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Geometria Plana – Prof. Sérgio Carvalho

Olá, Amigos!

Tudo bem com vocês?

É com imensa satisfação que lhes apresento este Minicurso, com o que lhes presenteio por estarem conosco, aqui no Olá Amigos!

Escolhi como tema destas aulas a Geometria, tal como é cobrada em provas da ESAF!

Fiz, há poucos dias, um estudo apurado acerca dos diversos assuntos que a ESAF cobra em seus concursos, e constatei que Geometria é o segundo tema mais exigido nas provas de Raciocínio Lógico!

Perde somente para Estruturas Lógicas! (E praticamente empata com Probabilidade).

Assim, como eu sei que muita gente tem em mente que Geometria é um assunto "espinhoso" e "muito difícil", resolvi enfrentar o desafio de lhes provar o contrário!

Provavelmente essa ideia de dificuldade venha lá dos tempos de colégio.

O que vou fazer nestas aulas é conduzi-los de uma forma diferente...

Na verdade, minhas aulas escritas não se parecem nem com aula: são como uma conversa. A gente vai conversando e, daqui a pouco, você já está entendendo tudo. (E pode até ficar impressionado com isso!)

Começaremos do zero absoluto! Estou supondo que você realmente não se lembra mais de nada, nadinha mesmo, de Geometria. Ok?

Portanto, o único pré-requisito para acompanhar este minicurso é este: querer aprender o assunto!

Então vamos lá?

# Começando do Zero!

Quando falamos em Geometria, seu cérebro o remete imediatamente à lembrança de figuras, como triângulo, quadrado, hexágono etc.

É verdade! Estas figuras também serão objeto do nosso estudo.

Antes de tratar delas, porém, há um conhecimento prévio que será exigido de nós!

Temos que ter guardados conosco, na memória de eterno prazo, os valores de seno, cosseno e tangente dos chamados ângulos notáveis: 30º, 45º e 60º.

Mas, professor, o nosso assunto não é Geometria? Por que vamos começar com lembranças trigonométricas?

Porque este mínimo conhecimento trigonométrico nos acompanhará, diversas vezes, no estudo da Geometria. Ok?

Assim, vou logo lhes ensinar o primeiro atalho mnemônico do nosso Curso!


Como é que é isso, professor?

Você começa fazendo uma tabelinha, colocando os ângulos notáveis (30º, 45º e 60º) na linha de cima, e sen, cos e tg na coluna da esquerda. Assim:

30º 45º 60º

sen

cos

tg

E agora vamos aprender um pequeno verso, que diz assim:

Um, dois, três...

três, dois, um...

Dois abaixo de todos

Raiz onde não tem um!

Se você repetir algumas vezes em voz alta este versinho acima, estou certo que vai memorizá-lo rapidamente!

Já memorizei, professor! E agora?

Agora vamos aprender a preencher a tabela, usando uma linha do verso de cada vez:

Um, dois, três...

(Você coloca esses algarismos nos espaços da primeira linha!)

30º 45º 60º

sen 1 2 3

cos

tg

três, dois, um...

(Você coloca esses algarismos nos espaços da segunda linha!)

30º 45º 60º

sen 1 2 3

cos 3 2 1

tg


Dois abaixo de todos

(Você coloca o algarismo 2 como denominador de todos os que já estão aí!)

30º 45º 60º

sen 1

2

2

2

3

2

cos 3

2

2

2

1

2

tg

Raiz onde não tem um!

(Você coloca a raiz quadrada em todos os numeradores que não são 1)

30º 45º 60º

sen 1

2

2

2

3

2

cos 3

2

2

2

1

2

tg

Olha aí que beleza!

Com isso, preenchemos as duas primeiras linhas da tabela, com os valores de seno e cosseno dos ângulos notáveis.

Mas falta a terceira linha, professor?

Ora, a terceira linha é a da tangente!

É bem possível que você ainda se lembre de que a tangente de um ângulo é a divisão entre seno e cosseno deste mesmo ângulo! Lembrava-se disso?

Assim, para construir a terceira linha, basta dividir o primeiro pelo segundo valor de cada coluna!

Para a primeira coluna, teremos:

��30� � ��

�√��

� �� . �√� � �

√�

Vocês sabem que não é usual deixar um denominador com sinal de raiz. Assim, para que ele desapareça, nós racionalizamos.

De que jeito, professor?


Multiplicando o denominador por ele mesmo! Assim, ficaremos com o quadrado de uma raiz quadrada, e o sinal de raiz desaparece!

Obviamente que, se vamos multiplicar o denominador por um fator qualquer, devemos repetir isso com o numerador: multiplicá-lo pelo mesmíssimo fator!

Assim, multiplicando todo mundo por √3, teremos:

�� 1√3.√3√3 � √��

Ficamos assim:

30º 45º 60º

sen 1

2

2

2

3

2

cos 3

2

2

2

1

2

tg 3

3

Na coluna do meio, do ângulo de 45º, não há o que ser feito! Já que os valores de sen e cos de 45º são iguais, dividindo um pelo outro, o resultado é 1.

Vejam na tabela:

30º 45º 60º

sen 1

2

2

2

3

2

cos 3

2

2

2

1

2

tg 3

3

1

Finalmente, para a terceira e última coluna, a do ângulo de 60º, fazendo a divisão, teremos:

�� !60�cos 60� �

√3212� √32 . 21 � √�


Vocês viram que as duas primeiras linhas da tabela, linhas do seno e do cosseno, são rapidamente preenchidas pelo verso!

Já a terceira, convém mesmo é você memorizar! Concorda? Na tangente de 45º (coluna do meio) é só colocar o 1, já que seno e cosseno de 45º são iguais.

E aí ficam só dois espaços restando! É fácil decorar! Não lhes parece? Ambos têm a raiz de 3, mas a primeira coluna tem também o denominador 3.

Só isso!

E eis a nossa tabela completinha:

30º 45º 60º

sen 1

2

2

2

3

2

cos 3

2

2

2

1

2

tg 3

3

1 3

E se na hora da prova eu não soubesse esta tabela, professor, teria dificuldades com a questão de Geometria?

É quase certo que sim!

Nesse nosso estudo da Geometria, mais adiante, voltaremos a falar (só um pouquinho mais!) sobre trigonometria, ok?

Por ora, começaremos a conversar sobre a figura que é campeã de ibope nas provas da Esaf: o triângulo!

# Triângulos:

Que o triângulo é um polígono de 3 lados, todo mundo sabe!

Talvez a principal informação acerca desta figura, e que é uma lei, válida para todo e qualquer triângulo que seja traçado, é a seguinte:

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.

Ora, o triângulo tem 3 lados e, portanto, 3 vértices! Daí, se tem 3 vértices, tem 3 ângulos internos! Somando-os, o resultado será sempre 180º. Ok?

Guarde isso!


E esses lados do triângulo podem ser todos iguais (de mesmo tamanho), ou apenas dois deles serem iguais, ou todos eles serem de tamanho diferentes.

É imprescindível conhecer esta nomenclatura:

# Triângulo Equilátero:

Se os 3 lados do triângulo são iguais, ele será dito Triângulo Equilátero!

(Esse tracinho vermelho que coloquei em cada lado do triângulo indica exatamente isso: que os lados são todos iguais)!

Falemos sobre o triângulo equilátero!

A principal - e inesquecível - característica de um triângulo equilátero, é que seus 3 ângulos internos são iguais! Vejam:

É uma informação até visual, concordam?

Daí, se a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º, concluiremos que cada ângulo do triângulo equilátero é igual a 60º. Confere? Vejam:

Soma do ângulos internos = α + α + α = 180º

3 α = 180º

α = (180º / 3)

α = 60º

Daí, que tal tentar descobrir como se calcula a altura (h) de um triângulo equilátero?

Vejamos no desenho:

h L

α

α α

α α


Chamamos altura de h e o lado de L.

Vocês concordam que a reta da altura divide o lado de baixo do triângulo em duas partes iguais, (L/2) e (L/2)? Sim? Claro que sim! Ótimo!

Quanto vale aquele ângulo α? Vale 60º, já sabemos disso!

Agora reparem somente neste triângulo que destaco no desenho abaixo:

L h L

L/2 L/2

Facilmente vemos que se trata de um triângulo retângulo, concordam?

Até concordaria, professor, se eu me lembrasse do que é um triângulo retângulo...

Ora, triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo de 90º (noventa graus), o chamado ângulo reto!

No desenho, o ângulo reto costuma vir indicado por um quadradinho no encontro dos lados que o formam. Vejam:

h L

L/2

Pois bem! Estamos diante de um triângulo retângulo, e lá se vem de novo a boa e velha trigonometria!

Você se lembra que os dois lados menores do triângulo chamam-se catetos, e que o lado maior é a hipotenusa, não é mesmo?

Tomando por base o vértice daquele ângulo de 60º, o cateto oposto a ele é a altura h, a hipotenusa é o lado L, e o cateto que não é o oposto, chamado cateto adjacente, é, neste caso, (L/2).

Ora, o triângulo retângulo e a trigonometria comunicam-se nas chamadas relações trigonométricas do triângulo retângulo!

Repetimos esse estudo tantas e tantas vezes em nossa vida estudantil, que é bem possível que você se recorde de que, em um triângulo retângulo:

α α

60º


- O seno do ângulo α é a medida do cateto oposto, dividido pela medida da hipotenusa!

'()* � +,�(��-�'��./-��()0',

- O cosseno do ângulo α é a medida do cateto adjacente, dividido pela medida da hipotenusa!

+�'* � +,�(��,12,+()�(./-��()0',

- A tangente do ângulo α é a medida do cateto oposto, dividido pela medida do cateto adjacente!

��* � +,�(��-�'��+,�(��,12,+()�(

Contemos toda a história novamente!

Tínhamos conosco um triângulo equilátero:

L L

L

Traçamos a linha que representa a altura h deste triângulo:

L h L

L

Colocamos um novo triângulo em destaque:

h L

L/2

E aqui está ele:

α

α α

α α

α α


h L

L/2

Como faremos agora para descobrir a altura h deste triângulo acima (que é exatamente a altura do triângulo equilátero), usando um pouquinho de trigonometria, e este ângulo de 60º como base?

Ora, tomando por base este ângulo de 60º, conhecemos o seu cateto oposto (h) e a hipotenusa (L).

E vem a pergunta: qual é a função trigonométrica que envolve, ao mesmo tempo, cateto oposto e hipotenusa?

É o seno, professor!

Exatamente! Temos que: 3456 � 78949::;:39:<=;:945>38

Assim, aplicando esta relação ao nosso desenho, teremos que:

h L

L/2

E quanto é mesmo o seno de 60º? Já sabemos! sen 60º = √��

Daí, teremos: √�� ?

@ E, finalmente: . � A.√�B

Professor, por que eu me interessaria em saber calcular a altura do triângulo equilátero?

Por uma razão muito simples: é preciso conhecer a altura, para se poder calcular a área de um triângulo!

60º

� !60� � CD

60º


Assim, sem delongas, comecemos a falar na área do triângulo. Ok?

Vejam a figura abaixo:

É um retângulo, confere?

Mas, professor, não estamos falando de triângulos?

Calma! A intenção foi apenas fazer você relembrar que, se traçarmos uma diagonal em um retângulo, criaremos imediatamente dois triângulos. Veja:

A diagonal:

Os 2 triângulos:

Ora, assim ficou facílimo de concluir que a área de um triângulo é a metade da área de um retângulo!

E o retângulo é a figura geométrica de área mais fácil de ser calculada...

Área do Retângulo = Base x Altura

Daí, meus amigos, encontraremos aqui a forma básica de se calcular a área de um triângulo! Teremos:

ÁE48F:GE=â5H>I: � J834KLI9>E8B

Voltemos ao nosso assunto: estamos falando no Triângulo Equilátero!

Vejam novamente o seu desenho:

L h L

L

α α


Queremos agora descobrir como se calcula a área do Triângulo Equilátero, ok?

A altura dele nós já sabemos quem é: . � A.√�B

E a base deste triângulo? Quem é a base?

Não seria o próprio lado L, professor?

Exatamente!

Assim, aplicando a fórmula básica para cálculo da área de um triângulo, teremos:

Área � basexaltura2 � LxL√322 � L�. √34

Guardemos isso: ÁE48F:GE=â5H>I:YZ>=Iá94E: � \B√�]

E vamos em frente!

Aproveito o ensejo, já que falamos há pouco sobre triângulo retângulo, para citar aqui o mais famoso teorema de toda a Geometria: o Teorema de Pitágoras!

Ah, professor! Aí é covardia! Desse todo mundo se lembra!

Que bom! O Teorema de Pitágoras, aplicável somente aos triângulos retângulos, diz assim:

O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos!

Vejam:

Por Pitágoras, temos que: a2 = b2 + c2

Frisando novamente: Pitágoras só se aplica a triângulos retângulos!

Professor, aquele triângulo que usamos lá em cima para descobrir a altura do triângulo equilátero era um triângulo retângulo...! Dá para aplicar Pitágoras nele

também?

Vamos tentar?

c

A

C B

b

a


Vejamos novamente aquele triângulo:

h L

L/2

Por Pitágoras, diremos que: L2 = h2 + (L/2)2

Se desenvolvermos esta equação, teremos:

D� � C� ^ _D�4 ` � 4. C� ^ D�4

Daí, multiplicando em cruz: 4. D� � 4. C� ^ D�

Isolando h2, teremos: C� � �.@�a

E finalmente: < � b�.@�a � √�.@�

√a � \.√�B

Mesmíssimo resultado ao qual havíamos chegado lá na página 9.

Isto serve para mostrar, meus amigos, que a Geometria é cheia de caminhos alternativos! Há quase sempre mais de uma maneira de você conseguir solucionar um problema!

Às vezes, basta só um pouco de paciência e criatividade!

Em frente!

Neste momento, convém conhecermos um conceito também muito importante, e já algumas vezes cobrado em questões de prova. Estou falando da Bissetriz!

Bissetriz nada mais é que uma reta (ou segmento de reta, como preferem os autores) que divide um ângulo em duas partes iguais!

Vejam:

60º


Assim, fica claro que Bissetriz é conceito relativo a ângulo! Nunca se dirá "bissetriz de um triângulo", ou "bissetriz de um polígono"... Não! Bissetriz do ângulo tal, e apenas isso, ok?

Você já sabe que um triângulo possui 3 lados e, portanto, 3 vértices. Logo, são também 3 os seus ângulos internos, e são 3 as bissetrizes internas presentes em um triângulo.

Ocorre que essas 3 bissetrizes vão se tocar em um único ponto!

Vejam:

Chamamos este ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo de incentro.

Convém guardar este nome!

E mais importante ainda que guardar o nome, será lembrar-se que o incentro corresponde ao centro de um círculo inscrito no triângulo.

Vejam:

Por enquanto, apenas guardem esta informação, ok? Mais adiante, quando formos falar de círculos inscritos e circunscritos em triângulos e em quadrados, retomaremos este conceito (de incentro)!

A

B C D


Ah! Quase ia esquecendo! Existe uma relação importante que também decorre do conceito de Bissetriz! Trata-se de uma relação de proporcionalidade, a qual chamaremos de Teorema da Bissetriz Interna! Vejamos:

JcLJ � dc

Ld

Eventualmente, podemos precisar desta informação! Vamos guardá-la bem!

E já que falamos na Bissetriz, talvez seja mesmo o momento oportuno para conhecermos também os conceitos de Mediana e Baricentro, e de Mediatriz e Circuncentro!

Vamos lá!

A Mediana é o segmento de reta que parte de um vértice do triângulo, e segue até o ponto que divide o lado oposto do triângulo em duas partes iguais (em duas metades)!

Vejam no desenho abaixo a Mediana que parte do vértice A:

Reparem que o lado oposto ao vértice A ficou dividido exatamente ao meio, pois esse é o papel da Mediana! Agora tracemos as 3 Medianas deste triângulo:

A

C B S

A

B

C A


Este ponto de encontro das 3 Medianas é o que chamamos de Baricentro!

E há uma informação muito interessante e útil acerca do Baricentro: ele divide cada Mediana em duas partes, de modo que, em cada Mediana, a parte maior é o dobro da menor!

Como é que é, professor?

Vejam no desenho, para entender melhor:

Agora todo mundo enxergou, não foi?

Então, vejamos: já falamos sobre bissetrizes e incentro, já falamos sobre medianas e baricentro!

Falta falar ainda sobre Mediatrizes e Circuncentro! Vamos fazer isso agora!

Mediatriz é uma reta perpendicular ao lado, passando pelo ponto médio deste lado!

No desenho, você entenderá melhor!

Vejamos:

B

C A

y

2y

B

C A

x

2x

B

C A

z

2z


Vejam que a Mediatriz não tem nada a ver com ângulo! Ela é simplesmente uma reta que passa pelo ponto médio de um lado, formando com este um ângulo reto! Traçando as 3 Mediatrizes no desenho, teremos:

Este ponto de encontro das Mediatrizes é chamado, por sua vez, de Circuncentro. Convém saber também que o circuncentro é o centro do círculo circunscrito ao triângulo! Vejamos isso no desenho abaixo:

A


Convém memorizar bem todos estes conceitos, Ok? E não esqueçam de relacionar o nome da reta com o ponto de encontro! Ou seja, guardem bem que Incentro é o encontro das Bissetrizes; que Baricentro é o encontro das Medianas; e que Circuncentro é o encontro das Mediatrizes!

Já falou tudo, professor?

Ainda não! Esqueci de falar sobre a altura relativa a cada lado do triângulo, e sobre o ponto de encontro destas alturas!

O conceito de altura é por demais intuitivo!

Altura é a reta (ou segmento de reta, como preferem os autores) que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto.

Vejam que, nos exemplos abaixo, o segmento BH é a altura relativa ao vértice B.

Traçando as alturas relativas aos 3 lados de um triângulo, teremos que o ponto de encontro delas será chamado de ortocentro!

Vejamos no desenho abaixo:

Apenas com esses conceitos de bissetriz (e incentro), de mediana (e baricentro), de mediatriz (e circuncentro), e de alturas (e ortocentro), a ESAF já seria capaz de criar questões de prova!

Se ainda não o fez, creiam-me, é só uma questão de tempo!

Vamos ver, na sequência, dois exercícios sobre isso, Ok?

Exercício 1: Calcule o ângulo x na figura abaixo, sabendo que BH e BI são, respectivamente, a altura e a bissetriz relativas ao vértice B do triângulo ABC.

A

B

C H

altura

A

B

C H

altura


Sol.: Vamos lá! Comecemos observando com mais calma o triângulo ABH. Um de seus lados é a altura do triângulo maior (ABC), de sorte que o ângulo reto (90o) está lá, no encontro de dois de seus lados, concordam?

Vejam no desenho:

Daí, lembrando que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180o, calcularemos o ângulo ainda desconhecido, o ângulo efgh:

Teremos: 180o - 54o - 90o = 36o

E nosso novo desenho agora é o seguinte:

Agora vamos passar a enxergar o triângulo maior, o ABC. Olhemos para o vértice de cima, o B.

Já sabemos quanto valem os ângulos dos vértices A (54o) e C (30o).

Assim, para que a soma dos ângulos internos deste triângulo maior seja igual a 180o, é preciso que o ângulo efgi seja de 96o.

Por que mesmo, professor?

Ora, basta fazer a conta: 180º – 54o – 30o = 96o

B

C A H I

x

54º 30º

B

C A H I

x

54º 30º

B

C A H I

x

54º 30º

36º b


Daí, apenas olhando para este ângulo de cima (o ângulo efgi), concluímos rapidamente o seguinte:

36º + x + b = 96º

Assim:

x + b = 96º – 36º

x + b = 60º

Deixemos esta primeira equação acima guardada para daqui a pouco!

Trabalharemos agora com a informação da bissetriz!

Vejamos o desenho abaixo, que irá nos dizer tudo o que é preciso saber:

Viram?

A bissetriz, conforme já sabemos, divide o ângulo do vértice de onde ela parte em duas metades!

Assim, podemos afirmar que:

36º + x = b

O valor de b, nesta 2ª equação, será lançado naquela anterior, que estava guardada esperando.

E teremos:

x + (36º + x) = 60º

2x = 60º – 36º

2x = 24º

x = 12º (Resposta!)

Um bom exercício, não acharam?

Vamos para mais um!

B

C A H I

x

54º 30º

36º b


Exercício 2: O triângulo ABC da figura abaixo tem perímetro igual a 35 cm. O segmento AP é a bissetriz de Â e as medidas dos segmentos AB e PB são, respectivamente, 12 cm e 9 cm. Calcule a medida do segmento AC.

Sol.: Vamos lá! Comecemos atribuindo nomes aos bois: chamaremos de x a medida do segmento AC e chamaremos de y a medida do segmento CP.

Vejamos:

O enunciado nos disse que o perímetro (a soma dos lados!) do triângulo maior é 35. Assim, somando os seus lados, teremos que:

Perímetro = x + y + 12 + 9 = 35.

Daí: x + y = 14.

Se quisermos isolar y, teremos que: y=14-x

Isso fica guardado para já já!

Agora, volte a olhar para o nosso desenho:

E agora precisamos relembrar o Teorema da Bissetriz Interna, do qual falamos lá da página 13. Você quer ir lá de novo, dar uma olhada?

Aplicando o dito Teorema, teremos que: j/l � mB/n

Assim, substituindo nesta equação o valor de y que já havíamos encontrado, teremos:

o/p14 q or � 12/9 � 4/3

12

9

A

B C P

12

9

A

B C P

x

y

12

9

A

B C P

x

y


Donde:

o ∙ 3 � p14 q or ∙ 4 7o � 56 j � w (Resposta!)

E aí? Tudo certinho?

Repito que estes dois exercícios que acabamos de resolver não são da lavra da ESAF, mas podem vir a ser muitíssimo em breve!

Ademais, tudo o que aprendermos agora poderá nos servir de subsídio para encontrarmos caminhos de solução para questões das próximas provas que vamos enfrentar! Concordam?

E vamos em frente!

# Triângulo Isósceles:

Se apenas 2 lados do triângulo são iguais, ele será dito Triângulo Isósceles!

Vejam:

α α

Fica fácil de ver pelo desenho acima que, no triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais! Ou, como preferem os autores, são congruentes!

Esta é talvez a informação crucial acerca deste tipo de triângulo.

Agora vem nova pergunta para vocês: o que é possível descobrir acerca de um triângulo retângulo que apresenta também um ângulo de 45o?

Vamos pensar juntos? Se este triângulo é retângulo, já sei que um de seus ângulos é 90o. E se há outro ângulo nele que é de 45o, então seu desenho poderia ser assim:

45o α


E agora, professor?

Agora, nos lembramos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, certo?

Assim, se você já conhece os valores de dois dos ângulos internos, saberá imediatamente quanto vale o terceiro.

Faremos: 90o + 45o + α = 180o

Daí: α = 180o - 135o

E: α = 45o

Vocês estão reparando, portanto, que esses dois ângulos da base são iguais?

Sim?

Conclusão que tiramos:

- Se um triângulo é retângulo, e possui também um ângulo de 45o, então o terceiro ângulo será também de 45o, e estamos diante de um triângulo isósceles!

Vamos ver questões da ESAF?

01. (ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, A+X e A+Y, onde A, X e Y são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede A+X é igual a 45º, segue-se que:

a) Y = -2 X b) Y = (31/2)/2 X c) Y = 31/2 X d) Y = X

e) Y = 2 X

Sol.: A leitura da questão nos revela, já na primeira linha, que estamos trabalhando com um triângulo retângulo. E no final do enunciado, diz que um dos outros ângulos deste triângulo é de 45o.

Já vimos isso antes?...

Vamos ao desenho da questão:

Ora, já matamos toda a charada!

O ângulo α é também um ângulo de 45o e estamos diante de um triângulo isósceles!

45o α

A+X A+Y


Daí, os catetos são iguais.

Teremos: A+X=A+Y

E: X = Y (Resposta: Letra D)

Professor, mas que questão mais fácil!

É o que eu sempre digo: nem só de questões difíceis se faz uma prova de concurso!

Também tem as dificílimas e as impossíveis!

Próxima!

02. (ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, x e (y-2). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede x é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a

a) 2y (x + 1) b) y (2 + 2 2 ) c) x (2 + 2 ) d) 2 (x + y) e) x2 + y2

Sol.: Novamente o enunciado começa dizendo que estamos trabalhando com um triângulo retângulo! A novidade dessa vez foi que o elaborador encontrou uma forma elegante de afirmar que há também neste triângulo um ângulo de 45o. Ele disse que a tangente trigonométrica do ângulo (...) é igual a 1.

Ora, só existe um ângulo cuja tangente é igual a 1?

Qual é ele? Isso mesmo: 45o.

Assim, mais uma vez, sem maiores dificuldades, matamos novamente a charada!

Vamos ao desenho da questão:

Já sabemos, pois, que se trata de um triângulo isósceles, de sorte que os catetos são exatamente iguais: X=Y-2. Podemos chamá-los apenas de x, concordam?

Mas a questão quer descobrir o perímetro do triângulo!

45o α

x y-2

c


Este conceito já havia aparecido em nossa aula, e decerto que está ainda na lembrança de todos nós.

Perímetro é simplesmente a soma dos lados do polígono.

Os dois catetos do triângulo medem, ambos, x. Resta-nos, pois, descobrir o valor da hipotenusa, que está chamada de c no desenho.

Ora, sempre que estivermos diante de um triângulo retângulo, lembraremos imediatamente do nosso velho amigo Pitágoras! Por ele, é sempre possível descobrir o lado desconhecido de um triângulo retângulo, desde que conheçamos os outros dois lados.

Teremos: c2 = x2 + x2

Daí: c2 = 2.x2

Finalmente: c=x.√B

Somando os lados do triângulo, a fim de encontrar seu perímetro, teremos:

Perímetro = x + x + x.√B = 2x + x.√B = x.(2+ √B) (Reposta: Letra C)

Vamos para mais uma!

03. (ESAF) Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma com a hipotenusa um ângulo de 45º. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, então a soma das medidas dos catetos é igual a:

a) 8 cm2 b)16 cm c)4 cm d) 16 cm2 e) 8 cm

Sol.: Neste enunciado, há revelação expressa de que o triângulo com que trabalharemos é retângulo, e de que existe também um outro ângulo de 45o.

Não há segredo: estamos diante de um triângulo isósceles! Concordam?

Passemos ao desenho:

45o α

x x

c

L L

45o 45o

c


Pelo teorema de Pitágoras, calcularemos a hipotenusa c. Inclusive já fizemos isso na resolução anterior. Lembrados? Aqui estou chamando os lados iguais de L.

Teremos: c2 = L2 + L2

Daí: c2 = 2.L2

Finalmente: c=L√B

E o que há de novidade nesta questão, professor?

A novidade é que ela vem nos falar em área do triângulo! E nós, lá atrás, aprendemos a forma básica de se calcular esta área! Foi ou não foi?

Foi sim! Vimos que: Área do Triângulo = (base x altura)/2

Acabamos de calcular a base deste triângulo, que é a própria hipotenusa (L√B).

Falta descobrir a altura do triângulo. Vejam:

(L√B)/2 (L√B)/2

Vamos fazer um truque?

Dá para descobrir a altura h sem fazer nem uma conta sequer! Vamos nos concentrar só no triângulo em destaque abaixo:

(L√B)/2 (L√B)/2

Olha ele aí de novo:

(L√B)/2

L L

45o 45o

h

L L

45o 45o

h

L h

45o


Estão todos enxergando que temos aí um triângulo retângulo, que contém ainda um ângulo de 45o?

Ótimo! Estamos diante de outro triângulo isósceles!

Assim, a altura h, que é um dos catetos, será igual ao outro cateto, cujo valor já é nosso conhecido.

Daí: h=(L√B)/2

Voltemos ao triângulo inteiro agora:

(L√B)

Calculando a área deste triângulo, teremos:

Áx y � zy� oy{�|xy2 � D√2. D√222 � }D√2~�

4 � 2. D�4 � D�

2

A questão falou que a área é igual a 8 cm2. Daí, teremos:

D�2 � 8 ∴ D� � 16 ∴ D � 4��

E a soma das medidas dos catetos será 4+4 = 8 cm (Resposta: Letra E)

Estão acompanhando direitinho? Vamos adiante? Próxima questão!

04. (ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente

a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m.

L L

45o 45o

√B


Sol.: Após a leitura de uma questão de Geometria, é sempre conveniente fazer o desenho da figura sugerida pelo enunciado, para, dessa forma, conseguir raciocinar com mais facilidade.

O enunciado nos fala expressamente em um triângulo isósceles, e estabelece uma relação entre a base a altura dele. É dito que a base é menor que a altura em 2 metros. Se chamarmos a altura de h, a base será, portanto, h-2. Metade da base, consequentemente, será (h-2)/2.

Vejamos:

Caso o amigo se aventurasse a fazer cálculos com este desenho acima, seguramente iria desestimular-se em pouco tempo...

Por quê, professor?

Porque cada metade da base ficou expressa em termos de uma fração, e isso complica deveras no desenvolvimento algébrico da resolução!

Melhor então seria tentar algo diferente! Que tal se chamarmos a altura de 2k? Fazendo isso, teremos que a base será dada por (2k-2), e cada metade da base agora deixará de ser uma fração, e passará a ser apenas (k-1).

Perceberam? Nosso desenho, portanto, será:

Trabalharemos com a metade do triângulo isósceles acima, Ok?

Qual metade, professor?

Qualquer uma! São ambas idênticas!

α α

h

pC q 2r2

pC q 2r2

α α

2k

(k-1) (k-1)

L L

(2k-2)


Teremos:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, teremos que:

D� � p2�r� ^ p� q 1r�

Desenvolvendo esta equação, teremos:

D� � 4. �� ^ �� q 2� ^ 1 ∴ D� � 5. �� q 2� ^ 1

Agora vamos dar uma paradinha aí, para olhar uma outra informação trazida pelo enunciado, acerca do perímetro do triângulo!

Foi dito que o perímetro é igual a 36.

Olhando para o desenho acima, e fazendo a soma dos lados, teremos:

L + L + (2k-2) = 36 ∴ 2L + 2k = 38

Dividindo os dois lados da equação por 2, teremos que: L+K=19

E: L=19-k

Substituindo este resultado no desenvolvimento de Pitágoras que fazíamos lá em cima, teremos:

D� � 5. �� q 2� ^ 1

p19 q �r� � 5. �� q 2� ^ 1 ∴ 361 q 38� ^�� 5. �� q 2� ^ 1 ∴ 4�� ^ 9� q 90 � 0 Chegamos aqui a uma equação do segundo grau, cujas raízes são K=-10 e k=6.

L

K-1

2K

α α

2k

(k-1) (k-1)

L L


Obviamente que, na geometria, desprezamos resultados negativos, haja vista que não há comprimento de reta menor que zero!

Assim, concluímos que k=6.

Logo, a altura deste triângulo será 2k=12 e a base 2k-2=10 (Resposta: B)

Professor, será que não dava para fazer essa questão aí por tentativa, com base nas alternativas de resposta?

Claro que sim!

E olha que você encontrará a resposta até bem mais rapidamente, viu?

Vamos fazer o teste da alternativa A: altura=8 e base=10.

O desenho seria:

Ôôôôôôôôpaaaa, professor!

Não tem alguma coisa errada aí com essa alternativa, não?

Puxa! Pensei que você não fosse reparar...

Claro que tem! O enunciado disse que a base é menor que a altura! E nesse desenho aí de cima, ocorre o contrário!

Pelo que disse a questão, jamais a altura poderia ser 8 e a base ser 10.

Enxergaram aí?

Com isso, a alternativa A já está sumariamente descartada!

Testando agora a alternativa B: altura=12 e base=10.

α α

8

(5) (5)

L L

α α

12

(5) (5)

L L


Tomando a metade do desenho acima (qualquer metade!), e aplicando Pitágoras, descobriremos o tamanho do lado L.

Teremos: L2=122+52 ∴ L2=144+25 ∴ L=√m�n ∴ L=13

Daí, o perímetro será igual a: 13+13+10=36

Exatamente como disse o enunciado!

Logo, alternativa B, resposta da questão!

(Bem melhor assim, não foi? Portanto, na hora da prova, concentração é a palavra de ordem! Se você estiver bem concentrado, vai conseguir ver soluções alternativas e caminhos de atalho maravilhosos! E como o tempo das provas é muito reduzido, levará imensa vantagem quem conseguir permanecer calmo e concentrado!)

Passemos à próxima questão, que vai nos falar em Bissetrizes!

05. (ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 60°. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede: a) 45° b) 60° c) 90° d) 120° e) 150°

Sol.: Vejam que o enunciado nos fala de um triângulo que possui um dos ângulos internos medindo 60o.

Vamos resolver essa questão de duas formas: uma solução genérica e uma específica. Ok?

De início, desenhemos nosso triângulo, anotando nele, como valor conhecido, apenas o ângulo de 60o, que a leitura nos revelou.

Fazendo isso, teremos:

Não há nenhuma dificuldade em constatar que a soma destes 3 ângulos deve ser igual a 180o, concordam?

60º

� * B C

A


Assim, teremos: � + � +60o = 180o.

Daí, diremos que: * + � = 120o

Agora, tracemos as bissetrizes dos ângulos � e �, como manda o enunciado.

Este conceito de bissetriz apareceu aqui em nosso Curso, lá na página 12. Lembrados?

Bissetriz nada mais é que uma reta (ou segmento de reta, como preferem os autores) que divide um ângulo em duas partes iguais!

Teremos:

Este ângulo x é o maior ângulo formado pelas bissetrizes, concordam? Esta constatação é meramente visual. E é exatamente este x que a questão nos pede!

Se somarmos estes 3 novos ângulos que surgiram no novo desenho, teremos que o resultado da soma terá novamente que ser igual a 180o.

Assim:

�2

^�2

^ o � 180�

Ora, sabemos que � + � = 120o , correto? Assim, teremos que ��

^ ��

� 60o

Substituindo na equação acima, teremos:

60o + x = 180o

x = 120o (Resposta: Letra D)

Percebam, meus amigos, que esta foi uma solução genérica, como disse antes! Ou seja, ela se aplica para qualquer valor dos ângulos � e �.

Professor, mas se eu quisesse, poderia tratar o triângulo dessa questão como sendo um triângulo equilátero? Já que o enunciado nos diz que um dos ângulos é de 60o?

Claro que sim!

�/2 �/2

x


Não há nenhum impedimento para isso! Se fizer esta consideração, que se trata de um triângulo equilátero, você não está contrariando em nada o enunciado!

Ora, nós já sabemos que o triângulo equilátero possui os seus três ângulos internos exatamente com a mesma medida (60o).

Assim, vamos resolver esse exercício considerando a figura de um triângulo equilátero! Vamos lá?

Vejamos:

E agora vamos traçar as bissetrizes internas dos vértices B e C, conforme pede o enunciado!

Teremos, pois:

Vemos, daí, que se formam dois ângulos no encontro das bissetrizes traçadas: � e �, e que o maior deles é o ângulo �. Concordam?

Assim, olhemos agora apenas para o triângulo BPC, formado pelos vértices B e C e pelo ponto P (marcado no encontro das duas bissetrizes):

60º

60º 60º B C

A

60º

30º

A

B C

30º

ββββ P

30º 30º

αααα

30o 30o

�


Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180o, descobrimos facilmente o valor de �: 30o+30o+� = 180o

Daí: * = 120o (Resposta: Letra D)

Fácil, né?

Próxima!

06. (ESAF) O ângulo A de um triângulo qualquer ABC mede 76°. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices B e C deste triângulo vale:

a) 50° b) 52° c) 56° d) 64° e) 128° Sol.: O conceito que aparece nesta questão é ligeiramente diferente do que trabalhamos na anterior.

Aqui, vamos tratar novamente de bissetrizes, só que, agora, de bissetrizes externas!

Você vai entender o que é uma bissetriz externa, apenas olhando para o desenho! Ok? Vamos lá!

Comecemos traçando o triângulo que o enunciado nos sugere. Antes, porém, vamos pensar juntos sobre este triângulo!

Pergunto eu: a questão especificou o tipo de triângulo com que trabalharemos? Ela disse, por exemplo, que ele deve ser equilátero, ou isósceles, ou retângulo, ou qualquer outra coisa?

Equilátero ele não pode ser, professor, pois há nele um ângulo de 76o. E no equilátero, os 3 ângulos internos medem 60o cada um...

É verdade! Muito bem observado! Equilátero ele não pode ser!

E perdendo apenas para o equilátero, o outro triângulo mais fácil de ser trabalhado é o... o... (quem?)... É o triângulo isósceles, cujos ângulos da base são iguais!

Assim, sem mais delongas, trataremos este nosso triângulo como sendo isósceles!

Teremos:

Igualando a soma dos ângulos internos a 180o, descobriremos quanto vale o �.

A

76º

� � B C


Teremos: 76o+2� = 180o ∴ 2� = 104o ∴ � = 52o

Nosso desenho agora fica assim:

Para desenhar a bissetriz externa de um ângulo, é preciso desenhar primeiramente o próprio ângulo externo. Vejam os ângulos externos aos ângulos de 52o:

Apenas visualmente, vemos que y + 52o = 180o. Concordam?

Assim, o ângulo externo y (o mesmo nos dois vértices da base) será:

y = 180o - 52o

E: y = 128o

Esta é a medida do ângulo externo!

E o que é mesmo bissetriz? É a reta que divide o ângulo em duas partes iguais, em duas metades!

Vamos traçar, pois, estas duas bissetrizes! E vamos verificar que elas se encontram em um ponto do espaço! Vejamos:

A

76º

52º 52º B C

A

76º

52º 52º B C

y y

76º

52º 52º

A

B C

128º 128º

64º 64º

64º 64º

64º 64º

αααα

P


Analise com calma o desenho acima, e veja se você consegue compreender todas as medições dos ângulos que surgiram nele, Ok?

E aí, ficou tudo claro? Não? Então vou mostrar como esses valores surgiram, um por um:

Agora só precisamos nos concentrar nesse triângulo que surgiu com as bissetrizes, o triângulo BPC, pois já conhecemos dois de seus ângulos internos!

Aplicando a soma 180o, teremos: 64o + 64o + � = 180o

Daí: � = 180o - 128o= 52o (Resposta: Letra B)

Agora que já estamos peritos em bissetrizes, sigamos em frente!

Não sei se vocês observaram, mas quando eu comecei a falar sobre a área de um triângulo (lá na página 10), foi dito que a forma básica para este cálculo era o seguinte:

Área do triângulo = (base . altura) / 2

Ocorre que esta não é a única maneira de se calcular a área do triângulo!

Existem outras várias!

E eu preciso conhecer todas elas, professor?

Convém conhecer ao menos as principais! Ok? Pois assim, você terá mais elementos para matar uma questão de prova em menos tempo!

Passemos a mais uma questão ESAF!

Este 76o foi fornecido

pela questão!

Este 52o foi calculado pela soma dos

ângulos internos de um triângulo!

(76o+52o+52o=180o)

Este 128o é o quanto falta ao

52o para completar 180o!

Este 64o é a

metade dos

128o! Surgiu

quando

traçamos a

bissetriz do

ângulo 128o.

Este é o chamado ângulo oposto pelo

vértice! Exatamente do lado oposto a

este vértice, existe um ângulo já nosso

conhecido (64o)! Pois bem! Ângulos

opostos pelo vértice são sempre iguais!

76º

52º 52º

A

B C

128º 128º

64º 64º

64º 64º

64º 64º

αααα

P


07. (ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede √B cm e um outro mede 2 cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45o, então

a área do triângulo é igual a

a) 3�� ⁄ b)2� �⁄ c) 2�� ⁄ d)3√2 e) 1

Sol.: Vamos ver aprender agora uma outra forma de calcular a área de um triângulo! Prestem atenção!

Sempre que você conhecer 2 lados de um triângulo, e o ângulo formado por eles, você terá como calcular a área desse triângulo usando uma fórmula bem simples!

Vejam: Área do Triângulo = �.+.'()*

B

Onde b e c são lados conhecidos do triângulo e * é o ângulo formado por esses lados.

No caso de nossa questão, conhecemos os valores de 2 lados do triângulo (√2 2) e sabemos que o ângulo entre eles é de 45o. Daí, meus amigos, solução imediata! Teremos:

Áx y � √2. 2. � !45�2 � √2. 2. √222 � 1 Daí: Área = 1 cm2 (Resposta: Letra E)

E, se na hora da prova, você por acaso esquecer essa fórmula, pode facilmente chegar a ela, com um rápido raciocínio!

Vejamos:

Aqui temos os lados conhecidos b e c e o ângulo formado por eles, o ângulo �.

Usando o caminho tradicional para calcular a área deste triângulo, diríamos que:

Áx y � zy� .y{�|xy2 � �. C2

Agora, calculemos o seno do ângulo �. Teremos: � !� � ?�

B A

C

h b

c

�


Daí: h = b . sen *

Substituindo no cálculo da área, teremos:

Á�(, � zy� .y{�|xy2 � �. C2 � �. +. '()*B

Portanto, doravante, não esqueça: se conhecemos 2 lados de um triângulo e o ângulo formado por eles, então temos como calcular a área desse triângulo, num piscar de olhos!

# Triângulos Inscritos e Circunscritos:

Agora falemos, meus amigos, acerca de um tema que já foi cobrado algumas vezes em provas feitas pela ESAF.

Certamente vocês já viram em livros de Geometria, ou mesmo em alguma prova passada, questões que trazem uma figura inserida em outra. Não é verdade?

Pois bem! Uma dessas figuras será, seguramente, um círculo!

Assim, antes de nos adiantarmos no assunto da inscrição ou circunscrição de triângulos (ou de polígonos em geral), vamos conversar um pouco sobre os círculos, Ok?

Vocês sabem a diferença entre circunferência e círculo?

Tem diferença, professor?

Tem sim! Circunferência é apenas o contorno, a borda da figura! Já o círculo é o disco inteiro, reunindo a circunferência e a parte interior.

A bem da verdade, isso não vai lá fazer você errar questão nenhuma de prova... Mas, às vezes, os elaboradores cometem alguns deslizes, quando dizem área da circunferência, ou quando dizem comprimento do círculo...

(Quem tem área é o círculo; e quem tem comprimento é a circunferência)!

Mas vamos em frente!

Basicamente, o que você precisa saber sobre uma circunferência é como se calcula o seu comprimento, e como se calcula a área do círculo correspondente. Ok?

A propósito, você fala francês? Não?

Tudo bem! Dá pra memorizar mesmo assim!

Guarde isso: o círculo é a figura do Pierre!

Na verdade, Pierre nada mais é que um produto: �. �

Onde � é a constante 3,14; e r é o raio da circunferência!


Vejamos:

O raio r, portanto, é o segmento de reta que vai do centro do círculo até tocar qualquer ponto da circunferência!

Também é de conhecimento geral o conceito de diâmetro, que nada mais é senão o dobro do raio: d=2r.

Como falei, o Pierre aparecerá tanto no comprimento da circunferência quanto na área do círculo. Teremos:

Comprimento da Circunferência = 2.�. � Área do Círculo = �. �B Por enquanto, você vai ficar somente com essas duas informações! Ok?

Muito em breve voltaremos a elas, e complementaremos o estudo do círculo e da circunferência! Combinado?

Agora quero que saibam que um triângulo pode estar inscrito numa circunferência, bem como pode estar circunscrito a ela!

Vejam as duas situações:

Triângulo Inscrito

Triângulo Circunscrito

r


Lembre-se do in do inglês, que dá ideia de dentro. Então inscrito é o que está dentro da circunferência! O outro, o circunscrito, é o que está fora dela!

Vamos trabalhar agora com um triângulo equilátero, Ok?

Vamos juntar tudo, e desenhar um triângulo equilátero que está, ao mesmo tempo, inscrito numa circunferência e circunscrito em outra!

Teremos:

Questões de prova já exigiram uma relação entre as áreas dos dois círculos deste desenho!

Vamos ver?

08. (ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo equilátero que, por sua vez, está inscrito em outro círculo. Determine a razão entre a área do círculo maior e a área do círculo menor.

a) √3 b) 2 c) 3 d) √2 e) 4

Sol.: É exatamente a situação da qual falamos! E está expressa pelo mesmo desenho já traçado, e aqui transcrito:

Já que o elaborador quer a razão entre as áreas dos dois círculos, trabalharemos com cada um deles isoladamente, Ok?


Antes, porém, vamos apenas relembrar alguns conceitos já estudados por nós anteriormente! Falamos, lá pelos idos das páginas 12 a 16, em bissetrizes e incentro, em medianas e baricentro, em mediatrizes e circuncentro, e em alturas e ortocentro.

Pois bem!

Quando estamos trabalhando com um triângulo equilátero, temos que incentro, baricentro, ortocentro e circuncentro são o mesmo ponto!

Isso mesmo, são coincidentes!

Esta é uma informação importante! Guarde-a consigo!

Vamos trabalhar agora com o triângulo inscrito. Teremos:

Ora, se este é um triângulo equilátero, então sabemos que cada um de seus ângulos internos vale 60o, não é verdade? Agora traçaremos a altura desse triângulo inscrito e a bissetriz de um dos ângulos da base! Nosso desenho será o seguinte:

Criamos com isso um triângulo retângulo, cuja base é metade do lado do triângulo maior (o equilátero), e cuja hipotenusa é igual ao raio da circunferência! Vejam em destaque:

30o

30o


E mais destacado ainda:

Em relação ao ângulo de 30o, temos conhecidos o cateto adjacente (L/2) e a hipotenusa (r). Com qual função trigonométrica devemos trabalhar?

Seria com o cosseno, professor?

Perfeitamente!

Teremos: cos 30° �� ∴ √�� @

�� ∴ � � A√�

Esta é a medida do raio da circunferência, em função do lado (L) do triângulo inscrito!

Mas a questão nos pede o valor da área deste círculo! Assim, faremos:

Áx y � �. x� � �. � D√3�

�

E, finalmente:

Á�(,1��í�+0��/�+0)'+�/�� . AB�

Onde L é o lado do triângulo equilátero inscrito.

Deixemos este resultado aí guardado, para daqui a pouco!

Vamos agora trabalhar com o triângulo equilátero circunscrito!

Teremos:

Podemos começar traçando as 3 bissetrizes e encontrando o ponto de encontro delas neste triângulo!

30o

r

L/2


Teremos:

Não há nenhuma dificuldade em enxergar que esse ponto vermelho da figura corresponde exatamente ao centro do círculo, uma vez que ele é o encontro das bissetrizes. Ou seja, este é o chamado incentro.

Ocorre que acabamos de aprender que se o triângulo é equilátero, o incentro coincide com o baricentro!

E daí, professor?

Daí que o conceito de baricentro nos traz uma informação muito útil, que vimos lá na página 14, segundo a qual o baricentro divide cada Mediana em duas partes, de modo que, em cada Mediana, a parte maior é o dobro da menor!

E houve até desenhos para explicar melhor isso. Vejamos um deles, que já apareceu em nosso Curso:

Assim, voltando à nossa questão, vamos tentar estabelecer uma relação entre a altura do triângulo e o raio da circunferência, Ok? Qual seria esta relação?

B

C A

z

2z

r

2r

h


Assim, conhecendo esta propriedade do baricentro, concluímos que, para o triângulo equilátero circunscrito: h=3r.

Ora, já era do nosso conhecimento que a altura de um triângulo equilátero é dada

também por: < � \.√�B

Isso nós aprendemos lá na página 39 deste Curso.

Daí, igualando estas duas relações, teremos:

�E �\. √�

B

E, finalmente:

E � \. √��

Assim, calculando a área do triângulo equilátero circunscrito, teremos:

Áx y � �. x� � �. _D√36 `�� 3. �. D�

36

E, finalmente:

Á�(,1��í�+0��)'+�/�� . ABmB

Nossa questão, que começou lá na página 38, pede: Determine a razão entre a área do círculo maior e a área do círculo menor.

Fazendo isso, teremos:

áx y�íx�|{��y��xáx y�íx�|{�� !�x � áx y��íx�|{��x�|!��x��

áx y��íx�|{��!��x�� . AB3 ��. AB12 � � ] ∴ p�43;:398: \49E8Yr

Vamos para mais uma!

09. (ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo.

a) 1,50 b) 1,25 c) 1,00 d) 1,75 e) 2,00

Sol.: Comecemos traçando o desenho da questão! Teremos:


Traçando a altura do triângulo isósceles, nascerá um novo, um triângulo retângulo, em destaque no desenho abaixo:

Aplicando Pitágoras, descobriremos o valor da hipotenusa deste triângulo retângulo, ou seja, descobriremos o valor do lado L.

Teremos: L2 = 42 + 32 ∴ L2 = 25 ∴ L=5

Até aqui, tudo bem?

Ótimo! Agora vamos aprender algo novo! Atenção!

Existe uma relação que sempre se aplica a este desenho! Ou seja, sempre se aplica quando temos um círculo inscrito em um triângulo.

Que relação é esta, professor?

É a seguinte: Área do Triângulo Inscrito = Semiperímetro . Raio

Semiperímetro de quem, professor?

Semiperímetro do triângulo! E raio do círculo!

Só para não dizer que não falei das flores, semiperímetro é a metade do perímetro!

E perímetro é a soma dos lados do polígono! (Já sabíamos disso)!

Uma vez que descobrimos que o lado L mede 2, e sabendo que se trata de um triângulo isósceles, teremos:

Perímetro = 6+5+5 =16

6

4

3

6

4 L


Daí: Semiperímetro = 8

Estão acompanhando o raciocínio? Vamos em frente!

Nós sabemos que a área de qualquer triângulo é dada por (base x altura)/2.

Daí, neste caso, teremos que:

Área = (6 x 4)/2 ∴ Área = 12

Finalmente, aplicando a fórmula que acabamos de aprender, teremos:

Área do Triângulo Inscrito = Semiperímetro . Raio

Daí: 12 = 8.r

Conclusão: r=12/8 ∴r=1,5 (Resposta: Letra A)

Desta questão, portanto, fica para nós este ensinamento: quando estivermos diante de um círculo inscrito num triângulo, podemos dizer que a área deste triângulo será dada por semiperímetro do triângulo multiplicada pelo raio do

círculo! Guarde isso!

Antes de passarmos à próxima questão, vamos aprender um dos mais simples e fáceis teoremas da Geometria: o Teorema do Bico!

Esse teorema envolve duas retas unidas por um vértice, e que tocam (tangenciam) uma mesma circunferência.

Vejam no desenho abaixo:

O ponto A é o vértice que une as duas retas, e os pontos B e C são os pontos de tangência destas retas com a circunferência. Ok? Assim, o Teorema do Bico vem nos dizer que o segmento AB é de mesma dimensão do segmento AC.

Ou seja:

A

B

C

A

B

C


Passemos à próxima questão!

10. (ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste triângulo é tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR,BP e CQ medem x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do triângulo ABC é igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a

a) 18 – c. b) 18 – x. c) 36 – a. d) 36 – c. e) 36 – x.

Sol.: O que precisamos aqui é apenas de um pouco de atenção para fazer o desenho de acordo com as muitas informações do enunciado!

Vamos lá! Nosso desenho ficará assim:

No finalzinho do enunciado, é dito que o perímetro do triângulo é igual a 36.

Ora, o perímetro é a soma dos lados, conforme sabemos!

Assim: Perímetro = AB+BC+CA = (x+y)+(y+z)+(x+z)=2x+2y+2z=2(x+y+z)

Daí, perímetro = 2(x+y+z) = 36

Então, dividindo os dois lados da equação acima por 2, teremos: x+y+z=18

Se isolarmos o z, ficaremos assim: z=18-(x+y)

E quem é (x+y)? Basta olhar para o desenho de novo! (x+y)=c.

Conclusão: z=18-c (Resposta: Letra A)

Próxima!

A

B C

R Q

P

x x

z

z

y

y

b c

a


11. (ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro será igual a:

a) 40 cm b) 35 cm c) 23 cm d) 42 cm e) 45 cm

Sol.: Vejam que a primeira parte do enunciado nada mais é que a explicação do Teorema do Bico: Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais.

Perceberam isso? Ótimo! No mais, a questão nos fala sobre um Triângulo Retângulo e de um círculo inscrito neste triângulo. A solução deste problema é meramente visual!

Comecemos nosso desenho, traçando o triângulo retângulo, a circunferência inscrita, marcando os pontos de tangência e o centro do círculo. Teremos:

Vamos trabalhar com o Teorema do Bico, Ok? Vejam o segmento em destaque que chamarei de a no desenho abaixo:

A

B

C

T

P

S

O

A

B

C

T

P

a

O

S


Pelo Teorema do Bico, o segmento BP terá a mesma medida! Vejam:

Pelo Teorema do Bico, chegaremos também às seguintes conclusões:

Agora façamos um exercício visual: vejam que se unirmos os pontos A,T,O e S formaremos um quadrado de lado igual ao raio da circunferência!

Vejam:

Quer dizer então, professor, que o segmento c é igual ao raio?

Exatamente! Portanto: c=1.

Lembrando apenas que a questão nos disse que a hipotenusa do triângulo retângulo mede 20 cm, o desenho final, todo explicadinho, fica o seguinte:

A

B

C

T

P

a

a

O

S

b

b

c

c S

O

a

A

B

C

T

P a

A

B

C

T

P

S

O


Para chegarmos ao perímetro, temos que somar os 3 lados do triângulo.

Teremos: perímetro = AB+AC+BC=(1+a)+(1+b)+(a+b)

Daí: perímetro=2+2a+2b=2+2(a+b)=2+2.(20)=42

perímetro = 42 (Resposta: Letra D)

Falemos agora, meus caros amigos, alguma coisa acerca da Semelhança de Triângulos! Um assunto dos mais fáceis, e já algumas vezes cobrado em provas da ESAF, Ok?

Vamos lá!

# Semelhança de Triângulos:

Quando se fala em semelhança de polígonos, trata-se do conceito de proporcionalidade!

Compare os dois triângulos abaixo:

O que podemos constatar pela mera observação? Duas coisas:

1º) Os ângulos correspondentes (aqueles que ocupam posições correspondentes nos dois triângulos) são iguais.

(Vocês viram: �e �, � e �, � e �); e

2º) Os lados correspondentes são proporcionais.

a

A

B

C

T

P

S

20 a

b

1

1 b

�

�

�

2a

2b

2c

�

�

�

a

b

c


Estas são as duas condições (ou exigências), para que possamos dizer que dois polígonos são semelhantes!

Guarde isso!

Para haver semelhança: 1) Ângulos correspondentes iguais; e 2) Lados correspondentes proporcionais.

Vejam que isso não vale apenas para triângulos, e sim para polígonos em geral.

A propósito da proporcionalidade dos triângulos do exemplo acima, já que temos, como lados correspondentes, a e 2a, b e 2b, c e 2c, diremos que a constante de proporcionalidade K será igual a 2.

Vejam melhor:

2yy

�2zz

�2��

� � � 2

Entendido isso?

Se fossem a e 3a, b e 3b, c e 3c, então teríamos que k=3, e assim por diante!

Uma vez conhecendo o valor de k, poderemos concluir imediatamente que:

- a razão entre os perímetros é igual k;

- a razão entre as alturas correspondentes é igual a k;

- a razão entre as diagonais correspondentes é igual a k;

Em suma: a razão entre dois elementos lineares correspondentes será igual à constante de proporcionalidade k.

E quanto às áreas de dois polígonos semelhantes, professor? O que dizer?

Excelente pergunta!

A razão entre as áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da constante de proporcionalidade (K2).

Vejam que estamos recebendo informações importantíssimas! Convém guardá-las bem, Ok?

Estamos falando em semelhança de polígonos em geral, mas, nas questões de prova, é bem mais comum encontrarmos mesmo a semelhança entre triângulos!

E isso é bom para nós, pois já sabemos muita coisa sobre os triângulos, concordam?

Vamos para mais uma dica importante: no caso dos triângulos, para que dois deles sejam considerados semelhantes, basta apenas que existam dois ângulos em comum entre eles!

Vejamos o exercício seguinte:

Exercício: Na figura abaixo, o ângulo LdgJ é congruente ao ângulo J ¡¢, AB = 16 cm, BC = 12 cm, AC = 16 cm e BP = 6 cm. Calcule as medidas dos segmentos PQ e QB.


Sol.: Na figura acima, podemos observar dois triângulos: ABC e BPQ, onde o ângulo fg é comum aos dois triângulos.

Separaremos agora os dois triângulos, anotando as medidas de cada um.

Como há dois ângulos em comum, torna-se evidente que o terceiro ângulo também será comum. Daí, podemos afirmar que esses triângulos são semelhantes.

Para facilitar nossa visualização, podemos reposicionar o segundo triângulo, de forma que os ângulos dos dois triângulos se correspondam.

Como são triângulos semelhantes, podemos fazer a proporção entre os lados correspondentes.

Teremos:

o10

�£

16�

612

Feito isso, para encontrarmos o valor de x, basta igualarmos a primeira à última fração. Teremos:

¤

�� ¥

�� ∴ ¤

�� ∴ j � ¦

Para o cálculo de y, igualamos a segunda à última fração. Teremos:

A

B C

16

12

10 P

Q

6

A

B C

16

12

10 P

Q B

x

y

6

Q

B P

y x

6


§�¥

� ¥��

∴ §�¥ � �� ∴ l � w

Passemos a mais uma questão da ESAF! Vamos a ela!

12. (ESAF) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m. A área do segundo triângulo será igual a:

a) 6 m2 b) 12 m2 c) 24 m2 d) 48 m2 e) 60 m2

Sol.: Depois das explicações acima, e de tudo mais que já falamos sobre triângulos, esta questão vai ficar realmente fácil. Vocês concordam?

Vamos pensar juntos!

O que é possível descobrir acerca do primeiro triângulo descrito pelo enunciado? Vejam vocês que os lados dele medem 6m, 8m e 10m.

Será que é um triângulo retângulo, professor?

Sim, exatamente! Mas como foi que você descobriu isso?

Descobri por Pitágoras!

O quadrado do lado maior é a soma dos quadrados dos lados menores! (102=62+82).

Muito bem! O que mais podemos dizer sobre ele?

Podemos dizer que seu perímetro é igual a 24, que corresponde à soma dos lados (6+8+10=24).

Ótimo!

Ótimo por quê, professor?

Porque a questão também nos disse quanto vale o perímetro do segundo triângulo, o qual, de acordo com o enunciado, é semelhante ao primeiro!

Quanto é mesmo o perímetro do segundo triângulo? É de 12 metros!

Ora, se o perímetro do triângulo maior vale 24 metros, e o perímetro do triângulo menor vale 12 metros, então já podemos calcular a constante de proporcionalidade entre eles! Concordam?

Teremos:

� � ¨ xí� �x��x�â!�|{��y��x¨ xí� �x��x�â!�|{�� !�x � 24

12 � 2


Para completar, a questão nos pergunta quanto vale a área do triângulo menor!

Ora, se quisermos, podemos até desenhá-lo!

Uma vez que a constante de proporcionalidade entre os triângulos é igual a 2, isso significa que cada lado do triângulo maior é o dobro do lado correspondente no triângulo menor!

Assim, os lados do triângulo menor, que também é um triângulo retângulo, valem 3m, 4m e 5m. Teremos:

Podemos calcular a área pela forma básica (base x altura)/2.

Teremos: Área = (4x3)/2 = 6m2 (Resposta: Letra A)

Professor, haveria outro jeito de resolver essa questão?

Claro que sim!

Se você quisesse, encontraria de início a área do primeiro triângulo descrito pelo enunciado. Faríamos assim:

Área = (base x altura)/2 = (8x6)/2 = 24m2

Somando-se os lados desse triângulo, encontramos o perímetro 24m.

Daí, pela informação do enunciado sobre o perímetro do outro triângulo menor (que é semelhante a esse primeiro), e que vale 12m, descobrimos que a constante de proporcionalidade entre os dois triângulos vale k=24/12=2.

Feito isso, teríamos apenas que nos lembrar da informação importante que ficou em negrito lá na página 49, e que ora reproduzo:

3

4

5

6

8

10


A razão entre as áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da constante de proporcionalidade (K2).

Assim, teremos:

áx y��x�â!�|{��y��xáx y��x�â!�|{�� !�x � ��

Daí:

24o � 2� ∴ o � 24

4 � 6��p© �¨��y!r

De um jeito ou de outro você acerta a questão!

Próxima!

13. (ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, «m, e «B , é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo «m é igual a 128 ¬B . Assim, a área do triângulo «B é igual a:

a) 4 ��. b) 16 ��. c) 32 ��. d) 64 ��. e) 2 ��.

Sol.: Essa daqui foi mais fácil ainda! Foi dito o valor da área do triângulo T1 (128m2) e foi dito o valor da constante de proporcionalidade (k=8), aqui chamada pela ESAF de razão de semelhança. E é questionado o valor da área do outro triângulo.

Não há realmente muito o que perder tempo!

Faremos:

áx y��x�â!�|{�1áx y��x�â!�|{�2 � ��

Daí:

128o � 8� ∴ o � 128

64 ∴ o � B®B ∴ �43;:398: \49E8Y

Vamos em frente, meus amigos!

Não é segredo que a ESAF cria, algumas vezes, questões que exigem simplesmente um rápido raciocínio para serem solucionadas, sem necessidade da aplicação de fórmulas ou de teoremas...

Vejamos a questão seguinte!


14. (ESAF) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste de 10 metros de altura mede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 25 m. Por interpolação e extrapolação lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia.

a) 45m b) 35m c) 20m d) 50m e) 65m

Sol.: Tomemos as duas primeiras informações do enunciado, e com elas criemos dois desenhos representativos. Ok? Teremos:

Com estas informações iniciais, podemos perfeitamente projetar, fazendo uma mera interpolação, um desenho intermediário, estipulando de quanto seria a sombra para este mesmo prédio de 10 metros, no horário exatamente intermediário entre 15h e 16h, ou seja, no horário 15h30.

Ora, no horário intermediário, teremos que a sombra terá medição também intermediária entre 20m e 25m.

Assim, concluímos que a sombra, às 15h30, deve ser de 22,5 metros! Vejamos:

Agora surge a nova situação, qual seja, o nosso poste dobra de tamanho, e passa a ser de 20 metros!

Ora, se o poste dobrou de tamanho, por interpolação, todas as demais medidas dos triângulos acima também simplesmente dobrarão suas dimensões.

16h

10 m

25 m

15h

10 m

20 m

15h

10 m

20 m

16h

10 m

25 m

15h30

10 m

22,5 m


E, assim, teremos:

E assim, chegamos à resposta da questão: o prédio de 20 metros de altura, às 15h30, projetará uma sombra de 45 metros! (Resposta: Letra A).

# Quadriláteros:

Vamos falar um pouco sobre os quadriláteros!

O que são quadriláteros, professor?

Ora, o nome já é bastante sugestivo, não acham? Quadrilátero são polígonos que apresentam 4 lados!

Assim, você compreende que quadrilátero é um gênero, o qual possui várias espécies.

Os principais tipos de quadrilátero, chamados de quadriláteros notáveis, são o quadrado, o retângulo, o losango, o paralelogramo e o trapézio.

Falaremos um pouco sobre cada um deles, Ok?

Começando pelo mais famoso de todos!

# Quadrado:

Desnecessário aqui é perder tempo com conceitos, concordam?

Até criança sabe que o quadrado possui os 4 lados iguais!

Vejam:

Basicamente, precisamos saber que a área do quadrado se calcula da mesma forma que a do retângulo, ou seja, base vezes altura.

Ocorre que, no quadrado, a base e a altura são exatamente iguais, e correspondem ao lado do quadrado. Assim, teremos:

15h

20 m

40 m

16h

20 m

50 m

15h30

20 m

45 m


Área do Quadrado = lado x lado = lado2 = l2

Tenho certeza que não estou dizendo nenhuma novidade!

Já caiu questão de quadrado em prova da ESAF, professor?

Sim! Vamos ver juntos?

15. (ESAF) Considere um terreno quadrado com área de 1600 m2 e vértices A, B, C e D, sendo que A e C são vértices não adjacentes. Um ponto está sobre a diagonal BD a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o valor mais próximo da distância deste ponto até o vértice C?

a) 30 m b) 17,32 m c) 34,64 m d) 28,28 m e) 14,14 m

Sol.: O que precisamos aqui é desenhar a questão da forma correta! Vamos fazer isso? Comecemos traçando o quadrado. Teremos:

O enunciado nos diz que a área deste quadrado é de 1600 m2. Com isso, temos como descobrir o valor do lado. Faremos:

Áx y��¯|y�xy�� {� � 1600 ∴ { � √1600 ∴ { � 40�

Obviamente que desprezamos a raiz negativa de 1600, haja vista não existir medida negativa na Geometria. Ok? Agora sabemos que o lado vale 40m. E se traçarmos uma diagonal neste desenho, como ficará? Vejamos:

l

l

A B

C D

40

40 d

A B

C D


Todo mundo enxerga que nasceram aí dois triângulos retângulos? A diagonal que traçamos funciona como hipotenusa, tanto do triângulo de cima, como do de baixo.

Por Pitágoras, podemos afirmar, de forma genérica, chamando o valor do lado apenas de L, que: d2=L2+L2.

Daí: d2=2.L2

E: d=L.√B

Assim, para nosso caso específico, em que o valor do lado do quadrado é L=40, teremos que d=40.√B.

Metade desta diagonal será, portanto: (d/2)=20.√B.

Deixemos isso guardado!

A questão nos fala na intercessão das duas diagonais do quadrado. Teremos:

Finalmente, a questão nos fala em um ponto, situado sobre a diagonal BD, e que dista 10 metros do encontro das duas diagonais. Marquemos este ponto:

A questão nos pergunta a distância entre este último ponto marcado no desenho (em vermelho), e o vértice C do quadrado. Vejam o triângulo retângulo que se formará agora:

40

40

A B

C D

20.√B

40

40

A B

C D

20.√B

10

10

A B

C D

20.√B

40

40 x


Agora eu já sei o que fazer, professor... Basta aplicar Pitágoras!

Exatamente!

Teremos:

o� � 10� ^ }20. √2~� ∴ o� � 100 ^ 400. 2 ∴ o� � 900 ∴ K � ��p�43;:398: \49E8Lr

De quadrado, é só isso que costuma cair, professor?

Não! Na verdade, aquele mesmo estudo que fizemos com triângulos e circunferências, de figuras com triângulos circunscritos e triângulos inscritos, também já foi cobrado em provas da ESAF com quadrados!

Vamos falar, pois, de quadrados inscritos e de quadrados circunscritos. Ok?

Eu só posso lhes dizer, de antemão, que é fácil demais!

Vamos trabalhar com dois casos distintos:

1o) Um quadrado e dois círculos: um círculo inscrito e outro circunscrito ao mesmo quadrado;

2o) Um círculo e dois quadrados: um quadrado inscrito e outro circunscrito ao círculo.

Ok?

Vamos por partes, como dizia... (deixa pra lá!).

Comecemos com o quadrado circunscrito na circunferência.

Nosso objetivo é tentar descobrir a área do círculo, em função do lado do quadrado. Ok?

Teremos:

É facílimo constatar que o raio deste círculo é igual à metade do lado do quadrado, concordam?

Assim: r=L/2.

Como é mesmo que se calcula a área de um círculo? Volte lá onde vimos isto e confira!

Assim:

Área do Círculo inscrito no quadrado = �. �B = �. pABrB � �.AB]

r


Agora passemos ao desenho do mesmo quadrado, só que agora ele estando inscrito numa circunferência. Teremos:

Quando você estiver na prova meio sem saber como se sair de uma questão de geometria, meu conselho é que faça o desenho que estiver sugerido pelo enunciado, e comece a incrementar esse desenho com todas as retas (ou segmentos de reta) que você puder.

Fazendo isso, ficará mais fácil surgir alguma ideia salvadora!

No caso do nosso desenho em análise, basta que você trace uma diagonal do quadrado, e estou certo que já conseguirá pensar em alguma coisa... Vamos tentar fazer isso?

O que dizer a respeito desta diagonal (pontilhada em azul)?

Eu acho, professor, que essa diagonal é igual ao diâmetro da circunferência!

Exatamente! A diagonal do quadrado inscrito é o dobro do raio da circunferência!

E a diagonal de um quadrado, conforme aprendemos lá na página 57, é dada por d=L.√B, onde L é o lado do quadrado.

Juntando tudo, meus amigos, teremos: L.√B =2.r

Daí: r = (L.√B)/2

Assim, calculando agora a área deste círculo circunscrito ao quadrado, teremos:

r

r


Área do Círculo circunscrito no quadrado = �. �B = �. pA√BB rB � �.ABB

E aí? Eu não disse que era fácil?

Já estamos prontos para a próxima questão da ESAF!

16. (ESAF) Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão entre a área do círculo cincurscrito e a área do círculo inscrito?

a) √2 b) 2 √2 c) 2 d) 4 e) 1

Sol.: O enunciado nos propõe exatamente a situação que acabamos de estudar, com um único quadrado e dois círculos: um inscrito e outro circunscrito ao quadrado.

Nosso desenho é este:

As áreas dos dois círculos já são nossas conhecidas! Nessas páginas anteriores, acabamos de determiná-las!

Então, meus amigos, não há mais o que fazer, senão pegar os resultados que já conhecemos!

Teremos:

áx y��íx�|{��x�|!��x��áx y��íx�|{��!��x�� . D�2 �

��. D�4 � � 42 � Bp�43;:398: \49E8dr

Agora vamos ver o segundo caso, no qual há um único círculo e dois quadrados! Isso é o que aparece na próxima questão ESAF. Vamos juntos?


17. (ESAF) Um quadrado de lado unitário está inscrito em um círculo que, por sua vez, está inscrito em outro quadrado de lado L. Determine o valor mais próximo de L.

a) 1,732 b) 1,414 c) 2 d) 1,5 e) 1,667

Sol.: Esta nova situação será ilustrada da seguinte maneira:

Professor, será que não podemos usar alguns resultados que já encontramos na questão passada?

Podemos sim! Justamente no caso do quadrado inscrito. Vejam que se confunde exatamente com o que já vimos anteriormente.

Vejam de novo o desenho:

A relação que aprendemos lá, e que envolve o lado do quadrado e o raio do círculo foi a seguinte: L.√B =2.r

Naquela ocasião, descobrimos o raio do círculo em função do lado do quadrado. E fizemos isso porque só havia um quadrado.

Encontramos, pois, que: r = (L.√B)/2

r


Só que aqui, neste novo caso, nosso interesse é encontrar o lado do quadrado em função do raio do círculo, pois agora só existe um círculo! Ok?

E teremos: L.√B =2.r

Daí: A � B.�√B

� B.�.√B√B.√B

� B.�.√BB

E: L=r.√B

Precisamos agora calcular a área do quadrado inscrito!

Daí, sabendo que área do quadrado é o quadrado do lado, diremos que:

Área do quadrado inscrito = L2 = (r.√B)2 = 2.r2

Agora tomemos o mesmo círculo do desenho acima, só que agora com um quadrado circunscrito a ele. Teremos:

Professor, este é o mesmo desenho que já apareceu lá atrás...

Exatamente! Só que lá, naquele primeiro caso, havia dois círculos (e um só quadrado), de sorte que buscamos, naquela ocasião, descobrir o valor do raio do círculo em função do lado do quadrado.

Aqui, buscamos o contrário: o valor do lado do quadrado em função do raio do (único) círculo!

Ora, se sabemos que r=(L/2), então fica fácil concluir que: L=2.r.

Daí, no cálculo da área do quadrado circunscrito, teremos:

Área do quadrado circunscrito = L2 = (2.r)2 = 4.r2

Vejam que, até aqui, fizemos um estudo genérico.

Precisamos agora nos voltar para o enunciado da questão que estamos resolvendo!

Ela nos disse que um quadrado de lado unitário (portanto, igual a 1) está inscrito em um círculo!

Ora, sabendo disso, podemos descobrir quanto vale o raio deste círculo! Concordam?

Temos, para este caso, que: r = (L.√B)/2

r


Daí: r =√B/2

Na segunda informação do enunciado, é dito que este mesmo círculo, cujo raio já descobrimos quanto vale, está, por sua vez, inscrito em outro quadrado de lado L.

A relação que descobrimos entre o raio do círculo inscrito e o lado do quadrado circunscrito, foi a seguinte:L=2.r.

Assim, teremos que: L=2.(√B/2)

Daí: L=√B , que é aproximadamente igual a 1,414 (Resposta: letra B).

Com isso, eu creio que já aprendemos o bastante acerca dos quadrados!

Lembrem-se que estamos falando sobre quadriláteros, e que o quadrado foi apenas o primeiro deles!

Passemos aos próximos (retângulo, losango, paralelogramo e trapézio).

Antes, porém, há uma lei que rege todos os quadriláteros, e sobre a qual eu não havia dito ainda. Vejam:

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360º.

°¡ ^ ±¡ ^ �¡ ^ ²¡ = 360º

É bom guardar isso, Ok?

Na verdade, não há nenhuma dificuldade em se memorizar esta lei! Basta que você se lembre de um quadrado, que tem quatro ângulos retos (90o). A soma deles dá quanto? Dá 360o. Pronto!

Sobre estes demais quadriláteros, falarei aqui somente o essencial, sem muito me estender.

# Paralelogramo:

Pelo desenho, você guardará a definição!

Paralelogramo é o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.

A B

C

D


As relações que se verificam no paralelogramo, estas sim, são importantes e podem ser cobradas em prova!

Portanto, não se esqueça de que, em qualquer paralelogramo:

1) Os lados opostos são iguais:

2) Os ângulos opostos são iguais:

3) Os ângulos adjacentes são suplementares, ou seja, sua soma dá igual a 180o:

Agora quero que vocês me digam como se calcula a área de um paralelogramo. Alguém sabe? Exatamente da mesma forma que se calcula a área de um retângulo.

Vejamos:

�

� �

� * ^ � � mw��

a

b h

Área = base x altura = a x h


Professor, se o paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos, não poderíamos dizer que um quadrado, um retângulo ou um losango, são

também tipos de paralelogramos?

Perfeitamente!

Vejamos.

O quadrado é o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos iguais entre si:

O retângulo é o paralelogramo que possui seus quatro ângulos retos:

O Losango, a exemplo do quadrado, é um tipo de paralelogramo que também apresenta os quatro lados iguais. A diferença está nos ângulos internos: no quadrado, todos eles são iguais (90o), enquanto no losango só os ângulos opostos são iguais!

O losango apresenta duas diagonais de tamanhos diferentes. Pode parecer brincadeira, mas são conhecidas como diagonal maior (D) e diagonal menor (d)...

A diagonal do quadrado é dada por: d=L.√B

A área é dada por: Área=L2

A diagonal do retângulo é encontrada por Pitágoras! A área é dada por:

Área=(base . altura)/2

d

D

A área do losango será dada por:

Área = D . d 2


Que tal fazermos algumas questões ESAF sobre esses paralelogramos?

18. (ESAF) A e B são os lados de um retângulo I. Ao se aumentar o lado A em 20% e reduzir-se o lado B em 20% obtem-se o retângulo II. Se, ao invés disso, se aumentar o lado B em 20% e diminuir-se o lado A em 20%, tem-se o retângulo III. Pode-se afirmar que:

a) Os três retângulos tem a mesma área. b) Os retângulos II e III tem uma área igual, maior que a do retângulo I. c) O retângulo II tem a maior área. d) O retângulo III tem a maior área. e) O retângulo I tem a maior área.

Sol.: Sempre que qualquer questão de prova (e isso vale não apenas para o raciocínio lógico, mas para qualquer disciplina de exatas) vier falando em aumentos ou em reduções percentuais, o mais prático a ser feito é trabalhar com a referência 100 (cem).

Aqui, como se trata de retângulos, podemos estabelecer que o retângulo padrão terá os lados iguais medindo 100m (lado A) e 10m (lado B).

Isto é apenas um artifício, para nos ajudar a fazer contas mais rápidas!

O retângulo I, portanto, é o seguinte:

Para o retângulo II, aumentando-se o lado A em 20%, e reduzindo-se o lado B também em 20%, teremos:

Para o retângulo III, a proposta é, tomando como referência o triângulo I, reduzir o lado A em 20%, e aumentar o lado B em 20%. Teremos:

100

A área deste retângulo será:

100 x 10 = 1000 m2 10

120


120 x 8 = 960 m2 8

80


A conclusão é imediata: o retângulo I tem a maior área (Resposta: E) Próxima!

19. (ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados a, b, c, e d, medindo (4x – 9), (3x + 3), 3x e 2x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a:

a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 50 Sol.: Aqui temos novidades! A questão vem nos falar em quadrilátero circunscrito a uma circunferência!

Para este tipo de situação, existe uma outra lei que merece toda a nossa atenção!

Vejamos: para todo quadrilátero circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é sempre igual à soma dos outros dois.

Olhem como é nosso desenho:

Conhecendo esta lei, tudo fica fácil, concordam?

Teremos que: AB + CD = AC + BD

Daí: (4x-9)+(3x+3)=2x+3x

E: 2x=6 ∴ x=3


80 x 12 = 960 m2 12

4x-9 B A

3x 2x

C D 3x+3


Sabendo quem é x, saberemos também quanto vale cada lado desse quadrilátero:

A questão pergunta pelo perímetro! Somando-se os lados, teremos:

Perímetro = 30 (Resposta: Letra B)

Posso fazer uma pergunta, professor?

Claro que sim!

A figura desta questão que acabamos de resolver era um quadrilátero, pois isso foi dito pelo enunciado. Mas será que se tratava de um paralelogramo?

Excelente pergunta!

Aquela figura era, sim, um quadrilátero, haja vista que tinha 4 lados! Mas não era um paralelogramo, pois seus lados opostos não eram paralelos entre si!

Neste caso, estamos diante de um trapézio!

O trapézio é o quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos entre si!

Vejam no desenho abaixo:

Vemos aí que o lado AB é paralelo a CD.

Temos ainda que AB é a chamada base menor; CD é a nossa base maior; e AH é a altura do trapézio.

Há uma propriedade do trapézio que convém conhecermos:

3 B A

9 6

C D 12

D C

B A

H

D C

B A

M N


Sendo M o ponto médio de AD e N o ponto médio de BC, a medida do segmento MN,

chamada de base média do trapézio, é dada por: ³´ � µ¶·¸¹�

.

Vejam uma coisa muito interessante! Se prolongarmos os lados AD e BC para cima, até que se encontrem num mesmo ponto, teremos então um triângulo, concordam?

Ora, continua valendo a mesma propriedade da base média! Ocorre que a base lá de cima deixou de ser base e transformou-se num ponto. Vejam:

Assim, marcando agora os pontos M e N como pontos médios, respectivamente, dos lados AD e AC, e unindo-os, teremos:

E pela propriedade da base média, diremos que MN=(DC/2).

Vamos treinar esse conhecimento com o próximo exercício!

Exercício: Na figura abaixo, ABCD é um trapézio cujas bases são: AB = 4 cm e CD = 10 cm. Sejam M o ponto médio do lado AD e N o ponto médio do lado BC. Os pontos P e Q são os pontos de intersecção de MN com as diagonais AC e BD. Calcule o segmento PQ.

D C

A

D C

A

M N

D C

B A

N M P Q

4 cm

10 cm


Sol.: Questãozinha com a cara da ESAF...

Não foi feita por ela, mas bem que poderia ter sido!

Ou, melhor que isso, poderá vir a ser!!!

Vamos lá!

Vocês veem que a reta MN é a base média do trapézio!

Vejam melhor com o destaque do desenho abaixo:

Daí, pela propriedade da base média, teremos que:

³´ �4 ^ 10

2� 7��

Voltando nossos olhos para o triângulo ABD, veremos que a reta MP é a base média deste triângulo.

Vejam em destaque no desenho abaixo:

Daí, pela propriedade da base média (para o triângulo), teremos que:

³º � 42 � 2��

Concentrando nossa visão agora no triângulo ABC, veremos que a reta QN é a base média deste triângulo.

Novamente, vejamos em destaque:

D C

B A

N M

4 cm

10 cm

D C

B A

N M P Q

4 cm

10 cm


E mais uma vez aplicando a propriedade da base média (para o triângulo), teremos que:

¯´ �42

� 2��

Com isso, já podemos descobrir o que nos pede a questão!

Vejam:

Apenas visualmente, constatamos que: PQ=MN-MP-QN

Daí: PQ = 7 - 2 - 2 = 3 (Resposta!)

Gostei! Tem mais questão de trapézio, professor?

Tem sim! E é da ESAF!

Vamos lá!

20. (ESAF) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20 cm, base menor igual a 8 cm e altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos do trapézio é igual a:

a) 10 b) 5 c) 7 d) 17 e) 12

D C

B A

N M P Q

4 cm

10 cm

D C

B A

N M P Q

4 cm

10 cm


Sol.: Sempre que uma questão de geometria falar sobre um trapézio, sem especificar maiores detalhes sobre seu formato, devemos adotar a forma mais simples, que é a seguinte:

A questão sugere que devemos prolongar os lados não paralelos deste trapézio!

Fazendo isso, teremos o seguinte:

Professor, ou eu estou vendo coisas, ou parece que essa questão de trapézio vai virar uma questão de semelhança de triângulos...

Você não está vendo coisas! É isso mesmo!

A questão nos pede que encontremos a altura h do desenho acima, e é precisamente pela semelhança de triângulos que a determinaremos!

Vejam os dois triângulos semelhantes que se formaram:

8

15

20

20

8

15

h

20

h+15 8

h


Vocês se lembram que a palavra-chave da semelhança é proporcionalidade?

Assim, teremos que os lados correspondentes destes dois triângulos são proporcionais:

CC ^ 15

�8

20

Daí: 20h=8h+120 ∴ 12h=120 ∴ h=10 (Resposta: Letra A)


21. (ESAF) Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a zero ele degenera naturalmente em um polígono de menor número de lados podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta. Dessa maneira, considere um quadrilátero com duas diagonais iguais e de comprimento 5√B cada uma. Sendo A a área desse quadrilátero, então:

a) A = 25. b) 25 ≤ A ≤ 50. c) 5√2 < A ≤ 25. d) 0 ≤ A ≤ 25. e) A ≥ 25.

Sol.: Vamos pensar juntos!

Se você ler com calma a questão, é bem provável que seu cérebro o leve a pensar - por primeiro - na figura de um quadrado. Acertei?

E lhe digo que você não está errado em pensar assim! Senão, vejamos!

Para um quadrado de lado l=5, a diagonal será exatamente igual a 5√B.

Confere? (Já vimos isso nesta nosso Curso! É só relembrar!).

Assim, nosso quadrado será:

E para este quadrado, a área será de 5x5=25.

Beleza, professor! Já posso marcar a alternativa A?

Ainda não!

Vejam que a questão falou em reduzir alguns lados do polígono, até que fiquem próximos de zero... Assim, é possível, por exemplo, reduzir a altura deste quadrado, transformando-o em outra figura - um retângulo, neste caso!

5

5 5√B


E ainda assim, teríamos um quadrilátero, com as mesmas características previstas pelo enunciado. Imaginemos, só por hipótese, que a altura do retângulo ficasse reduzida a 1. Como a diagonal precisa valer 5√B, então o desenho agora seria o seguinte:

Por Pitágoras, faremos: (5√B)2 = b2 + 12 ∴ b2=49 ∴ b=7

Vejam nosso retângulo já dimensionado:

E a área é quanto? Base vezes altura = 7.

Assim, pelo mero raciocínio, percebemos que esta área, que era máxima na figura do quadrado (25), pode se reduzir cada vez mais, até quase tender a zero.

A ESAF considerou como gabarito correto, portanto, a letra D.

Minha única ressalva foi que esta opção admite que a área desta figura seja igual a zero.

Discordo! Ela pode tender a zero. Ou seja, pode aproximar-se muitíssimo de zero. Mas área igual a zero, eu confesso que nunca vi! (E olha que eu estou perto dos 40...)!


22. (ESAF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o lado

de um dos triângulos assim obtidos é igual a 2/3 m, então a área, em

metros, do hexágono é igual a:

a) 9 3

4

b) 3

7

c) 2 3 d) 3 3

e) 3

3

5√B 1

b

5√B 1

7


Sol.: Esta questão já veio nos ensinando algo! Disse-nos a definição de um hexágono regular, que nada mais é que a reunião de seis triângulos equiláteros, unidos em um único vértice!

Ou seja, para acertar esta questão, não era preciso saber nada de hexágono, senão apenas conhecer o que é um triângulo equilátero!

E isso nós já sabemos!

O desenho da questão é o seguinte:

Já é fato nosso conhecido que a área do triângulo equilátero é dada por:

Área = 4

32l , onde l é o lado do triângulo!

Assim, como o enunciado nos disse que este lado vale 2/3 , descobriremos quanto

vale a área de um dos triângulos equiláteros!

Teremos:

Área do triângulo equilátero = �B.√�

]� »� B⁄

B.√�

]� �.√�

w

E agora, professor?

Agora, basta multiplicar este resultado por 6, e teremos a área do hexágono!

Teremos:

Área do hexágono regular = �.√�

w .6 � n.√�

] (Resposta: Letra A)

E vamos em frente!

Lá atrás neste Curso, aprendemos alguma coisa acerca do círculo e da circunferência! Lembram-se?

Para refrescar nossa memória, vejam as duas informações mais importantes que temos que guardar conosco sobre esta figura:


Comprimento da Circunferência = 2.�. � Área do Círculo = �. �B

Passemos, pois, a algumas questões ESAF que envolvem círculos e circunferências, Ok?

Vamos lá!

23. (ESAF) Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50%, então o acréscimo percentual em seu comprimento será igual a:

a) 25% b) 50% c) 75% d) 80% e) 85%

Sol.: Na hora da prova, tudo é diferente! Seu estado de espírito está alterado. Há uma grande pressão emocional por conta do tempo, que está correndo muito rápido... E até questões simples e fáceis podem emperrar...

Para evitar que isso aconteça, devemos buscar sempre o caminho da simplicidade!

Se a questão fala em aumento percentual de algum valor, o melhor é adotar 100 para ser a referência, ou seja, chamemos o valor base de 100.

O que é que vai aumentar em 50%? É o valor do raio da circunferência. Assim, adotaremos que o raio original valia 100. Ok?

Assim, originalmente, tínhamos que:

Comprimento = 2.�.r = 200.�

Daí, se o raio original sofrer um aumento de 50%, ele passará a valer 150, confere?

Para isso adotamos a referência r=100. Se o aumento é de 50%, vira 150; se o aumento fosse de 35%, viraria 135. E assim por diante!

E se houvesse diminuição percentual, professor, em vez de aumento?

Ora, bastaria fazer a conta de subtrair, em vez de somar!

Por exemplo, se tivesse havido uma redução percentual de 20% no raio original, este passaria de 100 para 80. Só isso!

Pois bem! Com o novo raio de 150, qual será o comprimento da circunferência?

Novo comprimento = 2.�.r = 300.�

Agora, você pode fazer uma rápida regra de três, para saber de quanto foi o aumento percentual deste comprimento:


Comprimento Percentual

200.� 100%

300.� x

Cortamos os dois zeros dos 200 com os dois zeros do 300; cortamos os �, multiplicamos em cruz, e chegamos a: x=150%.

Em relação ao cumprimento original, que em termos percentuais representava 100%, houve, portanto, um aumento de 50%. (Resposta: Letra B).

Na verdade, bastaria que olhássemos para a fórmula do comprimento da circunferência com um pouco de calma...

Comprimento da Circunferência = 2.�. � ... para percebermos que ele, o comprimento, é diretamente proporcional ao raio da circunferência!

Vejam que 2 é uma constante, e � também é um constante. Assim, sobra na fórmula apenas o raio r. Qualquer aumento ou redução em seu valor implicará idêntico aumento ou redução no valor do comprimento da circunferência.

Entendido?

Vamos em frente!

24. (ESAF) As rodas de um automóvel têm 40 cm de raio. Sabendo-se que cada roda deu 20.000 voltas, então a distância percorrida pelo automóvel, em quilômetros (Km), foi de:

a) 16 Km b) 16 π Km c) 16 π2 Km d) 1,6 . 103π Km e) 1,6 . 103π2 Km

Sol.: Se a questão diz que a roda do automóvel tem 40 cm de raio, temos condições imediatas de calcular o valor do comprimento desta circunferência.

Teremos:

Comprimento = 2.�.r = 2.�.40 = (80.�) cm.

A grande questão aqui seria você perceber que, a cada vez que a roda gira, ou seja, a cada volta completa que ela dá, o carro se desloca exatamente do valor do comprimento desta roda.

Assim, como ela deu 20 mil voltas, e a cada uma delas o carro se deslocou de (80.�)cm, vamos descobrir o quanto o carro avançou ao final.


Faremos:

20.000 x 80π cm = 1.600.000π cm = 16ππππ km

Convém ficar atento para esta última transformação de unidade que nós realizamos, passando a medida de centímetro para quilômetro!

Lembrem-se de que 1km são 1000 metros. E cada metro são 100 centímetros.

Vejam: 1 km = 1000 m e 1m = 100 cm

Daí, saindo da unidade Km, até chegar a cm, quantos zeros apareceram no caminho? Vamos contar? 1 km = 1000 m e 1m = 100 cm

Foram 5 zeros, professor!

Exatamente!

Assim, para transformar da unidade quilômetro para a unidade centímetro, acrescentamos 5 zeros.

E se for o contrário, professor? Se quisermos passar de centímetro para quilômetro?

Neste caso, retiraremos 5 zeros!

E assim teremos que: 1.600.000π cm = 16ππππ km (Resposta: Letra B)

Próxima!

25. (ESAF) O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B. Desse modo, em termos percentuais, a área do círculo A é menor do que a área do círculo B em:

a) 51% b) 49% c) 30% d) 70% e) 90%

Sol.: Vamos seguir a dica que passei anteriormente: sempre que a questão nos falar em aumentos (ou reduções) percentuais, adotaremos o valor de referência 100 (cem)!

Assim, podemos dizer que o raio do círculo A é 100. Logo, o raio do círculo B, por ser 30% menor, valerá 70.

Vamos ver em quanto ficam as áreas desses dois círculos:

Área do Círculo A = �. �B = 1002.� = 10.000 . �

Área do Círculo B = �. �B = 702.� = 4900 . �

Agora, para fazermos a comparação entre as duas áreas, podemos usar uma regra de três simples, a exemplo do que fizemos na resolução da questão 22.


Vejamos:

Área Percentual

10.000 � 100%

4.900 � x

Cortamos dois zeros dos 10000 com os dois zeros do 4900; cortamos os �; multiplicamos em cruz, e chegamos a: x=49%.

Assim, em relação à área original, que em termos percentuais representava 100%, houve, portanto, uma redução de 51%. (Resposta: Letra A).

Passemos à próxima questão!

26. (ESAF) A área de um círculo localizado no segundo quadrante e cuja circunferência tangencia os eixos coordenados nos pontos (0,4) e (-4,0) é dada por

a) 16 π b) 4 π c) 8 π d) 2 π e) 32 π

Sol.: Esta questão tem uma história em minha vida!

Mesmo, professor?

Sim! Ela esteve presente na segunda prova que eu fiz para a Receita Federal, lá no ano de 1998.

Eram quase 6 mil inscritos para 10 vagas!

O tempo corria, célere, e eu perdera preciosos minutos na prova de língua portuguesa... Estava tentando correr atrás do prejuízo. Já havia passado por esta questão e, num primeiro momento, não conseguira enxergar a solução, por mais fácil que pudesse ser...

Então, deixei-a para o final da prova, se houvesse tempo!

E houve. Então, voltei a ela, e consegui resolvê-la no último minuto.

Foi marcar o "x" , preencher a bolinha do gabarito, e entregar a prova!

Já se passaram 14 anos, mas o que eu não esqueço, de jeito nenhum, foi a sensação que tive quando marquei aquela última bolinha no gabarito: uma alegria indescritível! Alguma coisa me dizia, intimamente, que uma daquelas 10 vagas era minha!

E foi dito e feito!


E a questão era essa, meus amigos! Exatamente essa!

Vamos fazer o desenho:

Fica muito fácil reconhecer que o raio deste círculo é igual a 4.

Assim, teremos que a área do círculo será dada por:

Área = πr2 = π(4)2 = 16ππππ (Resposta: Letra A)

Vamos falar rapidamente agora sobre o número de diagonais de um polígono!

Isso já foi questão de prova, e pode voltar a ser novamente!

Trata-se de um ponto imperdível!

Existe uma fórmula para decorar, professor?

Bem, existe uma fórmula. Se é para decorar ou não, aí são outros quinhentos...

Façamos assim: antes de simplesmente jogar a fórmula, vamos pensar juntos em como ela seria. Ok?

Depois você decide aí, com seus botões, se prefere decorar ou aprender como ela se faz...

Pensemos em um quadrado.

A primeira observação que nos interessa é que o número de lados (n) de um polígono é igual ao número de vértices que ele possui.

Confere?

x

(0,4)

(-4,0)

y


Basta olhar para o desenho de um quadrado para se lembrar disso: são 4 lados, e 4 vértices. O mesmo se aplica ao triângulo (3 lados e 3 vértices), e a todos os demais polígonos.

Tomemos agora um dos vértices desse quadrado, o vértice A, e vejamos quantas diagonais partem dele!

Teremos:

Só parte uma diagonal deste vértice, professor?

Ora, se o quadrado possui 4 lados, e se de cada vértice só parte uma diagonal, podemos - generalizando - concluir que, em um polígono qualquer, o número de diagonais que partem de cada vértice será dado por:

Número de diagonais que saem de cada vértice = (n-3).

No caso do quadrado: (n-3)=(4-3)=1 (sai uma diagonal de cada vértice)!

Se fosse um hexágono: (n-3)=(6-3)=3 (saem 3 diagonais de cada vértice!)

Faça o desenho aí do hexágono, para ver se isso é verdade...

Pois bem!

Agora pensem comigo: se (n-3) é o número de diagonais que saem de cada vértice de um polígono, e se n é o número de vértices de um polígono, então, para o polígono inteiro, diremos que saem (n-3).n diagonais!

Confere?

Confere, professor! É só isso?

Ainda não!

Voltemos nossos olhos novamente para o quadrado:

Se atentarmos bem, veremos que esta diagonal que parte do vértice A e chega ao vértice oposto (vamos chamá-lo de B) é a mesmíssima diagonal que parte do vértice B e chega ao vértice A. Estão vendo?

A

A

B


Assim, para que as diagonais não sejam contadas em dobro, temos que dividir aquele número total de diagonais por 2.

Daí, finalmente diremos, de forma acertadíssima, que o número de diagonais de um polígono de n lados é dado por:

¼ú¬(��1(²/,��),/' � p) q �r. )B

No caso de um quadrado (n=4), teremos:

p! q 3r. !2 � p4 q 3r. 4

2 � 2��y��!y��

No caso de um hexágono (n=6), teremos:

p! q 3r. !2 � p6 q 3r. 6

2 � 9��y��!y�� E assim por diante!

Vejamos uma questão ESAF sobre esse assunto!

27. (ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:

a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18

Sol.: A leitura da questão nos leva a crer que precisamos, por primeiro, descobrir o número de diagonais de um hexágono!

Acabamos de fazer isso na página passada, professor!

Exatamente! Dissemos que o número de diagonais de um hexágono é:

p! q 3r. !2 � p6 q 3r. 6

2 � 9��y��!y��

Agora, tomando a primeira parte da leitura desta nossa questão, vemos que há um polígono de n lados. E que de cada vértice deste polígono saem 9 diagonais!


(Esse finalzinho fomos nós que descobrimos, calculando o número de diagonais do hexágono)!

Ora, sabemos calcular o número de diagonais que saem de cada vértice de um polígono:

Número de diagonais que saem de cada vértice = (n-3).

Assim, teremos que: (n-3)=9

E: n=12 (Resposta: Letra B)

E aí? Tudo certinho?

Vamos em frente!

Falemos agora um pouco sobre ângulos internos e ângulos externos de um polígono regular!

O que é mesmo um polígono regular, professor?

Polígono Regular é aquele que tem todos os lados de mesmo tamanho!

Tomemos o desenho de um hexágono regular (n=6 lados):

Vou pedir que você se concentre só nos dois lados destacados no desenho abaixo:

Quero, com isso, mostrar-lhes exatamente o que é ângulo interno e o que é ângulo externo.

Vejamos primeiramente o ângulo interno (vamos chamá-lo de �) existente neste vértice:

*


Para identificar o ângulo externo, temos que traçar um prolongamento do lado. Teremos:

E eis que surge o ângulo externo, ao qual chamaremos de �:

Agora vamos ver tudo o que precisamos saber sobre estes dois ângulos (interno e externo):

1º) A soma deles é igual a 180o: * ^ � � mw��

Essa é fácil de enxergar, concordam? São ditos, portanto, ângulos suplementares!

2º) Para um polígono regular de n lados, o valor de cada ângulo interno será dado por:

¾̂ �p) q Br. mw��

)

3º) Para um polígono regular de n lados, o valor de cada ângulo externo será dado por:

(À ��

)

Tem uma dica importante que merece comentário neste momento!

Mas, antes, uma pergunta: olhando as duas fórmulas acima, a do ângulo interno e a do ângulo externo, qual lhes parece a melhor para fazer contas mais rapidamente?

É a do ângulo externo, não é, professor?

*

*

�


Exatamente!

Assim, conhecendo a próxima observação, a de nº 4, vocês verão que é sempre possível transformar uma relação que envolva ângulos internos de dois polígonos, reescrevendo-a em função dos respectivos ângulos externos!

Vejam aí!

4º) Afirmar que o ângulo interno de um polígono (Á¤Â ) é 5o maior que o ângulo interno

de outro polígono (Á§Â ) é o mesmo que afirmar que o ângulo externo deste último

polígono ( §Ã) é 5o maior que o ângulo externo do primeiro ( ¤Ã).

Vejam: Se Á¤Â = Á§Â + 5o ( §Ã)= ( ¤Ã)+ 5o

Obviamente que este valor 5o é meramente ilustrativo. Poderia ser qualquer outro valor no lugar dele, OK?

Vejam melhor:

Passemos à próxima questão ESAF.

28. (ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono X excede o ângulo interno do polígono Y em 5� (cinco graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a:

a) 9 e 8 b) 8 e 9 c) 9 e 10 d) 10 e 11 e) 10 e 12

Sol.: Tomando os dois polígonos, X e Y, anotemos as informações que nos passou o enunciado:

Polígono X: Polígono Y:

Número de lados: (n+1) Número de lados: n

Ângulo interno: (Á¤Â ) Ângulo interno: (Á§Â )

120o

125o

60o

55o


A informação que relaciona os ângulos internos desses dois polígonos é a seguinte: Á¤Â

= Á§Â + 5o

Daí, aplicando o que aprendemos na dica 4 da página anterior, podemos afirmar também que:

((lÃ)= ((jÃ)+ 5o

Por assim dizer, matamos a questão! (Ao menos, matamos o raciocínio necessário)!

Como é que se calcula o ângulo externo de um polígono regular? Assim:

(À ��

)

Daí, teremos que:

360!

�360

p! ^ 1r^ 5

Desenvolvendo esta equação, teremos:

360!

�360

p! ^ 1r^ 5 ∴ 360! � 360 ^ 5! ^ 5

p! ^ 1r ∴ 360! ^ 360 � 360! ^ 5!� ^ 5! E assim, chegamos a uma equação de segundo grau: 5. !� ^ 5! q 360 � 0 Simplificando (dividindo tudo por 5), teremos: !� ^ ! q 72 � 0 Finalmente, resolvendo a equação, teremos:

! � q1 Ä »1 q p4r. p1r. pq72r2

Daí: n=8

Onde n é o número de lados do polígono Y.

E o número de lados do polígono X, que é dado por (n+1), será igual a 9.

Assim: 9 e 8 (Resposta: Letra A)

Agora vamos falar um pouco acerca de outro conhecidíssimo teorema dentro da Geometria: o Teorema de Tales!

Todos vocês já ouviram falar dele, certamente!

Tem a ver com retas paralelas e retas transversais, não é professor?

Exatamente!

Comecemos traçando um feixe de retas paralelas:


Agora tracemos duas retas transversais (t1 e t2) àquelas que já estavam no desenho anterior:

Pois bem! O Teorema de Tales é tão somente uma relação de proporcionalidade!

Por Tales, diremos que:

effi

�ÅÆÆÇ

Podemos dizer ainda que:

fiiÈ

�ÆÇÇh

Podemos ainda afirmar que:

eiiÈ

�ÅÇÇh

E ainda que:

r1

r2

r3

r4

t1

A

B

C

D

r1

r2

r3

r4

E

F

G

H

t2


effÈ

�ÅÆÆh

E finalmente que:

efÅÆ

�fiÆÇ

�iÈÇh

�eÈÅh

Tales nos diz, portanto, que:

Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais.

Vejamos isso numa questão de prova da ESAF:

29. (ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a:

a) 6, 30 e 54 b) 6, 34 e 50 c) 10, 30 e 50 d) 14, 26 e 50 e) 14, 20 e 56

Sol.: A questão só tem tamanho... Mas a resolução é quase que imediata!

Façamos o desenho, para compreender melhor:

Acerca dos valores de x, y e z, sabemos que a soma dos três vale 90cm.

r1

r2

r3

r4

2

10

18

x

y

z

A B


Com isso, é possível estabelecer a relação de proporcionalidade entre os segmentos correspondentes nas duas retas!

A soma dos segmentos na transversal A é igual a 30, e a soma dos segmentos na transversal B é 90.

Assim: 90/30=3

Daí, concluímos que cada segmento da reta B será o triplo do segmento correspondente na reta A.

Só isso, professor?

Só! Mais fácil, impossível!

Teremos, pois, que:

x= 3 . 2 = 6

y= 3 . 10 = 30

Z= 3. 18 = 54

Assim, 6, 30 e 54 (Resposta: Letra A)

Passemos à próxima questão ESAF:

30. (ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90 graus uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do mesmo cruzamento?

a) 5 km. b) 4 km. c) 4√2 km. d) 3 km. e) 5√2 km.

Sol.: O que lhe parece? Uma questão bem fácil, concordam? Vamos fazer o desenho? Marcaremos com pontos vermelhos a localização de cada carro. Teremos:

3

4

x


Alguém dirá:

Professor, essa aí deve ser uma questão de prova de nível médio, e que caiu há uns dez ou quinze anos... Não vem mais questão fácil assim nos concursos de hoje...

Tem certeza?

Esta questão, meus amigos, caiu no último concurso de Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil. Sim! No AFRFB/2009.

Mas aí não basta aplicar o teorema de Pitágoras, professor?

Sim! Só isso! E a hipotenusa é justamente o que a questão está pedindo!

Teremos: x2=32+42 ∴ x2=25

E, desprezando a raiz negativa: x=5 (Resposta: Letra A)

É o que eu sempre digo: nem só de questões difíceis se faz uma prova de concurso!!!

Também tem as dificílimas e as impossíveis!

Vamos para mais uma fácil? (Depois a gente faz a mais difícil de todas!)...

31. (ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:

a) 16 b) 28 c) 15 d) 24 e) 32

Sol.: Para acertar esta daqui, o pré-requisito é um só: saber ler! Não precisava nem saber que coplanares significa no mesmo plano, pois até isso a questão explicou!

Ah! Tinha que saber que colineares significa na mesma reta!

Mas isso eu creio que todos sabem, não é mesmo?

Então, o que temos são 7 (sete) pontos, sendo que 4 (quatro) deles são colineares.

Façamos o desenho:

Pode ser assim? Claro, sem problemas! Vejam que os quatro pontos superiores estão alinhados, ou seja, são colineares!


Pois bem! O que a questão quer mesmo saber?

Ela quer saber o número de retas que ficam determinadas por estes 7 pontos! Só isso!

Ainda não entendi, professor...

Em palavras mais fáceis: a questão quer saber quantas retas você consegue traçar, unindo quaisquer desses pontos.

Até de brincadeira você acerta! Vamos lá?

Aí em cima já foram 4.

Vamos para mais 4:

Continuando, tracemos as retas que partem do ponto mais baixo do desenho:

Com isso, já temos 14 retas traçadas! Ainda dá para traçar mais alguma? Claro que sim! Teremos agora:


Você pode passar o resto do ano tentando criar uma reta que ainda não esteja aí, e não vai achar nenhuma...

Quantas foram? Foram 16 retas (Resposta: Letra A)

Essa era a única forma de resolver a questão, professor?

De jeito nenhum! Dava para resolver até por análise combinatória... (Mas eu preferi usar este caminho aí de cima mesmo, para não ficar parecendo que era difícil).

Vamos mais uma?

32. (ESAF) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede 32 centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em centímetros, é igual a:

a) 27 b) 48 c) 35 d) 63 e) 72

Sol.: Esta também é bastante recente. É da prova de ATRFB/2010 (Analista Tributário da Receita Federal do Brasil).

É a típica questão fácil, mas que fica difícil se você estiver com muita pressa...

Vamos anotar os dados principais do enunciado:

i) XY = 3.YZ

ii) XZ = 32

iii) XY = ?

Ressalte-se que esses 3 pontos (X, Y e Z) são colineares! (Já sabemos o que é isso).

Se você começar a pensar um pouco, verá que há duas situações possíveis para a marcação dos pontos X, Y e Z, de sorte a não contrariar as exigências do enunciado.


Senão, vejamos!

Comecemos definindo as posições de X e Y.

Teremos:

Percebam nas divisões que traçamos na reta, que há 3 (três) espaços entre X e Y. Se quisermos chamar cada espaço destes de a, então haverá uma distância de 3a entre X e Y.

Isso, obviamente, foi proposital, em função da primeira exigência do enunciado (de que XY = 3.YZ).

Assim, só existem duas posições possíveis para o ponto Z: ou ele ficará à direita, ou ficará à esquerda de Y.

Em qualquer caso, a distância entre Y e Z será de uma marcação (um espaço) da nossa reta.

Analisemos no desenho as duas situações possíveis:

Situação 1) O ponto Z está à direita de Y.

Neste caso, sabendo que XZ=32, diremos que 4a=32, e daí a=8.

Assim, teríamos que XY=3x8=24

Esta poderia ser a resposta! Mas não é, simplesmente porque não consta nas alternativas.

Isso nos leva a concluir que a verdadeira posição do ponto Z será à esquerda de Y.

Teremos:

X Y

X Y

3a

X Y Z

3a a

X Y

3a

Z

a


Nesta nova situação, enxergamos que XZ=2a=32, donde extraímos que a=16.

Assim, matamos a questão calculando que:

XY=3a=3x16=48 (Resposta: Letra B)

É, meus amigos, estamos partindo agora para as saideiras...

Para encerrar nosso minicurso, vamos fazer duas questões ESAF recentes, e das mais belas, Ok?

Vamos juntos!

33. (ESAF) Três esferas rígidas estão imóveis em uma superfície plana horizontal, sendo que cada esfera está encostada nas outras duas. Dado que a maior delas tem um raio de 4cm e as outras duas têm raios de 1cm, os pontos em que as esferas tocam o chão formam um triângulo cuja área é:

a) 2

75,15 cm2

b) 75,15 cm2

c) 62 cm2

d) 15 cm2

e) 6 cm2

Sol.: Estamos diante de uma questão que exigirá de nós toda a perspicácia do mundo! Em nível de dificuldade, de zero a dez, esta fica realmente no topo!

Daí, se você acerta uma questão desta na sua prova, passa na frente de um caminhão lotado de concorrentes... Vamos tentar juntos? Só dá para acertar essa questão se você fizer o desenho, e com muito cuidado!

É mister que façamos, na verdade, dois desenhos iniciais: um com a vista superior das 3 esferas, e outro com a vista lateral. Vejamos:

(1º desenho: vista superior) (2º desenho: vista lateral)

4

4

1 1

1 1

4

1


Neste primeiro desenho, traçamos um triângulo (em vermelho) ligando os centros das 3 esferas.

A necessidade do segundo desenho, o da vista lateral, é exatamente fazer você enxergar que este triângulo da vista superior está, na verdade, inclinado para cima, uma vez que há uma esfera maior que as outras duas.

Estão percebendo isso?

Ocorre que a pergunta da questão é deveras capciosa! Ela quer saber a área do triângulo cujos vértices são os pontos onde as esferas tocam no chão!

Ou seja, ele não quer a área daquele triângulo inclinado, que une os centros das esferas!

Aí é que mora toda a malícia da questão! Será preciso projetar para o plano do chão aquele triângulo inclinado dos desenhos acima!

Para esclarecer melhor, vejam o desenho que se segue:

Vejam que a questão pede de nós a área desse triângulo que está no chão, e que destacamos em sombreado!

Para descobrirmos o lado deste triângulo sombreado, usaremos apenas a lateral do desenho anterior, que se afigura para nós como se fosse um trapézio! Vejam:

Traçaremos uma linha horizontal de altura 1 cm, conforme mostrado a seguir:

4

2

5 5

1

1

4

1

5


Usando Pitágoras, teremos que: 52 = 32 + x2

Daí: x2 = 25 – 9 ∴ x2 = 16 ∴ x = 4

Assim, meus amigos, o triângulo sombreado tem as seguintes medidas:

Sua altura será calculada, novamente, por Pitágoras! Teremos:

42 = h2 + 12 ∴ h2 = 16 – 1 = 15 ∴ h = 15

Finalmente, recordando que a área do triângulo é dada por (base . altura)/2, teremos que:

Área = 152

152 =⋅ cm2 (Resposta: Letra D)

Vamos para a questão saideira.

34. (ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cms é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície?

a) 5. b) 7,5. c) 5 + 5√2 / 2. d) 5√2 . e) 10.

4

1

5

1

3

x

x

2

4 4

1 1


Sol.:

Aí está nosso desenho!

O cone estava parado, até que veio rolando uma esfera e ficou exatamente encostada nele!

Só há um ponto de contato (ponto de tangência) entre o cone e a esfera, que é o ponto D.

Sendo assim, concluímos que o segmento AC é exatamente perpendicular ao raio OD.

Vemos ainda que o triângulo ABC é isósceles, pois dois de seus lados são iguais a 5.

Assim, os ângulos BAC e ACB devem ser iguais, e valem, ambos, 45o cada um deles, haja vista que há neste triângulo um ângulo reto (90o)!

Percebam também que o ângulo OAB é 90º. Assim, como o ângulo BAC vale 45º, também o ângulo OAD será de 45º (=90º–45º).

O ângulo ODA vale 90º, confere? Daí, como o ângulo OAD vale 45º, teremos que o ângulo AOD também será 45º, a fim de que a soma dos ângulos internos do triângulo OAD seja 180º.

Como este triângulo OAD possui dois ângulos iguais, logo possuirá dois lados iguais. Neste caso, AD = OD = 5.

Anotando todos estes resultados no desenho, teremos:

A questão pergunta a medida do segmento PB, o qual tem a mesma medida do segmento OA.

A

B C

O

D 5

5

5 5

P

5

5

5

O

C B

A 45º

45º 45º

5 5

D 45º

P


Para chegarmos à resposta, destacaremos o triângulo retângulo OAD a seguir:

O segmento OA é a hipotenusa do triângulo e pode ser obtida simplesmente por Pitágoras. Teremos:

(OA)2 = 52 + 52

Daí, vem que:

(OA)2 = 25 + 25 = 50 ∴ OA = √50 = 5√2 (Resposta: Letra D)

-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-

É isso, meus amigos!

Convém esclarecer a todos que este minicurso deve servir apenas para abrir as portas para o entendimento mais básico da Geometria!

Vejam que tratamos aqui apenas da Geometria Plana, que é, no fim das contas, a mais cobrada pela ESAF em seus concursos.

Mas também, aqui e ali, você encontra uma questão de Geometria Espacial...

A bem da verdade, o estudo completo da Geometria dá um livro inteiro, de pelo menos umas 400 páginas...

Para concurso, não sei se vale a pena o custo-benefício de se escrever tanto...

Vou deixar na sequência a relação das trinta e poucas questões ESAF que resolvemos neste Curso, a fim de que vocês, ao completar esse estudo, tenham a certeza de seu aprendizado, resolvendo novamente toda a lista!

Precisa mesmo, professor?

Não! Só se você quiser aprender de verdade!

Estamos juntos, meus amigos!

Bons estudos a todos vocês!

E fiquem com Deus!

Prof. Sérgio Carvalho

O

5

D

A 45º 45º

5


LISTA DAS QUESTÕES ESAF TRABALHADAS NESTE MINICURSO

01. (ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, A+X e A+Y, onde A, X e Y são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede A+X é igual a 45º, segue-se que: a) Y = -2 X b) Y = (31/2)/2 X c) Y = 31/2 X d) Y = X e) Y = 2 X Obs.: Resolvida na página 22. 02. (ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, x e (y-2). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede x é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a a) 2y (x + 1)

b) y (2 + 2 2 )

c) x (2 + 2 ) d) 2 (x + y) e) x2 + y2 Obs.: Resolvida na página 23. 03. (ESAF) Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma com a hipotenusa um ângulo de 45º. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, então a soma das medidas dos catetos é igual a: a) 8 cm2 b)16 cm c)4 cm d) 16 cm2 e) 8 cm

Obs.: Resolvida na página 24. 04. (ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m. Obs.: Resolvida na página 26. 05. (ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 60°. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede: a) 45° b) 60° c) 90° d) 120° e) 150° Obs.: Resolvida na página 30. 06. (ESAF) O ângulo A de um triângulo qualquer ABC mede 76°. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices B e C deste triângulo vale: a) 50° b) 52° c) 56°


d) 64° e) 128° Obs.: Resolvida na página 33. 07. (ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede √2 cm e um outro mede 2 cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45º, então a área do triângulo é igual a a) 3�� ⁄ b)2� �⁄ c) 2�� ⁄ d)3√2 e) 1 Obs.: Resolvida na página 36. 08. (ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo equilátero que, por sua vez, está inscrito em outro círculo. Determine a razão entre a área do círculo maior e a área do círculo menor. a) √3 b) 2 c) 3 d) √2 e) 4 Obs.: Resolvida na página 39. 09. (ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo. a) 1,50 b) 1,25 c) 1,00 d) 1,75 e) 2,00 Obs.: Resolvida na página 43. 10. (ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste triângulo é tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR,BP e CQ medem x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do triângulo ABC é igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a a) 18 – c. b) 18 – x. c) 36 – a. d) 36 – c. e) 36 – x. Obs.: Resolvida na página 46. 11. (ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro será igual a: a) 40 cm b) 35 cm c) 23 cm d) 42 cm e) 45 cm Obs.: Resolvida na página 47.


12. (ESAF) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m. A área do segundo triângulo será igual a: a) 6 m2 b) 12 m2 c) 24 m2 d) 48 m2 e) 60 m2 Obs.: Resolvida na página 52. 13. (ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, �, e � , é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo � é igual a 128 �� . Assim, a área do triângulo � é igual a: a) 4 ��. b) 16 ��. c) 32 ��. d) 64 ��. e) 2 ��. Obs.: Resolvida na página 54. 14. (ESAF) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste de 10 metros de altura mede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 25 m. Por interpolação e extrapolação lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia. a) 45m b) 35m c) 20m d) 50m e) 65m Obs.: Resolvida na página 55. 15. (ESAF) Considere um terreno quadrado com área de 1600 m2 e vértices A, B, C e D, sendo que A e C são vértices não adjacentes. Um ponto está sobre a diagonal BD a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o valor mais próximo da distância deste ponto até o vértice C? a) 30 m b) 17,32 m c) 34,64 m d) 28,28 m e) 14,14 m Obs.: Resolvida na página 57. 16. (ESAF) Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão entre a área do círculo cincurscrito e a área do círculo inscrito? a) √2 b) 2 √2 c) 2 d) 4 e) 1 Obs.: Resolvida na página 61. 17. (ESAF) Um quadrado de lado unitário está inscrito em um círculo que, por sua vez, está inscrito em outro quadrado de lado L. Determine o valor mais próximo de L. a) 1,732 b) 1,414 c) 2 d) 1,5 e) 1,667


Obs.: Resolvida na página 62. 18. (ESAF) A e B são os lados de um retângulo I. Ao se aumentar o lado A em 20% e reduzir-se o lado B em 20% obtem-se o retângulo II. Se, ao invés disso, se aumentar o lado B em 20% e diminuir-se o lado A em 20%, tem-se o retângulo III. Pode-se afirmar que: a) Os três retângulos tem a mesma área. b) Os retângulos II e III tem uma área igual, maior que a do retângulo I. c) O retângulo II tem a maior área. d) O retângulo III tem a maior área. e) O retângulo I tem a maior área. Obs.: Resolvida na página 67. 19. (ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados a, b, c, e d, medindo (4 x – 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a: a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 50 Obs.: Resolvida na página 68. 20. (ESAF) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20 cm, base menor igual a 8 cm e altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos do trapézio é igual a: a) 10 b) 5 c) 7 d) 17 e) 12 Obs.: Resolvida na página 74. 21. (ESAF) Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a zero ele degenera naturalmente em um polígono de menor número de lados podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta. Dessa maneira, considere um quadrilátero com duas diagonais iguais e de comprimento 5√2 cada uma. Sendo A a área desse quadrilátero, então: a) A = 25. b) 25 ≤ A ≤ 50. c) 5√2 < A ≤ 25. d) 0 ≤ A ≤ 25. e) A ≥ 25. Obs.: Resolvida na página 74. 22. (ESAF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a 2/3 m, então a área, em metros, do hexágono é igual a:

a) 9 3

4 d) 3 3

b) 3

7 e)

3

3

c) 2 3 Obs.: Resolvida na página 75.


23. (ESAF) Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50%, então o acréscimo percentual em seu comprimento será igual a: a) 25% b) 50% c) 75% d) 80% e) 85% Obs.: Resolvida na página 77. 24. (ESAF) As rodas de um automóvel têm 40 cm de raio. Sabendo-se que cada roda deu 20.000 voltas, então a distância percorrida pelo automóvel, em quilômetros (Km), foi de: a) 16 Km b) 16 π Km c) 16 π2 Km d) 1,6 . 103π Km e) 1,6 . 103π2 Km Obs.: Resolvida na página 78. 25. (ESAF) O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B. Desse modo, em termos percentuais, a área do círculo A é menor do que a área do círculo B em: a) 51% b) 49% c) 30% d) 70% e) 90% Obs.: Resolvida na página 79. 26. (ESAF) A área de um círculo localizado no segundo quadrante e cuja circunferência tangencia os eixos coordenados nos pontos (0,4) e (-4,0) é dada por a) 16 π b) 4 π c) 8 π d) 2 π e) 32 π Obs.: Resolvida na página 80. 27. (ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18 Obs.: Resolvida na página 83. 28. (ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono X excede o ângulo interno do polígono Y em 5� (cinco graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a: a) 9 e 8 b) 8 e 9 c) 9 e 10 d) 10 e 11 e) 10 e 12 Obs.: Resolvida na página 86.


29. (ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a: a) 6, 30 e 54 b) 6, 34 e 50 c) 10, 30 e 50 d) 14, 26 e 50 e) 14, 20 e 56 Obs.: Resolvida na página 89. 30. (ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90 graus uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do mesmo cruzamento? a) 5 km. b) 4 km. c) 4√2 km. d) 3 km. e) 5√2 km. Obs.: Resolvida na página 90. 31. (ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a: a) 16 b) 28 c) 15 d) 24 e) 32 Obs.: Resolvida na página 91. 32. (ESAF) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede 32 centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em centímetros, é igual a: a) 27 b) 48 c) 35 d) 63 e) 72 Obs.: Resolvida na página 93. 33. (ESAF) Três esferas rígidas estão imóveis em uma superfície plana horizontal, sendo que cada esfera está encostada nas outras duas. Dado que a maior delas tem um raio de 4cm e as outras duas têm raios de 1cm, os pontos em que as esferas tocam o chão formam um triângulo cuja área é:

a) 2

75,15 cm2

b) 75,15 cm2

c) 62 cm2

d) 15 cm2

e) 6 cm2


Obs.: Resolvida na página 95. 34. (ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cms é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície? a) 5. b) 7,5. c) 5 + 5√2 / 2. d) 5√2 . e) 10. Obs.: Resolvida na página 97. Segue o gabarito:

GABARITO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 D C E B D B E E A A

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A E A A C B E B A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 D A B B A A B A A A

31 32 33 34 A B D D

Até a próxima! Prof. Sérgio Carvalho

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