Efeito Compton - Texto

Radiação e matéria

Efeito Compton

Espalhamento de raios X

Se um elétron pode ganhar energia ao absorver um fóton, como ocorre no efeito foto-elétrico,ele pode também perder energia emitindo fótons. Em especial, um elétron acelerado por umcampo elétrico poderá, ao colidir com matéria, produzir um ou vários fótons. Se a diferença depotencial aceleradora tiver valores na faixa de dezenas ou centenas de kV, o(s) fóton(s)produzido(s) terão energia na mesma faixa. Por razões históricas, este tipo de radiaçãoeletromagnética é denominado raio X.

É de se esperar que raios X sejam espalhados pela matéria, assim como ocorre para qualquerradiação eletromagnética. Dentro do quadro conceitual fornecido pela teoria clássica deMaxwell, a explicação do fenômeno é simples. Sob a ação do campo eletromagnéticoincidente, as cargas elétricas que compõem a matéria entram em movimento oscilatório defreqüência igual à do campo. As cargas então passam a atuar como emissores, que produzemradiação de freqüência igual à do seu próprio movimento. A característica essencial desteprocesso é então que as freqüências - e portanto os comprimentos de onda - da radiaçãoincidente e da radiação espalhada são iguais.

Já numa visão corpuscular, o espalhamento seria interpretado com uma colisão entre um fótonde raio X e uma partícula do material. Neste caso, haveria transferência de momentum do fótonincidente para a partícula atingida. Uma partícula inicialmente em repouso adquiririamomentum, e portanto energia cinética, na colisão. Por conservação da energia, haveria entãouma diminuição da energia do fóton. A nível ondulatório, ocorreria portanto uma diminuição dafreqüência, ou ainda, um aumento do comprimento de onda.

Compton1 realizou experimentos nos quais raios X de energia inicial definida eram espalhados

por um alvo de grafite. O comprimento de onda dos raios espalhados por um dado ângulo q,

medido em relação à direção incidente, era determinado utilizando-se a difração de Bragg1,2.

Esquema do experimento de Compton.

Efeito Compton - Texto http://www.if.ufrgs.br/~betz/iq_XX_A/efCompt/aEfComptonText.htm

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Os resultados dos experimentos indicaram que, paraqualquer direção de observação que não seja a direção dofeixe incidente, o espectro de raios X espalhados exibiaduas linhas, uma de comprimento de onda igual aodos raios incidentes e a outra de comprimento deonda maior. A diferença de comprimento de onda entreas duas linhas, aumentava com o ângulo deespalhamento. Estas características são incompatíveiscom a visão meramente ondulatória do espalhamento, equalitativamente consistentes com a visão corpuscular.

Espectro observado no

experimento de Compton, para

vários valores do ângulo de

espalhamento.

[1] Arthur Holly Compton, físico americano, 1892-1962.

[2] William Henry Bragg, físico inglês, 1862-1942.

[2] Este procedimento utiliza um cristal como rede de difração.

Teoria da colisão fóton-elétron

O próprio Compton desenvolveu a teoria do espalhamento de raios X pela matéria,baseando-se nas seguintes hipóteses:

o espalhamento pode ser interpretado como uma colisão entre um fóton de raio X e umelétron do material alvo;como a energia de um fóton de raio X é muito maior que as energias cinéticas epotenciais de um elétron na matéria, podemos desprezar estas energias e considerar oelétron como livre e inicialmente em repouso;a energia e o momentum linear são conservados na colisão;como a energia inicial do fóton não é muito menor que a energia de massa do elétron,precisamos utilizar a cinemática Einsteiniana.

Lembramos que, na cinemática Einsteiniana, a velocidade de uma partícula é dada, em termosda sua energia total E e do seu momentum linear p por

(7-1)

No caso de uma partícula que anda à velocidade da luz, como é o caso do fóton, isto resulta

em1,2

(7-2)

A nível ondulatório, esta relação traduz-se por

(7-3)

onde l é o comprimento de onda.


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Para uma partícula massiva como o elétron, cuja massa de repouso denotamos por me, a

relação Einsteiniana entre momentum e energia total fica

(7-4)

A cinemática da colisão está representada na figura. Antes da colisão, o momentum do fótontem módulo p

g. A energia correspondente é E

g e o comprimento de onda é l. O momentum

inicial do elétron é pe = 0 e portanto a energia correspondente é E

e = m

e c

2. Após a colisão, o

momentum do fóton tem módulo pg' e faz um ângulo q com a direção do movimento do fóton

incidente. A energia correspondente é Eg' e o comprimento de onda é l'. O elétron atingido

recua com momentum pe' numa direção fazendo um ângulo f com a direção de movimento

inicial do fóton. A sua energia final é Ee'.

Cinemática do espalhamento de Compton.

Na notação vetorial, a equação de conservação do momentum linear fica

(7-5)

de onde tiramos

(7-6)

A conservação da energia toma a forma

(7-7)

ou

(7-8)

ou ainda, expressando as energias em termos dos momenta com a ajuda da relações (7-2) e(7-4):

(7-9)

Desenvolvendo o lado direito desta equação e efetuando algumas simplificações, obtem-se

(7-10)

Subtraindo a equação (7-10) da equação (7-6) e dividindo por 2, chegamos a

(7-11)

Conseguimos assim eliminar o momentum final do elétron das equações de conservação,obtendo, para um dado momentum inicial do fóton (ou seja, uma dada energia), uma relaçãoentre o momentum final do fóton e o ângulo de espalhamento. Dividindo pelo produto dosmomenta e reorganizando os termos, podemos re-escrever esta relação na forma:


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(7-12)

Vale notar que até este ponto, o desenvolvimento foi inteiramente baseado na cinemáticarelativística de partículas. Para deduzir o resultado ondulatório desejado, qual seja, aexpressão da modificação do comprimento de onda no espalhamento, basta multiplicar aequação (7-12) pela constante de Planck e invocar a relação (7-3); o resultado é:

(7-13)

Vê-se que o aumento do comprimento de onda no espalhamento é uma função simples doângulo de espalhamento e é independente do comprimento de onda (ou da energia) inicial. Aescala do deslocamento é determinada pela quantidade

(7-14)

o assim chamado comprimento de onda de Compton do elétron, cujo valor é

(7-15)

Aqui nós deparamos com um fato importante: ao introduzir uma escala de ação, epecificadapela constante de Planck, a física quântica associa a cada partícula uma escala intrínseca decomprimento, inversamente proporcional à massa.

Vale notar que a teoria desenvolvida acima, embora principalmente destinada a explicar osegundo pico no espectro dos raios X espalhados num dado ângulo, fornece também umaexplicação do primeiro pico, cujo comprimento de onda é igual ao do feixe incidente. Para oselétrons mais ligados num material, a energia de ligação pode chegar a dezenas dekilo-eletronvolts. Neste caso, o elétron atingido pelo fóton não pode ser considerado como livre,e é o átomo como um todo que recua para absorver o momentum transferido pelo fóton na suamudança de direção. Substituindo-se a massa do elétron na fórmula pela massa do átomo,dezenas de milhares de vezes maior, obtem-se um deslocamento de comprimento de ondainobservável. Assim, neste caso, a interpretação quântica do espalhamento leva ao mesmoresultado que a teoria clássica: o comprimento de onda da onda espalhada é igual aocomprimento de onda da onda incidente.

[1] Conforme a tradição, utilizamos a letra g para referimo-nós a um fóton.

[2] Vale lembrar que a mesma relação entre a energia e o momentum associados a uma onda

eletromagnética pode ser derivada da teoria de Maxwell.

Produção de raios X

Raios X podem ser produzidos num tubo de raios catódicos, aplicando-se uma alta voltagem -dezenas de kilo-eletronvolts - entre o anodo e o catodo. Os raios X são produzidos pelosimpactos dos raios catódicos sobre um alvo, que pode ser constituído de diversos materiais.


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Aparelho de raios X.

O espectro dos raios X produzidos apresenta um contínuo, assim como linhas paracomprimentos de onda bem definidos, que discutiremos após ter estudado a estrutura quânticado átomo. Ao serem freados pela matéria, os elétrons dos raios catódicos perdem energia eproduzem radiação, por isso denominada radiação de freamento, responsável pela partecontínua do espectro. Uma característica notável deste espectro é que ele se extende apenasaté um certo valor mínimo l

min do comprimento de onda, que depende da voltagem V aplicada

ao tubo mas não da natureza do material utilizado para o alvo. Evidentemente, de acordo coma teoria de Einstein, esta radiação é constituída de fótons, e Einstein foi logo capaz deexplicar o corte no espectro e calcular o valor de l

min, supondo que corresponde ao caso no

qual toda a energia adquirida pelo elétron ao atravessar a diferença de potencial é perdida naemissão de um único fóton. Obviamente, isto fornece a maior freqüência possível n

max para o

fóton de raio X,

(7-16)

e portanto o menor comprimento de onda,

(7-17)

Inserindo os valores das constantes fundamentais, esta relação pode ser re-escrita na formaconveniente:

(7-18)

com V em volts.


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