Eletrônica Digital Sistemas de Numeração

Prof. Wanderley

Introdução Os sistemas de numeração são uma invenção humana Dentre os sistemas de numeração inventados, destacam-se:

O decimal; O binário; O octal; e O hexadecimal.

O mais importante no dia-a-dia é o decimal, composto de dez algarismos (0,1,2,..8,9)

Entretanto, na área de sistemas digitais e informática, os outros três sistemas de numeração citados, sobretudo o binário e o hexadecimal, são extremamente importantes

Tal importância ficará evidente no decorrer deste curso

O Sistema Binário Se no decimal há dez algarismos, no binário vamos

encontrar apenas dois algarismos, 0 e 1 Então, como representamos algarismos maiores que 1

utilizando o sistema binário? No sistema decimal não temos o algarismo dez, de modo que

representamos a quantidade utilizando o algarismo 1 seguido do 0 Da mesma forma, no binário não temos o algarismo dois, por exemplo, e o

representamos utilizando o algarismo 1 seguido do 0 Utilizamos da mesma regra para representar outras quantidades

O Sistema BinárioDECIMAL BINÁRIO

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

Cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digit) Nibble é o conjunto de quatro bits Byte é o conjunto de oito bits

Conversão Binário-Decimal Considere o número decimal 594 como exemplo, o qual pode ser decomposto como segue:

5x100 + 9x10 + 4x1 = 594 Centena dezena unidade

5x102 + 9x101 + 4x100 = 594

5, 9 e 4 são algarismos decimais 10 é chamado de base, correspondente ao sistema decimal Os expoentes 2, 1 e 0 são os índices relativos à posição de cada algarismo decimal

Conversão Binário-Decimal Considere, agora, o número binário 101, correspondente ao número decimal 5 Por equivalência com a decomposição do número decimal, temos que:

1, 0 e 1 são algarismos binários No sistema binário, a base é 2 Os índices correspondentes a cada algarismo binário são 2, 1 e 0

Assim, temos que: 1x22 + 0x21 + 1x20 = 5

DECIMAL BINÁRIO

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

Conversão Binário-Decimal Exercício: Converta o byte 10101101 para decimal.

Resposta:

1x27 + 0x26 + 1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 1x128 + 0x64 + 1x32 + 0x16 + 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 173

Logo, 101011012 = 17310

Obs: Quando suprimimos a base, então ficará subentendido que trata-se de um número na base 10. Quando o número estiver em qualquer outra base, então essa deverá ser explicitada.

Conversão Binário-DecimalTarefa para casa: Converta os números a seguir para decimal:a)011102

b)10102

c)11001100012

Conversão Decimal-Binário A conversão binário-decimal é importante, pois ajuda-nos a saber a quantidade representada por um conjunto de bits Veremos agora a transformação inversa, de modo que, dada uma quantidade decimal, obteremos sua representação binária Para ilustrar o processo de conversão, considere o número decimal 10

Conversão Decimal-BinárioO Método das Divisões Sucessivas

O último quociente é o bit MSB (Most Significant Bit) O primeiro resto é o bit LSB (Least Significant Bit)

Conversão Decimal-Binário

Exercício: Converta o número 4710 para binário.

Resposta:

47 / 2 1 23 / 2 1 11 / 2 1 5 / 2 1 2 / 2 0 1

Logo, 4710 =1011112

Conversão Decimal-BinárioTarefa para casa: Converta os números a seguir para binário:a)2110

b)55210

c)71510

Conversão Binário Fracionário - Decimal

Até agora tratamos somente de números inteiros. E se o número for um binário fracionário, como o convertermos para decimal? Considere o número fracionário decimal 10,5, o qual pode ser decomposto como:

1x101 + 0x100 + 5x10-1 = 10,5 Para binários fracionários procede-se de forma semelhante.

Conversão Binário Fracionário - Decimal

Exemplo: Considere o número fracionário 101,1012. Converta-o para decimal.

1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 =

1x4 + 0x2 + 1x1 + 1x0,5 + 0x0,25 + 1x0,125 = 5,625

Conversão Binário Fracionário - Decimal

Tarefa para casa: Converta os números a seguir para decimal:a)111,0012

b)100,110012

Conversão Decimal Fracionário - Binário

Um número decimal fracionário pode ser decomposto em uma parte inteira e um parte fracionária Exemplo: 8,375 = 8 + 0,375

Procedimento: Decompõe-se o número em parte inteira e fracionária Converte-se a parte inteira utilizando divisões sucessivas (já visto) Converte-se a parte fracionária utilizando multiplicações sucessivas

8 / 2 0 4 / 2 0 2 / 2 0 1 Logo, 810 =10002

0,375 x 2 0,750 x 2 1,500

0,500 x 2 1,000

Multiplicações Sucessivas

Logo, 0,37510 =0,0112

Assim, 10002 + 0,0112 =1000,0112

Conversão Decimal Fracionário - Binário

Tarefa para casa: Converta os números a seguir para binário:a)3,38010

b)57,310

Sistema Octal de numeração

Trata-se de um sistema de base 8, contendo oito algarismos, a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 Logo, a representação da quantidade 810 = 108, isto é, análogo ao procedimento observado no sistema binário

DECIMAL OCTAL

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 10

9 11

10 12

11 13

Conversão Octal-Decimal

Exemplo: Converta 1438 para decimal. 1x82 + 4x81 + 3x80 = 1x64 + 4x8 + 3x1 = 99

Logo, 1438 = 9910

Tarefa para casa: Converta os números a seguir para decimal:a)778

b)1008

c)4768

Conversão Decimal-Octal

É análoga à conversão decimal-binária, ou seja, utiliza-se o método de divisões sucessivas. Entretanto, agora a base é 8, isto é, as divisões são por 8.

Exemplo: Converta 9210 para octal.

92 / 8 4 11 / 8 3 / 1

Logo, 9210 = 1348

Conversão Decimal-Octal

Tarefa para casa: Converta os números a seguir para octal:a)7410

b)51210

c)71910

Conversão Octal-Binário e Binário-Octal

OCTAL BINÁRIO

0 000

1 001

2 010

3 011

4 100

5 101

6 110

7 111

Esta conversão é direta se consideramos a tabela ao lado Exemplo: Converta 278 para binário

28 = 0102

78 = 1112

Logo, 278 = 0101112

Obs: A conversão da base 2N (4, 8, 16, 32...) para binário, e vice-versa, é direta

Exemplo: Converta 1100112 para octal

1102 = 68

0112 = 38

Logo, 0101112= 638

Conversão Octal-Binário e Binário-Octal

Tarefa para casa: 1) Converta os números a seguir para binário:a)348

b)5368

c)446758

2) Converta os números a seguir para octal:a)101112

b)110101012

c)10001100112

Sistema de Numeração Hexadecimal Trata-se de um sistema de base 16, contendo dezesseis algarismos, a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F Observe que a sequência de letras representam as quantidades 10, 11, 12, 13, 14 e 15, respectivamente. Logo, a representação da quantidade 1610 = 1016, isto é, análogo ao procedimento observado nos sistemas binário e octal O sistema hexadecimal é de extrema importância em sistemas digitais. É muito utilizado tanto em projeto de softwares quanto de hardwares digitais

DECIMAL HEXADECIMAL

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 A

11 B

12 C

13 D

14 E

15 F

Conversão Hexadecimal-Decimal

Exemplo: Converta 3F16 para decimal. 3x161 + Fx160 = 3x16 + 15x1 = 63

Logo, 3F16 = 6310

Tarefa para casa: Converta os números a seguir para decimal:a)1C316

b)23A16

c)5FB916

Conversão Decimal-Hexadecimal

Exemplo: Converta 100010 para hexadecimal. 1000 / 16 8 62 / 16 14 3

ELogo, 100010 = 3E816

Tarefa para casa: Converta os números a seguir para hexadecimal:a)13410

b)38410

c)256710

Conversão Hexadecimal-Binário e Binário-HexadecimalHEXADECIMAL BINÁRIO

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

9 1001

A 1010

B 1011

C 1100

D 1101

E 1110

F 1111

Esta conversão é direta se consideramos a tabela ao lado Exemplo: Converta C1316 para binário

c16 = 11002

116 = 00012

316 = 00112

Logo, C1316 = 1100 0001 00112

Exemplo: Converta 100110002 para hexadecimal

10012 = 916

10002 = 816

Logo, 100110002= 9816

Conversão Hexadecimal-Binário e Binário-Hexadecimal

Tarefa para casa: 1) Converta os números a seguir para binário:a)1ED16

b)6CF916

c)3A716

2) Converta os números a seguir para hexadecimal:a)11000112

b)110001111000111002