Docente: Pedro Moreira Ano Lectivo: 2011/2012 Docente: Pedro Moreira Ano Lectivo: 2011/2012.
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Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de
Controlo LinearResolução do Exame de 2ª Época
Ano lectivo 1999/2000
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Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Linear
IIO esquema do sistema mecânico mola-massa-amortecedor representado na figura seguinte, apresenta
k
m
b
F
x
a seguinte equação diferencial:
onde F é a entrada do sistema e o sistema apresenta as seguintes características físicas:
Fkxdt
dxb
dt
xdm
2
2
kgm 2 1 9 Nmk 1 6 Nsmb
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a) Determine a função de transferência do sistema.
Fkxdt
dxb
dt
xdm
2
2
Fkxxbxm Fxxx 962
Aplicando a transformada de Laplace:
sFsxssxsxs 962 2
sFsxss 962 2
jsjssssF
sxsG
5,15,15,15,1
5,0
962
12
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b) Sabendo que o sistema é de 2ª ordem, calcule as suas frequências e indique o ganho do sistema.
Obs.: Tenha em atenção a função de transferência de um sistema de 2ª ordem.
95
5,45,45,0
z 5,1707,01121,2ξ1
707,0121,2
5,15,1ξ5,1ξ3ξ2
z 121,25,4
22
2
kk
Hww
www
Hww
nd
nnn
nn
Frequência natural:
Coeficiente de amortecimento:
Frequência natural amortecida:
Ganho:
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c) Considerando que o sistema é colocado em movimento por uma força em rampa, determine a resposta temporal resultante.
Como a entrada é uma rampa:
2
1
ssF
962
962
11
962
1
21211
21211
22222
ss
csc
s
b
s
b
sssssssFsGsx
ttF
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Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Linear
074,081
6
962
64
962
1
1
1
!12
1
0
220
2
0
2
0
212
12
11
ss
ss
ss
s
ssds
d
ssGds
dssG
ds
db
9
1
962
1
1
1
1
1
!0
1
!22
1
020
2
0
2
0
20
0
0
222
22
12
ss
s
ss
ssssGssG
ssGds
dssG
ds
db
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Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Linear
15,475,675,6
5,4
15,15,1
5,4
15,15,1
5,15,1
15,15,1
1
962
121111
121111
1211
21211
5,15,125,15,11211
5,15,12
5,15,11211
jccjc
jcjcc
jcjc
jcjc
scsc
sssGcsc
jsjs
jsjs
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Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Linear
11121211
1111
121111
75,65,405,475,6
148,075,6
1175,6
15,475,675,6
cccc
cc
jccjc
222,05,4
148,075,6
5,4
75,6 1112
cc
5,43
5,4025,0
5,43
074,0
9
1074,0
5,43
111,0074,0
9
1074,0962
222,0148,0
9
1074,0
222
22
22
ssss
s
ss
ss
s
ss
ss
s
sssx
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Aplicando a transformada de Laplace inversa:
twew
tgtwet
tx
ntwn
ntw
n
n
2ξ
2
212ξ
2
ξ1senξ1
025,0
ξ
ξ1ξ1sen
ξ1
074,0
9074,0
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IIIIConsiderando que o sistema cuja função de transferência de malha aberta é dada por:
Considere agora que no sistema foi introduzida uma realimentação unitária negativa e um compensador em avanço, com a seguinte função de transferência:
421)(
ssss
KsG
1
31)(
s
ssGc
r ce+
_cG G
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Obtenha a função de transferência em anel fechado através do grafo de fluxo e da fórmula de ganho de Mason.
Obs.: Poderá resolver este problema por outro método que conheça, mas a cotação da pergunta passará a valer metade.
G c
1
G
r c
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skssss
sk
ssss
skssss
ssss
sk
PG
ssss
skssss
ssss
skGGL
ssss
skGGL
ssss
skGGP
c
c
c
31421
31
421
31421
421
31
.
1
421
31421
421
31111
421
31
421
31
2
2
2
21
1
2
2
2
2
2
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IIIIIIA função de transferência de malha aberta de um sistema é a seguinte:
jsjss
sKsHsG
224
2)(
a) Seguindo os procedimentos, esboce o gráfico do L.G.R.
1 Número de ramos, zeros e pólos
nº de zeros m=1 (s=-2)
nº de pólos n=3 (s=-2+j; s=-2-j; s=-4)
n>m n=3 ramos
3 Número de ramos para infinito
nº de ramos para infinito n-m=3-1=2
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4 Assimptotas dos ramos para infinito
k>0 k<0
l=0
l=1
5 Origem das assimptotas
902
180
2702
1803
1802
360
0
3
2
6
2
2422
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6 Pontos de convergência/divergência
Não há pontos de convergência ou divergência para . Existe, no entanto um ponto para em -1,245.
2
544
2
224 2
s
sss
s
jsjss
sHsG
Ksw
0
ds
sdw
0245,1745,0877,2745,0877,2
02232142
02
2232142
02
544
23
2
23
2
sjsjs
sss
s
sss
s
sss
ds
d
0k0k
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k>0 k<0
l=0
l=1
7 Ângulos de partida dos ramos de cada um dos pólos complexos
6,262
1tan 1
4,153906,26901801
6,2062704,3332703601802
4,333360
6,26906,26901
6,262704,3332703602
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0k 0k
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b) Utilize o critério de Routh e determine o limite de K para o qual o sistema em anel fechado é estável.
0220218
0220218
0220218
020218
21
0224
21
01
23
23
23
23
kskss
kkssss
sksss
sss
sk
jsjss
sk
sHsGA equação característica, para o anel fechado, é:
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4
3
2
37
4
4
2
54242
521
8
2
8
2021
8
220218
kkk
kk
kk
kka
0
220
21
8
1
0
1
2
3
k
k
b
a
s
s
s
s
k
a
kab 220
08220
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Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Linear
102
20
202
0220
k
k
k
k 0b
10k
0a
667,236
14832
4372
37
4
3
04
3
2
37
k
k
k
k
k
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IVIVDada a função de transferência em anel aberto:
64
2)(
2
sss
sKsHsG
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Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Linear
2
232
2
245,1745,0877,2745,0877,2
2
2232142
2
544
s
sjsjs
s
sss
ds
d
s
sss
ds
d
25,25,125,15,15,15,12962 22 sjsjsss
Algumas indicações úteis:
222962
64
962
1
ss
s
ssds
d
jj 5,45,15,1 2
20218544224 232 ssssssjsjss
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a) Determine o ganho de Bode.
kkkk
p
zKK
i
iB 083,0
1224
2
641
2
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b) Coloque a função de transferência na forma de Bode.
614112
21
6141
2112
2
2
jwjwjw
jwk
jwjwjw
jwk
jwHjwG
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c) Considerando K=10, construa o esboço do diagrama de Bode.
0
587,1833,0log20 10
G
6141
21833,0
2 jwjwjw
jw
jwHjwG
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Ganho:
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Zero em 2:
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Pólo duplo na origem:
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Pólo em 4:
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Pólo em 6:
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d) Determine as margens de ganho e de fase, para K=10. Justifique.
Do diagrama da alínea c), tira-se:
frequência de cruzamento de ganho é cerca de:
0,3 rad/sec. margem de fase é aproximadamente:
-180-(-175) = -5 a frequência de cruzamento de fase é cerca de:
2 rad/sec. margem de ganho é aproximadamente:
30 db.