Ensino Fundamental Anos Finais 9o Ano – 3o...

Ensino Fundamental Anos Finais

9o Ano – 3o Bimestre

55

SumárioMatemática

Álgebra

Capítulo 25 – Equações do 2º grau ................................................................................58

Capítulo 26 – Equações do 2º grau: valor numérico ......................................................64

Capítulo 27 – Ainda equações do 2º grau ......................................................................68

Capítulo 28 – Tabelas e gráficos ....................................................................................72

Capítulos 29/30 – A fórmula de Bháskara .........................................................................78

Capítulo 31 – O discriminante da equação ....................................................................84

Capítulo 32 – Possibilidades ..........................................................................................87

Capítulo 33 – Equação do 2º grau ..................................................................................97

Geometria

Capítulos 14/15 – Ampliação e redução de figuras planas .............................................100

Capítulo 16 – Semelhança ........................................................................................... 110

Capítulos 17/18 – Semelhança de triângulos .................................................................. 116

Capítulo 19 – Teorema de Pitágoras ............................................................................125

Capítulo 20 – Relações métricas no triângulo retângulo ..............................................132

57

ApresentaçãoMatemática

Como estudar MatemáticaAssim como em outras matérias, não é decorando os exercícios que você aprenderá Ma-

temática. Você precisa compreender a linguagem matemática e interpretá-la para encontrar uma solução para os problemas e atividades que você está convidado a resolver. Lembre-se de que há muitos caminhos para se resolver um problema matemático, siga aquele que você considera mais fácil. Algumas dicas achamos interessante passar para você:

1o Preste atenção à aula. Quando o professor estiver explicando, preste atenção, pois ele lhe dará dicas importantes para a sua aprendizagem.

2o Nunca fique com dúvidas em aula. Pergunte a seu professor e peça-lhe auxílio para compreender determinado assunto ou atividade.

3o Mantenha um caderno organizado. Se seu professor fizer um resumo do con-teúdo da aula ou acrescentar mais algumas informações, registre-os em seu caderno. As resoluções de problemas e cálculos também devem ser registradas organizada-mente em seu caderno. Dessa forma, quando for estudar, terá em mãos todo o mate-rial necessário.

4o Estude todos os dias. Faça a tarefa de casa com dedicação e da melhor forma que conseguir. Esforce-se e, se tiver um tempinho a mais, resolva novamente alguma ativida-de que você fez em aula e que tenha deixado um pouco de dúvida. Dessa forma, quando o professor fizer uma avaliação, você não precisará estudar tudo de uma só vez.

5o Seja perseverante, isto é, nunca desista. Quando você considerar difícil um con-teúdo ou uma atividade, lembre-se de que você tem capacidade para superar as dificul-dades. Tenha a certeza de que é comum não conseguirmos resolver um problema na primeira tentativa.

6º Crie o hábito de conferir sua resposta. Após resolver um problema, leia-o nova-mente e verifique se sua resposta é coerente.

58

Equações do 2o grau25C

apítu

lo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Reconhecer uma equação do 2º grau, seus coeficientes e classificá-la.

ATIVIDADE – Com todos os quadrados e retângulos desenhados abaixo, forme um retângulo.

11

1x

x x

a) Represente-o no quadriculado:

b) Quais são as dimensões desse retângulo formado?

c) Qual é a área do retângulo formado?

59

Para continuar

Equações de outro grau

Vamos observar algumas situações:

1a situação:Um campeonato de futebol é disputado

por x equipes, que são divididas em dois grupos, A e B, com o mesmo número de equipes em cada grupo.

Cada equipe disputa x2

1−

jogos em

seu grupo. O campeão de cada grupo dis-puta o título em uma única partida. Se nes-se campeonato está prevista a realização de 181 jogos, qual o número x de equipes participantes?

2a situação:Um parque possui 136 m² para construir

a piscina retangular ABCD representada na figura. A piscina terá uma parte retangular mais funda, com 9 m de comprimento, e outra parte quadrada mais rasa. Quais são as dimensões da piscina?

A

B D9 x

x

C

ATIVIDADE 1 – Escreva uma equa-ção que represente a solução de cada situação.

• Situação 1

• Situação 2

ATIVIDADE 2 – Reorganize as equa-ções de modo que todos os termos estejam no 1º membro, ou seja, iguais a zero.

• Situação 1

60

• Situação 2

ATIVIDADE 3 – Reescreva as equa-ções das situações 1 e 2 de modo que as potências de x estejam em ordem decres-cente.

• Situação 1

• Situação 2

O 1o membro dessas equações é for-mado de polinômios resultantes de alguns produtos notáveis que, consequentemente, podem ser fatorados. Quais são eles?

Você pode notar que o maior expoente de x é o 2; por isso, essas equações são chamadas de equações de 2o grau.

Para continuar

Generalizando Geralmente, as equações do 2o grau são

representadas pela forma normal ou redu-zida:

ax2 + bx + c = 0As letras a, b e c da forma reduzida são

os coeficientes dos termos da equação e representam qualquer número real, com exceção do coeficiente a, pois a deve ser diferente de zero (a ≠ 0).

Por que a deve ser diferente de zero (a ≠ 0)?

Porque, se a for igual a zero, a equa-ção deixa de ser do 2o grau. Veja:

0 12 3 0 02

0 0

x x ax⋅ =

+ + = ⇒ =2

0 + 12x + 3 = 0 (O termo x² “desapareceu”.)12x + 3 = 0 (O maior expoente de x é 1,

portanto a equação é do 1º grau.)

Na equação x2 + 5x – 1 = 0 , temos a = 1, b = 5 e c = –1.

Na equação –3x2 –6x + 2 =0, temos a = – 3, b = –6 e c = 2.

Resolvendo outras situações3a situação: Uma caixa foi montada a

partir de um quadrado de papelão de onde foram retirados quadrados de 3 cm de lado, um de cada canto, como mostra a figura.

61

Desse modo, o papelão ficou com 45 cm² de área. Qual a medida inicial do lado da caixa de papelão?

x 3 3

3

3

3 3

3

3

x

4a situação: As áreas do quadrado e do retângulo são iguais. Qual a medida do lado do quadrado?

x

x

5x

8

ATIVIDADE 1 – Escreva uma equação para cada situação.

• Situação 3

• Situação 4

ATIVIDADE 2 – Reorganize as equa-ções de modo que todos os termos estejam no 1º membro da equação; escreva-as na forma reduzida.

• Situação 3

• Situação 4

62

ATIVIDADE 3 – Você observou, ao escrever as equações na forma reduzida, que alguns termos estão faltando. Qual o termo que falta em cada situação?

• Situação 3

• Situação 4

Para continuar

Generalizando As equações de 2o grau, na forma redu-

zida, que têm todos os coeficientes dife-rentes de zero são chamadas de equações completas: ax2 + bx + c = 0.

Contudo, se na equação os coeficientes b ou c, ou os dois, forem iguais a zero, a equa-ção é chamada de equação incompleta:

ax2 + bx = 0 ou ax2 + c = 0.

Exemplos: Equações completasx2 – 5x + 12 =05x2 – 7x +9 =0Equações incompletasx2 – 5x =0x2 + 12 =0x2 =05x2 – 7x =0

Para finalizar

A tradução de uma situação-problema para a linguagem matemática é uma práti-ca muito antiga (mais de 4000 a.C.) e é fun-damental para sua resolução. A resolução de problemas é uma prática diária para o ser humano. E é com esses estudos ma-temáticos, que você aprende e desenvolve na escola, que os problemas da vida real tornam-se mais fáceis de resolver.

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO

Fiz todas as atividades.

Li o texto teórico.

Compreendi o que li.

O que eu mais gostei de aprender hoje…

63

Para casa

TAREFA A – Reescreva as equações da coluna A na forma reduzida e relacione- -as as equações da coluna A com o grau da coluna B.

A B

y · (y + 2) = 0 1º grau

(4 – 3x)2 = 64 2º grau

(2z – 4)2 = 4z2 – 2z 3º grau

t4 – 5t2 + 4 = 0 4º grau

(2x – 4)2 = 2x2 · (x – 2) + 48

TAREFA B – Observe os coeficientes de cada equação do 2o grau e complete a tabela.

Equação a b c

– 3x2 + 4x – 5 = 0

7z2 + 3z + 3 = 0 7 3 3

6y2 + y – 3 = 0 6 –3

–1t2 – 3t + 8 = 0 –1 8

TAREFA C – Classifique as equações do 2º grau em completas ou incompletas.

EquaçãoCompleta/Incompleta

x2 – 9x + 20 = 0

16x2 + 9 = 0

– 2y2 + 3y – 31 = 0

4x2 + 2x = 0

9m2 + 6m + 1 = 0

–x2 + 64 = 0

64

Equações do 2o grau: valor numérico

26Cap

ítulo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Calcular o valor numérico de uma ex-pressão do 2o grau.

ATIVIDADE – Paulo é dono de uma fábrica de móveis. Para calcu-lar o preço V de venda de cada móvel que fabrica, ele usa a seguinte fórmula: V = 1,5 ∙ C + R$ 10,00, sendo C o preço de custo desse móvel. Considere que o preço de custo de um móvel que Paulo fa-brica é R$ 100,00. Então, ele vende esse móvel por:

a) R$ 110,00 c) R$ 160,00b) R$ 150,00 d) R$ 210,00

Para continuar

Valor numérico da expressão do 2o grau

Resolver uma equação significa deter-minar o valor da incógnita, o conjunto so-lução dessa equação ou, ainda, a raiz da equação. Um número é raiz ou solução de uma equação do 2o grau com uma incógni-ta se esse número, quando substituído pela incógnita, transformar a equação numa sentença verdadeira.

Uma equação de 2o grau pode ter até duas raízes. Por quê?

Como o maior expoente de uma equa-ção do 2o grau é 2 (x2), vamos pensar em um número que, elevado ao quadrado, dê 16, por exemplo:

x2 = 16Logo, pensamos no número 4, porque

42 = 16.Entretanto, não podemos nos esque-

cer de que (– 4)2 também é igual a 16.Então, os números 4 e – 4 são os nú-

meros que satisfazem a nossa condição inicial. Pense um pouco mais sobre isso!

Encontrando as raízes de uma equação do 2o grau

Considere a equação x2 – 28x + 160 = 0. Vamos verificar se os números 8 e 10 são soluções ou raízes dessa igualdade.

PARTE 1 – Comecemos pelo número 8.• Substitua a incógnita x por 8.

2 – 28 ∙ + 160 = 0• Resolva a potência e a multiplicação in-

dicadas. – + 160 = 0

65

• Efetue a adição e a subtração. = 0

• Você classifica a sentença acima como verdadeira ou falsa?

Se as operações do 1º membro resul-taram em zero (0 = 0), a sentença é verda-deira. Se o resultado for diferente de zero, a sentença é falsa.

PARTE 2 – Realize as mesmas ati-vidades anteriores substituindo x pelo número 10.

Isso significa que o número é raiz da equação x2 – 28x + 160 = 0.

ATIVIDADE 1 – Se o valor de x for igual a 5, a área da figura será 200 cm²?

x

xx

x xx

x

3x

ATIVIDADE 2 – Juca desafiou seu co-lega dizendo que ele não descobriria em que número ele estava pensando. Se ele-var ao quadrado o número pensado, somar ao resultado o quádruplo do mesmo núme-ro e subtrair cinco, teremos zero como re-sultado. Será que Juca pensou no número 5 ou – 5?

66

Para finalizar

O cálculo do valor numérico é uma forma de realizar a prova real para verificar se um número é ou não solução de um problema e pode ser feito mentalmente. Fazemos esses tipos de cálculos sem que percebamos; por exemplo, ao calcular o troco de um compra, ao estimar a altura de algo ou de alguém em relação à nossa altura. Então, abuse desses cálculos.

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO





67

Para casa

TAREFA A – Verifique se os núme-ros – 4 e 3 são soluções da equação x2 + 7x + 12 = 0.

TAREFA B – A figura é um quadrado. A área do quadrado é dada pela expressão A = a2 + 2ab + b2.

a

a III IV

IIIb

b

Nessa expressão, a área corresponden-te ao termo 2ab é dada pela:a) área do quadrado.b) soma das áreas dos quadrados II e III.c) soma das áreas dos retângulos I e IV.d) soma das áreas do retângulo IV e do quadrado III.

68

Ainda equações do 2o grau

27Cap

ítulo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Resolver uma equação incompleta do 2º grau.

ATIVIDADE – Qual das figuras abaixo em relação à área hachurada representa a expressão algébrica (m + 2)2?

2

2

a)

m

m

2

2

b)

m

m

2

2

c)

m

m

2

2

d)

m

m

Para continuar

Fator comum em evidência Muitas situações envolvem equações do

2o grau e podemos encontrar as soluções usando casos simples de fatoração. Fatorar uma expressão significa reescrevê-la utili-zando um produto de fatores que a repre-sente. O número 15, por exemplo, pode ser escrito como 3 ∙ 5.

Utilizaremos esse caso quando o coeficien-te c da equação for igual a zero (ax2 + bx == 0 c = 0).

Colocar um fator comum em evidência significa fatorar cada termo da equação e encontrar um ou mais fatores que sejam comuns a todos os termos da equação.

Vamos descobrir!Vamos encontrar a solução da equação:3x2 + 9x = 0.

PARTE 1 – Transforme cada termo do 1o membro da equação num produto 3x2 + 9x = 0 de fatores.

3x2 + 9x = 0

∙ ∙ + 3 ∙ ∙ = 0

69

PARTE 2 – Circule os termos comuns e vamos escrevê-los separadamente, em evidência, fora dos parênteses; os termos que não foram circulados não são comuns e ficam dentro dos parênteses.

∙ ∙ ( + ) = 0

PARTE 3 – Agora vamos encontrar os valores de x. Primeiramente, torne o termo que está fora dos parênteses igual a zero e resolva a sentença.

∙ = 0

x =

PARTE 4 – Agora torne a expressão de dentro dos parênteses igual a zero e resolva.

+ = 0

x =

PARTE 5 – Você encontrou dois valores para x.

Na primeira igualdade, x = .Na segunda igualdade, x = .Portanto, as raízes da equação 3x2 +

9x = 0 são e .

Para continuar

Diferença de quadradosUtilizaremos esse caso quando o coe-

ficiente b da equação for igual a zero e o coeficiente c for negativo (ax2 – c = 0 b = 0). Fatorar pela diferença de quadrados sig-nifica reescrever uma expressão colocando

todos os termos em forma de potência e depois escrevê-los na forma de um produto de expressões, uma soma e uma diferença. Vejamos:

Vamos resolver a equação x2 – 64 = 0.

PARTE 1 – Você se lembra de quan-do estudou fatoração: quando há diferença de dois quadrados, podemos transformá-la em produto da soma pela diferença. Para isso, basta extrair a raiz quadrada dos dois termos:

x2 – 64 = 0

PARTE 2 – Com esses dois termos, basta escrever um produto de uma soma entre eles e de uma diferença entre eles:

( + ) ∙ ( – ) = 0

PARTE 3 – Nós já vimos que, quando um produto é igual a zero, significa que um ou os dois fatores são iguais a zero. a) Dessa forma, igualando a zero o pri-meiro fator, temos:

+ = 0

Portanto: x =

b) Igualando a zero o segundo fator, te-mos:

– = 0

Portanto: x =

PARTE 4 – Você encontrou os núme-ros e . Eles são as raízes da equação x2 –64 = 0.

70

Para continuar

Resolvendo uma equação através da operação inversa

A equação que acabamos de resolver por fatoração pode ser resolvida de outra forma:

Vamos resolver a equação x2 – 64 = 0 de outra maneira.

Passo 1 – Passe o termo c para o 2o membro.

x2 – 64 = 0x2 =

Passo 2 – A operação inversa da poten-ciação é a radiciação. Então podemos ex-trair a raiz dos dois membros. Dessa forma, temos:

x2 = 64

x = ± 64x = ±

Passo 3 – Os dois valores que servem como resultado da raiz encontrada acima são: x = + e x = –

Você encontrou os números e . Eles são as raízes da equação x2 – 64 = 0.

Para continuar

Encontrando a generalizaçãoAo resolver equações incompletas do 2o

grau, vamos encontrar duas situações dife-rentes: I. ax2 ± bx = 0 c = 0

Fatora-se o 1o membro da equação colo-cando-se os fatores comuns em evidência: x ∙ (ax ± b) = 0.

Iguala-se cada fator a zero e resolve-se cada nova equação, agora do 1º grau.

x = 0 ou ax ± b = 0 xba

= ±

Nas equações incompletas em que c = 0, teremos sempre uma das raízes da equação igual a zero.

Exemplo: 4x2 + 8x =0

4x2 + 8x = 0 4x = 0

x + 2 = 0 x = – 2

x = x = 0

4x · (x + 2) = 0

04

R.: Os números 0 e – 2 são raízes da equação. II. ax2 – c = 0 b = 0

A maneira mais simples é resolver a equação através das operações inversas.

Coloca-se o termo c no 2º membro usando-se a operação inversa (adição ou subtração).

ax2 = – cO coeficiente a dividirá o 2o membro.

xca

2 = −

Extraímos a raiz quadrada do 1o e do 2o membros.

xca

= −

Exemplo: 9x2 – 36 = 09x2 = 36

x2 369

=

x2 = 4

x = 4

x = ± 2Resposta: Os números + 2 e – 2 são ra-

ízes da equação.

Na equação ax2 + c = 0, quando c é um número positivo, não existe solução ou raiz da equação. Dizemos, então, que a solução é um conjunto vazio, pois não existe raiz quadrada de número negativo. Veja o exemplo:

x2 + 64 = 0x2 = – 64

x = − 64

71

ATIVIDADE 1 – Existem dois valores de x que satisfazem a equação 2x2 – 8x = 0. Quais são esses valores?

ATIVIDADE 2 – Determine os valo-res de t para que a expressão algébrica (2t + 1)2 – 2 ∙ (2t + 1) seja igual a 8.

ATIVIDADE 3 – A expressão x2 – a2 é equivalente a: a) –2axb) (x – a)2

c) (x + a)2

d) (x – a) ∙ (x + a)

Para finalizar

As equações incompletas do 2º grau são facilmente resolvidas com cálculo men-tal, porém a grande maioria dos problemas pede uma justificativa, e nada melhor que uma equação para justificar a resolução mental de uma situação-problema.

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO



Compreendi o que eu li.


Para casa

TAREFA – Observe o quadrado. Escre-va uma equação e determine o valor de x.

6

xx2

72

Tabelas e gráficos28C

apítu

lo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Resolver problemas que envolvam gráficos e tabelas.

ATIVIDADE – O gráfico mostra a contagem da população do Brasil obtida pelos cen-sos e estimativas realizados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).

0 1940 1950 1960 1970 1980 1991 1996 2007

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

40,7

51,9

70,1

93,1

119,0

146,8157,1

184,0

Pop

ulaç

ão (

em m

ilhõe

s de

hab

itant

es)

Evolução da população – Brasil

IBGE

Analisando esse gráfico, pode-se afirmar que o primeiro ano em que se verificou que a população brasileira ultrapassou a marca de 100 milhões de habitantes foi o de:a) 1960.b) 1970.c) 1980.d) 1991.

73

Para continuar

Gráficos e tabelasVocê vem estudando Estatística ao longo do Ensino Fundamental. Já sabe da impor-

tância de se analisar adequadamente um gráfico ou uma tabela. Por isso, hoje, você irá resolver diversas atividades que envolvem gráficos e tabelas. Bom trabalho.

ATIVIDADE 1 – Foi perguntado a um total de 100 pessoas em uma cidade se frequentavam cinema e se frequentavam teatro. A tabela abaixo resume o resultado desta pesquisa.

Cinema

Sim Não

TeatroSim 52 8

Não 36 4

Se os dados dessa pesquisa forem transportados para o gráfico a seguir, a coluna pin-tada de laranja deve representar o número de pessoas que:

74

Número de pessoasLegenda:

Pessoas que...

Pessoas que...

Pessoas que...

Pessoas que...

a) frequentam teatro e não frequentam cinema. b) frequentam cinema e não frequentam teatro. c) frequentam cinema e teatro. d) não frequentam nem cinema nem teatro.

ATIVIDADE 2 – O aquecimento global traz graves consequências ecológicas. O au-mento da temperatura dos oceanos, por exemplo, coloca em risco a flora e a fauna mari-nhas. O gráfico abaixo mostra como vem aumentando a temperatura dos oceanos desde 1860 e a projeção para os próximos anos. Considerando que a temperatura crítica para a sobrevivência dos corais é de 29 oC, podemos afirmar que, segundo essa projeção, essa temperatura será atingida:

Tem

pera

tura

(C

elsi

us)

25

26

27

28

29

30

0 1850 1900 1950 2000 2050 2100

a) entre os anos de 1950 e 2000. b) entre os anos de 2000 e 2050. c) entre os anos de 2050 e 2100. d) após o ano de 2100.

75

ATIVIDADE 3 – Após medir a altura de cada um dos 27 alunos de uma turma, o pro-fessor resumiu os resultados obtidos em 5 classes, cujas frequências estão na tabela a seguir.

Altura (em metros) Frequência

1,52 a 1,55 7

1,56 a 1,59 9

1,60 a 1,63 5

1,64 a 1,67 4

1,68 a 1,72 2

É correto afirmar que:a) 7 alunos têm altura entre 1,60 m e 1,63 m.b) 16 alunos têm altura menor que 1,60 m.c) 4 alunos têm altura entre 1,60 m e 1,63 m.d) 5 alunos têm altura entre 1,68 m e 1,72 m.

ATIVIDADE 4 – O gráfico abaixo mostra como variou a temperatura em uma cidade durante certo dia.

TE

MP

ER

AT

UR

A (

ºC)

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Pode-se afirmar que: a) a temperatura máxima foi atingida ao meio-dia. b) a temperatura mínima ocorreu por volta das 4 horas da manhã. c) no período entre 0 e 12 horas, a temperatura foi crescente. d) no período entre 12 e 24 horas, a temperatura foi decrescente.

76

ATIVIDADE 5 – As médias de taxa de desemprego na Grande São Paulo no período 1991–1996 são apresentadas no gráfico abaixo. Com relação ao período apresentado no grá-fico, podemos dizer que:

10

11

12

13

14

15

16

1991

Des

empr

ego

(%)

1992 1993 1994 1995 1996

Fonte SEP: convênio Seade-Dieese

a) a taxa de desemprego diminuiu no período 1993-1995. b) a menor taxa de desemprego foi em 1995. c) a taxa de desemprego aumentou no período 1991-1993. d) a maior taxa de desemprego foi em 1996.

ATIVIDADE 6 – A figura abaixo apresenta o desempenho das vendas obtidas pela Companhia Delta entre os anos de 1995 e 2001.

0

100

200

300

400

500

1.000,00

1995

Movimento anual de vendas da Companhia Delta

1996 1997 1998 1999 2000 2001

77

Com base nessas informações, qual o percentual (aproximado) a mais nas vendas obtido pela Companhia Delta em 2001, em relação a 1995?a) 43%b) 60%c) 75%d) 100%

ATIVIDADE 7 – Para mostrar como se distribui a preferência dos alunos de uma es-cola por estilo de música (rock, MPB, funk ou pagode), foi preparado o gráfico abaixo, cuja legenda foi omitida.

Se os alunos que preferem MPB correspondem a aproximadamente 25% do total, a região correspondente no gráfico é:

a) b) c) d)

78

A fórmula de Bháskara

29/30C

apítu

los

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Conhecer e aplicar a fórmula de Bháskara.

ATIVIDADE – Para achar as raízes da equação x2 – 7x + 12 = 0, Ana desenhou todas as possibilidades pensando na área do retângulo indicada pelo 3º termo (12). Ela pensou em retângulos com as seguintes dimensões:

I

12

1x

x

II

I

2

x 6

x

II

I

3

4

x

x

II

Pos

sibi

lidad

es

Dimensões doretângulo de

área 12Representação

Verificação:área de I + área de II = 7x

1 1 e 12

2 e 6

3 e 4

2

3

área I = ______________

área II = ______________

área I + área II = _______

área I = ______________

área II = ______________


área I = ______________

área II = ______________


a) Em quais das possibilidades a área de I + área de II = 7x?

79

b) Quais as raízes da equação?

Para continuar

Resolvendo uma equação de 2o grau

Como você pôde observar na atividade inicial, é muito extensa a resolução de uma equação de 2o grau na forma geométrica. Vamos estudar outra forma que simplifica a resolução, a qual foi desenvolvida há mui-tos anos.

Um pouco de históriaNão é de hoje que os problemas que en-

volvem equação de 2º grau são resolvidos. Essa constatação é provada por um regis-tro feito por antigos babilônios há aproxima-damente 4.000 anos.

A forma como se resolvia a equação não era a mesma que a atual. Um dos motivos para isso era que, naquele período, não existia o conceito de número negativo. Mui-tos séculos depois, um sábio muçulmano, Al-Kowarizmi, que você já conhece (lembra da história dos algarismos indo-arábicos?), propôs em uma de suas obras um méto-do para resolver as equações de 2º grau. Séculos mais tarde, um matemático hindu, Bháskara Akaria, também buscou possíveis soluções para resolver essas equações. Mas a fórmula tal qual a conhecemos não foi desenvolvida por ele, e sim por matemá-ticos franceses, como Viète e Descartes.

Mas, para nós, a fórmula que resolve uma equação, do 2o grau ficou conhecida como Fórmula de Bháskara.

A fórmula de Bháskara Vamos demonstrar a fórmula de Bháska-

ra. Talvez você ache um pouco complicada a demonstração, mas ela só utiliza concei-tos que você já aprendeu. E o mais inte-ressante é que você pode, assim, perceber como os matemáticos citados anteriormen-te chegaram à fórmula final.

Consideremos a equação ax2 + bx + c = 0, em que a ≠ 0.

1º passo: Dividimos por a os dois mem-bros da equação para tornar o coeficiente de x2 igual a 1.

axa

bxa

ca a

2 0+ + =

2º passo: Obtemos, então:

xba

xca

2 0+ ⋅ + =

3º passo: Passemos o termo indepen-dente para o 2º membro da equação.

xba

xca

2 + ⋅ = −

4º passo: Devemos completar o primeiro membro com um número, para que seja um trinômio quadrado perfeito:

Veja outro exemplo para que você possa entender o número procurado. Para verificar se um trinômio é quadrado perfeito, devemos extrair a raiz quadrada do 1º termo e do 3º termo.

O 2º termo deverá ser igual a 2 vezes os resultados das raízes.

x2 + 6x + 9

2 · x · 3 = 6x

x 3

x2 9

Dessa forma, o trinômio será: ( x + 3 )2.

80

Para que o 1º membro da equação se torne um trinômio quadrado perfeito, deve-

mos adicionar o termo ba2

2

. Para não al-

terar a igualdade, somaremos esse mesmo número ao 2º membro.

Portanto:

x bxa

ba

ca

ba

22 2

2 2+ +

= − +

O trinômio quadrado perfeito do 1º mem-bro será:

x ba

ba

ca

+

=

−2 2

2 2

xba

ba

ca

+

= −2 4

2 2

2

Calculando o mmc do 2º membro:

xba

b ac

a+

=−

24

4

2 2

2

Extraindo a raiz quadrada dos dois ter-mos, temos:

xba

b ac

a+ = ± −

24

4

2

2

xba

b aca

+ = ± −2

42

2

Subtraindo ba2

de ambos os membros:

xba

b aca

= − ± −2

42

2

xb b ac

a= − ± −2 4

2

Essa é a fórmula de Bháskara.

GeneralizandoVocê percorreu o caminho dos matemá-

ticos para deduzir a fórmula de Bháskara, que pode ser aplicada na resolução de qualquer equação do 2º grau, e encontrou a fórmula:

xb b ac

a= − ± −2 4

2Essa fórmula pode ser dividida em duas

menores, chamando-se a expressão b2 – 4ac de discriminante da equação, o ∆ (lê-se delta). Assim, teremos:

xb

a= − ± ∆

2, em que ∆ = b2 – 4ac

Vamos utilizar a fórmula dessa maneira (dividida), para facilitar nossos estudos.

Resolvendo uma equação completa de 2º grau

Vamos trabalhar com a equação da ati-vidade inicial:

x2 – 7x + 12 = 0Passo 1 – Identificando os coeficien-

tes da equaçãoComo você sabe, a equação do 2º grau

é do tipo:

ax2 + bx + c = 0

Dessa forma, na nossa equação, temos:

a = 1 b = –7 c = 12

Passo 2 – Calculando o discriminante da equação

∆ = b2 – 4ac

∆ = (–7)2 – 4 ∙ 1 ∙ 12∆ = 49 – 48 = 1

Passo 3 – Usando a fórmula de Bháskara

xb

a= − ± ∆

2

81

Substituindo os valores de b, a e ∆:

x =− − ±

⋅( )7 1

2 1

Extraindo a raiz quadrada de 1, temos:

x =±7 12

Passo 4 – Calculando as raízes da equação

Dessa fórmula, temos dois valores para x:

x17 1

282

4=+

= =

x27 12 2

36

=−

= =

Passo 5 – Escrevendo o conjunto so-lução ou verdade

V = {3, 4}

ATIVIDADE 1 – Quais são as raízes da equação x2 – 5x + 6 = 0?a) 2 e 4.b) 2 e 3.c) 2,5 e 3,5. d) 3 e 4.

ATIVIDADE 2 – A área do quadrado a seguir é 49 cm2. Assinale a alternativa que mostra corretamente o valor de x, em cm.

x + 2

x + 2

a) 5b) 6c) 9d) 11

ATIVIDADE 3 – Um quadrado cuja medida do lado é (x + k) tem área dada por x2 + 8x + 16.

x + k

x + k

Pode-se concluir que o valor de k é: a) 2b) 3c) 4d) 5

82

ATIVIDADE 4 – O conjunto solução da equação 2x2 + 9x – 5 = 0 é:a) 2 e 5.b) – 2 e –5.

c) 12

e 5.

d) 12

e –5.

ATIVIDADE 5 – Dada a equação –5x2 –6x –1 = 0,sendo x1 e x2 suas raízes,

calcule o valor da expressão 1 1

1 2x x+ .

ATIVIDADE 6 – Em uma sala retangu-lar, deve-se colocar um tapete de medidas 2 m × 3 m, de modo que se mantenha a distância em relação às paredes, como in-dicado no desenho a seguir:

Sabendo que a área dessa sala é 12 m², o valor de x será:

2

3

x

x

xx

a) 0,5 mb) 0,75 mc) 0,80 md) 0,05 m

Para finalizar

A fórmula de Bháskara, chamada assim apenas no Brasil, pode ser utilizada para auxiliar o cálculo das raízes de uma equa-ção de 2º grau, seja ela completa ou incom-pleta. Mesmo sendo aparentemente longa, é muito útil.

83

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO





Para casa

TAREFA – A maior raiz da equação –2x2 + 3x + 5 = 0 vale:a) – 1 b) 2c) 1d) 2,5

84

O discriminante da equação

31Cap

ítulo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Analisar o discriminante de uma equa-ção.

ATIVIDADE – Qual dos discriminantes abaixo é negativo? a) x2 – 3x + 1 = 0

b) x2 – 3x + 2 = 0

c) x2 – 3x + 6 = 0

Para continuar

O discriminante e o número de raízes

Há uma relação entre o valor do dis-criminante ∆ e a quantidade de raízes da equação.

• Quando ∆ é um número positivo, a equação possui duas raízes.

Se ∆ > 0, x1 e x2 são números reais diferentes (x1 ≠ x2).

• Quando ∆ é igual a zero, a equação possui duas raízes iguais.

Se ∆ = 0, x1 e x2 são números reais iguais (x1 = x2).

• Quando ∆ é um número negativo, a equação não possui raízes.

Se ∆ < 0, não existem raízes reais.

Então, é possível saber quantas raízes tem a equação calculando apenas o valor de ∆.

ATIVIDADE – Por meio do cálculo do discriminante, fale o que se conclui sobre as raízes das equações abaixoa) x2 –10x +25 = 0

85

b) x2 – 5x – 14 = 0

c) x2 + 2x + 3 = 0

Para continuar

Generalizando Para encontrar o valor do coeficiente

de uma equação de 2º grau, dada uma condição, usamos o cálculo de ∆ para en-contrar esse valor. Veja o exemplo em que vamos encontrar o valor de k na equação x2 + 6x – k = 0 para que essa equação tenha duas raízes reais diferentes. Para que isso ocorra, é necessário que ∆ > 0.

b2 – 4 ∙ a ∙ c > 062 – 4 ∙ 1 ∙ (–k) > 0

36 + 4 k > 0

4 k > –36

k > –9

Interpretando o resultado:Para que a equação tenha duas raí-

zes reais diferentes, k deve ser maior que –9.

ATIVIDADE 1 – Sabe-se que a equa-ção 3y2 + 11y – 2m = 0 tem duas raízes re-ais diferentes. a) A situação indica que a equação tem duas raízes reais diferentes. Então ∆ é maior, menor ou igual a zero?

b) Interprete o resultado, ou seja, quais os valores de m que satisfazem à condição?

ATIVIDADE 2 – Sabe-se que a equa-ção (s – 5) ∙ x2 – x + 8 = 0 tem duas raízes reais iguais.

a) A situação indica que a equação tem duas raízes reais iguais. Então ∆ é maior, menor ou igual a zero?

b) Interprete o resultado, ou seja, quais os valores de s que satisfazem à condição?

86

Para finalizar

O discriminante ∆ tem grande importân-cia no raciocínio envolvendo as equações de 2º grau. Por esse motivo, muitos mate-máticos usam a fórmula de Bhaskara se-parando o discriminante, e não da forma como foi escrita inicialmente.

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO



Compreendi o que eu li.

O que mais gostei de aprender hoje…

Para casa

TAREFA – Determine o valor de p para que a equação 4x2 – 4x + 2p – 1 = 0 tenha duas raízes reais diferentes.

87

Possibilidades32C

apítu

lo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Construir um espaço amostral.

ATIVIDADE –– Em uma caixa havia quatro bolas numeradas de 1 a 4.

Mônica retirou duas bolas, uma de cada vez, dessa caixa.

43

2 1

a) Quantas possibilidades de retirar duas bolas ela possui?

b) Quantas são as possibilidades de reti-rar duas bolas cuja soma seja 5?

Para continuar

As possibilidadesPara saber quantas eram as possibilida-

des de Monica retirar duas bolas, vamos utilizar um recurso que é chamado de árvo-re das possibilidades. Você já o utilizou em anos anteriores, mas agora vamos revê-lo para dar a ele um novo enfoque.

Na árvore são colocadas todas as pos-sibilidades de Mônica retirar duas bolas da caixa. Se Monica retirasse a bola 1, ela te-ria as outras três bolas para retirar.

4

3

2

1

4

3

1

2

4

2

1

3

3

2

1

4

Podemos verificar que há 12 possibi-lidades de Mônica retirar duas bolas da caixa.

88

ATIVIDADE 1 – Por meio da árvore das possibilidades, determine as possibilidades de se escolher uma bola de sorvete, uma cobertura e um tipo de casquinha na sorveteria:

Sabores de sorvete

Morangochocolatecreme

Cobertura

chocolatecaramelo

casquinha

conecopinho

ATIVIDADE 2 – Analisando a atividade anterior, você poderia resolver de outra for-ma, sem fazer a árvore das possibilidades? Para continuar

As possibilidades de ocorrerNa atividade inicial, a seguinte pergunta

foi feita:

Quantas são as possibilidades de reti-rar duas bolas cuja soma seja 5?

Vamos analisar a árvore de possibilida-des que já foi feita:

Analisando este ramo da árvore, é pos-sível perceber que a soma 5 será obtida se as bolas forem 1 e 4. Portanto, há uma pos-sibilidade.

1

2

3

4

89

No outro ramo, teremos, também uma possibilidade, com 2 e 3.

1

2 3

4

Nos outros ramos, também isso ocorre: há uma possibilidade em cada um.

1

23

4

1

2

3

4

Portanto, há 4 possibilidades de haver soma 5 na retirada de duas dessas bolas.

ATIVIDADE 1 – Verifique quantas são as possibilidades de se formar um sorvete de morango com calda de chocolate em um copinho.

Para continuar

Probabilidade de ocorrerVocê viu, no exemplo das bolas, que há 12 possibilidades de se retirarem duas bolinhas

da caixa. Também você teve oportunidade de verificar que há 4 possibilidades de se reti-rarem duas bolinhas que somam 5. Falta apenas responder à seguinte questão:

Quantas chances, ou qual é a probabilidade de se retirarem duas bolinhas da caixa que somem 5?

90

Para realizar esse cálculo, devemos pensar que há 4 possibilidades em 12. Isto é, nas 12 possíveis retiradas de duas bolas, há apenas 4 que somam 5.

Probabilidade =número de possibilidades de se retirarem 2 bolinhas que somem 5

número dde possibilidades de se retirarem 2 bolinhass da caixa

Dessa forma, teremos:

Probabilidade =4

12= 1

3

É possível dar esse resultado na forma de porcentagem: basta dividir 1 por 3, obtendo, aproximadamente, o valor de:

Probabilidade =4

12= ≅1

333%

ATIVIDADE 1– Teresa jogou três vezes seguidas uma moeda para o alto e, quando esta caiu, a menina observou se a face da moeda que havia ficado para cima era cara ou coroa.a) Complete a árvore das possibilidades, registrando as diferentes possibilidades de cair cara ou coroa nos três lançamentos. Veja uma das possibilidades já registradas:

cara cara – cara – cara

cara

cara

1º Lançamento

2º Lançamento

3º Lançamento Resultado

91

b) Quantas possibilidades havia para cada lançamento?

c) Quantos resultados foram obtidos?

d) Em quantos resultados obtivemos cara apenas duas vezes?

e) Qual a razão entre o número de vezes em que o lado cara saiu duas vezes e o total dos resultados?

ATIVIDADE 2 – Uma caixa contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Dela são retiradas ao acaso duas bolas. Qual a pro-babilidade de que o maior número assim escolhido seja o 4?

a) 1

10 b)

15

c) 3

10 d)

25

e) 12

ATIVIDADE 3 – Brasil e Argentina par-ticipam de um campeonato internacional de futebol no qual competem oito seleções. Na primeira rodada serão realizadas quatro partidas, nas quais os adversários são es-colhidos por sorteio. Qual é a probabilidade de Brasil e Argentina se enfrentarem na pri-meira rodada?

a) 18

b) 17

c) 16

d) 15

e) 14

92

ATIVIDADE 4 – Num saco, há 5 bolas pretas e 2 brancas, todas iguais. A probabi-lidade de uma pessoa tirar uma bola bran-ca do saco, de olhos fechados, é de:

a) 12

b) 17

c)25

d)27

ATIVIDADE 5 – Em uma rifa, os bilhe-tes são numerados de 1 a 100 e apenas um número será sorteado. Pedro comprou todos os números que são múltiplos de 7. A probabilidade de Pedro ganhar o prêmio é de:

a) 12% b) 14% c) 18% d) 20%

Para continuar

Aprofundando alguns conceitosPara determinar a probabilidade de um evento acontecer, devemos calcular a razão

entre o número de resultados (possibilidades) favoráveis e o número total de resultados (possibilidades) possíveis.

Probabilidade =

número de resultados

(possibbilidades) favoráveisnúmero total de resulttados

(possibilidades) possíveis

No exemplo das bolinhas da caixa, o total de possibilidades de se retirarem duas bolinhas é chamado de número total de resultados possíveis. Já o número de possibilidades de se retirarem 2 bolinhas que somem 5 é o número de resultados favoráveis.

O conjunto de todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral.Vamos compreender melhor esses conceitos por meio de um exemplo: Lourdes jogou um dado comum. Qual é a probabilidade de ela obter um número ímpar?Você sabe que um dado possui as seis faces: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Dessa forma, temos:

93

Número total de resultados possíveis 6

Número de resultados favoráveis para que ela possa obter um número ímpar

três (faces 1, 3 e 5)

Espaço amostral 1, 2, 3, 4, 5 e 6

Retorne às atividades anteriores de 1 a 5 e complete para cada uma delas o quadro a seguir:

ATIV

IDA

DE

1 Número total de resultados possíveis

Número de resultados favoráveis para que se possa obter a mesma face da moeda nas 3 jogadas

Espaço amostral

ATIV

IDA

DE


Número de resultados favoráveis para que se possa retirar o 4 como maior número

Espaço amostral

ATIV

IDA

DE


Número de resultados favoráveis para que Brasil e Argentina se enfrentem na primeira rodada

Espaço amostral

ATIV

IDA

DE


Número de resultados favoráveis para que uma pessoa possa tirar uma bola branca do saco, de olhos fechados

Espaço amostral

ATIV

IDA

DE


Número de resultados favoráveis para que Pedro possa ganhar o prêmio

Espaço amostral

94

ATIVIDADE 6 – Paula ganhou uma caixa com 50 bombons de mesmo tama-nho e forma, dos quais 10 são recheados com doce de leite, 25 com geleia de frutas e 15 com creme de nozes. Retirando-se, de olhos fechados, um bombom qualquer des-sa caixa, a probabilidade de ele ser reche-ado com creme de nozes é:

a) 2550

b) 1550

c) 2050

d) 550

ATIVIDADE 7 – Após corrigir as provas de 30 alunos da mesma classe de 8ª série, a professora de Matemática anotou, em or-dem crescente, as notas a eles atribuídas:

1,0 – 2,0 – 2,5 – 3,0 – 3,0 – 4,0 – 4,0 – 4,0 – 4,0 – 5,0 – 5,0 – 5,0 – 5,5 – 5,5 – 6,0 – 6,0 – – 6,0 – 6,0 – 6,0 – 6,5 – 6,5 – 7,0 – 7,5 – 7,5 – – 7,5 – 8,0 – 8,0 – 8,5 – 9,0 – 9,0

Se a professora sortear uma dessas 30 provas, a probabilidade de que a nota a ela atribuída seja maior do que 6,5 é:

a) 330

b) 930

c) 1830

d) 2430

95

Para casaTAREFA A – Uma urna contém 8 cartões coloridos, sendo 2 brancos, 3 vermelhos, 1

verde e o restante azul.

a) Se Paulo for retirar um cartão, qual cor terá mais possibilidade de sair? Justifique sua resposta.

b) Ao se retirarem dois cartões dessa urna, qual é a possibilidade de eles terem a mes-ma cor? Preencha o quadro abaixo com os dados do problema para encontrar esse re-sultado.

Número total de resultados possíveis

Número de resultados favoráveis para que Paulo possa tirar dois cartões de mesma cor

Espaço amostral

97

Equação do 2o grau33C

apítu

lo

MatemáticaÁlgebra

Para começar

Relacionar as raízes e os coeficientes da equação do 2º grau.

ATIVIDADE – No quadro a seguir, apare-cem duas equações do 2º grau e suas respec-tivas raízes:

Equação 1 Equação 2x2 – 5x + 6 = 0 x2 + 7x + 10 = 0raízes: 2 e 3 raízes:–2 e –5.

a) Some as raízes da equação 1. Qual é

o resultado? b) Multiplique as raízes da equação 1.

Qual é o resultado? c) Compare os resultados obtidos e a equação 1. O que você verificou?

d) Some as raízes da equação 2. Qual é

o resultado? e) Multiplique as raízes da equação 2.

Qual é o resultado? f) Compare os resultados obtidos com a equação 1. O que você verificou?

Para continuar

As raízes e os coeficientesVocê pôde constatar que os coeficientes

b e c de uma equação do 2o grau estão re-lacionados com as raízes dessa equação. Mas será que isso sempre ocorre? Vamos demonstrar a partir da equação geral do 2o grau. Acompanhe a demonstração:

Vamos resolver a equação geral do 2º grau utilizando Bhaskara:

ax2 + bx + c = 0

xb

a= − ± ∆

2

Sabemos que as raízes dessa equação são:

xb

a1 2= − + ∆

xb

a2 2= − − ∆

Parte 1 – Somando essas duas raízes, temos:

x1 + x2 = − +b

a∆

2 +

− −ba

∆2

x xb b

aba

ba1 2 2

22

+ = − + − − = − = −∆ ∆

Portanto, x1 + x2= −ba

.

Parte 2 – Multiplicando essas duas raí-zes, temos:

x1 ∙ x2 = − + ⋅ − − =ba

ba

∆ ∆2 2

98

= − + − − = − − =( )( ) ( ) ( )b b

a

b

a

∆ ∆ ∆4 42

2 2

2

= − = − + = =ba

b b aca

aca

ca

2

2

2 2

2 24

4

4

4

4

∆

Portanto, x xca1 2⋅ = .

Dessa forma, é possível verificar que a soma e o produto das raízes estão relacio-nados com os coeficientes da equação.

Exemplo: x2 + 6x – 16 = 0A soma das raízes é igual a

x1+ x2 = − ba

= –6.

O produto das raízes é igual a

x1∙ x2 = ca

= –16.

Raízes Produto –16 Soma –6

1 e –16 ou 16 e –1

1 ∙ –16 ou 16 ∙ (–1)

– – – – –

2 e –8 2 · (–8) = –162 – 8 = –6

–2 e 8 –2 e 8 – – – – –

4 e –4 4 e –4 – – – – –

ATIVIDADE 1 – Sem resolver a equa-ção, determine as raízes das seguintes equações:a) x2 – 3x + 2 = 0

b) x2 + x – 2 = 0

c) x2 + 4x + 4 = 0

d) x2 – 12x + 20= 0

ATIVIDADE 2 – Quais são as raízes da equação x2 + 10x +16 = 0?a) 2 e 8 c) 5 e –5b) –2 e –8 d) –16 e –4

ATIVIDADE 3 – Se Eduardo acertasse os números que são as respostas a um de-safio, sua tia daria a ele, em reais, o maior valor entre as respostas do desafio.

99

Um número é elevado ao quadrado, e do resultado deve-se subtrair oito ve-zes o valor desse número para resultar 20. Qual é esse número?

Eduardo acertou e recebeu de sua tia:

a) 20 reais c) 10 reaisb) 12 reais d) 8 reais

ATIVIDADE 4 – A equação de 2o grau x2 – x – 2 = 0 possui as raízes –1 e 2. Se do-brássemos o valor de cada uma das raízes, a equação seria:

a) 2x2 – 2x – 4 = 0b) x2 – 2x – 4 = 0c) 2x2 – x – 6 = 0d) x2 – 2x – 8= 0

Para finalizar

Você viu que há outra maneira de se re-solver uma equação de 2º grau. Escolha sempre aquela que você considerar mais simples.

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO





Para casa

TAREFA – Resolva a equação x2 – 5x + 6 = 0 por Bhaskara e por soma e produto das raízes.

100

Ampliação e redução de figuras planas

14/15C

apítu

los

MatemáticaGeometria

Para começar

Desenvolver experimentalmente a ampliação e a redução de figuras planas simples.

ATIVIDADE – Reproduza o desenho da figura 1, desenhada em uma malha quadrada de 1 cm x 1 cm, em cada uma das seguintes malhas:

A

B

C

D

E

Figura 1Malha 1

A

B

C

D

E

101

Malha 2

A

B

C

D

E

102

Figura 1

A

B

C

D

E

Malha 3

A

B

C

D

E

103

Malha 4

A

B

C

D

E

Malha 5

A

B

C

D

E

104

Para continuar

Analisando o que ocorre ATIVIDADE 1 – Com a régua, meça

os segmentos da figura 1 e os da transfor-mação realizada na malha 1. Preencha a tabela.

B

A

D

C

E

Medida do segmento

na figura 1 na malha 1

AB = AB =

BC = BC =

CD = CD =

DE = DE =

EA = EA =

ATIVIDADE 2 – Responda: a) O que aconteceu com a figura na ma-lha 1 em relação à figura dada? A “forma” da casa se manteve? Por quê?

b) Quais os segmentos que tiveram as medidas duplicadas?

c) Quais os segmentos cujas medidas permaneceram inalteradas?

d) Existem segmentos que não tiveram as medidas duplicadas na reprodução da malha 1, porém não permaneceram cons-tantes? Quais são esses segmentos?

e) Os ângulos retos foram alterados?

105

ATIVIDADE 3 – Copie as medidas dos segmentos da figura 1 que você mediu na atividade 1 e, com a régua, meça os seg-mentos da transformação realizada na ma-lha 2. Preencha a tabela.

Medida do segmento


AB = AB =

BC = BC =

CD = CD =

DE = DE =

EA = EA =

ATIVIDADE 4 – Responda: a) A casa reproduzida na malha 2 está deformada em relação ao desenho da figu-ra 1? Por quê?

b) As medidas dos segmentos foram al-teradas?

c) Os ângulos retos foram alterados?


Medida do segmento


AB = AB =

BC = BC =

CD = CD =

DE = DE =

EA = EA =


b) Quais os segmentos que tiveram as medidas duplicadas?

c) Quais os segmentos cujas medidas permaneceram inalteradas?

106

d) Existem segmentos que não tiveram as medidas duplicadas na reprodução da malha 3, porém não permaneceram cons-tantes? Quais são esses segmentos?

e) Os ângulos retos foram alterados?


Medida do segmento


AB = AB =

BC = BC =

CD = CD =

DE = DE =

EA = EA =


b) Quais os segmentos que tiveram as medidas multiplicadas por 1,5?



Medida do segmento


AB = AB =

BC = BC =

CD = CD =

DE = DE =

EA = EA =

ATIVIDADE 10 – Responda:a) O que aconteceu com a figura na ma-lha 5 em relação à figura dada? A “forma” da casa se manteve? Por quê?

b) Quais os segmentos que tiveram as medidas reduzidas à metade?

107


ATIVIDADE 11 – Compare as reprodu-ções e diga quais delas são semelhantes à casa original.

Para continuar

GeneralizandoVocê observou, nas atividades ante-

riores, que somente as reproduções das malhas 4 e 5 são semelhantes à figura 1. Isso significa que não houve deformação nestas transformações, pois os segmen-tos de reta mantiveram-se proporcionais e os ângulos internos, congruentes. As-sim, vemos a ampliação e a redução das figuras planas e podemos observar essas figuras em vários exemplos do dia a dia. Observe as imagens a seguir.

SE

BA

ST

IAN

KA

ULI

TZ

KI/D

RE

AM

ST

IME

.CO

M

A imagem ampliada de uma célula.

AN

DR

EE

AD

OB

RE

SC

U/D

RE

AM

ST

IME

.CO

M

A réplica em miniatura de um carro.

MO

KE

/DR

EA

MS

TIM

E.C

OM

A maquete da Torre Eiffell, em Paris.

108

AN

DR

ES

R/D

RE

AM

ST

IME

.CO

M

A fotografia de uma pessoa.

Para finalizar

Ao observar uma imagem na tela da TV ou uma foto em um jornal, em uma revista ou em qualquer tipo de mídia, reconhecemos a figura, pois ela se mantém proporcional à fi-gura que conhecemos originalmente, mes-mo que esteja ampliada ou reduzida. E foi observando a natureza que o homem desco-briu essa semelhança. Assim, em razão da curiosidade, o homem inventou o microscó-pio, capaz de ampliar milhões de vezes uma imagem, possibilitando estudar as menores partículas de nosso meio ambiente, e as câ-meras fotográficas, que possibilitam reduzir

as imagens e colocá-las no papel. Observe tudo aquilo que o cerca e veja se você reco-nhece objetos que são transformações de um outro objeto.

Faça um exercício!Pegue uma folha de papel, faça um bu-

raco do tamanho de uma moeda de 1 real, feche um dos olhos e olhe através desse buraco. Você vai notar que muitas coisas parecem “caber” nesse buraco, porém na realidade elas nunca caberiam.

Interessante, não é? Isso é Física, é Ciên- cia, é Matemática!

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO





109

Para casa

TAREFA – O gato II da figura abaixo é uma ampliação do gato I, ambos desenhados em malha pontilhada. A distância entre dois pontos da malha II é uma vez e meia a dis-tância entre os pontos da malha I.

I II

Se o contorno do gato I mede p cm, qual é a medida, em cm, do contorno do gato II?a) 6 pb) 3 pc) 2 pd) 1,5 p

110

Semelhança16C

apítu

lo


Para começar

Desenvolver o conceito de semelhança.

ATIVIDADE – Dada a figura abaixo:

reproduzir a figura dobrando-a de tamanho.

Para continuar

Definindo semelhança a partir de uma construçãoVocê ampliou uma figura na atividade inicial. Se, na ampliação feita, a forma e os ân-

gulos que se correspondem foram mantidos e se houve a proporcionalidade dos lados,

111

dizemos que a figura ampliada ou reduzida é semelhante à figura original. Como a figu-ra ampliada está na mesma posição que a figura original, dizemos que essas figuras são homotéticas.

Figuras homotéticas: figuras semelhan-tes com mesma disposição.

Como verificamos quando duas figuras são semelhantes? Vamos estudar mais so-bre semelhança construindo figuras seme-lhantes.

Primeiro passo: Marcar um ponto O a certa distância da figura.

A B

C

D

E

O

Segundo passo: Traçar as semirretas AO, OB, OC, OD, OE. Já traçamos as se-mirretas AO e OB; agora é você quem deve continuar.

A B

C

D

E

O

Terceiro passo: Você pode decidir em quantas vezes você quer ampliar ou redu-zir. Vamos fazer a duplicação dessa figura, por uma questão de espaço. Meça a dis-tância entre O e A e dobre o valor dessa

distância ou, de forma mais rápida e mais precisa, coloque a ponta seca do compas-so em O e abra o compasso até A. Não feche o compasso, pois, com essa mes-ma abertura, você deverá colocar a ponta seca do compasso em A e marcar na se-mirreta AO.

Da mesma forma é feito com as outras semirretas. Agora é sua vez, faça o mesmo com os outros vértices.

A B

B’A’

C

D

E

O

Quarto passo: Una os pontos A’, B’, C’, D’ e E’, que se tornarão os vértices da figu-ra duplicada.

As duas figuras (ambas um pentágono) são semelhantes, pois seus:

• lados correspondentes são proporcio-nais; neste caso, a razão de propor-cionalidade é de 1 para 2;

• ângulos que se correspondem são congruentes.

Identificando polígonos semelhantes

Podemos identificar se dois polígonos são semelhantes medindo os lados corresponden-tes e os ângulos que se correspondem.

Se os polígonos são semelhantes, a razão de proporcionalidade ou semelhança é cons-tante, ou seja, é a mesma para todos os lados correspondentes. Os ângulos, que se corres-pondem, por sua vez, são congruentes.

Veja o exemplo a seguir, em que esses polígonos são semelhantes.

112

135º

45º

5 cm

3 cm

2 cm2 cm

A

C D

B

135º

45º2,5 cm

1,5 cm

cm1 cm

A

C D

B

22

Lado

AB BD CD AC

Figura 1 3 2 2 5 2

Figura 2 1,5 2 2 2,5 1

Razão 2/1 2/1 2/1 2/1

Ângulo

A B D C

Figura 1 90° 135° 45° 90°

Figura 2 90° 135° 45° 90°

Ângulos que se correspondem são congruentes.

ATIVIDADE 1 – Observe os losangos abaixo:

120º150º

3 cm

III IVIII

2 cm2 cm

60º 90º

Quais desses losangos são semelhantes entre si?a) I e IIb) II e IIIc) II e IVd) I e III

113

ATIVIDADE 2 – Analisando os polígonos abaixo, pode-se afirmar que:

A3,5 cm

10,5 cm

7,5 cm

4,5 cm

5,1 cm

2,5 cm

2 cm

6 cm

1,7 cm

1,5 cm

β

θ

γγ

α

B

C

D

E

A

β

θ

γ

γ

α

B

C

D

E

Lados homólogos: lados que se correspondem.

a) são semelhantes, pois seus lados homólogos não são proporcionais.b) não são semelhantes, pois os polígonos não possuem lados ordenadamente propor-cionais.c) são semelhantes, pois os lados que se correspondem são proporcionais.d) são semelhantes, pois os lados que se correspondem são proporcionais e os ângulos que se correspondem são iguais.

ATIVIDADE 3 – Dois terrenos retangulares são semelhantes e a razão de semelhan-

ça é 25

. Se o terreno maior tem 50 m de frente e 150 m de comprimento, quais são as

dimensões do terreno menor?

Rua

50 m

150 m

yx

a) 25 m e 75 m.c) 20 m e 60 m.b) 25 m e 30 m.d) 5 m e 15 m.

114

ATIVIDADE 4 – A planta de uma casa foi feita na escala 1 : 50 (o que significa que cada 1 cm na planta corresponde a 50 cm no real). Sendo a cozinha de forma retangu-lar, medindo na planta 9 cm e 10 cm, então as dimensões reais dessa cozinha são:a) 4 m e 5 m. b) 4,5 m e 5 m. c) 9 m e 10 m. d) 18 m e 20 m.

ATIVIDADE 5 – Patrícia fez dois xales semelhantes, um para si e outro para a fi-lha, como na figura abaixo.

80 cm

180 cm

x

90 cm

Se o comprimento do xale da filha é a metade do comprimento do xale da mãe, a medida x vale, em cm:a) 20 c) 35b) 25 d) 40

ATIVIDADE 6 – O galo maior da fi-gura é uma ampliação perfeita do menor. Então:

N

M

S

R

O

a) ONOM

= OSOR

b) ONOS

OROS

=

c) OM e ON são perpendiculares.

d) OM e ON são paralelos.

Para finalizar

Apesar de estarem em posições diferen-tes, algumas figuras geométricas são se-melhantes por apresentarem propriedades semelhantes. Nossos olhos nos enganam, por isso recorremos aos materiais de me-dição, como régua e compasso, e até a re-cortes para nos certificarmos da semelhan-ça de figuras.

115

TAREFA B – Na grade quadriculada a seguir, há 3 figuras semelhantes entre si e ape-nas uma que não é semelhante a nenhuma outra. Indique qual é esta figura que não é semelhante às outras:

I

II

IVIII

Hoje

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ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO





Para casa

TAREFA A – A figura a seguir mostra duas pipas semelhantes, mas de tamanhos diferentes. Considerando as medidas co-nhecidas das duas pipas, o comprimento x mede, em cm:

x30 c

m

75 cm90 cm

a) 20b) 25c) 35d) 40

a) I.b) II.c) III.d) IV.

116

Semelhança de triângulos

17/18C

apítu

los


Para começar

Estudar semelhanças de triângulos.

ATIVIDADE – Considere os dois triângulos abaixo:

BA

C

O

F

D E

a) Quais são as dimensões do triângulo ABC?

b) Quais as dimensões do triângulo DEF?

c) Complete o quadro abaixo com esses dados.

Lados

AB BC CA

Triângulo ABC

DE EF FD

Triângulo DEF

d) Qual é a razão de proporcionalidade entre esses triângulos?

117

Para continuar

Casos de semelhança de triângulos

Analisando os ladosNa atividade anterior, os triângulos possuem os lados homólogos proporcionais. Dessa

forma, podemos dizer que esses triângulos são semelhantes. Observe os triângulos da-dos a seguir:

A

B C

8 cm10 cm

14 cm

A’

B’ C’

6 cm 7,5 cm

10,5 cm

No exemplo anterior, os triângulos são semelhantes, pois:

ABA B

BC CA' ' B'C' C'A'

= = = 43

Esse caso é, então, o lado-lado-lado (LLL).

Caso LLL – Dois triângulos são semelhantes se os lados homólogos são proporcionais.

Analisando os ângulos

Nos triângulos ABC e A’B’C’, os dois ângulos ˆ ˆ ’ ˆ ˆ ’B B C Ce e e que se correspondem são congruentes. Dessa forma, os dois triângulos são semelhantes.

A

BC

A

BC

118

Como você já sabe, a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Dessa forma, se B B' e C C' ≅ ≅ , então Â Â’.

Como os ângulos são congruentes, os lados homólogos são proporcionais.Esse caso de semelhança é o ângulo-ângulo (AA).

Caso AA – Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos que se correspondem são congruentes entre si.

Analisando lados e ânguloSejam os triângulos ABC e A’B’C’, com lados AB e A’B’, BC e B’C’ proporcionais.

Se os ângulos compreendidos entre eles são congruentes, então esses triângulos são semelhantes.

A

BC

A’

B’C’

Esse é o caso lado-ângulo-lado (LAL)

Caso LAL – Dois triângulos são semelhantes se dois lados que se correspondem são proporcionais e os ângulos entre eles compreendidos são congruentes.

ATIVIDADE 1 – Verifique se estes dois triângulos são semelhantes. Em caso afirma-tivo, indique a razão de semelhança.

80°

70°

A

B 50 C

80°

70°

A’

B’ 40 C’

119

ATIVIDADE 2 – Verifique se estes dois triângulos são semelhantes:

B C

A

20 cm 38 cm

40 cm

A’

B’ C’

76 cm26 cm

80 cm

ATIVIDADE 3 – Desenhe um triângulo semelhante ao triângulo ABC, de razão 12

. Não se esqueça de colocar as medidas desse triângulo.

A

C

B4 cm

2 cm

5 cm

Para continuar

Algumas conclusõesSe dois triângulos são semelhantes e a razão de semelhança entre eles é k, então

essa será a razão de semelhança entre: a) os lados homólogos.b) os perímetros.c) as medianas.d) as alturas homólogas.e) as bissetrizes homólogas.

120

Teorema fundamental

Se uma reta é paralela a um dos la-dos de um triângulo e intercepta os ou-tros dois em lados distintos, então o tri-ângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

Vamos analisar esse teorema.

A

B C

A

B

D E

C

Dado o triângulo ABC, se traçarmos uma reta paralela à base BC, teremos:

Como os ângulos B e D e C e Ê são ângulos correspondentes, então:

B D e C Ê

Utilizando o teorema de Tales, temos:

ADAB

AEAC

e

Construindo por E uma paralela ao lado AD (EF⁄⁄AD), temos:

A

B

D E

CF

Dessa forma, do paralelogramo BDEF temos que DE = BF .

Por Tales, temos que:

AEAC

DEBC

=

Portanto: ADAB

AEAC

DEBC

= =

Como vimos, os ângulos que se correspon-dem são congruentes e os lados homólogos são proporcionais, então os triângulos ABC e ADE são semelhantes.

Vamos ver um exemplo: DE ⁄⁄BC.Sabemos pelo teorema que os triângulos

ABC e ADE são semelhantes. Dessa forma:

A

B C

D E

4 5

6

4,5

ADAB

AEAC

DEBC

= =

AD4= 4,56

Igualando: AD4= 4,56

AD = 3

121

Igualando AE5

4 56

= , AE = 3,75

ATIVIDADE 1 – Os triângulos MEU e REI são semelhantes, com UM//RI. O lado ME mede 12 cm. Qual é a medida, em cm, do lado RE?

E

U

IR

M15 cm

45 cm

a) 5b) 20c) 24d) 36

ATIVIDADE 2 – Os triângulos MNP e MQR são semelhantes. Determine as me-didas de MQ e RP.

Q R

M

PN

5 cm

4 cm

36 cm

12 cm

122

ATIVIDADE 3 – Na figura a seguir temos: AB = 6, AC = 8, BC = 10 e RS = 3. Sendo RS //BC, calcular AR e AS.

A

R

B C

S

ATIVIDADE 4 – Os lados de um triân-gulo têm medidas 4, 9 e 6. O maior lado de um triângulo semelhante a esse e que possui perímetro 38 é:a) 8 b) B c) 18 d) 20

ATIVIDADE 5 – Para as comemorações de aniversário de uma cidade, foi construí-do um grande painel de forma triangular na fachada de um edifício, sendo AB paralelo a CD. Dados: VA = 10 m; AC = 5 m e CD = 18 m. Portanto, AB mede:

V

A B

C D

a) 9 m. b) 12 m. c) 15 m. d) 16 m.

123

Para finalizar

O triângulo é uma das figuras geométri-cas mais importantes e utilizadas no dia a dia do homem. Você aprendeu mais algu-mas propriedades deles e poderá aplicar esse conhecimento em diversas áreas pro-fissionais. Observe algumas pontes, por-tões, edifícios, entre outras construções, e veja se consegue observar os triângulos, ocultos ou aparentes.

Hoje

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ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO





Para casaTAREFA A – Os lados de um triângulo

medem 12, 6 e 9 m. Se um triângulo é se-

melhante a este com razão de 13

, calcular:

a) os lados do triângulo semelhante;

b) o perímetro do triângulo semelhante.

124

TAREFA B – Os triângulos representados nas figuras a seguir são semelhantes.

A

CB30°

80°

70°

80°5 4,5

T

R

P

9,6

6

Os comprimentos aproximados dos lados BC e PR são dados, respectivamente, por:a) 3,75 e 7,2. b) 7,2 e 6,7. c) 9,7 e 8,2. d) 5,4 e 12,8.

125

Teorema de Pitágoras19C

apítu

lo


Para começar

Estudar o teorema de Pitágoras.

ATIVIDADE – No quadriculado (1 cm x 1 cm) abaixo, foi desenhado um triângulo retângulo em B.

A

B C

a) Quais são as dimensões dos lados AB e BC?

b) Qual é a dimensão do lado AC?

c) Quais seriam as dimensões dos lados de um triângulo semelhante a esse com ra-

zão 32

?

Para continuarTriângulo retângulo e Pitágoras

Você já estudou o triângulo retângulo. Vamos recordar a nomenclatura dos lados de um triângulo retângulo. Os lados AB e BC são denominados de catetos. O lado maior, que é oposto ao ângulo reto, é deno-minado de hipotenusa: AC.

A

B C

126

Esse triângulo é conhecido desde o tem-po do antigo Egito. Os egípcios utilizavam uma corda com 12 nós, de mesma distân-cia entre estes. Essa corda era usada para medir as propriedades após as enchentes do rio Nilo. Com esses 12 nós é possível formar um triângulo retângulo com 3, 4 e 5 nós nos lados.

Você já estudou experimentalmente o teorema de Pitágoras.

A

B C

Essa relação que chamamos de teorema de Pitágoras mostra que o quadrado formado na hipotenusa AC tem área igual à soma das áreas dos quadrados construídos nos catetos AB e BC.

Enunciando o teorema de Pitágoras, temos:

O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Dessa forma, no exemplo acima:52 = 32 + 42

25 = 9 + 16Exemplo: Determinar a medida do cateto

AB do triângulo:

A

B 10 cm

12,5 cm

C

A hipotenusa AC = 12,5 cm e o cateto BC = 10 cm. Denominando o cateto AB de x, temos:

(12,5)2 = 102 + x2

156,25 = 100 + x2

56, 25 = x2

7,5 = x

ATIVIDADE 1 – Determinar em cada um dos triângulos abaixo a medida que está faltando.a)

M

N P24 cm

30 cm

b) Y

X Z

12 cm16 cm

127

ATIVIDADE 2 – Já foi dito que o triân-gulo retângulo foi bastante utilizado em cul-turas muito antigas, como a dos egípcios, que usavam a corda com 12 nós e forma-vam o triângulo com medidas de lados 3, 4 e 5. Usando a régua, encontre outro valor inteiro para os três lados do triângulo.

ATIVIDADE 3 – Na figura abaixo, o va-lor de x é:

Atividade 118 cm20 cm

8 cm

9 cm

17 cm

x

a) 8 cm c) 12 cmb) 9 cm d) 123 cm

ATIVIDADE 4 – A altura do tronco de uma árvore é 7 m. Será fixada uma escada a 1 m de sua base, para que um homem possa podar os galhos. Qual o menor com-primento que esta escada deverá ter?

7 m

1 m

128

a) 2 3 m c) 5 2 m

b) 4 3 m d) 7 2 m

Para continuar

A diagonal de um quadrado e retângulo

Você estudou em anos anteriores a rigi-dez triangular. Você sabe, por exemplo, que para um portão retangular de madeira ficar estável é necessário que tenha uma madei-ra transversal que forme triângulos.

A figura que representa o portão é um retângulo, e a madeira transversal que liga dois vértices opostos é chamada de diago-nal. Observe que a diagonal forma dois tri-ângulos retângulos. Portanto, a diagonal é a hipotenusa desses dois triângulos.

Dessa forma, para calcular a diagonal de um retângulo e de um quadrado, pode-se utilizar o teorema de Pitágoras.

Em relação ao quadrado, temos que a dia-gonal será a hipotenusa de triângulos isósce-les. Nos exemplos a seguir, um dos quadra-dos possui lados de medida 4 cm, e o outro, de 7cm. As diagonais serão:

4 cm

4 cm

d

d2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32

d = 32 = 4 2 cm

7 cm

7 cm

d

d2 = 72 + 72 = 49 + 49 = 98

d = 98 = 7 2 cm

129

Como você pôde observar, nas medidas das duas diagonais aparece o lado do qua-

drado acompanhado de 2 . Portanto, para calcular a diagonal de um quadrado, basta substituir a medida do lado em ℓ na relação indicada a seguir:

d = 2

ATIVIDADE 1 – Laura comprou um ter-reno quadrado com 784 m² de área.a) Quanto mede cada lado desse terreno?

b) Qual é o perímetro do terreno que ela comprou?

c) Laura dividiu o terreno ao meio por uma de suas diagonais. Numa das partes, ela pretende construir sua casa; na outra, um pequeno pomar e uma horta. Para separar as duas metades do terreno, ela usou fios de arame, cada um com comprimento igual à medida da diagonal. Qual é a medida de cada pedaço de arame?

ATIVIDADE 2 – A medida da diagonal da tela da televisão determina as polegadas da TV. Gilberto quer comprar uma televisão nova e não sabe se ela caberá no espaço re-servado na estante da sala. Se a e stante tem uma abertura quadrada de 35 cm de lado, será que uma televisão quadrada de 32 po-legadas cabe nesse espaço? Justifique sua resposta sabendo que 1 polegada = 2,5 cm. Use 2 = 1,4.

ATIVIDADE 3 – Pedro precisa de uma tábua para fazer um reforço diagonal numa porteira de 1,5 m de altura por 2 m de com-primento. O comprimento da tábua de que ele precisa é de:

a) 1,5 m b) 2,0 m c) 2,5 m d) 3,0 m

130

ATIVIDADE 4 – A trave AB torna rígido o portão retangular da figura. Seu compri-mento, em centímetros, é:

80 cm

60 cmB

A

a) 50 c) 100b) 70 d) 140

ATIVIDADE 5 – A medida da diagonal d de um quadrado de lado x é:

x

d

a) 2 x b) x

c) x 2

d) 3

ATIVIDADE 6 – Os lados de um tra-pézio isósceles têm as seguintes medidas:

10 cm

22 cm

8 cm8 cm

Calcule a sua altura:a) 28 cm

b) 14 cm

c) 4 7 cm

d) 2 7 cm

Para finalizar

Muitos quadrados e triângulos são utili-zados na construção civil e em muitas ou-tras situações. Há muitas outras relações dos triângulos, além do teorema de Pitágo-ras, que são utilizadas. Por isso, não fique com nenhuma dúvida.

131

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO





Para casa

TAREFA A – Se a diagonal de um qua-

drado mede 60 2 m, quanto mede o lado desse quadrado?

602

a) 50 mb) 60 mc) 75 md) 90 m

TAREFA B – Um retângulo tem dimen-sões 6 cm e 8 cm. A diagonal desse retân-gulo, em centímetros, é:a) 10b) 9,8c) 9,5d) 9

132

Relações métricas no triângulo retângulo

20Cap

ítulo


Para começar

Estudar outras relações métricas do triângulo retângulo.

ATIVIDADE – O pico do Jaraguá, localizado no Parque Estadual de mesmo nome, na cidade de São Paulo, foi tombado pela Unesco como Patrimônio da Humanidade, em 1994. O pico tem aproximadamente 1,2 km de altura e de seu ponto mais alto pode-se avistar objetos num raio de 55 km.

Um objeto O se encontra a 10 km do morro, uma pessoa P está no seu ponto mais alto, como mostra o diagrama abaixo.

1,2 km

10 km

P

O

A distância entre essa pessoa e o objeto mencionado é de aproximadamente:a) 1,717 km c) 100,717 kmb) 10,071 km d) 1007,174 km

133

Para continuar

Descobrindo as relações

Observe o triângulo ABC retângulo em A. Foi traçada a altura h relativa à hipotenusa BC. A altura dividiu a hipotenusa em dois segmentos: BH, com medida m, e HC, com medida n.

Parte 1 – Utilize a régua para fazer as medições abaixo.

A

C

h

bc

m nB H

a) Meça os catetos e a hipotenusa do triângulo ABC.b) Meça a altura AH. c) Meça a medida BH. d) Meça a medida HC. e) Preencha a tabela com esses dados:

Cateto AB Cateto ACHipotenusa

BCAltura AH BH HC

c = b = a = h= m = n =

Os segmentos m e n são chamados de projeção do cateto sobre a hipotenusa.

Parte 2 – Analisando o triângulo ABH

A

hc

mB H

a) Eleve ao quadrado a medida c. O re-sultado é:

b) Determine o produto de a ∙ m. O re-sultado é:

c) Compare os resultados obtidos.

Generalizando, temos:

c2 = a · m

134

Parte 3 – Analisando o triângulo ACH

A

C

hb

nH

a) Eleve ao quadrado a medida b. O re-sultado é:

b) Determine o produto de a · n. O re-sultado é:



b2 = a · n

Parte 4 – Analisando o triângulo ABC

A

C

h

bc

m nB

H

a) Determine o produto de a · h. O resul-tado é:

b) Determine o produto de b · c. O resul-tado é:



b ∙ c = a · h

a) Eleve ao quadrado a medida h. O re-sultado é:

b) Determine o produto de m · n. O resul-tado é:



h2 = m · n

ATIVIDADE 1 – Determine a altura do triângulo abaixo:

A

C

h3 cm 4 cm

5 cm

B H

135

ATIVIDADE 2 – Um motorista vai da cidade A até a cidade E, passando pela ci-dade B, conforme mostra a figura:

A

B 16 cm

25 cm

CE

Então, ele percorreu:a) 41 kmb) 36 kmc) 15 kmd) 9 km

ATIVIDADE 3 – Calcule a altura e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa no triângulo retângulo de catetos 12 cm e 16 cm.

ATIVIDADE 4 – As diagonais do losango a seguir medem 42 cm e 40 cm. Calcule o lado do losango.

Lembre-se de que as diagonais do lo-sango se interceptam no ponto médio de cada uma das diagonais.

Para finalizar

Há muitas relações no triângulo retângu-lo. Não é à toa que ele é um triângulo espe-cial. Estude, para não esquecer nenhuma dessas relações.

136

Hoje

EU SIM

MAS TENHO

ALGUMAS DÚVIDAS

NÃO





Para casaTAREFA – Uma praça tem a forma de

um triângulo retângulo, com uma via de passagem pelo gramado, que vai do vértice do ângulo reto até a calçada maior, como ilustrado pela figura abaixo.

BC

18 m 32 mA

Sabendo que essa via divide o con-torno maior do gramado em duas partes: uma de 32 m e outra de 18 m, o contorno B mede, em metros:a) 60b) 45c) 40d) 25

Ensino Fundamental Anos Finais 9o Ano – 3o...

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