Ensino Médio Disciplina: Matemática Tema: Trigonometria.

Ensino Médio

Disciplina: Matemática

Tema: Trigonometria

Matemática

1. Introdução

A

BArco AB

O

Ângulo central

Equivalência: rd = 180oEquivalência: rd = 180o

ARCOS e ÂNGULOSARCOS e ÂNGULOS

Matemática

• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.

• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.

• Forma geral:

• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.

• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.

• Forma geral:

2. Arcos côngruos

A

B

x = + 2kx = + 2k

Matemática

3. Circunferência trigonométrica

O xA’ A

y

B

B’

1

1

P

+

-

Matemática

4. Seno e Cosseno

O xA’ A

y

B

B’

P

M

N

sen

cos

Matemática

Seno:

• marcado no eixo Y

• varia de –1 até 1 -1 sen 1

• sinal do seno:

Seno:

• marcado no eixo Y

• varia de –1 até 1 -1 sen 1

• sinal do seno:

O xA’ A

y

B

B’

1

-1

4. Seno e Cosseno

Matemática

Cosseno:

• marcado no eixo X

• varia de –1 até 1 -1 cos 1

• sinal do cosseno:

Cosseno:

• marcado no eixo X

• varia de –1 até 1 -1 cos 1

• sinal do cosseno:O x

A’ A

y

B

B’

-1 1

4. Seno e Cosseno

Matemática

5. Tangente

O xA’ A

y

B

B’

P

t

t // yt // yM

tg

Matemática

O xA’ A

y

B

B’

5. TangenteSinal

Matemática

6. Redução ao 1º quadrante

a) 2o quadrante

• cos ( - x) = - cos x

• tg ( - x) = - tg x

a = ( - x)a = ( - x)

O x

y

/2

0xa

3/2

2• sen ( - x) = sen x

Matemática

b) 3o quadrante

• sen ( + x) = - sen x

a = ( + x)a = ( + x)

O x

y

/2

0xa

3/2

2


• cos ( + x) = - cos x

• tg ( + x) = tg x

Matemática

c) 4o quadrante

• sen (2 - x) = - sen x

a = (2 - x)a = (2 - x)

O x

y

/2

0xa

3/2

2


• cos (2 - x) = cos x

• tg (2 - x) = - tg x

Matemática

7. Relações entre arcos complementares

y = /2 - xy = /2 - x

sen x = cos y

sen y = cos x

sen x = cos y

sen y = cos x

O x

y

/2

0x

3/2

2

y

x

Matemática

8. Relações fundamentais

I. sen2 x + cos2x = 1

III. cotg x = xsen

xcos

x tg

1

II. tg x = xcos

xsen

Matemática

8. Relações fundamentais

VI. sec2x = 1 + tg2x

VII. csc2x = 1 + cotg2x

V. csc x = xsen

1

IV. sec x = xcos

1

continuação...

Matemática

9. Aplicações práticas

1. Sabendo-se que cos x = ½ , determine o valor de

2. Se x é um arco do 1º quadrante e tg x = 2, calcule o valor de A = sen x + cos x .

3. Demonstrar a identidade

tg x + cotg x = tg x . csc2x

x gcot1

xcscxsecy

-

-=

Matemática

10. Soma e diferença de arcos

a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b

b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b

c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a

d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a

Matemática

10. Soma e diferença de arcos

e)b a.tg tg1

b tga tg

-

+b)tg(a =+

f) b)-tg(ab a.tg tg1

b tg-a tg

+=

Matemática

11. Arcos duplos

a) cos(2a) = cos2a – sen2a

b) sen(2a) = 2.sen a.cos a

c) tg(2a) = xtg21

x 2.tg2

-

Matemática

12. Arcos metade

2

cosx1

2

xcos a)

+±=

2

cosx-1

2

xsen b) ±=

cosx1

cosx-1

2

xtg c)

+±=

Matemática

13. Transformação de soma em produto

2

qp.cos

2

qp2sensenqsenp a)

-+=+

2

qp.cos

2

q-p2sensenq-senp b)

+=

2

qp.cos

2

qp2coscosqcosp c)

-+=+

2

qp.sen

2

qp2sencosqcosp d)

-+-=-

Matemática

a) sen x = a ; 1a1

O x

y

/2

0y

3/2

2

a• sen x = sen y

x = y + 2k

• sen x = sen ( - y)

x = ( - y) + 2k

14. Equações trigonométricas

Matemática

ex. Resolva as equações:

b) sen (2x - ) = 2

3-

a) sen x =2

1


Matemática

O x

y

/2

0y

3/2

2a

• cos x = cos y

x = y + 2k

• cos x = cos (2 - y)

x = - y + 2k

b) cos x = a ; 1a1


Matemática


b) cos 2x = 0

a) cos x =2

2


Matemática

c) tg x = b ; b IR

O x

y

/2

0y

3/2

2

b

• tg x = tg y

x = y + k

t


Matemática


3a) tg 3x =

b) tg (2x - ) = 1


Matemática

d) Outras equações:

1) sen2x + 4cos x = - 4

2) cos (2x) + cos x = 0

3) 2sec x = cotg x + tg x ; x [ 0 , 2]

4) tg2x - 3tg x + 2 = 0 ; x [ 0 , /4 ]

5) 1 + cos x + cos(2x) = 0 ; x [- , ]


Matemática

a) Função seno :

f : IR IR

f(x) = sen x

f : IR IR

f(x) = sen x

A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.

A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.

x IR -1 sen x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] x IR -1 sen x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]

15. Funções trigonométricas

Matemática

a) gráfico :


- -y

x0 32

22

2

-

-

-

Matemática

a) Função seno :

Periodicidade : sen x = sen ( x + 2)Periodicidade : sen x = sen ( x + 2)

Paridade : sen x = - sen (- x)Paridade : sen x = - sen (- x)

• A função y = sen x é ímpar.

• A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2 radianos.

• Se f(x) = a + b.sen(cx + d) período de f = c

2


Matemática

b) Função cosseno :

f : IR IR

f(x) = cos x

f : IR IR

f(x) = cos x

A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.

A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.

x IR -1 cos x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] x IR -1 cos x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]


Matemática

b) gráfico :


- -y

x0 32

22

2

-

-

-

Matemática

b) Função cosseno :

Periodicidade : cos x = cos ( x + 2)Periodicidade : cos x = cos ( x + 2)

Paridade : cos x = cos (- x)Paridade : cos x = cos (- x)

• A função y = cos x é par.

• A função y = cos x é periódica e tem período igual a 2 radianos.

• Se f(x) = a + b. cos(cx + d) período de f = c

2


Matemática

ex. Seja f(x) = a + b.sen(cx), com a, b e c números reais positivos, uma função periódica de período 3/ 2.

c) Determine os valores de x onde f assume o seu valor máximo.

b) Sabendo-se que a imagem de f é o intervalo [ 3 , 5 ], determine a e b.

a) Determine c.


Matemática

c) Função tangente :

f : D IR

f(x) = tg x

f : D IR

f(x) = tg x

A função associa cada arco x, x / 2 + k , da circunferência trigonométrica a um número real y = tg x.

A função associa cada arco x, x / 2 + k , da circunferência trigonométrica a um número real y = tg x.

Im(f) = IRIm(f) = IR

D = { x IR / x / 2 + k }D = { x IR / x / 2 + k }


Matemática

- -


c) gráfico :

y

x0 32

22

2

-

Matemática

c) Função tangente :

Periodicidade : tg x = tg ( x + )Periodicidade : tg x = tg ( x + )

Paridade : tg x = - tg (- x)Paridade : tg x = - tg (- x)

• A função y = tg x é ímpar.

• A função y = tg x é periódica e tem período igual a radianos.

• Se f(x) = a + b. tg(cx + d) período de f = c


Matemática

ex. Determine o domínio e o período da função

f(x) = tg (4x).


Ensino Médio Disciplina: Matemática Tema: Trigonometria.

Documents

Transcript of Ensino Médio Disciplina: Matemática Tema: Trigonometria.