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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções

-objectivo de aproximação de funções

-Interpolação: -interpolação polinomial

-polinómio interpolador de Newton

-polinómio interpolador de Lagrange

-”splines”

[-regressão: -regressão linear

-coeficiente de regressão

-regressão não linear]

Aproximação de funções

Pontos mais importantes:

1


Motivação

-dados são frequentemente disponíveis como um conjunto discreto

de pontos (experiências, tabelas) ----> pretendem-se estimar valores

entre os pontos

-pretende-se uma forma simplificada de uma função complicada ----->

calculam-se os valores da função só para alguns pontos discretos no

intervalo de interesse e usar uma função mais simples (e.g. linear)

para estimar os outros valores (tabelas, gráficos de engenharia)

2


Métodos de aproximação de funções

-pontos muito precisos (erros associados são desprezáveis) ----> a função de aproximação deve passar por cada um dos pontos----> interpolação

-pontos afectado por um erro apreciável----->o que têm importância é a tendência geral dos dados por isso a função não precisa de passar necessariamente por todos os pontos-----> regressão

interpolação

regressão

3


Interpolação polinomial

-em princípio podemos usar qualquer função como função

interpoladora

-polinómios são excelentes candidatos, porque dados n+1 pontos, há

apenas um e só um polinómio de grau n, ou inferior, que passa em

todos os pontos: -2 pontos----> n=1 (recta)

-3 pontos----> n=2 (parábola)

-a interpolação consiste em determinar os parâmetros do polinómio de

grau n a partir de n+1 pontos dados ({x1;y1}, {x2;y2},…, {xn+1;yn+1})

sabendo que p(xi)= yi

-forma geral dos polinómios:

p x a a x a x a xnn( ) ... 0 1 2

2

4


-aplicando os pontos conhecidos {xi;yi} resulta um sistema linear com n+1 incógnitas

Interpolação polinomial

n

1

0

n

1

0

nn

n1

n0

2nn

211

200

y

y

y

a

a

a

x

x

x

xx1

xx1

xx1

-a matriz de coeficientes é tanto mais mal condicionada tanto maior for n

-embora o polinómio p(x) seja único, ele pode ser expresso de variadas

maneiras: -polinómio de Newton-polinómio de Lagrange

5


Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)

Interpolação linear (n=1): 2 pontos {x1;y1}, {x2;y2}

)xx()xx(

)yy(yy

x)xx(

)yy(ya

)xx(

)yy(a

xaay

xaay

112

121

112

1210

12

121

2102

1101

aprox. da primeira derivada 6



Interpolação quadrática (n=2): 3 pontos {x1;y1}, {x2;y2}, {x3;y3}

-procuramos o interpolador na forma:p x b b x x b x x x x( ) ( ) ( )( ) 0 1 1 2 1 2

-aplicando as condições conhecidos, os parâmetros de polinómio podem ser determinadas:

p x b y x y

p x b b x x y by y

x xx y

p x b b x x b x x x x y

b

y yx x

y yx x

x xx

( ) ; )

( ) ( ) ; )

( ) ( ) ( )( )

;

1 0 1 1 1

2 0 1 2 1 2 12 1

2 12 2

3 0 1 2 1 2 3 1 3 2 3

3

3 2

3 2

2 1

2 1

3 13

(

(

( y3)7



Interpolação de grau n (forma geral): n+1 pontos {x0;y0}, {x1;y1},... {xn;yn}

-procuramos o interpolador na forma:p x b b x x b x x x x b x x x x x xn n( ) ( ) ( )( ) ... ( )( )....( ) 0 1 0 2 0 1 0 1 1

onde

b y

b f x x

b f x x x

b f x x x x xn n n

0 0

1 1 0

2 2 1 0

1 2 1 0

[ , ]

[ , , ]

[ , ,..., , , ]

-a função f[ ] é chamada diferenças divididas de ordem n

8



Diferenças divididas:

-ordem 0: f[ xi]=f(xi)

-ordem 1:

-ordem 2:

-ordem n:

f x xf x f x

x xi j

i j

i j

[ , ]( ) ( )

f x x xf x x f x x

x xi j k

i j j k

i k

[ , , ][ , ] [ , ]

f x x x xf x x x f x x x

x xn nn n n n

n

[ , ,..., , ][ , ,..., ] [ , ,..., ]

1 1 0

1 1 1 2 0

0

-polinómio de interpolador geral de Newton:

p x f x x x f x x x x x x f x x x

x x x x x x f x x xn n n

( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ]

( )( )...( ) [ , ,..., ]

0 0 1 0 0 1 2 1 0

0 1 1 1 0 9


Polinómio interpolador de Newton (diferenças dividida finita)

x y

x0 y0

x1 y1

x2 y2

x3 y3

yy y

x x101 0

1 0

ordem1ª 2ª 3ª

yy y

x x212 1

2 1

yy y

x x323 2

3 2

yy y

x x21021 10

2 0

yy y

x x32132 21

3 1

yy y

x x3210321 210

3 0

-não é necessário que os pontos estejam igualmente espaçados-não é necessário que as abcissas estejam ordenadas por ordem crescente

Tabela de diferenças divididas

10


Exemplo:

x y

1 -1

1.1 1.51

1.3 2.56

1.4 -3.1

09.2511.1

)1(51.1y10

ordem1ª 2ª 3ª

27.51.13.1

51.156.2y21

59.563.14.1

56.21.3y32

07.6613.1

09.2527.5y210

2.2061.14.1

27.559.56y321

3.35014.1

)07.66(2.206y3210

)3,1x)(1,1x)(1x()3,350()1,1x)(1x()07,66()1x(09,251)x(p

1102,3)3,117,1)(1,117,1)(117,1()3,350(

)1,117,1)(117,1()07,66()117,1(09,251)17,1(p


Erro de interpolador de Newton

-o erro da interpolação é uma função definida por en(x)=f(x)-pn(x)

-a formula do interpolador é semelhante à do desenvolvimento de

uma função em série de Taylor

-as diferenças divididas são aproximações das derivadas de ordem

superior

-o erro associado à aproximação de Taylor:

-para o interpolador numa forma análoga:

Rf

nx xn

n

i in

( ) ( )

( )!( )

1

11

1

com xi<<xi+1

Rf

nx x x x x xn

n

n

( ) ( )

( )!( )( )...( )

1

0 11

R f x x x x x x x x x x xn n n n [ , , ,..., , ]( )( )...( )1 1 0 0 1

f x x x x xf

nn n

n

[ , , ,..., , ]( )

( )!

( )

1 1 0

1

1

12


Erro de interpolador de Newton

-a função f(x) é geralmente incógnita, mas se mais um ponto (n+1) é disponível,o erro pode ser aproximado:

R f x x x x x x x x x x xn n n n n [ , , ,..., , ]( )( )...( )1 1 1 0 0 1

13


14

Exemplo:

x y

1 -1

1.1 1.51

1.3 2.56

1.4 -3.1

09.25

ordem

1ª 2ª 3ª

27.5

59.56

07.66

2.206

3.350

)4,1x)(3,1x)(1,1x)(1x(2302)x(R 3

1.6 4.14

36.2

309.3

1031

230216.1

)3.350(1031y43210

4ª

819,0)4,117,1)(3,117,1)(1,117,1)(117,1(2302)17,1(R 3


Obtenção do polinómio interpolador pelo método de Lagrange

-o método de Lagrange é uma reformulação do interpolador

Newtoniano, mas evita o cálculo das diferenças divididas finitas

-expressão geral:

p x L x f xi ii

n

( ) ( ) ( )

0onde L x

x x

x xij

i jjj i

n

( )

0

-n=1 p xx x

x xf x

x x

x xf x( ) ( ) ( )

1

0 10

0

1 01

-n=2 p xx x

x x

x x

x xf x

x x

x x

x x

x xf x

x x

x x

x x

x xf x( ) ( ) ( ) ( )

1

0 1

2

0 20

0

1 0

2

1 21

0

2 0

1

2 12

-o erro de aproximação é obtido de forma semelhante do que no caso do método Newtoniano

15


x f(x)

0 11 72 6

Exemplo:

612

1x

02

0x7

21

2x

01

0x1

20

2x

10

1x)x(p

16

72,6612

19,0

02

09,07

21

29,0

01

09,01

20

29,0

10

19,0)9,0(p


Interpolação com nós equidistantes

-designando por h a distância entre nós sucessivos, podemos escrever que:

x

x x h

x x h

x x nh

x

n

n

0

1 0

2 0

0

02

onde h =

xn

-diferenças divididas :

f x xf x f x

x x

f x

h[ , ]

( ) ( ) ( )1 0

1 0

1 0

0

f x x x

f x f xx x

f x f xx x

x x

f x

h[ , , ]

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 1 0

2 1

2 1

1 0

1 0

2 0

20

22

f x x x xf x x x f x x x

x x

f x

n hn nn n n n

n

n

n[ , ,..., , ][ , ,..., ] [ , ,..., ] ( )

!

1 1 01 1 1 2 0

0

0

17



-o símbolo n representa o operador de diferenças progressivas:

0

1

1

f x f x

f x f x h f x

f x f xk k

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ( ))

p x f xf x

hx x

f x

hx x x x h

f x

n hx x x x h x x n h

n

n

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

!( )( )...( ( ) )

00

0

20

2 0 0

00 0 0

2

1

-o resultado pode ser substituído no interpolador Newtoniano:

18


-aplicando o facto de qualquer ponto no intervalo [xo,xn] pode ser

representado pela seguinte formula: x=x0+h

-o interpolador pode ser simplificado:

)1n)...(1(!n

)x(f

)1(!2

)x(f

!1

)x(f)x(f)x(p

0n

02

00

Rf

nh nn

nn

( ) ( )

( )!( )...( )

11

11

-o erro é dado por:

-extrapolação: estimativa do valor de f(x) fora da gama de valores dos

pontos conhecidos (perigoso)


19


x y

10 -1

20 1.51

30 2.56

40 -3.1

51,2)1(51,1

ordemf 2f 3f

04,151,156,2

66,556,21,3

47,151,204,1

7,604,166,5

23,5)47,1(7,6

Exemplo:

)2)(1(!3

23,5 )1(

!2

47,151,21)x(p

21.2)23,1)(13,1(3,1!3

23,5 )13,1(3,1

!2

47,13,151,21)23(p

X=23 ; =1,3


“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)

-às vezes um polinómio interpolador de grau n pode resultar em grandes

erros (exemplo: uma função geralmente suave mas com algumas

variações bruscas)

-solução: splines, aplicando polinómios de grau inferior de n (para n+1

pontos) a subconjuntos de pontos

Splines lineares (m=1):

n1-n1n1n1n

21111

10000

xx x)xx(m)x(f)x(S

xx x)xx(m)x(f)x(S

xx x)xx(m)x(f)x(S

onde m

f x f x

x xii i

i i

( ) ( )1

1

21



Splines quadráticas (m=2): as derivadas de primeira ordem

contínuas nos nós (iguais)

-para cada intervalo entre os pontos, o aproximador é um polinómio

de grau 2:

-n intervalos ---> 3n incógnitas -----> precisamos 3n equações

-estas equações são:

i1-i2

iiii xx xxcxba)x(S

f x a b x c x

f x a b x c xonde i

i i i i i i

i i i i i i

( )

( )

1 1 1 1 1 1

2

1 1 12

= 2,3...n 2n-2 equações

f x a b x c x

f x a b x c xnos pontos

n n n n n n

( )

( )

0 1 1 0 1 02

2

extremos 2 equações

n-1 equaçõesb c x b c xi i i i i i 2 21 1 1 1 onde i = 2,3...n

2 01c a segunda derivada igual a zero 1 equação 22



Splines cúbicas (m=3): as derivadas de primeira e segunda ordem

contínuas nos nós (iguais)

-para cada intervalo entre os pontos, o aproximador é um polinómio de

grau 3:

-n intervalos ---n> 4n incógnitas -----> precisamos 4n equações

(condições):

-valores da função iguais nos nós interiores (2n-2)

-a primeira e última funções devem passar pelos pontos extremos

respectivos (2)

-o valor das primeiras derivadas nos pontos interiores deve ser igual (n-1)

-o valor de segundas derivadas nos pontos interiores deve ser igual (n-1)

- o valor de segundas derivadas nos pontos extremos é 0 (2)

i1-i3

i2

iii xx xxd+xcxba)x(S

23



-as condições anteriores resultam num sistema de eq. com 4n incógnitas

-um método alternativo resulta só num sistema tridiagonal apenas com

n-1 incógnitas

-a segunda derivada em cada intervalo é uma recta---->pode ser

representada com um interpolador de Largrange de 1º grau:

)x(fxx

xx)x(f

xx

xx)x(f i

1ii

1i1i

i1i

ii

-a expressão anterior pode ser integrada duas vezes, e o resultado é

uma função polinomial de grau 3 com duas constantes de integração

-aplicando as condições para os valores extremos no intervalo i (f(x i) e

f(xi-1)), os constantes de integração podem ser determinadas

24



-o resultado:

f xf x

x xx x

f x

x xx x

f x

x x

f x x xx x

f x

x x

f x x xx x

ii

i ii

i

i ii

i

i i

i i ii

i

i i

i i ii

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

1

1

3

11

3

1

1

1 1

1

11

6 6

6 6

-a expressão para cada intervalo (i=1,2,...,n) só tem duas incógnitas (f´´) em vez de 4

25


-aplicando a condição que:

e derivando a fórmula anterior:


f x f xi i i i1( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x x f x x x f x x x f x

x xf x f x

x xf x f x

i i i i i i i i i

i ii i

i ii i

1 1 1 1 1 1

11

11

2

6 6

-o resultado é um sistema com n-1 equações e n+1 incógnitas-mas considerando que as segundas derivadas são zero nos pontos 1 e n, o sistema (tridiagonal) só envolve n-1 incógnitas---->pode ser resolvido para as segundas derivadas nos nós

26


Exemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x x f x x x f x x x f x

x xf x f x

x xf x f x

i i i i i i i i i

i ii i

i ii i

1 1 1 1 1 1

11

11

2

6 6

i 0 1 2 3

xi 10 20 30 40

f(xi) -1 1,51 2,56 -3,1

03,4

876,0

56,251,110

656,21,3

10

6

51,1110

651,156,2

10

6

)30(f

)20(f

2010

1020

3002010

1020A 7,22

2003,4

10876,0A1

8,7103,410

876,020A2

239,0)30(f

0758,0)20(f

27


f xf x

x xx x

f x

x xx x

f x

x x

f x x xx x

f x

x x

f x x xx x

ii

i ii

i

i ii

i

i i

i i ii

i

i i

i i ii

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

1

1

3

11

3

1

1

1 1

1

11

6 6

6 6

84,1)2023(6

10239,0

10

56,2

)2330(6

100758,0

10

51,1)2023(

106

239,0)2330(

106

0758,0)23(f 33

2

28

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