Ensino Superior

1.2 – Conceitos Preliminares

Amintas Paiva Afonso

Lógica Matemática e Computacional

Cálculo Proposicional

Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.

CONCEITO DE PROPOSIÇÃO

Sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma

linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira

ou que seja falsa.

· A lua é quadrada.

· A neve é branca.

· Matemática é uma ciência.

. 3 < 4

. = 3,14

. 1 é primo

. Zero é par

Sentença e Proposição

• A lógica formal pode representar as afirmações que fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatos ou transmitir informações. Uma proposição (ou declaração) é uma sentença que é falsa ou verdadeira.

• Considere as seguintes sentenças:

(a) Dez é menor do que sete.

(b) Como está você?

(c) Ela é muito talentosa.

(d) Existe vida em outros planetas do universo.

É uma proposição, já que é falsa.

Não pode ser considerada falsa ou verdadeira, não é proposição.

Não é uma proposição. Ela não está especificada, não é falsa nem verdadeira.

É proposição.

Não é preciso sermos capazes de decidir qual das alternativas é válida.

Consideração inicial

A lógica analisa os argumentos em vista de sua validade, não de sua veracidade.

Ex: Se todo homem dessa sala é candidato à engenheiro e se todo candidato a engenheiro é bonito então todo homem dessa sala é bonito.

Ex:

Pedro é um sujeito mais bonito que o Brad Pitt e o Marcelo Anthony juntos.

O time das Pererecas Felizes vai ganhar o torneio de Handball da Faculdade.

Essa frase é falsa.

Proposição

Exemplo:

Foi detectado que alguns prefeitos não moram nos municípios onde trabalham. O governo federal criou então o município de Pizzalândia e nele só podem morar os prefeitos que não moram em seus municípios.

Onde mora o prefeito de Pizzalândia?

Definição de um objeto.

TERMO (Palavra) – Definição:

Paula

Um filme de terror

Triângulo retângulo

Exemplo:

Cálculo Proposicional

Todo o conjunto de termos ou símbolos

que exprimem um pensamento

de sentido completo.

Todo homem é mortal.

A Lua é um satélite da Terra.

Exemplo:

sen /2 = cos /2

PROPOSIÇÃO – Definição

As PROPOSIÇÕES

transmitem pensamentos,

isto é,

afirmam fatos ou exprimem juízos

que formamos a

respeito de determinados entes.

PROPOSIÇÃO

PROPOSIÇÃO – Definição

A linguagem NATURAL permite vários tipos

de proposições:

DECLARATIVA: Meu carro é azul.

INTERROGATIVA: Está frio?

EXCLAMATIVA: Que lindo!

IMPERATIVA: Cale a boca.

PROPOSIÇÃO – Definição

CÁLCULO PROPOSICIONAL:

Permite apenas as

proposições

DECLARATIVAS.

PROPOSIÇÃO – Definição

Exercício

• Quais das frases a seguir são proposições declarativas? A lua é feita de queijo verde. Ele é, certamente, um homem alto. Dois é um número primo. O jogo vai acabar logo? Os juros vão subir ano que vem. Os juros vão descer ano que vem. x2 – 4 = 0.

Exercício

• Quais das frases a seguir são proposições? A lua é feita de queijo verde. Ele é, certamente, um homem alto. Dois é um número primo. O jogo vai acabar logo? Os juros vão subir ano que vem. Os juros vão descer ano que vem. x2 – 4 = 0.

PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO.

II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO.

A Lógica Matemática adota como regras

fundamentais do pensamento os 2 princípios:

PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO:

Uma proposição NÃO pode ser

FALSA e VERDADEIRA ao mesmo tempo.

O Brasil é pentacampeão de futebol.O Brasil é pentacampeão de futebol.

O Brasil possui pena de morte.O Brasil possui pena de morte.

Verdade (V)Verdade (V)

Falso (F)Falso (F)

II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO:

Toda proposição ou é Verdadeira ou Falsa,

isto é, verifica-se sempre um destes casos

e nunca um terceiro.

LÓGICA BIVALENTELÓGICA BIVALENTE

PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

O Valor Lógico de uma PROPOSIÇÃO é:

VERDADE se esta for VERDADEIRA;

FALSIDADE se a PROPOSIÇÃO for FALSA.

VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO

Assim, o que os princípios da não contradição

e o do terceiro excluido afirmam é que:

Toda proposição tem um, e um só,

dos valores V, F.

VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO

Qual é Valor Lógico (V ou F) das proposições a seguir?• O número 17 é primo. ( )

• Fortaleza é a capital do Maranhão. ( )

• TIRADENTES morreu afogado. ( )

• (3 + 5)2 = 32 + 52. ( )

• O valor archimediano de é 22/7. ( )

• -1 < -7. ( )

• 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( )

• As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( )

• Todo polígono regular convexo é inscritível. ( )

• O hexaedro regular tem 8 arestas. ( )

• O número 17 é primo. ( V

• Fortaleza é a capital do Maranhão. ( F

• TIRADENTES morreu afogado. ( F

• (3 + 5)2 = 32 + 52. ( F

• O valor archimediano de é 22/7. ( V

• -1 < -7. ( F

• 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( V

• As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( F

• Todo polígono regular convexo é inscritível. ( V

• O hexaedro regular tem 8 arestas. ( F

• A expressão n2 – n + 41 (nN) só produz números primos. ( )• Todo número divisível por 5 termina por 5. ( )• O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( )• sen2 30º + sen2 60º = 2. ( )• 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)2 = n2. ( )• As raízes da equação x3 - 1 = 0 são todas reais. ( )• O número 125 é cubo perfeito. ( )• 0, 4 e -4 são raízes da equação x3 - 16x = 0. ( )• O cubo é um poliedro regular. ( )• tg /4 < tg /6. ( )

Qual é Valor Lógico (V ou F) das proposições a seguir?

• A expressão n2 – n + 41 (nN) só produz números primos. ( F• Todo número divisível por 5 termina por 5. ( F• O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( V• sen2 30º + sen2 60º = 2. ( F• 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)2 = n2. ( V• As raízes da equação x3 - 1 = 0 são todas reais. ( V• O número 125 é cubo perfeito. ( V• 0, 4 e -4 são raízes da equação x3 - 16x = 0. ( V• O cubo é um poliedro regular. ( V• tg /4 < tg /6. ( F