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ENGENHARIA ECONÔMICAEDUARDO FERRAZ

[email protected]@yahoo.com.br



Primeira aula30/11/2012

Eduardo Ferraz Martins;

Graduação em Engenharia de Produção (UFF);

Mestrado em Engenharia de Produção (UFF);

Doutorado em Engenharia de Produção (UFF);

APRESENTAÇÃO

Especialização em Gerenciamento de Projetos

(Fundação Dom Cabral/Vale);

Empresas privadas Empresas públicas

EMENTA E OBJETIVOS

PROGRAMA

Matemática Financeira

Juros Simples

Problema econômico decorre da escassez; As necessidadesdas pessoas são satisfeitas por bens e serviços cuja oferta é limitada.

Processo de troca de um bem por outro;

Mais tarde surgiu a moeda;

Meio para acumular valor ou constituir riqueza;

Juros Simples

A noção de juro decorre do fato de que a maioria das pessoasprefere consumir seu bens no presente e não no futuro.

Havendo uma preferência temporal para consumir, as pessoasquerem uma recompensa pela abstinência. Este prêmio para quequerem uma recompensa pela abstinência. Este prêmio para quenão haja consumo é o juro.

O juro também pode ser entendido como sendo o custo do créditoou a remuneração do capital aplicado.

Juros Simples

Quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo capitalinicial aplicado é diretamente proporcional ao seu valor e aotempo de aplicação.

J= CinC= J

in

J = Juros

C = Capital inicial

i = Taxa de juros

n = prazo de aplicação

in

i = J

n = J

Cn

Ci

Juros Simples

Juros Simples

Simples

Composto

Juros Simples

Exemplo. Quanto rende um principal de $ 100,00 aplicado à taxade 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos.

Juros Simples

Exemplo. Quanto rende um principal de $ 100,00 aplicado à taxade 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos.

C = 100,00

i = 5% a.s

n = 2 anos = 4 semestren = 2 anos = 4 semestre

J = 100 * 0,05 * 4 = $ 20

Juros Simples

Montante Capital inicial Juro

N= C * (1+in)

Exemplo. Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado àExemplo. Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado àtaxa de 10% a.a pelo prazo de 2 anos?

Juros Simples

Montante Capital inicial Juro

N= C * (1+in)

Exemplo. Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado àExemplo. Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado àtaxa de 10% a.a pelo prazo de 2 anos?

C = 1000,00

i = 10% a.a

n = 2 anos

N= 1000* (1+ 0,10 * 2) = $1.200,00

Taxas Proporcionais e Equivalentes

Considerando duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2, relacionadasrespectivamente aos períodos n1 e n2, referidos à unidade comumde tempo das taxas.

Estas taxas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade dequociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ouquociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ouseja, se .

i1 = n1

i2 n2 i1

n1

i2

n2

Taxas

Períodos

Exemplo. Verificar se as taxas de 5%ao trimestre e de 20% ao ano são

proporcionais.


Considerando duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2, relacionadasrespectivamente aos períodos n1 e n2, referidos à unidade comumde tempo das taxas.

Estas taxas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade dequociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ouquociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ouseja, se .

i1 = n1

i2 n2 i1

n1

i2

n2

Taxas

Períodos

Exemplo. Verificar se as taxas de 5%ao trimestre e de 20% ao ano são

proporcionais.

i1

i2

n1

n2

5% a.t

20% a.a

3 meses

12 meses

=

=

=

=

0,05 = 3

0,20 12


Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicado um mesmo capital àsduas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzirem omesmo juro.

No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais sãoigualmente equivalentes.igualmente equivalentes.

Exemplo. Seja um capital de $ 10.000, que pode ser aplicadoalternativamente à taxa de 2% a.m ou de 24% a.a. Supondo umprazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes.

Juro exato e juro comercial

Juro exato – adotada a convenção do ano civil (365 dias)

Juro Comercial – Quando se adota como base o ano comercial(360 dias)

Valor Nominal e Atual (Diagrama de capital no tempo)

Os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo(entradas e saídas) de dinheiro no tempo. Este fluxo é maisconhecido na prática como fluxo de caixa e pode ser representadodo seguinte modo.

2.000

1.000

600

700 700 Entradas ou recebimentos

Saídas ou aplicações

0

3 5 61 2

4

Reta horizontal

é uma Escala de

tempo


O diagrama de capital no tempo depende do ponto de vista.Exemplo. Uma pessoa empresta $ 1.200,00 à taxa de juro simplesde 10% a.a pelo prazo de 1 ano. Para a pessoa que empresta odiagrama é o seguinte:

0

1.320

1.200

0

1

1.200

0

1

1.320

O diagrama para a pessoa que toma o dinheiro emprestado :


Valor Nominal – É quanto vale um compromisso na data do seuvencimento;

Valor Atual – É o valor que um compromisso tem em uma data queantecede ao seu vencimento;

Valor Futuro – Corresponde ao valor do título em qualquer dataposterior à que estamos considerando no momento;


Exercício 1 – Uma loja vende um gravador por $ 1.500,00 a vista. Aprazo, vende por $ 1.800,00 sendo $ 200 de entrada e o restanteapós 1 ano. Qual é a taxa cobrada ?

N= C * (1+in)

Exercício 2 – Quanto tempo deve permanecer aplicado um capitalpara que o juro seja igual a 5 vezes o capital, se a taxa de juros forpara que o juro seja igual a 5 vezes o capital, se a taxa de juros for25% a.a?

Exercício 3 – Uma pessoa aplicou $ 1.500,00 no mercado financeiroe após 5 anos recebeu o montante de $ 3.000. Que taxaequivalente semestral recebeu?


Exercício 1 – Uma loja vende um gravador por $ 1.500,00 a vista. Aprazo, vende por $ 1.800,00 sendo $ 200 de entrada e o restanteapós 1 ano. Qual é a taxa cobrada ?

N= C * (1+in)

1500

N = C(1+in)

200

0

16001 ano

0

16001 ano

1300

1600 = 1300 (1+i(1))

i= 23,07%


N= C * (1+in)

Exercício 2 – Quanto tempo deve permanecer aplicado um capitalpara que o juro seja igual a 5 vezes o capital, se a taxa de juros for25% a.a?

N = C + JJ = Cin 5C=C*0,25*i

i= 20 anosi= 20 anos


N= C * (1+in)

Exercício 3 – Uma pessoa aplicou $ 1.500,00 no mercado financeiroe após 5 anos recebeu o montante de $ 3.000. Que taxaequivalente semestral recebeu?

C = $ 1.500,00 3.000,00 = 1.500,00 * (1+i*10)C = $ 1.500,00n = 10N = $ 3.000,00i = ?

3.000,00 = 1.500,00 * (1+i*10)i= 10.%a.s


Exercício 4 – Qual é o valor nominal de uma nota promissória de$ 7.575,76 assinada hoje com vencimento daqui a 10 meses, se ataxa de aplicação for de 38,4% a.a. ?

N= C * (1+in)

Exercício 5 – O valor nominal de uma Nota Promissória é de $4.770. Qual é seu valor atual 3 meses antes do vencimento,4.770. Qual é seu valor atual 3 meses antes do vencimento,considerando-se a taxa de juros de 24% a.a?

Exercício 6 – Certa pessoa aplicou $ 10.000,00 à taxa de 29% a.apelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento,esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo.Quanto deverá ser pago pelo título, se a taxa de juros de mercadofor de 32 % a.a na ocasião da transferência?


Exercício 4 – Qual é o valor nominal de uma nota promissória de$ 7.575,76 assinada hoje com vencimento daqui a 10 meses, se ataxa de aplicação for de 38,4% a.a. ?

N= C * (1+in)

C = $ 7.575,76C = $ 7.575,76n = 10i= 38,4% a.aN = ?

N= 7.575,76 * (1+ (38,4%*10/12)) = 10.000


N= C * (1+in)

Exercício 5 – O valor nominal de uma Nota Promissória é de $4.770. Qual é seu valor atual 3 meses antes do vencimento,considerando-se a taxa de juros de 24% a.a?

4.770 = C * (1+ (24%/12 * 3))C = 4.500


N= C * (1+in)

Exercício 6 – Certa pessoa aplicou $ 10.000,00 à taxa de 29% a.apelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento,esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo.Quanto deverá ser pago pelo título, se a taxa de juros de mercadofor de 32 % a.a na ocasião da transferência?

N= 10.000,00 *(1+29%/12 *9) = 12.175,00

12.175,00 = C (1+32%/12 *2)C = 11.558,58



Segunda aula 07/12/2012

Juros Composto

No regime de juros compostos, que tem grande importânciafinanceira por retratar melhor a realidade, o juro gerado pelaaplicação será incorporado à mesma passando a participar dageração de juros no período seguinte.

A diferença entre um regime e outro pode ser mais facilmenteA diferença entre um regime e outro pode ser mais facilmenteverificada através de um exemplo: seja um principal de $1.000,00aplicado à taxa de 20% a.a por um período de 4 anos a jurossimples e compostos.

Juros Composto

nJuro simples Juros compostos

Juro por período Montante Juro por período Montante

1 1.000 * 0,2 = 200 1.200 1000 * 0,2 = 200 1.200

2 1000 * 0,2 = 200 1.400 1200 * 0,2 = 240 1.440

3 1000 * 0,2 = 200 1.600 1440 * 0,2 =288 1.728

4 1000 * 0,2 = 200 1.800 1728 * 0,2 = 346 2.074

C1= C0 * (1+i)C2= C1 * (1+i)

Logo

Cn= C0 * (1+i)n

Juros Composto – Valor Atual e Nominal

Cn= C0 * (1+i)n

V ou VP= valor atual na data zero (C0 )

N ou VF= valor nominal na data n (Cn )

Tem-se:

VF = VP * (1+i)n

Tem-se:

Logo:

VP = VF(1+i) n


VF = VP * (1+i)n

VP = VF(1+i)

n

Exercício 7 – Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5meses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juroscompostos corrente for de 2,5% a.m?



VF = VP * (1+i)n

VP = VF(1+i)

n

V ?

0

5

N= 1.131,40

N ou VF= 1.131,40

i= 2,5%a.a

n= 5 meses

V = 1.131,40 = $ 1.000,00(1,025)5



Usando a HP 12C

VF = VP * (1+i)n

VP = VF(1+i)

n

V ?

0

5

N= 1.131,40

FV= 1.131,40

i= 2,5%a.a

n= 5 meses

PV= ?

PV =$ 1.000,00

Juros Composto – Taxas equivalentes

Dizemos que duas taxas são equivalentes se, considerados omesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferenteaplicar em uma ou outra.

Exercício 8 – Se um capital de $1.000,00 puder ser aplicado àstaxas de juros compostos de 10% ao ano ou de 33,1% ao triênio,determinar a melhor aplicação?determinar a melhor aplicação?



Exercício 8 – Se um capital de $1.000,00 puder ser aplicado àstaxas de juros compostos de 10% ao ano ou de 33,1% ao triênio,determinar a melhor aplicação?determinar a melhor aplicação?

C3 = 1000 * (1+0,10) = $ 1.331,003

C1 = 1000 * (1+0,331) = $ 1.331,001

Indiferente. Taxas equivalentes !

OuPV= 1.000

i= 10%a.a

n= 3

Fv= ?

C3 C1

PV= 1.000

i= 33,1% a.triênio

n= 1

Fv= ?


C1 = Cq


C0(1+i) = C0 (1+iq)q

1/q

iq= (1+i) - 11/q

Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa dejuros compostos equivalente mensal.


C1 = Cq


C0(1+i) = C0 (1+iq)q

1/q

iq= (1+i) - 11/q

Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa dejuros compostos equivalente mensal.

(1+i) =(1+iq)q

(1+ 9,2727) = (1+iq)3

Iq = 3% a.m

Juros Composto – Taxa efetiva e taxa nominal

Quando o Período de capitalização não coincide com o período dataxa temos que fazer alguns ajustes. Veja o exemplo:

Exemplo. Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxade 10% a.a com capitalização semestral. Calcular o montante e ataxa efetiva da operação.

Juros Composto – Taxa efetiva e taxa nominal

Quando o Período de capitalização não coincide com o período dataxa temos que fazer alguns ajustes. Veja o exemplo:

Exemplo. Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxade 10% a.a com capitalização semestral. Calcular o montante e ataxa efetiva da operação.

� Taxa de juros nominal 10% a.a. (Diferente do período de capitalização);� Taxa de juros nominal 10% a.a. (Diferente do período de capitalização);

� Taxa Proporcional ao período de capitalização 10% a.a / 2 = 5% a.s;

� Taxa efetiva - (1+i) = (1+ 0,05)2

i = 10,25% a.a

� Montante = 1.000 * (1+0,1025) = $ 1.340,103

Juros Composto – Exercícios

Exercício 9 – Uma pessoa aplicou $ 15.000,00 e após um anorecebeu $ 18.782,87 de juros. Qual foi a taxa de juros mensal pelafinanceira onde o dinheiro foi aplicado?

Exercício 10 – Um investidor aplicou $ 25.000,00 em umainstituição que paga 3% a.m. Após certo período de tempo elerecebeu $ 35.644,02, estando neste valor incluídos os jurosrecebeu $ 35.644,02, estando neste valor incluídos os juroscreditados e o capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiroaplicado?Exercício 11 – Um apartamento é vendido, a vista, por $220.000,00. Caso o comprador opte por pagar em uma únicaparcela após certo período de tempo, o vendedor exige $61.618,59 como juros, pois quer ganhar 2,5% a.m. Qual é o prazode financiamento na hipótese acima?

Juros Composto – Exercícios

Exercício 12 – A taxa de juros cobrada pelo Banco A é de 30% a.a.,sendo sua capitalização anual. O Banco B, numa campanhapromocional, informa que sua taxa é de 27% a.a., tendo como algoa diferencia-la apenas o fato de sua capitalização ser mensal. Qualé a melhor taxa para o cliente?

Exercício 13 – Quanto deve uma pessoa depositar em um bancoExercício 13 – Quanto deve uma pessoa depositar em um bancoque paga 24% a.a com capitalizações bimestrais, para que ao fimde 5 anos possua $ 200.000,00 ?



Terceira aula 21/12/2012

Desconto Racional e Comercial

Caso o aplicador precise do dinheiro antes de vencer o prazo deaplicação deve voltar à instituição captadora, transferir a posse dotítulo e levantar o principal e os juros já ganho.

A operação citada é um exemplo de desconto e o ato de efetuá-lasé chamado de “descontar um título”.é chamado de “descontar um título”.

Desconto Racional Simples

O desconto racional simples possui o mesmo comportamento dodinheiro no tempo, que o regime de juros simples.

Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 mesesantes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros correnteé de 40% a.a, qual o desconto e quanto vai obter.é de 40% a.a, qual o desconto e quanto vai obter.

Desconto Racional Simples

O desconto racional simples possui o mesmo comportamento dodinheiro no tempo, que o regime de juros simples.


VF=VP(1+in)

VP ?

N ou VF= 5.500,00

n = 3 meses

VF = VP

(1+in)= 5.000,00

Logo, Dr = 5.500 – 5.000 = 500

Dr

Desconto Racional Composto

O desconto racional composto obedece às relações vistas quandodo estudo da capitalização em juros compostos.


Desconto Racional Composto

O desconto racional composto obedece às relações vistas quandodo estudo da capitalização em juros compostos.


VF=VP(1+i)

VP ?

N ou VF= 5.500,00

n = 3 meses

VP = VF

(1+i)= 5056,87

Logo, Dr = 5.500 - 5056,27 =443,70

Dr

n

n

Desconto Comercial

No desconto Comercial a taxa incide diretamente sobre o valornominal dos títulos, levando a resultados superiores aos descontosracionais. É amplamente adotado nas operações bancárias de curtoprazo.


Desconto Comercial

No desconto Comercial a taxa incide diretamente sobre o valornominal dos títulos, levando a resultados superiores aos descontosracionais. É amplamente adotado nas operações bancárias de curtoprazo.


VP ?

N ou VF= 5.500,00

n = 3 meses

V = VF - Dc

Logo, Dc = 5500 - 4950 = 550

Dc

VP = VF – VFin = 5500 - 550

V = 4.950

Anuidades

Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido deuma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou derecebimentos.

Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura,tem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando setem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando sequer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização.

Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelouso, sem que haja amortização, que é o caso dos aluguéis.

Anuidades

Tipos

Rendas certas ou determinísticas: Sãoaquelas cuja duração e pagamentos sãopredeterminados, não dependendo decondições externa.

Rendas aleatórias ou probabilísticas: OsRendas aleatórias ou probabilísticas: Osvalores e/ou as datas de pagamentos ou derecebimentos podem ser variáveisaleatórias. É o que ocorre, por exemplocom os seguros de vida: os valores depagamentos (mensalidades) são certos,sendo aleatórios o valor do seguro areceber e a data do recebimento.

Anuidades

Periódicas

Temporárias

Perpétuas

Constantes

Variáveis

Imediatas

Diferidas

Vamos estudar mais o que está em azul

Anuidades

Certas

Aleatórias

Não - períodicas

Perpétuas

Anuidades

Periódicas

Temporárias

Perpétuas

Constantes

Variáveis

Imediatas

Diferidas


Anuidades

Certas

Aleatórias

Não - períodicas

Perpétuas

Se os períodos são iguais ou não são iguais entre si.

Anuidades

Periódicas

Temporárias

Perpétuas

Constantes

Variáveis

Imediatas

Diferidas


Anuidades

Certas

Aleatórias

Não - períodicas

Perpétuas

Quando a duração for limitada ou não.

Anuidades

Periódicas

Temporárias

Perpétuas

Constantes

Variáveis

Imediatas

Diferidas


Anuidades

Certas

Aleatórias

Não - períodicas

Perpétuas

Se todos os termos são iguais ou não são iguais entre si.

Anuidades

Periódicas

Temporárias

Perpétuas

Constantes

Variáveis

Imediatas

Diferidas

Quando os termos São exigíveis a partir do primeiro

períodoVamos estudar mais o que está em azul

Anuidades

Certas

Aleatórias

Não - períodicas

Perpétuas

Se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não

seja o primeiro período.

Modelo Básico de anuidade

Por modelo básico de anuidade entendemos as anuidades que sãosimultaneamente: Temporárias; Constantes; Imediatas epostecipadas; E periódicas.

Exemplo. João compra um carro que irá pagar em 4 prestaçõesmensais de $2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas apartir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estarpartir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estarcobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se opreço do carro a vista.


Exemplo. João compra um carro que irá pagar em 4 prestaçõesmensais de $2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas apartir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estarcobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se opreço do carro a vista.

R1 R2 R3 R4

R1

(1,02)

R2

(1,02)

R3

(1,02)

R4

(1,02)

+ + +

1 2 3 4

VP =

0 1 2 3 4

Como R1=R2=R3=R4

1

(1,02)

1

(1,02)

1

(1,02)

1

(1,02)

+ + +

1 2 3 4= $ 10.000

$2.626,24

VP = PMT


Exemplo. João compra um carro que irá pagar em 4 prestaçõesmensais de $2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas apartir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estarcobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se opreço do carro a vista.

R1 R2 R3 R4

R1

(1,02)

VP = R2

(1,02)

R3

(1,02)

R4

(1,02)

+ + +

1 2 3 4

0 1 2 3 4

Como R1=R2=R3=R4

1

(1,02)

VP = PMT1

(1,02)

1

(1,02)

1

(1,02)

+ + +

1 2 3 4= $ 10.000

$2.626,24

VP = PMT (1+i) - 1

i (1+i)

n

n


Exercício 14 . Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, maspode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxade 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador.

VP = PMT (1+i) - 1

i (1+i)

n

ni (1+i)


Exercício 14 . Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, maspode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxade 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador.

VP = PMT (1+i) - 1

i (1+i)

n

n

Resposta PMT=$ 586,15

VP = $ 5.000,00

i = 3% a.m

n = 10

i (1+i)

Modelo Básico de anuidade – Montante (VF)

VF = PMT (1+i) - 1

i

n

Exemplo. Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-se que ela está ganhando 2% a.m. , quanto possuirá em 2 anos.

Modelo Básico de anuidade – Montante (VF)

Exemplo. Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-se que ela está ganhando 2% a.m. , quanto possuirá em 2 anos.

VF = PMT (1+i) - 1

i

n

Resposta S= $ 30.421,86

PMT = $ 1.000,00

i = 2% a.m

n = 24

Anuidades diferidas

As unidades diferidas são aquelas em que o primeiro termo éexigível a partir de um certo período de carência.

Exemplo. Uma pessoa vai receber 16 prestações mensais iguais a $400,00 com um diferimento de 15 meses. Sendo a taxa de juros de2 % a.m, pergunta-se: Qual o valor atual das prestações na datazero e qual o montante na data focal 40?zero e qual o montante na data focal 40?

Anuidades diferidas

As unidades diferidas são aquelas em que o primeiro termo éexigível a partir de um certo período de carência.

Exemplo. Uma pessoa vai receber 16 prestações mensais iguais a $400,00 com um diferimento de 15 meses. Sendo a taxa de juros de2 % a.m, pergunta-se: Qual o valor atual das prestações na datazero e qual o montante na data focal 40?zero e qual o montante na data focal 40?

P0

0 1 2 15 3016 17 31 39 40

400400400 400

P15

... ... ...(meses)

Anuidades diferidas

P0

0 1 2 15 3016 17 31 39 40

400400400 400

P15

... ... ...(meses)

Primeira Pergunta.: Descobrir Po ?Obs1.: Observe que temos uma anuidade com 16 parcelas com 15 meses de carência;Obs1.: Observe que temos uma anuidade com 16 parcelas com 15 meses de carência;Obs2.: Usamos então a fórmula do valor presente da anuidade;Onde n = 16 parcelas , i = 2% a.m e PMT = 400

Achamos um VP então de $ 5.431,084 mas observe que este valor é o P15 , pois na fórmula da anuidadetrazemos o valor presente um mês anterior ao inicio dos pagamentos das parcelas; Logo ainda preciso levareste valor para a data zero

Então temos VF=P15 = $5.431,084 , n = 15 meses, i = 2% o que vai dar um Valor presenteVP0 = $ 4.035,375

Anuidades diferidas

P0

0 1 2 15 3016 17 31 39 40

400400400 400

P15

... ... ...(meses)

Segunda Pergunta.: Descobrir valor futuro no mês 40 ?Obs1.: Temos um valor presente P0 = $ 4.035,375 basta eu descobrir quanto vale este valor no mês 40.Obs1.: Temos um valor presente P0 = $ 4.035,375 basta eu descobrir quanto vale este valor no mês 40.Obs2.: Utilizando a fórmula de juro composto com i = 2% , n=40 e VP = $ 4.035,375

VF = VP (1+i)n

Temos um valor futuro de $ 8.910,269

Na prática podemos dizer que se eu recebesse $ 4.035 a vista ou em 16 parcelas de $ 400 com umacarência de 15 meses seria equivalente dada as condições de mercado. E que se eu aplicasse qualquer umdestes montantes eu teria no mês 40 um valor de $ 8.910,269 para resgatar.

Anuidades diferidas

P0

0 1 2 15 3016 17 31 39 40

400400400 400

P15

... ... ...(meses)

CuriosidadeNa Segunda Pergunta.: Descobrir valor futuro no mês 40 eu poderia fazer pela fórmula da anuidade deNa Segunda Pergunta.: Descobrir valor futuro no mês 40 eu poderia fazer pela fórmula da anuidade devalor futuro.

Observe que o PMT = 400 , com n =16 parcelas e i = 2% ; Com isso acharíamos um Valor Futuro no mês 31de $ 7.455,714. Cuidado pois na fórmula de anuidade o VF se refere ao mês final das parcelas. Teríamosentão ainda 9 meses até o mês 40 logo ; onde VP =$7.455,714, i = 2% e n = 9 . Teríamosentão um valor futuro no mês 40 de $ 8.910,269;

VF = VP (1+i)n

Anuidades Perpétuas

São aquelas de duração ilimitada. O principal é obtido dividindo-seo valor do termo pela taxa de juros

P = R

i

Pode ser utilizada para se fazer uma avaliação rápida de imóveis. Ovalor do imóvel pode ser entendido como sendo o valor atual davalor do imóvel pode ser entendido como sendo o valor atual dasoma dos aluguéis descontados, desconto esse à taxa de juros (i)que representa o ganho que o possuidor do imóvel teria seaplicasse seu dinheiro no mercado financeiro ou em outraalternativa.



P = R

i

Exemplo. Se um apartamento está rendendo um aluguel de $ 1.500por mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro épor mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro éde 1% a.m, qual seria uma primeira estimativa do valor do imóvel ?



P = R

i

Exemplo. Se um apartamento está rendendo um aluguel de $ 1.500por mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro épor mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro éde 1% a.m, qual seria uma primeira estimativa do valor do imóvel ?

P = R

i

P = 1.500 = $150.000

0,01

Ou seja, numa primeira aproximação, o imóvel seria avaliado em $150.000.

Anuidades

Exercício 14 – Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, maspode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxade 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador ?

Exercício 15 – Uma aparelhagem de som está anunciada nasseguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 prestações mensaisiguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas deiguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas desom é de 2,5% a.m, calcular o preço a vista?

Exercício 16 – Um tapete persa é vendido por $ 15.000,00 a vista.Pode ser adquirido também em prestações mensais de $ 885,71 ajuros de 3% a.m. Sabendo que as prestações vencem a partir domês seguinte ao da compra, pede-se calcular o número deprestações?

Anuidades

Exercício 17 – Uma pessoa possui $ 30.000,00 que pode aplicar doseguinte modo:a) No banco A, que paga um juro de 3% a.m ao fim de cada mês,

devolvendo o capital no fim do 12° mês.b) No banco B, que devolve $ 42.000,00 no fim do 12° mês.

Pede-se determinar a melhor aplicação’

Exercício 18 – Um carro está à venda por $ 10.000,00 de entradamais 24 prestações mensais de $ 2.236,51. Como opção, a agênciavende em 36 prestações mensais de $ 1.613,16, sendo neste casoexigida uma entrada de $12.000,00. Qual a melhor alternativa, se ataxa de mercado for de 3% a.m?

Anexo 1

Curiosidade ... Provando ... Anuidade ... VP

PMT PMT PMT PMT

Vou levar a valor presente na data (0) as quatro

parcelas que são iguais PMTVP =

Onde soma de P.G. com a1 = razão (q) = (1+i)

1

Logo temos

Posso resolver apenas desta forma. Porém quando

são muitas parcelas isto se torna muito trabalhoso.

Então observe que temos uma soma de P.G.

PMT

Substituindo a1 e q podemos agora trabalhar

anuidade de forma simplificada com um grande

número de parcelas

VP = PMT (1+i) - 1

i (1+i)

n

n

Anexo 2

Curiosidade ... Provando ... Anuidade ... VF

Como temos VP para anuidade

VP = PMT (1+i) - 1

i (1+i)

n

n

e VF = VP (1+i) então para anuidade temos:

VF = PMT (1+i) - 1

i

n

n



Quarta aulaRevisão

11/01/2012



Quinta aulaProva

18/01/2012



Sexta Aula25/01/2012

Sistemas de Amortização - Empréstimos

A dívida surge quando uma dada importância é emprestada porum certo prazo. Quem assume obriga-se a restituir o principal maisos juros devidos, no prazo estipulado.

No sistemas de amortização a serem estudados, os juros serãocalculados sempre sobre o saldo devedor.calculados sempre sobre o saldo devedor.

Obs.: Parcelas de amortização: corresponde às parcelas dedevolução do principal,ou seja, do capital emprestado.


Os principais sistemas de amortização são os seguintes:.

Sistema de amortização constante (SAC)

Prestação

juro

Amortização

Períodos

Obs.: Prestações são decrescentes




Uma empresa pede emprestado $ 100.000 que obanco entrega no ato. Sabendo que o bancoconcedeu 3 anos de carência, que os juros serãoconcedeu 3 anos de carência, que os juros serãopagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% aoano e o que principal será amortizado em 4 parcelasanuais, construir a planilha.

Obs.:1) Calcula-se a amortização (constante);2) Os juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior;3) Prestação é obtida somando-se amortização com juros.




Ano (k) Saque SaldoDevedor

(Sdk)

Amortização (Ak ) Juros (Jk)(Jk= i Sdk-1)

Prestação(Ak + Jk)

0 100.000 100.000 - - -0 100.000 100.000 - - -

1 - 100.000 - 10.000 10.000

2 - 100.000 - 10.000 10.000

3 - 75.000 25.000 10.000 35.000

4 - 50.000 25.000 7.500 32.500

5 - 25.000 25.000 5.000 30.000

6 - - 25.000 2.500 27.500

Total - - 100.000 45.000 145.000




Ano (k) Saque SaldoDevedor

(Sdk)



0 100.000 100.000 - - -0 100.000 100.000 - - -

1 - 110.000 - - -

2 - 121.000 - - -

3 - 75.000 25.000 33.100 58.100

4 - 50.000 25.000 7.500 32.500

5 - 25.000 25.000 5.000 30.000

6 - - 25.000 2.500 27.500

Total - - 100.000 48.100 148.100

Obs.: Juros podem ser pagos no primeiro mês de amortização



Sistema Francês ou Price

Prestação

juro

Amortização

Períodos

Obs.: Prestações são iguais. Uma parte paga osjuros e a outra o principal.



Um banco empresta $100.000, entregues no ato,sem prazo de carência. Sabendo que o banco utilizao sistema francês, que a taxa contratada foi de 10%


o sistema francês, que a taxa contratada foi de 10%a.a. e que o banco quer a devolução em 5prestações, construir a planilha.



VP = $100.000i = 10%a.a.n = 5 anos


Cinco parcelasn = 5 anosPMT = ? ($26.379,75)

Cinco parcelas

Obs.:1) Calcula-se a prestação pela formula da anuidade(prestação constante);2) Calculam-se para cada período (k) os juros;3) Diferença entre prestação e juros = amortização (Ak );4) Saldo devedor (Sdk) = Sdk-1 - Ak .



Ano (k) SaldoDevedor

(Sdk)



0 100.000 - - -


0 100.000 - - -

1 83.620,25 16.379,75 10.000 26.379,75

2 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75

3 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75

4 23.981,58 21.801,45 4.578,30 26.379,75

5 - 23.981,58 2.398,16 26.379,75

Total - 100.000 31.898,74 131.898,74



Ano (k) SaldoDevedor

(Sdk)



0 100.000 - - -


0 100.000 - - -

1 100.000 - 10.000 10.000

2 100.000 - 10.000 10.000

3 83.620,25 16.379,75 10.000 26.379,75

4 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75

5 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75

6 23.981,58 21.801,45 4.578,30 26.379,75

7 - 23.981,58 2.398,16 26.379,75

Total - 100.000 51.898,74 151.898,74

Obs.: Considerar mesmas condições e 3 anos de carência.

Sistema Americano



PrestaçãoPrincipal

juro

Períodos

Obs.: Após um certo prazo o devedor paga, em umaúnica parcela, o capital emprestado.



Um banco empresta $100.000, a uma empresa, auma taxa de juros de 6% a.s. com prazo de utilizaçãounitário, para ser devolvido após uma carência de 2

Sistema Americano

unitário, para ser devolvido após uma carência de 2anos. Sabendo-se que os juros serão cobradossemestralmente,calcular a planilha pelo sistemaamericano.



Semestres (k)

SaldoDevedor

(Sdk)



0 100.000 - - -

Sistema Americano

0 100.000 - - -

1 100.000 - 6.000 6.000

2 100.000 - 6.000 6.000

3 100.000 - 6.000 6.000

4 - 100.000 6.000 106.000

Total - 100.000 24.000 124.000



Semestres (k)

SaldoDevedor

(Sdk)



0 100.000 - - -

Sistema Americano

0 100.000 - - -

1 106.000 - - -

2 112.360 - - -

3 119.101,6 - - -

4 - 100.000 26.247,70 126.247,70

Total - 100.000 26.247,70 126.247,70

Obs.: Capitalização dos juros durante a carência.



Sétima aula01/02/2012

Análise de Investimentos

Análise de Investimentos

Existem Várias técnicas, métodos, convenções e critériosque são comumente utilizados na análise e no processodecisório.

As alternativas de investimento só podem sercomparadas somente se as consequências monetáriasforem medidas em um ponto comum no tempo.forem medidas em um ponto comum no tempo.

Serão apresentados alguns métodos geralmente usadospara medir a rentabilidade e analisar a viabilidadeeconômica das alternativas de investimento: ValorPresente líquido (VPL); Taxa interna de retorno (TIR);Pay-back descontado e outros.

Análise de Investimentos (VPL)

VPL Mede o valor presente dos fluxos de caixa geradospelo projeto ao longo de sua vida útil.

Esse critério leva à escolha ótima, pois maximiza o valorda empresa. Empreenda o projeto se o VPL for positivo.

+ jVPL =VPL =


Uma empresa tem custo de capital de 8% e possui asseguintes alternativas de investimento candidatas aintegrar a sua carteira de projetos. Quais projetos serãoselecionados se não há restrição de capital ?

Alternativa Investimento Ano1 Ano2 Ano3 Ano4

A $ 6.000 $2.000 $2.000 $3.000 $3.000A $ 6.000 $2.000 $2.000 $3.000 $3.000

B $ 5.000 $1.000 $4.500

C $ 8.000 $6.000 $6.000

D $ 12.000 $5.000 $5.000 $5.000

E $ 10.000 $4.000 $4.000 $4.000 $4.000

F $ 10.000 $3.000 $4.000 $6.000

G $ 5.000 $580 $1.600 $2.000 $3.000


Uma empresa tem custo de capital de 8% e possui asseguintes alternativas de investimento candidatas aintegrar a sua carteira de projetos. Quais projetos serãoselecionados se não há restrição de capital ?

Alternativa Investimento VPL

A $ 6.000 $2.153

B $ 5.000 $-216B $ 5.000 $-216

C $ 8.000 $2.700

D $ 12.000 $885

E $ 10.000 $3.249

F $ 10.000 $970

G $ 5.000 $702

Obs.: Sem restrições o Projeto B deve ser rejeitado (VPL<0). Comrestrição deve-se analisar os projetos conforme índice derentabilidade e dentro do capital disponível.


1 - Digite o investimento2

5 - Digite o valor do fluxo decaixa

4 7

USANDO HP12C

caixa

3 6

Obs.: Após lançar os valores dofluxo

= VPL

= TIR


Uma empresa analisa a viabilidade econômica de umprojeto de automação de sua linha de produção. Oequipamento inicial custa $ 80.000 e impactará em umaredução de custo de $ 20.000 por ano (antes do IR). Vidaútil do equipamento é de cinco anos com depreciaçãointegral sem valor residual. A alíquota de IR é de 34% e ocusto de capital, de 10% a.a. Analisar a viabilidadecusto de capital, de 10% a.a. Analisar a viabilidadeeconômica do projeto


Item Ano 0 Ano1 Ano2 Ano3 Ano4 Ano5

Investimento (-)

Redução de Custo (+)

Depreciação (-)(-)

Lair

IR (-)

Depreciação(+)

Fluxo de caixa


Item Ano 0 Ano1 Ano2 Ano3 Ano4 Ano5

Investimento (-)

80.000

Redução de Custo (+)

20.000 20.000 20.000 20.000 20.000

Depreciação (-)

16.000 16.000 16.000 16.000 16.000(-)

Lair 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000

IR (-) 1.360 1.360 1.360 1.360 1.360

Depreciação(+)

16.000 16.000 16.000 16.000 16.000

Fluxo de caixa

18.640 18.640 18.640 18.640 18.640

Obs.: VPL(-$9.340) < 0 e TIR(5,32%)<10%. Por ambos os critériosVPL e TIR, o projeto economicamente é inviável.A TIR neste caso é menor que o custo de capital.

Análise de Investimentos (TIR)

TIR é a taxa de retorno do projeto de investimento.

+ jVPL =

TIR é uma taxa que anula o VPL, ou seja, é aquele valorde i* que satisfaz a seguinte equação:

= 0VPL = = 0

Projeto economicamente viável a TIR é maior que o custode capital.

Calcular a TIR de um projeto que requer um investimentoinicial $2.000.000 e produz um fluxo de caixa de$240.000/ano durante 15 anos.


1 - Digite o investimento$2.000.0002

5 - Digite o valor do fluxo decaixa $240.000

4 7

USANDO HP12C


10

caixa $240.000

3 6

= TIR = 8,44

8 - Digite o número de anos 15(fluxo constante)

9

Análise de Investimentos (Pay-back)

Muitas vezes é necessário saber qual será o tempo derecuperação do investimento.

Análise de Investimentos (pay-back Simples)

Ano Fluxo de Caixa ($)

Projeto A Projeto B

Investimento ($) 8.000 9.000

Ano Fluxo de Caixa ($)

Projeto (A) Projeto (B)

1 4.000 2000

2 4.000 5000

3 2.000 2000

4 100 500

Projeto A Projeto B

Payback 2anos 3 anos

Análise de Investimentos (Pay-back)

Muitas vezes é necessário saber qual será o tempo derecuperação do investimento.

Análise de Investimentos (pay-back Descontado)

Projeto A (Exemplo anterior)

4.000 4.000 2.000

(1,10)^1 (1,10)^2 (1,10)^3

+ + = 8.444,78

Obs.: Recuperação do investimento em no mínimo , três anos

Análise de Investimentos Exercícios

Uma empresa industrial estuda a viabilidade econômicade um projeto de investimento orçado em $ 981.815.Considerando que o projeto tem duração prevista de 20anos e o estudo de viabilidade projetou fluxos de caixa de$100.000 por ano, calcular a TIR do projeto.

Para as seguintes alternativas mutuamente exclusivas,calcular a TIR e o VPL. Se o custo do capital for de 10%

Resposta 8% a.a

calcular a TIR e o VPL. Se o custo do capital for de 10%a.a., determinar a melhor alternativa

Ano A B C D

0 -$1.500 -$1.500 -$1.500 -$1.500

1 150 0 150 300

2 1.350 0 300 450

3 150 450 450 750

4 150 1.050 600 750

5 600 1.950 1.875 900

Alternativa C : VPL $ 796,42.......................TIR 22,8%



Sétima aula22/02/2012

Embora o VPL seja uma ferramenta útil para avaliaralternativas de investimento, ele não responde a todas asperguntas sobre a vantagem econômica de umaalternativa em relação a outra que tenha duraçãoprevista diferente.

A e B são tipos de equipamentos. A tem vida útil de umano e B de três anos.

Análise de Investimentos(Método da anuidade equivalente)

Alternativa Ano 0 Ano1 Ano2 Ano3 TIR? VPL (10%)?

A -$10 $13 ? ?

B $-10 $5 $5 $5 ? ?

ano e B de três anos.

Embora o VPL seja uma ferramenta útil para avaliaralternativas de investimento, ele não responde a todas asperguntas sobre a vantagem econômica de umaalternativa em relação a outra que tenha duraçãoprevista diferente.

A e B são tipos de equipamentos. A tem vida útil de umano e B de três anos.


Alternativa Ano 0 Ano1 Ano2 Ano3 TIR? VPL ?

A -$10 $13 30% $1,82

B $-10 $5 $5 $5 23,38% $2,43

ano e B de três anos.

Seleção pela TIR e pelo VPL neste caso é contraditória. Seconsideramos o VPL a alternativa B será selecionada

Contudo argumenta-se que a solução válida requer queas alternativas sejam levadas para um horizonteeconômico comum. Para isso vamos substituir oequipamento (A) duas vezes.


equipamento (A) duas vezes.

Alternativa Ano 0 Ano1 Ano2 Ano3 VPL ?

A -$10 $13

1° Substituição A -$10 $13

2° Substituição A -$10 $13

Fluxo de CaixaLíquido

$-10 $3 $3 $13 $4,97

Obs.: Desta forma em uma mesmo horizonte A passa a ser preferível.VPLA>VPLB ($4,97>$2,43)

Seria muito cansativo este raciocínio para duraçõeslongas.

Um método alternativo é o da anuidade equivalente. Esseindicador mostra de que forma seria distribuída a rendaeconômica se a referida distribuição fosse equitativa.


AE = VPL

(1+i) - 1

i (1+i)

n

n

No exemplo AEA=$2,00/ano e AEB=$0,98/anoAEA>AEB. Alternativa A é preferível.

Em determinados projetos ou serviços, os benefícios ouas receitas dificilmente podem ser quantificados emtermos monetários. Entretanto os custos podem.

Nestes casos bastaria conhecer os custos das alternativase selecionar aquelas com os menores custos anualizados.

Análise de Investimentos(Método do custo anual equivalente)


Uma empresa pretende adquirir um equipamento queesteja disponível em duas marcas diferentes no mercado.Equipamento A custa $13.000 e tem vida útil de 12 anos,enquanto o equipamento B Custa $11.000 e possui vidaútil de 12 anos. Custo de capital é de 4%a.a.


CAEA

Uma empresa pretende adquirir um equipamento queesteja disponível em duas marcas diferentes no mercado.Equipamento A custa $13.000 e tem vida útil de 12 anos,enquanto o equipamento B Custa $11.000 e possui vidaútil de 8 anos. Custo de capital é de 4%a.a.

CAEA

CAEB

O CAE da alternativa A é menor, sendo esta preferível à B.

Taxa incremental de Fisher

Alternativa Investimento Retorno

A -$15 $25

B $-25 $40

$15

VPL

B

$10

50% 60% 67%Custo do Capital (i)

Taxa incremental de Fisher

A

Exercícios

A compra de um equipamento com vida útil de três anose sem valor residual exige um investimento inicial de$ 1.180.000 . O equipamento permitirá diminuir os custosoperacionais em $388.000/ano e aumentar a receitaoperacional em $210.000/ano. Se a alíquota de IR for de30% e o custo de capital for de 10%, calcular o VPL e a TIRdo projeto. Ele se justifica do ponto de vista econômico?do projeto. Ele se justifica do ponto de vista econômico?

Exercícios

Uma indústria pretende investir $4 milhões na compra deum equipamento. A vida útil do equipamento é de quatroanos, e ele será instalado em um terreno, cujo valor demercado é de $ 1 milhão. Ao término da vida útil estarácontabilmente depreciado, mas naquela data poderá serliquidado por $1,2 milhão no mercado de equipamentosusados. A receita operacional projetada obtida dausados. A receita operacional projetada obtida daoperação do equipamento é de $ 2 milhões/ano, comcustos operacionais de $0,4 milhão/ano e gastos indiretosde $0,2 milhão/ano. As necessidades de capital de giroserão de 15% sobre os incrementos das vendas. Aalíquota de IR é de 30%. Montar o fluxo de caixaeconômico do projeto? Na avaliação econômicaconsiderar um custo de capital de 10%.

Como analisar o investimento em uma organização



Oitava aulaRevisão

01/03/2012



Nona AulaProva

08/03/2012



Nona AulaProva de Reposição

12/03/2012



Prova Final

15/03/2012

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