Emerson Marcos Furtado - GOPEM · Geometria I 319 Congruência e semelhança de figuras planas As...

Emerson Marcos FurtadoMestre em Métodos Numéricos pela Univer-

sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de ma-temática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-nio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result – Con-sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br

317

Geometria I

Nesta aula estudaremos tópicos de geometria plana.

A geometria plana é a parte da Matemática que estuda as figuras geo-métricas bidimensionais, ou seja, figuras que podem ser observadas em um plano. Iniciaremos nossos estudos a partir dos triângulos.

Triângulos O estudo de triângulos é um dos assuntos mais importantes na Geome-

tria Plana, abrangendo interações com outras figuras geométricas, possibili-tando relações importantes, além de serem elementos básicos constituintes de figuras poligonais com mais do que três lados.

Observe a definição de triângulo:

Triângulo é qualquer polígono composto por exatamente três lados.

B C

A

Elementos principais de um triângulo

Os principais elementos de um triângulo são os lados, os vértices e os ângulos internos.


318

Geometria I

B C

A

Â

ĈB

Considerando o triângulo ABC acima, temos:

Lados: são os segmentos AB , AC e BC.

Vértices: são os pontos: A, B e C.

Ângulos internos: são os ângulos A , B e C .

Soma dos ângulos internos de um triângulo

É importante relembrar de uma propriedade que relaciona os ângulos internos de um triângulo. Observe o triângulo a seguir:

B C

A

ÂĈ B

Se, pelo vértice A, traçarmos, uma reta paralela a BC , obteremos ângulos congruentes aos ângulos B e C . Os três ângulos destacados no vértice A, juntos, correspondem a um ângulo de 180°. Logo, podemos concluir que:

A + B + C = 180°

Portanto, em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°.

Esta relação é conhecida como teorema angular de Tales.


Geometria I

319

Congruência e semelhança de figuras planas

As formas geométricas que observamos na natureza, nas obras de arte e até em telhados de casas são, muitas vezes, representadas por figuras semelhantes.

Para ilustrar, observe o desenho, no qual os segmentos AM e BN são respectivamente paralelos aos segmentos PN e PM :

A B

C

P

M N

Nessa ilustração, é possível observar cinco triângulos: ∆ABC, ∆APM, ∆PBN, ∆MNC e ∆PMN.

Todos eles são semelhantes entre si, pois os ângulos correspondentes têm a mesma medida. Entretanto, apenas um dos triângulos não é congruente com os outros.

O triângulo ABC, apesar de ser semelhante, não é congruente com os demais, porque as medidas dos seus lados são diferentes das medidas dos lados correspondentes dos outros triângulos.

A partir dessas ideias, podemos formalizar o conceito de semelhança.

Triângulos semelhantes

Dado o triângulo ABC a seguir, vamos traçar uma reta r, paralela ao lado AB determinando o segmento DE e destacando o triângulo DEC.


320

Geometria I

A B

C

D Er

C

D E

Se AB é paralelo a DE , os ângulos CAB e CDE são congruentes. Pela mesma razão, também serão os ângulos ABC e DEC .

Como o ângulo BCA é comum aos triângulos ABC e DEC, conclui-se que tais triângulos são semelhantes, pois apresentam os três ângulos respecti-vamente congruentes. Devido à semelhança, escrevemos ∆ABC ≈ ∆DEC, e estabelecemos uma proporção entre as medidas dos lados homólogos:

ABDE

ACDC

BCEC

k= = =

O valor de k é a constante de proporcionalidade.

Existem algumas situações em que é possível identificar triângulos seme-lhantes. A mais comum consiste em se avaliar se um dos triângulos possui dois ângulos que têm a mesma medida que dois ângulos em um segundo triângulo. Como a soma das medidas dos três ângulos internos de qualquer triângulo deve ser igual a 180°, os terceiros ângulos de cada triângulo terão as mesmas medidas, o que garante a validade da semelhança.

Teorema de Tales O geômetra grego conhecido como Tales de Mileto deixou importantes

resultados na geometria plana. Vamos estudar um de seus mais conhecidos teoremas.

Considere um feixe de retas paralelas, r, s e t, cortadas por duas transver-sais, u e v, aleatoriamente traçadas.


Geometria I

321

A

B

C

D

E

r

s

t

u v

F

a

b

a’

b’

AB = a , BC = b , DE = a’ , EF = b’

Pelos pontos A e B são traçadas as retas v1 e v2, paralelas à reta v, desta-cando os pontos E’, F’ e F’’:

A

B

C

D

E

r

s

t

u v

F

a

b

a’

b’

a’

b’ b’

E’

F’F’’

v2 v1

Os triângulos ABE’, BCF’’ e ACF’ são semelhantes entre si, pois os ângulos correspondentes são iguais. Logo, podemos escrever:

aa

bb

a ba b’ ’ ’ ’

= =++

Esse resultado caracteriza o que se denomina Teorema de Tales:

Um feixe de retas paralelas intersectado por duas transversais determi-na sobre essas transversais segmentos proporcionais.

Exemplo:

Na ilustração, as retas r, s, t, u, v são paralelas.


322

Geometria I

Quais são as medidas x, y, z e w?

w

80

75

y

87

90

z108

x120

v

u

r

s

t

Como as retas r, s, t, u e v são paralelas, podemos utilizar o Teorema de Tales:

12090 87

10875

80= = = =

xy

zw

Então, particularizando as proporções, temos:

12090 87

43 87

3 348 116

12090

108 43

1084 324

= ® = ® = ® =

= ® = ® = ® =

x xx x m

y yy y 881

12090 75

43 75

3 300 100

12090

80 43

804 240

m

z zz z m

w ww

= ® = ® = ® =

= ® = ® = ® ww m= 60


Geometria I

323

Triângulo retângulo Vamos estudar agora um tipo de triângulo que se destaca na resolução

de problemas geométricos: o triângulo retângulo.

Definição: triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°.

Vamos iniciar considerando um triângulo ABC, retângulo em A . Nesse triângulo, traçamos a altura AD, relativa à hipotenusa BC, e destacamos os triângulos ACD e ABD que, assim como ABC, também são triângulos retângulos.

A

BCD

c

m n

b h

Elementos importantes:

BC � : hipotenusa;

AC � e AB: catetos;

AD � : altura relativa à hipotenusa;

CD � e BD: projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Os triângulos ABC, DCA e DBA são triângulos retângulos. Logo, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180° e um dos ân-gulos é reto (90°), concluímos que cada um deles tem um par de ângulos complementares. Consequentemente, os triângulos ABC, DCA e DBA são semelhantes entre si:

A

BCD

c

m n

b h

α

β α

β


324

Geometria I

Triângulo ABC: Triângulo DCA: Triângulo BDA:

A

BC

c

a

b

C

D

Ab

hm

D

BA

h n

c

Da semelhança existente entre os três triângulos, podemos obter rela-ções importantes entre as medidas de seus lados, observe:

∆ABC ≈ ∆DCA � :

bm

ab

b a m= ® =2 .

A medida de um cateto ao quadrado é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa. E ainda:

ab

ch

b c a h= ® =. .

O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hi-potenusa pela medida da altura relativa a essa hipotenusa.

∆ABC ≈ ∆BDA � :

cn

ac

c a n= ® =2 .

A medida de um cateto ao quadrado é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa

∆DCA ≈ ∆BDA � :

mh

hn

h m n= ® =2 .

A medida da altura relativa à hipotenusa, ao quadrado, é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.


Geometria I

325

Há ainda uma relação que pode ser obtida a partir de duas dessas equa-ções, observe:

b2 = a . m

c2 = a . m

Adicionando membro a membro, temos:

b2 + c2 = a . m + a . n

b2 + c2 = a . (m + n)

b2 + c2 = a . a

b2 + c2 = a2

Esse resultado destaca a validade do teorema de Pitágoras em qualquer triângulo retângulo:

O quadrado da hipotenusa é igual à soma das medidas dos quadrados dos dois catetos.

Circunferência e círculo Preste atenção ao conceito de circunferência:

Circunferência é o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é fixa. O ponto dado é chamado de centro e a distância fixa é o raio da circunferência.

O

O: centro da circunferênciaOP: raio da circunferência (R)

circunferência

PR

Pela definição, a circunferência é o lugar geométrico constituído apenas pela linha formada pelos pontos que estão a mesma distância R do centro O.


326

Geometria I

Comprimento da circunferência

Uma relação bastante útil na geometria é a que permite avaliar o compri-mento de uma circunferência apenas a partir da medida do próprio raio.

A medida do comprimento de uma circunferência de raio de medida R, representada por C, é dada por:

C = 2πR

em que π vale aproximadamente 3,14.

C = 2πR

BA AP PB BA

BP A P

Além da circunferência, outro conceito importante é o de círculo:

Círculo é o conjunto dos pontos de um plano pertencentes a uma circunfe-rência e interiores a ela.

Círculo de raio R e centro em OR

Área do círculo

É possível provar que a medida da área de um círculo de raio R, represen-tada por S, é dada por:

S = πR2

Elementos da circunferência

Além do raio, existem outros elementos importantes em uma circun-ferência, tais como diâmetro, corda e arco. Observe alguns conceitos importantes:


Geometria I

327

Reta secante a uma circunferência é toda reta que corta a circunferência em dois pontos distintos.

Reta tangente a uma circunferência é toda reta que toca a circunferência num único ponto.

Arco de uma circunferência é uma parte da circunferência delimitada por dois pontos pertencentes à circunferência.

Corda de uma circunferência é qualquer segmento de reta que tenha ex-tremidades na circunferência.

Na figura a seguir, o segmento AB é o diâmetro da circunferência, sendo, portanto, uma das cordas de maior medida possível nessa circunferência.

AO

B

Observe na figura a seguir que a reta s é secante à circunferência nos pontos C e D, e a reta t é tangente à circunferência no ponto P. Os dois pontos distintos C e D determinam a corda CD e os arcos CAD

e CPD

.

A

P

CD

s (secante)

t (tangente)

O ponto P é chamado de ponto de tangência ou ponto de contato da reta t com a circunferência. Pelas ilustrações, podemos concluir que qualquer reta secante a uma circunferência determina na circunferência uma corda e dois arcos.


328

Geometria I

Elementos do círculo

Existem dois elementos importantes a serem considerados em um cír-culo: o setor circular e o segmento circular. Para melhor compreender esses conceitos, é importante relembrar o conceito de ângulo central.

Ângulo central é todo ângulo com vértice no centro de um círculo.

A

B

O α α ângulo centralAÔB tem medida α

Não é difícil perceber que todo ângulo central corresponde a um arco e, reciprocamente, a todo arco, um ângulo central.

Setor circular

Setor circular é a região de um círculo delimitada por um ângulo central.

setor circular de ângulo α O α

R

R

A área de um setor circular pode ser obtida por meio de uma propor-ção relacionando o ângulo de 360°, referente à totalidade do círculo, com o ângulo do setor especificamente. Assim, sendo α o ângulo central de um setor circular de área Sset, pertencente a um círculo de raio R, temos:

ângulo área360° → πR2

α → Sset

Um setor circular também pode ser identificado pelo comprimento do arco correspondente.


Geometria I

329

O α

R

RB

A

l

l é o comprimento do arco ÂB

Nesse caso, a área também pode ser obtida por meio de uma proporção relacionando as medidas das áreas e dos comprimentos. Sendo l a medida do comprimento de um arco de um setor circular pertencente a um círculo de raio R, temos:

área comprimentoπR2 → 2πRSset

→l

Segmento circular

Segmento circular é a parte de um setor circular compreendida entre a corda e o arco relativos ao setor.

O α

R

RB

A

l

segmento circular

relativo à corda AB

A área de um segmento circular, representada por Sseg, pode ser obtida pela diferença entre as áreas do setor circular correspondente e do triângulo isósceles AOB, que tem R como dois de seus lados e a corda AB como ter-ceiro lado. Assim, temos:

Sseg = Sset – Striângulo

Ângulo inscrito em uma circunferência

Ângulo inscrito é a denominação dada a todo ângulo cujo vértice perten-ça a uma circunferência e cujos lados sejam secantes a ela.


330

Geometria I

Exemplo:

V

B

A

AVB é um ângulo inscrito na circunferência

Existem duas propriedades importantes relacionadas a um ângulo inscri-to de uma circunferência.

Propriedade 1

A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central correspondente.

Exemplo:

Na ilustração, a medida do ângulo inscrito APB

é igual à metade da medida do ângulo central AOB :

B

A

O

P

α

2α

m APBm AOB

( )( )

=2

Propriedade 2

Ângulos inscritos em uma mesma circunferência, que são relativos a um mesmo arco, têm medidas iguais.

B

A

ααα

Os ângulos inscritos “enxergam” o arco ÂB segundo o mesmo ângulo α


Geometria I

331

Observe, na figura, que os três ângulos inscritos são relativos ao mesmo arco AB

. Logo, de acordo com a propriedade 1, todos são relativos ao mesmo ângulo central de medida 2α, e, portanto, têm a mesma medida α.

Uma consequência importante da propriedade 1 anterior é a que quando os extremos de um arco são os extremos de um diâmetro AB , cada um dos arcos é uma semicircunferência e a medida de cada um dos arcos é igual a 180°.

Assim, se considerarmos um ponto qualquer P sobre uma das semicir-cunferências, podemos concluir que o ângulo APB

mede 90°. Observe:

BA

180º

Pα

Pela propriedade anterior, a a= ® =180

290

.

Dessa forma, qualquer triângulo inscrito numa circunferência, que tenha um dos lados coincidindo com o diâmetro da circunferência, certamente será retângulo.

BAO

Pα

Se o lado AB é diâmetro, o triângulo APB é retângulo em P

Propriedades complementares

1. Dada uma reta t tangente a uma circunferência num ponto P, o raio com extremidade em P será sempre perpendicular à reta t.

PO t

O

t

RP


332

Geometria I

2. De um ponto P externo a uma circunferência, é possível traçar duas retas tangentes à circunferência. Se os pontos de tangência forem A e B, os segmentos PA e PB têm medidas iguais.

PA = PB

A

P

B

Polígonos regulares Fique atento à seguinte definição:

Polígonos regulares são aqueles que apresentam todos os lados con-gruentes e todos os ângulos congruentes.

Dessa forma, por exemplo, o triângulo regular é o triângulo equilátero e o quadrilátero regular é o quadrado.

Todos os polígonos regulares são inscritíveis, ou seja, admitem uma cir-cunferência que passa pelos seus vértices. Essa circunferência é denominada circunferência circunscrita.

Observe estas figuras:


Geometria I

333

Todos os polígonos regulares são circunscritíveis, ou seja, admitem uma circunferência que tangencia os lados do polígono nos respectivos pontos médios. Essa circunferência é denominada circunferência inscrita.

Exemplos:

Quadradocircunscrito

Pentágono regular circunscrito

Hexágono regular circunscrito

O raio da circunferência inscrita em um polígono é denominado apóte-ma do polígono.

r é o apótema

Embora existam infinitos polígonos regulares, destacaremos o estudo do triângulo equilátero, do quadrado e do hexágono regular.

Triângulo equilátero

O triângulo equilátero é o único polígono regular composto por exata-mente três lados congruentes possuindo, portanto, três ângulos internos de mesma medida.

Observe um triângulo equilátero de lado medindo l, altura medindo h cujas circunferências inscrita e circunscrita possuem raios medindo r e R, respectivamente.

R

r

l

l

l

h


334

Geometria I

Se a soma dos ângulos internos é igual a 180° e todos os ângulos são con-gruentes, então cada um dos ângulos internos mede 60°.

Além disso, a bissetriz de qualquer ângulo interno passa pelo centro coin-cidente das circunferências inscrita e circunscrita, dividindo o ângulo interno em dois ângulos de 30°.

Rhr

l

l

l

30º60º

A medida da altura do triângulo retângulo pode ser obtida utilizando razões trigonométricas:

senh

hh

60

32

32

l

l

l

=

= ® =

A medida do raio da circunferência inscrita também pode ser obtida por meio de razões trigonométricas:

tgr

r r h

30

2

23

313

32

13

l

l l

=

= = ® =. . .

Por outro lado, também é possível escrever:

senrR

rR

r h

30

12

23

=

= ® ® =R = 2r .


Geometria I

335

A área de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto das medidas da base e da altura correspondentes.

Sbase altura

=.2

No caso do triângulo equilátero de lado l e altura h, temos:

Sh

=l .

2

Se a medida da altura é igual a h =l 3

2, então:

S =l l

23

2.

Portanto, a medida da área de um triângulo equilátero é dada por:

S =l

2 34

Quadrado

O quadrado é o quadrilátero composto por quatro lados congruentes possuindo quatro ângulos retos.

Na próxima ilustração pode-se observar um quadrado de lado medin-do l, diagonal d e as circunferências inscrita e circunscrita de raios r e R, respectivamente.

R

d

rl

l


336

Geometria I

A medida da área de um quadrado de lado l é igual ao produto das me-didas de dois quaisquer de seus lados, ou seja:

S

S

=

=

l l

l

.

2

A medida da diagonal pode ser obtida por meio do teorema de Pitágoras:

A B

CD

dl

l

45º

d d

d d

2 2 2 2 2

2

2

2 2

= + ® = ®

= ® =

l l l

l l

Observe que a medida do raio da circunferência inscrita é igual à metade da medida de um lado, ou seja:

r =l

2

A medida do raio da circunferência circunscrita é igual à metade da medida de uma diagonal:

Rd

ou R= =2

22

l

Hexágono regular

O hexágono regular é um polígono regular composto por seis lados con-gruentes e seis ângulos internos iguais.


Geometria I

337

Na figura a seguir vemos um hexágono regular de lado l e as circunferên-cias inscrita e circunscrita de raios r e R, respectivamente.

l

l

rα

R

l

Como todos os lados têm a mesma medida l, os seis arcos, determina-dos pelas cordas correspondentes aos lados, são congruentes. Portanto, a

medida do ângulo central α é dada por 360

660

°= °. Os lados adjacentes ao

ângulo α são congruentes e, portanto, os outros dois ângulos do triângulo também o são.

Logo, os triângulos componentes do hexágono regular são triângulos equiláteros de modo que a medida da área do hexágono regular é igual a seis vezes a medida da área de um triângulo equilátero, ou seja:

S = 63

4

2

.l

Para encontrar a medida do apótema, observe a ilustração:

l

l

rR Rl

A medida do raio da circunferência inscrita é igual à medida da altura de um dos seis triângulos equiláteros componentes do hexágono regular:

r =l 3

2


338

Geometria I

A medida do raio da circunferência circunscrita pode ser encontrada de forma imediata, pois se os triângulos são equiláteros, os lados congruentes, ou seja:

R = l

Resolução de questões 1. (Funrio) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado. Se EF = 12cm e a altura

do triângulo EFG, relativa ao lado EF, mede 6cm, a medida da área do quadrado ABCD, em cm2, é igual a:

E A B F

CD

G

a) 25.

b) 20.

c) 16.

d) 12.

e) 14.

2. (Esaf ) O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B. Desse modo, em termos percentuais, a área do círculo A é menor do que a área do círculo B em:

a) 51%.

b) 49%.

c) 30%.

d) 70%.

e) 90%.Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A.,

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Geometria I

339

3. (Esaf ) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:

a) 11.

b) 12.

c) 10.

d) 15.

e) 18.

4. (Esaf ) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2cm e um outro mede 2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo, em cm2, é igual a:

a) 3-/3.

b) 2/2.

c) 2-/2.

d) 3 3 .

e) 1.

5. (Esaf ) Fernando, João Guilherme e Bruno encontram-se perdidos, uns dos outros, no meio da floresta. Cada um está parado em um ponto, gritando o mais alto possível, para que os outros possam localizá-lo. Há um único ponto em que é possível ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um outro único ponto (diferente daquele) em que é possível ouvir simulta-neamente Bruno e João Guilherme, e há ainda um outro único ponto (di-ferente dos outros dois) em que é possível ouvir simultaneamente João Guilherme e Fernando. Bruno encontra-se, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra Fernando. Fernando, por sua vez, está a 350 metros, também em linha reta, do ponto onde está João Guilherme. Fer-nando grita o suficiente para que seja possível ouvi-lo em qualquer pon-to até uma distância de 250 metros de onde ele se encontra. Portanto, a distância em linha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram Bruno e João Guilherme é:


340

Geometria I

a) 650.

b) 600.

c) 500.

d) 700.

e) 720.

6. (Esaf ) Um quadro retangular cobre exatamente 25% da área de uma pa-rede, também retangular, que mede 3 metros de altura por 2 metros de largura. Sabe-se que as dimensões do quadro estão na mesma razão que as da parede, isto é, que sua altura está para sua largura assim como 3 está para 2. Assim, se quiséssemos que o quadro cobrisse exatamente toda a superfície da parede, deveríamos multiplicar a sua altura e a sua largura por:

a) 2.

b) 3.

c) 4.

d) 5.

e) 6.

7. (Esaf ) Um feixe de quatro retas paralelas determina sobre uma reta trans-versal, A, segmentos que medem 2cm, 10cm e 18cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transver-sal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a:

a) 6, 30 e 54.

b) 6, 34 e 50.

c) 10, 30 e 50.

d) 14, 26 e 50.

e) 14, 20 e 56.


Geometria I

341

8. (Esaf ) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20cm, base menor igual a 8cm e altura igual a 15cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos do trapézio é igual a:

a) 10.

b) 5.

c) 7.

d) 17.

e) 12.

9. (Esaf )As rodas de um automóvel têm 40cm de raio. Sabendo-se que cada roda deu 20 000 voltas, então a distância percorrida pelo automóvel, em quilômetros (km), foi de:

a) 16km.

b) 16πkm.

c) 16π2km.

d) 1,6 . 103πkm.

e) 1,6 . 103π2km.

10. (Esaf ) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o

lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a 32

m, então a área, em metros, do hexágono é igual a:

a) 9 34

.

b) 73

.

c) 2 3 .

d) 3 3 .

e) 33

.


342

Geometria I

Dica de estudo O bom desempenho em Geometria plana exige a resolução de muitos

exercícios para que o raciocínio visual se desenvolva. Assim, embora algumas pessoas tenham mais facilidade que outras, a habilidade na resolução de pro-blemas geométricos é obtida progressivamente. Estude bem os triângulos e o círculo. Com eles, outras figuras poderão ser mais bem compreendidas.

Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.

GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blu-menau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)

LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janei-ro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)

LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Socieda-de Brasileira de Matemática, 2001. v. 1.

LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.

TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.

Gabarito 1. Os triângulos EFG e DCG são semelhantes, pois os ângulos FEG e CDG

são congruentes, bem como os ângulos EFG e DCG .

E A B12

F

C

6 - l

D

G

ll

l


Geometria I

343

Logo, podemos escrever:

12 66

6 12 6 6 72 12

6 12 72 18 72 4

l l

l l l l

l l l l

=-

= -( ) ® = - ®

+ = ® = ® =

.

Assim, a medida da área do quadrado é dada por:

S

S

S cm

=

=

=

l

2

2

2

4

16

Resposta: C

2. Sejam Ra e Rb as medidas dos raios dos círculos A e B, respectivamente. Se a medida de Ra é 30% menor que a medida de Rb, então:

Ra = (1- 0,30) . Rb

Ra = 0,70 . Rb

A medida da área do círculo A é dada por:

Sa = π.(Ra)2

Sa =π. (0,70. Rb)2

Sa = (0,70)2. π. (Rb)2

Sa = 0,49 . Sb

O resultado indica que a área do círculo A é 49% da área do círculo B. Logo, o circulo A possui área 51% menor que a do círculo B.

Resposta: A


344

Geometria I

3. Se um polígono convexo possui n lados, então também possui n vértices. De cada vértice podem ser traçadas diagonais para todos os demais vér-tices, com exceção do próprio vértice e dos dois vértices vizinhos. Assim, de cada vértice podem ser traçadas exatamente (n – 3) diagonais.

Raciocinando dessa forma, é possível obter a quantidade de diagonais de um polígono convexo de n vértices. Se de cada um dos n vértices podem ser traçadas (n – 3) diagonais, então a quantidade de diagonais seria dada pelo produto do número de vértices pela quantidade de diagonais que poderiam ser traçadas de cada um deles:

n . (n – 3)

Entretanto, a diagonal traçada do vértice A para o vértice C, por exemplo, é a mesma que a diagonal traçada do vértice C para o vértice A. Por esse motivo, para encontrar a quantidade de diagonais, é necessário dividir por dois o produto do número de vértices pelo número de diagonais que podem ser traçadas de cada vértice, pois não se deve contar duas vezes a mesma diagonal.

Portanto, a quantidade de diagonais de um polígono convexo de n lados, representada por D, é dada por:

Dn n

=-( ). 3

2

Logo, se um hexágono possui n = 6 vértices, o número de diagonais é dada por:

D =-( )

=6 6 3

29

.

Se o polígono que se deseja encontrar possui nove diagonais partindo de cada um dos próprios vértices, então o polígono deve possuir uma quantidade de lados n tal que:

n – 3 = 9

n = 12

Resposta: B


Geometria I

345

4. Observe a figura:

2

h

45º

2

Utilizando a razão seno no ângulo de 45° do triângulo destacado, temos:

senh

h sen h

452

2 45 22

2

=

= ® = ®. . h = 1cm

A área do triângulo, representada por S, pode ser calculada pelo semipro-duto das medidas da base pela altura, ou seja:

Sh

=2

2.

S = h

Substituindo-se h = 1cm, temos:

S = 1cm2

Resposta: E


346

Geometria I

5. Observe a figura na qual estão destacadas pelos pontos F, J e B as posi-ções de Fernando, João Guilherme e Bruno, respectivamente.

J

B F

400

400

100100

250

250

Observe que os círculos com centros nos pontos F, J e B correspondem às regiões em que é possível ouvir os gritos de Fernando, João Guilherme e Bruno, respectivamente. Esses três círculos são tangentes externamente dois a dois, pois existe um único ponto em que é possível ouvir simulta-neamente duas dessas pessoas.

Logo, a distância entre Bruno e João Guilherme é dada por:

BJ = 400 + 100

BJ = 500m

Resposta: C

6. Sejam a e b as medidas da altura e da largura do quadro, em metros, res-pectivamente. Então:

ab

ab

=

=

32

1 5,

a = 1,5 . b


Geometria I

347

A área da parede retangular, representada por Sp, é igual ao produto das medidas da altura pela largura:

Sp = 3 . 2

Sp = 6m2

Se o quadro cobre exatamente 25% da área da parede, então a área do quadro, representada por Sq, é dada por:

Sq = 0,25 . 6

Sq = 1,5m2

Por outro lado, a área do quadro é igual ao produto das medidas da altura pela largura:

Sq = a . b

1,5 = a . b

Substituindo a = 1,5 . b, temos:

1,5 = 1,5 . b . b

1 = b2

Como a medida b não pode ser negativa, conclui-se que:

b = 1m

Então, a altura do quadro é dada por:

a = 1,5 . b

a = 1,5 . 1

a = 1,5m

Logo, se multiplicássemos por x, x > 0, as medidas da altura e da largura do quadro, as dimensões seriam iguais a 1,5x (altura) e 1x (largura). Para que a área do quadro, após multiplicarmos a altura e a largura por um determinado número x seja igual à área da parede deveríamos ter:


348

Geometria I

1,5x .1x = 6

1,5x = 6

x = 4

x = 2

2

2

x2 61 5

=,

Resposta: A

Outra forma de solucionar essa questão seria considerar a semelhança existente entre as figuras retangulares constituídas pela parede e pelo quadro:

S

S a b

S

S a bp

q

p

p

= æèç

öø÷

= æèç

öø÷

® = æèç

öø÷

= æèç

öø÷

®

=

3 20 25

3 2

43

2 2 2 2

, .

aa b a bæèç

öø÷

= æèç

öø÷

® = = ®2 22

23 2

a = 1,5 e b = 1

Assim, se multiplicarmos por dois cada uma das dimensões do quadro, teremos as dimensões da parede:

1,5 . 2 = 3m (altura) e 1 . 2 = 2m (largura)

A resposta é a da alternativa (A).


Geometria I

349

7. Observe a ilustração em que estão destacadas as medidas das transver-sais na reta A e as medidas a serem determinadas x, y e z, na reta B:

2

10

18

x

y

z

A B

90

Utilizando o teorema de Tales, temos:

x y z2 10 18

= =

Utilizando propriedades das proporções e, ainda, observando que x + y + z = 90, temos:

x y z x y z2 10 18 2 10 18

9030

3= = =+ +

+ += =

Particularizando as proporções, temos:

xx m

yy m

zz m

23 2 3 6

103 10 3 30

183 18 3 54

= ® = =

= ® = =

= ® = =

.

.

.

Resposta: A


350

Geometria I

8. Observe a figura na qual estão destacados o trapézio ABCD, a correspon-dente medida da altura, GF, o triângulo CDE, e a respectiva altura EG, todas as medidas em cm:

A B

E

DG

F

8

15

20

C

h

Os triângulos ABE e DCE são semelhantes, pois os ângulos EAB e EDC são congruentes, bem como os ângulos ABE e DCE, uma vez que as bases de qualquer trapézio situam-se em retas paralelas. Logo, pode-se escrever:

ABDC

EFEG

hh

hh

= ®

=+

® =+

®

5h = 2 . (15 + h)

208

15 52

15

5h = 30 + 2h

5h - 2h = 30 3h = 30

® ®

® ®

=h3033

h = 10cm®

Resposta: A

9. A medida do comprimento de uma circunferência de raio R é dada por:

C = 2πR

Considerando-se que as rodas do automóvel são perfeitamente circula-res, em 20 000 voltas a distância percorrida pelo automóvel é dada por:


Geometria I

351

D = 20 000 . C

D = 20 000 . 2πR

Substituindo-se a medida do raio, temos:

D = 40 000 . π . 40

D = 1 600 000π cm

Observando-se que 1km = 100 000cm, temos:

D km=1600 000

100 000p

pD = 16 km

Resposta: B

10. Observe a ilustração na qual um hexágono regular é composto por seis triângulos equiláteros, cada um deles com medida do lado l, em metros:

ll

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

A área de um dos triângulos equiláteros que compõem o hexágono regu-lar é dada por:

ST =l

2 34

Logo, a área do hexágono é dada por:

SH = 63

4

2

.l


352

Geometria I

Substituindo a medida do lado por 32 , temos:

S

S

S cm

H

H

H

=æ

èçö

ø÷

=

=

64

32

3

32

32

3

9 34

2

2

. .

. .

Resposta: A


Emerson Marcos Furtado - GOPEM · Geometria I 319 Congruência e semelhança de figuras planas As...

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