MTODOS COMPUTACIONAIS EM ENGENHARIA Lisboa, 31 de Maio 2 de Junho, 2004

APMTAC, Portugal 2004

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EFEITOS DE ELASTICIDADE EM ESCOAMENTO ATRAVS DE CONTRACO PLANA

Manuel A. Alves*, Paulo J. Oliveira** e Fernando T. Pinho***

* Departamento de Engenharia Qumica, CEFT, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Rua Dr. Roberto Frias, 4200-465 Porto, Portugal e-mail: mmalves@fe.up.pt, web http://www.fe.up.pt/~mmalves/

** Departamento de Eng. Electromecnica; Universidade da Beira Interior

6201-001 Covilh, Portugal e-mail: pjpo@ubi.pt, web http://demnet.ubi.pt/~pjpo/

*** Centro de Estudos de Fenmenos de Transporte

Departamento de Engenharia Mecnica, Universidade do Minho Campus de Azurm, 4800-058 Guimares, Portugal

e-mail: fpinho@dem.uminho, web http://www.dem.uminho.pt/PEOPLE/FTP/

Palavras-chave: Elasticidade, Contraco Plana, Tipos de Vrtices, Reologia Computacional.

Resumo. Resultados experimentais mostram que, quando um lquido viscoelstico flui atravs duma contraco, ocorrem fenmenos muito interessantes que no se verificam quando o fluido desprovido de caractersticas elsticas. Entre os fenmenos de interesse, verifica-se o aparecimento de grandes vrtices a montante da contraco cujo tamanho aumenta com a elasticidade do fluido. Observa-se experimentalmente que, para determinadas condies (geomtricas, como seja a razo de reas da contraco, e reolgicas, respeitantes s caractersticas do fluido), o aumento dos vrtices segue um mecanismo tipo "vrtice de entrada": aparece um pequeno vrtice entrada para a conduta menor (lip vortex), que aumenta com a elasticidade at se tornar preponderante relativamente ao vrtice tpico do canto. Noutros casos, ocorre simplesmente um aumento do vrtice de canto. Neste trabalho faz-se um estudo numrico deste tipo de fenmeno, comparando-se os resultados das simulaes com visualizaes experimentais efectuadas por outros autores, para vrias razes de contraco e parmetros de elasticidade. Mostra-se que a complexa topologia do escoamento bem descrita pela simulao numrica e os dois tipos de mecanismo responsvel pelo aumento dos vrtices, visveis nas experincias, so tambm reproduzidos pelas simulaes.

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1. INTRODUO

O projecto de cabeas de extruso tem grande relevncia prtica no processamento de polmeros fundidos. Frequentemente os fluidos usados possuem comportamento no newtoniano, e em certos casos caractersticas viscoelsticas. O escoamento em contraces surge assim naturalmente como um prottipo simples usado em reologia computacional dada a sua relevncia prtica aliada a uma simplicidade do ponto de vista geomtrico.

O escoamento de fluidos viscoelsticos em contraces tem j uma longa histria, com cerca de 3 dcadas, quer sob o ponto de vista experimental, quer numrico. A este respeito, em 1988 foi estipulado que a geometria com uma razo de contraco 4:1 deveria ser considerada como problema de referncia em reologia computacional [1], para escoamento laminar em regime de Stokes. A escolha da razo 4:1 baseou-se em grande parte no facto desse parmetro no ter uma influncia decisiva no padro de escoamento observado com fluidos newtonianos para geometrias com razo de contraco superior a 4. Contudo, observaes experimentais recentes [2,3] demonstraram que o escoamento de fluidos com comportamento elstico fortemente dependente da razo de contraco, mesmo em condies de inrcia desprezvel.

Neste estudo pretende-se analisar numericamente a influncia da razo de contraco no padro de escoamento de um fluido viscoelstico cujo comportamento reolgico descrito por um modelo diferencial do tipo PTT [4]. A previso do escoamento efectuada com um algoritmo baseado no mtodo dos volumes finitos, o qual j foi testado com sucesso em diversos trabalhos anteriores (e.g. [5-9]) na modelao do escoamento de fluidos viscoelsticos descritos por diversos modelos constitutivos diferenciais. Na prxima seco descrevem-se as principais caractersticas do mtodo numrico, seguindo-se uma breve descrio da geometria em estudo assim como a identificao dos parmetros adimensionais relevantes. Posteriormente apresentam-se os resultados numricos, assim como comparaes com visualizaes experimentais do escoamento numa contraco plana 16:1, terminando-se com a apresentao das principais concluses deste estudo.

2. METODOLOGIA DE CLCULO NUMRICO

2.1. Equaes de governo

O comportamento de um fluido viscoelstico em escoamento descrito matematicamente pelas equaes de conservao da massa,

0 =u (1)

de quantidade de movimento,

( )T( spt + = + +

u uu) u+ u (2)

e uma equao constitutiva reolgica adequada que traduza a tenso polimrica, . Neste

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trabalho escolheu-se o modelo PTT,

T T( ) ( ) ( ) ( )pft + + = + + +

u u u u u (3)

em que a funo da tenso dada por uma relao linear no trao da tenso ( Tr( ) ), na forma proposta em [4]:

( ) 1 Tr( )p

f

= + (4)

Nas equaes (1) a (4) u representa o vector velocidade, p a presso, e a massa volmica e o tempo de relaxao do fluido, s a componente newtoniana (constante) da viscosidade (varivel) do fluido, p um parmetro do modelo PTT (que representa a componente polimrica da viscosidade para baixas taxas de deformao), e um outro parmetro do modelo PTT, que influencia fortemente o comportamento do fluido em escoamento extensional.

A equao constitutiva descrita pelas Eqs. (3) e (4) simplifica-se no modelo de Oldroyd-B para o caso 0 = , e no modelo convectivo superior de Maxwell (vulgarmente designado por UCM, acrnimo de Upper-Convected Maxwell) para 0s = = . O modelo de fluido newtoniano recuperado para o caso 0 = .

2.2. Metodologia de volumes finitos

O conjunto das equaes anteriores resolvido numericamente usando uma metodologia de volumes finitos. Para uma descrio detalhada da estratgia de clculo sugere-se a consulta das referncias [5] a [10].

De forma resumida podem identificar-se as seguintes particularidades do mtodo de clculo numrico: (i) so usadas malhas colocadas, sendo todas as variveis calculadas nos centros dos volumes de controlo (clulas) que constituem a malha computacional; (ii) usado um mtodo especial para garantir um forte acoplamento entre os campos das variveis dependentes: u - p - (velocidade/presso/tenso); (iii) a discretizao espacial efectuada com esquemas de diferenas com preciso numrica de 2 ordem. Este assunto foi discutido em detalhe nas Refs. [5], [7] e [8], no sendo por essa razo aqui novamente apresentado. De salientar que a discretizao do termo convectivo da equao constitutiva efectuada com um esquema de alta resoluo proposto pelos autores num trabalho anterior [8], onde se demonstra a sua elevada preciso numrica e boa convergncia iterativa.

As equaes (1) a (3) so discretizadas, linearizadas e transformadas em sistemas de equaes algbricas que relacionam os valores de cada varivel dependente no centro das clulas com os respectivos valores nos centros das clulas vizinhas. Os termos inerciais das Eqs. (2) e (3) so includos no processo de discretizao, sendo a soluo de estado estacionrio obtida por um processo iterativo de avano no tempo. A discretizao dos termos inerciais efectuada com um mtodo de Euler implcito de 1 ordem, no havendo assim qualquer restrio no passo de integrao temporal, dado que apenas se pretende obter a

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soluo de estado estacionrio. O campo de presso obtido a partir da equao da continuidade usando uma verso ligeiramente modificada do algoritmo SIMPLEC, o qual adaptado utilizao de uma marcha temporal e incluso da equao constitutiva viscoelstica (para uma descrio mais detalhada sugere-se a consulta da Ref. [5]).

2.3. Definio do problema e malhas computacionais

A geometria em estudo apresentada esquematicamente na Figura 1, onde so definidas algumas das variveis de interesse. A razo de contraco (CR) um parmetro importante no padro global de escoamento, sendo definido por

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HCRH

= (5)

em que 1H representa a semi-largura do canal de montante, e 2H a semi-largura do canal de jusante (de menor dimenso). Os restantes parmetros adimensionais que caracterizam completamente este escoamento so a razo de viscosidades, 0/s , o parmetro extensional do modelo PTT, (em todos os clculos usado o valor 0.25 = , caracterstico de polmeros fundidos ou de solues polimricas concentradas), o nmero de Dbora,

22

UDeH

= (6)

e o nmero de Reynolds,

2 20

U HRe

= (7)

sendo 2U a velocidade mdia no canal de jusante e 0 ( )s p + a viscosidade total a baixas taxas de deformao. Dado que a viscosidade dos fluidos viscoelsticos geralmente elevada, os escoamentos com relevncia prtica ocorrem normalmente em condies de baixo nmero de Reynolds. Assim, neste trabalho considera-se a situao limite 0Re = , que imposta por anulao do termo convectivo ( ( uu) ) das equaes de conservao da quantidade de movimento (Eq. 2).

Como existe simetria do escoamento relativamente ao plano central, apenas se considera a metade superior da contraco (o plano central considerado uma fronteira de simetria), reduzindo-se assim para cerca de metade os tempos de clculo e os requisitos computacionais em termos de memria. A principal desvantagem desta simplificao reside na impossibilidade de se preverem eventuais assimetrias no escoamento induzidas por efeitos elsticos, assim como eventuais escoamentos no estacionrios.

Dado que so alcanadas solues numricas para valores elevados da elasticidade do fluido torna-se necessrio utilizar condutas com dimenso longitudinal extremamente elevada. Para tal, foram geradas malhas computacionais com comprimentos adimensionais

1 2/L H e 2 2/L H iguais a 2500 (em certos casos chegaram a ser usados comprimentos superiores, em particular para as razes de contraco mais elevadas e para os valores de De

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superiores). Desta forma possvel garantir um desenvolvimento completo dos perfis de velocidade e tenso, evitando qualquer influncia nefasta das condies fronteira (quer de entrada, quer de sada) nos resultados junto ao plano da contraco. Na Figura 2 apresenta-se um detalhe da malha junto ao canto reentrante, para o caso 10CR = . Observa-se um maior refinamento da malha junto ao ponto singular (canto reentrante), onde so esperados os maiores gradientes de tenso. As clulas adjacentes ao canto reentrante tm uma dimenso de

min min 20.02x y H = = . Para as restantes razes de contraco analisadas neste estudo, o refinamento junto ao canto reentrante semelhante ao ilustrado na Figura 2.

H1

H2 x

y Ent

rada

Plano de simetria

L12500H2

L22500 H2 xR

Canto reentrante U1

U2

Figura 1. Ilustrao da geometria em estudo.

Figura 2. Ilustrao da malha computacional, junto ao canto reentrante, para o caso CR=10.

ZOOM

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3. RESULTADOS E DISCUSSO

Nesta seco apresentam-se os resultados numricos para o escoamento de Stokes em contraces planas para diferentes razes de contraco. Nas Figuras 3, 4 e 5 apresentam-se os padres de escoamento obtidos para CR = 4, 20 e 100, respectivamente. O fluido considerado nas simulaes descrito pelo modelo PTT linear, tendo sido usados os parmetros 0.25 = e 1/9 = , em sintonia com estudos anteriores (e.g. [11]). O nmero de Reynolds considerado nas simulaes nulo, e a variao do nmero de Dbora obtida por alterao do tempo de relaxao do fluido, .

Comparando os resultados apresentados nas Figuras 3 a 5, obtidos para diferentes razes de contraco, observa-se uma influncia decisiva desse parmetro no padro de escoamento. Por exemplo, para a contraco 4:1 verifica-se um crescimento do vrtice de canto sem surgir um vrtice de entrada. Para as contraces 20:1 e 100:1 tambm se observa um crescimento do vrtice de canto com o aumento da elasticidade surgindo, para valores de De moderados, um vrtice de entrada que acaba por dominar o escoamento para valores de elasticidade elevados.

Estes resultados demonstram que a escolha da contraco 4:1 para problema de referncia em reologia computacional talvez no tenha sido a mais acertada, j que foi baseada na suposio (errada) de que a razo de contraco deixaria de ser importante para valores de

4CR . Nigen e Walters [3] tambm chegaram a esta concluso com base em visualizaes experimentais do escoamento de fluidos viscoelsticos em contraces planas com diferentes razes de contraco.

Efectuando um elevado nmero de simulaes numricas em contraces planas com diferentes razes de contraco foi possvel obter um mapa de padres de recirculao, onde se distinguem as regies em que existe apenas um vrtice de canto, um vrtice de entrada, ou uma combinao destes dois tipos de recirculao. Esse tipo de mapa apresentado na Figura 6, em funo de /De CR e de De , demonstrando-se que o vrtice de entrada aparece a um valor de De aproximadamente constante, enquanto que a fuso de ambos os vrtices ocorre a um valor de /De CR constante (para valores de 20CR , aproximadamente).

As Figuras 3, 4 e 5, ilustrativas do padro de escoamento de um fluido PTT linear numa contraco plana 4:1, 20:1 e 100:1, respectivamente, demonstram uma elevada (e inesperada) semelhana com as visualizaes efectuadas por Evans e Walters [2] para o escoamento de um fluido viscoelstico reofluidificante (soluo aquosa de poliacrilamida a 1% w/w) em contraces planas 4:1, 16:1 e 80:1. A escolha dos parmetros do modelo PTT usado nas simulaes numricas ( 1/9 = , 0.25 = ) foi, tal como j referido, baseada em estudos numricos anteriores (e.g., [11]), no tendo havido a intencionalidade de modelar o comportamento reolgico de nenhum fluido real. Curiosamente, as principais caractersticas observadas experimentalmente por Evans e Walters [2] so reproduzidas com boa preciso nas simulaes numricas efectuadas com o fluido PTT linear, nomeadamente:

(i) Inexistncia de um vrtice de entrada para o escoamento na contraco plana 4:1; (ii) Mecanismo de crescimento do vrtice de canto intimamente associado ao crescimento

do vrtice de entrada, para as razes de contraco mais elevadas;

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(iii) Coexistncia de um vrtice de entrada e de um vrtice de canto numa determinada gama de De, apenas para as razes de contraco mais elevadas;

(iv) Existncia de um vrtice de entrada de elevada dimenso, e cujo centro de recirculao se situa junto entrada do canal a jusante, para razes de contraco elevadas e para valores de De tambm elevados.

Dada a semelhana observada entre os padres de escoamento previstos numericamente com o fluido PTT linear e as visualizaes efectuadas por Evans e Walters [2], foram efectuadas simulaes numricas adicionais para as condies das referidas experincias, de forma a permitir uma comparao mais quantitativa. As curvas da viscosidade de corte e da primeira diferena de tenses normais medidas em [2] permitiram estimar os seguintes parmetros para o modelo PTT linear: 2 s = , 0.25 = , 0 .2.5Pa s = e 1/120 = . A comparao entre as funes materiais do modelo PTT linear e as medies experimentais apresenta-se na parte superior da Figura 7, onde tambm feita uma comparao entre as linhas de corrente previstas numericamente para o escoamento numa contraco plana 16:1, e as visualizaes efectuadas por Evans e Walters [2]. As simulaes numricas reproduzem com excelente qualidade os padres de escoamento observados experimentalmente, demonstrando-se assim a aplicabilidade do modelo PTT na modelao numrica de escoamentos viscoelsticos complexos. de facto notvel que a verso simplificada deste modelo, com apenas um nico modo, possa reproduzir de forma quase quantitativa os escoamentos complexos que se observam nas fotografias reproduzidas na Figura 7, com interaces entre vrtices duplos (de canto e de entrada) seguido de crescimento da bolha de recirculao. O uso do termo quantitativo deve-se correcta previso da dimenso das recirculaes, assim como da gama de caudais correspondente existncia de certas peculiaridades no padro de escoamento (por exemplo a coexistncia dos dois tipos de vrtices).

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8

New

toni

ano

(De =

0)

0.10.20.30.40.50.60.70.8

0.9

1

De =

10

D

e = 1

De =

20

D

e = 2

De =

50

D

e = 5

De =

100

Figura 3. Padro de escoamento de um fluido PTT linear ( = 1/9; = 0.25) numa contraco plana 4:1.

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9

0 (Newtoniano)De =

50De =

5De =

100De =

20De =

250De =

Figura 4. Padro de escoamento de um fluido PTT linear ( = 1/9; = 0.25) numa contraco plana 20:1.

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10

5De =

100De =

20De =

250De =

Figura 5. Padro de escoamento de um fluido PTT linear ( = 1/9; = 0.25) numa contraco plana 100:1.

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Figura 6. Identificao das regies em que se observam diferentes tipos de vrtices: (a) Mapa CR-De/CR; (b) Mapa CR-De.

0

20

40

60

80

100

120

0.01 0.1 1 10

LIP + CORNER VORTEX

(a)

0

20

40

60

80

100

120

0.1 1 10 100 1000

LIP + CORNER VORTEX

(b)

CR

De/CR

De

CR

Vrtice de canto + vrtice de entrada

Vrtice de canto + vrtice de entrada

Vrtice de canto

Vrtice de

entrada

Vr

tice

de

cant

o

Vrtice de

entrada

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12

0.01

0.1

1

1 10 100 100010

100

1000

-1 (s )

1 (Pa)N

(Pa.

s)

(a)

(b)

Q =

0.6 c

m3 /s

Q

= 2.

63 cm

3 /s

Figura 7. Escoamento numa contraco plana 16:1 de uma soluo aquosa de poliacrilamida a 1% (w/w). (a) Funes materiais em escoamento de corte simples e comparao com a previso do modelo PTT linear. (b) Comparao entre as linhas de corrente previstas numericamente e visualizaes experimentais. (Nota: as fotografias apresentadas so reproduzidas de Evans e Walters [2] com permisso da Elsevier).

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Q =

3.7 c

m3 /s

Q

= 5.

9 cm

3 /s

Q =

4.63

cm3 /s

Figura 7- Concluso (Nota: as fotografias apresentadas so reproduzidas de Evans e Walters [2] com permisso da Elsevier).

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REFERNCIAS

[1] O. Hassager, Working group on numerical techniques. Fifth international workshop on numerical methods in non-Newtonian flows, Lake Arrowhead, USA, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 29, 2-5 (1988).

[2] R.E. Evans e K. Walters, Flow Characteristics Associated with Abrupt Changes in Geometry in the Case of Highly Elastic Liquids, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 20, 11-29 (1986).

[3] S. Nigen e K. Walters, Viscoelastic contraction flows: comparison of axisymmetric and planar configurations, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 102, 343-359 (2002)

[4] N. Phan-Thien, A nonlinear network viscoelastic model, J. Rheol., 22, 259-283 (1978). [5] P. J. Oliveira, F.T. Pinho e G.A. Pinto, Numerical simulation of non-linear elastic flows

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[6] P.J. Oliveira, On the numerical implementation of nonlinear viscoelastic models in a finite-volume method, Numer. Heat Transfer B, 40, 283-301 (2001).

[7] M.A. Alves, F.T. Pinho e P.J. Oliveira, Effect of a high-resolution differencing scheme on finite-volume predictions of viscoelastic flows, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 93, 287-314 (2000).

[8] M.A. Alves, P.J. Oliveira e F.T. Pinho, A convergent and universally bounded interpolation scheme for the treatment of advection, Int. J. Numer. Meth. Fluids, 41, 47-75 (2003).

[9] M.A. Alves, P.J. Oliveira e F.T. Pinho, Benchmark solutions for the flow of Oldroyd-B and PTT fluids in planar contractions, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 110, 45-75 (2003).

[10] M.A. Alves, P.J. Oliveira e F.T. Pinho, On the effect of contraction ratio in viscoelastic flow through abrupt contractions, J. Non-Newtonian Fluid Mech. (2004) Aceite.

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