Componente Curricular: Estudos Lógico Matemático Unidade Didática 3: Derivadas de funções compostas e algumas aplicações de derivadas

Referencial de respostas

Atividade 1

1.1 Tem-se: ( )

1sec

cosx x

xh

2

sen cos0 cos -sen cos

cos

x xx x x

x

dh

dx 2cos

sentan

cos

x

xx

x

dh dh

dx dx

1.1 Encontrando a derivada primeira.

3 cossec cot 3cossec cotx x x x'y

Para determinarmos a derivada segunda, precisamos utilizar a propriedade do

produto de funções. Assim:

23 cossec cot cot cossec 3cossecx x x x x' 'y

2 2 33cossec cot 3cossecx x x' 'y

1.2 Reescrevendo a função, temos: ( )

sen

cosx

x

xh .

2 2

2 2 2

2

( )

( )

cos cos sen sen cos sen 1

cos coscos

sec

x

x

x x x x x x

x xx

x

'

'

h

h

1.3 Reescrevendo a função como um produto de termos:

( ) cos cos sen senx x x x xf

Derivando a expressão, aplicamos a propriedade do produto de funções:

( )

( )

( )

sen cos sen cos cos sen cos sen

2sen cos 2sen cos

0

x

x

x

x x x x x x x x

x x x x

'

'

'

f

f

f

Atividade 2

2.1

a)

2 3 2

2 2

( )

( )

6 115 sec sec tan 5 sec

4 3

3 15 sec 3 tan sec

2 3

x

x

x x x x

x x x

'

'

xf x x

xf x x

b)

1

2( )

( )

16 sen 3cos sec sec tan 3sen

2

16sen 3sec cos tan sen

2

'

'

g

g

c)

3

3

( )

( )

sec sec tan 6 2 0 5 sen

12sec 1 tan 5sen

p p

p

p

p

p p p p

p p p

'

'

f e e p

f ep

2.2 A inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um ponto é o valor da

derivada da função naquele ponto. Para a função ( ) tanx xf , a derivada é

2

( ) secx xf e, dessa forma, se a reta tangente tem inclinação igual a 4:

2sec 4 sec 4 sec 2x x x

1 1 12 cos cos

cos 2 2x x

xou

5

3 6x rad ou x rad

2.3 Reescrevendo a função: ( ) sec sec tan tanx x x x xf

Para derivar a função, aplica-se a propriedade do produto nos dois termos:

2 2

( ) sec tan sec sec tan sec sec tan sec tanx x x x x x x x x x x'f

2 2

( )

( )

2sec tan 2sec tan

0

x

x

x x x x'

'

f

f

A derivada está de acordo com a identidade trigonométrica, uma vez que esta pode

ser reescrita como 2 2sec tan 1x x , e a função ( )xf poderia ser escrita como

( ) 1xf , que é uma função constante cuja derivada é nula.

Atividade 3

3.1

a) Reescrevendo a função:

1 42

2( )

13 1 3 13

2xf x x

Derivando-se a função, temos:

1 32

2

32

( )

( )

1 13 3 4 1 3 6 0

2 2

312 1 3

2 3

x

x

'

'

f x x x

f x xx

b) Deve-se aplicar a propriedade do produto de funções, ficando atento às duas

funções compostas que estão se multiplicando:

5 4 3 6

2 2 2 2

( )

106 5 3 10 2 4 2 2 2 5 3

2' x

g

5 4 3 6

2 2 2 2

( ) 60 5 3 2 8 8 2 5 3 5'g x

c) Reescrevendo a função:

342 3

( ) 6 9 5 303

z

zh z z

Derivando a função, temos:

12 3

( )

46 2 9 3

3z

'h z z

41

53 3

z

412 3

234

( )

( )

30

86 9 5 30

3 3

8 96 30

35

3

z

z

'

'

z zh z

zh z

z

d) Reescrevendo a função:

1 19 9 33 2

1

2

( )

72 6 2 6 7 2 5

2 5pf p p p p p

p

Derivando:

28 93 3

( )

1 19 2 6 2 2 6 7

3 2p

'f p p p p3

22 5 2p

8 93

2 3

3 2

9

8 3

2 33

( )

( )

1 718 2 6 2 6

2 53

2 6 718 2 6

3 2 5

p

p

'

'

f p p p

pp

pf p p

p p

3.2

a. Pela regra da cadeia,

dy dy dx

dt dx dt .

Temos:

2 2 2 2

2 2 2

6 1 1 3 6 6 3 3 6

1 1 1

x x xdy x x x x x

dx x x x

Assim, a expressão da derivada é:

2

2

3 6

1

dy x x dx

dt dtx

3.3

A derivada é dada em função de dx

dt porque não se conhece a expressão da

função ( )tx f , apenas se sabe que a variável x é dada em função da variável

t.

Pela regra da cadeia, df df dw

dt dx dt. Encontrando-se a derivada

2

126

dfw

dw w podemos então escrever:

2

126

df dww

dt dtw.

Para os valores fornecidos no enunciado, temos:

2

126 2 4 12 3 4 9 4

2

36

df

dt

df

dt

3.2

Pela regra da cadeia, dg dg dx

dt dx dt onde:

1

2

dg

dx

223 2 3 4x 215x x .

Assim a derivada em relação à variável t é:

22 26 2 3 15

dg dxx x x

dt dt

Atividade 4

a) 5 2

( )

42 5 6

4 5

z

z'h e z

z

5 2

( )

410 5 6

4 5

z

z'h e z

z

b) 2 22

( ) 2 2cos 2 7 ln7 2 12 cos sen 2 6'f

22

( ) 2 22 cos 2 7 ln7 12 cos sen'f

c) 3 3 2 3 2

( ) 2 2 32

cossec cot 2 2 3 3 2 sec 3x x

x x x x'f e x x e

2 3 2

( ) 2 2 32

2cossec cot 6 1 3secx

x x x x'f x e x

d) 2( ) 2 2

3 1log 5sec tan 0

3 2p

x x'g ex

2( ) 2 2

1 5log sec tan

2p

x x'g ex

e)

2 2

2

22

( )

3 32

3

cos 2 sen5 cossec 2

x x

xx

x xx'

e ef

e

2

2

22

( )

3 32

3

cos 2sen10cossec

x

xx

x xx'

ef

e

2

2( )

3 32

3

cos 2sen10cossec

xx

x xx'f

e

Atividade 5

5.1)

a) 2

2

43

1 2 1

' xy

x

b) 2 2

1

124

1 3 8 1 32 2

' 'y yx x

c) 2

4

6, 3 1

9 1

' xy para x

x x

5.2)

a) Derivando-se o numerador e o denominador: ( ) ( )2 1x

x x' 'f e e g

Calculando o limite: 0 0

2 2 22

1lim lim

x x

x x

e e

x

b) Derivando-se o numerador e o denominador, temos o seguinte resultado:

2 2

( ) ( )3 1 3 3x x' 'f x e g x

Calculando o limite:

3 2

3 21 1

1 3 1 0

03 2 3 3lim limx x

x x

x x x.

Como a indeterminação ainda persiste, vamos derivar novamente as funções

do numerador e do denominador.

( ) ( )6 1 6x x' ' ' 'f x e g x

Calculando o limite:

3

31 1

1 6 1 00

6 13 2lim limx x

x x

xx x

c) Derivando-se o numerador e o denominador, obtemos como resultado:

2 3

( ) ( )3 6 20x x' 'f x x e g x .

Ao tentar fazermos o cálculo do limite, observamos que o numerador e o

denominador continuam convergindo para o infinito. Assim, vamos continuar

derivando as funções até que um deles não esteja mais convergindo ao infinito.

2

( ) ( )6 6 60x x' ' ' 'f x e g x e ( ) ( )6 120x x

' ' ' ' ' 'f e g x

Calculando o limite:

3 2

4 2

3 2 60

1205 7lim limx x

x x

xx x

d) Derivando-se o numerador e o denominador:

1 23 22

3( ) ( )

1 31 3 1

2 2 1p p

' 'pf p p e g

p.

Calculando o limite:

3 2 2

3 32 2

1 3 3 3 2 3

2 2 1 2 1 2lim limp p

p p

p p

4

2 32