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UD 3

ANÁLISE ESPACIAL

Conteúdo

• Introdução à análise espacial;

• Análises espaciais sobre dados matriciais;

• Análises espaciais sobre dados vetoriais.

Tem por objetivo mensurar propriedades e relacionamentos, levando em conta, de forma explícita, a localização espacial do fenômeno em estudo.

A finalidade é a identificação de um modelo inferencial que considere explicitamente os relacionamentos espaciais presentes no fenômeno.

Introdução à análise espacial

A estratégia de análise depende dos tipos de dados envolvidos na formulação do problema:

• Eventos ou padrões pontuais: fenômenos expressos como ocorrências de pontos localizados no espaço. Procede-se a análise da distribuição espacial dos pontos, testando hipóteses sobre o padrão observado (aleatório, em aglomerados ou regularmente distribuído).

• Superfícies contínuas: estimadas a partir de um conjunto de amostras medidas in loco, em intervalos regulares ou irregulares. O objetivo é reconstruir a superfície da qual se retirou e mediu as amostras a partir da estimação do modelo de dependência espacial que servirá de base para interpolar os demais valores que compõem a superfície.

• Áreas com contagens e taxas agregadas: dados originalmente pontuais, agregados em unidades de análise.


Dependência Espacial: Baseia-se na Primeira lei da Geografia: as distâncias observadas entre as ocorrências de objetos (ou fenômenos) interferem diretamente na relação entre eles.

Autocorrelação espacial: Expressão computacional da Dependência Espacial, mensura o relacionamento entre duas variáveis aleatórias. A preposição auto indica a medição da mesma variável aleatória em locais diferentes.

Inferência Estatística para Dados Espaciais: Dados independentes permitem inferências de melhor qualidade. Havendo dependência espacial, os dados devem ser tratados em um mesmo processo estocástico, onde todos os dados são avaliados em conjunto.


Efeito de 1ª ordem: valor esperado (média) do processo no espaço;

Efeito de 2ª ordem: covariância entre áreas si e sj;

Estacionariedade: em um processo estacionário, os efeitos de 1ª e 2ª ordem são constantes em toda a região estudada;

Isotropia: um processo isotrópico é um caso particular de processo estacionário em que a covariância depende somente da distância (e não da direção) entre os pontos.


Processo Pontual

• Conjunto de pontos distribuídos irregularmente no espaço;• O objetivo é compreender o mecanismo gerador da distribuição;• Divisão da região de estudos, A, em sub-regiões, S, de acordo com a probabilidade de ocorrência de um fenômeno.• O processo é modelado considerando as sub-regiões Si com os valores de esperança E[N(S)] – onde N(S) é o número de ocorrências em S – e a covariância C[N(Si), N(Sj)].

Introdução à análise espacial Modelos Inferenciais Espaciais

Variação Contínua

• Consideram um processo estocástico, de modo que os valores podem ser conhecidos em todos os pontos da região de estudo;

• Para estimar a superfície pode-se usar o procedimento de krigagem ou a simulação estocástica.

– A krigagem tem como objetivo compor a superfície empregando estimativas pontuais ótimas (minimizando funções dos erros inferenciais);

– A simulação estocástica visa reproduzir a variabilidade espacial da superfície empregando possíveis representações globais do modelo de função aleatória.


Variação Discreta

• Dizem respeito à distribuição de eventos cuja localização está associada a áreas delimitadas por polígonos;

• O objetivo é modelar o padrão de ocorrência espacial do fenômeno em estudo;

• Se o processo é estacionário, o valor esperado para a variável aleatória é a média dos valores que ocorrem na região e a estrutura de covariância depende unicamente da distância entre as áreas.


Sobre atributos alfanuméricos: novos atributos como resultados de operações

• Lógicas: união, interseção, negação e exclusão;

• Aritiméticas: soma, subtração, multiplicação, divisão exponenciação, radiciação, logaritmos;

• Trigonométricas: sen, cos, tan, suas inversas, e transformações graus-radianos;

• Estatísticas: média, desvio padrão, variância, moda, etc;

• Multivariadas: modelos de regressão multivariada, modelos físicos, probabilidade de pertinência a um conjunto, função de pertinência fuzzy, etc.

Introdução à análise espacial Classes de Operações

Sobre atributos espaciais

• Inclusão: contém ou está contido em;• Sobreposição: sobrepõe, cruza ou toca;• Vizinhança: à distância de ‘n’ metros, está ligado a (fisicamente ou funcionalmente);• Derivações de superfície: inclinação, é visível a partir de, direções preferenciais no terreno, etc.;

Introdução à análise espacial Classes de Operações

Análises espaciais sobre dados matriciais

• Fenômenos representados em grades regulares;

• Aquisição por sensores remotos ou pela interpolação de pontos distribuídos de forma irregular;• Algumas informações podem ter sido perdidas de acordo com o espaçamento da grade;• Krigagem: conjunto de técnicas de estimação e predição de superfícies baseada na modelagem da estrutura de correlação espacial. Parte-se da hipótese de que o processo estudado é estacionário;• Modelagem dinâmica: autômatos celulares;

Operações

• Álgebra de Mapas: operações algébricas envolvendo um ou mais atributos é aplicada a todas as células;• Operações pontuais: operações algébricas envolvendo um ou mais atributos é aplicada a apenas uma célula;• Operações espaciais

– Interpolação: reamostragem em diferentes resoluções;– Filtragem espacial: suavização e realce de bordas;– Derivações de superfície: primeira (inclinação e aspecto),

segunda (convexidades plana e de perfil) e terceira (filtros direcionais) ordens;

– Extração de topologia na superfície: rede de drenagem;– Avaliação de contiguidade (clumping): amostras com

características semelhantes são agrupadas;– Propagação não-linear: presença de resistência (friction) na

propagação dos fenômeno em função de distâncias ou direções;– Visibilidade (viewsheds);– Sombreamento (shading): técnicas de ray-tracing, reflexão difusa,

aspect-based;

http://www.ceremade.dauphine.fr/~peyre/numerical-tour/tours/introduction_3_image/index_07.png

http://www.fmwconcepts.com/imagemagick/fourier_transforms/images/lena_circle24n_edge.png

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0341816299000089

Shaded Reliefhttp://cartography.oregonstate.edu/pdf/2001_Jenny_Reliefshading.pdf

http://cartography.oregonstate.edu/pdf/2001_Jenny_Reliefshading.pdf

Processos Pontuais

• O tipo de dado nestes estudos consiste em uma série de coordenadas de pontos (p1, p2, ...) dos eventos de interesse dentro da área de estudo.• A área dos eventos não é uma medida válida apesar de em muitos casos ocuparem espaço. Mesmo na análise do padrão de distribuição de cidades estas são consideradas como um ponto no espaço do estudo.

• O objetivo da análise é determinar se os eventos observados exibem algum padrão sistemático, em oposição à uma distribuição aleatória.

Análises espaciais sobre dados vetoriais

Estimador de Intensidade (Kernel Estimation)

Definição de uma função bi-dimensional sobre os eventos considerados, compondo uma superfície cujo valor será proporcional à intensidade de amostras por unidade de área. Esta função realiza uma contagem de todos os pontos dentro de uma região de influência, ponderando-os pela distância de cada um à localização de interesse.

No caso univariado o estimador kernel para uma amostra aleatória X1, . . . , Xn retirada de uma distribuição com densidade comum f, pode ser definido como

n

i

i

h

XxK

nhhxf

1

1);(

Os parâmetros básicos para o kernel estimator são:

• um raio de influência (τ ≥ 0) que define a vizinhança do ponto a ser interpolado e controla o alisamento da superfície gerada: O raio de influência define a área centrada no ponto de estimação u que indica quantos eventos ui contribuem para a estimativa da função intensidade λ;

• uma função de estimação com propriedades de suavização do fenômeno. A função kernel K pode ser qualquer função de densidade de probabilidade (Gaussiana, Triangular, Retangular, etc.) desde que

• É comum usar funções de terceira ou quarta ordem, como

Nestes estimadores, h representa a distância entre a localização em quedesejamos calcular a função e o evento observado.

1)(

dhhK

A distribuição normal pondera os pontos dentro do círculo de forma que os pontos mais próximos tenham maior peso comparados com os mais afastados.

A função quártica pondera com maior peso os pontos mais próximos do que pontos distantes, mas o decrescimento é gradual.

A função triangular dá maior peso aos pontos próximos do que os pontos distantes dentro do círculo, mas o decréscimo é mais rápido.

A função exponencial negativa pondera os pontos próximos com peso muito mais intenso do que os pontos distantes.

A função uniforme pondera todos os pontos dentro do círculo igualmente.

Estimadores de Dependência Espacial

Método do Vizinho Mais Próximo

O método do vizinho mais próximo estima a função de distribuição cumulativa Ĝ(h) baseado nas distâncias h entre eventos em uma região de análise. Esta função pode ser estimada empiricamente:

n

huudhG ji )),((#)(

onde o valor normalizado acumulado para uma distância h corresponde à soma dos vizinhos mais próximos de cada evento cuja distância é menor ou igual a h, dividido pelo número de eventos na região.

Teste de Significância

A distribuição de eventos observados é comparada com distribuições teóricas ou simulações que representem a Completa Aleatoriedade Espacial (Complete Spatial Randomness – CSR): processo de Poisson homogêneo sobre a região estudada.

A estimação simulada para a distribuição G’(h) assumindo-se CSR é calculada como a média das simulações.

Para calcular a condição de aleatoriedade, calculam-se os envelopes de simulação superior e inferior, respectivamente, valores máximos e mínimos de Gi(h).

Observando o gráfico Ĝ(h) X G’(h), conclui-se que distribuições são aleatórias quando se aproximam de uma linha a 45º. Curvaturas acima dessa linha indicam agrupamentos enquanto curvaturas abaixo dessa linha indicam regularidade na distribuição espacial.

01)(2

wehG h

Função K

Embora o método do vizinho mais próximo forneça uma indicação inicial da distribuição espacial, ele considera apenas escalas pequenas. O método da função K é o mais indicado para se ter informação mais efetiva para o padrão espacial em escalas maiores.

Também denominada medida de momento de segunda ordem reduzido, a função K é definida, para o processo univariado, como

λK(h) = E(# eventos contidos a uma distância h de um evento arbitrário)

onde

# está associado ao número de eventos,

E() é o operador de estimativa, e

λ é a intensidade ou número médio de eventos por unidade de área, assumida constante na região.

n

i

n

jijh dIn

RhK

1 12

)()(ˆ

R é a área da região, n é o número de eventos observados, Ih(dij) é uma função indicatriz cujo valor é 1 se (dij) <= h e 0, em caso contrário.

hhK

hL )(ˆ

)(ˆ

A função auxiliar L permite fácil interpretação da distribuição espacial dos pontos:

a) atração espacial entre eventos ou agrupamentos para valores positivos, sendo o agrupamento mais forte em picos positivos;

b) repulsão espacial ou regularidade em pontos de valores negativos.

Processos Agrupados por Áreas

• São analisados eventos agregados por municípios, bairros ou setores censitários, onde não se dispõe da localização exata dos eventos, mas de um valor por área;• São indicadores úteis: contagens, proporções, médias e medianas;• Limita-se o uso de dados agrupados em SIG a operações de visualização, tirando conclusões intuitivas a partir das colorações atribuídas a cada polígono (mapas temáticos);• A hipótese mais comum é supor que área apresente uma distribuição de probabilidade distinta das demais, o chamado modelo espacial discreto.• O objetivo principal da análise é construir uma aproximação para a distribuição conjunta de variáveis aleatórias, estimando sua distribuição.


Análise exploratória: Visualização de Dados

O uso de diferentes pontos de corte da variável induz a visualização de diferentes aspectos. Os SIGs dispõem usualmente de três métodos de corte de variável: intervalos iguais, percentis e desvios padrões.

• Adotando intervalos iguais, os valores máximo e mínimo são divididos pelo número de classes;• O uso de percentis para definição de classes obriga a alocação dos polígonos em quantidades iguais pelas cores; isto pode mascarar diferenças significativas em valores extremos e dificultar a identificação de áreas críticas. • O uso de desvios padrões supõe que a distribuição da variável é apresentada em gradações de cores diferentes para valores acima e abaixo da média, faz a suposição da normalidade da distribuição da variável;


Análise exploratória: Matrizes de Proximidade Espacial

• também chamada matriz de vizinhança•Esta medida de proximidade pode ser calculada a partir de um dos seguintes critérios:

– wij = 1, se o centróide de Ai está a uma determinada distância de Aj; caso contrário wij = 0;

– wij = 1, se Ai compartilha um lado comum com Aj, caso contrário wij = 0;

– wij = lij/li, onde lij é o comprimento da fronteira entre Ai e Aj e li é o perímetro de Ai.

• Recomenda-se normalizar suas linhas, para que a soma dos pesos de cada linha seja igual a 1.


Análise exploratória: Média Móvel Espacial

• A fim de explorar a variação da tendência espacial dos dados, calcula-se a média dos valores dos vizinhos. Isto reduz a variabilidade espacial, pois a operação tende a produzir uma superfície com menor flutuação que os dados originais (explicita as tendências).

•A média móvel associada ao atributo zi, relativo à i-ésima área, pode ser calculada a partir dos elementos wij da matriz normalizada de proximidade espacial W(1), tomando-se simplesmente a média dos vizinhos:


Análise exploratória: Indicadores Globais de Autocorrelação Espacial

• A Auto-correlação espacial é a correlação de uma certa variável (atributo) z numa área i com os valores dessa mesma variável em áreas vizinhas.• Dada uma matriz de vizinhança normalizada, o índice global de Moran I é a expressão da autocorrelação considerando apenas o primeiro vizinho:

O índice de Moran nulo indica independência espacial, enquanto valores positivos indicam correlação direta e negativos, correlação inversa.


Análise exploratória: Indicadores Globais de Autocorrelação Espacial

• A hipótese implícita do cálculo do índice de Moran é a estacionariedade de primeira e segunda ordem, e o índice perde sua validade ao ser calculado para dados não estacionários (pois cada valor é comparado à média global);

• O teste C de Geary difere do teste I de Moran por utilizar a diferença entre os pares, enquanto que Moran utiliza a diferença entre cada ponto e a média global.


Análise exploratória: Variograma

• Consiste na demonstração gráfica da relação entre as distâncias entre as áreas em estudo, no eixo X, e a média dos desvios do atributo Z entre as áreas (dz), no eixo Y;

• A dependência espacial se evidencia quando maiores desvios são obtidos entre áreas mais afastadas;• Semelhança com teste de Geary;


Análise exploratória: Correlograma

• Consiste na demonstração gráfica da relação entre as distâncias utilizadas para a vizinhança e o respectivo coeficiente de auto-correlação espacial para cada distância;

• A dependência espacial se evidencia quando maiores correlações são obtidos entre áreas mais próximas e diminuem com a distância;

• Semelhança com teste de Moran;


Análise exploratória: Diagrama de Espalhamento de Moran

• Construído com base nos valores normalizados (valores de atributos subtraídos de sua média e divididos pelo desvio padrão);• É construindo um gráfico bidimensional de z (valores normalizados do atributo em uma área) por wz (média dos vizinhos, também normalizada);

• Os quadrantes podem ser interpretados como:– Q1 (valores positivos, médias positivas) e Q2 (valores negativos, médias

negativas): indicam pontos de associação espacial positiva, no sentido que uma localização possui vizinhos com valores semelhantes.

– Q3 (valores positivos, médias negativas) e Q4 (valores negativos, médias positivas): indicam pontos de associação espacial negativa, no sentido que uma localização possui vizinhos com valores distintos.


O diagrama de espalhamento de Moran também pode ser apresentado na forma de um mapa temático bidimensional, no qual cada polígono é apresentado indicando-se seu quadrante no diagrama de espalhamento: “Alto-Alto”, “Baixo-Baixo”, “Alto-Baixo” e “Baixo-Alto” indicando, respectivamente, os quadrantes Q1, Q2, Q3 e Q4.

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