Enigmas Matemáticos

Por:Ana Gonçalves, Cátia Mota. Cátia Amorim, Cíntia Brites e Joana Carvalho

Enigma 1“Problema das linhas”

Desenha uma linha contínua composta no máximo por quatro segmentos rectos que percorra todos os nove pontos.

Aqui apresentamos alguns exemplos de uma "linhacontínua de quatro segmentos rectos" .

Enigma 2“Árvores em Fila”

Tens 7 árvores para plantar. Elas precisam ser dispostas em 6 filas com 3 árvores cada uma. Como se consegue fazer isso?

Nota: Uma árvore pode fazer parte de mais de uma fila. Por exemplo, na figura apresentamos-te uma vista superior de 5 árvores dispostas em duas filas com 3 árvores em cada fila.

Enigma 3“As Sete Pontes de Königsberg”

O Rio Pregel possuía duas ramificações e circundava uma ilha, atravessando o centro da cidade de Königsberg. Havia sete pontes ligando as várias massas de terra, como se mostra no diagrama em baixo.

Os moradores da cidade, que gostavam de passear pelas pontes, tentaram descobrir um caminho que cruzasse todas as sete pontes apenas uma vez. Não era permitido “saltar” nenhuma das pontes nem passar por nenhuma delas mais que uma vez.

O caminho da esquerda não serve, pois ele “salta” uma ponte. A tentativa à direita

fracassa também pois passamos duas vezes numa das pontes.

Achas possível descobrir um caminho que passe cada uma das sete pontes apenas uma vez? Em caso positivo, desenha um caminho que cumpra essas exigências. Se achas que isso não é possível, explica o motivo.

Enigma 4“Problema dos quatro quatros”

       Sabias que é possível escrever os números inteiros de 1 a 100, usando

apenas quatro números 4? Que tal tentares?

Podes usar, para além dos quatro números 4, todos os sinais matemáticos (+ - x :), mas não podes usar letras ou símbolos como: tan (tangente), log (logaritmo), lim (limites), …

Deixamos-te apenas uma pista:

1 = 44 ÷ 44

Agora é a tua vez de continuar até ao número 100!

Enigma 5 “A quantidade certa de água”

Consegues medir exactamente 4 litros de água?

Tens três jarras grandes com capacidades para 3, 5 e 8 litros. A jarra de 8 litros está cheia de água. A tua tarefa é medir exactamente 4 litros de água. Não existem outros recipientes para trabalhar e os recipientes não estão marcados, ou seja, a única indicação que têm é da sua capacidade, não havendo marcações inferiores como, por exemplo, de litro a litro.

A água pode ser despejada de um recipiente para outro recipiente quantas vezes quiseres e a água em excesso pode ser eliminada.

Solução dos Enigmas

Solução – enigma 1:Existem duas maneiras de resolver

este enigma

Solução – enigma 2:

Eis uma maneira de resolver o enigma:

Seis filas, três árvores por fila!

Solução – enigma 3 :O matemático suíço Leonard Euler interessou-se

por este problema. Em 1736 ele publicou um artigo mostrando que não era possível encontrar um caminho que cruzasse cada ponte só uma vez sem deixar de fora nenhuma delas. Eis o motivo:

Vamos marcar cada uma das massas de terra com uma letra maiúscula vermelha e cada uma das pontes com uma letra minúscula azul.

Podemos tratar cada uma das massas de terra como um ponto e cada uma das pontes como uma linha. Desta forma, o mapa é equivalente ao seguinte diagrama:

Chamamos a diagramas como este “grafos”. Cada um dos pontos A, B, C e D são chamados de vértices. Cada uma das linhas, a, b, c, d, f e g são chamadas de arcos. Referimo-nos ao número de arcos que se encontram num vértice como o grau do vértice. O grau do vértice A é 5. O grau de cada um dos outros três vértices, B, C e D, é 3.

Resolver o problema das pontes de Königsberg é equivalente a ser capaz de traçar o grafo descrito acima sem erguer o lápis do papel e sem retraçar nenhum arco. Chama-se a isso de percorrer o grafo.

Euler mostrou que um grafo não poderia ser percorrido, se tivesse mais que dois vértices com graus que fossem números ímpares. O grafo que representa o problema das pontes de Königsberg possui quatro vértices ímpares.

Para ajudar a entender como isto funciona, observa estes dois grafos:

O da esquerda possui 4 vértices, cada um com um grau igual a 2. O grafo pentagonal possui 5 vértices de grau igual a 2. Em ambos os casos, todos os vértices possuem grau par. Cada um desses grafos pode ser percorrido começando em qualquer vértice e terminando naquele mesmo vértice.

Agora repara neste grafo:

Os vértices A e B são do grau 3, que é ímpar. Os outros 4 vértices são de grau 2, que é par. Este grafo pode ser percorrido por vários caminhos diferentes, mas o ponto de partida deve ser A ou B, e ponto de chegada deve ser outro vértice ímpar.

Tente.

Eis outro grafo com 2 vértices ímpares.

Ele também pode ser percorrido, desde que os pontos de chegada do percurso sejam C e D, os vértices ímpares.

Eis aqui um grafo que não pode ser percorrido, pois contém 4 vértices ímpares.

E e H são ambos do grau 1. F e G são do grau 3.

Deste modo, é impossível traçar o caminho pretendido sem “saltar” uma ponte ou sem passar duas vezes na mesma ponte!

Solução – enigma 4:

Apresentamos-te aqui algumas das soluções

pois sabemos que certamente conseguiste chegar a estas e a todas as outras!

1 = 44 ÷ 44

2 = (4 ÷ 4) + (4 ÷ 4)

3 = (4 + 4 + 4) ÷ 4

4 = 4 + (4 - 4) ÷ 4

5 = [(4 x 4) + 4] ÷ 4

6 = 4 + [(4+4) ÷ 4]

7 = (4 + 4) - (4 ÷ 4)

8 = 4 + 4 + 4 - 4

9 = (4 + 4) + (4 ÷ 4)

10 = (44 - 4) ÷ 4

12 = (44 + 4) ÷ 4

15 = (44 ÷ 4) + 4

16 = (4 x 4) + 4 - 4

17 = (4 x 4) + (4 ÷ 4)

28 = [4 x (4 + 4)] - 4

32 = (4 x 4) + (4 x 4)

36 = [4 x (4 + 4)] + 4

43 = 44 - (4 ÷ 4)

44 = 44 - 4 + 4

45 = 44 + (4 ÷ 4)

60 = 44 + (4 x 4)

68 = (4 x 4 x 4) + 4

80 = [(4 x 4) + 4] x 4

88 = 44 + 44

Solução - enigma 5:

Vamos denominar as jarras:

A=3 litros B=5 litros C=8 litros

Vamos começar com a jarra C de 8 litros enquanto as jarras A e B estão vazias:

A=0 B=0 C=8

Para solucionar esse enigma, faz o seguinte:

1. Despeja o conteúdo de C em A. Então: A=3, B=0, C=5

2. Despeja o conteúdo de A em B.Então: A=0, B=3, C=5

3. Despeja o conteúdo de C em A de forma que

A= 3, B=3, C= 2 (metade do trabalho já foi feito e até agora não houve desperdício de água).

4. Despeja o conteúdo de A em B e despreza o litro de água que sobra. Então: A=0, B=5, C=2

5. Despeja o conteúdo de B em A. Então: A=3, B=2, C=2

6. Despeja o conteúdo de B em C ou de C em B para obter 4 litros. Então : A= 3, B=4, C=0