DISCIPLINAELETRICIDADE E MAGNETISMO

LEI DE AMPÈRE

A LEI DE AMPA LEI DE AMPÈÈREREAgora, vamos estudar o campo magnético produzido por uma corrente elétrica que percorre um fio. Primeiro vamos utilizar uma técnica, análoga a Lei de Comlomb para o cálculo de campos elétricos (a Lei de Biot-Savart), em seguida utilizaremos argumentos de simetria, análogo ao usado na Lei de Gauss para campos elétricos (a Lei de Ampère).

Em 1819, o físico dinamarquês H. C. Oersted, procurando ver se uma corrente elétrica atuaria sobre um imã, colocou uma bússola (agulha imantada) perpendicular a um fio retilíneo por onde passava corrente, e não observou nenhum efeito. No entanto, descobriu que, quando ela era colocada paralelamente ao fio, a bússola sofria uma deflexão, acabando por orientar-se perpendicularmente ao fio.

Fig 1. A direção da agulha da bússola é sempre perpendicular à direção da corrente que percorre o fio.

Fig. 2 - Configurações das linhas do campomagnético gerado por condutor retilíneo.

Fig.3 - O sentido das linha do campo elétrico pode ser determinado pela regra da mão direita.

LEI DE BIOTLEI DE BIOT--SAVARTSAVART O campo magnético criado por um elemento de um condutor

que transporta uma corrente é dado por:dB d l

i

0 02 3

ˆ4 4

id l r id l rd Br r

µ µπ π

× ×= = (1)

0 chamada de permeabilidade do vácuoonde a constante , , é o seguinte valorµ7

0 4 10 T.m/Aµ π −= ×

O campo magnético criado por um condutor finito que transporta uma corrente édado pela integral da equação (1) ao longo do comprimento do condutor.

034

i d l rB dBr

µπ

×= =∫ ∫

A equação (1) em módulo: 0

24i dl sendB

rµ θπ

= onde é o ângulo entre e .dl rθ

LEI AMPLEI AMPÈÈRERE

A lei de Ampère afirma que a integral de linha do campo magnético em torno de qualquer percurso fechado é igual a permeabilidade no vácuo vezes a corrente total que flui através do interior da área delimitada pela curva fechada (curva amperiana):

O sentido positivo da corrente é dado pela regra da mão direita.

Atenção: A seguir faremos aplicações das leis de Biot-Savart e Ampére, ou seja, exercícios!

Exercício 1: Usando a Lei de Biot-Savart, determine o campo magnético produzido por um fio infinito, em um ponto P situado à distância R ao longo da mediatriz do fio. (ver figura abaixo).

(campo entradona página)

2 2 2 2 2

2 2

( )

r x R r x RRsen sen

x Rθ π θ

⎧ = + = +⎪⎨

= − =⎪+⎩

⇒

Lei de Biot-Savart

02

4(1 1) .idl sendB

rµ θπ

=

Integrando a equação , temos

0 02 2

04 2i idx dxB sen sen

r rµ µθ θ

π π

+∞ ∞

−∞

= =∫ ∫

2Com as expressões de , ficamos com e sen rθ

02 2 3 / 2

02 ( )i R d xB

x Rµ

π

∞

=+∫

Mudança de variáveis:

2 0 0 sec

= /2x

x Rtg dx R dx

θθ θ θ

θ π= ⇒ =

= ⇒ ==∞ ⇒

⎧⎨⎩

2 2 3 / 2 3 2 3 / 2

3 2 3 / 2 3 3

( ) ( 1) (sec ) secx R R tg

R Rθ

θ θ

+ = +

= =

Portanto,

/ 2 / 220 0

30 0

sec cos2 sec 2

i iB d dR R

π πµ µθ θ θ θπ θ π

= =∫ ∫

C am p o m ag n ético d ev id o a u m fio re tilín eo lo n g o

0

2iB R

µπ=

Resolvendo a integral na expressão de B:0

2 2 3 / 202 ( )

i R d xBx R

µπ

∞

=+∫

Exercício 2: Usando a lei de Biot-Savart determine o campo magnético produzido por uma espira circular de corrente, de raio R, em um ponto sobre o eixo da espira, a uma distância z do seu centro (ver figura abaixo).

D e v id o a s im e t r i a d o p r o b le m a a p e n a s c o n t r ib u i p a r a o c a m p o m a g n é t i c o to t a l n op o n t P .o

d B

c o sd B d B α=

Da figura: 2 2 2

2 2 e co s Rr z R

z Rα= + =

+

Lei de Biot-Savart

0 02 24 4

id l sen id ld Br r

µ µθπ π

= =

OBS: Lembre que na expressão da lei Biot-Savartθ é o ângulo entre dl e r, e neste caso θ = 90o.

0 02 2 2 3 / 2cos cos

4 4 ( )iRidldB dB dl

r z Rµ µα απ π

= = =+

0 02 2 2 3 / 2cos cos

4 4 ( )iRidldB dB dl

r z Rµ µα απ π

= = =+

Continuação:

Note que i, R e z têm os mesmos valores para todos os elementos de corrente. Logo, o campo magnético total no ponto P é dado por:

2

0 02 2 3 / 2 2 2 3 / 2

20

2 2 3 / 2

4 ( ) 4 ( )

2 (

)

R

i R i RB d B d l d lz R z R

i RBz R

π

µ µπ π

µ

= = = ⇒+ +

=+

∫ ∫ ∫

No centro da espira (z = 0), temos 0

2iB

Rµ

=

2 2 3 / 2 2 3 / 2 3Se ( ) ( )z R z R z z>> ⇒ + ≈ =2

032

iRBz

µ=

Para uma bobina cujo enrolamento contém N espiras circulares idênticas, o campo total é:

20 0 0

3 3 3 2 2 2

N iR N iAB Bz z z

µ µ µ µπ π

= = ⇒ =

2A Rπ=

o n d e é o m o m e n to d e d ip o lo m a g n é t i c o d a e s p i r a d e c o r r e n te .N iAµ =

DOS CONDUTORES PARALELOS

Dois fios longos paralelos, transportando correntes, exercem forças um sobre o outro. A figura abaixo mostra dois desses fios, separados por uma distância d e transportando as correntes i1 e i2. Vamos analisar as forças que tais fios exercem um sobre o outro.

corrente campo magnético corrente

1

1

O f io n a f ig u ra a c im a , p e rc o rr id o p e la c o rre n te , p ro d u z u m c a m p o

m a g n é tic o c u jo m ó d u lo n a p o s iç ã o d o s e g u n d o f io é , d a d o r

1

p o :

i

B

01 2

iBd

µπ

=

Correntes paralelas se atraem ecorrentes antiparalelas se repelem.

2

1

O f io p e rc o rr id o p o r u m a c o rre n te , p o d e a s s im s e r c o n s id e ra d a c o m o c o lo c a d o

e m u m c a m p o m a g n é tic o e x te rn o . U m a p o rç ã o d e s te f io d e c o m p rim e n to L s o f re rá

a a ç ã o d e u m a fo rç a m a g n é t ic a la e ra

2

t

i

B

2 1 2 1l d e m ó d u loF i L B= ×

0 1 22 1 2 1 2

L i iF i L Bd

µπ

= =

Aplicações da Lei de AmpèreSolenóide

Fig 1. Um corte de um solenóide cujas espiras forma afastadas para efeito ilustrado. São vistas as linhas de campo magnético.

Fig.2 – Um circuito de Ampère ( o retângulo abcd ) é usado para calcular o campo magnético deste solenóide.

Tiróide

Fig.3 – Um tiróide. O campo interior pode ser calculado utilizando a curva amperiana vista na figura.

OBS: Aplicações no quadro!