Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000,...

01-11-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa

Engenharia e Gestão da Produção

Teoria de Teoria de Sistemas de Sistemas de

Controlo LinearControlo LinearResolução do Exame de 1ª época

Ano lectivo 1999/2000



Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Linear

II

F

2f1f

1m 2m1k

1x2x

2k

Considera o sistema mecânico da figura, que apresenta as equações seguintes:

1112

121 xksfsmxkF 22122

211 xkksfsmxk




a) Obtenha o grafo de fluxo correspondente.

1112

121 xksfsmxkF

2211

21

1

112

11 1 xFx

ksfsmkF

ksfsmx

22122

211 xkksfsmxk

11212

22

12 xx

kksfsmkx




F

1x 2x




b) Determine a função de transferência , em malha fechada, usando a fórmula de ganho de Mason. F

x2

1 P 11 L 11 11 L 11

2122

2112

1

21

2122

2

1

112

1112

1

1

-1

kksfsmksfsmk

kksfsmk

ksfsmPFx

21212

2211

21

12

kkksfsmksfsmk

Fx




IIIIConsidere o sistema mecânico da figura seguinte, representado pela equação diferencial:

tFkxdtdxb

dtxdm 2

2



Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo LinearSuponha que a massa é de m=2 kg, a constante da mola é k=9 N/m e b=6Ns/m.Sabendo que o sistema é posto em movimento por uma força impulso unitário, determine a oscilação resultante como resposta. Obs.: Considere o sistema inicialmente em repouso.

Fkxdtdxb

dtxdm 2

2

Fkxxbxm

Fxxx 962




Aplicando a transformada de Laplace:

sFsxssxsxs 962 2

sFsxss 962 2

sFss

sx962

12




Como a entrada é um impulso unitário:

1sF 222 5,15,1

5,15,1

1962

1

sss

sx

Aplicando a transformada de Laplace inversa:

tetx t 5,1sen5,1

1 5,1




IIIIIIUm sistema com realimentação unitária negativa apresenta a seguinte função de transferência em malha aberta:

jsjss

sKsHsG23233

1)(



Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Lineara) Seguindo os procedimentos esboce o gráfico do L.G.R. para K>0.

1 Número de ramos, zeros e pólosnº de zeros m=1 (s=1)nº de pólos n=3 (s=-3; s=-3+2j; s=-3-2j)n>m n=3 ramos

3 Número de ramos para infinitonº de ramos para infinito n-m=3-1=2

4 Assimptotas dos ramos para infinito

l=0

l=1

jsjss

sKsHsG23233

1)(

902

180

27021803




5 Origem das assimptotas

6 Pontos de convergência/divergência

Não há pontos de convergência ou divergência para . Existe, no entanto um ponto para em 3,208.

52

102

1333

123233

s

jsjsssHsG

Ksw

0dssdw 0130,1104,3130,1104,3208,3 jsjss

0k0k




7 Ângulos de partida dos ramos de cada um dos pólos complexos

6,2642tan 1 4,1536,261801801

6,2066,261801802

4,1534,15390901801

6,2066,2062702703601802




0k 0k




b) Utilize o critério de Routh e determine o limite de K para o qual o sistema em anel fechado é estável, sabendo que a realimentação é unitária negativa.

123233

11 sKjsjss

sKsHsG

sGsF

KsKsssK

KKsssssK

393191

393191

2323

039319 23 KsKss

Obtendo-se a equação característica:




910240

939319

1KKKa

02 a

KKab

399

03911




0910240

K

010240 K

24010 K

10240

K

24K

039 K

39 K

39K

3924 K




c) Indique de que outra forma poderia calcular os limites de K calculados na alínea anterior. Descreva de forma simplificada, mas clara, o procedimento.

Pode-se obter através do L.G.R.. Como a transição se dá sobre o eixo imaginário, então s=jw. Substituindo na equação característica e resolvendo obtém-se os valores limites de K. Para ver como o K varia, deve-se interpretar a evolução do K no L.G.R.




IVIVDada as funções de transferência em anel aberto:

4

310)(

ssssG 2

1)(

s

sHe




a) Determine o ganho de Bode e obtenha a função de transferência na forma de Bode do anel aberto.

Colocando na forma de Bode:

42

3102

14310

sss

ssss

ssHsG

75,3830

42310

i

iB p

zKK

4121

3175,3

jwjwjw

jw

jwHjwG




b) Construa o esboço do diagrama de Bode.

Ganho:

0481,1175,3log20 10

G



Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo LinearZero:



Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo LinearPólo na origem:



Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo LinearPólo em 2:



Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo LinearPólo em 4:



Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo LinearAdicionando todos os sinais:

Obs.: frequência de cruza-mento de ganho é cerca de:

2,5 rad/sec. margem de fase é aproximadamente:

-180-(-135)=-45 a frequência de cruzamento de fase e a margem de ganho são indeterminadas pois nunca cruza -180.

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000,...

Documents

Transcript of Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000,...