Enem Em Fasciculos Fasciculo 16 Linguagens e Suas Tecnologias

5/24/2018 Enem Em Fasciculos Fasciculo 16 Linguagens e Suas Tecnologias

1/19


2/19

INTRODUO

Ol, querido estudante,

Quem observa e identifica padres pode fazer aferiescom maior preciso e agilidade. Por exemplo, meu filho Matheus,no dia 30/junho/2011, quinta-feira, completou 14 anos.Observando que de 7 em 7 dias temos o mesmo dia da semana,podemos aferir que ele nasceu no dia 30/junho/1997, numasegunda-feira(3 dias antes de quinta-feira). Percebeu? Se no,veja: sendo 14 (365 dias) uma quantidade de dias mltipla de7, voltando no tempo essa quantidade, chegamos no mesmodia da semana do dia 30/junho/2011 (quinta-feira). A partirda, devemos voltar na semana apenas os 3 dias relativos a 29de fevereiro de 2008, 2004 e 2000 (anos bissextos do perodoem questo).

Algumas sequncias, dentre elas, as progressesaritmticas e geomtricas, apresentam padres definidos queestudaremos a seguir. Com certeza, o conhecimento de taispadres ser de grande utilidade no enfrentamento de situaes-problema que contemplem sucesses numricas.

OBJETO DO CONHECIMENTO

Sequncias e Progresses

Sequncia

Por definio, uma sequncia de nelementos uma

funo fde Nn* = {1, 2, 3, ... n} em R:

f

f n a

n

n

: *

N R

( )=

MATEMTICAESUASTECNOLOGIAS

16Fasccu

ENEM EM FASCCULOS - 2013

Na rea de Matemtica e suasTecnologias, ap s uma anlise estatstica dos Obj etos do Conh ecimento abordados desde

a criao do Enem, tratamos de se lecionar cuidadosamente os assuntos que listamos agora, trabalhados nos fascculosan teriore s: Ra ze s e Propor es, Porcentagem , Re gra de Trs Sim ples e Co mp osta, Pr opor cion alidade na Geom etria,

FunoAfim, Funo Quadrtica, FunesExponenciais eLogartmicas,Trigonometria esuasaplicaes, AnliseCombinatria, Probabilidade

e Estatstica.Parafinalizar,neste fascculo, abordamos as 3: Sequncias e Progresses, Porcentageme Juros e, finalmente, Volumes e suasaplicaes.

Chegamos ao final doProjeto Enem2013, com este fascculo nmero 16, certos da enorme contribuio que proporcionamos ao seu

aprendizado, que ser traduzido na suaaprovao nocurso desejado.

Sucessoe at breve!

Bomestudo para voc!

CAROALUNO

Por convenincia, representaremos uma sequnciaapenas por suas imagens (a

1, a

2, a

3, ..., a

n, ...), que podem

ser determinadas por meio da Lei de recorrncia ou da Lei de

formao da respectiva sequncia.

Lei de recorrncia

Consiste em uma lei que nos permite encontrar

qualquer termo (an) da sequncia recorrendo a termo(s)

anterior(es). Note que, na Lei de recorrncia, conveniente se

conhecer o primeiro termo (a1), caso contrrio, no podemos

recorrer ao termo anterior para encontrar os demais termos.

Na sequncia (1, 2, 6, 24, ...), por exemplo, cada

termo (an), a partir do segundo, obtido multiplicando-se o

termo anterior (an 1

) por ( n), onde n indica a posio do

termo. Veja:

(1, 2, 6, 24, 120, ...)

(2) (3) (4) (5)

Assim, os termos da sequncia podero ser determinados

por meio da Lei de recorrncia:

a

a an n

1

1

5

3

== +

onde n 2

Note que o primeiro termo (a1= 1) sendo conhecido,

a lei an= n a

n 1, n 2, fornece o restante dos elementos

da sequncia:

n = 2 a2= 2 a

1= 2 1 a

2= 2

n = 3 a3= 3 a

2= 3 ( 2) a

3= 6

n = 4 a4= 4 a

3= 4 6 a

4= 24

..........................................................................

Lei de formao ou termo geral

Consiste em uma lei que nos permite encontrar qualquertermo (a

n) da sequncia em funo da sua posio n.


3/19

Enem em fascculos 2013

3Matemtica e suas Tecnologias

Na sequncia (5, 8, 11, 14, ...), por exemplo, podemosobter o seu termo geral (Lei de formao) dando valores sucessivos

a nna sua Lei de recorrnciaa

a an n

1

1

5

3

== +

onde n 2

.

Veja:a

a a

a aa a

a a

n

n n

1

2 1

3 2

4 3

1

5

3

33

3

1

=

= = =

=

( )

igualdades

Somando membro a membro, essas n igualdades ecancelando os termos, obtemos:

an= 5 + (n 1) 3

Da, a Lei de formao (termo geral) da sequncia :

a nn = +3 2

Assim, por exemplo, o 100otermo ser a100

= 302.

Progresso Aritmtica

Toda sequncia numrica em que cada termo, a partirdo segundo, igual soma do termo precedente (anterior)com uma constante r chama-se progresso aritmtica(P. A.). Ou seja, P. A. uma sequncia determinada por umafrmula de recorrncia do seguinte tipo:

a a dado

a a r n nn n

1

1 2

= ( )= +

, ,*

N

A constante r chamada de razo da progressoaritmticae pode ser obtida por meio da diferena entre doistermos consecutivos quaisquer da P.A., isto :

Razo da P.A. = a2 a

1= a

3 a

2= ... = a

n a

n 1= r

Assim, se trs termos (a, b, c) esto em progresso

aritmtica, o do meio a mdia aritmtica dos extremos, umavez que temos:

Razo da P.A. = b a = c b b a c=

+

2.

Termo geral da P.A.

Considere a P.A. (a1, a

2, a

3, ..., a

m, a

m + 1, ..., a

n, ...) de

razo r. Sendo ame a

ndois termos dessa progresso, podemos

relacion-los. Para isso, observe que:a a r

a a r

a a r

a a r

m m

m m

m m

n n

+

+ +

+ +

=

=

=

=

1

2 1

3 2

1

Contando os ndices (nmeros naturais) de m + 1 atn, observamos n (m + 1) + 1 = n m igualdades acima.Somando, membro a membro, todas essas igualdades e fazendoos devidos cancelamentos, obtemos:

a a r r r r ou seja

a a n m

n m

n m v ez es

n m

= + + + +( )

= + ( )( )

... , :

rr

Em particular, para m = 1, temos que:

a a n rn = + ( ) 1 1 , para n 1.

Considere a seguinte situao-problema:

Em um trecho de serra de 13 km de uma rodovia, foi

implantada a Operao Descida. Um dos procedimentos dessa

operao consiste em bloquear a subida de veculos e permitir

a descida da serra por mais faixas. Para isso, so colocados 261

cones sinalizadores ao longo do trecho, sendo que a distncia

entre dois cones consecutivos quaisquer constante e que oprimeiro e o ltimo ficam exatamente no incio e no fim do

trecho, respectivamente.

Querendo descobrir qual deve ser a distncia entre dois

cones consecutivos, podemos utilizar a frmula do termo geral

de uma P.A. Veja:

Como 13 km = 13000 m, o primeiro cone ficar na

posio a1= 0 m e o ltimo, na posio a

261 = 13000 m.

Sendo Ra distncia (constante), em metros, entre dois cones

consecutivos, as posies dos cones formaro uma P.A. de

razo R. Da: a261

= a1+ 260R 13000 = 260R R = 50 m.

Assim, a distncia entre dois cones consecutivos

quaisquer deve ser 50 m.

Soma dos termos equidistantes dos extremosde uma P.A.

Considereake a

pdois termos que ficam, respectivamente,

a igual distncia dos extremos a1e a

nde uma P.A. de razo R,

isto , considere a seguinte P.A.:

+R +R +R +R +R +R

(a1; a

2; ... ; a

k 1

; ak; ... ; a

p; a

p + 1; ... ; a

n)

Equidistantes dosextremos

Sendo mo nmero de razes que devemos somar aoprimeiro termo a

1para a obteno de a

k, mtambm ser o

nmero de razes que devemos somar ao termo ap para a

obteno do extremo an, uma vez que a

ke a

pso equidistantes

dos extremos a1e a

n. Da:

ak= a

1+ mR, onde m = k 1;

an= a

p+ mR, onde m = n p.

Isso deixa evidente dois fatos:1) A soma dos ndices de dois termos equidistantes

dos extremos igual soma dos ndices dos extremos. Veja:

m k n p k p n= = + = + 1 1

2) Numa P.A., a soma de dois termos equidistantes dosextremos igual soma dos extremos. Veja:

mR a a a a a a a ak n p k p n= = + = +1 1

Na P.A. 2 0 2 4 2 8 3 2 3 6 40 441 2 3 4 5 6 7a a a a a a a

; ; ; ; ; ;

, por exemplo,

temos que a1+ a

7= a

2+ a

6= a

3+ a

5= a

4+ a

4= 64. Note a

soma dos ndices igual a 8 em cada adio.


4/19


4 Matemtica e suas Tecnologias

Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Considere a P.A. (a1, ,a2a3, ..., an 2, an 1, an), onde a1ea

nso os extremos e a

2e a

n 1, a

3e a

n 2etc. so equidistantes

dos extremos. Temos que:S

n= a

1+ a

2+ a

3+ ... + a

n 2+ a

n 1+ a

ne, como a ordem no

altera a soma, Sn= an+ an 1+ an 2+ ... + a3+ a2+ a1.Somando, agora, membro a membro, essas duas

igualdades, ficamos com:

2Sn= (a

1+ a

n) + (a

2+ a

n 1) + (a

3+ a

n 2) + ... + (a

n+ a

1)

Observando que:a

1 + a

n = a

2 + a

n 1 = a

3 + a

n 2 = ... = a

n + a

1

(termos equidistantes dos extremos), temos:

22

1 1

1S a a a a S

a a nondn n n n

n

n vezes

= +( ) + + +( ) =+( )

... ,

ee:

a1 o primeiro termo somado;

an o ltimo termo somado;

n

a quantidade de termos, em P.A., somados.

Considere a seguinte situao-problema:Deseja-se pintar com tintas de cores

P P P...

A A

preta e amarela, alternadamente, um disco noqual esto marcados crculos concntricos,cujos raios esto em P.A. de razo 1 metro.Pinta-se, no primeiro dia, o crculo central dodisco, de raio 1 metro, usando 0,5 L de tintapreta. Em cada dia seguinte, pinta-se a regio delimitada pelacircunferncia seguinte ao crculo pintado no dia anterior.Se a tinta usada, no importando a cor, tem sempre o mesmorendimento, podemos descobrir a quantidade total de tintaamarela gasta at o 21 dia, em litros, da seguinte forma:I. O raio do primeiro crculo (menor), em metro, r

1 = 1

e forma, com os demais raios, uma P.A. de razo 1.Assim, em metros, as medidas desses raios so r2 = 2,

r3= 3, ... , a

21= 21.

II. As reas pintadas de amarelo so aquelas pintadas em diaspares (segundo, quarto, ..., vigsimo dia), cujas reas, emm2, so respectivamente:

A1= 22 12A

1= 3

A2= 42 32A

2= 7

A3= 62 52A

3= 11

A4= 82 72A

4= 15

...........................................................

(Uma P.A. de razo R = 4, cujo dcimo termo, A10

, a rea

pintada no vigsimo dia.)Assim, A

10= A

1+ 9 R, ou seja, A

10= 3+ 9 (4) = 39

e a soma das reas pintadas de amarelo, em m2, ser:

SA A

S101 10

10

10

2

3 39 10

2210=

+( ) =

+( )=

III. No primeiro dia, foram usados 0,5 L de tinta preta parapintar 12= m2do disco. Como os rendimentos dastintas so iguais e 210m2= 210 (m2), foram utilizados210 0,5 L = 105 L de tinta amarela.

Progresso Geomtrica

Toda sequncia numrica em que cada termo, a partirdo segundo, igual ao produto do termo precedente (anterior)por uma constante qchama-se progresso geomtrica (P.G.).Ou seja, P.G. uma sequncia determinada por uma frmulade recorrncia do seguinte tipo:

a a dado

a a q n nn n

1

1 2

= ( )=

, ,N*

A constante q chamada de razo da progressogeomtricae pode ser obtida por meio do quociente entredois termos consecutivos quaisquer da P.G., isto :

Raz o daP G a

a

a

a

a

aqn

n

. . ...= = = = =

2

1

3

2 1

Assim, se trs termos (a, b, c) esto em progressogeomtrica, o do meio ao quadrado igual ao produto dosextremos, uma vez que temos:

Raz o daPG b

a

c

bb a c . . = = =

2

A sequncia (3, 6, 12, 24, 48, ..., an, ...), por exemplo,

uma progresso geomtrica de razo q = 2, ou seja, nela, cadatermo, a partir do segundo, o seu termo anterior vezes 3.Podemos dizer tambm que, nessa sequncia, o quadrado decada termo, a partir do segundo, igual ao produto do termoanterior com o posterior.

Termo geral da P.G.

Considere a P.G. (a1, a2, a3, ..., am, am + 1, ..., an, ...) derazo q.

Sendo ame a

ndois termos dessa progresso, podemos

relacion-los. Para isso, observe que:

am + 1

= am

qa

m + 2= a

m q

am + 3

= am + 2

q

....................................

an= a

n 1 q

Contando os ndices (nmeros naturais) de m + 1atn, observamos n (m + 1) + 1 = n m igualdades acima.Multiplicando, membro a membro, todas essas igualdades

e cancelando os fatores iguais, mas em membros opostos,obtemos:

a a q q q q ou seja

a a q

n m

n mn m

n m v ez es

= ( )

=

( )

... , :

Em particular, para m = 1, temos que:

an= a

1 qn 1, para n 1.


5/19



Considere a seguinte

2,43 . 105

Nmerode

clulas

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tempo (horas)

situao-problema:P a r a a n a l i s a r o

crescimento de uma bactria,foram inoculadas 1000 clulas aum determinado volume de meiode cultura apropriado. Em seguida,durante 10 horas, em intervalosde 1 hora, era medido o nmerototal de bactrias nessa cultura.Os resultados da pesquisa estomostrados no grfico ao lado.No grfico, o tempo 0 corresponde ao momento do inculobacteriano.

Observando que, de 0 a 5 horas, a quantidade debactrias presentes no meio, medida a cada hora, segue umaprogresso geomtrica, o nmero de bactrias encontrado nomeio de cultura, 3 horas aps o inculo, pode ser obtido daseguinte forma:I. a

0 = 1000 (nmero de bactrias na hora zero) e

a5= 243000 (nmero de bactrias na 5 hora) so termosde uma mesma progresso geomtrica. Da:

a

a a a q q

Ent o

q

0

55 0

5 0 5

5 5

1000

243000 243000 1000

243 3

=

={ = =

= =

. .

:

,, , .isto q = 3

(Aqui, conveniente considerar o primeiro termoa

0= 1000, o ndice indicando a hora, e no a

1= 1000.)

II. Queremos o nmero de bactrias na terceira hora (a3):

a a q a a3 0

33

331000 3 27000= = =

Soma dos termos de uma P.G. finita

Considere a P.G. de razo q(a1, a

2, a

3, ..., a

n) cuja soma dos

termos Sn= a

1+ a

2+ a

3+ ... + a

n. Temos que:

I. q Sn= q (a

1+ a

2+ a

3+ ... + a

n)

q Sn= a

2+ a

3+ a

4+ ... + q a

n

II. Sn q S

n= (a

1+ a

2+ a

3+ ... + a

n) (a

2+ a

3+ a

4+ ... + q a

n)

( ) = =

S q a q a S a q a

qn n n

n11

11

Podemos, agora, substituir an= a

1 qn 1na frmula

anterior e obter:

S a a q

qe S a

q

qonde qn

n

n

n

=

=

1 11

1

1

11

, .da:

Soma dos termos de uma P.G. infinita convergente

Quando a razo q de uma P.G. infinita tal que1 < q < 1, isto , | q | < 1, dizemos que a P.G. convergente.

Isso significa dizer que quando ntende a mais infinito, ane qn

tendem a zero (convergem para zero). Na prtica, substituindoqn= 0 na frmula anterior, obtemos:

S aq

S a

q =

= 1

11 0

1 1

Observao:

Dizemos que S= a

q

1

1 o limite da soma dos infinitos termos

da P.G. de razo q, onde |q| < 1 (P.G. infinita convergente).

Considere a seguinte situao-problema:Uma bola lanada na vertical de encontro ao solo, de

uma altura h. Cada vez que bate no solo, ela sobe at 80% daaltura de que caiu. O comprimento total percorrido pela bolaem sua trajetria, at tocar o solo pela quinta vez, pode ser

obtido observando que 80 80

100

4

5% = = e que, saindo de uma

altura h, a bola percorre:

2 2

4 4 4 4S h h h h h ...

5 5 5 5

= + + + + +

descendo(bate no solo pela 3 vez)



subindo

subindo

Da, somando os termos iguais, obtemos:

S h h h h= +

+

+

+

2

4

52

4

52

4

52

4

5

1 2 3 4

hh+

Assim, at tocar o solo pela quinta vez, a bola percorrerhmais a soma dos quatro primeiros termos da P.G., isto :

S h aq

qS h h= +

= +

1

4 1

4

1

12

4

5

14

5

14

5

Logo h: S =3577

625

Podemos tambm ca lcu lar o compr imentototal percorr ido pela bola em sua trajetr ia, atat ing i r o repouso. Para i sso , s observar que

2 4

52

4

52

4

52

4

5

1 2 3 4

. . . . .

+

+

+

+

h h h h

a

soma dos infinitos termos de uma P.G. convergente

< =


6/19



QUESTO COMENTADACompreendendo a Habilidade Avaliar a razoabilidade de um resultado numrico na construo de

argumentos sobre afirmaes quantitativas.

C-1 H-4

(Uerj Adaptado) Uma farmcia recebeu 15 frascos

de um remdio. De acordo com os rtulos, cada frasco

contm 200 comprimidos, e cada comprimido tem massa

igual a 20 mg. Admita que um dos frascos contenha a

quantidade indicada de comprimidos, mas que cada um

destes comprimidos tenha 30 mg.

Objetivando identificar esse frasco, cujo rtulo est errado,

foram realizados os seguintes procedimentos:

numeram-se os frascos de 1 a 15;

retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos

correspondente sua numerao;

verifica-se, usando uma balana, que a massa total doscomprimidos retirados igual a 2540 mg.

Com base nessas informaes

a) impossvel identificar o frasco, ficando a dvida entre 3

frascos.

b) impossvel identificar o frasco, ficando a dvida entre 2

frascos.

c) possvel identificar o frasco, sendo 7 o seu nmero.

d) possvel identificar o frasco, sendo 14 o seu nmero.

e) possvel identificar o frasco, sendo 15 o seu nmero.

v

Comentrio

I. Observe que o nmero de comprimidos retirados foi:

1 + 2 + 3 + ... + 15 =1 15 15

2

+( ) = 120 (soma dos termos da P.A.)

II. Se todos os comprimidos tivessem massa igual a 20 mg, amassa total retirada dos frascos seria:

Suposta massa = 120 (20 mg) = 2400 mg

III. A diferena entre a massa real e a suposta massa :

2540 mg 2400 mg = 140 mg

IV. A diferena entre as massas dos comprimidos (30 20) mg.Da, sendo no nmero do frasco com rtulo errado, devemos ter:

n (30 20) = 140

Logo, n = 14.

Resposta correta: D

EXERCCIOS DE FIXAO

Compreendendo a Habilidade Resolver situao-problema envolvendo conhecimentos numricos.C-1

H-3

01. (UFG Adaptado) Pretende-se levar gua de uma represaat um reservatrio no topo de um morro prximo.A potncia do motor que far o bombeamento da gua determinada com base na diferena entre as alturas doreservatrio e da represa.Para determinar essa diferena, utilizou-se uma mangueirade nvel, ou seja, uma mangueira transparente, cheia degua e com as extremidades abertas, de maneira a mantero mesmo nvel da gua nas duas extremidades, permitindomedir a diferena de altura entre dois pontos do terreno.Esta medio fica restrita ao comprimento da mangueira,

mas, repetindo o procedimento sucessivas vezes e somandoos desnveis de cada etapa, possvel obter a diferenade altura entre dois pontos quaisquer. No presente caso,realizaram-se 50 medies sucessivas, desde a represaat o reservatrio, obtendo-se uma sequncia de valorespara as diferenas de altura entre cada ponto e o pontoseguinte, h

1, h

2, h

3, ..., h

50, que formam uma progresso

aritmtica, sendo h1= 0,70 m, h

2= 0,75 m, h

3= 0,80 m,

e assim sucessivamente.

Com base no exposto, a altura do reservatrio em relao represa, em metros igual aa) 96,00 b) 96,25c) 96,50 d) 96,75

e) 97,00

Compreendendo a Habilidade Avaliar a razoabilidade de um resultado numrico na construo de

argumentos sobre afirmaes quantitativas.

C-1 H-4

02.(UFG Adaptado) Dois experime ntos independentesforam realizados para estudar a propagao de umtipo de fungo que ataca as folhas das plantas de feijo.A distr ibuio das plantas na rea plantada uniforme, com a mesma densidade em ambos osexperimentos.No experimento A, inicialmente, 2% das plantas

estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanasdepois, o nmero de plantas atacadas aumentou para72%. J no experimento B, a observao iniciou-secom 10% das plantas atacadas pelo fungo e, seissemanas depois, o nmero de plantas atacadas jera 80% do total.Considerando-se que a rea ocupada pelo fungo cresceexponencialmente, a frao da plantao atingidapelo fungo aumenta, semanalmente, em progressogeomtrica, e a razo desta progresso uma medida darapidez de propagao do fungo.


7/19



Neste caso, a rapidez de propagao do fungo noexperimentoa) A igual rapidez no experimento B.b) A supera a rapidez no experimento B em 73%,

aproximadamente.c) A supera a rapidez no experimento B em 73%,

exatamente.

d) B supera a rapidez no experimento A em 25%,aproximadamente.e) B supera a rapidez no experimento A em 25%,

exatamente.

DE OLHO NO ENEM

A natureza em FibonacciA sequncia (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...), chamada de

sequncia de Fibonacci, tal que seus dois primeiros termosso iguais a 1 e cada termo, a partir do terceiro, a somados seus dois termos imediatamente anteriores. Em outras

palavras, os nmeros de Fibonacciformam uma sequnciadefinida recursivamente pela lei:

F

F

F F F para nn n n

1

2

1 2

1

1

3

=== +

,

Os nmeros de Fibonacci ligam-se facilmente natureza. possvel encontr-los no arranjo das folhas do ramo de umaplanta, nas copas das rvores ou at mesmo no nmero deptalas das flores, no corpo humano e nas formas de algunsanimais. A seguir, temos situaes onde possvel identificar asequncia de Fibonacci.

Percebeu a sequncia de Fibonacci na primeirafigura? Se no, observe os nmeros seguintes indicando asmedidas dos lados dos respectivos quadrados. Esses mesmosnmeros tambm indicam as medidas dos raios dos arcos decircunferncias que formam a citada figura.

55

3 3

221

1

1

1

Essa belssima sequncia foi descoberta com a resoluodo clssico problema dos coelhos, proposta pelo matemticoitaliano Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci(que quer dizer filho de Bonacci). O problema dos coelhos o seguinte: Quantos casais de coelhos teremos ao final deum ano, se partirmos de um nico casal imaturo no 1 ms,que amadurece no 2 ms e gera um novo casal de filhotes

no 3 ms e, a partir da, continua parindo mensalmente,indefinidamente? Leve em conta que os novos casais geradostambm passam pelo mesmo processo descrito anteriormentee considere que nenhum coelho vai morrer.

Acompanhe a ilustrao abaixo que nos traz aevoluo da quantidade de coelhos.

1 ms:(jovem)

(maduro)

(maduro) (jovem)

(jovem) (maduro) (maduro)

Nmerode casais

1

1

2

3

5

2 ms:

3 ms:

4 ms:

5 ms:

Note que, para n 3, o nmero total de coelhos do msn 2, F

n 2, tambm o nmero de casais maduros do ms

seguinte (ms n 1). Como cada casal maduro do msn 1 gera um novo casal no ms n (ms seguinte),F

n 2 tambm indica o nmero de casais imaturos

(recm-nascidos) do ms n.Sendo assim, os casais do ms nso os casais do ms anterior(ms n 1) mais os recm-nascidos do ms n, ou seja:

Fn= Fn 1 + Fn 2, para n 3.

Agora, fica fcil ver que a sequncia representat ivadas quantidades de casais, ms a ms, a sequncia deFibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...),na qual o dcimo segundo termo 144. Aps um ano(12 meses), so 144 casais.

ANOTAES


8/19



INTRODUO

Ol, querido estudante,

Daqui a 30 anos (360 meses), quando se aposentar,Joo Victor pretende resgatar um montante de 1 milho de reais desua conta poupana. Para isso, ele depositar, mensalmente, a partirde hoje, uma mesma quantia (x), cujos rendimentos mdios estoestimados em 1% ao ms. Querendo determinar essa quantia (x) a serdepositada mensalmente, Joo Victor chegou seguinte equao, cujoprimeiro membro uma soma de termos em progresso geomtrica:

x + x (1,01)1+ x (1,01)2+ ... + x (1,01)360= 1000000

Nessa equao, x (1,01)360 o montante gerado pelo primeirodepsito e x, o gerado pelo ltimo. Adicionando os termos em P.G.,Joo Victor chegou equao equivalente:

x ,

,

11 1 01

1 1 01

36( )

= 1000000

na qual, utilizando-se a aproximao (1,01)361 36,o valor aproximado de x 285,70 reais.

Voc entende por que o montante gerado por cada parcela(x) depositada, aps nmeses, dado por x (1,01)n? Se no, leiacom ateno a teoria seguinte, principalmente a parte relativa a juroscompostos.


Porcentagem e Juros

PorcentagemChama-se porcentagemou percentagema poro

de um dado valor que se determina sabendo-se o quantocorresponde a cada 100.

p p

% = ( )100

l -se por cento p

Por exemplo:De um grupo de 100 jovens, 28 praticam natao.

Isso significa que 28% (l-se 28 por cento) dos jovens

praticam natao.A porcentagem de um nmero aem relao a outro b

dada pela razo a

b.

Exemplos:

= = =

= =

3

215

150

100150

3

80 375

37 5

1

, %,

,,

isto , 3 150% de 2.

00037 5 37 5 8= , %, , % .isto , 3 de

Assim: p c c% de c = p% =

p

100

Aps um aumento de p% sobre c, passamos a ter:

c p

c p

c+ = +

1001

100

Aps um desconto de p% sobre c, passamos a ter:

c p

c p

c =

1001

100

Aps n aumentos sucessivos de p% sobre c,passamos a ter:

1100

+

pc

n

Em geral, para obter um resultado p% maior que certovalor x, devemos multiplicar xpor (1 + p%).

Veja:

aumento

valor inicial

x (1 + p%) = x + p%x

Exemplo:(Enem) O consumo total de energia nas residncias brasileirasenvolve diversas fontes como eletricidade, gs de cozinha,lenha etc. O grfico mostra a evoluo do consumo deenergia eltrica residencial comparada com o consumo totalde energia residencial, de 1970 a 1995.

50

40

30

20

10

0

energia total

energia eltrica

1970 1975 1980 1985 1990 1995

Consumo

deEnergia(x106tep)

*tep= toneladas equivalentes de petrleo.Valores calculados por meio dos dados obtidos de

http:/infoener.iee.usp.br./1999.

Verifica-se que a participao percentualda energia eltrica nototal de energia gasta nas residncias brasileiras cresceu entre1970 e 1995, passando, aproximadamente, de:a) 25% para 35%. d) 10% para 60%.b) 40% para 80%. e) 20% para 60%.c) 10% para 40%.

Soluo:

Em 1970, o consumo de energia eltrica era cerca de2,5 106tep, de um total aproximado de 25 106tep, isto ,

2 5 10

25 10

1

10

10

10010

6

6

,%.

tep

tep= = = J em 1995, o percentual

e r a c e r c a d e20 10

32 10

5

80 625

62 5

10062 5

6

6

,

,, %.

tep

tep= = = =

Logo, aproximadamente, o consumo de energia eltrica

passou de 10% para 60%.

Resposta correta: D


9/19



Lucro

Chamamos de lucro (L), em uma transao comercial

de compra e venda, a diferena entre o preo de venda (V) e o

preo de custo (C). Assim, podemos escrever:

Lucro = preo de venda preo de custo, isto :

L = V C

Caso essa diferena seja negativa, ela ser chamada de prejuzo.

Observao:

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem,

em relao ao preo de custo ou em relao ao preo de venda,

das seguintes maneiras:

Percentual do lucro sobre o custo =LUCRO

PRE O DE CUSTO

Percentual do lucro sobre a venda = LUCROPRE O DE VENDA

Exemplo:

Joo comprou uma bicicleta por R$ 180,00 e a vendeu por

R$ 216,00. Nesse caso, temos:

Lucro (L) de Joo na transao:

L = V C L = 216 180 L = 36 reais

A porcentagem do lucro sobre o preo de custo:

L LUCRO

PRE O DE CUSTOLc c= = = = =

36

1800 2

20

10020, %

A porcentagem do lucro sobre o preo de venda:

L LUCRO

PRE O DE VENDALV V= = =

36

1160 310

31

10031, %

Juros simples

Suponhamos que uma pessoa deseje comprar uma

geladeira e no disponha de dinheiro suficiente para pagamento

vista. Nessas condies, ela pode efetuar a compra a prazo

ou tentar um emprstimo em um banco. Em qualquer um dos

casos, a pessoa geralmente paga uma quantia alm do preo

da geladeira a ttulo dejuros. O valor desses juros justificadopelo prazo obtido para o pagamento ou pelo aluguel do

dinheiro emprestado.

Suponhamos agora que, sobre uma quantia, devam

ser calculados juros simples, a uma taxa fixa por perodo,

durante certo nmero de perodos. Isso significa que

os juros correspondentes a cada um dos perodos sero

sempre calculados sobre a quantia inicial e s sero

incorporados a ela ao final do ltimo perodo.

Sendo assim, para um capital inicial C0, emprestado

taxa i, todos os aumentos da dvida sero iguais a:

aumento = i C0, no importando a poca do aumento.

Lembre-se: taxa isignifica a porcentagem de aumento.

Em geral, para um capital inicial C0aplicado taxa i, em

regime de juro simples, temos:

prximo aumento

constante

montante atual

prximo montante

Cn + 1

= Cn+ i C

0

Assim, a sequncia de montantes (C0, C

1, C

2, C

3, ..., C

n, ...)

uma P.A. de razo R = i C0, pois cada termo o anterior mais

uma constante.

Da, usando a frmula do termo geral da P.A., obtemos:

Cn= C

0+ (n 0) R C C nn = + 0 i C0

Onde:

Cn o montante (total da dvida) aps naumentos;

C0 o capital inicial;

n o nmero de aumentos;

i a taxa de juros (porcentagem de aumento).

i C0so os juros pagos em um aumento e J = n i C

0so os juros

pagos em naumentos. Portanto:

Montante = Capital inicial + Juros

Observao:

Exemplo:

Um comerciante contraiu de um amigo um emprstimo de

R$ 2.400,00, comprometendo-se a pagar a dvida em 15 meses,

taxa de juros simples de 6% ao trimestre. Assim, temos:

C

n n mero de aumentos

em

02400

15

35

=

= =

( )

Taxa trimestral 15 mesees, teremos cinco aumentos.

i ao trimestre=

6%

Substituindo os valores em Cn= C

0+ n i C

0, tem-se:

C C5 52400 5 6

1002400 2 400

1

= + = .

aumento

5 aumentos

++ =720 3 120. reais

Ao final dos 15 meses, o comerciante pagar um montante deR$ 3.120,00, sendo R$ 720,00 de juros.


10/19



Juro CompostoO tipo de juro mais usado nas transaes financeiras

ojuro composto. Para entender esse tipo de juro, observemoso exemplo seguinte.

Aplicando R$ 100.000,00 durante 3 meses, taxa dejuro de 10% ao ms, qual ojuro compostoproduzido?Calculemos:

Ms Capital Juro Montante

1 R$ 100.000,00 R$ 10.000,00 R$ 110.000,00

2 R$ 110.000,00 R$ 11.000,00 R$ 121.000,00

3 R$ 121.000,00 R$ 12.100,00 R$ 133.100,00

Portanto, o juro composto produzido foi deR$ 33.100,00 (montante final menos capital inicial). Note que,em cada ms, a partir do segundo, a taxa de juro incide sobreo montante acumulado no ms anterior. Por isso, esse tipo derendimento chamado dejuro composto.

Quando os juros so compostos, cada aumento calculado sobre o respectivo montante. Assim, um capitalC

0

, aplicado taxa i, gera, aps naumentos, um montanteCntal que:

prximo aumento

montante atual

prximo montante

Cn + 1

= Cn+ i C

n

Da:C

n + 1= C

n (1 + i)

constante = (1 + i)

Conclumos, pois, que a sequncia de montantes(C

o, C

1, C

2, C

3, ..., C

n, ...) uma P.G. de razo q = (1 + i), pois

cada termo o anterior vezes uma constante.Usando a frmula do termo geral da P.G., obtemos:

Cn= C

0 qn 0C

n= C

0 (1 + i)n

Onde: C

n o montante aps naumentos;

i a taxa de juros (porcentagem de aumento); C

0 o capital inicial;

n o nmero de aumentos.

QUESTO COMENTADA

Compreendendo a Habilidade Resolver situao-problema envolvendo conhecimentos numricos.

C-1 H-3

(Uerj Adaptado) Um feirante vende ovos brancos evermelhos. Em janeiro de um determinado ano, do total devendas realizadas, 50% foram de ovos brancos e os outros50% de ovos vermelhos. Nos meses seguintes, o feiranteconstatou que, a cada ms, as vendas de ovos brancosreduziram-se 10% e as de ovos vermelhos aumentaram20%, sempre em relao ao ms anterior.

Ao final do ms de maro desse mesmo ano, o percentual

de vendas de ovos vermelhos, em relao ao nmero total

de ovos vendidos em maro, foi igual a

a) 64%

b) 68%

c) 72%

d) 75%e) 80%

vvv

Comentrio

I. Sendo 2x o total de ovos vendidos em janeiro, as respectivasvendas de ovos brancos e vermelhos desse ms sero:

B0= V

0=

50

100 2x = x

II. Em maro, tais vendas passaro a ser:

B2= B0 (1 + 20%)2B2= x (1,2)2B2=1,44x

V2= V

0 (1 10%)2V

2= x (0,9)2V

2= 0,81x

Total de vendas em maro = B2+ V

2= 2,25x

Da, obtemos:

B

Vendas de mar o

x

x2 1 44

2 250 64 64

= = =

,

,, %

Isso mostra que B2= 64%. (Vendas de maro)

Resposta correta: A

EXERCCIOS DE FIXAO


H-3

03. (UFSM) No Brasil, falar em reciclagem implica citaros catadores de materiais e suas cooperativas.Visando a agilizar o trabalho de separao dos materiais, umacooperativa decide investir na compra de equipamentos.

Para obter o capital necessrio para a compra, sodepositados, no primeiro dia de cada ms, R$600,00 emuma aplicao financeira que rende juros compostos de0,6% ao ms. A expresso que representa o saldo, nessaaplicao, ao final de nmeses, a) 100.600[(1,006)n 1]b) 100.000[(1,06)n 1]c) 10.060[(1,006)n 1]d) 100.600[(1,06)n 1]e) 100.000(1,006)n 1]


11/19



Compreendendo a Habilidade Avaliar propostas de interveno na realidade utilizando

conhecimentos numricos.

C-1 H-5

04. (UFRN Adaptado) Maria pretende comprar umcomputador cujo preo R$ 900,00. O vendedor da loja

ofereceu dois planos de pagamento: parcelar o valor emquatro parcelas iguais de R$ 225,00, sem entrada, oupagar vista, com 5% de desconto. Sabendo que o preodo computador ser o mesmo no decorrer dos prximosquatro meses, e que dispe de R$ 855,00, ela analisou asseguintes possibilidades de compra:

Opo 1 Comprar vista, com desconto.

Opo 2Colocar o dinheiro em uma aplicao que rende1% de juros compostos ao ms e comprar, nofinal dos quatro meses, por R$ 900,00.

Opo 3

Colocar o dinheiro em uma aplicao querende 1% de juros compostos ao ms ecomprar a prazo, retirando, todo ms, o valor

da prestao.

Opo 4Colocar o dinheiro em uma aplicao querende 2,0% de juros compostos ao ms ecomprar, trs meses depois, pelos R$ 900,00.

Entre as opes analisadas por Maria,a) em nenhuma possvel comprar o computador.b) a de maior vantagem financeira a opo 1.c) a de maior vantagem financeira a opo 3.d) a de maior vantagem financeira a opo 4.e) as opes 2 e 3 so igualmente vantajosas.

DE OLHO NO ENEM

InflaoEm Economia, inflao a queda do valor de mercado

ou poder de compra do dinheiro. Porm, popularmente usadapara se referir ao aumento geral dos preos. Inflao o opostode deflao. ndices de preos dentro de uma faixa entre 2 e4,5% ao ano uma situao chamada de estabilidade depreos. Inflao zero no o que se deseja, pois pode estardenunciando a ocorrncia de uma estagnao da economia,momento em que a renda e, consequentemente, a demanda,esto muito baixas, significando alto desemprego e crise.

Os ndices de inflao no Brasil so medidos de diversasmaneiras. Duas formas de medir a inflao ao consumir so o

INPC, aplicado a famlias de baixa renda (aquelas que tenhamrenda de um a seis salrios mnimos), e o IPCA, aplicado parafamlias que recebem um montante de at quarenta salriosmnimos.

At 1994, a economia brasileira sofreu com inflaoalta, entrando num processo de hiperinflao, na dcada de80. Esse processo s foi interrompido em 1994, com a criaodo Plano Real e a mudana da moeda para o Real (R$), atualmoeda do Pas. Atualmente, a inflao controlada pelo BancoCentral por meio da poltica monetria que segue o regime demetas de inflao.


Volumes e suas aplicaesEvidentemente, em muitas circunstncias de nossas

vidas, deparamos com situaes em que se faz necessriofazer estimativas de medies relacionadas com os conceitosde superfcie e espao.

O conhecimento das formas e propriedades geomtricasdos principais slidos, incluindo a determinao de volumesmais complexos a partir de slidos mais simples, agiliza efacilita os clculos inerentes proposta do Exame Nacional doEnsino Mdio, alm de proporcionar um domnio satisfatriodo assunto.

Capacidade e volumeO volume de um objeto a quantidade de espao que

ele ocupa, onde a unidade principal o metro cbico (m3), e a

capacidade a quantidade de espao disponvel para armazenar,onde a unidade principal o litro ().

Quando se deseja realizar uma medio, necessrioescolher uma unidade de medida apropriada medio e osinstrumentos que permitam alcanar a preciso exigida.

importante compreender que todos os objetostm um volume, uma vez que todos ocupam um lugarno espao. Alguns objetos tm uma forma que permitecolocar lquidos, esses objetos so chamados de recipientes.Desse modo, uma piscina vazia tem um volume, pois ocupa um

lugar no espao, porm, sendo um recipiente, ainda possui acapacidade de conter algum volume em seu interior. No entanto,uma pedra, que um objeto macio, permite-nos apenas mediro seu volume, j que no um recipiente.

Exemplo:Em algumas situaes prticas,

h

2h

o volume a ser medido pode serencontrado sem utilizar as frmulasque abordaremos em breve, para oclculo de volumes. Vejamos umexemplo: um recipiente na forma deum cone reto inver t ido estpreenchido com gua e leo, em duascamadas que no se misturam.A altura, medida na vertical, da camada de leo metade da

altura da parte de gua, como ilustrado ao lado.Se o volume do recipiente 54 cm3, o volume da camada deleo, nesse caso, pode ser facilmente calculado explorando asnoes de semelhana discutidas no fascculo 4. Acompanhe:

h

2h

V

54-V

V: Volume da camada de leo


12/19



A semelhana entre os cones da figura anterior,permite-nos escrever a seguinte proporo:

2

3

543

h

h

V

V

=

(A razo entre os volumes igual ao

cubo da razo entre os comprimentos homlogos.)Resolvendo, encontramos:

8

27

5438 3=

=

V

Vcm

Portanto, 38 cm3 o volume associado camada de leo.

Teorema de CavalieriSe dois slidos esto situados entre dois planos paralelos

(tm a mesma altura) e qualquer outro plano, paralelo a eles,corta os dois slidos determinando seces de mesma rea,ento, os slidos so equivalentes, isto , tm o mesmo volume.

Para compreender melhor as ideias de Cavalieri(matemtico italiano que viveu na Itlia, no sculo XVII),acompanhe o exemplo a seguir.

Exemplo:Imagine uma pilha formada com20 moedas iguais de 25 centavos.Observe que podemos formar pilhas devrias formas, com a mesma base e amesma altura. Escolhendo qualqueruma das pilhas, iremos concluirnaturalmente que o volume de uma pilha a soma dos volumesdas moedas e, como as moedas so as mesmas, as pilhas tmo mesmo volume, apesar de terem formas diferentes.Portanto, se dois slidos forem constitudos por camadas iguais,de mesma rea e de mesma espessura, ento, seus volumesso iguais.

Volumes dos slidos mais comuns

Paraleleppedo reto-retngulo (ortoedro) um prisma reto cujas faces so todas retangulares.

a

b

c

D

d

Medidas no ortoedro: rea total do ortoedro = 2 (ab + ac + bc)

Diagonal do ortoedro = a b c2 2 2

+ +

Volume do ortoedro = (rea da base) x (altura) = a b c

Exemplo:Uma caixa aberta na forma deum paraleleppedo retngulo serformada cortando quatro quadradoscongruentes nos cantos de uma folharetangular de papelo e dobrando aolongo das direes dos lados dosquadrados, como ilustrado ao lado.Se a altura da caixa ter medida 3 cm, o volume da caixa ser de288 cm3 e o permetro da folha de papelo mede 64 cm.Qual a medida da rea da folha de papelo?

Soluo:

Vejamos uma nova ilustrao de acordo com oenunciado:

y

y

xx x

x

3

3

3

33

3

3

3

y

y

x + 6

y + 6

I. Volume (caixa) = x y 3 = 288 x y = 96II. Permetro (folha) = (x + 6 + y + 6) 2 = 64x + y = 20III. Resolvendo o sisteminha abaixo, com x > y (figura):

x y

x yx e y

+ =

=

= =20

9612 8

IV. Portanto:

18 rea = 14 18 = 252 cm2Folhaoriginal

14

Assim, a rea (medida da superfcie) da folha ser 252 cm2.

Cubo (hexaedro regular)

Um cubo um prisma regular formado por seis facesquadradas.

a D

d a

a

Medidas no hexaedro regular: rea da superfcie total do cubo = 2 (a a + a a + a a) = 6a2

Diagonal do cubo = = + + =D a a a a2 2 2 3

Volume do cubo = (rea da base) (altura) = a a a = a3

Pelo Princpio de Cavalieri, podemos garantir que doisprismas que tm mesma rea da base e mesma alturatm volumes iguais.

Prisma reto: um prisma cujas arestas laterais soperpendiculares s bases.

Prisma regular: um prisma reto cujas bases sopolgonos regulares.

Observaes:


13/19



Exemplo:Dois blocos de alumnio em forma de cubo, com

arestas medindo 10 cm e 6 cm, so levados juntos

fuso e, em seguida, o alumnio lquido moldado

como um paraleleppedo retngulo de arestas medindo

8 cm, 8 cm excm. O clculo que devemos fazer para encontrara terceira medida (x) torna-se trivial quando pensamos na

equivalncia de volumes que deve ocorrer.

Condio do problema:

8 cm

8 cm

x cm

10 cm

10 cm

10 cm

6 cm6 cm

6 cmVolume = Volume+

Ento:103+ 63= x 8 81216 = x 64

x = 19 cm

Cilindro

Quando o nmero de faces laterais de um prisma de

base regular tende ao infinito, este transforma-se em um cilindro

circular. Se as arestas laterais so perpendiculares s bases,

dizemos que o cilindro circular reto.

As arestas laterais so denominadas geratrizes docilindro;

Suas bases so circunferncias que esto contidas emplanos paralelos;

A altura do cilindro a distncia dos planos das bases.

g = h

i l l ili

Planificao do cilindro reto

r

2r

g = hSuperfcie lateral do cilindro reto

r

r

l i i ili

Medidas no cilindro reto:

rea da superfcie lateral do cilindro reto = 2 rh

rea da superfcie total do cilindro reto = 2 rh + 2r2

Volume do cilindro reto = (rea da base) (altura) = r2h

Exemplo:Davi deseja substituir quatro tubos cilndricos, todos de mesmocomprimento e dimetro de 10 cm, por um nico tubo, tambmcilndrico e de mesmo comprimento que os anteriores.

O dimetro do novo tubo, para que ele comporte o mesmonmero de litros dgua que os outros quatro juntos, podeser encontrado facilmente a partir de uma equivalncia entreos tubos.

Podemos escrever:

volume (4 tubos cilndricos) = volume (novo tubo cilndrico)

4 ( 52 c) = r2 c, onde c o comprimento comum e r o raio do novo cubo.

Resolvendo a sentena obtida, encontramos r = 10 cm. Portanto,o dimetro do novo tubo igual a 20 cm.

Pirmides

Chama-se pirmide ao conjunto

AB

C

D

E

V

h

de pontos do espao limitados por umngulo polidrico e por um plano que,no passando pelo vrtice, corte todasas arestas do ngulo polidrico.A seco plana do ngulo polidricochama-se base da pirmide (ABCDE) eas pores das faces do ngulopolidrico limitadas por essa basechamam-se faces da pirmide. O vrtice do ngulo polidricochama-se vrtice da pirmide (V).

Uma rpida justificativa para o volume da pirmide:

Abaixo, temos a decomposio de um prisma triangularem trs pirmides triangulares.

AB

C

F

ED

=

A B

D

F

B

D E

F

AB

C

F

(I) (II) (III)

+ +

Veja que:

I. as pirmides Ie IItm volumes iguais, pois os tringulos ABD

e BDE tm a mesma rea e a distncia de Fao plano ABED

nica, isto , as duas pirmides tm a mesma altura;

II. as pirmides IIe IIItm volumes iguais, pois os tringulos

BEF e BCF tm a mesma rea e a distncia da aresta AD ao

plano BCFE nica, pois AD / / PL(BCFE), ento, as duas

pirmides tm a mesma altura.

Portanto, o volume de cada uma dessas pirmides

igual a um tero do volume do prisma.

Pelo Princpio de Cavalieri, podemos garantir que duas

pirmides que tm mesma rea da base e mesma altura

tm volumes iguais.

Pirmide reta: a pirmide cujo p de sua altura coincide

com o centro de sua base.

Pirmide regular: a pirmide reta de base regular.

Observaes:


14/19



Exemplo:

H

40 dam

12dam

30 dam

Para calcularmos o volumeaproximado de um iceberg,podemos compar-lo comslidos geomtricos conhecidos.O slido da figura, formadopor um tronco de pirmideregular de base quadrada e umparaleleppedo reto-retngulo,justapostos pela base, representa aproximadamente um icebergno momento em que se desprendeu da calota polar da Terra.As arestas das bases maior e menor do tronco de pirmide medem,respectivamente, 40 dam e 30 dam, e a altura mede 12 dam.Passado algum tempo do desprendimento do iceberg, o seuvolume era de 23100 dam3, o que correspondia a 3/4 do volumeinicial. Determine a altura H, em dam, do slido que representao icebergno momento em que se desprendeu.

Soluo:

40

40

40

H

3012

x

z

O desenho ao lado facilitar avisualizao e compreenso dos clculosque iremos fazer objetivando a obtenoda altura H.

I.x

xx dam

+

= ( ) =12

30

4036semelhan a

II. V V V

V

t ro nc o p ir m id emaior

pir midemenor

tronco

=

=

1

340 48

1

32 330 36 148002 3 = dam

I II . Consid erand o a reduo de vo lume aps odesprendimento, temos:

23100 3

440 40 14800= +

z

bloco tronco

retangular

=z dam10

Portanto, a altura solicitada igual a H = 22 dam.

Cone

Quando o nmero de vrtices da base de uma pirmidede base regular tende ao infinito, esta transforma-se em umcone circular.

Se a pirmide for reta, dizemos que o cone circular reto.

As arestas laterais da pirmide so as geratrizes do cone; Sua base uma circunferncia;

A altura do cone a distncia do vrtice ao plano dabase.

RO

h g

V

i l l

Planificao do cone reto

R

2R

Superfcie lateral do cone reto

g

g

q

l i i

Medidas no cone reto: rea da superfcie lateral do cone reto = rg rea da superfcie total do cone reto = rg + r2

Volume do cone reto=( )( )

=rea da base altura r h

3 3

2

Exemplo:

Um recipiente cnico de vidro, de altura igual ao raio da basecircular, completamente fechado, est apoiado com sua base

circular sobre a mesa, como na figura 1, de forma que o lquido

em seu interior atinge a metade da profundidade do recipiente.

Se virarmos o recipiente, como na figura 2, de forma que a

base circular fique paralela mesa, qual ser a profundidade do

lquido em seu interior, com o recipiente nessa nova posio?

H

H/2

Figura 1 Figura 2

?

Soluo:Como a superfcie do lquido paralela ao plano da base

do cone nas figuras 1 e 2, ento, a proporcionalidade presente evidente, o que nos permite escrever:

I.V volume de l quido no coneV volume que corresponde ao espa o vazi=

=

oo{

II.

H

H/2

Figura 1

V

V

+

=

= =V V

V

H

H V V

2

8 7

3

III.

i

Figura 2

V

VH

X

= +

= =

x

H

V

V V

x

H

V

V

x

H

3 3 37

8

7

2

IV. Logo, a altura do lquido, na figura 2, ser igual a:

x H

u c=7

2

3

. .


15/19



Esfera

A esfera um slido limitado por umasuperfcie que tem todos os pontos igualmentedistantes de um ponto interior chamado centro.

Uma rpida justificativa para o volumeda esfera:

R R

2R

2R

d R

r

planohorizontal

dd

De acordo com a ilustrao anterior, temos:

I. um cilindro reto cuja base um crculo de raio Re cuja

altura tem medida 2R;

II. uma esfera de raio R repousando sobre o plano

horizontal que contm a base do cilindro;III. evidentemente, = 45 (as diagonais de um quadrado

so bissetrizes);

IV. a seco que aparece na esfera obtida a partir de um

plano horizontal que dista ddo centro um crculo cuja

rea mede r2= (R2 d2);

V. o mesmo plano determina, entre as paredes laterais do

cone e do cilindro, direita, uma coroa circular cuja rea

tambm mede (R2 d2);

VI. pelo Princpio de Cavalieri, podemos garantir que o

volume da esfera igual diferena entre o volume do

cilindro e o volume ocupado pelos dois cones.

De acordo com a argumentao acima, encontramos:

V Volume cilindro Volume cone

V R R R

esfera

esfera

= ( ) ( )

=

2

2 22

22 3

3

4

3

R R

=

Exemplo:

Deseja-se encher de gua um reservatrio em forma de

hemisfrio, utilizando-se um outro recipiente menor de forma

cilndrica circular reta, conforme as figuras abaixo. A partir de

suas medidas internas, constatou-se que a razo entre os seus

raios 1

6e que a altura do recipiente menor o triplo do seu

raio. Sendo assim, para que o reservatrio fique completamentecheio, quantas vezes o recipiente menor deve tambm ser

completamente enchido e derramado no maior?

R

r

hR

Soluo:

De acordo com o exposto, temos:

6r

r

3r6r

Devemos ter:

n r r r o n de despejos , . 2 3

3 1

2

4

36( )= ( )

n

Simplificando, vem:

n

n

.

3 1

2

4

36

48

3=

=

Portanto, sero necessrios 48 despejos para encher oreservatrio.

QUESTO COMENTADACompreendendo a Habilidade Avaliar o resultado de uma medio na construo de um argumento

consistente.

C-3 H-13

Populariza-se na regio da seca no nordeste do Brasil aconstruo de cisternas que armazenam as guas daschuvas. Uma vez tratada, a gua abastecer as famliasque ali vivem.

Texto adaptado de Discutindo Geografia. Ano 1, n 3 2005

Discutindo a Geografia. Ano 1 n 3. p. 42.

Considere os trs recipientes a seguir que podem ser usadospara carregar guas das cisternas.

Recipiente I

2L

LRecipiente II Recipiente III

L

2L

L LL

2L


16/19



O recipiente I tem a forma de um cilindro circular reto,de raio da base igual a L e altura igual a 2 L.

O recipiente II tem a forma de um tronco de cone comraio da base maior igual a 2 L, raio da base menor iguala L.

O recipiente III tem a forma de um paraleleppedo retode base quadrada de lado igual a L e altura igual a 2 L.

Considerando V1, V

2e V

3os volumes dos recipientes I, II e

III, respectivamente, pode-se afirmar que

a) V1> V

2> V

3

b) V1> V

3> V

2

c) V2> V

1> V

3

d) V2> V

3> V

1

e) V3> V

1> V

2

Comentrio

Recordando:

V :

B:

b

T volume do tronco de cone

h altura do tronco

rea da base maior

T:

:: rea da base maior

V h

B b BbT

T

= + +( )3

.

EXERCCIOS DE FIXAO

Compreendendo a Habilidade Resolver situao-problema que envolva conhecimentos geomtricos

de espao e forma.C-2

H-8

05.Deseja-se construir um reservatrio na forma de umtronco de uma pirmide de base hexagonal para estocarcerto lquido. As dimenses das bases do reservatrioso respectivamente 1 m e 2 m, sendo 3 m a altura do

reservatrio. Considerando 3 1 7= , ,a capacidade em litrosdeste reservatrio dea) 25500 litros. b) 22950 litros.c) 17850 litros. d) 15300 litros.e) 7650 litros.

Compreendendo a Habilidade Avaliar proposta de interveno na realidade utilizando

conhecimentos geomtricos relacionados a grandezas e medidas.C-3

H-14

06.Um cerimonial foi contratado para fazer uma festa. Porexperincia, o dono de cerimonial sabe que entre as pessoas

que iro a essa festa, 100 so potenciais consumidores devinho e tomam em mdia 3 taas, no formato e medidasda figura abaixo. Sabendo que cada garrafa contm790,5 ml de vinho, qual o nmero mnimo de garrafas queo comerciante dever manter em estoque para atender aosconvidados da festa?a) 45b) 50c) 60d) 65e) 70

DE OLHO NO ENEM

TRONCO DE PIRMIDE DE BASESPARALELAS

Consideremos uma pirmide cuja base tem rea B ecuja seco, paralela base, distncia htda base, tem rea b.

Chamando de ha distncia da seco ao vrtice da pirmide,o volume do tronco, V

t, dado por:

h

h + ht

ht

B: rea da base maiorb: rea da base menorh

t: altura do tronco

h: altura da pirmide menorh + h

t: altura da pirmide maior

Sendo a pirmide de altura h + ht semelhante

pirmide de altura h, temos:I. As reas dessas bases esto entre si como os quadrados

das alturas das pirmides.

Considerando as medidas indicadas, temos:

Recipiente I V L L V Lcilindro circular reto

= =1

2

1

32 2

Recipiente II V L

L L L L

tronco do cone

= + + ( ) 2 2 2 2 2

34 4 VV

L2

37

3=

Recipiente III V L L L V L

paralelep pedo reto

= ( ) =3 3

32 2

A partir dos resultados obtidos, conclumos que:

V2> V

1> V

3

Resposta correta: C

9 cm

4 cm

3 cm

Para efeito de clculoconsidere = 3,1

1 m= 1 cm3


17/19



Ento:

B

b

h h

h

B

b

h h

h

B

b

h

h

B b

b

h

hh B b h b

t t t

t

t

= +

=

+ = +

= ( )=

2

1

II. Volume(tronco) = Volume(pirmide maior) Volume(pirmide menor).Ento:

V B h h b h

V B h Bh b h

V h B b

tronco

t

tronco

t

tronco

=

+( )

=+

=

( )

3 3

3

BB b Bh

Vh b B b Bh

V h B b Bb

t

tronco

t t

tronco t

+( ) +

=

+( ) +

= + +( )

3

3

3

Assim sendo, o clculo do volume de um recipientecom a forma de um tronco de cone, sabendo que suaaltura mede 2 m e que suas bases tm raios iguais a 1 m e2 m, pode ser facilitado usando o resultado encontrado.

Veja:

= + +t

troncoh .V (B b Bb)3

2

2

1

Logo:

V mT = + + =2

32 1 2 1

14

3

2 2 2 2 3. ( . . . . . )

EXERCCIOS PROPOSTOS


H-3

01. Quando a CPMF foi criada, uma das metas que deveria ser

atingida, com a injeo macia de recursos na sade, era

erradicar a dengue. Porm, uma dcada depois, o nmero

de casos registrados da doena cresceu assustadoramente.

Admita que, em certa cidade, de 1996 a 2006, o nmero de

casos de dengue tenha crescido em progresso aritmtica.

Sabe-se que p1 + p

2 = 384 casos e que p

2 + p

3= 416

casos, sendo p1o nmero de casos registrados em 1996,

p2, o nmero de casos registrados em 1997, p

3, o nmero

de casos registrados em 1998 e assim sucessivamente.

Nessas condies, pode-se afirmar que o nmero de casosde dengue registrados em 2006 foia) 364b) 344c) 328d) 326e) 324

Compreendendo a Habilidade Identificar padres numricos ou princpios de contagem. Resolver situao-problema envolvendo conhecimentos numricos.

C-1 H-2

H-3

02. Em muitos jogos virtuais, o usurio deve elevar seu nvelao adquirir pontos de experincia para evoluir, conquistarnovas habilidades e mesmo destravar outras campanhas.

Em um desses jogos, so necessrios 800 pontos paraatingir o primeiro nvel, 1200 pontos para o segundo nvel,1700 pontos para o terceiro nvel, 2300 pontos para oquarto nvel e assim sucessivamente, at que se atinja onvel mximo, que 24.

A quantidade de pontos de experincia necessrios parase atingir o nvel mximo a) 2600b) 5800c) 10500d) 20250e) 35300


H-3

03. (UFG-Adaptado) A figura a seguir uma representao do

Sistema Solar.

Pluto

Neturno

Saturno

Jpiter

Urano

Cinturo deasteroides

Terra

Marte

Vnus

Mercrio Sol

Em 1766, o astrnomo alemo J. D. Tietz observou que asdistncias heliocntricas dos planetas at ento conhecidos edo cinturo de asteroides obedeciam, com boa aproximao,a um padro conhecido hoje como lei de Titius-Bode.

Segundo esse padro, a partir do planeta Vnus eincluindo o cinturo de asteroides, subtraindo-se 0,4 dasdistncias heliocntricas, em unidades astronmicas (UA),obtm-se uma progresso geomtrica com termo inicial 0,3e razo 2. A distncia da Terra ao Sol, por exemplo, deaproximadamente, 1 UA e, neste caso, 1 0,4 = 0,3 2.


18/19



Segundo a lei de Titius-Bode, a distncia heliocntrica, emUA, do planeta Jpiter igual aa) 4,8 b) 5,2c) 5,6 d) 6,0e) 6,4

Compreendendo a Habilidade

Avaliar a razoabilidade de um resultado numrico na construo de argumentos sobre afirmaes quantitativas.C-1

H-4

04. Desde abril, os grandes bancos vm anunciando reduesde juros em algumas de suas linhas de crdito. As taxasbastante competitivas vm atraindo a populao epermitindo que muitos consigam realizar seus sonhos deconsumo como, por exemplo, a casa prpria...

http://exame.abril.com.br/seu-dinheiro

Considere que, aps negociao com o banco, uma pessoaconsiga crdito para financiar uma casa, por um perodode 30 anos. O acordo prev amortizao mensal de 1%no valor da prestao, sendo a prestao inicial igual a

R$ 1.300,00. Nesses termos, aps o fim dos 30 anos de financiamento,

podemos afirmar que essa pessoa ter pago ao banco umvalor totala) entre 65.000 reais e 90.000 reais.b) maior do que 390.000 reais.c) menor do que 130.000 reais.d) entre 260.000 e 390.000 reais.e) igual a 133.310 reais.

Compreendendo a Habilidade Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou grficos.C-6

H-25

05. Um fundo de investimento uma forma de aplicaofinanceira formada pela unio de vrios investidores que sejuntam visando determinado objetivo ou retorno esperado,dividindo as receitas geradas e as despesas necessriaspara o empreendimento. Os gestores da estratgia demontagem da carteira de ativos do fundo visam ao maiorlucro possvel com o menor nvel de risco.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fundo_de_investimento

Um aplicador que investiu seu capital na data zero obteveas rentabilidades abaixo.

Data Rentabilidade

1 +50%

2 50%

3 +50%

4 50%

5 +50%

6 50%

7 +50%

8 50%

9 +50%

10 50%

Ao final desses 10 perodos, podemos afirmar que esseinvestidora) acumulou lucro de aproximadamente 24%.b) acumulou lucro de aproximadamente 76%.c) acumulou prejuzo de aproximadamente 24%.d) acumulou prejuzo de aproximadamente 76%.e) no obteve lucro, nem prejuzo.

Compreendendo a Habilidade Resolver situao-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algbricos.

C-5 H-21

06. No incio de dezembro de certo ano, uma loja tinha umestoque de calas e camisas no valor total de R$ 140.000,00,sendo R$ 80,00 o valor (preo de venda) de cada cala eR$ 50,00 (preo de venda) o de cada camisa. Ao longo doms, foram vendidos 30% do nmero de calas em estoquee 40% do nmero de camisas em estoque, gerando umareceita de R$ 52.000,00. Com relao ao estoque inicial,

a diferena (em valor absoluto) entre o nmero de calase o de camisas a) 1450b) 1500c) 1550d) 1600e) 1650

Compreendendo a Habilidade Avaliar a razoabilidade de um resultado numrico na construo de

argumentos sobre afirmaes quantitativas.C-1

H-4

07. (UFG) Leia a tabela a seguir, impressa em uma embalagemde leite.

INFORMAO NUTRICIONALPoro de 200 mL (1 copo)

Quantidade por poro %VD (*)

Carboidratos 8,4 g 3

Protenas 6,0 g 8

Gorduras 6,2 g 11

Sdio 150 mg 6

Clcio 240 mg 24

* Porcentual dos valores dirios com base em uma

dieta de 2000 kcal ou 8400 kJ.

Obtendo-se os valores dirios (VD) de clcio e de sdio,com base nas informaes da tabela. Conclui-se que o VDde sdio a) um quarto do de clcio.b) duas vezes e meia o de clcio.c) cinco oitavos do de clcio.d) dois quintos do de clcio.e) oito quintos do de clcio.


19/19



Compreendendo a Habilidade Resolver situao-problema que envolva conhecimentos geomtricos de espao e forma.

C-2 H-8

08. A taa desenhada na figura

x cm

tem a forma de semiesfera econtm lquido at uma altura

de xcm. O volume de lquido contido

na taa, em cm3, depende daaltura atingida por esse lquido,em cm. O grfico a seguirmostra essa dependncia,sendo que os pontos A eB cor respondem taatotalmente vazia e totalmente cheia, respectivamente.

V (cm3)

60,75

A

B

x (cm)

De acordo com os dados do grfico, a taa tem a formade uma semiesfera cujo raio medea) 3 cm b) 3,5 cmc) 4 cm d) 4,5 cme) 5 cm

Compreendendo a Habilidade Avaliar o resultado de uma medio na construo de um argumento

consistente.C-3

H-13

09. Para se criar peixes em aqurio, alguns cuidados devem sertomados para que eles vivam em um ambiente saudvel.Um dos cuidados a manuteno de um pH equilibrado.Em um determinado aqurio, sabe-se que o pH da guadeve estar em torno de 7,0 e que dentro dele contmcascalhos, uma lasca de aroeira, um barquinho de pedrae plantas aquticas que ocupam 20% do volume total.Ao medir o pH, observa-se que a gua est alcalina, ouseja, o pH est acima de 7,0. Para regular o pH, deve-secolocar gotas de corretivo de pH acidificante na gua do

aqurio. A bula do corretivo de pH recomenda que seadicione uma gota para cada dois litros de gua do aqurio.

Superviso Grfica: Andra Menescal

Superviso Pedaggica: Marcelo Pena

Gerente do SFB: Fernanda Denardin

Coordenao Grfica: Felipe Marques e Sebastio Pereira

Projeto Grfico: Joel Rodrigues e Franklin Biovanni

Editorao Eletrnica: Paulo Henrique

Ilustraes: XXXX

Reviso: Wagner Ximenes

OSG: 73300/13

Expediente

Quantas gotas devem ser colocadas nesse aqurio

sabendo-se que suas dimenses so 50 cm de comprimento,

30 cm de largura e 40 cm de altura?

a) 12 gotas b) 24 gotas

c) 30 gotas d) 48 gotas

e) 60 gotas

Compreendendo a Habilidade Resolver situao-problema que envolva medidas de grandezas.C-3

H-12

10. Dentro de um recipiente cilndrico, de altura 1,98 metros,

h quatro barras macias cilndricas iguais, de alturas iguais

do recipiente. Nessa situao, enchem-se completamente

os espaos vazios com gua at a borda do recipiente.

Qual ser a altura do nvel da gua em relao ao fundo do

recipiente, em centmetros, aps serem retiradas as quatro

barras, sem desperdiar nenhuma quantidade de gua?

a) 120 b) 115

c) 110 d) 105

e) 100

GABARITOS

EXERCCIOS DE FIXAO

01 02 03 04 05 06

b b a d c c

EXERCCIOS PROPOSTOS

01 02 03 04 05

b e b c d

06 07 08 09 10

b b d b c

Enem Em Fasciculos Fasciculo 16 Linguagens e Suas Tecnologias

Documents

Transcript of Enem Em Fasciculos Fasciculo 16 Linguagens e Suas Tecnologias