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unespunespBaseado em material do IF da UFRGS e Prof. Nadal UFPR

Elementos de Geodésia e

Levantamentos

PPGCC

FCT/UNESP

Aulas de EGL 2018– João Francisco Galera Monico


Esfera Celeste


Esfera Celeste

• Observando o céu em uma noite estrelada, tem-se a

impressão de que estamos no meio de uma grande

esfera, incrustrada por estrelas. Isso inspirou, nos

antigos gregos, a ideia do céu como sendo uma Esfera

Celeste.


Esfera Celeste


• Os astros se movem no céu, nascendo a leste e se

pondo a oeste. Isso causa a impressão de que a

esfera celeste está girando de leste para oeste, em

torno de um eixo imaginário, que intercepta a

esfera em dois pontos fixos: os Pólos Celestes.

– Na verdade, esse movimento, chamado movimento

diurno dos astros, é um reflexo do movimento de

rotação da Terra, que se faz de oeste para leste.

– O eixo de rotação da esfera celeste é o prolongamento

do eixo de rotação da Terra, e os pólos celestes são as

projeções, no céu, dos pólos terrestres.


• Embora o Sol, a Lua, e a maioria dos astros, aqui na nossa

região, tenham nascer e ocaso, existem astros que nunca

nascem nem se põem, permanecendo sempre acima do

horizonte.

– Se pudéssemos observá-los durante 24 horas, os veríamos

descrevendo uma circunferência completa no céu, no sentido

horário.

– Esses astros são chamados circumpolares. O centro da

circunferência descrita por eles coincide com o Pólo Celeste Sul.

Para os habitantes do hemisfério norte, as estrelas circumpolares

descrevem uma circunferência em torno do Pólo Celeste Norte.

– Mas as estrelas que são circumpolares no hemisfério norte não

são as mesmas estrelas que são circumpolares no sul, pois o fato

de uma estrela ser circumpolar ou não depende da latitude do

lugar de observação.


• Os antigos gregos definiram alguns planos e pontos na

esfera celeste, que são úteis para a determinação da

posição dos astros no céu. São eles:

– Horizonte: plano tangente à Terra no lugar em que se encontra o

observador. Como o raio da Terra é desprezível frente ao raio da

esfera celeste, considera-se que o Horizonte é um círculo

máximo da esfera celeste, ou seja, passa pelo seu centro.

– Zênite: ponto no qual a vertical do lugar intercepta a esfera

celeste, acima da cabeça do observador.

– Nadir: ponto diametralmente oposto ao Zênite.

– Equador Celeste: círculo máximo em que o prolongamento do

equador da Terra intercepta a esfera celeste.

– Polo Celeste Norte: ponto em que o prolongamento do eixo de

rotação da Terra intercepta a esfera celeste, no hemisfério norte.

– Polo Celeste Sul: ponto em que o prolongamento do eixo de

rotação da Terra intercepta a esfera celeste, no hemisfério sul.


• Para definirmos uma posição sobre a esfera precisamos

definir um eixo e um plano perpendicular a este eixo.

– Círculo vertical: qualquer semi-círculo máximo da esfera

celeste contendo a vertical do lugar. Os círculos verticais

começam no Zênite e terminam no Nadir.

– Ponto Geográfico Norte: ponto em que o círculo vertical que

passa pelo Polo Celeste Norte intercepta o Horizonte. É

também chamado Ponto Cardeal Norte.

– Ponto Geográfico Sul: também chamado Ponto Cardeal Sul, é

o ponto em que o círculo vertical que passa pelo Polo Celeste

Sul intercepta o Horizonte.


– A linha sobre o Horizonte que liga os pontos cardeais Norte e

Sul chama-se linha Norte-Sul, ou meridiana. A linha Leste-

Oeste é obtida traçando-se, sobre o Horizonte, a perpendicular

à meridiana.

– Círculo de altura: qualquer círculo da esfera celeste paralelo ao

Horizonte. É também chamado almicântarado, o paralelo de

altura.

– Círculo horário: qualquer semi-círculo máximo da esfera

celeste que contém os dois pólos celestes. É também chamado

meridiano. O meridiano que passa pelo Zênite se chama

Meridiano Local.

– Paralelo: qualquer círculo da esfera celeste paralelo ao

equador celeste. É também chamado círculo diurno.


Coordenadas Celeste


Matrizes de Rotação


Dois sistemas com mesma origem

lijcosseno diretor do ângulo formado entre

os eixos respectivos em cada sistema

Y = LX

9 elementos – mas apenas 3 independentes

Conhecendo-se 3 ângulos é o suficiente


Rotação de ϴ em torno de X, Y e Z

Valor positivo do ângulo : . 2 sistemas

dextrógiros e ângulo de rotação medido

no sentido anti-horário.

ϴ


Reflexão em torno de x

R1, R2 e R3 são matrizes de reflexão e permitem transformar

sistemas levógiros em dextrógiros e vice-versa.


Sistema de Coordenadas Cartesiano – Terra esférica


Sistema de Coordenadas

Astronômicas

Horizontal

Equatorial ou Uranográfica

Horária

Ecliptica


Sistema de Coordenadas Horizontais

Azimute (A): é o ângulo medido sobre o horizonte,

no sentido horário (NLSO), com origem no Norte e

extremidade no círculo vertical do astro.

O azimute varia entre 0 e 360.

Altura (h): é o ângulo medido sobre o círculo vertical do

astro, com origem no horizonte e extremidade no astro. A

altura varia entre -90° e +90°. O complemento da altura

se chama distância zenital (z). Assim, a distância zenital é o

ângulo medido sobre o círculo vertical do astro, com

origem no zênite e extremidade no astro. A distância zenital

varia entre 0° e 180°:

(h + z=90°)

Plano Fundamental: Horizonte Observador


Sistema Levógiro???


Algumas Informações adicionais

Se o azimute de um astro estiver

entre 0° e 180° (norte–leste–sul), o

astro está em ascensão.

Se o azimute estive entre 180° e

360° (sul–oeste–norte), o astro está

em descensão.


A EclípticaO plano da eclíptica é o plano

imaginário contendo a órbita da Terra

em volta do Sol.

Durante o ano, a posição aparente do

Sol está neste plano, assim como todos

os planetas estão próximos deste

Plano.

A eclíptica é um grande círculo

imaginário na esfera celeste no qual o

Sol parece se mover ao longo de um

ano. É realmente a órbita da Terra ao

redor do Sol que causa a mudança no

aparente movimento do Sol. A eclíptica

é inclinada no equador celeste em 23,5

graus. Os dois pontos onde a eclíptica

cruza o equador celeste são conhecidos

como os equinócios.

.


O Movimento do Sol na

Eclípitica


Sistema de Coordenadas

Equatoriais/Uranográfica

Ascensão reta ( ): ângulo medido sobre o equador, com origem no meridiano que passa pelo

ponto Áries, e extremidade no meridiano do astro: varia entre 0h e 24h (ou entre 0 e 360)

aumentando para leste.

Declinação(): ângulo medido sobre o meridiano do astro, com origem no equador e extremidade

no astro: varia entre -90 e +90. O complemento da declinação se chama distância polar


Z1

Z2

Z3


Coordenadas Cartesianas

Equatoriais


Sistema de Coordenadas Eclípticas


E1

E2

E3


Sistema de Coordenadas Horárias

ângulo horário (H): ângulo medido sobre o equador, com origem no meridiano local e

extremidade no meridiano do astro. Varia entre -12h e +12h. O sinal negativo indica que o astro

está a leste do meridiano, e o sinal positivo indica que ele está a oeste do meridiano.


Coordenadas Cartesianas Horárias


Hora Sideral

Hora sideral (HS): ângulo horário do ponto Áries. Pode ser medida a partir de qualquer

estrela, pela relação: HS = H +

Dia Sideral: é o intervalo de tempo decorrido entre duas passagens sucessivas do ponto vernal

pelo meridiano do lugar.


Precessão do Eixo da TerraA Terra não é perfeitamente esférica, mas é achatada nos pólos e bojuda

no equador. Seu diâmetro equatorial é cerca de 40 km maior do que o

diâmetro polar. Além disso, o plano do equador terrestre, e portanto o

plano do bojo equatorial, está inclinado 23° 26' 21,418" em relação ao

plano da eclíptica, que por sua vez está inclinado 5° 8' em relação ao

plano da órbita da Lua. Por causa disso, as forças

diferenciais (que ficam mais importantes nos dois

bojos da Terra) tendem não apenas a achatá-la ainda

mais, mas também tendem a "endireitar" o seu eixo,

alinhando-o com o eixo da eclíptica


• Como a Terra está girando, o eixo da Terra não se

alinha com o eixo da eclíptica, mas precessiona em

torno dele, da mesma forma que um pião posto a girar

precessiona em torno do eixo vertical ao solo;

No caso do pião, o seu peso gera um

torque

onde r é o vetor posição do centro de

massa do pião em relação ao ponto de

contato com o solo, e mg é a força peso.

Portanto o torque é paralelo ao solo,

perpendicular à força peso, e perpendicular

ao momemto angular de rotação do

pião. Em módulo, seu valor é N = mgr.

Como o torque é dado por:

gmrN

dtdLN

O seu efeito é variar o momento angular do pião - que é na direção de N.

Como N e L são perpendiculares, o torque não altera o módulo de L , mas apenas sua

direção, fazendo-o precessionar em torno do eixo perpendicular ao solo.


• No caso da Terra, as forças diferenciais gravitacionais da

Lua e do Sol produzem um torque que tende a alinhar o

eixo de rotação da Terra com o eixo da eclíptica, mas

como esse torque é perpendicular ao momento angular de

rotação da Terra, seu efeito é mudar a direção do eixo de

rotação, sem alterar sua inclinação.

– Portanto, os pólos celestes não ocupam uma posição fixa no

céu: cada pólo celeste se move lentamente em torno do

respectivo pólo da eclíptica, descrevendo uma circunferência

em torno dele com raio de 23,5 graus.

– O tempo necessário para descrever uma volta completa é 25770

anos. Atualmente o Pólo Celeste Norte está nas proximidades

da estrela Polar, na constelação da Ursa Menor, mas isso não

será sempre assim. Daqui a cerca de 13000 anos ele estará nas

proximidades da estrela Vega, na constelação de Lira.


• O movimento de precessão é lento (apenas 50,290966'' por ano), mas

foi percebido pelo astrônomo grego Hiparco, no ano 129 a.C., ao

comparar suas observações da posição da estrela Spica (Alfa Virginis)

com observações feitas por Timocharis de Alexandria em 273 a.C.

Timocharis tinha medido que Spica estava a 8° do ponto vernal, mas

Hiparco media somente 6°. Ele concluiu que o ponto vernal havia se

movido 2 graus em 144 anos.• O movimento de precessão da Terra é conhecido como precessão dos

equinócios, porque, devido a ele, os equinócios se deslocam ao longo

da eclíptica no sentido de ir ao encontro do Sol


• A precessão não tem nenhum efeito importante sobre as estações, uma

vez que o eixo da Terra mantém sua inclinação de 23,5 graus em

relação ao eixo da eclíptica enquanto precessiona em torno dele.

Como o ano do nosso calendário é baseado nos equinócios, a

primavera continua iniciando em setembro no hemisfério sul, e em

março no hemisfério norte. A única coisa que muda são as estrelas

visíveis no céu durante a noite em diferentes épocas do ano.

Uma conseqüência da precessão é a

variação da ascensão reta e da

declinação das estrelas. Por isso, os

astrônomos, ao apontarem seus

telescópios para o céu, devem

corrigir as coordenadas tabeladas

da estrela que irão observar pelo

efeito de precessão acumulado desde

a data em que as coordenadas foram

registradas até a data da observação.


• Nutação

• A próxima correção ao movimento chama-se nutação e

trata-se da componente não circular (bamboleio) do

movimento do pólo da Terra em torno do pólo da eclíptica,

causada pelas variações na inclinação da órbita da Lua em

relação à órbita da Terra em torno do Sol (de 18° 18' a 28°

36'). A principal contribuição da nutação na obliquidade tem

uma amplitude de 9,2025" e período de 18,613 anos, mas

contribuições menores, como 0,57" com períodos de 182,62

dias, também estão presentes.


• As forças diferenciais do Sol e da Lua sobre a Terra são

mais complexas do que nossa aproximação pois os três

corpos não são esféricos. Existe ainda a pequena

contribuição das forças diferenciais causada pelos planetas

sobre a Terra.

• Devido ao torque causado pela Lua, Sol e outros planetas,

além dos deslocamentos de matéria em diferentes partes do

planeta: elasticidade do manto, achatamento da Terra,

estrutura e propriedades da borda entre núcleo e manto,

reologia do núcleo, variabilidade dos oceanos e da

atmosfera, a inclinação (obliqüidade) do eixo da Terra em

relação ao eixo da eclíptica está decrescendo 0,46815 "/ano,

ou


Transformação entre coordenadas

Celestes



horárias e horizontal


Sistema levógiro – rotação anti-

horária

De horizontal para Horário


Sistema levógiro – rotação anti-

horária

De Horária para Horizontal



Horárias e Equatorial

z


Um sistema Levógiro e outro Destrógiro

De Horária para Equatorial


De Equatorial para Horária

Transformar de Uranográfica/Equatorial para Eclíptica e

Vice-versa.


Como esses fundamentos são

utilizadas em Astronomia?

Determinar o meridiano do lugar?

Passagem do sol pelo meridiano do local – determina-se a

latitude e o azimute (máxima elevação do sol ou estrela – ponto

de culminação).


h


Observar uma estrela/sol no momento que passa pelo meridiano

do lugar (H=0).

Então: HS = H + = HS =

HS = Hora Local Sideral (LST)

Long = HS-HGreenwich

Long = LST – GST

Precisa de um cronômetro que registra a hora de

Greenwich


P

S

90 - Dec H

Alternativamente, tendo a Latitude , pode-se medir o ângulo

Zenital e determinar o ângulo H para qualquer estrela visível.


Aberração estelar: movimento aparente de um objeto celeste (estrela)

.. Devido ao movimento aparente do observador e estrela. Aberação

diária (devido a rotação da Terra – máximo de 0,32”) e aberração anual

(movimento de translação – máximo 20,6”). Essa última para alta acu-

rácia deve ser levada em consideração.

Paralaxe anual: Passar do sistema heliocentrico para geocentrico

e vice versa. Os sistemas de coordenadas podem ser geo ou helio.


E1

E2

E3

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