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Transformada Discreta de Fourier 1

Processamento Digital de Sinais

Notas de Aula

Transformada Discreta de Fourier

DFT

Ricardo Tokio Higuti

Departamento de Engenharia Eletrica - FEIS - Unesp

Observacao: Estas notas de aula estao baseadas no livro: Discrete-Time Signal Processing,

A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 1989/1999.


Transformada Discreta de Fourier - DFT

DTFT:X(ej) =

n=x[n]ejn

E uma transformada da variavel contnua

Usada para sinais de duracao finita/infinita

Nao pode ser implementada de maneira exata num computador

Uso de outras ferramentas matematicas que a aproximam

DFT:

Aplicada a sinais de tempo discreto de duracao finita

O resultado e um sinal de frequencia discreta e de duracao finita

Pode ser implementada de maneira exata num computador

E uma aproximacao da DTFT

Existem algoritmos eficientes para seu calculo (FFT - Fast FourierTransform)

Esta relacionada com sinais periodicos (DFS - Discrete Fourier Series)

Aplicacoes:

Analise espectral de sinais, resposta em frequencia

Implementacao de SLITs

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Serie Discreta de Fourier - DFS

Seja um sinal de tempo discreto periodico, com perodo N, que obedece a:

x[n] = x[n +rN], r, N inteiros,em que define-se a frequencia fundamental do sinal por:

0=2

N

Analogamente ao caso de tempo contnuo, este sinal tambem pode serrepresentado por uma serie, composta por uma soma de exponenciais com-plexas de tempo discreto, cujas frequencias sao multiplas da frequencia

fundamental:

x[n] =k

XkN

ej2

Nkn

Devido a periodicidade das frequencias das exponenciais complexas, haapenas N frequencias distintas:

ek[n] = ej 2

Nkn

Para k inteiro, fica-se com as exponenciais e0[n], e1[n], ..., eN1[n].Quandok = N, tem-se:

eN[n] = ej 2

NNn =ej2n = 1 = e0[n]

De forma analoga,eN+1[n] = e1[n] e assim por diante.


Serie Discreta de Fourier - DFS

Portanto, ha apenasN diferentes frequencias:

k =

2

Nk, para k= 0, 1, 2, , N 1

e portanto a serie fica:

x[n] = 1

N

N1k=0

Xkej 2

Nkn =

1

N

N1k=0

X[k]ej2

Nkn

Os valores X[k] sao os coeficientes da serie discreta de Fourier (DFS),que representam a contribuicao de cada componente de frequencia 2k/N

na composicao do sinal periodico. Os coeficientes sao obtidos por:

X[k] =N1n=0

x[n]ej2

Nkn, k = 0, 1, , N 1

Chagando-se ao par transformado:

x[n] DFS X[k]

Observacoes:

X[k] e de frequencia discreta. Para cada k ha uma frequencia 2k/N

X[k] e periodico com N: X[k+ N] = X[k], por isso basta observarseus valores no intervalo entre 0 e N 1.

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Exemplo - DFS

Calcule a DFS da sequencia:

x[n] = A cos(n/2)Inicialmente verifica-se que a sequencia e periodica, com perodoN= 4,

e valores {A, 0, A, 0}em um perodo (0 n 3).Portanto, a os coeficientes da DFS sao:

X[k] =N1n=0

x[n]ej2

Nkn =A(1 ej

2

42k)

Com valores:

X[0] =A(1 ej0) = 0

X[1] =A(1 ej1) = 2A

X[2] =A(1 ej2) = 0

X[3] =A(1 ej3) = 2A

e percebe-se que X[4] = X[0], e assim por diante.

Outra forma de verificar o resultado e reescrevendo a sequencia x[n] emtermos de exponenciais complexas:

x[n] = A cos(n/2) =A

2ej

2n +

A

2ej

2n =

A

2ej

2

4n +

A

2ej

2

4n

Deve-se notar que ej2

Nkn =ej

2

N(Nk)n, e portanto x[n] pode ser escrito

como:

x[n] =

A

2 e

j 24n

+

A

2 e

j 24

3n

Como a expansao de x[n] em termos da DFS e:

x[n] =1

4

N1k=0

X[k]ej2

4kn

Nota-se que:

X[0] = 0

X[1]/4 = A/2, portanto X[1] = 2A

X[2] = 0

X[3]/4 = A/2, portanto X[3] = 2A


Exemplo - DFS

Calcule a DFS de um trem de impulsos periodico:

x[n] =

r= [nm+rN]

Um perodo do sinal, para 0 n N 1 e dado por[nm], commuma constante inteira. Os coeficientes da DFS sao dados por:

X[k] =N1n=0

x[n]ej2

Nkn =

N1n=0

[nm]ej2

Nkn =ej

2

Nkm

Portanto, a representacao do sinal periodico fica:

x[n] = 1N

N1k=0

X[k]ej2

Nkn = 1

N

N1k=0

ej2

Nkmej

2

Nkn = 1

N

N1k=0

ej2

Nk(nm)

E tem-se a identidade:

x[n] =

r=[nm+rN] =

1

N

N1k=0

ej2

Nk(nm)

Esta identidade sera util quando for relacionada a DFS com a DTFT.

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Relacao entre a DFS e a DTFT

Seja um sinal periodico de tempo discreto, x[n], com perodoN. Tomando-se um perodo desse sinal, fica-se com o sinalx[n]:

x[n] =

x[n], n= 0, 1,..., N 10, caso contrario

A DTFT de x[n] e:

X(ej) =N1n=0

x[n]ejn =N1n=0

x[n]ejn

E a DFS de x[n]:

X[k] =N1n=0

x[n]ej2

Nkn , k= 0..N 1

Comparando as equacoes, tem-se que a DFS e a DTFT, nessas condicoes,estao relacionadas por:

X[k] = X(ej)|=2Nk, k= 0..N 1

ou seja, a DFS e composta por amostras da DTFT em N pontos

equiespacados de 2/N, entre = 0 e 2.


Exemplo

x[n] = {1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0}, N= 10, L = 5

X(ej

) =

4n=0 e

jn

=ej2 sin(5/2)

sin(/2)

X[k] =4

n=0

ej(2/10)n =ej(4/10)ksin(k/2)

sin(k/10)

n

x[n], x[n]

|X(ej)|, |X[k]|

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Exemplo

x[n] = {1, 1, 1, 1, 1, 0, 0}, N= 7, L = 5

X(ej

) =

4n=0 e

jn

=ej2 sin(5/2)

sin(/2)

X[k] =4

n=0

ej(2/7)n =ej(4/7)ksin(5k/7)

sin(k/7)

2 0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.81

1.2

n

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

x[n], x[n]

|X(ej)|, |X[k]|

/, k/= k/N


Exemplo

x[n] = {1, 1, 1, 1, 1}, N= 5, L = 5

X(ej

) =

4n=0 e

jn

=ej2 sin(5/2)

sin(/2)

X[k] =4

n=0

ej(2/5)n =ej(4/5)k sin(k)

sin(k/5)

2 0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.81

1.2

n

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

x[n], x[n]

|X(ej)|, |X[k]|

/, k/= k/N

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Amostragem da DTFT

Foi visto que, se, a partir de uma sequencia de duracao finita L, x[n], seproduz uma sequencia periodica x[n] com perodoN L, os coeficientes da

DFS X[k] sao as amostras da DTFTX(e

j

), nas frequenciask= 2k/N.

x[n] x[n] =+

m=x[n + mN]

DFS X[k] =X(ej)|=2

Nk

Suponha agora que se tenha uma DTFT de um sinal x[n] qualquer, dadaporX(ej), e se tomam amostras da DTFT, formando coeficientes de umaDFS:

X[k] = X(ej)|=2Nk

em que a DTFT e dada por:

X(ej) =+

m=x[m]ejm

A sequencia periodica x[n] resultante pode ser calculada por meio daDFS inversa:

x[n] =

1

N

N1k=0

X[k]e

j 2Nkn

= 1

N

N1k=0

+m=

x[m]ej2

Nkm

ej 2Nkn

=+

m=x[m]

1

N

N1k=0

ej2

Nk(nm)

O termo entre colchetes representa a DFS de um trem de impulsosperiodico:

1

N

N1k=0

ej2

Nk(nm) =

+r=

[nm+rN]

Portanto:

x[n] =+

m=x[m]

+r=

[nm+ rN]

= x[n] +

r=[n+ rN]

=+

r=x[n +rN]


Amostragem da DTFT

Logo, ao se tomarNamostras da DTFT de um sinalx[n], obtendo-se coefi-cientes de uma DFS, a sequencia periodica correspondente pode ser obtida

por meio da adicao de infinitas copias de x[n], deslocadas de multiplos deN.

DTFT

DFS

x[n] X(ej)

X[k] = X(ej)|=2Nkx[n] =

+r=

x[n +rN]

N amostras

Logo: se a sequencia x[n] possuir um comprimento L > N, havera so-breposicao no domnio do tempo, e um perodo de x[n] nao representaracorretamente a sequencia x[n].

Ha um numero mnimo de amostras de X(ej) para que a sequenciax[n]possa ser recuperada a partir de x[n] (ou a partir das amostras da DTFT).

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Amostragem da DTFT: Exemplo

Sejax[n] um pulso de duracao 5 amostras (L= 5).

0 5 10 15 200

1

2

3 sequncias

0 0.5 1 1.5 20

5| DTFT | , | DFS |

0 5 10 15 200

1

2

3

0 5 100

5

0 5 10 15 200

1

2

3

0 2 40

5

0 5 10 15 200

1

2

3

amostra n0 1 2 3 4

0

5

amostra k

x[n] |X(ej)|

N= 10, X1[k] = X(ej)|= 210kx1[n] =

+r=

x[n+ 10r]

N= 5, X2[k] = X(ej)|= 2

5k

x2[n] =+

r=

x[n+ 5r]

N= 4, X3[k] = X(ej)|= 24k

x3[n] =+

r=

x[n+ 4r]


Amostragem da DTFT - Exemplo

x[n] = (7/10)nu[n] X(ej) = [1 (7/10)ej]1

Amostrando a DTFT com N= 4 pontos, a sequencia no domnio dotempo fica (em preto: amostras de x[n], em vermelho: amostras de x[n]):

0 1 2 30

0.5

1

1.5

0 1 2 30.4

0.3

0.2

0.1

0

amostra n

x[n] =+

r=

x[n+ 4r]

Erro: x[n] x[n]

Para N= 8 pontos:

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6 70.08

0.06

0.04

0.02

0

amostra n

x[n] =+

r=

x[n+ 8r]

Erro: x[n] x[n]

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DTFT de Sinais Periodicos

Um sinal periodico x[n] pode ser representado por sua DFS:

x[n] =

1

N

N1k=0 X[k]e

j 2Nkn

Usando as propriedades da DTFT:

x[n] DTFT X(ej)

x[n] ej0n DTFT X(ej(0))

1

DTFT

2(), 0

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Exemplo - Convolucao periodica

Deseja-se fazer a convolucao periodica entre as sequencias:

x3[n] =N1m=0

x1[m]x2[nm]

Nota-se que a somatoria e realizada em um perodo apenas. Para n = 0,deve-se ter o sinal x2[0m],e multiplica-lo por x1[m]:

Deve-se perceber que, como o sinal e periodico, deslocamentos posteri-ores do sinal serao da forma:

e amostras que saem pelo lado direito entram pelo lado esquerdo,quando se considera um perodo dos sinais.

Para obter os valores da sada, deve-se multiplicar as duas sequenciaserealizar a soma das amostras em um perodo.


Transformada Discreta de Fourier - DFT

Seja um sinalx[n] de duracao finitaN:

x[n] = 0 para n

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DFT

Dessa forma, tem-se:

X[k] =

N1n=0 x[n]e

j 2Nkn

, k= 0, 1,..., N 10, caso contrario

x[n] =

1

N

N1n=0

X[k]ej2

Nkn, n= 0, 1,..., N 1

0, caso contrario

x[n]DFT

X[k]

Os sinais x[n] eX[k] sao ambos discretos e de duracao finitaN

Da mesma forma que antes, a DFT pode ser vista como amostras daDTFT do sinal x[n], nas frequencias k = 2k/N,k= 0..N 1.

Ao se trabalhar com as sequenciasx[n] eX[k] e a DFT, deve-se semprelembrar que ha sequencias periodicas envolvidas.

Ao se usar a DFT, deve-se trabalhar com as sequencias considerandoque estas sao periodicas e, ao final toma-se apenas um perodo (0 n N 1, 0 k N 1). Fora desse intervalo, considera-se que assequencias tem valor zero (sinais de duracao finita N).


Operacoes com (( ))N

n

x[n]

x[n]

x[n 2]

x[n 2]

n

x[n]

x[n]

x[n + 2]

x[n+ 2]

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Operacoes com (( ))N

n

x[n]

x[n]

x[n]

x[n]

n

x[n 2]

x[n 2]

x[n+ 2]

x[n+ 2]


Propriedades da DFT

Sequencias x[n], y [n],X[k] e Y[k] com comprimentoN.

Propriedade Sequencia DFT N pontos

Linearidade ax[n] +by[n] aX[k] +bY[k]

Atraso no tempo x[((n nd))N] ej(2/N)kndX[k]

Deslocamento em freq. ej(2/N)k0nx[n] X[((k k0))N]

Dualidade X[n] Nx[((k))N]

Convolucao circular v[n] = x[n](N)y[n]

v[n] =N1m=0

x[m]y[((n m))N] V[k] = X[k] Y[k]

Janelamento v[n] = x[n] y[n] V[k] = 1

N

N1l=0

X[l]Y[((k l))N]

Simetria x[n] X[((k))N]

x[((n))N] X[k]

{x[n]} Xep[k] =X[((k))N] +X[((k))N]

2

{x[n]} Xop[k] =X[((k))N] X

[((k))N]

2

xep[k] =x[((n))N] +x[((n))N]

2 {X[k]}

xop[k] =x[((n))N] x[((n))N]

2 {X[k]}

x[n] real X[k] = X[((k))N]

|X[k]| = |X[((k))N]|

{X[k]} = {X[((k))N]}

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Convolucao Linear Usando a DFT

Em SLITs, a sada e obtida pela convolucao linear entre a entrada ea resposta impulsiva

A operacao de convolucao pode ser muito custosa (somas e multi-plicacoes)

Quando se usa a DFT, tem-se a convolucao circular

Existem algoritmos eficientes para o calculo da DFT (FFT)

Como usar a DFT para implementar a convolucao linear?

Para fazer a convolucao linear entre duas sequencias x1[n] e x2[n] (DTFT):

x3[n] = x1[n] x2[n] =

k=

x1[k]x2[n k] X3(ej) = X1(e

j) X2(ej)

Usando-se a DFT, tem-se a convolucao circular:

x3p[n] = x1[n](N)x2[n] X3[k] = X1[k] X2[k]

Questao: Sob que condicoesx3p[n] = x3[n] ?



Sejam duas sequencias:

x1[n] de comprimentoL

x2[n] de comprimentoM

O resultado daconvolucao linearentrex1[n] e x2[n] tera comprimentoL + M 1

n

x1[n]

x2[n]

x1[n] x2[n]

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Vimos que se um sinal de duracao finitax[n] tem DTFT X(ej), as amos-tras de X(ej) nas frequencia k = 2k/N formam um perodo de uma

DFS cuja sequencia e:

x[n] = x[((n))N] =

r=x[n + rN]

e

X[k] =

X(e

j(2k/N)), k= 0..N 10, caso contrario

e a DFT de um perodo de x[n]:

x[n] =

x[n], n= 0..N 10, caso contrario

Note que, se o comprimento de x[n] for menor ou igual a N, nao haverasobreposicao no tempo, e um perodo de x[n] sera igual a x[n].



No caso da convolucao linear, tem-se:

x3[n] = x

1[n] x

2[n] =

k=

x1[k]x

2[n k] X

3(ej) = X

1(ej) X

2(ej)

Definindo a DFT:

X3[k] = X3(ej(2k/N)), k = 0..N 1

Entao,

X3[k] = X1(ej(2k/N)) X2(e

j(2k/N)) =X1[k] X2[k], k = 0..N 1

E a DFT inversa de X3[k] corresponde a:

x3p[n] =

r=

x3[n + rN], n= 0..N 1

0, caso contrario

em quex3[n] e a convolucao linear entrex1[n] e x2[n], ex3p[n] e o resultadoda convolucao circular entre x1[n] ex2[n]:

x3p[n] = x1[n](N)x2[n]

Ou seja, a convolucao circular entre duas sequencias pode ser vista comoa convolucao linear entre essas sequencias seguida de uma sobreposicaono tempo. Com isso, conclui-se que a convolucao circular sera igual aconvolucao linear, se e se somente se N for maior que o comprimento dex3[n]:

N L +M 1

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x1[n]

x2[n]

x1[n](4)x2[n]

n

x1[n]

x2[n]

x1[n](5)x2[n]



n

x1[n]

x2[n]

x1[n](6)x2[n]

n

x1[n]

x2[n]

x1[n](7)x2[n]

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Conclusao: sendo

x[n] de comprimentoL;

h[n] de comprimentoM;

A convolucao circular entre x[n] e h[n] e igual a convolucao linear seN L +M 1.

Convolucao rapida (Fast Convolution)

1. Calcular a DFT X[k], de comprimentoN L +M 1;

2. Calcular a DFT H[k], de comprimentoN;

3. ObterY [k] = X[k] H[k];

4. Calcular a DFT inversa de Y[k] para obtery [n]

Nestas operacoes se utilizam algoritmos eficientes para o calculo daDFT, que sao os algoritmos de FFT (Fast Fourier Transform).

100 101 102 103 10410

1

102

103

104

105

106

107

108

flops

Convoluo rpidaConvoluo linear

L= M (N= 2L)


Convolucao por Blocos

Convolucao rapida: para sinais de duracao finita;

Sistemas praticos: a entrada pode ter duracao muito grande;

Se a resposta impulsiva tiver duracao finita, pode-se separar a en-trada em blocos de comprimento finito e utilizar a convolucao rapida,aplicada aos blocos - linearidade da operacao de filtragem;

O comprimento da convolucao linear entre dois sinais e maior quea duracao de cada sinal - necessario um ajuste entre resultados deconvolucoes aplicadas a blocos adjacentes;

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Overlap-Add

Neste metodo, considera-se o seguinte:

O sistema FIR tem resposta impulsiva h[n], com comprimentoM;

O sinal de entradax[n] tem comprimento muito maior que M;

Separa-se o sinalx[n] em blocos de comprimentoL, produzindo sinaisxi[n];

Calcula-se a convolucao rapida entrexi[n] e h[n], produzindo os sinaisyi[n].

Como visto anteriormente, a convolucao rapida deve ser realizada com

um numero de pontosN L +M1, que e o comprimento resultantedas sequenciasyi[n].

No processamento por blocos:

Na pratica, adicionam-se zeros a xi[n] eh[n] para que atinjam o com-primentoN.

A sada y0[n] corresponde as amostras entre 0 e N 1;

A sada y1[n] corresponde as amostras entreL e L+ N 1 ;

Ha uma sobreposicao entrey0[n] ey1[n], para L n N 1. Essasamostras devem ser somadas na resposta total;

Ha um atraso no processamento.


Overlap-Add

...

...

(M 1) zeros

(M 1) zeros

(M 1) zeros

LLL

adiciona

adiciona

M 1

M 1

pontos

pontos

x[n]

x0[n]

x1[n]

x2[n]

y[n]

y0[n]

y1[n]

y2[n]

xi[n] = x[n + iL], 0 n L 1; i= 0, 1, ...

yi[n] = DFT1{H[k] Xi[k]}, N=L + M 1

y[n] = y0[n] + y1[n L] +y2[n 2L] + ...

f 33 f 34

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Overlap-Add- Exemplo

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

1

1

1

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

...

...

M= 4, L= 5, N= 8h[n]

x[n]

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x0[n]

x1[n]

x2[n]

y[n]

y0[n]

y1[n]

y2[n]


Overlap-Save

Neste metodo, se faz a sobreposicao dos blocos de entrada, de modo quenao seja necessario adicionar sadas adjacentes.

Separa-se a entrada x[n] em sequencias de comprimento L = N > M;

Calcula-se a DFT com comprimentoN;

O comprimento deh[n] e igual aM < L, e adicionam-seNMzerospara que fique com comprimento N;

Faz-se uma sobreposicao das entradas, em que as M1 ultimas amos-tras de xi[n] serao asM 1 primeiras amostras de xi+1[n].

A sequenciax0[n] e montada com zeros nas primeirasM1 amostrase depois com as L (M 1) primeiras amostras de x[n].

A convolucao circular entre h[n] e xi[n] (yi[n]) tera valores diferentesda convolucao linear nas M 1 primeiras amostras. Essas M 1primeiras amostras de yi[n] sao descartadas;

T f d Di t d F i 35 T f d Di t d F i 36

7/25/2019 ele1095_4_dft

18/18


Overlap-Save

...

...

...

(M 1)

(M 1)

(M 1)

zeros

LLL (M 1)

descarta

sobreposicao

pontos

pontos

x[n]

x0[n]

x1[n]

x2[n]

y[n]

y0[n]

y1[n]

y2[n]

xi[n] = x[n + iL i(M 1) (M 1)], 0 n L 1, i >0

x0[n] =

0, 0 n M 2x[n], M 1 n < L (M 1)

yi[n] = DFT1{H[k] Xi[k]}, N=L, 0 n L 1

yli[n] = yi[n], M 1 n < L 1

y[n] =+i=0

yli[n iL i(M 1) (M 1)]


Overlap-Save - Exemplo

1

1

1

1

1

1

1

1 1

2

2

2

2

2

2 2

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4 4

3

1

1

1

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

...

...

M= 4, L=N= 8h[n]

x[n]

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x0[n]

x1[n]

x2[n]

y[n]

y0[n]

y1[n]

y2[n]

ele1095_4_dft

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