Unidade 5 - Funções

Prof. Milton Henriquemcouto@catolica-es.edu.br

Conteúdo

• Conceito• Igualdade de Funções• Operações com Funções• Sistema de Coordenadas Cartesianas• Representação Gráfica de Função• Funções Usuais• Equação da Reta• Coeficiente Linear e Angular (Declividade)• Mínimos Quadrados• Distância entre dois pontos• Função Quadrática

Conceito

DR

x

yf

Definir em D uma função f é explicitar uma regra que a cada elemento faça corresponder um único número real y.

𝑦= 𝑓 (𝑥 )

Conceito – Exemplo

𝑓𝑢𝑛çã 𝑜 𝑓 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑝𝑜𝑟 𝑦=2.𝑥+10 ,𝑐𝑜𝑚𝐷={1,2,3 }

𝑓 (1 )=2. (1 )+10=12

𝑓 (2 )=2. (2 )+10=14

𝑓 (3 )=2. (3 )+10=16

Igualdade de Funções

f e g são iguais quando

Df = Dg

f(x) = g(x) para todo

Operações com Funções - Soma

𝒔 (𝒙 )= 𝒇 (𝒙 )+𝒈 (𝒙)

𝑓 → 𝑦 (𝑥 )=5 𝑥+1

𝑔→ 𝑦 (𝑥 )=𝑥2−2𝑠 (𝑥 )= 𝑓 (𝑥 )+𝑔 (𝑥)

𝑠 (𝑥 )=(5𝑥+1 )+(𝑥2−2)

𝑠 (𝑥 )=𝑥2+5 𝑥−1

Operações com Funções - Produto

𝒑 (𝒙 )= 𝒇 (𝒙 ) .𝒈 (𝒙)

𝑓 → 𝑦 (𝑥 )=𝑥2

𝑔→ 𝑦 (𝑥 )=2−𝑥𝑝 (𝑥 )= 𝑓 (𝑥 ) .𝑔 (𝑥)

𝑝 (𝑥 )= (𝑥2 ) .(2−𝑥 )

𝑝 (𝑥 )=2𝑥2−𝑥3

Operações com Funções - Quociente

𝒒 (𝒙 )= 𝒇 (𝒙)𝒈(𝒙)

𝑓 → 𝑦 (𝑥 )=𝑥3+10

𝑞 (𝑥 )= 𝑓 (𝑥)

𝑔 (𝑥)

Sistema de Coordenadas Cartesianas

x

x

y

y

eixo x

eixo y

origem

0

0 𝑥

𝑦P(x,y)

Par Ordenado (x,y)Sistema de Coordenadas Cartesianas

abscissa ordenada

Representação Gráfica de uma Função

𝑦= 𝑓 (𝑥 )

𝑥1→ 𝑦1= 𝑓 (𝑥1)

𝑥2→ 𝑦2= 𝑓 (𝑥2)

𝑥𝑛→ 𝑦𝑛= 𝑓 (𝑥𝑛)x

y

x1 x2 xn

yn

y2

y1

Domínio D

Exemplo – Gráfico de Função

Represente graficamente a função dada por , para

0,5 2

1 1

2 0,5

3 0,33

4 0,25

x

y

0,5 1 2 3 4

1

2

0,5

Exercícios – Represente Graficamente

Funções Usuais

• Função Constante,

x

y

k

Funções Usuais

• Função Linear,

x

y𝑦=𝑎𝑥

Funções Usuais

• Função Linear Afim,

x

y𝑦=𝑎𝑥+𝑏

bEquação da Reta

Equação da Reta

x

y 𝑦=𝑎𝑥+𝑏

ba

Inclinação

Intercepta y

Exemplo – Equação da Reta

𝑦=5 𝑥+2Coeficiente Linear

Intercepta y em 2

Coeficiente AngularUm aumento em x aumenta y em 5 unidades

0 2

1 7

2 12

3 17

4 22x

y

2

𝑦=5 𝑥+2

Coeficiente Linear

𝑏=−2

𝑏=−1

𝑏=0

𝑏=1

𝑏=2

Coeficiente Angular ou Declividade

x

y

x

y

𝑎=12

𝑎=1𝑎=2

𝑎=−12

𝑎=−1𝑎=−2

Declividade

0 x

y

𝑃=(𝑥1, 𝑦1)

𝑄=(𝑥2 , 𝑦2)

𝜃

LSe P e Q são 2 pontos distintos de uma reta L, então a declividade é dada por:

𝑎= ∆ 𝑦∆ 𝑥

=𝑦2− 𝑦1𝑥2−𝑥1

Exemplo – Encontre a declividade da reta que passa pelos pontos (-1,1) e (5,3)

Q = (5,3)

P = (-1,1) 𝑎=∆ 𝑦∆ 𝑥

=3−15−(−1)

=13

Exercícios – Encontre a declividade da reta que passa pelos pontos P e Q

1) P1=(0,0) e P2=(2,4)

2) P1=(0,3) e P2=(8,3)

3) P1=(1,5;4) e P2=(2;6)

4) P1=(2,10) e P2=(8,1)

5) P1=(0,50) e P2=(8,0)

Equação da Reta dada um Ponto e uma declividade

0 x

y

𝑃=(𝑥1 , 𝑦1)

𝜃A equação da reta que passa pelo ponto e possui declividade é dada por:

𝑦− 𝑦1=𝑎 .(𝑥−𝑥1)

Exemplo – Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem declividade 2

𝑦− 𝑦1=𝑎 .(𝑥−𝑥1)

𝑦−3=2.(𝑥−1)

𝑦=2. (𝑥−1 )+3

𝑦=2 𝑥−2+3

𝑦=2 𝑥+1

Exercícios – Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P e possui declividade a

1) P = (4,7) e a=32) P = (-3,2) e a=13) P = (4,-1) e a=-24) P = (1,-4) e a=0,55) P = (-2,-5) e a=-0,3

Retas Paralelas

0 x

y

L

M

L e M serão paralelas se possuírem a mesma

declividade

𝐿=𝒂𝑥+𝑏𝐿

𝑀=𝒂𝑥+𝑏𝑀

Retas Perpendiculares

0 x

yL

M

L e M serão perpendiculares se:

𝐿=−𝟏𝒂𝑥+𝑏𝐿

𝑀=𝒂𝑥+𝑏𝑀

𝑎𝐿=−1𝑎𝑀

Exercícios – Represente Graficamente

ExemploCalcule a Equação da Reta que passa pelos pontos

P1=(1,3) e P2=(3,7)

Equação da Reta →

𝑃1=(𝑥1=1 , 𝑦 1=3 )❑⇒

3=1𝑎+𝑏

𝑃2= (𝑥2=3 , 𝑦2=7 )❑⇒

7=3 𝑎+𝑏

Resolvendo o sistema:

𝒂=𝟐 𝒃=𝟏𝒚=𝟐 𝒙+𝟏

Exercícios – Escreva a Equação da Reta

1) P1=(0,0) e P2=(2,4)

2) P1=(0,3) e P2=(8,3)

3) P1=(1,5;4) e P2=(2;6)

4) P1=(2,10) e P2=(8,1)

5) P1=(0,50) e P2=(8,0)

Mínimos Quadrados

Construir a equação da reta que aproxima um conjunto de pontos P1=(1,5), P2=(2,10), P3=(4,12) e P4=(5,17).

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8

5

10

15

20

25

𝑦=𝑎𝑥+𝑏

Mínimos Quadradosx y x.y x2

P1 1 5 5 1P2 2 10 20 4P3 4 12 48 16P4 5 17 85 25

Soma 12 44 158 46Média 3 11 39,5 11,5

𝑦=𝑎𝑥+𝑏

𝑎=∑ 𝑥𝑦−𝑛𝑥 𝑦

∑ 𝑥2−𝑛¿¿¿

𝑏=𝑦−𝑎𝑥

𝑎=158−4.3 .1146−4¿¿

𝑏=11−2,6.3❑⇒

𝒃=𝟑 ,𝟐𝐲=𝟐 ,𝟔𝐱+𝟑 ,𝟐

Exercícios – Mínimos Quadrados

1) P1=(0,0), P2=(2,5), P3=(3,8) e P4=(4,9)

2) P1=(-1,0), P2=(0,2), P3=(1,3), P4=(2,6) e P5=(3,5)

3) P1=(0,20), P2=(2,12), P3=(4,7), P4=(6,3) e P5=(8;0,5)

4) P1=(1,20), P2=(5,40), P3=(10,70) e P4=(15,90)

Fórmula da Distância

0 x

y

𝑑=𝑑𝑖𝑠𝑡 â

𝑛𝑐𝑖𝑎

(𝑥1 , 𝑦1)

(𝑥2 , 𝑦 2)

𝑑=√¿¿

Exemplo – Fórmula da Distância

Encontre a distância entre os pontos (-4,3) e (2,6)

𝑑=√¿¿

𝑑=√¿¿

𝑑=√¿¿

𝑑=√45

Exercícios – Encontre a Distância entre P e Q

1) P=(1,3) e Q=(4,7)2) P=(-1,3) e Q=(4,9)3) P=(0,2) e Q=(9,7)4) P=(-5,-3) e Q=(-4,-8)5) P=(-9,3) e Q=(-4,7)

Função Quadrática

𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

0 x

y

Parábola

Função Quadrática – Pontos Importantes

0 x

y

x1 x2

Cruzamento com o eixo

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0

𝑥=−𝑏±√𝑏2−4.𝑎 .𝑐2𝑎

𝑦=0

Função Quadrática – Pontos Importantes

0 x

y Cruzamento com o eixo

𝑦=𝑐c

𝑥=0

Função Quadrática – Pontos Importantes

0 x

yVértice

(x,y)

Ponto (x,y) onde:

x=−𝑏2𝑎

y=−(𝑏2−4 𝑎𝑐)

4 𝑎

Função Quadrática – Pontos Importantes

0 x

yEixo de Simetria

É a reta:

x=−𝑏2𝑎

x=−𝑏2𝑎

Função Quadrática - Concavidade

0 x

y

Concavidade para baixo

Concavidade para cima

𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

ExemploConstrua a Representação Gráfica da Função

Quadrática

Cruzamento com o eixo

𝑥=−𝑏±√𝑏2−4.𝑎 .𝑐2𝑎

Cruzamento com o eixo

𝑦=𝑐

X1= 2 X2= 4

𝒚=𝟖

Vértice

Eixo de Simetria

x=−𝑏2𝑎 y=

−(𝑏2−4 𝑎𝑐)4 𝑎

X= 3 y= -1

x=−𝑏2𝑎 X= 3

Concavidade

𝑎=1→𝑎>0→Concavidade para cima

Continuação do Exemplo

0 x

y 𝑦=𝑥2−6𝑥+8

8

(3,-1)

2 4

X=3

Concavidade para cima

Exercícios – Construir a Representação Gráfica das Funções