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Eletrônica Digital I

2

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO

ELETRÔNICA DIGITAL

1 SISTEMAS NUMÉRICOS

2 SISTEMA NUMÉRICO BINÁRIO

3 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL

4 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO

4 SISTEMA NUMÉRICO OCTAL (BASE 8)

5 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL

6 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO

7 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA OCTAL

8 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL

9 SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO

10 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O DECIMAL

11 CONVERSÀO DIRETA DO SISTEMA HEXADECIMALPARA O BINÁRIO

12 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA HEXADECIMAL

13 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA HEXADECIMAL

14 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS

15.1 ADIÇÀO

15.2 SUBTRAÇÃO

15.3 MULTIPLICAÇÃO

Atividades 1

15 CIRCUITOS, FUNÇÕES E PORTAS LÓGICAS

16.1 FUNÇÃO E (AND

16.2 FUNÇÃO OU (OR)

16.3 FUNÇÃO NÃO (NOT)

17. TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ÁLGEBRA DE BOOLE

18. TEOREMA DE MORGAN

18.1 PORTA NÃO E OU NE (NAND)

18.2 PORTA NÃO OU (NOR)

19. TEOREMA EXCLUSIVO

19.1 PORTA OU EXCLUSIVA (EXCLUSIVE OR)

19.2 PORTA NÃO OU EXCLUSIVA (EXCLUSIVE NOR)

Atividades 2

20. CONVERSÕES E MAPAS

20.1 TABELA VERDADE OBTIDA DE UMA EXPRESSÃO

20.2 A FORMA CONTRÁRIA (EXPRESSÕES GERADAS POR TABELAS VERDADES)

20.3 CIRCUITOS GERADOS POR EXPRESSÕES LÓGICAS

20.4 EXPRESSÕES LÓGICAS GERADAS POR CIRCUITOS

21. EQUIVALÊNCIA DE BLOCOS LÓGICOS

21.1 CONSEGUINDO INVERSORES

21.2 INVERSOR A PARTIR DA PORTA NÃO OU

21.3 INVERSOR A PARTIR DE UMA PORTA NÃO E

22. OUTRAS EQUIVALENTES

23. PROJETOS DE CIRCUITOS COMBINACIONAIS

Atividades 3

24. SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS COMBINACIONAIS ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE VEITCH-

KARNAUGH

24.1 DIAGRAMA PARA DUAS VARIÁVEIS


3

Atividades 4

24.2 DIAGRAMA DE TRÊS VARIÁVEIS

Atividades 5

24.3 DIAGRAMA DE QUATRO VARIÁVEIS

REFERENCIAIS

GABARITO


4

MÓDULO III – ELETRÔNICA DIGITAL

1. SISTEMAS NUMÉRICOS

Existem vários sistemas numéricos dentre os quais se destacam: o sistema decimal, o

binário, o octal e hexadecimal.

Os computadores não trabalham com os sistema decimal; o motivo é que teriam que

processar uma quantidade muito grande de variáveis.

O sistema decimal que é utilizado por nós no dia-a-dia é assim chamado porque possui “dez”

símbolos (algarismos, dígitos) com os quais podemos formar qualquer número.

Os dígitos empregados no sistema decimal são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Um número

maior que 9 é representado através de uma convenção que atribui um significado ao lugar ou

posição ocupado pelo dígito dentro do número.

Exemplo: O número 1995.

Este número tem um significado numérico calculado como:

1995= 1 x 103 + 9 x 102 + 9 x 101 + 5 x 10

Observamos que o número é expresso como a soma de potências de dez, que é a base ou raiz, multiplicados pelo coeficientes (posição que os dígitos se encontram dentro do número).

Do exemplos temos:

1 x 103 (posição) = 1 x 1000 = 1000 dígito base

+


+


+


1995

Observação:

A posição de um dígito dentro de um número inteiro é contada da direita para a

esquerda, começando pelo zero, que é a posição do dígito menos significativo, indo até a

posição do de maior significado.


5

2 SISTEMA NUMÉRICO BINÁRIO

Em sistemas digitais, um sistema numérico com base dois (binário) é especialmente útil

porque utiliza apenas dois dígitos: 0 e 1.

A grande vantagem de se utilizar este sistema consiste no fato de só termos uma

correspondência entre os dígitos (números), 0 e 1, e os dois valores possíveis “verdadeiro” e falso.

Temos que, neste sistema, para representarmos a quantidade zero utilizarmos o algarismo “0”;

para representarmos a quantidade um utilizamos o algarismo “1”.

Para representarmos quantidades maiores que 1, lançamos mão dos mesmos artifícios

utilizados pelo sistema decimal, para representar quantidades maiores que 9.

No sistema decimal nós não possuímos o algarismo “dez” e nós representamos a quantidade

de uma dezena utilizando-nos do algarismo 1 (um) seguido do algarismo 0 (zero). Temos então, que

ao número 1 (um) representa um grupo de dezena e o algarismo 0 (zero) é representado por

nenhuma unidade.

Exemplo:

No sistema binário da mesma forma para representarmos a quantidade dois, utilizamos o

algarismo “1” seguido do algarismo “0”. O algarismo 1 terá peso (valor) de um grupo de 2 (dois)

elementos e o 0 (zero) um grupo de nenhuma unidade.

Exemplo:

Observações:

Daqui por diante, colocaremos como índice do número a base do sistema que estamos

trabalhando.

Este processo de conversão é utilizado para convertermos qualquer número, em qualquer

base, para a base 10.


6

Exemplo:

3 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL

Exemplo:

O número (1101)2 corresponde a que número base 10?

1º Passo: Desmembrar os dígitos “zeros” e “uns” e multiplicá-los pela base “2” elevado a posição em

que cada dígito se encontra.

1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20

2º Passo: Executar as operações matemáticas

1 x 8 + 1 x 4 + 0 x2 + 1 x 1

Temos que:

(1101)2 = (13)10

4 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO

Para convertermos um número da base 10 para base 2, se faz n ecessário que dividamos o número

em questão por 2, até que encontremos um quociente menor que 2. Em seguida agrupamos o

último quociente encontrado e os respectivos restos como é mostrado nos exemplos abaixo:


7


8

Observação: Para convertermos um número na base 10 para qualquer base (X) devemos agir da seguinte maneira:

Sistema Numérico Octal (Base 8)

O sistema octal é um sistema que possui 8 dígitos – base 8. Dígitos da base 8: 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6 e 7.

Para a representação de oito unidades neste sistema, agimos da mesma forma que foi

empregada no sistema decimal para representar dez unidades e no binário para representar duas

unidades.


9

Temos:

O algarismo um”1” seguido do algarismo zero “0”.

(10)8 = (8)10 (10) representa oito unidades na base 10.

1 representa um grupo de 8

0 representa nenhuma unidade

Observação:

Veremos nos próximos capítulos que esse sistema irá simplificar muito o mapa de memória

de máquinas digitais.

6 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL

Para convertermos um número da base 8 para a base 10 agimos de forma idêntica à

conversão da base 2 (dois) para a base 10 (dez).

Exemplo: (120)8 = (?)10

1º Passo: Desmembra-se o número, multiplicando-se cada dígito pela base 8 elevada a

posição em que o dígito se encontra dentro do número.

1 x 82

+ 2 x 81

+ 0 x 80

2º Passo: Executa-se as operações matemáticas.

1 x 64 + 2 x 8 + 0 x 1

Temos então: (120)8 = (80)10

7 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO

A conversão entre o sistema octal e o sistema binário é uma operação matemática

bastante s imples como é mostrado no exemplo abaixo:

Exemplo:

(35)8 = (?)2

1º Passo: Desmembra-se o número em dois algarismos.

3 e 5


10

8 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA OCTAL

Para convertermos um número binário para o Octal, devemos arrumar os dígitos em grupos

de 3 algarismos, a partir da direita.

Exemplo:

(100101)2 = (?)8

1º Passo: Agrupar o número de 3 em 3 dígitos, pois 8 = 23

.

100 101

1º grupo 2º grupo

2º Passo: Convertermos esses grupos para a base 10 (dez).

100 101

4 5

3º Passo: Unimos os números convertidos.

(100101)2

= (45)8

Observação:

Ocorrerão casos em que separando-se o número binário em grupos de três

algarismos a partir da direita, sobrará um grupo de dois ou de um algarismo. Nestes casos,

basta acrescentarmos zeros a esquerda até completarmos um grupo de três números.


11

9 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL

O processo de conversão é análogo a conversão do sistema decimal para o sistema

binário, sendo que neste caso utilizamos divisão por “8” (oito).

Exemplo:

10 SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO

O sistema hexadecimal é um sistema que possui dezesseis dígitos – base 16; estes dígitos

são mostrados a seguir:

Dígitos da base 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Observamos que a letra A

representa o algarismo A referente a dez unidades. A letra B representa o algarismo B

referente a onze unidades, e assim sucessivamente até a letra F, que representa o

algarismo F, que representa quinze unidades.

Para representarmos dezesseis unidades procedemos como nas outras bases até

agora estudadas. Utilizamos o conceito básico de formação de um número.

Colocamos um “1” representando dezesseis unidades de “0” (zero), representando

zero unidades. (10)16 = dezesseis unidades.

Observação:

Este sistema é muito utilizado em computação e em mapeamento de memórias de

computadores digitais.


12

11 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O DECIMAL

É executado o mesmo procedimento de conversão utilizado nas outras bases (2 e 8).

Exemplo:

(4E)16 = (?)10

1º Passo: Desmembra-se o número e multiplica-se cada dígito pela base elevada a posição do

mesmo dentro do número.

4 x 161 + E x 160

2º Passo: Executa-se as operações matemáticas.

4 x 16 + 14 x 1 Temos que:

64 + 14 = 78

(4E)16 = (78)10

12 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA HEXADECIMAL PAR O BINÁRIO

Como já foi visto na conversão direta entre o sistema octal e o binário onde para a conversão

direta agrupávamos os números em pacotes de 3 dígitos. Iremos agora agrupar pacotes de 4 dígitos,

pois 16 é igual a 24.

Exemplo:

(F23)16 = (?)2

1º Passo: Separar os dígitos do número e depois convertê-los para a base, agrupando-os em

pacotes de 4 dígitos.


13

2º Passo: Juntar os grupos de 4 dígitos.

Temos então: (F23)16 = (111100100011)2

13 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA HEXADECIMAL

Utilizando-se da mesma analogia com a conversão do sistema binário para o octal.

Temos: (10100011)2 = (?)16

Temos então que: (10100011)2 = (A3)16

14 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA HEXADECIMAL

Teremos como nos sistemas binário o octal e conversão pela divisão sucessiva deste pela base do sistema, neste caso, dezesseis. Exemplo:


14

Temos então:

Último quociente 2º resto 1º resto

3 14 10

E A

Temos que:

(1002)10 = (3EA)16

15 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS

Este estudo irá facilitar a compreensão dos circuitos lógicos aritméticos, tais como: somadores,

subtratores, etc., que serão abordados com o decorrer do curso.

15.1 ADIÇÃO

A adição será executada neste sistema da mesma forma que é executada no sistema

decimal, lembrando apenas que, no sistema binário temos apenas dois algarismos.

Como no primeiro exemplo vamos executar uma adição na base 10 de um número menor que

a própria base.

(4)10 + (3)10 = (?)10

Operação:

4 dígito da base 10

+ 3 dígito da base 10

7

Resultado = 7 unidades O resultado é um dígito da base 10.

Temos então que: (4)10 + (3)10 = (7)10

Agora, vamos executar uma adição em que o resultado seja maior que a Base (10). (6)10 + (5)10 = (?) 10

Operação:

6 +5 11

Resultado = 11 unidade Este resultado não um dígito da Base 10.

O primeiro número “1” significa que o resultado passou uma vez da base (uma dezena),

acrescido de uma unidade que é o segundo número da composição. Ou apenas: Convertendo o resultado para a base 10, onze unidades é igual a que símbolos na base 10?


15

Resultado: Onze unidades são representadas pelo símbolos 11 na base 10.

Executando uma adição na base 2 com números menores que a base.

(1)2 + (0)2 = (?)2

Operação:

1

+0

1

O resultado é uma unidade.

Temos então que:

(1)2 + (0)2 = (1)2

Agora, vamos executar uma adição em que o resultado seja maior que a base.

(1)2 +(1)2 = (?)2

Operação:

1 +1 10

Resultado: 2 unidades Estas unidades serão representadas por (10)2.

Onde:

1 Significa que passam uma vez da base (2).

2 Significa que não houve unidade.

Ou apenas:

Convertendo o resultado encontrado para a base (2), duas unidades é igual a que símbolos na

base 2?


16

O resultado desta operação é que duas unidades são representadas pelos símbolos (10)2 na base

dois.

Outro exemplo:

(111)2 + (110)2 = (?)2


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15.2 SUBTRAÇÃO

A subtração é executada no sistema binário da mesma forma que executada no sistema

decimal, lembrando sempre que nesse sistema temos apenas dois algarismos. Podemos

exemplificar executando a subtração:

(111)2 – (100)2 = (?)2

Operação:

1ª operação

111

- 100 Operação = 1 - 0 = 1 1

1ª operação

111

- 100 Operação = 1 - 0 = 1 11

1ª operação

111

- 100 Operação = 1 - 1 = 0 1

Resultado: (111)2 – (100)2 = (011)2

A operação que pode surgir alguma dúvida será a que “pede emprestado” (0-1)


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Resultado (10)2 – (01) = (01)2

15.3 MULTIPLICAÇÃO

A multiplicação será executada neste sistema da mesma forma que é executada no sistema

decimal, lembrando-se apenas que, neste sistema temos dois algarismos.

Exemplo:

(100)2 x (10)2 = (?)2

Operação: 2ª parte:


19

2ª parte:

Como na base 10, o resultado fica debaixo do 2º dígito da 1ª parte da operação.


20

3ª parte:

A terceira parte desta operação consiste em somarmos os números encontrados, procedendo

como já explicado anteriormente (adição):

Resultado final: (100)2 x (10)2 = (1000)2

NOTA:

A divisão binária é uma operação complexa que envolve ao mesmo tempo cálculo com multiplicação e

subtração binária. Não iremos abordar neste capítulo, pois não utilizaremos nessa parte do estudo

dos circuitos lógicos.

Atividades I

1) Um Microprocessador possui 10 linhas de endereçamento e trabalha em sistema binário de

numeração. Qual a capacidade máxima de memória este processador poderá acessar?

a) 16 M bit

b) 1024 K bit

c) 2048 bit

d) 1024 bit

2) O nº 01110(2) equivale a que valor na base 10?

a) 114

b) 11

c) 14

d) 41


21

3) O nº 47(10) equivale a que valor em base 2?

a) 101011

b) 101111

c) 011000

d) 111110

4) O nº 74(10) convertido em octal equivale a?

a) 112

b) 111

c) 110

d) 114

5) Qual o valor em binário equivalente a 98(16)?

a) 11100110

b) 10011000

c) 01100111

d) 11100011

6) Assinale a alternativa errada:

a) 0 + 0 = 0

b) 1 + 0 = 1

c) 1 + 1 = 10

d) 1 + 1 + 1 = 110

7) A operação 11001(2) + 1011(2) possui como resultado?

a) 101010

b) 110100

c) 100100

d) 100101

8) Assinale a alternativa incorreta:

a) 0 - 0 = 0

b) 0 – 1 = 0

c) 1 – 0 = 1

d) 1 – 1 = 0

9) O valor 00001(2) equivale ao resultado de que operação aritmética?

a) 10011 – 10001

b) 11000 – 10001

c) 10110 – 10001

d) 10010 – 10001


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10)Qual operação abaixo está incorreta?

a) 1010(2) – 1000(2) = 0010(2)

b) 1000(2) x 1(2) = 1000(2)

c) 1100(2) x 011(2) = 100100(2)

d) 11010(2) x 10(2) = 11010(2)

16 CIRCUITOS, FUNÇÕES E PORTAS LÓGICAS

A eletrônica digital, como visto no capítulo anterior, opera com três sistemas numéricos básicos.

Adotou-se o sistema binário porque o mesmo simplifica os circuitos eletrônicos. Desta

forma criou-se uma álgebra baseada em dois estados distintos, ZERO (falso) e UM (verdadeiro).

Assim, adotou-se a álgebra desenvolvida por George Boole (1815 – 1854), recebendo desta

forma, o nome de Álgebra de Boole (Álgebra Boolena). Esta álgebra boolena é representada

eletronicamente por dois estados distintos: chave aberta = 0 (zero binário) e chave fechada = 1 (um

binário). A figura a segu i r ilustra estas condições.

Chave aberta = nível lógico “0” Chave fechada = nível lógico 1

Através destes dois estados convenientemente aplicados tornou-se possível criar um grupo de

circuitos lógicos ou portas lógicas, básicas, denominadas “E” (AND), “OU, (OR) e “NÃO” (NOT), que iremos estudar a seguir.

Esta função “E” assume a saída igual a “1”, somente quando todas as variáveis de

entrada forem iguais a “1”, da mesma forma que a função “E” é igual a “0” somente quando uma ou mais variáveis de entrada forem iguais a “0”.

Podemos representar essa função utilizando chaves, como mostra o circuito aba ixo .

BT = Bateria CH1 = Chave 1 CH2 = Chave 2 L = Lâmpada


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Tabela verdade: Tabela verdade:

CH1 CH2 L

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

L = 0 Lâmpada apagada

L = 1 Lâmpada acesa

CH = 0 Chave aberta

CH = 1 Chave fechada Obs.: A tabela verdade é a forma que podemos representar os circuitos digitais, ou seja, através de símbolos numéricos.

Estado lógico ZERO – representa a condição: inoperante, chave aberta, lâmpada apaga, valor zero de tensão, etc.

Estado lógico UM – representa a condição: ativada, chave fechada, lâmpada acesa, valor máximo de tensão, etc. Símbolo:

Expressão lógica: S= A.B A saída “S” será igual ao produto lógico da entrada “A” e entrada “B”, deve-se ler (A e B) e nunca (A

vezes B).

16.2 FUNÇÃO “OU” (OR)

A função “OU” assume a saída “1” somente quando uma ou mais variáveis de entrada

forem iguais a “1”. Da mesma forma, a função “OU” é igual a “0” somente quando todas as variáveis

de entrada forem iguais a “0”.


24

Podemos representar essa função utilizando chaves, como mostra o circuito abaixo.

BT = Bateria CH1 = Chave 1 CH2 = Chave 2 L = Lâmpada

Tabela verdade:

CH1 CH2 L

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1 Símbolo:

Expressão lógica: S = A + B

Observamos que a expressão lógica “OU” é representada pelo sinal “+” igual ao utilizado na

soma aritmética, porém não se deve confundir soma com lógica “OU”. Deve-se ler: A+ B (A ou B).

Observação:

As funções “E” e “OU” foram demonstradas somente com duas variáveis de entrada, porém estas

variáveis são teoricamente infinitas. A título de exemplo, vamos mostrar algumas portas com mais de

duas variáveis de entrada.

Exemplo 1:

S = L + M + N


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Tabela verdade:

L M N S

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Exemplo 2:

X1 X2 X3 X4 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1


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16.3 FUNÇÃO “NÃO” (NOT)

A função “NÃO” (inversor) assume a saída igual a “1” somente quando a variável de

entrada for igual a “0”. Da mesma forma assume “0” na saída, somente quando a variável de

entrada for igual a “1”. Poderemos representar essa função utilizando uma chave como mostra o

circuito da figura abaixo.

BT = Bateria CH = Chave R = Resistor L = Lâmpada

Tabela verdade:

CH L

0 1

1 0 Símbolo:

Expressão lógica: S= Â Observações:

1) A função do resistor R é proteger a bateria de um curto-circuito pleno através da chave

quando esta estiver em nível lógico “1” (fechada).

2) A barra sobre uma variável representa o “inverso” desta variável. Exemplos:

A = 0 Â = 1

A = 1 Â = 0

3) Podemos simbolizar uma inversão antes de uma porta qualquer usando apenas a

circunferência antes da mesma.

Exemplo:

S= A + B


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17 TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ÁLGEBRA DE BOOLE

Inicialmente demonstraremos as propriedades da álgebra ordinária que são válidas para a Álgebra

Booleana.

Propriedade associativa:

a) (A + B) + C = A + (B + C)

b) (A . B) . C = A . (B . C)

Propriedade comutativa:

a) A. B = B . A

b) A + B = B + A

Propriedade distributiva:

a) A . (B + C) = A . B + A . C

b) A + (B . C) = (A + B) . (A + C)

Teoremas:

1) A + 1 = 1

2) A + 0 = A

3) A . 1 = A

4) A . 0 = 0

5) A + Â = 1

6) A + A = A

7) A . Â = 0

8) A . A = A

9) (Â) = Â

11) A + A . B = A

12) A . (A + B) = A

10) (A) = A

13) A . B . C = A + B + C... 14) A + B + C = A . B . C... 15) A . B + Â . B = A B 16) Â B + A . B = A B

Teorema De Morgan Teorema Exclusivo


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Podemos exemplificar os teoremas através das tabelas verdades como no exemplo abaixo:

Teorema 11

18 TEOREMA DE DE MORGAN

Os teoremas 13 e 14 (Teorema de De Morgan) são muito importantes em minimização de

circuitos. São também derivadas deste teorema duas portas lógicas encontradas comercialmente:

portas “NÃO E” e “NÃO OU” (NOR).

18.1 PORTA “NÃO E” OU NE (NAND)

A porta “NÃO E” é implementada a partir das funções básicas “OU” e NÃO” com aplicação

do teorema de De Morgan como mostra a figura abaixo:

Â + B = A . B


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A função “NÃO E” assume a saída igual a “0” somente quando todas as variáveis de

entrada forem iguais a “UM”.

Podemos representar essa função utilizando chaves como mostra o circuito da figura

abaixo.

BT = Bateria CH1 = Chave 1 CH2 = Chave 2

R = Resistor L = Lâmpada

Tabela verdade:

CH1 CH2 L

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0 Símbolo:

Expressão lógica:

S = A . B

Obs.: Para a porta “NÃO E” adotou-se o símbolo idêntico ao da porta “E” com um círculo na saída

que identifica a inversão.

18.2 PORTA “NÃO OU” (NOR)

A porta “NÃO OU” é implementada a partir das funções básicas “E” e “NÃO” com aplicação

do Teorema De Morgan, teorema 13, como mostra a figura abaixo:


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A função “NÃO OU” assume a saída “1” somente quando todas as variáveis de entrada

forem iguais a “0”. Da mesma forma a função “NÃO OU” é igual a “0” somente quando uma ou

mais variáveis de entrada forem iguais a “1”.

Podemos representar essa função utilizando chaves como mostra a figura a seguir:

BT = Bateria CH1 = Chave 1 CH2 = Chave 2

R = Resistor L = Lâmpada

Tabela verdade:

CH1 CH2 L

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0 Símbolo: Expressão Lógica:

S= A + B

Observação:

Para efeito de demonstração das portas “NÃO OU” e “NÃO E” empregamos símbolos e

tabelas com apenas duas variáveis. Porém, estas portas, teoricamente, poderão conter infinitas

variáveis de entrada.

19 TEOREMA EXCLUSIVO

Os teoremas 15 e16 (Teorema Exclusivo) são da mesma forma que os de De Morgan, muito

importantes em minimização de circuitos. São também derivadas deste teorema duas portas lógicas encontradas comercialmente: porta “OU EXCLUSIVA” (OR EXCLUSIVA) e “NÃO OU EXCLUSIVA” (NOR EXCLUSIVA).


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19.1 PORTA “OU EXCLUSIVA” (EXCLUSIVE OR)

A porta “OU EXCLUSIVA” é implementada a partir das funções básicas “E”, “OU” e

“NÃO” com aplicação no teorema exclusivo, teorema 15, como mostra a figura a seguir:

A função “OU EXCLUSIVA” é igual a “1” (um) somente quando o número de bits “1” (um)

das variáveis forem ímpares, e caso contrário, a função “OU EXCLUSIVA” SERÁ IGUAL A “0”

(zero).

Podemos representar essa função utilizando chaves, como mostra o circuito abaixo:

BT = Bateria CH1 = Chave de posição oposta 1

CH2 = Chave de posição oposta 2 L = Lâmpada

Tabela verdade:

CH1 CH2 L

0 0 0

1 1 1

1 0 1

1 1 0 Símbolo:


32

Expressão Lógica:

S = A B Lê-se A exclusivo B 19.2 PORTA “NÃO OU EXCLUSIVA” (EXCLUSIVE NOR)

A porta “NÃO OU EXCLUSIVA” é implementada a partir das funções básicas “E”, “OU”

e “NÃO” com aplicação do teorema exclusivo, Teorema 16, como mostra a figura aba ixo .

A porta “NÃO OU EXCLUSIVA” é conhecida como circuito coincidência.

A função “NÃO OU EXCLUSIVA” é igual a “0” (zero) somente quando o número de bits “1”

(um) das variáveis forem ímpares, e caso contrário, a função “NÃO OU EXCLUSIVA” será igual a

“1” (um). Podemos representar essa função utilizando chaves, como mostra o circuito da figura a

seguir:

Tabela verdade: CH1 CH2 L

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1


33

Símbolo:

Expressão Lógica: S = A B Lê-se A NÃO EXCLUSIVO B Atividades 2 1) Assinale a coluna da esquerda de acordo com a da direita:

( ) Porta OU A) Inverte a entrada ( ) S = A . B B) Basta uma entrada em 1 para S=1 ( ) Função Não C) Basta uma entrada em 0 para S=0 ( ) Porta NAND D) S=1 Somente se as entradas forem 0 ( ) Porta NOR E) S = 0 somente se as entradas forem 1 2) Assinale verdadeiro e falso:

( ) A + 1 = 1 ( ) A + 0 = 0 ( ) A . 1 = 1 ( ) A . 0 = 0 ( ) A + A = 1 ( ) A + A = 0 ( ) A . A = 0 ( ) A . A = A ( ) A + AB = 1 ( ) A . ( A + B) = B ( ) A + B = AB

( ) A . B = A + B

3) Desenhe a simbologia, escreva o nome e monte a tabela verdade das portas lógicas que

são representadas pelas expressões abaixo:

a) S = A + B


34

b) S = A . B

c) S = A B

______ d) S = A B

_______ e) S = A . B


35

_____ f) S = A + B 20 CONVERSÕES E MAPAS

Como já vimos no capítulo anterior, os circuitos lógicos são dispositivos de tomadas de

decisões.

A saída de cada porta lógica ou de portas lógicas interligadas entre si, obedecem a uma

sistemática que tem como objetivo a realização de funções Booleanas.

A ferramenta utilizada para a visualização destas funções é a tabela verdade também

conhecida como “tabela certeza” ou “mapa”. Neste dispositivo vão constar todas as condições de saída

possíveis assumidas pelos circuitos. Esta tabela é muito útil porque mostra tanto o comportamento da

expressão Booleana, como também, o caminho total seguido pelo circuito (tomadas de decisões).


36

20.1 TABELA VERDADE OBTIDA DE UMA EXPRESSÃO

Para ser executada a tabela, observa-se as seguintes regras:

1º) Analisa-se a expressão booleana;

2º) Monta-se o quadro de possibilidades, onde o número de possibilidades de combinação é dado

por 2n, sendo “n” o número de variáveis;

3º) Monta-se uma coluna para cada membro da expressão;

4º) Monta-se uma coluna para o resultado final;

5º) Preenche-se a tabela.

No exemplo abaixo, observamos a expressão booleana. S = (A + B). D. (A + B + C)

Análise da expressão:

- Número de variáveis = 4 f (A, B, C, D)

- Número de combinações possíveis = 2n

= 24

= 16

- Número de membros =

Variáveis 1 Membro 2° Membro 3 ° Membro Resultado Final

A B C D A + B D A + B + C

S = (A + B) . D . (A + B + c)

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 1 0

0 0 1 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1 0

0 1 1 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 0 1 0

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 0 1 1 0 1 0

1 0 1 0 1 1 1 1

1 0 1 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1 0

1 1 1 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 0 1 0

Em alguns casos podemos lançar mão de uma coluna auxiliar que não pertence a nenhum

membro da expressão lógica, ajudará a observar melhor um determinado membro.

Ex.: S = A . B + C + A . B . C


37

Temos 3 variáveis, logo teremos 23

= 8 possibilidades

VARIÁVEIS

1º membro

2º membro

auxiliar 3º membro

Resultado Final

A B C A . B B . C B A. B . C S = (A + B) + (B . C) + (A + B + C)

0 0 0 0 1 1 0 1

0 0 1 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 1 0 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 1 0 0 1

1 1 1 1 0 0 0 1 20.2 A FORMA CONTRÁRIA (EXPRESSÕES GERADAS POR TABELAS VERDADES)

A forma contrária também pode ser obtida partindo de uma tabela verdade. Basta para isso

convencionarmos o tipo de implementação.

Exemplo:

Obter a expressão lógica com implementação positiva da tabela verdade abaixo:

Para obtermos a expressão lógica com implementação positiva de uma tabela verdade,

devemos proceder da seguinte forma:

1º) Identifica-se na tabela verdade todas as linhas que estejam implementadas positivamente, ou

seja, todas as linhas onde a coluna de saída “S” for igual a “1”.

2º) As linhas implementadas positivamente terão seus níveis “0” (zero) e “1”

(um) substituídos pelos índices das colunas “A”, “B” e “C”, tendo o cuidado de barrar estes

índices, quando equivalerem a variável “0” (zero).

3º) O passo final é juntar a expressão, de modo que, as linhas horizontais gerem funções “E”.

Essas linhas serão intercaladas entre as demais implementações positivas com funções “OU”.


38

Outro exemplo:

Obter a expressão lógica da tabela verdade:

Por último, montamos a expressão da seguinte maneira:

Podemos também obter expressões lógicas de uma tabela verdade com implementação

negativa, bastando para isso, que tomemos somente as linhas que c ontiverem a saída “S” igual a “0”

(zero). Da mesma forma devemos empregar a função “OU” entre os índices da mesma linha e a função

“E” entre as funções obtidas nas linhas. Por exemplo, obter a expressão lógica com implementação

negativa da tabela verdade abaixo:

A B C D S

Identificar as

saídas

implantadas

positivamente

Substituir os bits pelos

índices e colocar barras onde

os bits eram “0”

0 0 0 0 0 A. B. C.D

0 0 0 1 1 *

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1 * A. B. C. D

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 * A. B .C .D

1 0 1 0 1 * A . B. C. D

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1 * A .B .C. D


39

A B C S

Identificar as saídas

implementadas

negativamente

Tirar o barramento dos

índices

Negados e colocar

barramentos nos índices não

negados

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0 A . B .C A . B . C

0 1 1 1

1 0 0 0 A . B . C A . B . C.

1 0 1 0 A . B . C A . B . C

1 1 0 0 A . B . C A .B . C

1 1 1 1

Por último, montamos a expressão da seguinte maneira:

S= A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C 20.3 CIRCUITOS GERADOS POR EXPRESSÕES LÓGICAS

A partir das expressões lógicas abaixo booleanas podemos obter um circuito combinacional.

Deverá ser seguido os passos determinados abaixo:

1) Em todo processo envolvendo funções lógicas observamos quantas variáveis existem na

expressão. Nesta expressão, por exemplo, existem quatro variáveis, a saber: “A”, “B”, “C” e “D”.

Isto se faz necessário para desenhar a fiação de dados (barramento de dados).


40

2) O próximo passo será executar as portas de acordo com a função identificada pelos asteriscos.


41


42

Outro exemplo que poderá ser executado da mesma forma.


43

20.4 EXPRESSÕES LÓGICAS GERADAS POR CIRCUITOS

Do mesmo modo que obtemos circuitos de expressões lógicas, podemos obter expressões

lógicas de circuitos. A obtenção da expressão de um circuito consiste em aplicar as variáveis em cada porta lógica do circuito passo-a- passo.

Exemplo:


44

Primeiro passo:

Segundo Passo:

A expressão lógica será então:

S = (A . B) + Â

21 EQUIVALÊNCIA DE BLOCOS LÓGICOS

Uma das grandes vantagens entre os blocos lógicos é a possibilidade de se fazer

equivalência entre si, utilizando um outro bloco qualquer e inversores, uma vez que a maior parte

de circuitos digitais é feita com portas “NÃO E” e “NÃO OU” (NAND e NOR) e mais, podemos

também obter inversores a partir dessas portas.


45

21.1 CONSEGUINDO INVERSORES

Existem duas formas de se obter os inversores, ou seja, a partir de uma porta “NÃO E” ou

de uma porta “NÃO OU”. Nos dois casos, basta interligarmos todas as suas entradas e teremos

na saída o seu complemento. Analisaremos dois casos separadamente.

21.2 INVERSOR A PARTIR DA PORTA “NÃO OU”

Observamos que ao interligarmos as entradas “A” e “B” e aplicarmos os níveis lógicos, estes serão

nas duas entradas. A possibilidade de entradas diferentes entre si fica deste modo destacada. Com

base nesses fatos, montamos então a tabela verdade de um inversor:

X S 0 1

1 0


46

21.3 INVERSOR A PARTIR DE UMA PORTA “NÃO E”

Da mesma forma que fizemos para a porta “NÃO OU” podemos obter a tabela verdade igual a um inversor a partir de uma porta “NÃO E”.

X S 0 1

1 0 22 OUTRAS EQUIVALÊNCIAS

Porta “NÃO OU” a Partir de Porta “E” e “INVERSOR”

A melhor forma de se obter equivalência é usando o Teorema de De Morgan, visto

anteriormente (Teorema 13).

S = Â . B S = A + B


47

Porta “NÃO E” a Partir de Porta “OU” e “INVERSOR” Teorema 14:

Porta “OU” a Partir de Portas “E” e “INVERSORES”

Basta colocarmos um inversor na saída e na entrada da porta “E”.

23 PROJETOS DE CIRCUITOS COMBINACIONAIS

A finalidade maior de todas essas portas lógicas já estudadas é de combinarmos de tal forma,

que executem uma tarefa idealizada para um fim útil e específico, seguindo uma sequência lógica que

depende das variáveis de entrada e de saída de uma determinada tabela verdade. Através dos

circuitos combinacionais podemos projetar vários tipos de blocos lógicos que dependa

exclusivamente das variáveis de entrada em função de uma determinada saída.

Um circuito lógico combinacional pode ser projetado a partir de uma expressão Booleana que

identifique este circuito e, para obtermos isto, necessitamos da tabela verdade. E, finalmente, para

obtermos a tabela verdade, necessitamos da identificação das variáveis de entrada e das funções de

saída. O melhor meio de aprendermos a projetar um circuito lógico é analisando passo-a-passo um

projeto já executado, como mostraremos a seguir:


48

Projeto 1

Projetar um circuito que acenda as lâmpadas L1, vermelha, e L2, amarela, toda vez que

pressionarmos as chaves “A” e “B” nas seguintes condições:

0 – Quando as chaves não forem pressionadas nenhuma lâmpada deve acender.

1 – Quando pressionamos somente a chave “A”, deverá acender somente a lâmpada L1,

vermelha.

2 – Quando pressionamos somente a chave “B”, deverá acender somente a lâmpada L2,

amarela.

3 – Quando pressionamos as chaves “A” e “B” deverão acender as lâmpadas L, vermelha, e L2,

amarela.

BT =

Bateria A

= Chave A

B = Chave

B

L1 = Lâmpada 1 L2 = Lâmpada 2

O - projeto para este problema, como nos demais, devem seguir as seguintes etapas:

1 – Montagem da tabela verdade.

2 – Obtenção da expressão.

3 – Montagem do circuito.

1- Tabela verdade

A tabela verdade é montada baseada na quantidade de variáveis envolvidas no projeto. Neste

caso, são as chaves “A” e “B”. Portanto, temos 2 variáveis (colunas) e consequentemente, teremos

22

possibilidades de combinações ou quatro linhas.

Condição Variáveis Saída Chave desligada = 0

Chave ligada = 1 A B L1 L2

0 0 0 0 0

1 0 1 1 0 Chave desligada = 0

2 1 0 0 1 Chave ligada = 1

3 1 1 1 1

Assim, temos a tabela verdade completa e podemos obter a expressão Booleana do

circuito que será o passo seguinte:

2- Expressão


49

No projeto proposto, temos duas saídas, desta forma, deveremos retirar duas expressões

em separado, utilizando a saída L1 e, posteriormente, utilizando a saída L2.

Expressão com saída L1

Faremos a tabela verdade apenas com as informações que iremos utilizar, tais como: “A”, “B” e

“L1”, conforme a tabela abaixo:

Variáveis Saída

A B L1

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Neste passo identificamos as saídas que estejam com nível 1, pois estamos trabalhando com

implementação positiva e, ao mesmo tempo, identificar os índices e montar a expressão para a saída

L1.

L1 = Â . B + A . B

Expressão com saída L2

Será montado da mesmaforma que a anterior, somente com as informações: “A”, “B” e “L2”.

Variáveis Saída

A B L1

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Temos no caso, as duas expressões Booleanas, respectivas às condições do projeto:

L1 = Â . B+ A . B e L2 = A . B + A . B

3 – Montagem

Da mesma forma que montamos circuito através de expressões Booleanas, vista

anteriormente. Devendo ser observado que estamos trabalhando com duas expressões: L1 e L2.


50

Este circuito pode ser simplificado um pouco mais, pois basta observarmos as duas

expressões para concluirmos que existe uma condição idêntica, como ilustrarmos abaixo:

L2 = A . B + A . B L1 = Â . B + A . B

Podemos então, simplificar usando apenas uma porta lógica às duas saídas:

Este circuito poderia ainda ser mais simplificado. Porém, será estudado nas lições seguintes.

Desta forma, o circuito definitivo tomaria o seguinte aspecto:


51

Observamos que quando as chaves estiverem fechadas à terra, será igual a “0” (zero) e

quando estiverem abertas, será igual a “1” (um).

ATIVIDADES 3

1) Dados os circuitos abaixo levante a equação boo leana equivalente:

a)

b)

c)


52

d)

2) Represente circuito lógico equivalente referente às expressões abaixo:

a) S = A + B

b) S = ( A + B ) . C . ( B + D )

c) S = A . B . C + ( A + B ) . C


53

d) S = [ ( A . B )+( C . D )] . E+ [ ( A . D . E )+( C . D . E ) ] . A

3) Levante a expressão e represente o circuito lógico que as tabelas verdade abaixo caracterizam:

a)

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0


54

b)

A B C D S

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

4) Represente a tabela verdade, levante a expressão e represente o circuito lógico do problema abaixo: Deseja-se utilizar um amplificador para ligar três aparelhos: Um Toca-Fitas, um Toca-discos e um Rádio FM. Deve-se obedecer as seguintes prioridades: 1ª prioridade: Toca-discos 2ª prioridade: Toca-fitas 3ª prioridade: Rádio FM

Isto significa que quando não houver disco ou fita tocando, o amplificador, deverá

manter a entrada de rádio ligada. Caso outra entrada esteja tocando, deve o amplificador comutar automaticamente para a de maior prioridade. Diagrama em blocos:


55

Convenções utilizadas: S A = 1ª prioridade S B = 2ª prioridade S C = 3ª prioridade Logo, se: S A = 1 ; CH 1 fechada S B = 1 ; CH 2 fechada

S C = 1 ; CH 3 Fechada

A B C SA SB SC

24 SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS COMBINACIONAIS ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE VEITCH-KARNAUGH

Os diagramas de Veitch-Karnaugh permitem a simplificação de expressões características

com duas, três, quatro ou mais variáveis, sendo que para cada caso existe um tipo de diagrama mais

apropriado.

Este modelo de simplificação trabalha com padrão de função AND-OR ou OR-AND. Para

não complicarmos muito adotaremos o padrão AND-OR

Exemplo:

Desta forma, todos os padrões de funções lógicas, devem ser inicialmente transformados em

um dos dois padrões citados acima. Esta sistemática torna-se inviável em determinadas

simplificações, pois passamos a ter dois procedimentos complexos ao invés de um, para situações

assim, o melhor é utilizar somente o modelo de Boole para simplificações.

Exemplo:

1) S = )()()( BABABA


56

Passando para o padrão AND-OR, temos:

BABABA ...

Podemos observar que a transformação foi simples, portanto viável.

2) S = ACDCDBAC .

Aplicando o 2º Teorema de De Morgan, temos:

ACDCDCBA .

Também podemos aplicar o 1º Teorema De Morgan:

).()( DCACDCBA

Aplicando a propriedade distributiva:

DCCCCADCBA

Se CC. = 0, então, por fim:

DCCADCBA

Este tipo de expressão exigiu uma complexibilidade de manobras para chegarmos a uma

expressão AND-OR, uma pessoa que consegue chegar com facilidade até este ponto, significa que a

mesma possui um bom domínio de álgebra de Boole, dispensando assim, a alteração do processo de

simplificação para o modelo de Veitch-Karnaugh.

24.1 DIAGRAMA PARA DUAS VARIÁVEIS

Vejamos inicialmente as possibilidades que duas variáveis podem fornecer:

ESTADO A B

0 0 0

1 0 1

2 1 0

3 1 1

Estes estados deverão ser distribuídos racionalmente nas quadrículas do modelo geométrico de Veitch-Karnaugh.


57

Substituindo por seus valores lógicos, temos:

Através dos conceitos de transformação em MINTERMOS, podemos ainda substituir os

valores por expressões. Devemos ter consciência de que chegaríamos ao mesmo objetivo com

MAXTERMOS, porém para este assunto todas as transformações estarão baseadas em

MINTERMOS.

Logo:

Veja na figura a seguir, que para cada dupla de quadrículas possuímos uma variável em

comum.

Após todas as observações, notamos que cada linha da tabela da verdade possui sua região

própria no diagrama e essas regiões são, portanto, os locais onde devem ser colocados os valores de

saída (S) que a expressão assume nas diferentes possibilidades.

Para entendermos melhor o significado deste conceito, vamos observar o exemplo:

A tabela da verdade abaixo mostra o estudo de uma função de duas variáveis e ao lado sua

expressão não simplificada.

A B S

S = ABBABA

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Primeiramente vamos colocar no diagrama, o valor que a expressão assume em cada estado.


58

Uma vez entendida a colocação dos valores no diagrama, assumidos pela expressão em

cada estado, vamos verificar como podemos efetuar a simplificação.

Para isto, utilizamos o seguinte método:

Tentamos agrupar as regiões onde "S" é igual a "1", no menor número possível de pares. As regiões

onde "S" é "1", que não puderem ser agrupadas em pares, serão consideradas isoladamente.

Assim, temos:

Notamos que um par é o conjunto de duas regiões onde "S" é "1", que tem um lado em

comum, ou seja, são vizinhos. O mesmo "1" pode pertencer a mais de um par.

Feito isto, escrevemos a expressão de cada par, ou seja, a região que o par ocupa no diagrama.

O "Par 1" ocupa a região A e sua expressão será: Par 1 = A

O "Par 2" ocupa a região B e sua expressão será: Par 2 = B

Agora basta unirmos as expressões ao operador OU, para obtermos a expressão simplificada "S", logo:

S = Par 1 + Par 2

S = A + B

Como podemos notar , esta é a expressão de uma porta OU, pois a tabela da verdade também é da

porta OU.

É evidente que a minimização da expressão, simplifica o circuito e consequentemente,

diminui o custo e a dificuldade de montagem.

ATIVIDADE 4

1) Simplifique o circuito que executa a tabela da verdade abaixo, através do diagrama de Veitch-

Karnaugh.

A B S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0


59

24.2 DIAGRAMA PARA TRÊS VARIÁVEIS

Para três variáveis temos o diagrama com a seguinte distribuição dos estados:

Podemos também substituir por seus valores lógicos:

E por expressões:

Notamos que para cada quadrupla de quadrículas existe uma variável em comum.

Como no estudo para duas variáveis, podemos agrupar as quadrículas formando duplas.

Porém, agora podemos também formar quádruplos de quadrículas adjacentes ou em sequência, e

ainda podemos utilizar as duplas laterais, pois estas se comunicam. Veja os exemplos de possíveis

quadras:


60

Para melhor compreensão, vamos transpor para o diagrama, a tabela da verdade:

A B C S Expressão extraída da tabela sem simplificação:

S = CBACBACBACBACBACBA ............ 0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

Transpondo para o diagrama.

Para efetuarmos a simplificação, primeiramente, localizamos as quadras e escrevemos suas

expressões, estas quadras podem ter quadrículas comuns. Feita a localização das quadras, agora

localizaremos os pares e também escrevemos suas expressões. Não devemos considerar os pares já

incluídos nas quadras, porém pode acontecer de termos um ou mais pares formados com um

elemento externo à quadra e um outro interno. Por fim, localizamos e escrevemos as expressões dos

termos isolados.

Sendo assim, destacamos os seguintes grupos:


61

Escrevendo suas expressões temos:

Quadra = B

Par 1 = CA

Par 2 = CA

A expressão final minimizada será a união das expressões encontradas através do operador OU:

S = CACAB

O circuito que executa a tabela será então desenhado na forma abaixo:

Atividades 4

1) Ache a expressão simplificada das tabelas da verdade abaixo, através dos diagramas de Veitch-Karnaugh, a partir das saídas "1" das tabelas.


62

a) b) c)

A B C S A B C S A B C S

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0

1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

2) Simplifique a expressão S = CBACBACBACBACBA .......... através do diagrama de

Veitch-Karnaugh, utilizando o padrão AND - OR.


63

24.3 DIAGRAMA PARA QUATRO VARIÁVEIS

Para quatro variáveis, os estados são distribuídos no diagrama na forma abaixo:

Substituindo por seus valores lógicos, temos:

E por suas expressões:

Observamos que para cada grupo de oitavas, existe uma variável em comum.


64

Além das duplas e quadras que podemos formar, para este número de variáveis podemos

também agrupar oitavas adjacentes horizontais e verticais utilizando até mesmo as quadras laterais e

superiores com as inferiores, pois as laterais e os extremos se comunicam. Vejamos os exemplos de

grupos de oitavas:


65

Para elucidarmos melhor as regras acima, vamos transpor para o diagrama de Veitch-Karnaugh a seguinte tabela da verdade:

A B C D S Expressão extraída da tabela sem simplificação: S =

DCBADCBADCBADCBADCBA

DCBADCBADCBADCBADCBA

...............

...............

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

Transpondo para o diagrama


66

Para efetuarmos a simplificação, seguimos o mesmo procedimento dos diagramas de três

variáveis, a única observação é que para quatro variáveis o principal agrupamento será a oitava.

Devemos ressaltar, que neste diagrama, os lados e os extremos se comunicam, ou seja,

podemos formar oitavas, quadras e pares com as quadrículas localizadas nos lados e nos extremos.

Logo, destacamos os seguintes grupos:

Escrevendo suas expressões temos:

Oitava = B

Quadra = DC.

A expressão final será:

S = Oitava + Quadra

S = B + DC.

O circuito que executa a tabela será assim desenhado


67

Atividade 5

1) Dadas às tabelas verdade abaixo, lançar no mapa de Karnaugh, realizar os agrupamentos, retirar a expressão equivalente e representar o circuito.

a)

A B C S

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

b)

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0


68

2) Simplifique direto do diagrama: (Lançar as respectivas variáveis da região do mapa conforme o modelo a seguir, memorize as regiões).

a)

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1 1 0 b)

1 1 0

0 0 1

1 1 1

0 0 0 c)

0 1 1

0 0 1

0 1 0

1 1 1

1 1 0


69

d)

1 0 1

0 0 1

0 0 0

0 1 0 e)

0 0 0

0 1 1

1 1 0

1 0 1

3) Lançar as expressões abaixo no mapa e simplificar por agrupamento:

_ _ _ _ _ _ _ a) S = ABC + ABC + ABC + A B C + ABC


70

_ _ _ _ _ b) S = A B C + A B C + A B 4) Simplifique por agrupamento direto do mapa: ( Lançar as variáveis no mapa)

Modelo

a)

0 1 1 1

0 1 1 0

1 1 1 0

1 1 1 0

b)

c)


71

5) A tabela verdade abaixo possui 4 variáveis de entrada e 4 saídas, lance as saídas no mapa e simplifique por agrupamento.


72

6)Dadas as expressões abaixo lançar no mapa, agrupar e simplificar:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ a) S = A B C D + A B C D + ABCD + A B C D + A B C D + ABCD + ABCD


73

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ b) S = A B C D + A B C D + A B C D + ABCD + A B C D + A B C D

7)Desejamos construir um painel de luzes para uma casa de festas que tenha a seqüência

descrita pela tabela verdade abaixo. Já possuímos um contador de quatro canais que efetua a

contagem em código BCD e gostaríamos de construir uma interface para a mudança da seqüência.

Desenvolva esta interface utilizando o mapa de karnaugh para cada saída.


74

Diagrama em Blocos

Considerar: 1 = lâmpada acesa ; 0 = lâmpada apagada


75

REFERENCAIS

BOYLESTAD, R.L.; NASHELSKY, L. – Dispositivos Eletrônicos e Teoria de Circuitos, 6a ed. - Rio

de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1999.

MALVINO. Albert Paul. Eletronica. Vol 1, 4º ed. São Paulo, Makron Books, 1997.

TORRES, Gabriel. Fundamentos de Eletrônica. Rio de Janeiro: Editora Axcel Books, 2002.

VETIN, Stefano E. Eletrônica Digital – Módulo I. Ed. 1. Sociedade Educacional de Santa Catarina.


76

MÓDULO III – ELETRÔNICA DIGITAL

Atividades 1

1. D

2. C

3. B

4. A

5. B

6. D

7. C

8. B

9. D

10. D

Atividades 2

1. B,C,A,E,D

2 . V,F,F,V,V,F,V,V,F,F,V,V

3.


77

Atividades 3

1)

2) a)

S = A + B

A) S = {( A + B) . (C + D)}

B) S = {(A . B . C) + [(A + B) . C]}

C) S = (A . B) + (B . C) + (B + D)

D) S = {[(A . B) + (A . B) + C] . (C + D)}


78

b)

S = (A + B) . C . (B + D)

c)

S = A . B . C + (A + B) . C


79

d) S = {[[ (A . B) + (C . D) ] . E ]+ [ (A . D . E) + (C . D . E)] . A }


80

3) a)

S = A B C + A B C + A B C + A B C


81

b)

S = {A B C D + A B C D + A B C D + AB C D + A B C D}


82

4)

Atividades 4

1)

a)


83

b)

c)

2)


84

Atividades 5

1)a)


85


86


87


88

6)

a)

b)

7)


89


90

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