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Instituto Nacional de Matem´ atica Pura e Aplicada PAPMEM Janeiro 2013 Matrizes Professor Elon Lima Exerc´ ıcios 1. Um n´ umero λ chama-se autovalor da matriz " a b c d # quando ´ e raiz da equa¸ c˜aodo2 o grau det " a - λ b c d - λ # = 0. Prove que se a matriz sim´ etrica " a b b c # admite o autovalor λ ent˜ ao λ ´ e um n´ umero real. 2. Use a matriz de Gram para obter uma express˜ ao para a ´area do triˆ angulo cujos lados medem a, b e c. Considere, em seguida, o caso particular em que a = b = c. 3. Uma matriz quadrada m =[a ij ] chama-se anti-sim´ etrica quando a ij = -a ji para todo i e todo j . Mostre que o determinante de uma matriz anti-sim´ etrica 3 × 3´ e igual a zero. Vale o mesmo para matrizes 2 × 2? 4. O posto de uma matriz ´ e o n´ umero m´ aximo de linhas que s˜ao linearmente inde- pendentes. Dˆ e exemplos de matrizes 3 × 3 com posto 0, posto 1, posto 2 e posto 3. Determine o posto da matriz 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada
PAPMEM Janeiro 2013
Matrizes
Professor Elon Lima
Exerccios
1. Um numero chama-se autovalor da matriz
[a b
c d
]
quando e raiz da equacao do 2o grau det
[a bc d
]= 0.
Prove que se a matriz simetrica
[a b
b c
]admite o autovalor entao e um numero
real.
2. Use a matriz de Gram para obter uma expressao para a area do triangulo cujos lados
medem a, b e c.
Considere, em seguida, o caso particular em que a = b = c.
3. Uma matriz quadrada m = [aij] chama-se anti-simetrica quando aij = aji paratodo i e todo j. Mostre que o determinante de uma matriz anti-simetrica 3 3 eigual a zero. Vale o mesmo para matrizes 2 2?
4. O posto de uma matriz e o numero maximo de linhas que sao linearmente inde-
pendentes. De exemplos de matrizes 3 3 com posto 0, posto 1, posto 2 e posto3.
Determine o posto da matriz
1 2 34 5 67 8 9
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Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada
PAPMEM Janeiro 2013
Matrizes
Professor Elon Lima
Solucoes
1. Se a matriz e simetrica, temos o trinomio
det
[a bb c
]= 2 (a + c) b2, cujo discriminante e = (a + c)2 + b2
portanto 0 e a equacao correspondente tem razes reais.
2. Representando os lados do triangulo pelos vetores u, v, u v, os comprimentos dosseus lados sao a = |u|, b = |v| e c = |u v|. Sua area A cumpre
A2 = 4det
[|u|2 < u, v >
< u, v > |v|2]
Levando em conta que |u v|2 = |u|2 + |U |2 2 < u,U > e portanto < u, v >=12(|u|2 + |U |2 |u V |)2 = 1
2(a2 + b2 c2), temos
4A2 = det
[a2 1
2(a2 + b2 c2)
12(a2 + b2 c2) b2
]= a2b2 1
4(a2 + b2 c2)2
Logo
A = 12
a2b2 1
4(a2 + b2 c2)2.
3. Uma matriz simetrica 3 3 tem a forma
0 a ba 0 cb c 0
, logo seu determinante, pelodesenvolvimento de Laplace via primeira coluna e igual a abcbac = 0. Para matrizes2 2, o resultado nao vale pois det
[0 1
1 0
]= 1.
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4. As matrizes
0 0 00 0 00 0 0
,1 0 00 0 0
0 0 0
,1 0 00 1 0
0 0 0
e1 0 00 1 0
0 0 1
tem respectivamentepostos 0, 1, 2 e 3.
O posto da matriz
1 2 34 5 67 8 9
e 2 pois suas duas primeiras linhas sao independentesmas a terceira e combunacao linear das duas primeiras. Mais explicitamente, se
chamarmos essas linhas de L1 L2 e L3, teremos L3 = 2L2 L1.
