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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA – DEPARTAMENTO DE ENGENHRAIA CIVIL ENG 01202 – MECÂNICA ESTRUTURAL II- Turma B Prof. João Ricardo Masuero

TRABALHO – ÁREA 1 2015/1

O trabalho abaixo deverá ser feito considerando parâmetros X, Y e Z obtidos da seguinte forma: ( )MOD 10X Valor numérico da inicial do primeiro nome=

( )MOD10Y Valor numérico da inicial do último sobrenome=

Z Último dígito do número do cartão= Onde “MOD” indica o resto da divisão inteira. Incluir K, W e Y no alfabeto. X,Y e Z são inteiros entre 1 e 10

Ex: Antonio Vivaldi, cartão 004736 Inicial do primeiro nome: A Valor numérico da letra A: 1 (A=1, B=2, ...) Parâmetro X = (1 mod 10) = (resto da divisão inteira de 1 por 10) = 1 : X= 1

Inicial do último sobrenome: V Valor numérico da letra V: 22 (A=1, B=2, ..., V = 22) Parâmetro Y = (22 mod 10) = (resto da divisão inteira de 22 por 10) = 2: Y= 2

Parâmetro Z = 6 : Z= 6 1) Calcular o deslocamento vertical dos pontos D e E, os esforços na mola AD e no cabo DE. Considerar

somente o efeito do Momento Fletor e do Esforço Normal sobre a deformação da estrutura. O módulo de elasticidade E do material de todas as peças é 20.000 kN/cm2.

2) Calcular o deslocamento vertical máximo da barra CD e localizar a posição correspondente na barra. Considerar somente o efeito do Momento Fletor e do Esforço Normal sobre a deformação da estrutura. O módulo de elasticidade E do material de todas as peças é 20.000 kN/cm2.

A

0,4+0,04Y kN/cm

IBCD = 8000+500X cm4

200+30X cm 150+10Ycm

KAD = 50 – 4Z kN/cm

DADOS

L,EI

M

|ωmax| = ML2/2EI |φmax| = ML/EI

L,EI

P

|ωmax| = PL3/3EI |φmax| = PL2/2EI

L,EI

q

|ωmax| = qL4/8EI |φmax| = ql3/6EI

L,EI ω(x)=q(xL3-2x3L+x4)/(24EI)

q

IEF =8000+200Z cm4

B C

E F

D

ADE = 30+2Y cm2 LDE = 200+20X cm

50+10Z cm

40+3X kN

A

0,3+0,03Z kN/cm

300+60Z cm IEF =10000+500X cm4

C D

AAC = 10+3Y cm2 LAC = 150+30Z cm

BABD = 40-2X cm2

LBD = 350-25Y cm

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3) Calcular o deslocamento vertical dos pontos B e C, o esforço de tração do tirante AB e os momentos nas molas. Considerar somente o efeito do Momento Fletor e do Esforço Normal sobre a deformação da estrutura. O módulo de elasticidade E do material de todas as peças é 20.000 kN/cm2.

Roteiro sugerido: • Calcular o alongamento ∆LAB do tirante AB em função do esforço NAB; • Calcular MC, ∆φC, MD e φD em função da carga distribuída e do esforço NAB do tirante AB; • Calcular ωC e φC da barra CD; • Calcular φC da barra BC; • Calcular ωB em função do esforço NAB do tirante AB, do deslocamento vertical ωC e do giro φC da barra BC; • Compatibilizar os deslocamentos ωB e ∆LAB. 4) Calcular as reações da viga abaixo. Considerar somente o efeito do Momento Fletor sobre a deformação

da estrutura. O módulo de elasticidade E do material é 20.000 kN/cm2.

A B C

0,3-0,02Z kN/cm

IBC =10000+500Y cm4

300+30Z cm 300-20X cm

IBC =5000+500Z cm4

DADOS

L,EI

M

|ωmax| = ML2/2EI |φmax| = ML/EI

L,EI

P

|ωmax| = PL3/3EI |φmax| = PL2/2EI

L,EI

q

|ωmax| = qL4/8EI |φmax| = ql3/6EI

L,EI ω(x)=q(xL3-2x3L+x4)/(24EI)

q

L,EI

M

ω(x)=M(x3-L2x)(6EIL) x

0,3+0,03X kN/cm

A

B C D

0,3-0,02Z kN/cm

IBC =12000+800Y cm4

AAB =30+3Z cm2

200+20Y cm 300+30X cm

300+60Y cm

KD =9.000.000 - 500.000X kNcm/rad KC =6.000.000+

300.000Y kNcm/rad

IBC =10000+600Z cm4

DADOS

L,EI

M

|ωmax| = ML2/2EI |φmax| = ML/EI

L,EI

P

|ωmax| = PL3/3EI |φmax| = PL2/2EI

L,EI

q

|ωmax| = qL4/8EI |φmax| = ql3/6EI

L,EI ω(x)=q(xL3-2x3L+x4)/(24EI)

q

3

5) O telhado abaixo tem afastamento entre tesouras E = 200+30Y cm. O afastamento entre nós da tesoura, em projeção horizontal, é de p = 100+20Z cm. O peso próprio do telhado é estimado em 5.10-5 kN/cm2 de projeção horizontal, na direção vertical, para baixo. A pressão do vento sobre o telhado é estimada em (1+0,15X).10-4 kN/cm2 de projeção horizontal, considerada vertical e para cima, por simplicidade. As cargas atuantes nos nós das tesouras podem ser estimadas simplificadamente a partir das áreas de influência em projeção horizontal de cada nó.

Dimensionar o banzo inferior das tesouras utilizando S = 1+0,3Y e uma seção tubular retangular com dimensões:

820

16 240

(1 0,5 )

i e

i e

e e

Yb b

Zh h

b X h

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

Indicar o número mínimo de nós do banzo inferior que devem ter seus deslocamentos transversais ao plano da tesoura impedidos.

E = 21000 kN/cm2 σe = 24 kN/cm2 σp = 21 kN/cm2 K1 = 31 kN/cm2 K2 = 0,114 kN/cm2

A vinculação das tesouras sobre os pilares pode ser considerada como rótula espacial, e que as terças nos nós superiores impedem o tombamento das tesouras. 6) A torre metálica treliçada e estaiada abaixo suporta um reservatório de 800+80Z m3 (8000+800Z kN), e foi concebida como sendo formada por 4 pilares treliçados, cada um dos quais formados por 4 montantes, que são perfis “I” cujas propriedades estão indicadas abaixo, afastados entre si de uma distância a1 na direção z e b1 na direção y, distâncias estas medidas entre os eixos longitudinais dos perfis.

Há uma série de barras transversais e diagonais formando um treliçado nos planos das faces do pilar, bem como nos planos transversais, de modo a dar rigidez espacial ao conjunto e fazer com que cada pilar tenha comportamento semelhante a uma única barra monolítica. Essa configuração está ilustrada no detalhe de um módulo do pilar no desenho abaixo, à esquerda. Os pilares treliçados estão vinculados à fundação e à base do reservatório através de rótulas espaciais. Eles estão afastados entre si de uma distância a2 na direção z e b2 na direção y, distâncias estas medidas entre os eixos longitudinais dos pilares. Existe igualmente um conjunto de grandes barras transversais e diagonais formando um treliçado nas faces da torre e nos planos transversais, de modo a dar rigidez espacial ao conjunto e fazer com que a torre tenha comportamento semelhante a uma única barra monolítica. Somente as barras contidas no plano frontal e lateral esquerdo da torre foram representadas, em prol da clareza do desenho, embora elas existam em todas as faces e nos planos transversais horizontais, de forma semelhante à configuração dos pilares. No centro da face inferior da base do reservatório estão fixados dois cabos ou estais, que impedem o deslocamento do topo da torre horizontalmente na direção y.

Considerando que a carga do reservatório possa ser considerada como centrada em relação ao eixo da torre, cada pilar treliçado está submetido a uma carga de compressão correspondente a ¼ da carga total. Essa carga de compressão pode ser considerada centrada em relação ao eixo longitudinal de cada pilar, de modo que cada montante (perfil “I”) está submetido a uma carga de compressão correspondente a ¼ da carga aplicada em cada pilar, ou 1/16 da carga total. As barras transversais e diagonais, tanto dos pilares como da torres, respondem pela rigidez tridimensional da estrutura, mas não contribuem para sustentar as cargas verticais, que ficam a cargo dos montantes nos pilares, e dos pilares na torre.

be

he bi hi

E

E

E

pp

p

0,4p

Tesoura meramente ilustrativa

Tesoura utilizada

0,6857p

0,8571p

p

4

Calcular as distâncias a1, b1 de afastamento entre os eixos dos montantes dos pilares, L1 de espaçamento do treliçado dos pilares, e a2, b2 de afastamento entre os eixos dos pilares da torres, para um coeficiente de segurança mínimo de 1,0+0,1X. Considerar um espaçamento máximo L2 = L1.[inteiro(4+0,6Y)]. H deve ser múltiplo tanto de L1 quanto de L2. L2 dever ser múltiplo de L1.

a1

b1

L2

a2

b2

P = 8000+800Z kNx

y

z

y

z

SEÇÃO TRANSVERSAL DOS

MONTANTES

A = 60 + 6Z cm2 Iz = 400 + 40X cm4 Iy = 100 + 20Y cm4

H = 100+30X m

PROPRIEDADES DO MATERIAL

E = 21000 kN/cm2 σe = 24 kN/cm2 σp = 21 kN/cm2 K1 = 31 kN/cm2 K2 = 0,114 kN/cm2

L1

5

7) Para a barra abaixo, esgastada na extremidade esquerda e com um apoio simples que impede somente deslocamentos na direção y na extremidade direita:

a) Calcular Mymax, ωzmax, Mzmax e ωymax considerando apenas os efeitos de 1ª ordem.

b) Escrever as expressões para My(x), ωz(x), Mz(x) e ωy(x), considerando os efeitos de 2ª ordem. Calcular os deslocamentos e momentos máximos, e compará-los aos valores de 1ª ordem.

c) Calcular o coeficiente de segurança da peça. (OBS: a posição dos momentos máximos em relação aos eixos y e z podem não coincidir)

Dados do Material:

E = 21.000 kN/cm2 σe=24 kN/cm2 σp=21 kN/cm2 K1=31 kN/cm2 K2=0,114 kN/cm2

Dimensões:

L=(200+20Z) cm b=(15+3Y) cm h=(5+2X) cm

Cargas:

P=(50+20Y) kN qy=(0,1+0,02X) kN/cm Pz=(20+2Z) kN

8) Calcular as reações da viga (a) utilizando os teoremas de Betti-Maxwell e considerando as soluções auxiliares dadas em (b), (c), (d) e (e) que sejam adequadas. Esboçar os diagramas de solicitações (Q,M) indicando a posição e o valor de máximos.

Dados:

L1 = (0,5+0,15X) m L2 = (4+0,3Z) m L3 = (5-0,3Y) m L4 = (1+0,2X) m

P1 = (5+2Z) kN P2 = (30+3Y) kN q1 = (10+2Z) kN/m

OBS: Utilizar o Ftool para verificar as respostas obtidas

x

y

z

L

P

Pz

qy

Seção Transversal

b

hz

y

A

L1

B C

a)

D E F

L2 L3 L4

P1 P2

q1

M

x

M

x

b) c) P

x

d)a b

e)

a b

x

P

32( ) 3 2

6M xx x xLEI L

ω⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

22)(

22 LLxxEIMxω ( )

ax

xxaabxEILPbx

≤≤

−+=

0

26

)( 32ω

LxaaxEI

Pax

axxaxEIPx

≤≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

32)(

032

)(

2

2

32

1

ω

ω

6

9) Utilizando os teoremas de Betti-Maxwell e as equações de equilíbrio, calcular as reações do pórtico (a) utilizando as soluções auxiliares dadas em (b) a (g) que forem adequadas.

Deslocamentos b) c) d) e) f) g) A x (m) 0 0 0 0 0 1,20.10-3 A y (m) 0 0 0 0 0 0 A rot (rad) 0 0 0 +1,00.10-4 0 1,00.10-4 B x (m) +2,13.10-3 +8,00.10-4 -1,07.10-3 -4,00.10-4 +8,00.10-4 +8,00.10-4 B y (m) +7,95.10-20 +6,95.10-20 -1,99.10-20 +6,67.10-9 -6,95.10-6 +6,67.10-9 B rot (rad) -8,00.10-4 -4,00.10-4 +8,00.10-4 +1,00.10-4 -4,00.10-4 +1,00.10-4 C x (m) +2,13.10-3 +8,00.10-4 -1,07.10-3 -4,00.10-4 +8,00.10-4 +8,00.10-4 C y (m) -4,80.10-3 -4,20.10-3 +1,20.10-2 -6,67.10-9 -4,20.10-3 -6,67.10-9 C rot (rad) -8,00.10-4 -1,00.10-3 +3,20.10-3 -2,00.10-4 -1,00.10-3 -2,00.10-4 D x (m) -1,07.10-3 -3,20.10-3 +1,39.10-2 -2,00.10-3 -4,00.10-3 0 D y (m) -4,80.10-3 -4,20.10-3 +1,20.10-2 0 -4,20.10-3 0 D rot (rad) -8,00.10-4 -1,00.10-3 +4,00.10-3 -6,00.10-4 -1,40.10-3 -2,00.10-4

Sentidos positivos: direita (x), cima (y), anti-horário (rot)

1 b) 1 c)

1

d)

1

e)

1

f) 1

g)

A

5+Z kN

B C

D

10+2X kN

15+3Y kNm

6 m

4 m

a)

A

B C

D A

B C

D

A

B C

D A

B C

D

A

B C

D A

B C

D