Elementos Finitos - · PDF fileEnvolve a definição da geometria e materiais...

Elementos Finitos

Professor: Evandro Parente Jr.Período: 2009/1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁCENTRO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVILMESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL: ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL

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INFORMAÇÕES GERAIS

Aulas: Segundas 8:00-9:30hQuintas 10:00-12:00hSala 05 – Bloco 710

Professor: Evandro Parente Jr.Sala 12 – Bloco 710Tel: 3366-9607 Ramal 23 [email protected]

Site:http://www.deecc.ufc.br/professores/evandro.htm

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Objetivos da disciplina

GeralFornecer os conhecimentos necessários à análise de tensões em sólidos e estruturas através do Método dos Elementos Finitos (MEF).

EspecíficosApresentar a formulação do MEF para análise de tensões.Mostrar os problemas e limitações do MEF.Aplicar o MEF à análise de problemas reais.Discutir a implementação computacional do método.

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Conteúdo

Introdução ao MEF.Trabalho Virtual e Energia Potencial.Método da Rigidez Direta.

Barras e treliças.Formulação do MEF para problemas 1D.

Funções de forma.Integração numérica.

Formulação do MEF para problemas 2D/3D.Formulação isoparamétrica.Condições de convergência e “patch-test”.

Formulação do MEF para vigas e placas.

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Bibliografia

BásicaNotas de aula.Cook, Malkus, Plesha & Witt (2002) – Concepts andApplications of Finite Element Analysis, 4a ed.

ComplementarBathe (1996) – Finite Element Procedures.Reddy (1993) – An Introduction to the FiniteElement Method.Hughes (1987) – The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis.

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Avaliação

Lista de exercícios (1/3).A discussão entre os alunos é encorajada.Trabalho individual, não se aceitando soluções idênticas.Não será aceita entrega fora do prazo.

Trabalho final (1/3):Resumo do trabalho: 30/Abr/2009.Relatório de andamento: 28/Mai/2009.Apresentação: 22/Jun/2009.

Provas escritas (1/3):AP1 – 23/Abr/2009.AP2 – 18/Jun/2009.

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Análise de sistemas de engenharia

Problema físico

Modelo matemáticoEx: equação diferencial

Modelo numéricoEx: Modelo de elementos

finitos

Simplificações eaproximações

Discretização

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A seleção do modelo matemático depende daresposta a ser obtida. Exemplos:

Distribuição de temperatura.Campo de tensões.

Um bom modelo deve:Considerar os aspectos essenciais do problema.Desprezar os fatores secundários.Fornecer resultados próximos das respostas reais.

Se as previsões do modelo não estão de acordo com as respostas reais é necessário refinar o modelo:

Incluir aspectos inicialmente desprezados.

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Modelos numéricos são aproximações dos modelosmatemáticos.

Um método numérico é confiável se ele convergepara a solução exata do modelo matemático.

Garantia de convergência com o refinamento.Velocidade de convergência.Custo computacional envolvido.Facilidade de implementação e utilização.

A solução numérica de um problema não pode ser melhor do que o modelo matemático utilizado.

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α

Discretização

Problema: Determinação do perímetro de um círculo.

R

l = 2Rsen(α/2)α = 2π/n

L = n l = 2πR sen(α/2)α/2

Dividindo em n partes:

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Discretização

Laprox/Lexatolog(Laprox/Lexato- 1)

Verifica-se que a solução converge para o resultado exato.

A velocidade de convergência é boa ?

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Projeto estrutural

ConceitoDefinição de uma configuração estrutural capaz de resistir às ações externas “transferindo” o efeitos destas ações até os apoios.Envolve a definição da geometria e materiaisutilizados.

RequesitosSegurança (resistência + estabilidade).Conforto e estética.Durabilidade.Economia (construção e manutenção).Viabilidade construtiva.

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Ações externas

Peso próprio e cargas de utilização (sobrecarga).

Ações ambientais:Variação de temperatura.Forças de vento, neve, correntes marinhas, ondas, ...

Expansão/retração dos materiais.

Protensão.

Deslocamentos prescritos:Recalques de apoio.Terremotos.

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Análise estrutural

Conceito:Determinação das respostas mecânicas de uma estrutura devido a ações externas.Obs: a geometria e os materiais são conhecidos.

Respostas mecânicas:Deslocamentos e deformaçõesTensões e esforços internos.Cargas e modos de flambagem.Freqüências naturais e modos de vibração.Carga de ruptura.

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Importância dos métodos numéricos

A análise de estruturas envolve a solução de equações diferenciais parciais.

Soluções analíticas exatas (fechadas) só existem em casos especiais:

Geometria e condições de contorno simples.Certos tipos de carregamento.Material homogêneo.

A solução de problemas reais requer a utilização de métodos numéricos (aproximados):

Método das Diferenças Finitas.Método dos Elementos Finitos.Método dos Elementos de Contorno.

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Análise por elementos finitos

apoioscarregamento

nó

GeometriaMaterial

elementoMalha

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Análise por elementos finitos

Dividir o domínio do problema em regiões (elementos finitos) de geometria simples:

Triângulos, quadriláteros, tetraedros, hexaedros,...Os elementos adjacentes são conectados através dos nós.

Aproximar os deslocamentos no interior dos elementos:Interpolar a partir dos valores nodais.Utilizar funções simples: lineares, quadráticas,...

Obter e resolver as equações de equilíbrio em função dos deslocamentos nodais (graus de liberdade).

Calcular respostas no interior dos elementos:Deformações a partir do campo de deslocamentos.Tensões a partir das deformações.

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Vantagens do MEF

Aplicação a qualquer problema de campo:Tensões, transferência de calor, percolação, etc.

Não há restrição quanto a geometria do problema.

Não há restrições sobre o carregamento e as condições de contorno do problema.

O material pode variar de elemento para elemento.

O modelo de elementos finitos parece com o corpo ou região a seranalisada.

Um modelo pode incluir componentes com diferentes comportamentos:

Barras, vigas, placas, cascas, sólidos, etc.

A aproximação é melhorada facilmente refinando a malha de elementos finitos ⇒ convergência.

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Exemplo de aplicação: estrutura de edifício

http://www.csiberkeley.com/

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Análise de um tanque esférico

http://www.csiberkeley.com/

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Contato pneu-pavimento

http://www.manufacturingcenter.com/dfx/

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Contato pneu-pavimento

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Modo de vibração de um copo

ABAQUS - Insights vol 7

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Trem de pouso

http://www.abaqus.com/

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Fuselagem

http://www.abaqus.com/

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Fuselagem

Cargas e apoiosConfiguração pós-flambagem

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Pontes

San Francisco Bay Bridge

http://www.adina.com/

Depois do terremoto

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Pontes

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Simulação de colisão

http://www.adina.com/

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Trabalhos de anos anteriores

Bruno Barros – Análise Estrutural da Fôrma de um Pilar em Concreto Armado.

Verificação dos Estados Limites

Último e de Utilização (deslocamentos

excessivos) da forma de um pilar em

Concreto Armado utilizando o MEF

utilizando o programa ABAQUS/CAE.

Analisar a influência dos componentes

estruturais da fôrma de um pilar.

Projeto de norma 02:124.24-001:

Fôrmas e Escoramentos

para Estruturas de Concreto.

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Detalhe da estruturaSeção de 35x120cm e altura de concretagem de 2,36m.A estrutura básica da fôrma:

Molde de compensado plastificado de 18 mm.Longarinas de madeira bruta serrada.Tirante metálico (parafuso).

Tipo de Análise: Estática.

Condições de Apoio:Deslocamento na base do pilar restringido nas três direções.

Carregamento:Empuxo do Concreto.

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Modelo de AnaliseCarregamento (Empuxo do Concreto).

Velocidade de Concretagem: 7m/h.Consistência do Concreto: 82,6 kN/m².

Estado Limite Último (Tensão Admissível).

Molde.55 MPa (paralelo às camadas).45 MPa (perpendicular às camadas).

Longarinas.37,8MPa (Compressão).50,3MPa (Tração).

Tirantes: 290 MPa.Estado Limite de Utilização (Deslocamentos excessivos).

δadm = 5mm (item 9.2.4 NBR14931/2004).

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Três análises (Estado Limite de Utilização):Somente o Molde (δ = 165,6 mm).Molde e Longarina (δ = 7,753 mm).Molde, Longarina e Tirante (δ= 7,753 mm).

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Bruno Feijo – Análise Estrutural de uma Torre de Enerfia Eólica para Operação no Estado do Ceará.

Análise de uma torre de energia eólica pelo Método dos Elementos Finitos.Foi utilizado o programa ABAQUS para modelar torres com diferentes secções.Análise preliminar utilizando o FTOOL e o ABAQUSpara que pudessem ser feitas algumas verificações para validar o modelo. Perfil circular cônico, com 45 m de altura, diâmetro de base 3,00 m e no topo diâmetro aproximado de 1,42 m.Material aço, com módulo de elasticidade (E) de 205 GPa e coeficiente de Poison (υ) 0,3.Variação da espessura da parede ao longo da altura.

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Modelo de Elementos FinitosMalha para os valores de 0.6, 0.4, 0.3 e 0.2 m.Engastado na base.Carga distribuída no topo da torre de 50 kN (Peso da hélice + gerador).Carga de vento estática (NBR 6123).

Modelo seccionado em sete partes: a 5, 10, 15, 20, 30 e 40 m. Malha

Carregamentos atuantes

Z (m) q (N/m2)

≤ 5,00 421

< 10,00 478

< 15,00 518

< 20,00 538

< 30,00 580

< 40,00 741

< 50,00 635

Z (m) q (N/m2)

≤ 5,00 421

< 10,00 478

< 15,00 518

< 20,00 538

< 30,00 580

< 40,00 741

< 50,00 635

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Tensões Máximas Principais

Malha 0,6 Malha 0,4 Malha 0,3 Malha 0,2

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Fábio Anderson – Estabilidade de Placas Laminadas. (Artigo - Cilamce 2008)

Estudar o comportamento de placas laminadas quando submetidas a carregamentos no plano;Calcular as cargas críticas utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF).Compara a solução numérica obtida pelo MEF com solução de problemas clássicos.

Esquema de laminaçãoPlaca laminada

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Modelo de elementos finitos

Restrições Nó

Elemento (Q8)

Carregamento biaxial

LL

h

xy

z

LL

h

xy

z Condição de Apoio: Simplesmente apoiada

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Placa com laminação simétrica cross-ply (0/90)sE1/E2 Analítica FEMOOP ABAQUS Erro FEMOOP Erro ABAQUS

25 7.124 7.070 7.074 -0.76% -0.70%40 7.404 7.328 7.318 -1.03% -1.16%

25 3.562 3.542 3.537 -0.55% -0.69%40 3.702 3.669 3.660 -0.89% -1.15%

Compressão Uniaxial (k = 0)

Compressão Biaxial (k = 1)

1º Modo de flambagem da placa para o carregamento uniaxial:

ABAQUS FEMOOP

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Paulo Filho – Método dos Elementos Finitos em Estruturas de Concreto: Revisão Bibliográfica e Exemplo de Aplicação do Método.

Verificação das tensões na região de furos que atravessam vigas de concreto na direção de sua largura .São adotados como parâmetro para a dispensa de verificação das tensões em torno dos furos as recomendações da NBR 6168 – Projeto de estruturas de concreto da ABNT .

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Modelagem da viga de concreto.Verificação de um furo maior que o diâmetro mínimo recomendado pela NBR 6118.

Dimensão do furo de no máximo 12 cm e h/3;

Apoios

CarregamentoMalha

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Distribuição das tensões σxx na viga .

Diagrama de tensões σxx na região do furo

Conclusão: As recomendações da NBR 6118 foram confirmadas pelo modelo numérico.

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Utilização do MEF

Análise preliminar:Obter uma solução aproximada do problema.Modelo analítico simplificado, fórmulas, análise experimental, análises anteriores, etc.

Análise por elementos finitos:Pré-processamento:

Modelagem: geometria, apoios, carregamento, materiais, ...Geração de malha.

Análise numérica.Pós-processamento:

Deformadas, modos de vibração/flambagem, animações,...Contornos e gráficos de tensões.

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Utilização do MEF

Verificação dos resultadosAvaliação qualitativa:

A resposta “parece” certa ?Deslocamentos (deformada).Tensões.

Existem erros grosseiros ?

O problema desejado foi resolvido ? Ou foi outro problema ?

O campo de deslocamentos satisfaz as condições de contorno esperadas ?

Ex: deslocamentos e rotações nulas nos apoios.

As simetrias esperadas estão presentes nas respostas ?

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Utilização do MEF

Verificação dos resultados (cont.)Avaliação quantitativa

Comparar resultados de EF com as soluções preliminares.Verificar se o nível de discretização é satisfatório:

Continuidade do campo de tensões.Estimadores de erros.

Revisão do modelo:Eliminar os erros grosseiros

Dados de entrada (apoios, propriedades dos materiais,...)

Melhorar o modelo de elementos finitos.Refinar a malha.

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Utilização do MEF

Considerar o problema físico.Criar ou melhorar um modelo matemático.

Obter resultados aproximados paracomparação com os resultados daanálise pelo MEF.

Planejar a discretizaçãodo modelo matemático.

PRÉ-PROCESSAMENTO

ANÁLISE PELO MEF

PÓS-PROCESSAMENTOOs resultados estão livres de erros grosseiros? Estão razoáveis do ponto de vista físico?

Qual é a falha? Compreensãofísica ou modelagem?

Os erros estão pequenos? Alterara malha modificaria pouco os resultados?

PARAR

Discretizarmais a malha.

Física

INÍCIO

EF

SIM SIM

NÃO

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Utilização do MEF

Por que estudar a teoria do MEF ?Existem programas comerciais utilizados a bastante tempo.Intensivamente testados: fabricantes e usuários.Os programas atuais possuem interface amigável.

Sua utilização não requer grandes conhecimentos.

A obtenção de resultados confiáveis requer:Conhecimento do comportamento estrutural:

Mecânica, resistência dos materiais, teoria das estruturas, ...

Conhecimento do MEF:Comportamento dos elementos utilizados.Características dos algoritmos de análise.Limitações e aproximações utilizadas pelo programa.

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Modelos para análise de estruturas

Questões envolvidas:Geometria.

Cinemática:Deslocamentos.Rotações.

Comportamento dos materiais.Relação tensão-deformação.

Carregamento.

Condições de contorno:Apoios.Carregamento.

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Modelos para análise de estruturas

Contínuos ou sólidos:Barra (1D).Estado Plano de Tensão.Estado Plano de Deformação.Sólido axissimétrico.Sólido 3D.

Estruturais:Vigas.Pórticos.Placas.Cascas.

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Tipos de análise

Estático x dinâmicoAs cargas atuantes são periódicas ou impulsivas ?A estrutura é muito flexível ?A freqüência do carregamento é próxima a da estrutura ?O comportamento do material é dependente do tempo ?

Linear x não-linearOs deslocamentos/rotações são grandes ?Qual a magnitude das deformações ?A região apoiada depende da deformação ?A relação tensão-deformação pode ser considerada linear ?O material sofre deformações permanentes ?Existe a formação de trincas ?

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Tipos de análise

Acoplada (multi-física) x desacopladaTermo-mecânico.Solo-estrutura.Fluido-estrutrura.Piezoelétrico.

Estado da prática:Depende do ramo de aplicação.Engenharia civil: estática, linear e desacoplada.Análise dinâmica: terremotos, edifícios altos,...Análise não-linear: problemas especiais.

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