El fin del Infinito

8/10/2019 El fin del Infinito

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Antonio Leon

El fin del infinito

Seleccion de argumentos sobre el infinito matematico

Primera edicion 2011. Segunda edicion 2013Tercera edicion Septiembre 2014. Salamanca

Impreso en Espana / Printed in Spain

Printed by Bubok Publishing S.L.

INTERCIENCIA

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Indice general

1. Introduccion 1

2. Convenciones 7

3. El infinito actual 9Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Infinito actual y potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11El axioma del infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Cardinales y ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4. Reinterpretacion de las paradojas de la reflexividad 21Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Paradojas o contradicciones?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. Extension de la Paradoja de Cantor 27Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27La paradoja de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Una extension de la Paradoja de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6. El siguiente racional 33Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Discusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7. La lampara de Thomson 37Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37La lampara de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39La maquina de contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8. Revision del argumento de Cantor de 1874 47Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Argumento de Cantor de 1874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Version racional del argumento de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . 50Una variante del argumento de Cantor de 1874 . . . . . . . . . . . . . . 52

9. Intercambios numericos 57 -Intercambios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Argumento de la supertarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Argumento Modus Tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59La alternativa del infinito potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10.La diagonal de Cantor 61Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Teorema del n-esimo decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Cantor contra Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Antidiagonales racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Un nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

11.Intervalos racionales 69Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

iii


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iv Indice general

Una particion cantoriana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Un intervalo racional menguante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Discusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

12.Particiones no contables 75Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75La prueba de Cantor de 1885

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Particiones en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

13.Cajas y conjuntos 81Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Vaciando cajas y conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Capturando una falacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Magia infinitista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

14.Una fuente irracional de numeros racionales 87Numeros n-expofactoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Una fuente irracional de numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . 89Discusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Eplogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

15.Substraccion de cardinales 97Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Problemas con la sustraccion de cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . 98El argumento de Faticoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

16.Alef-cero 103Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103El menor cardinal transfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

17.Singularidades aritmeticas de alef zero 109Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Es o un numero primo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Alef-cero y la potencia del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

18.Reinterpretacion del teorema de la reordenacion de Riemann 119Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Discusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

19.Inconsistencia de los conjuntos anidados 123Teorema de la interseccion vaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Inconsistencia de los conjuntos anidados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

20.Dicotomas de Zenon 131Definiciones introductorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Dicotoma II de Zenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Dicotoma I de Zenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

21.La maquina de Hilbert 137El Hotel deHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138La contradiccion de la maquina de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Discusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

22.Curvas de Jordan infinitas 143Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Particion infinita de una curva de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

23.Infinito uno a uno 147

El sistema de numeracion unario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147La tabla monaria de los numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . 151


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Indice general v

24.Temporizando el infinito 155Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Definiciones recursivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Una definicion conflictiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

25.Divisibilidad del espaciotiempo 159El menor ordinal infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Dicotomas del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Divisibilidad del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Apendices

A. El problema del cambio 169Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169El problema del cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Un modelo discreto: automatas celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

B. Sugerencias para una teora natural de conjuntos 179Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Una definicion natural de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Conjuntos y numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Conjuntos potencialmente infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

C. Platonismo y biologa 191Los seres vivos como objetos extravagantes . . . . . . . . . . . . . . . . 191Conocimiento abstracto y biologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Referencias 207

Indice alfabetico 209


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1.-Introduccion

Algunos de los problemas mas relevantes de la filosofa contemporanea

fueron ya planteados por los filosofos presocraticos en el siglo VII a.C. (en

parte quiza sugeridos o directamente tomados de los precedentes culturales

desarrolladas en las culturas neolticas fluviales.1) Entre esos problemas,

hay tres que merecen especial consideracion: el problema del cambio, elinfinito, y la autorreferencia. El primero de ellos es sin duda el m as difcil,

y al mismo tiempo el mas relevante, de los problemas planteados por el

hombre. Resulta por eso sorprendente la poca atencion que se presta en la

actualidad a ese fascinante problema, especialmente si se la compara con

la atencion prestada a los otros dos.

Despues de mas de veinte siete siglos, el problema del cambio sigue sin

resolverse. A pesar de su aparente simplicidad, nadie ha sido capaz de ex-

plicar, por ejemplo, como se realiza un simple cambio de posicion. La fsica,

la ciencia del cambio (la ciencia de la sucesion regular de eventos, como

Maxwell la llamo [127,pag. 98]) parece haber olvidado su problema mas

fundamental. A su vez, algunos filosofos como Hegel2 defendieron que el

cambio es un concepto inconsistente; mientras que otros, como McTaggart,

llegaron a la misma conclusion que Parmenides [147] sobre la imposibili-

dad de cambio [132]. Quizas la (aparente) insolubilidad del problema del

cambio tenga que ver con el continuum espaciotiempo donde todas las solu-

ciones han sido buscadas. Como se muestra en el ApendiceA, el problemadel cambio podra encontrar una solucion en el marco de un espaciotiempo

discreto.

Mientras que el cambio es una caracterstica evidente de nuestro universo

en continua evolucion, tanto el infinito como la autorreferencia son nociones

teoricas, sin relacion aparente con el mundo natural. Cantor y Godel (los

prncipes del infinito y la autorreferencia respectivamente) fueron dos en-

1

[21], [169], [144],[183]2[96],[98], [133], [146],[158], [196]

1


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2 Introduccion

tusiastas platonicos de escasa devocion a las ciencias naturales y de enorme

influencia en las matematicas contemporaneas.3 Para ilustrar las profundas

convicciones teoplatonicas de Cantor, recordemos algunas de sus palabras:

. . . en mi opinion la realidad y absoluta legalidad de los nume-

ros enteros es mucho mayor que la del mundo sensorial. El queas sea, tiene una unica y muy simple razon, a saber, que los

numeros enteros existen en el grado sumo de realidad, tanto se-

parados como en su totalidad actualmente infinita, en la forma

de ideas eternas in Intellectus Divinus. ([134]; citado en[76])

. . . yo solo soy un instrumento al servicio del altsimo, un instru-

mento que seguira actuando mucho despues de m, de la misma

forma que ya lo hizo antes hace miles de anos con Euclides y

Arqumedes. . . . ([41,pp 104-105]). . . No puedo referirme a ellos [los atomos] como existentes, ya

sea en concepto o en realidad, no importa cuantas cosas hasta

cierto punto utiles se hayan logrado mediante esa ficcion. ([40,

p 78], traduccion inglesa [33])

Veintisiete siglos de debates no fueron suficientes para probar la consis-

tencia (o la inconsistencia) de la hipotesis del infinito actual,4 que final-

mente tuvo que ser legitimada por la va expeditiva de los axiomas.5 Las

matematicas contemporaneas estan fundadas en la creencia de que los con-juntos infinitos existen como totalidades completas.6

La teora de conjuntos es una teora estrictamente infinitista, una teora

basada en, e inspirada por, la hipotesis del infinito actual. Para Georg

Cantor, uno de sus mas relevantes fundadores, el infinito actual no era una

simple hipotesis sino una firme conviccion platonica.7 La teora de con-

juntos contiene, sin embargo, los instrumentos apropiados para poner en

cuestion la consistencia formal de la hipotesis del infinito actual. Aunque

hasta ahora nunca han sido utilizados con esas intenciones crticas. Comoveremos aqu, ese es el caso de , el menor de los ordinales infinitos, y de

las sucesiones y los conjuntos ordenados. En este libro haremos un uso

3Para el caso de Cantor vease [56], [134], [42, pag. 141]; para el de G odel [81, pags.235-236], [83,pag. 359], [73], [58][140], [100],[85]

4La existencia de colecciones infinitas como totalidades completas.5Axioma del Infinito en las modernas teoras de conjunto, que, en pocas palabras, esta-

blece la existencia de un conjunto infinito numerable.6Por ejemplo, la lista ordenada de los numeros naturales existira como una totalidad

completa a pesar de que ningun ultimo numero la complete.

7Tan firme como una roca en las propias palabras de Cantor (carta de Cantor a Heman,21 de Junio de 1888)


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Introduccion 3

extensivo de ellos.

La auto-referencia en el lenguaje formal y coloquial es tambien una nocion

teorica sobre la que no hay acuerdo general.8 Las paradojas de la autorre-

ferencia han sido y siguen siendo una fuente interminable de discusiones.

Una de esas paradojas, la paradoja del mentiroso,9 conduce (va Paradoja

de Richard, como el propio Godel reconocio [82, p. 56]) al celebre primer

teorema de incompletitud de Godel. Muchos logicos lo consideran como el

teorema mas importante de todos los tiempos. Desde nuestra perspectiva

de las ciencias naturales eso suena algo exagerado.

Por decirlo en pocas palabras, heredamos de los presocraticos, entre otras

cosas, un desafo prometedor (el problema del cambio) y dos conceptos

cuestionables (la autorreferencia y el infinito actual). Con el paso del tiem-po hemos ido olvidando el desafo y convirtiendo al infinito y a la auto-

rreferencia en pilares fundamentales e incuestionables de la logica y de las

matematicas contemporaneas. No todo el mundo esta de acuerdo con esa

eleccion, aunque la crtica militante es casi inexistente. Este libro esta prin-

cipalmente dedicado a poner en cuestion el mas molesto de esos conceptos:

el infinito actual.

Debemos recordar en este momento que la ciencia es excesivamente auto-

reverente y escasamente autocrtica. Poner las convicciones y los interesespersonales en frente del conocimiento objetivo de la realidad resulta mas

frecuente de lo que se podra esperar. En esas condiciones, no es facil poner

en cuestion un supuesto fundamental bien asentado, incluso si ese supuesto

es sospechoso de ser inconsistente. En mi opinion el Axioma del Infinito es

uno de esos supuestos fundacionales inconsistentes.

Las consecuencias de las matematicas infinitistas son desastrosas porque

promueven un modelo analogico, y por tanto continuo, del mundo fsico

que esta claramente en conflicto con la naturaleza digital revelada hastaahora por todas las observaciones fsicas: materia ordinaria, partculas ele-

mentales, energa, cargas electricas y no electricas, parecen ser todas ellas

entidades discretas con mnimos indivisibles. Es sorprendente la guerra de

los fsicos contra los infinitos. Pagan un alto precio en la forma de intermi-

nables y tediosos calculos para conseguir librarse de ellos. Mientras que, por

otra parte, no dedican ni un solo minuto de su tiempo a poner en cuestion

8Ademas de lenguaje y metalenguaje (lenguaje sobre el lenguaje) tendramos tambien

auto-lenguaje, el lenguaje hablando autonomamente de s mismo.9En terminos informales: Esta frase es falsa.


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4 Introduccion

la consistencia formal de la hipotesis del infinito actual que los fundamenta.

Gracias a la supuesta existencia del infinito actual, las ciencias experimen-

tales se ven obligadas a explicar un realidad que parece ser esencialmente

discreta por medio de matematicas indiscretas. Una tarea que podra ser

imposible en ciertos niveles basicos donde la discrecion resulta esencial,

como es el caso del nivel cuantico. La tragedia del infinito es que no hemos

desarrollado unas matematicas discretas adecuadas para explicar un mun-

do que parece ser esencialmente discreto. Incluso las matematicas discretas

que hemos desarrollado se han desarrollado en terminos de matematicas

indiscretas. Aparte de ciertas aplicaciones particulares, las matematicas

discretas suelen interpretarse como meras aproximaciones del verdadero

mundo continuo de las matematicas infinitistas. El problema es que no

parece existir ningun mundo continuo.

En cualquier caso, la hipotesis del infinito actual es solo una hipotesis, y

uno tiene el derecho y el deber de ponerla en cuesti on. Ese es el objetivo

principal de este libro. Una coleccion de argumentos crticos sobre la hipote-

sis del infinito actual desarrollados durante los ultimos veinte anos. Cada

captulo consta de un argumento completo e independiente, por lo que

pueden ser ledos en cualquier orden.10 Incluye tambien tres apendices, el

primero trata sobre el problema del cambio para ilustrar las consecuencias

de asumir la existencia del continuum espaciotiempo. El segundo introduceuna alternativa no platonica a las actuales teoras de conjuntos. El tercero

es una breve crtica del esencialismo platonico (la cuna del infinito actual)

desde la perspectiva de la biologa contemporanea.

Aunque las discusiones sobre el infinito matematico pueden parecer in-

timidantes al lector no especializado, este libro es cualquier cosa menos

intimidante. Es un libro de ciencia basica. La ciencia que se aprende y se

ensena en el bachillerato y primeros cursos de la Universidad. El problema

es que se aprende y se ensena como una especie de catecismo libre de toda

crtica. La ciencia basica raramente se pone en tela de juicio porque los

cientficos trabajan algunos pasos mas alla. Pero la ciencia basica tambien

debe ser, al menos periodicamente, cuestionada. Como ya se ha indicado,

aqu cuestionamos una de sus hipotesis basicas, la hipotesis del infinito

actual.

10Obviamente, la independencia de los captulos tiene un coste narrativo en terminos de

un excesivo numero de repeticiones en el texto, por las que pido disculpas.


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Convenciones 5

En la mayora de los captulos, el infinito en cuestion sera el infinito nu-

merable (el mas pequeno de los infinitos11) subsumido en el Axioma del

Infinito. Pero tambien el infinito que legitima las sucesiones de infinitos

crecientes12. Por lo tanto, demostrar la inconsistencia del menor de los in-

finitos implica la invalidacion de todos los demas.

Existe un acuerdo general en que una contradiccion es suficiente para de-

mostrar la inconsistencia de la hipotesis de la que se deducen los resultados

contradictorios. Excepto en el caso del infinito actual. Y esto no es una bro-

ma: en palabras de Cantor, algunas totalidades infinitas son inconsistentes

debido a su excesiva infinitud [33]. Una razon adicional para tratar exclu-

sivamente con el menor de los infinitos.

11

El infinito del conjunto de los numeros naturales.12La sucesion de los alefs: o, 1,2 . . . , y la de las potencias o, 2o , 22

o

. . .


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2.-Convenciones

1 Para facilitar las discusiones, todos los parrafos de este libro apare-

ceran numerados consecutivamente (como este mismo). Los parrafos seran

referidos mediante sus correspondientes numeros sin parentesis, tal como

aparecen al principio de cada parrafo. Por la misma razon todas las ecua-

ciones seran numeradas consecutivamente dentro de cada captulo, aun-que en este caso los numeros iran entre parentesis y a la derecha de cada

ecuacion. Para referirnos a las ecuaciones usaremos sus correspondientes

numeros entre parentesis.

2 Los teoremas, definiciones, conclusiones, etc seran numerados con el

mismo numero del parrafo en el que son enunciados. Por ejemplo, si un

teorema se enuncia en el parrafo 153 nos referimos a el como Teorema 153.

3 La mayora de las sucesiones y conjuntos que usaremos seran or-denados (como la sucesion 1,2,3, ...de los numeros naturales en su orden

natural de precedencia). En unos pocos casos seran ordenados (como

la sucesion creciente de los enteros negativos . . . -3, -2, -1). En muchos

argumentos tambien haremos uso de sucesiones de instantes dentro de

intervalos finitos de tiempo, esas sucesiones seran siempre estrictamente

crecientes y convergentes, siendo siempre el lmite de la sucesion el extremo

derecho del correspondiente intervalo de tiempo.

4 En la mayora de los casos se utilizara la palabra numerable parareferirnos a la infinitud del conjunto N de los numeros naturales y a la de

cualquier otro conjunto o sucesion que se puede ponerse en correspondencia

uno a uno con N. La palabra enumerable tambien se puede utilizar con

el mismo significado. Aunque la palabra contable suele ser usada para

referirse a conjuntos finitos o infinitos numerables, aqu no la utilizaremos

con el fin de evitar confusiones. Por ultimo, los terminos no-contable o

no-numerable se utilizaran para referirse a los infinitos mayores que el

infinito numerable.

5 En todos las discusiones y argumentos, el tiempo y la distancia se su-

7


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8 Convenciones

pondran eucldeas. Todas las supertareas se supondran realizadas en un

intervalo finito de tiempo (ta, tb), las sucesivas acciones ai de cada super-

tarea se supondran realizadas en los sucesivos instantes ti, y solo en ellos,

de una sucesion ordenada y estrictamente creciente de instantes tn

dentro del intervalo (ta, tb), siendo tb el lmite de la sucesion.6 Huelga decir que todos los argumentos de este libro son de caracter con-

ceptual, incluso cuando hagan uso de artefactos materiales como maquinas,

cajas, bolas y cosas similares, todas las cuales deberan ser entendidas como

dispositivos teoricos para facilitar las discusiones.


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3.-El infinito actual

Introduccion

7 Este libro se ocupa exclusivamente del infinito actual, aunque algunas

referencias al infinito potencial seran inevitables. Empezaremos entonces

introduciendo la distincion entre el infinito actual y el potencial. Una vez

introducida, definiremos el infinito actual en terminos conjuntistas y ladistincion entre cardinales y ordinales infinitos. Eso es todo lo que nece-

sitamos para seguir los argumentos sobre la hipotesis de infinito actual

que se exponen en el resto del libro. La mayora de esos argumentos estan

relacionados con , el menor de los ordinales infinitos; el ordinal del con-

junto N de los numeros naturales en su orden natural de precedencia: N

={1, 2, 3, . . . } (vease mas abajo).

8 Infinito es una palabra comun que usamos para referirnos a la cali-

dad de ser enorme, inmenso, ilimitado etc. En este sentido, y de acuerdocon Gauss1 el infinito es una manera de hablar. Pero la palabra infinito

tambien tiene un significado matematico preciso: un conjunto es infinito

si se puede poner en correspondencia uno a uno con alguno de sus sub-

conjuntos propios. Esta es la conocida definicion de Dedekind que, junto

con los trabajos de Cantor sobre los numeros transfinitos, inauguraron la

moderna matematica transfinita a finales del siglo XIX. Aunque la historia

del infinito matematico haba comenzado veintisiete siglos antes.

9 Afortunadamente existe una excelente literatura sobre la historia delinfinito,2. No dare ni siquiera un sumario de esa historia, aunque podramos

elegir arbitrariamente tres de sus protagonistas mas relevantes como refe-

rencias historicas:

1) Zenon de Elea (490-430 A.C.), filosofo presocratico que utilizo por

primera vez el infinito matematico para defender la tesis de Par-

menides sobre la imposibilidad de cambio. Sabemos del trabajo

1C.F. Gauss, carta al astronomo H.C. Shumacher, 12 de julio de 1831

2Por ejemplo:[208],[124],[171], [22], [163],[50], [116], [135],[138], [110],[111], [1],[136],[49], [197], [14].

9


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10 El infinito actual

de Zenon (cerca de cuarenta argumentos, incluyendo sus famosas

paradojas contra la posibilidad de cambio [2], [51]) a traves de

su doxografos (Platon, Aristoteles, Diogenes Laertius o Simplicius

[51]). El infinito en los argumentos de Zenon parece ser el infini-

to actual y contable, aunque obviamente Zenon no esta haciendomatematicas infinitistas sino argumentaciones logicas en las que

aparecen colecciones infinitas de puntos y de instantes. Los argu-

mentos de Zenon funcionan correctamente solo si esas coleccio-

nes se consideran como totalidades infinitas completas (vease el

Captulo20sobre las Dicotomas de Zenon).

2) Aristoteles (384-322 A.C.), uno de los pensadores mas influyentes

en la cultura occidental. Filosofo y naturalista, introdujo la no-

cion de correspondencia uno a uno precisamente cuando tratabade resolver algunas de las paradojas de Zenon. Luego introdujo

la distincion fundamental entre el infinito potencial y el infini-

to actual, que aqu analizaremos en terminos conjuntistas en la

siguiente seccion.

3) Georg Cantor (1845-1918), matematico aleman cofundador, junto

con R. Dedekind y G. Frege, de la teora de conjuntos. Su trabajo

sobre los numeros transfinitos (cardinales y ordinales) fundamen-

ta las modernas matematicas transfinitas. Cantor inauguro el lla-mado paraso del infinito actual en el que, segun D. Hilbert, los

infinitistas habitaran para siempre.

10 De Zenon a Aristoteles el unico infinito fue el infinito actual, aun-

que esa nocion estaba lejos de ser claramente establecida. De Aristoteles

a Cantor encontramos defensores de ambos tipos de infinitos (actual y

potencial) aunque con una cierta hegemona del infinito potencial, parti-

cularmente desde el siglo XIII, una vez que Aristoteles fue cristianizado

por los escolasticos medievales. En esos tiempos preinfinitistas, se podanutilizar los mismos argumentos en apoyo de una o de la otra hipotesis (por

ejemplo los argumentos basados en la correspondencia entre los puntos de

una circunferencia y los puntos de uno de sus di ametros). Pero no hay

todava una teora del infinito matematico propiamente dicha. La primera

teora matematica del infinito propiamente dicha aparece al final del siglo

XIX, siendo Dedekind, Bolzano y, especialmente, Cantor, sus creadores

mas relevantes. Desde Cantor hasta la actualidad la hegemona del infinito

actual ha sido casi absoluta y, ademas, libre de crticas serias.


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Infinito actual y potencial 11

Infinito actual y potencial11 La distincion entre el infinito actual y el infinito potencial la propuso

Aristoteles [11], [10]. La explicaremos a continuacion, aunque en los termi-

nos mas modernos de la teora de conjuntos. Huelga decir que el unico

infinito de las matematicas transfinitas contemporaneas, incluyendo la de-finicion fundacional de Dedekind de los conjuntos infinitos, es el infinito

actual.

12 Considerese la lista ordenada de los numeros naturales en su orden

natural de precedencia: 1, 2, 3, . . . De acuerdo con la hipotesis del infinito

actual esa lista existe como una totalidad completa, es decir como una

totalidad que contiene en el acto a todos los numeros naturales. La elipsis

(. . . ) en:

N ={1, 2, 3, . . . } (1)

representa atodoslos numeros naturales. Notese que la lista ordenada de

los numeros naturales existe como una totalidad completa a pesar de que

no existe un ultimo numero que complete la lista.

13 Para subrayar ese sentido de completitud consideremos la tarea de

contar los numeros naturales 1, 2, 3,. . . De acuerdo con la hipotesis del

infinito actual es posible contartodoslos numeros naturales en un tiempo

finito realizando la siguiente supertarea:3

Cuentese cada uno de los sucesivos numeros naturales 1, 2,3,. . . en cada uno de los sucesivos instantes t1, t2, t3,. . . de una

sucesion estrictamente creciente de instantes en el intervalo fi-

nito (ta, tb), siendo tb el lmite de la sucesion. Por ejemplo la

sucesion clasica:

tn= ta+ (tb ta)2n 1

2n (2)

En esas condiciones, en el instantetb se habran contado todos los numeros

naturales. Todos!

14 La tarea anterior de contar todos los numeros naturales es un ejemplo

de supertarea. Se discutiran mas adelante en este libro. Mientras tanto,

notese que el hecho de emparejar los elementos de dos sucesiones infinitas

no prueba que ambas sucesiones existan como totalidades completas. Las

sucesiones podran ser tambien potencialmente infinitas.

15 La alternativa a la hipotesis del infinito actual es la hipotesis del infi-

3Un resumen de la nocion de supertarea puede verse, por ejemplo, en [154]. Vease tambienel captulo sobre la Lampara de Thomson en este libro.


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nito potencial, que rechaza la existencia de totalidades infinitas completas

y por tanto la posibilidad de contar todos los numeros naturales. Desde

esa perspectiva, los numeros naturales resultan del proceso interminable

de contar: siempre es posible contar numeros mayores que cualquier otro

numero dado. Pero es imposible completar el proceso de contarlos todos, demodo que la lista completa de numeros naturales no tiene sentido alguno.

16 En resumen, la hipotesis del infinito actual establece que las totali-

dades infinitas son totalidades completas, incluso sin que exista un ultimo

elemento que las complete, como es el caso de la lista ordenada de los

numeros naturales. Desde esta perspectiva, es posible completar una suce-

sion de pasos en los que no existe un ultimo paso que complete la sucesion,

o incluso sin un primer paso que la inicie, como en el caso de las suce-

siones

ordenadas (vease mas abajo), por ejemplo la sucesion crecientede los enteros negativos . . . , -3, -2, -1. Desde la perspectiva del infinito

potencial ambas posibilidades son imposibles. Desde esta perspectiva, las

unicas totalidades completas son las totalidades finitas. Tan grandes como

se quiera, pero siempre finitas.

17 El infinito potencial (el infinito impropio o no genuino, como Cantor

lo llamaba [40,p. 70]) nunca ha merecido la atencion de los matematicos

contemporaneos. El infinito en la definicion de Dedekind de los conjuntos

infinitos es el infinito actual. Los infinitos elementos de un conjunto infi-nito existen todos a la vez, como una totalidad completa. La definicion de

Dedekind esta, por tanto, basada en la violacion del viejo axioma eucldeo

del todo y la parte [71]. La teora de conjuntos se ha construido sobre esa

violacion.

18 La hegemona del infinito actual en las matematicas contemporaneas

es casi absoluta. Tan absoluta como la sumision de la fsica a las matemati-

cas infinitistas. Tengo la impresion de que un numero significativo de fsicos

creen que se ha demostrado formalmente la existencia de totalidades in-finitas completas. Obviamente, si ese fuera el caso no sera necesario el

Axioma del Infinito para legitimar esas totalidades (vease mas abajo). La

hipotesis del infinito actual es solo una hipotesis.

19 Las tres pruebas mas influyentes sobre la existencia de totalidades

infinitas actuales (las de Bolzano, Dedekind y Cantor) son ilustrativas de

lo que podra llamarse infinitismo naif. Tambien explican por que las ma-

tematicas infinitistas tuvieron finalmente que establecer la existencia de

los conjuntos infinitos actuales en terminos axiomaticos.


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El axioma del infinito 13

20 La prueba de Bolzano es como sigue (tomada de[136,p 112]):

Una verdad es la proposicion: Platon era griego. Llamese a esta

proposicionp1. Pero hay otra verdad p2, a saber, que la propo-

sicion p1 es verdadera [Pero hay otra verdad p3, a saber, que la

proposicionp2 es verdadera]. Y asad infinitum. Por lo tanto, elconjunto de las verdades es infinito.

El problema aqu es que la existencia de un proceso sin fin (p1 es verda-

dera, por tanto p2 es verdadera, por tanto p3 es verdadera, por tanto . . . )

de ninguna manera prueba la existencia de su resultado final como una

totalidad completa.

21 La prueba de Dedekind es muy parecida (tomada de[136,p 113]):

Dado algun pensamiento arbitrario s1, hay un pensamiento in-

dependientes2, a saber ques1puede ser objeto del pensamiento[hay un pensamiento independiente s3, a saber, que s2 puede

ser objeto del pensamiento ]. Y as ad infinitum. Por tanto el

conjunto de pensamientos es infinito.

El comentario anterior a la prueba de Bolzano es tambien aplicable aqu.

Dedekind dio otra prueba algo mas detallada, aunque con el mismo defecto

formal que la se acaba de citar, basada en su definicion de conjunto infinito

[59, p. 112].

22 Y finalmente la prueba de Cantor ([95,p 25], [136, p. 117]):Cada infinito potencial presupone un infinito actual.

O bien ([38, p. 404] traduccion inglesa [164, p. 3]):

... en verdad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada

[derivada], en tanto que como tal concepto de infinito potencial

siempre senala a un concepto previo y superior de infinito actual,

de cuya existencia depende.

Queda claro ahora por que la existencia de un conjunto infinito actual tuvo

que ser finalmente establecida por medio de un axioma.

El axioma del infinito23 Nada en la naturaleza parece ser realmente infinito. Hasta ahora, todas

las cosas que hemos sido capaces de observar y medir han sido finitas.

Veintisiete siglos de discusiones, por otra arte, no fueron suficientes para

probar la existencia de infinitos actuales. De modo que, finalmente, los

infinitistas no tuvieron mas remedio que declarar su existencia en terminos

axiomaticos mediante el llamado Axioma del Infinito, uno de los axiomas

fundacionales en todas las teoras axiomaticas de conjuntos (vease mas


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abajo). La teora de conjuntos es entonces la puerta de entrada del infinito

en las matematicas contemporaneas.

24 Puesto que los conjuntos estaran presentes en casi todos nuestros ar-

gumentos, parece conveniente hacer la siguiente consideracion sobre las

diferentes formas en las que un elemento puede pertenecer a un conjunto.Solemos asumir que un determinado elemento pertenece o no pertenece a

un conjunto determinado, aunque tambien podramos considerar los llama-

dos conjuntos difusos [205], [64], cuyos elementos pueden tener diferentes

grados de pertenencia. En este libro, sin embargo, trataremos exclusiva-

mente con la pertenencia completa, i.e con conjuntos cuyos elementos le

pertenecen de forma completa.

25 Dicho lo cual, recordemos que el Axioma del Infinito establece:

N( N x N(x {x} N)) (3)

que se lee: existe un conjunto N tal que pertenece a N y para todo

elemento x de N el elemento x {x} tambien pertenece a N. De una

forma menos abstracta tambien se podra escribir:

N(0 N x N(s(x) N)) (4)

donde s(x) es el sucesor dex. En terminos aritmeticos podramos escribir:

s(0) = 1; s(1) = 2; s(2) = 3; . . . (5)De modo que, puesto en terminos informales, el Axioma del Infinito dice:

existe un conjunto infinito numerable, donde numerable significa que se

puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto N ={1, 2, 3 . . . }

de los numeros naturales,4 e infinito significa infinito actual: todos los ele-

mentos de ese conjunto existen en el acto.

26 Por innecesario que pueda parecer, debemos recordar que un axioma

es solo un axioma. Es decir, un enunciado que se puede aceptar o recha-

zar. Aunque la eleccion tendra consecuencias significativas en la teoraresultante. En el caso de la hipotesis del infinito actual algunos autores

relevantes como Kronecker, Poincare, Brouwer, Wittgenstein, Kleene, en-

tre otros, la rechazaron. Otra cosa es la crtica contra el infinito actual

una vez que la teora de conjuntos quedo axiomaticamente establecida y

formalmente desarrollada. Esa crtica ha sido basicamente inexistente du-

rante los ultimos sesenta anos, y los pocos intentos que se hicieron fueron

4De dos conjuntos que se pueden poner en correspondencia uno a uno se dice que son

equipotentes.


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Cardinales y ordinales 15

siempre ingenuos y frecuentemente basados en concepciones equivocadas

de los numeros transfinitos.

Cardinales y ordinales

27 Por la misma razon que necesitamos axiomas y leyes fundamentalesen la ciencia,5 tambien necesitamos conceptos primitivos en el lenguaje,

es decir, conceptos que no pueden ser definidos en terminos de otros con-

ceptos, sin caer en definiciones circulares (los diccionarios son finitos). La

mayora de los conceptos matematicos basicos pertenecen a esta categora:

numero, punto, lnea, plano, conjunto, y algunos otros. Por lo tanto, decir

que el cardinal de un conjunto es el numero de sus elementos es no decir

nada. No obstante, todo el mundo sabe lo que queremos decir cuando de-

cimos que el conjunto {a,b,c} tiene tres elementos, o que su cardinal es

tres. Incluso lo que queremos decir cuando decimos que el cardinal de unconjunto numerable, como el conjunto N de los numeros naturales, es o(Alef-cero).

28 Aunque en terminos informales, diremos que el cardinalCde un con-

juntoXes el numero de sus elementos; en smbolos C=|X|. Por razonesobvias, los cardinales de los conjuntos finitos se llaman finitos, y los cardi-

nales de conjuntos infinitos se denominan infinitos. Aunque no lo haremos

aqu, se puede demostrar facilmente que el numero de subconjuntos de

un conjunto cuyo cardinal es C, es precisamente 2C (incluyendo el propioconjunto y el conjunto vaco).

29 Cantor dio por sentada la existencia de la totalidadde los cardinales

finitos (numeros naturales) [39,pgs. 103-104]:

El primer ejemplo de un agregado transfinito viene dado por

la totalidad de los numeros cardinales finitos v; llamamos a su

numero cardinal Alef-cero denotado por o, definimos pues:

o= {v}

donde {v} es la notacion de Cantor para el cardinal del conjunto {v} detodos los cardinales finitos (|N| en notacion moderna). Obviamente o es

un cardinal infinito. Cantor demostro que es el menor cardinal mayor que

todos los cardinales finitos[39, 6] (vease el Captulo16).

30 los sucesivos numeros naturales 1, 2, 3, . . . se pueden definir como los

cardinales de los sucesivos conjuntos finitos de la sucesion de conjuntos

S={0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, . . . , o como los cardinales de cualquier sucesion

5La aristotelica regresion infinita de argumentos[9].


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de conjuntos finitos cuyos sucesivos terminos sean equipotentes con los su-

cesivos terminos de S(vease la definicion operacional de Von Neumann de

los numeros naturales en el ApendiceB). Los numeros naturales se pueden

seguir usando en terminos informales como los numeros de contar 1, 2,

3,. . . Al fin y al cabo decimos que el cardinal finito de un conjunto es ndespues de contar sus elementos, o despues de emparejarlos con los elemen-

tos de un conjunto que han sido previamente contados, o sucesivamente

considerados de alguna manera, o incluso aritmeticamente calculados o

procesados.

31 Todos los conjuntos numerables, por otra parte, tienen el mismo car-

dinal o. As, como ya se ha indicado, el cardinal del conjunto N de los

numeros naturales es o. El cardinal del conjunto potencia P(N), el con-

junto de todos los subconjuntos de N (incluyendo N y el conjunto vaco),no es o sino 2

o , que es tambien el cardinal del conjuntoR de los nume-

ros reales. El cardinal del conjunto P(P(N)) de todos los subconjuntos de

P(N) no es 2o sino 22o

. Lo mismo vale para el conjunto P(P(P(N))) de

todos los subconjuntos deP(P(N)) y as sucesivamente. Tenemos entonces

una sucesion creciente de cardinales infinitos:

o


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{0, 1, 2}:Cardinal 3. Ordinal 3 (10)

... ...

...

Esta es una caracterstica importante de los conjuntos finitos: tienen un

solo cardinal y un solo ordinal, y usamos el mismo smbolo (numeral) paraambos. De acuerdo con la terminologa de Cantor los ordinales finitos son

llamados ordinales de la primera clase.

33 Las cosas son muy diferentes con los conjuntos infinitos. Todos los con-

juntos numerables, por ejemplo, tienen el mismo cardinalo, pero pueden

ser bien-ordenados de infinitas maneras diferentes:

{1, 2, 3, . . . } Ordinal {2, 3, 4, . . . 1} Ordinal + 1

{3, 4, 5, . . . 1, 2} Ordinal + 2{1, 3, 5, . . . 2, 4, 6, . . . } Ordinal 2

{1, 4, 7, . . . , 2, 5, 8, . . . 3, 6, 9 . . . } Ordinal 3...

...

siendo < + 1< + 2


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to (o sucesion) bien ordenado, cuyo ordinal es , siendo algun ordinal

transfinito, que casi siempre sera .

36 Los ordinales de la segunda clase definen un conjunto nuevo: el con-

junto de todos los ordinales de la segunda clase (o conjunto de todos los

ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal o), cuyo cardinal es1[39,Teorema 16-F]. A su vez, el conjunto de todos los ordinales cuyos con-

juntos tienen el mismo cardinal1 es otro conjunto cuyo cardinal es 2. Elconjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal 2es otro conjunto cuyo cardinal es 3. Y as sucesivamente. De acuerdo con

Cantor, existen entonces dos sucesiones crecientes de cardinales infinitos:

o


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remos la notacion an para referirnos al n-esimo elemento por la cola. El

orden se caracteriza por:

1) Existe un ultimo elemento a1.

2) Cada elemento an tiene un sucesor inmediato a(n1), excepto el

ultimoa1.3) Cada elemento an tiene un predecesor inmediato a(n+1).

4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an, a(n+1) no existe

ningun otro elemento.

5) No existe primer elemento, a pesar de lo cual los objetos or-

denados se consideran totalidades completas.

39 Como ya se ha indicado, todos los numeros transfinitos (cardinales y

ordinales) se basan en la suposicion de que existe un conjunto numerableordenado. Por eso, casi todos los argumentos que siguen se ocupar an

unicamente de objetos ordenados. Si se demostrara que esa hipotesis

infinitista es inconsistente, todo el edificio de las matematicas transfinitas

se vendra abajo como un castillo de naipes.


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4.-Reinterpretacion de las paradojas de la reflexividad

Introduccion40 Si despues de emparejar cada elemento de un conjunto A con un

elemento diferente de otro conjunto B, todos los elementos de B resultan

emparejados, decimos que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad(el mismo numero de elementos). Pero si uno o mas elementos de Bresultan

no emparejados y B es infinito, no se nos permite afirmar que ambos

conjuntos tienen diferente cardinalidad. En este captulo se discute por

que no se nos permite hacerlo. Como veremos, la existencia de inyecciones1

exhaustivas y no exhaustivas entre dos conjuntos infinitos podra estar

indicando que ambos conjuntos tienen y no tienen la misma cardinalidad.

As, la distincion arbitraria de las inyecciones exhaustivas en detrimento de

las no exhaustivas podra estar ocultando una contradiccion fundamental

en la teora de conjuntos.

41 La mayora de las paradojas relacionadas con el infinito resultan de la

violacion del Axioma eucldeo del Todo y la Parte,2 entre ellas las llamadas

paradojas de la reflexividad, en las que los elementos de un todo son em-

parejados con los de una de sus partes propias.3 La paradoja de Galileo4

es un ejemplo muy conocido de paradoja reflexiva. Autores como Proclus,

J. Filopon, Thabit ibn Qurra al-Harani, R. Grosseteste, G. de Rimini, W.

of Ockham etc. encontraron otros muchos ejemplos [171].

42 La estrategia de emparejar los elementos de dos conjuntos no es pre-

cisamente una invencion moderna, Aristoteles ya la uso para tratar de

1Una inyeccion es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos A y B detal manera que todos y cada uno de los elementos de A se emparejan con un elementodiferente de B.

2La hipotesis de que el todo es mas que la parte es una de las nociones comunes queaparecen en el primer libro de los Elementosde Euclides[71,pag. 19].

3[171], [62].4Los elementos del conjunto de los numeros naturales se pueden emparejar con los ele-

mentos de uno de sus subconjuntos propios: el subconjunto de sus cuadrados: 1 12

,2 22, 3 32, 4 42, 5 52. . . [78].

21


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22 Reinterpretacion de las paradojas de la reflexividad

resolver la Dicotoma de Zenon (en sus dos variantes).5 Y desde entonces

ha sido usada de forma extensiva por numerosos autores con diferentes

propositos discursivos, aunque antes de Dedekind y Cantor (incluyendo el

caso de Bolzano [25]) nunca se usaron como un instrumento para consu-

mar la violacion del viejo axioma eucldeo. Por supuesto, la existencia deuna biyeccion entre dos conjuntos infinitos no prueba que ambos conjuntos

sean infinitos actuales, porque tambien podran ser infinitos potenciales.

43 Las cosas empezaron a cambiar con Dedekind, que establecio la de-

finicion de conjunto infinito precisamente sobre la base de esa violaci on:

un conjunto es infinito si sus elementos se pueden emparejar con los ele-

mentos de alguno de sus subconjuntos propios [59]. Dedekind y Cantor

inauguraron el llamado paraso del infinito actual, en el que las inyecciones

exhaustivas (biyecciones o correspondencias uno a uno) juegan un papelcapital.

Paradojas o contradicciones?44 Una inyeccion exhaustiva entre dos conjuntosAyB es una correspon-

dencia entre los elementos de ambos conjuntos en la cual cada elemento de

A queda emparejado con un elemento diferente de B, y todos los elemen-

tos de A y B resultan emparejados. Cuando al menos un elemento de B

resulta no emparejado la inyeccion se llama no exhaustiva. Las inyecciones

exhaustivas y no exhaustivas pueden usarse para comparar la cardinali-

dad de los conjuntos finitos. Pero si los conjuntos comparados son infinitos

entonces solo se permiten las inyecciones exhaustivas. Ninguna razon ha

sido dada nunca para justificar esa arbitraria distincion (vease mas abajo

47-50) salvo que, por definicion, los conjuntos infinitos violan el axioma

eucldeo.

45 Pero, puesto que las definiciones tambien pueden ser inconsistentes,6

los conjuntos infinitos podran haber sido definidos de manera inconsisten-

te sobre la base de uno de los terminos de una contradiccion: existe una

inyeccion exhaustiva entre un conjunto infinito y una de sus subconjuntos

propios. La otra parte de la contradiccion sera: existe una inyeccion no

exhaustiva entre el conjunto y el mismo subconjunto propio. Nadie ha ex-

plicado nunca por que tener una inyeccion exhaustiva con un subconjunto

propio y al mismo tiempo tener una inyeccion no exhaustiva con el mismo

5Aristoteles acabo rechazando el metodo de los emparejamientos, proponiendo la distin-cion entre infinito potencial e infinito actual [11],[10].

6Especialmente cuando la definicion esta basada en la violacion de un axioma basico,como es el caso de la definicion de conjunto infinito de Dedekind.


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Paradojas o contradicciones? 23

subconjunto propio no es contradictorio. Simplemente se ha ignorado el

problema y sobre la base de esa ignorancia se ha construido la teora de

conjuntos.

46 Si la nocion de conjunto es primitiva (como parece ser) entonces solo

podramos realizar definiciones operativas de conjunto. Y si los conjuntospueden tener diferentes cardinalidades, deberamos establecer un metodo

basico adecuado para comparar cardinalidades antes de definir los tipos de

conjuntos que podran definirse en funcion de sus cardinales, especialmente

si el metodo de comparacion forma parte de la propia definicion, como es

el caso de la definicion de conjunto infinito. Emparejar los elementos de

dos conjuntos es el unico metodo conocido para lograr este objetivo, antes

de poder definir cualquier otra operacion aritmetica o conjuntista. Es en

este nivel fundamental de la teora de conjuntos donde vamos a discutir silas inyecciones exhaustivas y no exhaustivas son metodos apropiadas para

sacar conclusiones sobre la cardinalidad de dos conjuntos cualesquiera.

Por lo tanto, dilucidar esta cuestion debera ser un requisito necesario

antes de intentar cualquier definicion que implique cardinalidades, como la

definicion de conjunto infinito.

47 Parece razonable asumir que si despues de emparejar cada elemento

de un conjunto A con un elemento diferente de un conjunto B todos los

elementos de B resultan emparejados, entonces A y B tienen el mismonumero de elementos. Pero tambien parece razonable asumir, y por las

mismas razones elementales, que si despues de emparejar cada elemento

de A con un elemento diferente de B uno o mas elementos del conjunto B

quedan sin emparejar, entonces A y B no tienen el mismo numero de ele-

mentos. Es destacable que las inyecciones exhaustivas y las no exhaustivas

hacen usodel mismo metodo basico de emparejar elementos, sin llevar a ca-

bo ninguna operacion aritmetica finita o transfinita. No estamos contando

sino emparejando elementos, estamos discutiendo en el nivel fundacional

mas basico de la teora de conjuntos.

48 Conviene recordar en este punto que las singularidades aritmeticas de

los cardinales infinitos comoo =o +o y cosas por el estilo, se derivan

todas ellas de la hipotetica existencia (Axioma del Infinito) de los con-

juntos infinitos, cuyos elementos, por definicion, se pueden emparejar con

los elementos de alguno de sus subconjuntos propios. As, y bajo pena de

razonamiento circular, de la existencia deducida de esas peculiaridades

aritmeticas (que podran ser usadas para justificar la existencia de inyec-

ciones exhaustivas y no exhaustivas entre un conjunto infinito y alguno de


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sus subconjuntos infinitos), no podemos inferir la existencia de los conjun-

tos que permiten deducir esas peculiaridades aritmeticas de los cardinales

infinitos. Aqu estamos simplemente discutiendo si el metodo de emparejar

los elementos de dos conjuntos es apropiado para comparar sus respecti-

vas cardinalidades; y si lo es, por que las inyecciones no exhaustivas sonrechazadas, porque ese rechazo podra estar ocultando una contradiccion

fundamental.

49 Las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas deberan tener la misma

validez como instrumentos para comparar la cardinalidad de los conjuntos

infinitos porque ambas usan exactamente el mismo metodo de compara-

cion. Sin embargo, solo las inyecciones exhaustivas pueden usarse con ese

proposito. El problema aqu es que la existencia de inyecciones exhaustivas

y no exhaustivas entre dos conjuntos infinitos podra estar indicando laexistencia de una contradiccion elemental (que ambos conjuntos tienen y

no tienen la misma cardinalidad), en ese caso la distincion de las inyeccio-

nes exhaustivas sera la distincion de un termino de una contradiccion en

detrimento del otro.

50 Como mnimo, la alternativa de considerar inconsistente a un conjunto

porque existen inyecciones exhaustivas y no exhaustivas con los elementos

del mismo subconjunto propio es tan legtima como la alternativa de con-

siderar consistente a ese conjunto. Como mnimo, la seleccion arbitraria deuna alternativa debera declararse explcitamente en el nivel fundacional

de la teora, lo que no es el caso en las actuales teoras de conjuntos. En

esas teoras se ignora sistematicamente la primera alternativa. Se podra

argumentar que la definicion de Dedekind implica asumir la existencia de

conjuntos para los cuales existen inyecciones exhaustivas y no exhaustivas

con al menos uno de sus subconjuntos propios, pero una simple definicion

no garantiza que el objeto definido sea consistente, y entonces la alternati-

va de la inconsistencia ha de ser tambien considerada. La propuesta de esa

consideracion es el principal objetivo de esta discusion. Una consideracionque, hasta donde yo se, nunca ha sido seriamente planteada.

51 Supongase, solo por un momento, que las inyecciones exhaustivas y

no exhaustivas fueran instrumentos validos para comparar la cardinalidad

de dos conjuntos cualesquiera. En esas condiciones, sea B un conjunto in-

finito. Por definicion, existe un subconjunto propioAde B y una inyeccion

exhaustiva f de A enB que prueba que ambos conjuntos tienen el mismo

numero de elementos. Considerese ahora la inyecciong deA en B definida


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Paradojas o contradicciones? 25

12 12

22 22

32 3

2

42

42

1 1

2 4

3 9

4 16

f(n ) = n2 g(n ) =n

2 2

2,35,6,7,8

10,11,12

S N S N

Todos emparejados Todos emparejados No emparejados

Emparejados

Figura 4.1: El sospechoso poder de la elipsis: los conjunto S y N tienen (izquierda) yno tienen (derecha) el mismo numero de elementos.

por:

g(x) =x, x A (1)

que, evidentemente, no es exhaustiva (los elementos del conjunto no vaco

B-A quedan sin emparejar). Las inyecciones f y g estaran demostrando

que A y B tienen (f) y no tienen (g) el mismo numero de elementos, i.e.

que los conjuntos infinitos son inconsistentes.

52 Hemos de decidir, por tanto, si las inyecciones exhaustivas y no ex-

haustivas tienen la misma validez como instrumentos para comparar lacardinalidad de dos conjuntos cualesquiera. Si la tienen, entonces los con-

juntos infinitos son inconsistentes. Si no la tienen, se debera dar alguna

razon (no circular) para explicar por que no la tienen. Y si no se pude dar

ninguna razon, entonces la distincion arbitraria a favor de las inyecciones

exhaustivas debera ser declarada arbitrariamente por un nuevo axioma ad

hoc. Hasta entonces, la fundamentacion de la teora de conjuntos descansa

sobre la base de uno de los terminos de una posible contradiccion.7

53 Como cabra esperar de una teora con tales fundamentos, las in-consistencias aparecieron nada mas iniciarse el desarrollo de la teora: se

demostro que el conjunto de todos los ordinales (Burali-Forti) [28] y el

conjunto de todos los cardinales (Cantor) eran inconsistentes. Segun Can-

tor esos conjuntos eran inconsistentes por su excesiva infinitud.8 Se puede

ser infinito, pero solo dentro de cierto lmites. Mediante las restricciones

axiomaticas apropiadas, fue finalmente establecido que ciertas totalidades

7Por increble que pueda parecer, la fundamentacion axiomatica de la teora de conjuntos

ha ignorado siempre este problema.8Carta a Dedekind citada en[56,pag. 245], [79],[75].


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infinitas, como la totalidad de los cardinales o la de los ordinales, no exis-

ten porque conducen a contradicciones. Es facil probar, como se vera en

el captulo siguiente, que en una teora infinitista e informal (sin restric-

ciones axiomaticas) de conjuntos, como la teora de conjuntos de Cantor,

cada conjunto de cardinalidad C origina nada menos que 2C

totalidadesinfinitas inconsistentes.

54 En el Captulo18veremos que el teorema de la reordenacion de Rie-

mann tambien puede ser reinterpretado como una prueba de la inconsis-

tencia de la hipotesis del infinito actual. En el resto del libro se desarrollan

mas de veinte argumentos, todos ellos sugiriendo la misma conclusion.


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5.-Extension de la Paradoja de Cantor

Introduccion55 La paradoja de Cantor no es una paradoja sino una verdadera in-

consistencia relacionada con el conjunto de todos los cardinales. Por esta

razon, ese conjunto se rechaza de manera explcita en las modernas teorasaxiomaticas de conjuntos. La siguiente discusion demuestra, sin embargo,

que no solo el conjunto de todos los cardinales es inconsistente, prueba que

en la teora informal de conjuntos de Cantor (naive set theory) cada con-

junto de cardinalidad Corigina por lo menos 2C conjuntos inconsistentes

(cada uno de sus subconjuntos origina una totalidad inconsistente en ese

marco no axiomatizado de la teora primitiva de conjuntos).

56 Aunque Burali-Forti fue el primero en publicar [27], [79] la prueba

de una inconsistencia derivada de la existencia de un conjunto infinito,Cantor fue el primero en descubrir una de esas inconsistencias infinitistas:

la paradoja del maximo cardinal [79],[56]. No hay acuerdo sobre la fecha en

la que Cantor descubrio su paradoja [79](el rango de fechas propuesto va

desde 1883[156]a 1896[87]). La paradoja (inconsistencia) de Burali-Forti

del conjunto de todos los ordinales y la de Cantor del conjunto de todos los

cardinales estan relacionadas con el tamano de las totalidades consideradas,

tal vez demasiado grandes para ser consistentes segun Cantor. Parece algo

ironico que un conjunto infinito puede ser inconsistente precisamente porsu excesivo tamano. Por cierto, notese el eufemismo de llamar paradoja

a lo que realmente es una inconsistencia, es decir, un par de resultados

contradictorios que seguramente derivan de una suposicion previa comun.

De que suposicion? nos podramos tambien preguntar. Tal vez de la

hipotesis de que los conjuntos infinitos existen como totalidades completas?

57 En efecto, la explicacion mas simple para ambas paradojas es que

sean realmente inconsistencias derivadas de la hipotesis del infinito actual,

es decir de asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidades

completas. Pero nadie se ha atrevido a analizar esa alternativa. Finalmente

27


34/224

28 Extension de la Paradoja de Cantor

fue aceptado que existen algunas totalidades infinitas (como la totalidad de

los numeros reales) mientras que otras (como la totalidad de los cardinales,

o la totalidad de los ordinales, o el conjunto todos los conjuntos) no existen

porque conducen a contradicciones.

La paradoja de Cantor58 La version mas sencilla y breve de la paradoja1 de Cantor es la si-

guiente: Sea a U el conjunto de todos los conjuntos, el llamado conjunto

universal2 y P(U) su conjunto potencia, el conjunto de todos sus subcon-

juntos. Denotemos por |U| y |P(U)| sus respectivos cardinales. Siendo U

el conjunto de todos los conjuntos debe contener a todos los conjuntos,

podemos, pues, escribir:

|U| |P(U)| (1)

Por otra parte, y teniendo en cuenta el teorema de Cantor sobre el conjunto

potencia [35], se verifica:

|U|< |P(U)| (2)

lo que contradice (1). Esta es nuestra version simplificada de la inconsis-

tencia o paradoja de Cantor.

59 Como es bien sabido, Cantor no le dio importancia [75] a su paradoja

y zanjo la cuestion asumiendo la existencia de dos tipos de totalidades

infinitas, las consistentes y las inconsistentes [33]. Como se indico mas

arriba, en opinion de Cantor la inconsistencia de esas totalidades infinitas

sera debida a su excesivo tamano. Estaramos ante la madre de todos los

infinitos, el infinito absoluto que, segun Cantor, conduce directamente a

Dios, siendo precisamente la naturaleza divina de esa infinitud absoluta lo

que la hace inconsistente para nuestras pobres mentes humanas[33].

60 Como veremos de inmediato, es posible extender la paradoja de Can-

tor a otros conjuntos mucho mas modestos que el conjunto de todos los

conjuntos. Pero ni Cantor ni sus sucesores consideraron tal posibilidad. Lo

haremos aqu. Ese es precisamente el objetivo de la discusion que sigue.

Una discusion que se llevara a cabo en el marco de la teora informal, y

por tanto no axiomatizada, de conjuntos de Cantor.

1Para un analisis detallado vease [79,pp. 66-74]. Por muy usual que pueda ser, la expresionParadoja de Cantor es como mnimo confusa, puesto que no es una paradoja sino unaverdadera contradiccion.

2La teora informal de conjuntos (como la teora de Cantor) admite conjuntos como elconjunto universal Uque estan prohibidos en las teoras axiomaticas modernas.


35/224

Una extension de la Paradoja de Cantor 29

Una extension de la Paradoja de Cantor61 Puesto que los elementos de un conjunto en la teora informal de

conjuntos pueden ser conjuntos, conjuntos de conjuntos, conjuntos de con-

juntos de conjuntos y as sucesivamente, vamos a comenzar por definir la

siguiente relacion binaria R entre dos conjuntos: diremos que el conjuntoAesta R-relacionado con el conjunto B, escrito A R B, siB contiene al me-

nos un elemento que forma parte de la definicion de al menos un elemento

de A. Por ejemplo, si:

A= { {{a, {b}}}, {c}, d, {{{{e}}}}, f} (3)

B={1, 2, b} (4)

C={1, 2, 3} (5)

entonces A esta R-relacionado con B porque el elemento b de B formaparte de la definicion del elemento {{a, {b}}} de A, pero A no esta R-

relacionado conCporque ningun elemento deCinterviene en la definicion

de los elementos de A.

62 En esas condiciones seaXun conjunto cualquiera no vaco, e Y uno

de sus subconjuntos. A partir de Y se define el conjunto TY de acuerdo

con:

TY ={Z |V(V Y = ZR V)} (6)

TY es, por tanto, el conjunto de todos los conjuntos Zque no estan R-

relacionados con conjuntosVque contengan uno o mas elementos del con-

junto Y. Notese que si Y = entonces TY es el inconsistente conjunto

universal.

63 Es facil demostrar queTYes un conjunto infinito. En efecto, sea n un

numero natural finito cualquiera y supongamos que |TY |= n. Tendremos:

TY ={T1, T2, . . . T n} (7)

Consideremos ahora el conjunto A={{...n{{T1}}...n}}. Puede ser que Asea

diferente de todos los Ti de TY , o puede ser que A = Tk para un cierto

k. Pero en el ultimo caso tendra que existir un ndice h < n tal que

B ={{...h

{{T1}}...h }} sea diferente de todos los Ti de TY, en caso contrario

tendremos|TY |> n. En consecuencia o bien A o bien B sera diferente de

todos los Ti de TY. Por otra parte, A y B son conjuntos cuyos elementos

no estanR-relacionados con conjuntos que contienen uno o mas elementos

del conjuntoY. Por lo tanto ambos pertenecen aTY, y entonces |TY |> n.

Concluimos entonces que TYsolo puede ser infinito.


36/224


64 Sea ahora el conjuntoP(TY), el conjunto potencia de TY. Los elemen-

tos deP(TY) son todos ellos subconjuntos deTYy por tanto conjuntos de

conjuntos que no estanR-relacionados con conjuntos que contengan algun

elemento del conjunto Y:

D P(TY) : V(V Y = D R V) (8)

Consecuentemente, se verifica:

D P(TY) : D TY (9)

Y entonces:

P(TY) TY (10)

Podemos, pues, escribir:

|P(TY)| |TY | (11)

65 Por otro lado, y de acuerdo con el teorema de Cantor, tenemos:

|P(TY)|> |TY | (12)

Nuevamente una contradiccion. Pero ahora X es cualquier conjunto no

vaco, eY uno cualquiera de sus subconjuntos. Hemos probado, por tanto,

el siguiente:

Teorema 65 (de la Paradoja de Cantor).-En la teora de

conjuntos de Cantor, cada conjunto de cardinal C da lugar a

por lo menos 2C conjuntos infinitos inconsistentes

66 El argumento anterior no solo demuestra que el numero de totalidades

infinitas inconsistentes es mucho mayor que el numero de las consistentes,

tambien sugiere que el tamano excesivo de los conjuntos podra no ser la

causa de la inconsistencia. Consideremos, por ejemplo, el conjunto X de

todos los conjuntos cuyos elementos se definen exclusivamente por medio

del numero natural 1:

X={1, {1}, {1, {1}, {1, {1}}}, {{{1}}}, {{1, {1} }} . . . } (13)

Un argumento similar a62/65probara que es una totalidad inconsistente,

aunque en comparacion con el conjunto universal es una totalidad insigni-

ficante.3

67 Notese que los conjuntos como el conjunto Xdefinido en (13) son in-

consistentes solo cuando se los considera desde el punto de vista del infinito

3Recordemos, por ejemplo, que entre dos numeros reales cualesquiera existe un numero

infinito no numerable (2o

) de otros numeros reales diferentes. Lo que, como seguramentese dira Wittgenstein, llega a marear[202]


37/224

Una extension de la Paradoja de Cantor 31

actual. Es decir, cuando se los considera como totalidades completas. Y re-

cuerdese que, desde el punto de vista del infinito potencial, estos conjuntos

no tienen sentido porque desde esta perspectiva las unicas totalidades com-

pletas son las totalidades finitas, tan grandes como se quiera, pero siempre

finitas.68 Si hubieramos sabido de la existencia de tantas totalidades infinitas

inconsistentes y no necesariamente tan enormes como el infinito absoluto,

tal vez la teora transfinita de Cantor habra sido recibida de una manera

diferente. Tal vez la nocion de infinito actual habra sido puesta en cuestion

en terminos de la teora de conjuntos; y quizas habramos descubierto la

manera de probar su inconsistencia. Pero, como sabemos, ese no fue el

caso.

69 La historia de la recepcion de la teora de conjuntos y la manera detratar sus inconsistencias (todas ellos derivadas de la hipotesis de infinito

actual y de la autorreferencia) es bien conocida. Desde los inicios del siglo

XX se ha venido realizando un gran esfuerzo para fundar la teora de con-

juntos sobre una base formal libre de inconsistencias. Aunque el objetivo

solo pudo alcanzarse con la ayuda del adecuado parcheo axiomatico. Desde

entonces se han desarrollado al menos media docena de teoras axiomati-

cas de conjuntos.4 Varios cientos de paginas son necesarias para expli-

car en detalle todas las restricciones axiomaticas de las modernas teorasaxiomaticas de conjuntos. Justo lo contrario de lo que cabra esperar de la

fundamentacion axiomatica de una ciencia formal.

70 Como se senalo anteriormente, la explicacion mas simple de las in-

consistencias de Cantor y de Burali-Forti es que sean verdaderas contra-

dicciones derivadas de la inconsistencia de la hipotesis del infinito actual.

Lo mismo se aplica al conjunto de todos los conjuntos y al el conjunto

de todos los conjuntos que no son miembros de s mismos (paradoja de

Russell), aunque en este caso hay una causa adicional de inconsistenciarelacionada con la autorreferencia. Todos los conjuntos involucrados en las

parado jas de la teora informal de conjuntos fueron eliminados de la teora

mediante las oportunas restricciones axiomaticas. Nadie se atrevio ni si-

quiera a sugerir la posibilidad de que esas paradojas fueran contradicciones

derivadas de la hipotesis del infinito actual; es decir, derivadas de asumir

la existencia de conjuntos infinitos como totalidades completas.

4Se han producido tambien algunos intentos contemporaneos por recuperar la teora

informal de conjuntos [104].


38/224


71 Lo cierto es que el conjunto de Cantor detodoscardinales, el conjunto

de Burali-Forti de todos los ordinales, el conjunto de todos los conjuntos

y el conjunto de Russell de todos los conjuntos que no son miembros de

s mismos, son todos ellos totalidades inconsistentes cuando se les conside-

ra desde la perspectiva de la hipotesis del infinito actual. Incluso el famosoproblema de la parada de Turing esta relacionado con la hipotesis del infi-

nito actual porque tambien se asume aqu la existencia de todos los pares

(programas, inputs) como una totalidad infinita completa [192]. Bajo la

hipotesis del infinito potencial, por otro lado, ninguno de esas totalida-

des tiene sentido porque desde esa perspectiva solo se pueden considerar

totalidades finitas, indefinidamente extensibles, pero siempre finitas.

72 Como se indico mas arriba, la Paradoja de Cantor (o la de Burali-

Forti) no es una paradoja sino una inconsistencia, un par de resultadoscontradictorios: |U| |P(U)||U|


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6.-El siguiente racional

Introduccion73 El conjunto Q de los numeros racionales, en su ordenamiento natu-

ral, esta densamente ordenado: entre cada dos numeros racionales existe

un numero infinito de otros numeros racionales diferentes. Pero siendo nu-

merable [31], Q tambien puede ser ordenado: entre cada dos numerosracionales sucesivos no existe ningun otro numero racional. El argumento

que sigue se aprovecha de esta especie de esquizofrenia numerica.

Discusion1

2

3

4

5

Rectaracionalpositiva

Q+ Q+f

N

q = f(1)1

q = f(2)2

q = f(3)3

q = f(4)4

q = f(5)5

Densamenteordenada

-ordenado -ordenado

Figura 6.1: -Ordenamiento de larecta racional positiva.

74 Por sencillez trataremos con el conjun-

to Q+ de los racionales positivos mayores

que cero, que tambien es numerable y densa-

mente ordenado. Sea entonces funa corres-pondencia biunvoca entre el conjunto N de

los numeros naturales y el conjunto Q+. Es

evidente que fpermite un -ordenamiento

de Q+: gracias a fel conjunto de todos los

racionales positivos se puede escribir como

{q1, q2, q3, . . . }, siendo qi=f(i), i N.

75 Sea ahoraxuna variable racional cuyo dominio es el intervalo racional

(0, 1) y cuyo valor inicial xo es cualquier elemento de (0, 1). Considerese lasiguiente sucesionDi(x) de definiciones recursivas de x:D1(x) =xo

Di(x) = mn(Di1(x), |qi q1|), i= 2, 3, 4, . . .(1)

dondeDi(x) es la i-esima definicion dex y mn(x, |qi q1|) el menor (en el

orden denso usual de Q) de los dos valores entre parentesis, siendo |qi q1|

el valor absoluto de qi q1. Las sucesivas definicionesDi(x) definen a la

variable x como|qi q1| si |qi q1|es menor que Di1(x), o como Di1(x)

si no lo es.

33


40/224

34 El siguiente racional

76 Las definiciones, procedimientos y pruebas de infinitos pasos sucesivos,

como la definicion (1), son usuales en las matematicas infinitistas (veanse,

por ejemplo, el argumento de Cantor de 1874 o el conjunto ternario de

Cantor, mas adelante en este libro). Por innecesaria que pueda parecer,

impondremos a las sucesivas definiciones Di(x) la siguiente:Restriccion 76.-Cada definicion Di(x) se llevara a cabo si, y

solo si,xqueda definida como un numero racional de su dominio

(0, 1).En lo que sigue diremos que una definicion Di(x) es posible si, y solo si,

cumple la restriccion anterior.

77 Es inmediato probar que para todo numero natural v, las primeras

v definiciones sucesivas Di(x)i=1,2,...v se pueden realizar. Evidentemente

D1(x) se puede realizar puesto que D1(x) =xo, yxo(0, 1). Supongamosque, siendo n cualquier numero natural, se pueden realizar las primeras n

definiciones sucesivasDi(x)i=1,2,...n, lo que significa que x estara definidacon un cierto valorDn(x) de su dominio (0, 1). Puesto que|qn+1 q1|es un

numero racional positivo bien definido, sera, o no, menor que Dn(x). Con-

secuentemente Dn+1(x) puede definir a x como |qn+1 q1| si este numero

es menor que Dn(x) o como Dn(x) si no lo es. En cualquier caso Dn+1(x)

define a x dentro de su dominio (0, 1). Por tanto, las primeras (n+ 1)

sucesivas definiciones Di(x)i=1,2,...n+1 tambien se pueden llevar a cabo.

En consecuencia, para cualquier numero natural v, es posible realizar lasprimerasv definiciones sucesivas Di(x)i=1,2,...v.

78 Empezaremos probando que una vez realizadas todas las posibles1

definiciones sucesivas Di(x), el numero racional q1 +x no es el menorracional mayor queq1. As es, cualquiera que sea el valor de x una vez rea-

lizadas todas las posibles definiciones sucesivasDi(x), el numero racional

q1+ 0,1x, por ejemplo, es mayor que q1 y menor que q1+ x. Notese que

este argumento es una consecuencia del orden denso de Q+.

79 Probaremos ahora, sin embargo, que una vez realizadas todas las po-sibles definiciones Di(x), el numero racional q1+x es el menor racional

mayor que q1. Veamos que as ha de ser. Supongamos que una vez reali-

zadas todas las posibles definiciones sucesivas Di(x) el numero racional

q1 + xno es el menor racional mayor que q1. En tal caso habra un numero

racionalqv mayor que q1 y menor que q1+ x:

q1 < qv < q1+ x (2)

1Notese que si no fuera posible realizar todas las posibles definiciones sucesivas Di(x),estaramos ante la contradiccion elemental de una imposible posibilidad.


41/224

Discusion 35

Por tanto, si restamos q1 a los tres miembros (todos ellos numeros racio-

nales propios) de las dos desigualdades tendremos:

0< qv q1< x (3)

lo que es imposible porque:a) El ndice v de qv es un numero natural.

b) De acuerdo con77, es posible realizar las primeras v definiciones

sucesivasDi(x)i=1,2,...v.

c) Todas las posibles definiciones sucesivas Di(x) se han realizado.

d) Por tanto, las primeras v definiciones sucesivas Di(x)i=1,2,...v se

han realizado.

e) Como consecuencia de Dv(x), podemos afirmar que x qv q1.f) Es imposible entonces que x > qv q1.

Por tanto nuestra hipotesis inicial ha de ser falsa y q1 +xes el menor racio-

nal mayor queq1. Notese que esta increble conclusion es una consecuencia

legtima del orden de Q+ inducido por la biyeccion f definida en 74.

En efecto, es esa biyeccion la que hace posible considerarsucesivamente y

uno a uno, todos los elementos qi de Q+ y calcular uno a uno todos los

|qi q1|.

80 Una vez completada la sucesion de todas las posibles definicionesDi(x), la variablex podra haber sido definida un numero infinito de ve-

ces sin una ultima definicion. Por lo tanto sera imposible conocer el valor

actual de x una vez completada la sucesion definicionesDi(x). Pero, en

cualquier caso, x continuara siendo una variable racional definida con un

cierto valor dentro de su dominio (0, 1). Por lo tanto, y por muy indeter-

minable que pueda ser ese valor, x seguira siendo una variable racional

apropiadamente definida en su dominio racional (0, 1). Y eso es todo lo

que necesitamos para que el argumento anterior sea conclusivo.81 En caso contrario, si despues de completar la sucesion de todas las

posibles definicionesDi(x), la variable racionalx hubiera perdido su con-

dicion de variable racional apropiadamente definida dentro de su dominio

(0, 1), tendramos que admitir que la complecion de una sucesion infinita

de definiciones posibles tiene efectos arbitrarios adicionales sobre el objeto

definido. Pero si ese fuera el caso, los mismos efectos arbitrarios adiciona-

les se podran esperar de cualquier otra definicion, procedimiento o prueba

consistente en un numero infinito de sucesivos pasos, y entonces cualquier

cosa podra esperarse de las matematicas infinitistas.


42/224

36 El siguiente racional

82 Podramos incluso temporizar la sucesion de definicionesDi(x) rea-

lizando cada definicion Di(x) en el preciso instante ti de una sucesion

ordenada y estrictamente creciente tn = t1, t2, t3. . . dentro del inter-

valo finito (ta, tb), cuyo lmite es tb. En estas condiciones, x solo podra

perder su condicion de variable racional apropiadamente definida en sudominio (0, 1) en el preciso instante tb, el primer instante despues de ha-

ber completado la sucesion de definiciones Di(x). En efecto, siendo tb el

lmite detn tendremos:

t [ta, tb) : (4)

v: tv t < tv+1 (5)

en el instante t, x esta bien definida por Dv(x) (6)

y por tanto en todo instante t de [ta, tb), x es una variable racional biendefinida en su dominio racional (0, 1). Por consiguiente, solo en el preciso

instante tb podrax haber perdido su condicion de variable racional apro-

piadamente definida en su dominio (0, 1). En consecuencia, tendramos que

admitir no solo que completar una sucesion infinita de definiciones, todas

ellas posibles, tiene efectos adicionales arbitrarios sobre el objeto definido,

sino que ademas esos efectos aparecen inesperadamente despues de com-

pletar la sucesion de definiciones. Y lo mismo se aplicara a cualquier otra

definicion, procedimiento o prueba compuesta por una sucesion infinita de

pasos, todos ellos posibles.


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7.-La lampara de Thomson

Introduccion83 Aunque la crtica de Benacerraf al argumento de la lampara de Thom-

son esta bien fundada (vease mas abajo), queda muy lejos de ser completa.

Como veremos aqu, es posible considerar una nueva lnea argumental, solo

incidentalmente considerada por Benacerraf, que se basa exclusivamente en

la definicion formal de la lampara. Esa lnea argumental conduce a un re-

sultado contradictorio que compromete la consistencia formal del ordeninvolucrado en todas las -supertareas.

Figura 7.1: Supertarea de Gre-gory.

84 Realizar una -supertarea (supertarea a

partir de ahora) significa realizar una suce-

sion ordenada de acciones (tareas) en un

tiempo finito. Las supertareas son artefactos

teoricos de cierta utilidad en la filosofa de las

matematicas, particularmente en la discusio-

nes formales de ciertos problemas relacionados con el infinito.1 Aunque sus

posibilidades e implicaciones fsicas tambien han sido discutidas.2 Aqu solo

trataremos con supertareas conceptuales.

85 Gregory of Rimini fue probablemente el primero en proponer como se

podra realizar una supertarea ([136], p. 53):

Si Dios quisiera hacer crecer una piedra anadiendole sucesivosmetros cubicos de piedra -lo que El s puede hacer- podra crear

una piedra infinitamente grande. Para ello solo necesita agregar

un pie cubico en algun instante, otro pie cubico media hora mas

tarde, otro un cuarto de hora mas tarde, y as sucesivamente ad

infinitum. Entonces tendra ante El una piedra infinita al final

de una hora.

1[191], [26], [48], [154],[18],[200], [154]

2[149], [150], [154], [165], [92], [94], [93], [150],[151],[152], [68], [153], [143], [5], [6], [155][200], [103], [66],[67],[143], [65], [174]

37


44/224

38 La lampara de Thomson

Pero el termino supertarea fue introducido por J. F. Thomson en su se-

minal artculo de 1954 [191]. El artculo de Thomson fue motivado por

el argumento de Black[23] sobre la imposibilidad de realizar infinitas ac-

ciones sucesivas y por las subsiguientes discusiones sobre ese argumento

realizadas por R. Taylor [190] y J. Watling [198]. En su artculo, Thom-son intento probar la imposibilidad de realizar supertareas. El argumento

de Thomson fue, a su vez, criticado en otro artculo seminal, en este caso

de P. Benacerraf [17]. El exito de la crtica de Benacerraf finalmente mo-

tivo la creacion de una nueva teora infinitista independiente de la teora

de conjuntos: la teora de supertareas.

86 Las posibilidades de realizar una infinidad no contable de acciones

fueron examinadas, y descartadas, por P. Clark y S. Read [48]. Las super-

tareas han sido tambien consideradas desde la perspectiva del analisis noestandar,3 aunque las posibilidades de realizar una hipertarea durante un

intervalo hiperreal de tiempo no han sido discutidas, a pesar de que los in-

tervalos finitos hiperreales se pueden dividir en una infinidad hipercontable

de intervalos infinitesimales (particiones hiperfinitas).4 Pero la mayora de

las supertareas son-supertareas, i.e. sucesionesordenadas de acciones

realizadas durante un intervalo finito (o percibido como finito) de tiempo.

87 La idea basica de la crtica Benacerraf contra el argumento de Thom-

son es la imposibilidad de derivar consecuencias formales sobre el estadofinal de la supermaquina que realiza la supertarea, a partir de la sucesion

de estados que la maquina atraviesa como consecuencia de la ejecucion de

la supertarea. Pero, como veremos, el analisis de Benacerraf del argumento

de la lampara de Thomson es incompleto.

88 En efecto, si el mundo continua siendo el mismo mundo que era antes

de la ejecucion de una supertarea, y si se sigue permitiendo pensar en

terminos racionales en el mismo marco de las leyes de la logica, entonces

el argumento de Thomson se pueden reorientar hacia la definicion formalde la maquina que realiza la supertarea. Una definicion que no depende

del numero de tareas realizadas con esa maquina, una definicion que, por

consiguiente, tiene la misma validez antes durante y despues de realizar la

supertarea. Asumimos pues que la ejecucion de una supertarea no cambia

de forma arbitraria una definicion legtima previamente establecida.

3[131],[130], [4],[119]4[187],[84],[107], [99], etc.


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La lampara de Thomson 39

La lampara de Thomson89 Como hizo Thomson en 1954, en la siguiente discusion usaremos una

de esas:

... lamparas

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