(t)dt+ c,
Exemplo: Encontre a solucao geral da equacao diferencial
dy
dt= sen(2t).
2o Caso: Caso geral
Vamos considerar equacoes da formady
dt+ p(t)y = q(t) em um intervalos em que p(t) e q(t)
sao contınuas. Para resolver esse tipo de equacao, definiremos uma funcao auxiliar, µ(t), de formaque, ao multiplicarmos a equacao dada por esta funcao, a equacao obtidda e uma equacoa linearcom p(t) = 0, ou seja, cairemos no primeiro caso, que ja sabemos resolver. Uma funcao com estapropriedade e chamada fator integrante da equacao linear.
1
Sejaµ(t) = e
∫p(t)dt.
Vamos mostrar que µ(t) e um fator integrante da equacao dada.
Exemplos: Resolva as equacoes diferenciais abaixo:
• dy
dt+
1
2y =
1
2et/3;
2
• dy
dt− 2y = 4 − t,
• tdy
dt+ 4y = 5t.
Exemplos: Resolva os PVI’s abaixo:
3
• tdy
dt+ 4y = 5t;
• y′ − 4
xy = − 2
x3.
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