Eletrônica Digital Sistemas de Numeração
Prof. Wanderley
Introdução Os sistemas de numeração são uma invenção humana Dentre os sistemas de numeração inventados, destacam-se:
O decimal; O binário; O octal; e O hexadecimal.
O mais importante no dia-a-dia é o decimal, composto de dez algarismos (0,1,2,..8,9)
Entretanto, na área de sistemas digitais e informática, os outros três sistemas de numeração citados, sobretudo o binário e o hexadecimal, são extremamente importantes
Tal importância ficará evidente no decorrer deste curso
O Sistema Binário Se no decimal há dez algarismos, no binário vamos
encontrar apenas dois algarismos, 0 e 1 Então, como representamos algarismos maiores que 1
utilizando o sistema binário? No sistema decimal não temos o algarismo dez, de modo que
representamos a quantidade utilizando o algarismo 1 seguido do 0 Da mesma forma, no binário não temos o algarismo dois, por exemplo, e o
representamos utilizando o algarismo 1 seguido do 0 Utilizamos da mesma regra para representar outras quantidades
O Sistema BinárioDECIMAL BINÁRIO
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
Cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digit) Nibble é o conjunto de quatro bits Byte é o conjunto de oito bits
Conversão Binário-Decimal Considere o número decimal 594 como exemplo, o qual pode ser decomposto como segue:
5x100 + 9x10 + 4x1 = 594 Centena dezena unidade
5x102 + 9x101 + 4x100 = 594
5, 9 e 4 são algarismos decimais 10 é chamado de base, correspondente ao sistema decimal Os expoentes 2, 1 e 0 são os índices relativos à posição de cada algarismo decimal
Conversão Binário-Decimal Considere, agora, o número binário 101, correspondente ao número decimal 5 Por equivalência com a decomposição do número decimal, temos que:
1, 0 e 1 são algarismos binários No sistema binário, a base é 2 Os índices correspondentes a cada algarismo binário são 2, 1 e 0
Assim, temos que: 1x22 + 0x21 + 1x20 = 5
DECIMAL BINÁRIO
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
Conversão Binário-Decimal Exercício: Converta o byte 10101101 para decimal.
Resposta:
1x27 + 0x26 + 1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 1x128 + 0x64 + 1x32 + 0x16 + 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 173
Logo, 101011012 = 17310
Obs: Quando suprimimos a base, então ficará subentendido que trata-se de um número na base 10. Quando o número estiver em qualquer outra base, então essa deverá ser explicitada.
Conversão Binário-DecimalTarefa para casa: Converta os números a seguir para decimal:a)011102
b)10102
c)11001100012
Conversão Decimal-Binário A conversão binário-decimal é importante, pois ajuda-nos a saber a quantidade representada por um conjunto de bits Veremos agora a transformação inversa, de modo que, dada uma quantidade decimal, obteremos sua representação binária Para ilustrar o processo de conversão, considere o número decimal 10
Conversão Decimal-BinárioO Método das Divisões Sucessivas
O último quociente é o bit MSB (Most Significant Bit) O primeiro resto é o bit LSB (Least Significant Bit)
Conversão Decimal-Binário
Exercício: Converta o número 4710 para binário.
Resposta:
47 / 2 1 23 / 2 1 11 / 2 1 5 / 2 1 2 / 2 0 1
Logo, 4710 =1011112
Conversão Decimal-BinárioTarefa para casa: Converta os números a seguir para binário:a)2110
b)55210
c)71510
Conversão Binário Fracionário - Decimal
Até agora tratamos somente de números inteiros. E se o número for um binário fracionário, como o convertermos para decimal? Considere o número fracionário decimal 10,5, o qual pode ser decomposto como:
1x101 + 0x100 + 5x10-1 = 10,5 Para binários fracionários procede-se de forma semelhante.
Conversão Binário Fracionário - Decimal
Exemplo: Considere o número fracionário 101,1012. Converta-o para decimal.
1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 =
1x4 + 0x2 + 1x1 + 1x0,5 + 0x0,25 + 1x0,125 = 5,625
Conversão Binário Fracionário - Decimal
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para decimal:a)111,0012
b)100,110012
Conversão Decimal Fracionário - Binário
Um número decimal fracionário pode ser decomposto em uma parte inteira e um parte fracionária Exemplo: 8,375 = 8 + 0,375
Procedimento: Decompõe-se o número em parte inteira e fracionária Converte-se a parte inteira utilizando divisões sucessivas (já visto) Converte-se a parte fracionária utilizando multiplicações sucessivas
8 / 2 0 4 / 2 0 2 / 2 0 1 Logo, 810 =10002
0,375 x 2 0,750 x 2 1,500
0,500 x 2 1,000
Multiplicações Sucessivas
Logo, 0,37510 =0,0112
Assim, 10002 + 0,0112 =1000,0112
Conversão Decimal Fracionário - Binário
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para binário:a)3,38010
b)57,310
Sistema Octal de numeração
Trata-se de um sistema de base 8, contendo oito algarismos, a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 Logo, a representação da quantidade 810 = 108, isto é, análogo ao procedimento observado no sistema binário
DECIMAL OCTAL
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 10
9 11
10 12
11 13
Conversão Octal-Decimal
Exemplo: Converta 1438 para decimal. 1x82 + 4x81 + 3x80 = 1x64 + 4x8 + 3x1 = 99
Logo, 1438 = 9910
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para decimal:a)778
b)1008
c)4768
Conversão Decimal-Octal
É análoga à conversão decimal-binária, ou seja, utiliza-se o método de divisões sucessivas. Entretanto, agora a base é 8, isto é, as divisões são por 8.
Exemplo: Converta 9210 para octal.
92 / 8 4 11 / 8 3 / 1
Logo, 9210 = 1348
Conversão Decimal-Octal
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para octal:a)7410
b)51210
c)71910
Conversão Octal-Binário e Binário-Octal
OCTAL BINÁRIO
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
Esta conversão é direta se consideramos a tabela ao lado Exemplo: Converta 278 para binário
28 = 0102
78 = 1112
Logo, 278 = 0101112
Obs: A conversão da base 2N (4, 8, 16, 32...) para binário, e vice-versa, é direta
Exemplo: Converta 1100112 para octal
1102 = 68
0112 = 38
Logo, 0101112= 638
Conversão Octal-Binário e Binário-Octal
Tarefa para casa: 1) Converta os números a seguir para binário:a)348
b)5368
c)446758
2) Converta os números a seguir para octal:a)101112
b)110101012
c)10001100112
Sistema de Numeração Hexadecimal Trata-se de um sistema de base 16, contendo dezesseis algarismos, a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F Observe que a sequência de letras representam as quantidades 10, 11, 12, 13, 14 e 15, respectivamente. Logo, a representação da quantidade 1610 = 1016, isto é, análogo ao procedimento observado nos sistemas binário e octal O sistema hexadecimal é de extrema importância em sistemas digitais. É muito utilizado tanto em projeto de softwares quanto de hardwares digitais
DECIMAL HEXADECIMAL
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 A
11 B
12 C
13 D
14 E
15 F
Conversão Hexadecimal-Decimal
Exemplo: Converta 3F16 para decimal. 3x161 + Fx160 = 3x16 + 15x1 = 63
Logo, 3F16 = 6310
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para decimal:a)1C316
b)23A16
c)5FB916
Conversão Decimal-Hexadecimal
Exemplo: Converta 100010 para hexadecimal. 1000 / 16 8 62 / 16 14 3
ELogo, 100010 = 3E816
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para hexadecimal:a)13410
b)38410
c)256710
Conversão Hexadecimal-Binário e Binário-HexadecimalHEXADECIMAL BINÁRIO
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111
Esta conversão é direta se consideramos a tabela ao lado Exemplo: Converta C1316 para binário
c16 = 11002
116 = 00012
316 = 00112
Logo, C1316 = 1100 0001 00112
Exemplo: Converta 100110002 para hexadecimal
10012 = 916
10002 = 816
Logo, 100110002= 9816
Conversão Hexadecimal-Binário e Binário-Hexadecimal
Tarefa para casa: 1) Converta os números a seguir para binário:a)1ED16
b)6CF916
c)3A716
2) Converta os números a seguir para hexadecimal:a)11000112
b)110001111000111002
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