Elementos da Teoria dos Jogos e Aplicações Aula 2 Maio, 2005.
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Elementos da Teoria dos Jogos e Aplicações
Aula 2
Maio, 2005
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Revisão
Principais conceitos e definições
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Revisão
Jogo estático
“Common knowledge”
Eliminação de estratégias estritamente
dominadas
Equilíbrio de Nash
Estratégias mistas
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Aplicações
Estrutura de mercado Formação de cartéis Modelo de Hotelling
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Ambiente econômico Curva de demanda:
p(Q)=a-Q,onde Q=q1+...+qN.
Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,...,n.
Lucro:i(qi,q-i)=p(Q)qi-cqi=[p(Q)-c]qi
Hipótese: c<a (viabilidade econômica da tecnologia)
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2 casos polares Competição perfeita com livre entrada:
Para simplificar, ci=c para todo i. Firmas são tomadoras de preços. Há entrada enquanto houver lucro positivo. Equilíbrio:
pC=c; QC=a-c; C=0
Monopólio: Monopolista incorpora sua influência na demanda. Problema: max [a-Q-c]Q Equilíbrio:
QM=½(a-c)<QC; pM=½(a+c)>pC; M=(a-c)2/4
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Estruturas de Oligopólio
Encontram-se entre os casos anteriores.
Diferentes formas de interação estão associadas a importantes diferenças nos preços, quantidades e lucros.
Serão consideradas situações onde há competição em: quantidade (Cournot, 1838); preço (Bertrand, 1883); localização (Hotelling, 1929).
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Competição em quantidade: o modelo de Cournot Firmas se encontram apenas uma única vez no
mercado, simultaneamente, decidindo sobre quantidade (capacidade instalada).
2 firmas.
Equilíbrio de Nash: (q1*, q2
*) tais que q1*=q1(q2
*) e
q2*=q2(q1
*); onde qi(qj) é a melhor resposta de i à
quantidade qj da adversária.
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Equilíbrio de Nash
Função de melhor resposta:qi(qj)=argmax [a-qi-qj-c]qi=½(a-c-qj).
EN: qi*=(a-c)/3, i=1,2.
Q*=2(a-c)/3 QM < Q* < QC
pM > p* > pC
*=(a-c)2/9 < M/2
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Características do EN O modelo de Cournot apresenta uma
característica semelhante ao dilema dos prisioneiros.
As duas firmas estariam melhores caso praticassem quantidades iguais a qM/2, agindo como uma única firma – situação de cartel.
Entretanto, dado que a adversária pratica qj=qM/2, a melhor resposta é qi=qi(qM/2)>qM/2.
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Extensão para n firmas
Função de melhor resposta:qi(q-i)=argmax [a-qi-Σj≠iqj-c]qi=½(a-c-Σj≠iqj).
EN: qi*=(a-c)/(n+1), i=1,...,n.
Q*=n(a-c)/(n+1) QM < Q* < QC
pM > p* > pC
*=(a-c)2/(n+1)2 < M/n, n>1.
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Propriedades – n firmas Benefício do cartel:
M-*=(a-c)2f(n), onde f(n) tem o formato abaixo.
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Propriedades – n firmas Desvio:
D-M=(a-c)2g(n), onde g(n) tem o formato abaixo.
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Formação de cartéis A formação de cartéis, em um jogo
simultâneo é dificultada por uma série de razões:
há sempre um incentivo individual ao desvio, que é crescente no número de firmas;
os benefícios individuais das firmas, com o arranjo de cartel, depende do número de firmas no mercado – no exemplo, o valor máximo encontra-se entre 4 e 5 firmas. Para n>6, o benefício é decrescente.
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Paradoxo de Bertrand
Suponha agora que a competição ocorre através dos preços.
Os produtos são perfeitamente homogêneos – o consumidor comprará da firma mais barata e irá sortear em caso de empate.
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Equilíbrio de Nash
O EN do modelo é:pi=c, i=1,...,n.
Paradoxo: mesmo com uma estrutura de oligopólio, o equilíbrio de Nash replica o caso competitivo.
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Bertrand com produtos diferenciados 2 firmas
Curva de demanda:qi(pi,pj)=a-pi+bpj.
Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,2.
Lucro:i(pi,pj)=(pi-c)qi(pi,pj)
Hipótese: c<a, b<2 (viabilidade econômica da tecnologia)
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Equilíbrio de Nash
Função de melhor resposta:
pi(pj)=argmax (pi-c)[a-pi+bpj]
=½(a+bpj+c).
EN: pi*=(a+c)/(2-b), i=1,2.
Ao contrário do caso de produtos homogêneos, pi
*>c.
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Competição Espacial 2 firmas
Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,2.
Lucro: i=(pi-c)qi
Demanda: consumidores estão uniformemente
distribuídos ao longo do intervalo [0,1]; há custo de transporte (linear) – cada
consumidor se dirige à loja mais próxima.
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Demanda de cada firma Suponha, sem perda de generalidade, que
a firma 1 é aquela localizada à esquerda, isto é, x1≤x2.
Seja x a localização do consumidor indiferente às duas firmas.
0 1x1 x2x
q1=x q2=1-x
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Interpretação
Localização geográfica
Espaço de produtos
Plataforma política
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Demanda (continuação)
Denotando por pi o preço praticado pela firma i, o consumidor indiferente é dado por:
t(x-x1)+p1=t(x2-x)+p2.
Ou seja,x=(x1+x2)/2 + (p2-p1)/2t.
Se p2=p1, o consumidor indiferente se localiza no centro das duas firmas.
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Equilíbrio de Nash Dados os preços p1=p2=p, as localizações
são definidas simultaneamente. Equilíbrio de Nash:
x1*=x2
*=1/2; cada empresa atende metade do mercado.
Equilíbrio é ineficiente: empresas poderiam auferir os mesmos lucros com os consumidores gastando menos com transporte.
“Princípio da diferenciação mínima”
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Extensões
O modelo de Hotelling é bastante instável a modificações.
Por exemplo, com 3 firmas já não há equilíbrio em estratégias puras.
Caso haja competição de preços após a localização, o equilíbrio muda drasticamente, com as firmas localizadas nas extremidades – diferenciação máxima.