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Processamento Digital de Sinais – Aula 15 – Professor Marcio Eisencraft – abril 2012

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Aula 15 Propriedades da TFD Bibliografia

� OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER. Discrete-time signal processing, 3rd. ed., Prentice-Hall, 2010. ISBN

9780131988422. Páginas 647-672.

� CARLSON, G. E. Signal and linear system analysis, 2nd ed., John Wiley, 1998, ISBN 0471124656. Pági-

nas 644-661.

4.2.2. Propriedades

A. Linearidade

� É válida para TFDs de mesmo comprimento N . Quando os sinais têm com-

primentos diferentes, podem-se acrescentar zeros a um deles e a linearidade

continua valendo como mostra a Figura 1.

Figura 1 – Linearidade da TFD.


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B. Deslocamento Circular

� Dado o par N

TFD

x n X k ↔ com N amostras, se [ ]nx1 for obtido deslocando-

se circularmente [ ]nx de m amostras, teremos o par:

[ ] [ ] [ ]kXekXnxkm

NjTFDN

π2

11 =↔ .

� A Figura 2 a seguir ilustra o deslocamento circular em contraposição ao des-

locamento linear.

Figura 2 – Propriedade do deslocamento circular da TFD.

C. Convolução

� Dadas duas sequências [ ]nx1 e [ ]nx2 com, respectivamente, 1N e 2N pontos,

temos os seguintes casos:


3

� Se tomarmos as TFDs’ com 3N pontos com 1213 −+≥ NNN usando acrésci-

mos de zeros, então vale:

[ ] [ ] [ ] [ ]kXkXnxnxNTFD

2121

3

⋅↔∗

� Se tomarmos as TFDs com ( ) 1,max 21321 −+<< NNNNN então temos de usar a

convolução circular:

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]kXkXRnxnxNTFD

N 2121

3

3⋅↔⊗

� A Figura 3 a seguir ilustra os dois casos.

Figura 3 – Exemplos de convolução circular.


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Exercícios

1. Realizar a convolução circular entre os sinais [ ]nx1 e [ ]nx2 indicados abaixo

utilizando uma periodicidade de 4 amostras.

Figura 4 – Sinais do Exercício 1.

2. Para o sistema indicado a seguir, obter a saída [ ]ny utilizando-se da convolu-

ção circular de forma que forneça o mesmo resultado da convolução linear.

Figura 5 – Sistema do Exercício 2.

3. Transformar os sinais [ ]nx1 e [ ]nx2 em sinais periódicos de período 10=N

amostras.

Figura 6 – Sinais do Exercício 3.


5

4. Suponha um sinal discreto no tempo e aperiódico [ ]nz1 de comprimento 5

amostras e um outro sinal discreto no tempo e aperiódico [ ]nz2 de compri-

mento 27 amostras. Deseja-se realizar a convolução circular entre estes dois

sinais de forma que o resultado seja o mesmo da convolução linear. Quantos

zeros devem ser inseridos em [ ]nz1 e quantos zeros devem ser inseridos em

[ ]nz2 antes de se realizar a convolução?

D. Convolução de dois sinais

� Revisando o que já vimos:

� Para convolução linear vale

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )ωωω jjjTFTD eXeXeXnxnxnx 213213 = →←∗=

� Para a convolução circular vale

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]kXkXkXnxnxnx TFD213213 = →←⊗=

� Para a convolução linear, se o comprimento de [ ]nx1 é 1N , o comprimento de

[ ]nx2 é 2N e o comprimento de [ ]nx3 é 3N , vale 1213 −+= NNN .

� Para a convolução circular de comprimento N , vimos que se 121 −+> NNN ,

não há superposição e o resultado é o mesmo da linear. Se 121 −+< NNN

ocorre superposição.

� Já vimos que o processo de filtragem consiste numa convolução linear.

[ ]nh

[ ]nx [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑−

=

−=∗=1

0

N

k

knhkxnhnxny


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� Para o cálculo de [ ]ny são necessárias da ordem de 2N multiplicações e

( )1N N − somas (N é o comprimento de [ ]nx e [ ]nh ).

� Como existem métodos bastante eficientes para o cálculo da TFD (algoritmos

FFT = “Fast Fourier Transform”), uma forma de implementação mais rápida

da convolução é:

Figura 1 – Implementação da convolução através da TFD (NABARRETE)

� Neste diagrama, a FFT é tomada com um número suficiente de pontos para

que não ocorra superposição.

� Este é um exemplo de processamento homomórfico: técnica através da qual

se utiliza uma transformação para outro domínio, opera-se no outro domínio e

retorna-se ao domínio original.

Casos especiais de duas sequências

i) Para duas sequências finitas

[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 ∗= com 112 −+ NN amostras para [ ]ny implementado por meio de

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

+=⊗r

rNnynxnx 21 desde que 121 −+≥ NNN e não haverá superposição ou

o chamado aliasing de convolução.


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ii) Caso de uma sequência finita e outra infinita

� Neste caso, uma das possibilidades é utilizar o método “overlap-add”.

� Seja [ ]nh com M pontos e [ ]nx de comprimento infinito e causal.


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� Fazemos a segmentação

[ ] [ ] ( ) −+≤≤

=contrário caso ,0

11 , LpnpLnxnx p

� Desta forma [ ] [ ]∑∞

=

=0p

p nxnx .

� Assim, a convolução linear será dada por:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

=∗=∗

=∗=

000 pp

pp

eLinearidad

pp nynhnxnhnxnhnxny

� Cada uma das parcelas [ ]ny p pode ser calculada utilizando-se uma TFD de

comprimento 1−+ ML .


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Exercício

1. Tem-se um sistema indicado abaixo com resposta ao impulso unitário [ ]nh .

Deseja-se aplicar um sinal de entrada de comprimento bastante grande (500

amostras) e esta realização deve ser feita em “tempo real”, isto é, não pode-

mos esperar todo o sinal de entrada para em seguida fazer a convolução.

Deve-se, portanto, utilizando o método “Overlap-Add” particionar o sinal de

entrada em blocos de comprimento máximo L como indicado abaixo:


10

(a) Para um comprimento L igual a 10: i) Em quantos blocos foi realizada a di-

visão? ii) Qual o tamanho máximo do sinal de saída [ ]ny ?

(b) Para um comprimento L igual a 7 observamos que a divisão não fornece um

valor inteiro: i) Em quantos blocos pode ser realizada a divisão e o que fazer

com o último bloco? ii) Qual o tamanho máximo do sinal de saída [ ]ny ?

2. (2051) (SOLIMAN; SRINATH, 1997, p. 449) Dados os sinais:

[ ]

[ ]

=

−−=

↑

↑

1;0;0;1

1;1;2;1

nh

nx

,

(a) Calcule [ ]ny , resultado de um período da convolução circular com 4 pontos entre eles;

(b) Calcule as TFDs [ ]kX e [ ]kH com 4 pontos.

(c) Obtenha novamente [ ]ny do item (a) utilizando as propriedades da TFD.

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