Elementos de Estatística

Segundo Semestre/2018

Probabilidade

� Sua origem está relacionada a jogos de azar;

� Exemplo:� Jogo de dados;

� Retirar uma carta de um baralho;

� Lançar uma moeda;

� ...

Probabilidade

� Normalmente é impossível identificar com certeza o resultado de um evento futuro:� Qual lado da moeda vai sair,

� A carta que vou puxar do baralho será de qual naipe,

� Com quantos anos determinada pessoa vai morrer,

� De qual sexo será o primeiro filho de determinado casal,

� Determinada pessoa vai desenvolver diabetes,...

� Usando a teoria da probabilidade, é possível quantificar a chance de um evento ocorrer.

Experimentos Aleatórios e Fenômenos

Aleatórios

� Experimento aleatório: � Experimentos que quando repetidos, nas mesmas condições,

produzem diferentes resultados:� Jogar um dado numa superfície plana;

� Retirar uma carta de um baralho;

� ...

� Fenômeno aleatório:� Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser

previstos com certeza:� Condições climáticas do próximo domingo;

� Taxa de inflação do próximo mês;

� ...

Espaço Amostral

� O conjunto de resultados possíveis, relacionado a um experimento, é denominado espaço amostral (representado pela letra Ω).

� Exemplos:� Lançamento de um dado (Existem 6 resultados possíveis)

� Ω: {1, 2, 3, 4, 5, 6};

� Retirar uma carta de um baralho (Existem 52 resultados possíveis - são 13 cartas de cada naipe e 4 naipes). � Ω: {Ás de Copas, Ás de Ouros, ..., Rei de Paus, Rei de Espadas}.

� Lançar uma moeda (Existem 2 resultados possíveis). � Ω: {Cara, Coroa}.

Eventos

� Um evento pode se referir a um único resultado, ou a um subconjunto de resultados, pertencente à um espaço amostral Ω (representado pelas letras �, �,…);� Lançamento de um dado:

� � : {sair 5};

� � : {sair um valor menor do que 3}.

� Retirar uma carta de um baralho: � � : {Sair um 3 de espadas};

� � : {Sair uma carta de paus}.

� Lançar uma moeda: � � : {sair cara};

� � : {sair coroa}.

Exercício 1

� Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios:� Num hospital, conta-se o número de pacientes atendidos num

intervalo de uma hora;

� Investigam-se famílias com três crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo;

� Mede-se a duração de tubos de oxigênio, até que se esvaziem.

Exemplo: Evento Nulo e Evento Certo

� Lançamento de um dado: � � : {sair um número menor ou igual a 6} – Evento Certo;

� � : {sair um valor menor do que 1} – Evento Nulo.

� Retirar uma carta de um baralho: � � : {Sair uma carta de paus, ou de ouros ou de espadas ou de copas} –

Evento Certo;

� � : {Sair um 14 de paus} – Evento Nulo.

� Lançar uma moeda: � � : {sair cara ou coroa} – Evento Certo;

� � : {sair o número 13} – Evento Nulo.

Operações entre Eventos – Teoria dos

Conjuntos

� A reunião de dois eventos é denotada por: � ∪ �;

� A interseção entre dois eventos é dada por: � ∩ �;

� O complementar do evento �, denotado por � , é o evento que ocorre quando � não ocorre;

� � ∪ � ∩ � � ∩ ∪ � ∩ ;

� � ∩ � ∪ � � ∪ ∩ � ∪ ;

� � ∪ � � � ∩ �;

� � ∩ � � � ∪ � .

Operações entre Eventos – Teoria dos

Conjuntos

� ∪ � � ∩ ��

�

��

�

�

�

Eventos Mutuamente Exclusivos

� Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que jamais podem ocorrer ao mesmo tempo.

� Exemplo: � Lançamento de um dado: Evento A = sair 2; Evento B = sair um valor

maior do que 4.

� �

� ∩ � � ∅

Exercício 2

� Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral “traduza” para a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situações:� Pelo menos um dos eventos ocorre;

� O evento A ocorre, mas B não;

� Nenhum deles ocorre;

� Exatamente um dos eventos ocorre.

Exercício 3

� Considere os eventos �, � e (definidos abaixo) relativos ao espaço amostral Ω definido no Exercício 1.� � � � � � 100

� � � � 50 � � � 200

� � � � � 150

� Encontre os conjuntos: � ∪ �, � ∩ �, � ∩ � ∪ , � ∩ � ∩ , � ∪ .

Frequência Relativa

� Suponha que o experimento � tenha sido repetido �vezes;

� Sejam os eventos � e � associados ao experimento �;

� Considerando-se que os eventos � e � tenham ocorrido �� e �� vezes, respectivamente, dentro das � repetições de �.

Frequência Relativa

� Definição:

� �� ���

�é denominada frequência relativa do evento � nas �

repetições de �.

� Propriedades de ��:� 0 � �� � 1;

� �� � 1 se, e somente se, � ocorrer em todas as � repetições de �;

� �� � 0 se, e somente se, � nunca ocorrer nas � repetições de �;

� Se � e � forem eventos mutuamente excludentes, e se ��∪� for a frequência relativa associada ao evento � ∪ �, então, ��∪� � �� � ��;

� ��, com base em � repetições do experimento �, é considerada como uma função de �, que “converge” em certo sentido probabilístico para � � , quando � → ∞.

Noções Fundamentais de Probabilidade

� Definição:� Seja � um experimento. Seja Ω um espaço amostral associado a �. A cada evento � associaremos um número real representado por � � e denominado probabilidade de !, que satisfaça às seguintes propriedades:� 0 � � � � 1;

� � Ω � 1;

� Se � e � forem eventos mutuamente excludentes, então, � � ∪ � �

� � � � � ;

� Se �", �#, … , �� forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então, � ⋃ �%

�%&" � ∑ � �%

�%&" .

Espaço Amostral Finito

� A princípio, iremos considerar, apenas, experimentos cujos espaços amostrais sejam finitos.� ( � )", )#, … , )*

�

Espaço Amostral Finito

� Para encontrar � � nesses casos, é necessário, inicialmente, considerar o evento formado por um resultado simples –evento simples, ou elementar � � )% .� A cada evento simples )% será associado um valor +% , denominado

probabilidade de )% , que satisfaça as seguintes condições:� +% , 0, - � 1,2,… , .;

� +" � +# �⋯� +* � 1.

� Em seguida pode se considerar um evento �0 constituído por 1 resultados, com 1 � 1 � .. �0 � )02 , )03 , … , )04 , consequentemente:

� � �0 � +02 � +03 �⋯� +04 .

Exercício 4

� Suponha-se que somente três resultados sejam possíveis em um determinado experimento aleatório, a saber, )", )# e ) . Além disso, suponha-se que )" seja duas vezes mais provável de ocorrer que )#, e que )# seja duas vezes mais provável de ocorrer que ) . Quais as probabilidades de )", )# e ) , cada, ocorrerem?

Resultados Igualmente Verossímeis

� A hipótese mais comumente feita para espaços amostrais finitos é a de que todos os resultados sejam igualmente verossímeis.

� Essa hipótese não deve ser tomada como certa, mas sim justificada para cada caso.

� Se todos os . resultados forem igualmente verossímeis, segue-se que cada probabilidade será dada por +% � "

*⁄ . � +% , 0, - � 1,2,… , .;

� +% � +0 � + �"

*,paraquaisquer- e>,com, -, > � 1,2,… , .

� +" � +# �⋯� +* � .. + � .."

*� 1.

� Logo, para qualquer evento � formado por 1 resultados, tem-se:

� � � � C*⁄ .

� � � �DúFGHIJGKLMIMNLOIHáOGQML�RGSIMTULQMVRIJGIKIHHGH

DúFGHIWIWLSJGKLMIMRGSIMTULQMVRIJGIKIHHGH.

Exercício 5

� Em uma universidade, 2000 estudantes do curso de medicina, em determinado ano, foram classificados de acordo com o tipo de esporte que praticam. Futebol é praticado por 260 estudantes, natação por 185 estudantes e musculação por 210 estudantes, sendo que alguns estudantes praticam mais de um desses esportes. Assim, tem-se 42 estudantes que praticam natação e musculação, 12 futebol e musculação, 18 futebol e natação e 3 praticam as três modalidades. Se um desses estudantes é sorteado ao acaso, qual é a probabilidade de:

� Praticar somente musculação;

� Praticar pelo menos um destes esportes;

� Praticar pelo menos dois destes esportes;

� Não praticar nenhum destes esportes.

Algumas Propriedades

� � � ∪ � � 1;

� � � ∩ � � 0;

� � � � 1 X � � .

Ω

�

�

� �

� �� 1 X

�

�

�

Algumas Propriedades

� � � ∪ � � � � � � � X � � ∩ � ;

= +

-

+� � �

�

� � �

�

Eventos Mutuamente Exclusivos

� � � ∪ � � � � � � � .

= +�

�

�

�

�

�

Exercício 6

� Sejam � e � dois eventos em um mesmo espaço amostral, tais que � � � 0,2, � � � +, � � ∪ � � 0,5

e � � ∩ � � 0,1.

� Determine o valor de +.

Probabilidade Condicional

� Muitas vezes existe o interesse em determinar a probabilidade de um evento �, dado que já se conhece o resultado de um outro evento A;

� A probabilidade de ocorrer o evento �, dado que ocorreu o evento A � �|� é dada pela seguinte expressão:

� � �|� �[ �∩�

[ �, desde que � � � 0.

� Para � � � 0, temos � �|� � �\�].

Exercício 7

� Em um estudo feito com 15 pessoas, foram coletadas informações sobre o estilo de vida de cada um (sedentário ou não) e sobre o peso de cada um (obeso ou não). Foi observado 5 pessoas obesas e 9 sedentárias; dentre as 5 pessoas obesas, 4 foram classificadas como sedentárias.

� Qual a probabilidade de:� Um indivíduo ser obeso e sedentário;

� Um indivíduo ser obeso ou sedentário;

� Um indivíduo ser obeso dado que ele é sedentário;

� Um indivíduo ser sedentário dado que ele é obeso;

Regra Multiplicativa

� Sai diretamente da probabilidade condicional:

� � � ∩ � � � �|� � � � � �|� � � .

� Essa regra é de grande utilidade na verificação de dependência entre os eventos envolvidos.

Eventos Independentes

� Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um não influencia na ocorrência ou não-ocorrência do outro;

� Logo, se dois eventos, � e �, são independentes tem-se:

� � �|� � � � e � �|� � � � ;

� Ou seja, � � ∩ � � � � ∙ � � .

� OBS: Os termos mutuamente exclusivos e independentes não são sinonimos; basta lembrar que eventos mutuamente exclusivos não possuem interseção.

Exercício 8

� Considere as situações dadas abaixo. Identifique se os eventos são mutuamente exclusivos ou independentes.� Evento A: O primeiro filho de um casal ser menina; Evento B: O

segundo filho de um casal ser menina.

� Evento A: Um indivíduo, de determinada população, ter o tipo sanguíneo A; Evento B: Um indivíduo, de determinada população, ter o tipo sanguíneo O.

� Considere dois eventos, A e B, dado que � � � 0,8, � � � 0,5 e � � ∩ � � 0,4.

Partição do Espaço Amostral

� Uma partição do espaço amostral é dada por um conjunto de eventos mutuamente exclusivos que quando unidos formam o espaço amostral:

� Ω � ⋃ �*a*&"

�"

�#

�

�b

�c�d

�e

�a

Exemplo

� Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda f", 30% de uma outra fazenda f# e 50% de f .

� Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20% do leite produzido por f"estava adulterado por adição de água, enquanto que para f# e f , essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente.

� Na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas.

� Para um galão escolhido ao acaso, vamos analisar o leite para decidir sobre sua adulteração ou não.

Exemplo

� Se denotarmos por � o evento “o leite está adulterado”, temos:� � f" � 0,20 e � �|f" � 0,20

� � f# � 0,30 e � �|f# � 0,05

� � f# � 0,50 e � �|f � 0,02

� Além disso, f", f# e f formam uma partição do espaço amostral, já que uma dada amostra de leite vem, necessariamente, de uma e apenas uma das três fazendas.

Teorema da Probabilidade Total

� Dado um evento � e uma partição do espaço amostra �", … , �* tem-se:

� � � � ∑ � � ∩ �*�*&" � ∑ � �|�* � �*

�*&"

�"

�#

�

�b

�c�d

�e

�a

�

Exemplo

� Temos as seguintes informações do enunciado:

� � f" � 0,20 e � �|f" � 0,20

� � f# � 0,30 e � �|f# � 0,05

� � f# � 0,50 e � �|f � 0,02

� Queremos saber a probabilidade do evento � “o leite está adulterado” ocorrer:� � � � � � ∩ f" � � � ∩ f# � � � ∩ f

� � � � � �|f" �\f"] � � �|f# �\f#] � � �|f �\f )

� � � � 0,20 ∙ 0,20 � 0,05 ∙ 0,30 � 0,02 ∙ 0,50

� � � � 0,04 � 0,015 � 0,01

� � � � 0,065

Teorema de Bayes

� Dado um evento � e uma partição do espaço amostra �", … , �* tem-se:

� � �*|� �[ �∩�i

[ ��

[ �|�i [ �i

∑ [ �|�i [ �ijik2

�"

�#

�

�b

�c�d

�e

�a

�

Exemplo

� Podemos, ainda, estar interessados em saber qual a probabilidade de que a amostra adulterada ter sido obtida do leite fornecido pela fazenda f", ou seja, �\f"|�]:

� � f"|� �[ �∩l2

[\�]

� � f"|� �[ �|l2 [\l2]

[ �|l2 [\l2]m[ �|l3 [\l3]m[ �|ln [\ln]

� � f"|� �o,#o∙o,#o

o,#o∙o,#omo,oc∙o, omo,o#∙o,co

� � f"|� �o,ob

o,odc� 0,615

Exercício 9

� Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30% e o da esquerda 40%. Em sendo eleito, a probabilidade de dar, efetivamente, prioridade para Educação e Saúde é de 0,4; 0,6 e 0,9 para os candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente.� Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas

áreas no próximo governo?

� Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição?